สามเหลี่ยมซึ่งมีชื่อว่าอะไร สามเหลี่ยมป้าน: ความยาวของด้าน, ผลรวมของมุม สามเหลี่ยมป้านมีเส้นรอบวง คุณสมบัติทั่วไปของสามเหลี่ยมทั้งหมด

สามเหลี่ยม (จากมุมมองของอวกาศยูคลิด) เป็นรูปทรงเรขาคณิตซึ่งเกิดขึ้นจากสามส่วนที่เชื่อมต่อสามจุดที่ไม่ได้อยู่บนเส้นตรงเดียว สามจุดที่ก่อตัวเป็นรูปสามเหลี่ยมเรียกว่าจุดยอดของมัน และส่วนของเส้นที่เชื่อมต่อจุดยอดนั้นเรียกว่าด้านของสามเหลี่ยม สามเหลี่ยมคืออะไร?

สามเหลี่ยมเท่ากับ

มีสามสัญญาณของความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยม สามเหลี่ยมอะไรเรียกว่าเท่ากัน? เหล่านี้คือผู้ที่:

• สองด้านและมุมระหว่างด้านเหล่านี้เท่ากัน
• ด้านหนึ่งและสองมุมที่อยู่ติดกันมีค่าเท่ากัน
• ทั้งสามด้านเท่ากัน

สามเหลี่ยมมุมฉากมีเครื่องหมายความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้:

• ตามมุมแหลมและด้านตรงข้ามมุมฉาก
• ตามมุมแหลมและขา;
• บนสองขา
• ตามแนวด้านตรงข้ามมุมฉากและสายสวน

สามเหลี่ยมคืออะไร

จากจำนวนด้านเท่ากัน สามเหลี่ยมสามารถเป็น:

• ด้านเท่ากันหมด เป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีด้านเท่ากันสามด้าน มุมทั้งหมดในสามเหลี่ยมด้านเท่าคือ 60 องศา นอกจากนี้ ศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบและที่จารึกไว้จะตรงกัน
• ไม่เท่ากัน สามเหลี่ยมที่มีด้านไม่เท่ากัน
• หน้าจั่ว. เป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีสองด้านเท่ากัน ด้านที่เหมือนกันสองด้านคือด้าน และด้านที่สามคือฐาน ในสามเหลี่ยมดังกล่าว เส้นแบ่งครึ่ง ค่ามัธยฐาน และความสูงจะเท่ากันหากถูกลดระดับลงไปที่ฐาน

ตามขนาดของมุม สามเหลี่ยมสามารถเป็น:

1. ป้าน - เมื่อมุมใดมุมหนึ่งมีค่ามากกว่า 90 องศา นั่นคือ เมื่อมุมป้าน
2. มุมแหลม - ถ้าทั้งสามมุมในรูปสามเหลี่ยมเป็นมุมแหลม นั่นคือ มีค่าน้อยกว่า 90 องศา
3. สามเหลี่ยมใดเรียกว่าสามเหลี่ยมมุมฉาก นี่คือมุมฉากหนึ่งมุมเท่ากับ 90 องศา ขาในนั้นเรียกว่าสองด้านที่สร้างมุมนี้ และด้านตรงข้ามมุมฉากคือด้านตรงข้ามมุมฉาก

คุณสมบัติพื้นฐานของสามเหลี่ยม

1. มุมที่เล็กกว่าจะอยู่ตรงข้ามกับด้านที่เล็กกว่าเสมอ และมุมที่ใหญ่กว่าจะอยู่ตรงข้ามกับด้านที่ใหญ่กว่าเสมอ
2. มุมเท่ากันจะอยู่ตรงข้ามกับด้านเท่ากันเสมอ และด้านตรงข้ามจะมีมุมต่างกันเสมอ โดยเฉพาะในสามเหลี่ยมด้านเท่า ทุกมุมมีค่าเท่ากัน
3. ในรูปสามเหลี่ยมใดๆ ผลรวมของมุมคือ 180 องศา
4. สามารถรับมุมภายนอกได้โดยขยายด้านใดด้านหนึ่งเป็นสามเหลี่ยม ค่าของมุมด้านนอกจะเท่ากับผลรวมของมุมภายในที่ไม่อยู่ประชิดกัน
5. ด้านของสามเหลี่ยมมากกว่าผลต่างของอีกสองด้านที่เหลือ แต่น้อยกว่าผลรวม

