ผลรวมของมุมของรูปหลายเหลี่ยมนูนคืออะไร? ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยม ทฤษฎีบทเรื่องผลรวมของมุมของสามเหลี่ยม การสรุปทั่วไปถึงทฤษฎีซิมเพล็กซ์

สามเหลี่ยมคือรูปหลายเหลี่ยมที่มีสามด้าน (สามมุม) ส่วนใหญ่แล้วด้านข้างจะถูกระบุด้วยตัวอักษรตัวเล็กที่ตรงกับตัวพิมพ์ใหญ่ที่แสดงถึงจุดยอดที่ตรงกันข้าม ในบทความนี้ เราจะมาทำความรู้จักกับประเภทของรูปทรงเรขาคณิตเหล่านี้ ซึ่งเป็นทฤษฎีบทที่กำหนดว่าผลรวมของมุมของรูปสามเหลี่ยมจะเท่ากับเท่าใด

ประเภทตามขนาดมุม

รูปหลายเหลี่ยมประเภทต่อไปนี้ที่มีจุดยอดสามจุดมีความโดดเด่น:

• มุมแหลมซึ่งทุกมุมเป็นแบบเฉียบพลัน
• สี่เหลี่ยมมีมุมฉากหนึ่งมุม เครื่องกำเนิดเรียกว่าขา และด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมฉากเรียกว่าด้านตรงข้ามมุมฉาก
• ป้านเมื่อหนึ่ง;
• หน้าจั่ว ซึ่งด้านทั้งสองเท่ากัน เรียกว่าด้านข้าง และด้านที่สามเป็นฐานของรูปสามเหลี่ยม
• ด้านเท่ากันหมด โดยมีด้านทั้งสามเท่ากัน

คุณสมบัติ

มีคุณสมบัติพื้นฐานที่เป็นลักษณะของสามเหลี่ยมแต่ละประเภท:

• ตรงข้ามด้านที่ใหญ่กว่านั้นจะมีมุมที่ใหญ่กว่าเสมอ และในทางกลับกัน
• ด้านตรงข้ามที่เท่ากันก็มีมุมเท่ากัน และในทางกลับกัน
• สามเหลี่ยมใดๆ มีมุมแหลมสองมุม
• มุมภายนอกมีขนาดใหญ่กว่ามุมภายในใดๆ ที่ไม่อยู่ติดกัน
• ผลรวมของสองมุมใดๆ จะน้อยกว่า 180 องศาเสมอ
• มุมภายนอกเท่ากับผลรวมของอีกสองมุมที่ไม่ตัดกัน

ทฤษฎีบทผลรวมมุมสามเหลี่ยม

ทฤษฎีบทระบุว่าหากคุณบวกมุมทั้งหมดของรูปทรงเรขาคณิตที่กำหนดซึ่งอยู่บนระนาบยูคลิด ผลรวมของมุมเหล่านั้นจะเท่ากับ 180 องศา ลองพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้กัน

ขอให้เรามีสามเหลี่ยมตามอำเภอใจที่มีจุดยอด KMN

เราวาด KN ผ่านจุดยอด M (เส้นนี้เรียกอีกอย่างว่าเส้นตรงแบบยุคลิด) เราทำเครื่องหมายจุด A เพื่อให้จุด K และ A อยู่บนด้านที่แตกต่างกันของเส้นตรง MH เราได้มุมที่เท่ากัน AMN และ KNM ซึ่งเหมือนกับมุมภายในที่วางขวางและถูกสร้างขึ้นโดยเส้นตัด MN พร้อมกับเส้นตรง KH และ MA ซึ่งขนานกัน จากนี้ไปผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมซึ่งอยู่ที่จุดยอด M และ H เท่ากับขนาดของมุม KMA มุมทั้งสามรวมกันเป็นผลรวมเท่ากับผลรวมของมุม KMA และ MKN เนื่องจากมุมเหล่านี้เป็นมุมภายในด้านเดียวสัมพันธ์กับเส้นตรงขนาน KN และ MA โดยมีเส้นตัดขวาง KM ผลรวมของมันคือ 180 องศา ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ผลที่ตามมา

ข้อพิสูจน์ต่อไปนี้มาจากทฤษฎีบทที่พิสูจน์แล้วข้างต้น: สามเหลี่ยมใดๆ มีมุมแหลมสองมุม เพื่อพิสูจน์สิ่งนี้ ให้เราสมมติว่ารูปทรงเรขาคณิตนี้มีมุมแหลมเพียงมุมเดียว นอกจากนี้ยังสามารถสันนิษฐานได้ว่าไม่มีมุมใดที่แหลมคม ในกรณีนี้ ต้องมีอย่างน้อยสองมุมซึ่งมีขนาดเท่ากับหรือมากกว่า 90 องศา แต่ผลรวมของมุมจะมากกว่า 180 องศา แต่สิ่งนี้ไม่สามารถเกิดขึ้นได้ เนื่องจากตามทฤษฎีบท ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมเท่ากับ 180° - ไม่มากและไม่น้อยไปกว่านี้ นี่คือสิ่งที่จำเป็นต้องได้รับการพิสูจน์

