Ako sa volá trojuholník v ktorom. Tupý trojuholník: dĺžka strán, súčet uhlov. Opísaný tupý trojuholník. Vlastnosti spoločné pre všetky trojuholníky

Trojuholník (z pohľadu Euklidovho priestoru) je geometrický útvar, ktorý tvoria tri úsečky spájajúce tri body, ktoré neležia na jednej priamke. Tri body, ktoré tvoria trojuholník, sa nazývajú jeho vrcholy a segmenty spájajúce vrcholy sa nazývajú strany trojuholníka. Čo sú to trojuholníky?

Rovnaké trojuholníky

Existujú tri znaky toho, že trojuholníky sú rovnaké. Aké trojuholníky sa nazývajú rovnaké? Sú to tie s:

  • dve strany a uhol medzi týmito stranami sú rovnaké;
  • rovná jednej strane a dvom susedným rohom;
  • všetky tri strany sú rovnaké.

Pravouhlé trojuholníky majú nasledujúce znaky rovnosti:

  • ostrý uhol a prepona;
  • pozdĺž ostrého uhla a nohy;
  • na dvoch nohách;
  • pozdĺž prepony a nohy.

Aké sú trojuholníky

Podľa počtu rovnakých strán môže byť trojuholník:

  • Rovnostranný. Je to trojuholník s tromi rovnakými stranami. Všetky uhly v rovnostrannom trojuholníku sú 60 stupňov. Okrem toho sa stredy opísanej kružnice a kružnice zhodujú.
  • Jednostranné. Trojuholník, ktorý nemá rovnaké strany.
  • Rovnoramenné. Je to trojuholník s dvoma rovnakými stranami. Dve identické strany sú strany a tretia strana je základňa. V takomto trojuholníku sa stred, stred a výška zhodujú, ak sú znížené na základňu.

Pokiaľ ide o uhly, trojuholník môže byť:

  1. Tupý - keď je jeden z uhlov väčší ako 90 stupňov, teda keď je tupý.
  2. Akútne - ak sú všetky tri uhly v trojuholníku ostré, to znamená, že sú menšie ako 90 stupňov.
  3. Ktorý trojuholník sa nazýva obdĺžnikový? Toto je ten, ktorý má jeden pravý uhol rovný 90 stupňom. Nohy v ňom sa budú nazývať dve strany, ktoré tvoria tento uhol, a prepona je strana opačná k pravému uhlu.

Základné vlastnosti trojuholníkov

  1. Menší uhol vždy leží proti menšej strane a väčší uhol vždy leží proti väčšej strane.
  2. Rovnaké uhly ležia vždy proti rovnakým stranám a rôzne uhly ležia vždy proti rôznym stranám. Najmä v rovnostrannom trojuholníku majú všetky uhly rovnakú hodnotu.
  3. V akomkoľvek trojuholníku sú uhly súčet až 180 stupňov.
  4. Vonkajší uhol možno získať predĺžením jednej z jeho strán blízko trojuholníka. Hodnota vonkajšieho rohu sa bude rovnať súčtu nesusediacich vnútorných rohov.
  5. Strana trojuholníka je väčšia ako rozdiel medzi jeho ďalšími dvoma stranami, ale menšia ako ich súčet.

V priestorovej geometrii Lobačevského bude súčet uhlov trojuholníka vždy menší ako 180 stupňov. Na gule je táto hodnota väčšia ako 180 stupňov. Rozdiel medzi 180 stupňami a súčtom uhlov trojuholníka sa nazýva defekt.

Pri štúdiu matematiky sa žiaci začínajú oboznamovať s rôznymi druhmi geometrických tvarov. Dnes sa zameriame na rôzne typy trojuholníkov.

Definícia

Geometrické tvary, ktoré sa skladajú z troch bodov, ktoré nie sú na rovnakej priamke, sa nazývajú trojuholníky.

Čiary, ktoré spájajú body, sa nazývajú strany a body sa nazývajú vrcholy. Vrcholy sú označené veľkými latinskými písmenami, napríklad: A, B, C.

Strany sú označené názvami dvoch bodov, z ktorých sa skladajú - AB, BC, AC. Kríženie, strany tvoria rohy. Spodná strana sa považuje za základ obrázku.

Ryža. 1. Trojuholník ABC.

Druhy trojuholníkov

Trojuholníky sú klasifikované podľa uhlov a strán. Každý typ trojuholníka má svoje vlastné vlastnosti.