ในเรขาคณิตเชิงพื้นที่ของ Lobachevsky ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมจะน้อยกว่า 180 องศาเสมอ บนทรงกลม ค่านี้มากกว่า 180 องศา ความแตกต่างระหว่าง 180 องศากับผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมเรียกว่าข้อบกพร่อง

เมื่อเรียนคณิตศาสตร์ นักเรียนเริ่มทำความคุ้นเคยกับรูปทรงเรขาคณิตประเภทต่างๆ วันนี้เราจะมาพูดถึงสามเหลี่ยมประเภทต่างๆ

คำนิยาม

รูปทรงเรขาคณิตที่มีจุดสามจุดที่ไม่อยู่บนเส้นตรงเดียวกันเรียกว่าสามเหลี่ยม

ส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมระหว่างจุดเรียกว่าด้าน และจุดเรียกว่าจุดยอด จุดยอดจะแสดงด้วยอักษรละตินตัวพิมพ์ใหญ่ เช่น A, B, C

ด้านข้างระบุด้วยชื่อของจุดสองจุดที่ประกอบด้วย - AB, BC, AC ตัดกันด้านเป็นมุม ด้านล่างถือเป็นฐานของรูป

ข้าว. 1. สามเหลี่ยม ABC

ประเภทของสามเหลี่ยม

สามเหลี่ยมแบ่งตามมุมและด้านข้าง สามเหลี่ยมแต่ละประเภทมีคุณสมบัติของตัวเอง

มีสามเหลี่ยมสามประเภทที่มุม:

• มุมแหลม;
• สี่เหลี่ยม
• ป้าน.

ทุกมุม มุมแหลมสามเหลี่ยมมุมแหลม นั่นคือ การวัดดีกรีของแต่ละรูปต้องไม่เกิน 90 0

สี่เหลี่ยมสามเหลี่ยมมีมุมฉาก อีกสองมุมที่เหลือจะเป็นมุมแหลมเสมอ เพราะไม่เช่นนั้นผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมจะเกิน 180 องศา ซึ่งเป็นไปไม่ได้ ด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมฉากเรียกว่าด้านตรงข้ามมุมฉากและอีกสองขา ด้านตรงข้ามมุมฉากมีค่ามากกว่าขาเสมอ

ป้านสามเหลี่ยมมีมุมป้าน นั่นคือมุมที่มากกว่า 90 องศา อีกสองมุมในรูปสามเหลี่ยมนั้นจะเป็นมุมแหลม

ข้าว. 2. ประเภทของสามเหลี่ยมในมุม

สามเหลี่ยมพีทาโกรัสคือสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีด้านเป็น 3, 4, 5

ยิ่งไปกว่านั้น ด้านที่ใหญ่กว่าคือด้านตรงข้ามมุมฉาก

สามเหลี่ยมดังกล่าวมักใช้สร้างปัญหาง่าย ๆ ในเรขาคณิต ดังนั้น จำไว้ว่า ถ้าสองด้านของสามเหลี่ยมเป็น 3 แล้วด้านที่สามจะเป็น 5 อย่างแน่นอน ซึ่งจะทำให้การคำนวณง่ายขึ้น

ประเภทของสามเหลี่ยมที่ด้านข้าง:

• ด้านเท่ากันหมด;
• หน้าจั่ว;
• อเนกประสงค์

ด้านเท่ากันหมดสามเหลี่ยมคือรูปสามเหลี่ยมที่ด้านทุกด้านเท่ากัน มุมทุกมุมของสามเหลี่ยมดังกล่าวมีค่าเท่ากับ 60 0 นั่นคือมุมแหลมเสมอ

หน้าจั่วสามเหลี่ยมคือสามเหลี่ยมที่มีด้านเท่ากันสองด้านเท่านั้น ด้านเหล่านี้เรียกว่าด้านข้างและด้านที่สาม - ฐาน นอกจากนี้ มุมที่ฐานของสามเหลี่ยมหน้าจั่วจะเท่ากันและแหลมเสมอ

อเนกประสงค์หรือรูปสามเหลี่ยมมุมฉากคือรูปสามเหลี่ยมที่ความยาวและมุมทั้งหมดไม่เท่ากัน