คุณสมบัติของมุมภายนอก

มุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมมีผลรวมเป็นเท่าใด? คำตอบสำหรับคำถามนี้สามารถรับได้โดยใช้วิธีใดวิธีหนึ่งจากสองวิธี อย่างแรกคือจำเป็นต้องหาผลรวมของมุมซึ่งนำมาหนึ่งมุมที่จุดยอดแต่ละมุม ซึ่งก็คือมุมสามมุม ข้อที่สองบอกเป็นนัยว่าคุณต้องหาผลรวมของมุมยอดทั้งหกมุม ก่อนอื่นเรามาดูตัวเลือกแรกกันก่อน ดังนั้น รูปสามเหลี่ยมจึงมีมุมภายนอกหกมุม - สองมุมที่แต่ละจุดยอด

แต่ละคู่มีมุมเท่ากันเนื่องจากเป็นแนวตั้ง:

∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6.

นอกจากนี้ยังเป็นที่ทราบกันว่ามุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับผลรวมของมุมภายในสองอันที่ไม่ตัดกัน เพราะฉะนั้น,

∟1 = ∟A + ∟C, ∟2 = ∟A + ∟B, ∟3 = ∟B + ∟C

จากนี้ปรากฎว่าผลรวมของมุมภายนอกซึ่งนำมาหนึ่งมุมที่แต่ละจุดยอดจะเท่ากับ:

∟1 + ∟2 + ∟3 = ∟A + ∟C + ∟A + ∟B + ∟B + ∟C = 2 x (∟A + ∟B + ∟C)

เมื่อคำนึงถึงข้อเท็จจริงที่ว่าผลรวมของมุมเท่ากับ 180 องศา เราสามารถพูดได้ว่า ∟A + ∟B + ∟C = 180° ซึ่งหมายความว่า ∟1 + ∟2 + ∟3 = 2 x 180° = 360° หากใช้ตัวเลือกที่สอง ผลรวมของมุมทั้งหกจะใหญ่เป็นสองเท่าตามลำดับ นั่นคือ ผลรวมของมุมภายนอกของสามเหลี่ยมจะเป็น:

∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 = 2 x (∟1 + ∟2 + ∟2) = 720°

สามเหลี่ยมมุมฉาก

ผลรวมของมุมแหลมของสามเหลี่ยมมุมฉากเป็นเท่าใด? คำตอบสำหรับคำถามนี้เป็นไปตามทฤษฎีบทซึ่งระบุว่ามุมในรูปสามเหลี่ยมรวมกันได้ 180 องศา และคำสั่ง (ทรัพย์สิน) ของเรามีลักษณะดังนี้: ใน สามเหลี่ยมมุมฉากมุมแหลมรวมกันได้ 90 องศา มาพิสูจน์ความจริงกันเถอะ

ให้เราได้รับสามเหลี่ยม KMN โดยที่ ∟Н = 90° จำเป็นต้องพิสูจน์ว่า ∟К + ∟М = 90°

ดังนั้น ตามทฤษฎีบทเรื่องผลรวมของมุม ∟К + ∟М + ∟Н = 180° สภาพของเราบอกว่า ∟Н = 90° ปรากฎว่า ∟К + ∟М + 90° = 180° นั่นคือ ∟К + ∟М = 180° - 90° = 90° นี่คือสิ่งที่เราจำเป็นต้องพิสูจน์

นอกจากคุณสมบัติของสามเหลี่ยมมุมฉากที่อธิบายไว้ข้างต้นแล้ว คุณยังสามารถเพิ่มสิ่งต่อไปนี้ได้:

• มุมที่อยู่ตรงข้ามขานั้นแหลม
• ด้านตรงข้ามมุมฉากเป็นรูปสามเหลี่ยมใหญ่กว่าขาข้างใดข้างหนึ่ง
• ผลรวมของขามากกว่าด้านตรงข้ามมุมฉาก
• ขาของสามเหลี่ยมซึ่งอยู่ตรงข้ามกับมุม 30 องศา มีขนาดครึ่งหนึ่งของด้านตรงข้ามมุมฉาก ซึ่งก็คือ เท่ากับครึ่งหนึ่งของมุมนั้น