Existujú tri typy rohových trojuholníkov:

  • ostrý uhol;
  • obdĺžnikový;
  • tupý.

Všetky uhly ostrý uhlový trojuholníky sú ostré, to znamená, že miera každého z nich nie je väčšia ako 90 0.

Obdĺžnikový trojuholník obsahuje pravý uhol. Ďalšie dva uhly budú vždy ostré, pretože inak súčet uhlov trojuholníka presiahne 180 stupňov, čo je nemožné. Strana, ktorá je oproti pravému uhlu, sa nazýva prepona a ďalšie dve nohy. Prepona je vždy väčšia ako noha.

Tupý trojuholník obsahuje tupý uhol. Teda uhol väčší ako 90 stupňov. Ďalšie dva rohy v takomto trojuholníku budú ostré.

Ryža. 2. Typy trojuholníkov v rohoch.

Pytagorovský trojuholník je obdĺžnik, ktorého strany sa rovnajú 3, 4, 5.

Navyše, veľkou stránkou je prepona.

Takéto trojuholníky sa často používajú na skladanie jednoduchých úloh v geometrii. Preto si pamätajte: ak sa dve strany trojuholníka rovnajú 3, potom tretia bude nevyhnutne 5. Tým sa zjednodušia výpočty.

Typy trojuholníkov na stranách:

  • rovnostranný;
  • rovnoramenné;
  • všestranný.

Rovnostranný trojuholník je trojuholník, v ktorom sú všetky strany rovnaké. Všetky uhly takéhoto trojuholníka sa rovnajú 60 0, to znamená, že je vždy ostrý.

Rovnoramenné trojuholník - trojuholník, v ktorom sú rovnaké iba dve strany. Tieto strany sa nazývajú bočné a tretia sa nazýva základňa. Okrem toho sú uhly v základni rovnoramenného trojuholníka rovnaké a vždy ostré.

Všestranný alebo ľubovoľný trojuholník je trojuholník, v ktorom všetky dĺžky a všetky uhly nie sú rovnaké.

Ak v probléme nie sú žiadne objasnenia týkajúce sa obrázku, potom sa predpokladá, že hovoríme o ľubovoľnom trojuholníku.

Ryža. 3. Druhy trojuholníkov na stranách.

Súčet všetkých uhlov trojuholníka, bez ohľadu na jeho typ, je 1800.

Oproti väčšiemu rohu je väčšia strana. A tiež dĺžka ktorejkoľvek strany je vždy menšia ako súčet jej dvoch ďalších strán. Tieto vlastnosti potvrdzuje veta o trojuholníkovej nerovnosti.

Existuje koncept zlatého trojuholníka. Toto je rovnoramenný trojuholník, v ktorom sú dve strany úmerné základni a rovnajú sa určitému číslu. Na takomto obrázku sú uhly úmerné pomeru 2: 2: 1.

Úloha:

Existuje trojuholník, ktorého strany sú 6 cm, 3 cm, 4 cm?

Riešenie:

Na vyriešenie tohto problému musíte použiť nerovnosť a

Čo sme sa naučili?

Z tohto materiálu z matematického kurzu 5. ročníka sme sa dozvedeli, že trojuholníky sa klasifikujú podľa strán a uhlov. Trojuholníky majú určité vlastnosti, ktoré možno použiť na riešenie problémov.

Zvyčajne sa nazýva trojuholník, v ktorom nie sú všetky strany rovnako dlhé všestranný.

Trojuholník s dvoma rovnakými stranami sa označuje ako rovnoramenné... Je zvykom zvolávať rovnaké strany bočné, tretia strana - základ. Táto definícia bude rovnako pravdivá základňa trojuholníka je strana rovnoramenného trojuholníka, ktorá sa nerovná ostatným dvom stranám.

V rovnoramenný trojuholník základné uhly sú rovnaké. Výška, medián, os rovnoramenného trojuholníka nakresleného na jeho základňu sú zarovnané.

Trojuholník, so všetkými rovnakými stranami, sa označuje ako rovnostranný alebo správne... V rovnostrannom trojuholníku sú všetky uhly 60 ° a stredy vpísaných a opísaných kruhov sú zarovnané.

Typy trojuholníkov v závislosti od parametrov uhlov.

Nazýva sa trojuholník, v ktorom sú iba rohy menšie ako 90 0 (akútne). ostrý uhlový.