หากไม่มีคำอธิบายเกี่ยวกับตัวเลขในปัญหา เป็นที่ยอมรับกันโดยทั่วไปว่าเรากำลังพูดถึงรูปสามเหลี่ยมโดยพลการ

ข้าว. 3. ประเภทของสามเหลี่ยมที่ด้านข้าง

ผลรวมของมุมทั้งหมดของสามเหลี่ยม โดยไม่คำนึงถึงประเภทของมันคือ 1800

ตรงข้ามมุมที่ใหญ่กว่าคือด้านที่ใหญ่กว่า และความยาวของด้านใดด้านหนึ่งก็น้อยกว่าผลรวมของอีกสองด้านที่เหลือเสมอ คุณสมบัติเหล่านี้ได้รับการยืนยันโดยทฤษฎีบทอสมการสามเหลี่ยมไม่เท่ากัน

มีแนวคิดเรื่องสามเหลี่ยมทองคำ นี่คือสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ซึ่งด้านทั้งสองเป็นสัดส่วนกับฐานและเท่ากับจำนวนหนึ่ง ในรูปดังกล่าว มุมจะเป็นสัดส่วนกับอัตราส่วน 2:2:1

งาน:

มีสามเหลี่ยมที่มีด้านยาว 6 ซม. 3 ซม. 4 ซม. หรือไม่?

สารละลาย:

ในการแก้ปัญหานี้ คุณต้องใช้อสมการ a

เราได้เรียนรู้อะไรบ้าง?

จากเนื้อหานี้จากหลักสูตรคณิตศาสตร์ชั้นประถมศึกษาปีที่ 5 เราได้เรียนรู้ว่าสามเหลี่ยมถูกจำแนกตามด้านและมุม สามเหลี่ยมมีคุณสมบัติบางอย่างที่สามารถใช้ในการแก้ปัญหา

สามเหลี่ยมที่มีด้านยาวไม่เท่ากัน เรียกว่า อเนกประสงค์.

สามเหลี่ยมที่มีสองด้านเท่ากันจะแสดงเป็น หน้าจั่ว. เรียกว่าด้านเดียวกัน ด้านข้าง, บุคคลที่สาม พื้นฐานคำจำกัดความต่อไปนี้จะเป็นความจริงเท่ากัน ฐานของรูปสามเหลี่ยมคือด้านของสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่ไม่เท่ากับสองด้านที่เหลือ

ใน สามเหลี่ยมหน้าจั่วมุมฐานเท่ากัน ส่วนสูง ค่ามัธยฐาน bisectorสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่ลากไปที่ฐานจะรวมกัน

สามเหลี่ยมโดยมีด้านเท่ากันทุกประการ เรียกว่า ด้านเท่ากันหมดหรือ ถูกต้อง. ในรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า มุมทั้งหมดจะอยู่ที่ 60° และศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกไว้และที่ล้อมรอบอยู่ในแนวเดียวกัน

ประเภทของสามเหลี่ยมขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ของมุม

สามเหลี่ยมที่มีเฉพาะมุมน้อยกว่า 90 0 (เฉียบพลัน) เรียกว่า มุมแหลม.

สามเหลี่ยมที่แสดงมุม 90 0 เรียกว่า สี่เหลี่ยม. ด้านของรูปสามเหลี่ยมที่ทำมุมฉากมักจะแสดงแทน ขาและด้านตรงข้ามมุมฉาก - ด้านตรงข้ามมุมฉาก.

วันนี้เราจะไปที่ประเทศเรขาคณิต ซึ่งเราจะทำความคุ้นเคยกับรูปสามเหลี่ยมประเภทต่างๆ

ตรวจสอบรูปทรงเรขาคณิตและค้นหา "พิเศษ" ในหมู่พวกเขา (รูปที่ 1)

ข้าว. 1. ภาพประกอบเช่น

เราจะเห็นว่าตัวเลขที่ 1, 2, 3, 5 เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส แต่ละคนมีชื่อของตัวเอง (รูปที่ 2)

ข้าว. 2. สี่เหลี่ยม

ซึ่งหมายความว่าตัวเลข "พิเศษ" เป็นรูปสามเหลี่ยม (รูปที่ 3)