เนื่องจากคุณสมบัติอีกอย่างหนึ่งของรูปทรงเรขาคณิตนี้ เราสามารถเน้นทฤษฎีบทพีทาโกรัสได้ เธอกล่าวว่าในรูปสามเหลี่ยมที่มีมุม 90 องศา (สี่เหลี่ยม) ผลรวมของกำลังสองของขาจะเท่ากับกำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉาก

ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

ก่อนหน้านี้เราเคยกล่าวไว้ว่ารูปหลายเหลี่ยมหน้าจั่วที่มีจุดยอดสามจุดและมีด้านเท่ากันสองด้านเรียกว่า ทราบคุณสมบัติของรูปทรงเรขาคณิตนี้ว่า มุมที่ฐานเท่ากัน มาพิสูจน์กัน

ลองใช้สามเหลี่ยม KMN ซึ่งเป็นหน้าจั่ว KN คือฐานของมัน

เราจำเป็นต้องพิสูจน์ว่า ∟К = ∟Н สมมุติว่า MA เป็นเส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยม KMN สามเหลี่ยม MKA โดยคำนึงถึงเครื่องหมายแรกของความเท่าเทียมกันจะเท่ากับสามเหลี่ยม MNA กล่าวคือ โดยเงื่อนไขกำหนดให้ KM = NM, MA เป็นด้านร่วม, ∟1 = ∟2 เนื่องจาก MA เป็นเส้นแบ่งครึ่ง จากข้อเท็จจริงที่ว่าสามเหลี่ยมทั้งสองนี้เท่ากัน เราสามารถระบุได้ว่า ∟К = ∟Н ซึ่งหมายความว่าทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

แต่เราสนใจว่าผลรวมของมุมของสามเหลี่ยม (หน้าจั่ว) คืออะไร เนื่องจากในแง่นี้มันไม่มีลักษณะเฉพาะของตัวเอง เราจะสร้างทฤษฎีบทที่กล่าวถึงก่อนหน้านี้ นั่นคือเราสามารถพูดได้ว่า ∟К + ∟М + ∟Н = 180° หรือ 2 x ∟К + ∟М = 180° (เนื่องจาก ∟К = ∟Н) เราจะไม่พิสูจน์คุณสมบัตินี้ เนื่องจากทฤษฎีบทเกี่ยวกับผลรวมของมุมของรูปสามเหลี่ยมได้รับการพิสูจน์แล้วก่อนหน้านี้

นอกจากคุณสมบัติที่กล่าวถึงเกี่ยวกับมุมของสามเหลี่ยมแล้ว ยังมีข้อความสำคัญต่อไปนี้อีกด้วย:

• ที่หย่อนลงมาบนฐาน ขณะเดียวกันก็เป็นค่ามัธยฐาน ซึ่งเป็นเส้นแบ่งครึ่งของมุมที่อยู่ระหว่างด้านเท่ากันกับฐาน
• ค่ามัธยฐาน (เส้นแบ่งครึ่ง, ความสูง) ที่ลากไปด้านข้างของรูปทรงเรขาคณิตนั้นมีค่าเท่ากัน

สามเหลี่ยมด้านเท่า

เรียกอีกอย่างว่าปกติ นี่คือสามเหลี่ยมที่ทุกด้านเท่ากัน แล้วมุมก็เท่ากันด้วย แต่ละอันมีอุณหภูมิ 60 องศา มาพิสูจน์คุณสมบัตินี้กัน

สมมุติว่าเรามีสามเหลี่ยม KMN เรารู้ว่า KM = NM = KN ซึ่งหมายความว่า ตามคุณสมบัติของมุมซึ่งอยู่ที่ฐานในรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ∟К = ∟М = ∟Н เนื่องจากตามทฤษฎีบท ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมคือ ∟К + ∟М + ∟Н = 180° จากนั้น 3 x ∟К = 180° หรือ ∟К = 60°, ∟М = 60°, ∟ น = 60°. ดังนั้นคำกล่าวนี้จึงได้รับการพิสูจน์แล้ว

ดังที่เห็นจากการพิสูจน์ข้างต้นตามทฤษฎีบท ผลรวมของมุมเท่ากับผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมอื่นๆ เท่ากับ 180 องศา ไม่จำเป็นต้องพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้อีก

นอกจากนี้ยังมีคุณสมบัติดังกล่าวของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า:

• ค่ามัธยฐาน, เส้นแบ่งครึ่ง, ความสูงในรูปทรงเรขาคณิตนั้นตรงกัน และความยาวคำนวณเป็น (a x √3): 2;
• หากเราอธิบายวงกลมรอบรูปหลายเหลี่ยมที่กำหนด รัศมีของมันจะเท่ากับ (a x √3): 3;
• หากคุณเขียนวงกลมในรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า รัศมีของมันจะเป็น (a x √3): 6;
• พื้นที่ของรูปทรงเรขาคณิตนี้คำนวณโดยสูตร: (a2 x √3) : 4.