Trojuholník, v ktorom je znázornený uhol 90 0, sa nazýva pravouhlý... Zvyčajne sa označujú strany trojuholníka, ktoré zvierajú pravý uhol nohy a strana oproti pravému uhlu je hypotenzia.

Dnes sa vydáme do krajiny geometrie, kde sa zoznámime s rôznymi typmi trojuholníkov.

Zvážte geometrické tvary a nájdite medzi nimi „nadbytočné“ (obr. 1).

Ryža. 1. Napríklad ilustrácia

Vidíme, že čísla #1, 2, 3, 5 sú štvoruholníky. Každý z nich má svoj názov (obr. 2).

Ryža. 2. Štvoruholníky

To znamená, že „extra“ obrazec je trojuholník (obr. 3).

Ryža. 3. Napríklad ilustrácia

Trojuholník je obrazec, ktorý pozostáva z troch bodov, ktoré neležia na jednej priamke, a troch segmentov, ktoré tieto body spájajú v pároch.

Body sú tzv vrcholy trojuholníka, segmenty - it strany... Formujú sa strany trojuholníka vo vrcholoch trojuholníka sú tri rohy.

Hlavné znaky trojuholníka sú tri strany a tri rohy. Z hľadiska uhla sú trojuholníky ostrý, pravouhlý a tupouhlý.

Trojuholník sa nazýva ostrý, ak sú všetky tri rohy ostré, to znamená menej ako 90° (obr. 4).

Ryža. 4. Trojuholník s ostrým uhlom

Trojuholník sa nazýva obdĺžnikový, ak jeden z jeho rohov má uhol 90° (obr. 5).

Ryža. 5. Pravouhlý trojuholník

Trojuholník sa nazýva tupý, ak je jeden z jeho rohov tupý, to znamená viac ako 90° (obr. 6).

Ryža. 6. Tupý trojuholník

Podľa počtu rovnakých strán sú trojuholníky rovnostranné, rovnoramenné, mnohostranné.

Rovnoramenný trojuholník je trojuholník, ktorého dve strany sú rovnaké (obr. 7).

Ryža. 7. Rovnoramenný trojuholník

Tieto strany sú tzv bočné, tretia strana - základ. V rovnoramennom trojuholníku sú uhly na základni rovnaké.

Rovnoramenné trojuholníky sú ostrý a tupý uhol(obr. 8) .

Ryža. 8. Ostré a tupé rovnoramenné trojuholníky

Rovnostranný trojuholník je trojuholník, v ktorom sú všetky tri strany rovnaké (obr. 9).

Ryža. 9. Rovnostranný trojuholník

V rovnostrannom trojuholníku všetky uhly sú rovnaké. Rovnostranné trojuholníky vždy ostrý uhlový.

Trojuholník sa nazýva všestranný, v ktorom majú všetky tri strany rôzne dĺžky (obr. 10).

Ryža. 10. Všestranný trojuholník

Dokončite úlohu. Rozdeľte tieto trojuholníky do troch skupín (obr. 11).

Ryža. 11. Ilustrácia k úlohe

Najprv rozdelíme podľa veľkosti uhlov.

Ostré trojuholníky: č.1, č.3.

Obdĺžnikové trojuholníky: č. 2, č. 6.

Tupé trojuholníky: č.4, č.5.

Rovnaké trojuholníky rozdelíme do skupín podľa počtu rovnakých strán.

Všestranné trojuholníky: č. 4, č. 6.

Rovnoramenné trojuholníky: č. 2, č. 3, č. 5.

Rovnostranný trojuholník: č.1.

Zvážte výkresy.

Zamyslite sa nad tým, z ktorého drôtu ste vytvorili každý trojuholník (obr. 12).

Ryža. 12. Ilustrácia k úlohe

Môžete uvažovať takto.

Prvý kus drôtu je rozdelený na tri rovnaké časti, takže z neho možno vytvoriť rovnostranný trojuholník. Na obrázku je znázornený ako tretí.

Druhý kus drôtu je rozdelený na tri rôzne časti, takže z neho môžete vytvoriť všestranný trojuholník. Na obrázku je zobrazený ako prvý.

Tretí kus drôtu je rozdelený na tri časti, pričom obe časti sú rovnako dlhé, čiže z neho možno vyrobiť rovnoramenný trojuholník. Na obrázku je zobrazený ako druhý.