ข้าว. 3. ภาพประกอบเช่น

สามเหลี่ยมเป็นรูปที่ประกอบด้วยสามจุดที่ไม่ติดอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน และสามส่วนที่เชื่อมต่อจุดเหล่านี้เป็นคู่

จุดที่เรียกว่า จุดยอดสามเหลี่ยม, เซ็กเมนต์ - his ปาร์ตี้. ด้านของรูปสามเหลี่ยม มีมุมสามมุมที่จุดยอดของสามเหลี่ยม

ลักษณะสำคัญของรูปสามเหลี่ยมคือ สามด้านและสามมุมสามเหลี่ยมแบ่งตามมุม เฉียบพลัน สี่เหลี่ยม และป้าน

สามเหลี่ยมเรียกว่ามุมแหลม ถ้ามุมทั้งสามของมันเป็นมุมแหลม นั่นคือ น้อยกว่า 90 ° (รูปที่ 4)

ข้าว. 4. สามเหลี่ยมเฉียบพลัน

สามเหลี่ยมเรียกว่ามุมฉาก ถ้ามุมหนึ่งของมันคือ 90° (รูปที่ 5)

ข้าว. 5. สามเหลี่ยมขวา

สามเหลี่ยมเรียกว่ามุมป้าน ถ้ามุมหนึ่งของมันคือมุมป้าน นั่นคือมากกว่า 90° (รูปที่ 6)

ข้าว. 6. สามเหลี่ยมป้าน

จากจำนวนด้านเท่ากัน สามเหลี่ยมคือด้านเท่า หน้าจั่ว มาตราส่วน

สามเหลี่ยมหน้าจั่วเป็นสามเหลี่ยมที่มีด้านสองด้านเท่ากัน (รูปที่ 7)

ข้าว. 7. สามเหลี่ยมหน้าจั่ว

ด้านเหล่านี้เรียกว่า ด้านข้าง, ด้านที่สาม - พื้นฐาน. ในรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว มุมที่ฐานเท่ากัน

สามเหลี่ยมหน้าจั่วคือ เฉียบพลันและป้าน(รูปที่ 8) .

ข้าว. 8. สามเหลี่ยมหน้าจั่วเฉียบพลันและป้าน

เรียกว่าสามเหลี่ยมด้านเท่าซึ่งทั้งสามด้านเท่ากัน (รูปที่ 9)

ข้าว. 9. สามเหลี่ยมด้านเท่า

ในรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า ทุกมุมเท่ากัน. สามเหลี่ยมด้านเท่าเสมอ มุมแหลม

สามเหลี่ยมเรียกว่าเอนกประสงค์ซึ่งทั้งสามด้านมีความยาวต่างกัน (รูปที่ 10)

ข้าว. 10. สามเหลี่ยมมุมฉาก

ทำงานให้เสร็จ แบ่งสามเหลี่ยมเหล่านี้เป็นสามกลุ่ม (รูปที่ 11)

ข้าว. 11. ภาพประกอบสำหรับงาน

ขั้นแรกให้กระจายตามขนาดของมุม

สามเหลี่ยมเฉียบพลัน: No. 1, No. 3

สามเหลี่ยมมุมฉาก: #2, #6.

สามเหลี่ยมป้าน: #4, #5.

สามเหลี่ยมเหล่านี้แบ่งออกเป็นกลุ่มตามจำนวนด้านเท่ากัน

สามเหลี่ยมมุมฉาก: ลำดับที่ 4, ลำดับที่ 6

สามเหลี่ยมหน้าจั่ว: หมายเลข 2, หมายเลข 3, หมายเลข 5

สามเหลี่ยมด้านเท่า: ลำดับที่ 1

ทบทวนภาพวาด

ลองนึกดูว่าสามเหลี่ยมแต่ละอันทำมาจากลวดอะไร (รูปที่ 12)

ข้าว. 12. ภาพประกอบสำหรับงาน

เถียงแบบนี้ก็ได้

ลวดชิ้นแรกแบ่งออกเป็นสามส่วนเท่าๆ กัน คุณจึงสร้างสามเหลี่ยมด้านเท่าได้ มันแสดงให้เห็นที่สามในรูป

ลวดชิ้นที่สองแบ่งออกเป็นสามส่วน คุณจึงสร้างรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าได้ จะแสดงเป็นอันดับแรกในภาพ