สามเหลี่ยมป้าน

ตามคำจำกัดความ มุมหนึ่งของมันคือระหว่าง 90 ถึง 180 องศา แต่เนื่องจากมุมอีกสองมุมของรูปทรงเรขาคณิตนี้เป็นมุมแหลม เราก็สรุปได้ว่ามุมเหล่านั้นจะมีขนาดไม่เกิน 90 องศา ดังนั้น ทฤษฎีบทผลรวมของมุมสามเหลี่ยมจึงใช้คำนวณผลรวมของมุมในรูปสามเหลี่ยมป้าน ปรากฎว่าตามทฤษฎีบทข้างต้น เราสามารถพูดได้อย่างปลอดภัยว่าผลรวมของมุม สามเหลี่ยมป้านเท่ากับ 180 องศา ขอย้ำอีกครั้งว่าทฤษฎีบทนี้ไม่จำเป็นต้องได้รับการพิสูจน์อีกครั้ง

>>เรขาคณิต: ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยม บทเรียนที่สมบูรณ์

หัวข้อบทเรียน: ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยม

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

• รวบรวมและทดสอบความรู้ของนักเรียนในหัวข้อ: “ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยม”;
• การพิสูจน์คุณสมบัติของมุมของรูปสามเหลี่ยม
• การประยุกต์คุณสมบัตินี้ในการแก้ปัญหาง่ายๆ
• การใช้สื่อประวัติศาสตร์เพื่อพัฒนากิจกรรมการเรียนรู้ของนักเรียน
• ปลูกฝังทักษะความแม่นยำเมื่อสร้างแบบ

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

• ทดสอบทักษะการแก้ปัญหาของนักเรียน

แผนการเรียน:

1. สามเหลี่ยม;
2. ทฤษฎีบทเรื่องผลรวมของมุมของสามเหลี่ยม
3. งานตัวอย่าง.

สามเหลี่ยม.

ไฟล์:O.gif Triangle- รูปหลายเหลี่ยมที่ง่ายที่สุดซึ่งมี 3 จุดยอด (มุม) และ 3 ด้าน ส่วนหนึ่งของระนาบล้อมรอบด้วยจุดสามจุดและสามส่วนที่เชื่อมต่อจุดเหล่านี้เป็นคู่
จุดสามจุดในอวกาศที่ไม่อยู่บนเส้นตรงเดียวกันนั้นสอดคล้องกับระนาบเดียวเท่านั้น
รูปหลายเหลี่ยมใดๆ สามารถแบ่งออกเป็นรูปสามเหลี่ยมได้ - กระบวนการนี้เรียกว่า สามเหลี่ยม.
มีส่วนหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่อุทิศให้กับการศึกษากฎของรูปสามเหลี่ยมโดยเฉพาะ - ตรีโกณมิติ.

ทฤษฎีบทเรื่องผลรวมของมุมของสามเหลี่ยม

ไฟล์:T.gif ทฤษฎีบทผลรวมของมุมสามเหลี่ยมเป็นทฤษฎีบทคลาสสิกของเรขาคณิตแบบยุคลิดที่ระบุว่าผลรวมของมุมของรูปสามเหลี่ยมคือ 180°

การพิสูจน์" :

ให้ Δ ABC มาให้ ขอให้เราลากเส้นขนานกับ (AC) ผ่านจุดยอด B และทำเครื่องหมายจุด D บนเส้นนั้น เพื่อให้จุด A และ D อยู่บนด้านตรงข้ามของเส้น BC จากนั้นมุม (DBC) และมุม (ACB) จะเท่ากันกับเส้นขวางภายในที่มีเส้นขนาน BD และ AC และเส้นตัดขวาง (BC) จากนั้นผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมที่จุดยอด B และ C เท่ากับมุม (ABD) แต่มุม (ABD) และมุม (BAC) ที่จุดยอด A ของสามเหลี่ยม ABC นั้นเป็นด้านเดียวภายในโดยมีเส้นขนาน BD และ AC และเส้นตัดขวาง (AB) และผลรวมของพวกมันคือ 180° ดังนั้น ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมคือ 180° ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ผลที่ตามมา.

มุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับผลรวมของมุมสองมุมของรูปสามเหลี่ยมที่ไม่ได้อยู่ติดกัน

การพิสูจน์:

ให้ Δ ABC มาให้ จุด D อยู่บนเส้น AC โดยที่ A อยู่ระหว่าง C และ D จากนั้น BAD จะอยู่ภายนอกมุมของสามเหลี่ยมที่จุดยอด A และ A + BAD = 180° แต่ A + B + C = 180° ดังนั้น B + C = 180° – A ดังนั้น BAD = B + C ข้อพิสูจน์ได้รับการพิสูจน์แล้ว

ผลที่ตามมา.

มุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมมีค่ามากกว่ามุมใดๆ ของรูปสามเหลี่ยมที่ไม่ได้อยู่ติดกัน

งาน.

มุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมคือมุมที่อยู่ติดกับมุมใดๆ ของรูปสามเหลี่ยมนี้ พิสูจน์ว่ามุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับผลรวมของมุมสองมุมของรูปสามเหลี่ยมที่ไม่ได้อยู่ติดกัน
(รูปที่ 1)

สารละลาย:

ให้ Δ ABC ∠DAС เป็นภายนอก (รูปที่ 1) จากนั้น ∠DAC = 180°-∠BAC (โดยสมบัติของมุมที่อยู่ติดกัน) โดยทฤษฎีบทเกี่ยวกับผลรวมของมุมของสามเหลี่ยม ∠B+∠C = 180°-∠BAC จากความเท่าเทียมกันเหล่านี้เราได้รับ ∠DAС=∠В+∠С

ความจริงที่น่าสนใจ:

ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยม" :

ในเรขาคณิตโลบาเชฟสกี ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมจะน้อยกว่า 180 เสมอ ในเรขาคณิตยุคลิเดียนจะเท่ากับ 180 เสมอ ในเรขาคณิตรีมันน์ ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมจะมากกว่า 180 เสมอ

จากประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์:

Euclid (ศตวรรษที่ 3 ก่อนคริสต์ศักราช) ในงานของเขา "องค์ประกอบ" ให้คำจำกัดความต่อไปนี้: "เส้นขนานคือเส้นที่อยู่ในระนาบเดียวกันและเมื่อขยายออกไปทั้งสองทิศทางอย่างไม่มีกำหนด จะไม่บรรจบกันทั้งสองด้าน" .
โพซิโดเนียส (ศตวรรษที่ 1 ก่อนคริสต์ศักราช) “เส้นตรงสองเส้นวางอยู่ในระนาบเดียวกัน โดยมีระยะห่างเท่ากัน”
นักวิทยาศาสตร์ชาวกรีกโบราณ Pappus (ศตวรรษที่ 3 ก่อนคริสต์ศักราช) ได้แนะนำสัญลักษณ์ของเส้นคู่ขนาน - เครื่องหมาย = ต่อมานักเศรษฐศาสตร์ชาวอังกฤษ ริคาร์โด้ (ค.ศ. 1720-1823) ใช้สัญลักษณ์นี้เป็นเครื่องหมายเท่ากับ
เฉพาะในศตวรรษที่ 18 เท่านั้นที่พวกเขาเริ่มใช้สัญลักษณ์สำหรับเส้นคู่ขนาน - เครื่องหมาย ||
การเชื่อมต่อที่มีชีวิตระหว่างรุ่นต่างๆ จะไม่ถูกขัดจังหวะ ทุกๆ วันเราเรียนรู้ประสบการณ์ที่บรรพบุรุษของเราสั่งสมมา ชาวกรีกโบราณบนพื้นฐานของการสังเกตและประสบการณ์เชิงปฏิบัติได้ข้อสรุปแสดงสมมติฐานจากนั้นในการประชุมของนักวิทยาศาสตร์ - การประชุมสัมมนา ("งานเลี้ยง" อย่างแท้จริง - พวกเขาพยายามยืนยันและพิสูจน์สมมติฐานเหล่านี้ ครั้งนั้น มีคำกล่าวขึ้นว่า “ความจริงย่อมเกิดในความขัดแย้ง”

คำถาม:

1. สามเหลี่ยมคืออะไร?
2. ทฤษฎีบทเกี่ยวกับผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมบอกอะไร?
3. มุมภายนอกของสามเหลี่ยมเป็นเท่าใด?

การพิสูจน์:

• ให้สามเหลี่ยม ABC
• ผ่านจุดยอด B เราวาดเส้นตรง DK ขนานกับ AC ฐาน
• \angle CBK= \angle C เป็นเส้นขวางภายในที่มี DK และ AC ขนานกัน และมีเส้นตัด BC
• \angle DBA = \angle เส้นขวางภายในวางอยู่โดยมี DK \AC ขนานและเส้นตัด AB มุม DBK กลับด้านและเท่ากับ
• \มุม DBK = \มุม DBA + \มุม B + \มุม CBK
• เนื่องจากมุมที่กางออกมีค่าเท่ากับ 180 ^\circ และ \angle CBK = \angle C และ \angle DBA = \angle A เราจึงได้ 180 ^\circ = \มุม A + \มุม B + \มุม C

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ข้อพิสูจน์จากทฤษฎีบทเกี่ยวกับผลรวมของมุมของรูปสามเหลี่ยม:

1. ผลรวมของมุมแหลมของสามเหลี่ยมมุมฉากเท่ากับ 90°.
2. ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่ว มุมแหลมแต่ละมุมจะเท่ากับ 45°.
3. ในรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า แต่ละมุมจะเท่ากัน 60°.
4. ในรูปสามเหลี่ยมใดๆ มุมทุกมุมจะเป็นมุมแหลม หรือสองมุมจะเป็นมุมแหลม และมุมที่สามจะเป็นมุมป้านหรือมุมขวา
5. มุมภายนอกของสามเหลี่ยมเท่ากับผลรวมของสอง มุมภายในไม่ได้อยู่ติดกัน

ทฤษฎีบทมุมภายนอกของสามเหลี่ยม

มุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับผลรวมของมุม 2 มุมที่เหลือของรูปสามเหลี่ยมซึ่งไม่ได้อยู่ติดกับมุมภายนอกนี้

การพิสูจน์:

• จากรูปสามเหลี่ยม ABC โดยที่ BCD คือมุมภายนอก
• \มุม BAC + \มุม ABC +\มุม BCA = 180^0
• จากมุมที่เท่ากัน \มุม BCD + \มุม BCA = 180^0
• เราได้รับ \มุม BCD = \มุม BAC+\มุม ABC

(สรุปการอ้างอิง)

เรขาคณิตการมองเห็น ชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 หมายเหตุประกอบข้อ 4 ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยม

นักวิทยาศาสตร์ชาวฝรั่งเศสผู้ยิ่งใหญ่แห่งศตวรรษที่ 17 เบลส ปาสคาล เมื่อตอนเป็นเด็ก ฉันชอบปรับแต่งรูปทรงเรขาคณิต เขาคุ้นเคยกับไม้โปรแทรกเตอร์และรู้วิธีวัดมุม นักวิจัยรุ่นเยาว์สังเกตว่าสามเหลี่ยมทุกรูปผลรวมของมุมทั้งสามจะเท่ากัน - 180° “เราจะพิสูจน์เรื่องนี้ได้อย่างไร? - ความคิดปาสคาล “ท้ายที่สุดแล้ว เป็นไปไม่ได้ที่จะตรวจสอบผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมทั้งหมด เนื่องจากมุมเหล่านั้นมีจำนวนอนันต์” จากนั้นเขาก็ใช้กรรไกรตัดมุมทั้งสองของสามเหลี่ยมออกแล้วติดเข้ากับมุมที่สาม ผลลัพธ์ที่ได้คือมุมที่หมุน ซึ่งตามที่ทราบกันดีว่ามีค่าเท่ากับ 180° นี่เป็นการค้นพบครั้งแรกของเขาเอง ชะตากรรมต่อไปเด็กชายถูกกำหนดไว้ล่วงหน้าแล้ว

ในหัวข้อนี้ คุณจะได้เรียนรู้คุณสมบัติห้าประการของการสมภาคกันของสามเหลี่ยมมุมฉาก และบางทีอาจเป็นคุณสมบัติที่ได้รับความนิยมมากที่สุดของสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีมุม 30° ดูเหมือนว่าขาที่วางตรงข้ามกับมุม 30° เท่ากับครึ่งหนึ่งของด้านตรงข้ามมุมฉาก โดยการหารสามเหลี่ยมด้านเท่าด้วยความสูง เราจะได้ข้อพิสูจน์ของคุณสมบัตินี้ทันที

ทฤษฎีบท. ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมคือ 180° เพื่อพิสูจน์สิ่งนี้ ให้ลากเส้นผ่านด้านบนขนานกับฐาน มุมมืดจะเท่ากัน และมุมสีเทาจะเท่ากันราวกับว่ามันวางขวางอยู่บนเส้นคู่ขนาน มุมมืด มุมสีเทา และมุมเอเพ็กซ์ประกอบเป็นมุมขยาย ผลรวมของมุมเหล่านั้นคือ 180° จากทฤษฎีบท มุมของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าเท่ากับ 60° และผลรวมของมุมแหลมของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากเท่ากับ 90°

มุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมคือมุมที่อยู่ติดกับมุมของรูปสามเหลี่ยม ดังนั้น บางครั้งมุมของรูปสามเหลี่ยมจึงเรียกว่ามุมภายใน

ทฤษฎีบทเกี่ยวกับมุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยม. มุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับผลรวมของมุมภายในสองมุมที่ไม่ได้อยู่ติดกัน แท้จริงแล้ว มุมด้านนอกและด้านใน 2 อันที่ไม่อยู่ติดกัน เสริมมุมแรเงาได้สูงสุดถึง 180° จากทฤษฎีบทที่ว่ามุมภายนอกมีค่ามากกว่ามุมภายในใดๆ ที่ไม่อยู่ติดกัน