Dnes sme sa v lekcii zoznámili s rôznymi typmi trojuholníkov.

Bibliografia

  1. M.I. Moreau, M.A. Bantová a i. Matematika: Učebnica. 3. ročník: v 2 častiach, časť 1. - M .: "Vzdelávanie", 2012.
  2. M.I. Moreau, M.A. Bantová a i. Matematika: Učebnica. 3. ročník: v 2 častiach, časť 2. - M .: "Vzdelávanie", 2012.
  3. M.I. Moreau. Hodiny matematiky: Pokyny pre učiteľov. 3. ročník - M .: Vzdelávanie, 2012.
  4. Normatívny právny dokument. Monitorovanie a hodnotenie výsledkov vzdelávania. - M.: "Vzdelávanie", 2011.
  5. "Ruská škola": Programy pre základnú školu. - M.: "Vzdelávanie", 2011.
  6. S.I. Volkovej. Matematika: Overovacia práca. 3. ročník - M .: Vzdelávanie, 2012.
  7. V.N. Rudnitskaja. Testy. - M .: "Skúška", 2012.
  1. Nsportal.ru ().
  2. Prosv.ru ().
  3. Do.gendocs.ru ().

Domáca úloha

1. Doplňte frázy.

a) Trojuholník je obrazec, ktorý pozostáva z ..., neleží na jednej priamke, a ..., spája tieto body do párov.

b) Body sa nazývajú … , segmenty - it … ... Strany trojuholníka tvoria vrcholy trojuholníka ….

c) Z hľadiska uhla sú trojuholníky…,…,….

d) Podľa počtu rovnakých strán sú trojuholníky…,…,….

2. Nakreslite

a) pravouhlý trojuholník;

b) trojuholník s ostrým uhlom;

c) tupý trojuholník;

d) rovnostranný trojuholník;

e) všestranný trojuholník;

f) rovnoramenný trojuholník.

3. Urobte zadanie na tému hodiny pre svojich rovesníkov.

Trojuholník . Ostrouhlé, tupouhlé a pravouhlé trojuholníky.

Nohy a hypotenzia. Rovnoramenný a rovnostranný trojuholník.

Súčet uhlov trojuholníka.

Vonkajší roh trojuholníka. Znaky rovnosti trojuholníkov.

Nádherné čiary a body v trojuholníku: výšky, mediány,

osi, medián e kolmice, ortocentrum,

ťažisko, stred vpísanej kružnice, stred vpísanej kružnice.

Pytagorova veta. Pomer strán v ľubovoľnom trojuholníku.

Trojuholník Je mnohouholník s tromi stranami (alebo tromi rohmi). Strany trojuholníka sa často označujú malými písmenami, ktoré zodpovedajú veľkým písmenám označujúcim opačné vrcholy.

Ak sú všetky tri rohy ostré (obr. 20), tak toto trojuholník s ostrým uhlom ... Ak je jeden z rohov rovný(C, obr. 21), to jest správny trojuholník; stranya, btvoriace pravý uhol sú tzv nohy; stranecopačný k pravému uhlu sa nazýva hypotenzia... Ak jeden z tupé uhly (B, obr. 22), to jest tupý trojuholník.


Trojuholník ABC (obr. 23) - rovnoramenné, ak dva jeho strany sú rovnaké (a= c); tieto rovné strany sa nazývajú bočné, volá sa tretia strana základ trojuholník. Trojuholník ABC (obr. 24) - rovnostranný, ak všetky jeho strany sú rovnaké (a = b = c). Všeobecne ( a ≠ b ≠ c) máme scalene trojuholník .

Základné vlastnosti trojuholníkov. V akomkoľvek trojuholníku:

1. Oproti väčšej strane je väčší uhol a naopak.

2. Rovnaké uhly ležia oproti rovnakým stranám a naopak.

Najmä všetky uhly v rovnostranný trojuholníky sú rovnaké.

3. Súčet uhlov trojuholníka je 180 º .

Z posledných dvoch vlastností vyplýva, že každý uhol je rovnostranný

trojuholník je 60 º.

4. Pokračovaním jednej zo strán trojuholníka (AC, obr. 25), dostaneme externé

uhol BCD . Vonkajší uhol trojuholníka sa rovná súčtu vnútorných uhlov,

nesusedí s ním : BCD = A + B.