ลวดชิ้นที่สามแบ่งออกเป็นสามส่วน โดยที่ทั้งสองส่วนนั้นมีความยาวเท่ากัน คุณจึงสามารถสร้างสามเหลี่ยมหน้าจั่วออกมาได้ มันแสดงให้เห็นที่สองในรูป

วันนี้ในบทเรียนนี้ เราได้ทำความคุ้นเคยกับรูปสามเหลี่ยมประเภทต่างๆ

บรรณานุกรม

1. เอ็มไอ โมโร, แมสซาชูเซตส์ Bantova และอื่น ๆ คณิตศาสตร์: ตำราเรียน. เกรด 3: ใน 2 ส่วน ตอนที่ 1 - ม.: "การตรัสรู้", 2555
2. เอ็มไอ โมโร, แมสซาชูเซตส์ Bantova และอื่น ๆ คณิตศาสตร์: ตำราเรียน. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 3: ใน 2 ส่วนตอนที่ 2 - ม.: "การตรัสรู้", 2555
3. เอ็มไอ โมโร. บทเรียนคณิตศาสตร์: แนวทางปฏิบัติสำหรับครูผู้สอน เกรด 3 - ม.: การศึกษา, 2555.
4. เอกสารกำกับดูแล การติดตามและประเมินผลการเรียนรู้ - ม.: "การตรัสรู้", 2011.
5. "โรงเรียนแห่งรัสเซีย": โปรแกรมสำหรับโรงเรียนประถม - ม.: "การตรัสรู้", 2011.
6. เอสไอ วอลคอฟ. คณิตศาสตร์: งานทดสอบ เกรด 3 - ม.: การศึกษา, 2555.
7. ว.น. รุดนิทสกายา การทดสอบ - ม.: "สอบ", 2555.

1. Nsportal.ru ().
2. Prosv.ru ().
3. Do.gendocs.ru ().

การบ้าน

1. จบวลี

ก) สามเหลี่ยมเป็นรูปที่ประกอบด้วย ... ไม่ได้นอนอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน และ ... เชื่อมต่อจุดเหล่านี้เป็นคู่

b) คะแนนเรียกว่า … , เซ็กเมนต์ - his … . ด้านของรูปสามเหลี่ยมที่จุดยอดของรูปสามเหลี่ยม ….

ค) ตามขนาดของมุม สามเหลี่ยมคือ ..., ..., ....

d) จากจำนวนด้านเท่ากัน สามเหลี่ยมคือ ..., ..., ....

2. วาด

ก) สามเหลี่ยมมุมฉาก

b) สามเหลี่ยมแหลม;

c) สามเหลี่ยมป้าน

d) สามเหลี่ยมด้านเท่า

จ) สามเหลี่ยมมุมฉาก

e) สามเหลี่ยมหน้าจั่ว

3. สร้างงานในหัวข้อบทเรียนสำหรับสหายของคุณ

สามเหลี่ยม . สามเหลี่ยมเฉียบพลัน ป้าน และสามเหลี่ยมมุมฉาก

ขาและด้านตรงข้ามมุมฉาก หน้าจั่วและสามเหลี่ยมด้านเท่า

ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยม

มุมด้านนอกของรูปสามเหลี่ยม สัญญาณความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม

เส้นและจุดที่ยอดเยี่ยมในรูปสามเหลี่ยม: ความสูง ค่ามัธยฐาน

bisectors, ค่ามัธยฐานอี ตั้งฉาก, ออร์โธเซ็นเตอร์,

จุดศูนย์ถ่วง จุดศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบ ศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกไว้

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส อัตราส่วนกว้างยาวของรูปสามเหลี่ยมตามอำเภอใจ

สามเหลี่ยม เป็นรูปหลายเหลี่ยมที่มีสามด้าน (หรือสามมุม) ด้านข้างของรูปสามเหลี่ยมมักใช้อักษรตัวเล็กแทน ซึ่งตรงกับตัวพิมพ์ใหญ่ที่แสดงถึงจุดยอดที่อยู่ตรงข้ามกัน