ทฤษฎีบทเกี่ยวกับความสัมพันธ์ระหว่างด้านและมุมของรูปสามเหลี่ยม. ในรูปสามเหลี่ยม มุมที่ใหญ่กว่าจะอยู่ตรงข้ามด้านที่ใหญ่กว่า และมุมที่ใหญ่กว่าจะอยู่ตรงข้ามมุมที่ใหญ่กว่า ดังต่อไปนี้ 1) ขามีค่าน้อยกว่าด้านตรงข้ามมุมฉาก 2) เส้นตั้งฉากน้อยกว่าเส้นเอียง

ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกบรรทัด . เนื่องจากเส้นตั้งฉากนั้นน้อยกว่าเส้นเอียงใดๆ ที่ลากจากจุดเดียวกัน ความยาวของมันจึงถือเป็นระยะห่างจากจุดถึงเส้นตรง

อสมการสามเหลี่ยม . ความยาวของด้านใดๆ ของรูปสามเหลี่ยมจะน้อยกว่าผลรวมของด้านอื่นๆ สองด้านของมัน กล่าวคือ ก< b + с , ข< а + с , กับ< а + ข . ผลที่ตามมา. ความยาวของเส้นประนั้นยาวกว่าส่วนที่เชื่อมต่อถึงปลายของมัน

สัญญาณแห่งความเท่าเทียมกัน
สามเหลี่ยมสี่เหลี่ยม

ทั้งสองด้าน. ถ้าสองขาของสามเหลี่ยมมุมฉากอันหนึ่งมีค่าเท่ากับสองขาของสามเหลี่ยมอีกอันหนึ่งตามลำดับ แสดงว่าสามเหลี่ยมนั้นเท่ากันทุกประการ

ตามแนวขาและมุมแหลมที่อยู่ติดกัน. ถ้าขาและมุมแหลมที่อยู่ติดกันของสามเหลี่ยมมุมฉากหนึ่งเท่ากันกับขาและมุมแหลมที่อยู่ติดกันของสามเหลี่ยมอื่นตามลำดับ แสดงว่าสามเหลี่ยมนั้นเท่ากันทุกประการ

ตามแนวขาและมุมแหลมตรงข้าม. ถ้าขาและมุมแหลมที่อยู่ตรงข้ามสามเหลี่ยมมุมฉากหนึ่งเท่ากันกับขาและมุมแหลมที่อยู่ตรงข้ามสามเหลี่ยมมุมฉากตามลำดับ แสดงว่าสามเหลี่ยมนั้นเท่ากันทุกประการ

โดยด้านตรงข้ามมุมฉากและมุมแหลม. ถ้าด้านตรงข้ามมุมฉากและมุมแหลมของสามเหลี่ยมมุมฉากอันหนึ่งเท่ากับด้านตรงข้ามมุมฉากและมุมแหลมของสามเหลี่ยมอื่นตามลำดับ แสดงว่าสามเหลี่ยมนั้นเท่ากันทุกประการ

การพิสูจน์สัญญาณเหล่านี้จะลดลงเหลือการทดสอบความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยมทันที

โดยขาและด้านตรงข้ามมุมฉาก. ถ้าขาและด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากอันหนึ่งเท่ากับขาและด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากอีกอันหนึ่งตามลำดับ สามเหลี่ยมนั้นจะเท่ากันทุกประการ

การพิสูจน์. มาแนบสามเหลี่ยมที่มีขาเท่ากันกัน เราได้สามเหลี่ยมหน้าจั่ว ความสูงที่ดึงจากจุดยอดจะเป็นค่ามัธยฐานด้วย จากนั้นรูปสามเหลี่ยมก็มีขาที่สองเท่ากัน และรูปสามเหลี่ยมทั้งสามด้านก็เท่ากัน

ทฤษฎีบท เกี่ยวกับคุณสมบัติของขาที่วางตรงข้ามมุม 30°. ขาที่อยู่ตรงข้ามกับมุม 30° เท่ากับครึ่งหนึ่งของด้านตรงข้ามมุมฉาก พิสูจน์โดยการเติมรูปสามเหลี่ยมให้เป็นด้านเท่ากันหมด

ทฤษฎีบทเกี่ยวกับสมบัติของจุดเส้นแบ่งครึ่งมุม. จุดใดๆ บนเส้นแบ่งครึ่งของมุมจะมีระยะห่างจากด้านข้างเท่ากัน ถ้าจุดอยู่ห่างจากด้านข้างของมุมเท่ากัน จุดนั้นจะอยู่บนเส้นแบ่งครึ่งของมุม พิสูจน์โดยการวาดเส้นตั้งฉากสองเส้นที่ด้านข้างของมุมแล้วพิจารณารูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