5. akýkoľvek strana trojuholníka je menšia ako súčet ostatných dvoch strán a viac

ich rozdiely (a < b + c, a > b – c;b < a + c, b > a – c;c < a + b,c > a – b).

Znaky rovnosti trojuholníkov.

Trojuholníky sú rovnaké, ak sú rovnaké:

a ) dve strany a uhol medzi nimi;

b ) dva rohy a k nim priľahlá strana;

c) tri strany.

Znaky rovnosti pravouhlých trojuholníkov.

Dva pravouhlý trojuholníky sú rovnaké, ak je splnená jedna z nasledujúcich podmienok:

1) ich nohy sú rovnaké;

2) rameno a prepona jedného trojuholníka sú rovnaké ako rameno a prepona druhého;

3) prepona a ostrý uhol jedného trojuholníka sú rovnaké ako prepona a ostrý uhol druhého;

4) noha a priľahlý ostrý uhol jedného trojuholníka sa rovnajú ramenu a susednému ostrému uhlu druhého;

5) noha a opačný ostrý uhol jedného trojuholníka sa rovnajú nohe a opačný ostrý roh toho druhého.

Nádherné čiary a body v trojuholníku.

Výška trojuholník jekolmý,klesol z akéhokoľvek vrcholu na opačnú stranu ( alebo jej pokračovanie). Táto strana je tzvzákladňa trojuholníka . Tri výšky trojuholníka sa vždy pretínajúv jednom bodevolal ortocentrum trojuholník. Ortocentrum trojuholníka s ostrým uhlom (bod O , obr. 26) sa nachádza vo vnútri trojuholníka aortocentrum tupého trojuholníka (bod O , obr. 27) – vonku; ortocentrum pravouhlého trojuholníka sa zhoduje s vrcholom pravého uhla.

Medián - to oddiele spojenie ľubovoľného vrcholu trojuholníka so stredom opačnej strany. Tri stredy trojuholníka (AD, BE, CF, obr. 28) pretínajú v jednom bode O vždy leží vo vnútri trojuholníka a byť jeho ťažisko. Tento bod rozdeľuje každý medián zhora v pomere 2:1.

Bisector - to osový segment rohu od vrcholu k bodu križovatka s opačnou stranou. Tri osi trojuholníka (AD, BE, CF, obr. 29) pretínajú v jednom bode Oh, vždy ležať vo vnútri trojuholníka a bytie stred vpísanej kružnice(pozrite si časť „Popísanéa opísané polygóny“).

Osa rozdeľuje opačnú stranu na časti proporcionálne k susedným stranám ; napríklad na obr. 29 AE: CE = AB: BC.

Stredná kolmá Je kolmica nakreslená zo stredu segmentové body (strany). Tri stredné kolmice trojuholníka ABC(KO, MO, NO, obr. 30 ) pretínajú v jednom bode O, ktorý je stred vyznačený kruh (body K, M, N - stredy strán trojuholníka ABC).

V trojuholníku s ostrým uhlom tento bod leží vo vnútri trojuholníka; v tupom - vonku; v obdĺžnikovom - v strede prepony. Ortocentrum, ťažisko, stred opísanej kružnice a stred vpísanej kružnice sa zhodujú iba v rovnostrannom trojuholníku.

Pytagorova veta. V pravouhlom trojuholníku štvorec dĺžkyprepona sa rovná súčtu druhých mocnín dĺžok nôh.

Dôkaz Pytagorovej vety jasne vyplýva z obr.31. Predstavte si pravouhlý trojuholník ABC s nohami a, b a preponu c.

Postavme štvorec AKMB pomocou prepony AB ako vedľajšia. Potompredĺžte strany pravouhlého trojuholníka ABC tak získať štvorec CDEF ktorej strana sa rovnáa + b.Teraz je jasné, že plocha štvorca CDEF je ( a + b) 2 ... Na druhej strane toto plocha sa rovná súčtuštvorcov štyri pravouhlé trojuholníky a štvorcový AKMB, to je

c 2 + 4 (ab / 2) = c 2 + 2 ab,

odtiaľ,

c 2 + 2 ab= (a + b) 2 ,

a nakoniec tu máme:

c 2 =a 2 + b 2 .

Pomer strán v ľubovoľnom trojuholníku.

Vo všeobecnom prípade (pre ľubovoľný trojuholník) máme:

c 2 =a 2 + b 2 – 2ab· cos C,

kde C - uhol medzi stranamia a b .

mob_info