หากทั้งสามมุมเป็นมุมแหลม ( รูปที่ 20) แสดงว่า สามเหลี่ยมแหลม . หากมุมใดมุมหนึ่งถูกต้อง(ค, รูปที่ 21), นั่นคือ สามเหลี่ยมมุมฉาก; ข้างก , ขเกิดเป็นมุมฉากเรียกว่า ขา; ด้านข้างคตรงข้ามมุมฉากเรียกว่า ด้านตรงข้ามมุมฉาก. ถ้าหนึ่งในมุมป้าน ( B, รูปที่ 22), นั่นคือ สามเหลี่ยมป้าน


สามเหลี่ยม ABC (รูปที่ 23) - หน้าจั่ว, ถ้า สองด้านเท่ากันเอ= ค); ด้านเท่ากันนี้เรียกว่า ด้านข้างบุคคลที่สามเรียกว่า พื้นฐานสามเหลี่ยม. สามเหลี่ยมเอบีซี (รูปที่ 24) - ด้านเท่ากันหมด, ถ้า ทั้งหมดด้านเท่ากันเอ = ข = ค). โดยทั่วไป ( เอ ≠ ข ≠ ค) เรามี สเกลเน่สามเหลี่ยม .

คุณสมบัติพื้นฐานของสามเหลี่ยม ในรูปสามเหลี่ยมใดๆ:

1. มีมุมที่ใหญ่กว่าตรงข้ามด้านที่ใหญ่กว่า และในทางกลับกัน

2. มุมเท่ากันอยู่ตรงข้ามด้านเท่ากัน และกลับกัน

โดยเฉพาะทุกมุมใน ด้านเท่ากันหมดสามเหลี่ยมมีค่าเท่ากัน

3. ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมคือ 180 º .

จากคุณสมบัติสองประการสุดท้ายจะเป็นไปตามที่แต่ละมุมอยู่ในด้านเท่ากันหมด

สามเหลี่ยมคือ60 º.

4. ต่อด้านหนึ่งของสามเหลี่ยม (AC, รูปที่ 25) เราได้รับ ภายนอก

มุม BCD . มุมภายนอกของสามเหลี่ยมเท่ากับผลรวมของมุมภายใน

ไม่เกี่ยวกัน :BCD=A+B.

5. ใด ๆ ด้านของสามเหลี่ยมมีค่าน้อยกว่าผลบวกของอีกสองด้านและอื่นๆ

ความแตกต่างของพวกเขา (เอ < ข + ค, เอ > ข – ค;ข < เอ + ค, ข > เอ – ค;ค < เอ + ข,ค > เอ – ข).

สัญญาณความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม

สามเหลี่ยมจะเท่ากันถ้าเท่ากันตามลำดับ:

เอ ) สองด้านและมุมระหว่างพวกเขา

ข ) สองมุมและด้านที่อยู่ติดกัน

c) สามด้าน

สัญญาณความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมมุมฉาก

สอง สี่เหลี่ยมสามเหลี่ยมจะเท่ากัน ถ้าเงื่อนไขใด ๆ ต่อไปนี้เป็นจริง:

1) ขาของพวกเขาเท่ากัน

2) ขาและด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมหนึ่งเท่ากับขาและด้านตรงข้ามมุมฉากของอีกรูปหนึ่ง

3) ด้านตรงข้ามมุมฉากและมุมแหลมของสามเหลี่ยมหนึ่งเท่ากับด้านตรงข้ามมุมฉากและมุมแหลมของอีกรูปหนึ่ง

4) ขาและมุมแหลมที่อยู่ติดกันของสามเหลี่ยมหนึ่งมีค่าเท่ากับขาและมุมแหลมที่อยู่ติดกันของอีกรูปหนึ่ง

5) ขาและมุมแหลมตรงข้ามของสามเหลี่ยมหนึ่งเท่ากับขาและ ตรงข้ามมุมแหลมของอีกด้านหนึ่ง

เส้นและจุดที่ยอดเยี่ยมในรูปสามเหลี่ยม

ส่วนสูง สามเหลี่ยมคือตั้งฉาก,ตกจากจุดยอดใด ๆ ไปยังด้านตรงข้าม ( หรือความต่อเนื่อง). ด้านนี้เรียกว่าฐานของสามเหลี่ยม . ระดับความสูงทั้งสามของสามเหลี่ยมตัดกันเสมอณ จุดหนึ่งเรียกว่า orthocenterสามเหลี่ยม. orthocenter ของรูปสามเหลี่ยมเฉียบพลัน (pointอู๋ , รูปที่ 26) อยู่ภายในสามเหลี่ยมและorthocenter ของสามเหลี่ยมป้าน (pointอู๋ , รูปที่ 27) – ข้างนอก; จุดศูนย์กลางออร์โธเซ็นเตอร์ของสามเหลี่ยมมุมฉากตรงกับจุดยอดของมุมฉาก