จุดที่ดีที่สอง . เส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดหนึ่ง

ระยะห่างระหว่างเส้นคู่ขนาน. ทฤษฎีบท. จุดทั้งหมดของแต่ละเส้นขนานสองเส้นอยู่ห่างจากอีกเส้นหนึ่งเท่ากัน ทฤษฎีบทนี้แสดงถึงคำจำกัดความของระยะห่างระหว่างเส้นคู่ขนาน

คำนิยาม. ระยะห่างระหว่างเส้นขนานสองเส้นคือระยะห่างจากจุดใดๆ ของเส้นคู่ขนานเส้นหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่ง

การพิสูจน์ทฤษฎีบทโดยละเอียด

นี่คือบันทึกอ้างอิงหมายเลข 4 เกี่ยวกับเรขาคณิตในชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 เลือกขั้นตอนถัดไป:

ทฤษฎีบท. ผลรวมของมุมภายในของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับมุมฉากสองมุม

ลองหาสามเหลี่ยม ABC กัน (รูปที่ 208) ให้เราแสดงมุมภายในของมันด้วยเลข 1, 2 และ 3 ให้เราพิสูจน์กัน

∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°

ลองวาดผ่านจุดยอดของสามเหลี่ยม เช่น B ซึ่งเป็นเส้นตรง MN ขนานกับ AC

ที่จุดยอด B เรามีมุมสามมุม: ∠4, ∠2 และ ∠5 ผลรวมของมันคือมุมตรง ดังนั้นมันจึงเท่ากับ 180°:

∠4 + ∠2 + ∠5 = 180°

แต่ ∠4 = ∠1 เป็นมุมขวางภายในที่มีเส้นขนาน MN และ AC และซีแคนต์ AB

∠5 = ∠3 - นี่คือมุมขวางภายในที่มีเส้นขนาน MN และ AC และเส้นตัด BC

ซึ่งหมายความว่า ∠4 และ ∠5 สามารถแทนที่ได้ด้วยค่าเท่ากับ ∠1 และ ∠3

ดังนั้น ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180° ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

2. คุณสมบัติของมุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยม

ทฤษฎีบท. มุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับผลรวมของมุมภายในสองมุมที่ไม่ได้อยู่ติดกัน

ที่จริงแล้ว ในรูปสามเหลี่ยม ABC (รูปที่ 209) ∠1 + ∠2 = 180° - ∠3 แต่ยังรวมถึง ∠ВСD ด้วย มุมภายนอกของสามเหลี่ยมนี้ซึ่งไม่อยู่ติดกับ ∠1 และ ∠2 ก็เท่ากับ 180° เช่นกัน - ∠3 .

ดังนั้น:

∠1 + ∠2 = 180° - ∠3;

∠BCD = 180° - ∠3

ดังนั้น ∠1 + ∠2= ∠BCD

สมบัติที่ได้รับของมุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมทำให้เนื้อหาของทฤษฎีบทที่พิสูจน์แล้วก่อนหน้านี้เกี่ยวกับมุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมชัดเจนขึ้น ซึ่งระบุเพียงว่ามุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมมีค่ามากกว่ามุมภายในแต่ละมุมของรูปสามเหลี่ยมที่ไม่ได้อยู่ติดกัน บัดนี้เป็นที่ยอมรับแล้วว่ามุมภายนอกเท่ากับผลรวมของมุมภายในทั้งสองมุมซึ่งไม่ได้อยู่ติดกัน

3. คุณสมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีมุม 30°

ทฤษฎีบท. ขาของสามเหลี่ยมมุมฉากที่วางตรงข้ามกับมุม 30° เท่ากับครึ่งหนึ่งของด้านตรงข้ามมุมฉาก

ให้มุม B ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ACB เท่ากับ 30° (รูปที่ 210) จากนั้นมุมแหลมอีกอันจะเท่ากับ 60°

ลองพิสูจน์ว่า AC ขาเท่ากับครึ่งหนึ่งของด้านตรงข้ามมุมฉาก AB ลองขยายขา AC ออกไปเลยจุดยอดของมุมฉาก C และแยกส่วน CM ไว้เท่ากับส่วน AC ลองเชื่อมต่อจุด M กับจุด B กัน ผลลัพธ์สามเหลี่ยม ВСМ เท่ากับสามเหลี่ยม ACB เราจะเห็นว่าแต่ละมุมของสามเหลี่ยม ABM เท่ากับ 60° ดังนั้น สามเหลี่ยมนี้จึงเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า

AC ขาเท่ากับครึ่ง AM และเนื่องจาก AM เท่ากับ AB AC ขาจะเท่ากับครึ่งหนึ่งของด้านตรงข้ามมุมฉาก AB