ค่ามัธยฐาน - นี้ ส่วน เชื่อมจุดยอดใดๆ ของสามเหลี่ยมกับจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้าม ค่ามัธยฐานสามของรูปสามเหลี่ยม (พ.ศ. , พ.ศ. , CF , fig.28) ตัดกันที่จุดหนึ่ง อู๋ ซึ่งอยู่ในรูปสามเหลี่ยมเสมอและเป็นของเขา จุดศูนย์ถ่วง. จุดนี้แบ่งแต่ละค่ามัธยฐาน 2:1 จากด้านบน

แบ่งครึ่ง - นี้ ส่วนแบ่งครึ่งมุมจากบนลงล่าง ทางแยกกับฝั่งตรงข้าม สามเสี้ยวของสามเหลี่ยม (พ.ศ. , พ.ศ. , CF , fig.29) ตัดกันที่จุดหนึ่ง โอ้ นอนอยู่ในสามเหลี่ยมเสมอและ สิ่งมีชีวิต จารึกวงกลมตรงกลาง(ดูหัวข้อ "จารึกและรูปหลายเหลี่ยมที่ล้อมรอบ)

bisector แบ่งฝั่งตรงข้ามออกเป็นส่วนๆ ตามสัดส่วนของด้านประชิด ; ตัวอย่างเช่น ในรูปที่ 29 AE : CE = AB : BC .

มัธยฐานตั้งฉาก เป็นเส้นตั้งฉากจากค่าเฉลี่ยจุดแบ่ง (ด้านข้าง) เส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากสามเส้นของสามเหลี่ยม ABC(KO , MO , NO , fig.30 ) ตัดกันที่จุดหนึ่ง O ซึ่งก็คือ ศูนย์ วงกลมล้อมรอบ (จุด K , M , N จุดกึ่งกลางของด้านของรูปสามเหลี่ยมเอบีซี).

ในรูปสามเหลี่ยมมุมแหลม จุดนี้อยู่ภายในสามเหลี่ยม ในป้าน - ภายนอก; เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า - ตรงกลางด้านตรงข้ามมุมฉาก Orthocenter, จุดศูนย์ถ่วง, จุดศูนย์กลางของเส้นรอบวงและศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกไว้ เกิดขึ้นพร้อมกันในสามเหลี่ยมด้านเท่าเท่านั้น

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก กำลังสองของความยาวด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของกำลังสองของความยาวของขา

การพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเห็นได้ชัดจากรูปที่ 31 พิจารณาสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC มีขา ก , ขและด้านตรงข้ามมุมฉาก ค.

มาสร้างสี่เหลี่ยมกันเถอะ AKMB โดยใช้ด้านตรงข้ามมุมฉาก AB เป็นด้านข้าง แล้วขยายด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC เพื่อให้ได้สี่เหลี่ยม CDEF ที่มีด้านเท่ากับเอ + ข .ตอนนี้เป็นที่ชัดเจนว่าพื้นที่ของสี่เหลี่ยม CDEF คือ ( a+b) 2 . ในทางกลับกันสิ่งนี้ พื้นที่เท่ากับผลรวมพื้นที่ สามเหลี่ยมมุมฉากสี่รูปและสี่เหลี่ยม AKMB นั่นคือ

ค 2 + 4 (อะบี / 2) = ค 2 + 2 ท้อง

จากที่นี่,

ค 2 + 2 อะบี= (a+b) 2 ,

และในที่สุดเราก็มี:

ค 2 =เอ 2 +ข 2 .

อัตราส่วนกว้างยาวของรูปสามเหลี่ยมตามอำเภอใจ

ในกรณีทั่วไป (สำหรับรูปสามเหลี่ยมตามอำเภอใจ) เรามี:

ค 2 =เอ 2 +ข 2 – 2อะบี· cos ค,

ที่ไหน C - มุมระหว่างด้านเอและ ข .