Koliki je zbroj kutova konveksnog mnogokuta? Zbroj kutova trokuta. Teorem o zbroju kutova trokuta Generalizacija simpleks teorije

Trokut je mnogokut koji ima tri stranice (tri kuta). Najčešće su strane označene malim slovima koja odgovaraju velikim slovima koja predstavljaju suprotne vrhove. U ovom članku ćemo se upoznati s vrstama ovih geometrijskih figura, teoremom koji određuje koliko je jednak zbroj kutova trokuta.

Vrste prema veličini kuta

Razlikuju se sljedeće vrste poligona s tri vrha:

  • oštrokutni, u kojem su svi uglovi oštri;
  • pravokutan, koji ima jedan pravi kut, njegovi se generatori nazivaju nogama, a strana koja se nalazi nasuprot pravog kuta naziva se hipotenuza;
  • tup kad jedan;
  • jednakokračan, u kojem su dvije strane jednake, a nazivaju se bočne, a treća je baza trokuta;
  • jednakostraničan, koji ima sve tri jednake strane.

Svojstva

Postoje osnovna svojstva koja su karakteristična za svaku vrstu trokuta:

  • Nasuprot većoj stranici uvijek je veći kut, i obrnuto;
  • nasuprot jednakih stranica nalaze se jednaki kutovi, i obrnuto;
  • svaki trokut ima dva oštra kuta;
  • vanjski kut je veći od bilo kojeg unutarnjeg kuta koji mu nije susjedan;
  • zbroj bilo koja dva kuta uvijek je manji od 180 stupnjeva;
  • vanjski kut jednak je zbroju druga dva kuta koji se s njim ne sijeku.

Teorem zbroja kutova trokuta

Teorem kaže da ako zbrojite sve kutove dane geometrijske figure, koja se nalazi na euklidskoj ravnini, tada će njihov zbroj biti 180 stupnjeva. Pokušajmo dokazati ovaj teorem.

Neka imamo proizvoljni trokut s vrhovima KMN.

Kroz vrh M povucimo KN (taj se pravac naziva i Euklidska pravac). Na njemu označimo točku A tako da se točke K i A nalaze na različitim stranama pravca MH. Dobivamo jednake kutove AMN i KNM, koji, kao i unutarnji, leže unakrsno i tvore ih sekanta MN zajedno s ravnima KH i MA, koje su paralelne. Iz toga slijedi da je zbroj kutova trokuta koji se nalaze na vrhovima M i H jednak veličini kuta KMA. Sva tri kuta čine zbroj koji je jednak zbroju kutova KMA i MKN. Budući da su ovi kutovi unutarnji jednostrani u odnosu na paralelne prave KN i MA sa sekantom KM, njihov zbroj je 180 stupnjeva. Teorem je dokazan.

Posljedica

Sljedeći korolar slijedi iz gore dokazanog teorema: svaki trokut ima dva šiljasta kuta. Da bismo to dokazali, pretpostavimo da ovaj geometrijski lik ima samo jedan oštar kut. Također se može pretpostaviti da niti jedan kut nije oštar. U tom slučaju moraju postojati najmanje dva kuta čija je veličina jednaka ili veća od 90 stupnjeva. Ali tada će zbroj kutova biti veći od 180 stupnjeva. Ali to se ne može dogoditi, budući da je prema teoremu zbroj kutova trokuta jednak 180° - ni više ni manje. To je trebalo dokazati.

Svojstvo vanjskih kutova

Koliki je zbroj vanjskih kutova trokuta? Odgovor na ovo pitanje može se dobiti pomoću jedne od dvije metode. Prvi je da je potrebno pronaći zbroj kutova, koji se uzimaju po jedan na svakom vrhu, odnosno tri kuta. Drugi podrazumijeva da trebate pronaći zbroj svih šest vršnih kutova. Prvo, pogledajmo prvu opciju. Dakle, trokut sadrži šest vanjskih kutova - po dva na svakom vrhu.

Svaki par ima jednake kutove jer su okomiti:

∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6.

Osim toga, poznato je da je vanjski kut trokuta jednak zbroju dvaju unutarnjih koji se s njim ne sijeku. Stoga,

∟1 = ∟A + ∟C, ∟2 = ∟A + ∟B, ∟3 = ∟B + ∟C.

Iz ovoga se ispostavlja da će zbroj vanjskih kutova, koji se uzimaju po jedan na svakom vrhu, biti jednak:

∟1 + ∟2 + ∟3 = ∟A + ∟C + ∟A + ∟B + ∟B + ∟C = 2 x (∟A + ∟B + ∟C).

Uzimajući u obzir činjenicu da je zbroj kutova jednak 180 stupnjeva, možemo reći da je ∟A + ∟B + ∟C = 180°. To znači da je ∟1 + ∟2 + ∟3 = 2 x 180° = 360°. Ako se koristi druga opcija, tada će zbroj šest kutova biti dvostruko veći. Odnosno, zbroj vanjskih kutova trokuta bit će:

∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 = 2 x (∟1 + ∟2 + ∟2) = 720°.

Pravokutni trokut

Koliki je zbroj šiljastih kutova pravokutnog trokuta? Odgovor na ovo pitanje opet proizlazi iz teorema koji kaže da zbroj kutova u trokutu iznosi 180 stupnjeva. A naša izjava (svojstvo) zvuči ovako: u pravokutni trokut zbroj oštrih kutova iznosi 90 stupnjeva. Dokažimo njegovu istinitost.

Neka nam je dan trokut KMN, u kojem je ∟N = 90°. Potrebno je dokazati da je ∟K + ∟M = 90°.

Dakle, prema teoremu o zbroju kutova ∟K + ∟M + ∟N = 180°. Naš uvjet kaže da je ∟N = 90°. Dakle, ispada da je ∟K + ∟M + 90° = 180°. Odnosno, ∟K + ∟M = 180° - 90° = 90°. To je upravo ono što smo trebali dokazati.

Uz gore opisana svojstva pravokutnog trokuta, možete dodati sljedeće:

  • kutovi koji leže nasuprot nogama su oštri;
  • hipotenuza je trokutasta veća od bilo koje katete;
  • zbroj kateta veći je od hipotenuze;
  • Krak trokuta, koji leži nasuprot kutu od 30 stupnjeva, polovica je veličine hipotenuze, odnosno jednaka je njezinoj polovici.

Kao još jedno svojstvo ove geometrijske figure možemo istaknuti Pitagorin teorem. Ona tvrdi da je u trokutu s kutom od 90 stupnjeva (pravokutnom) zbroj kvadrata kateta jednak kvadratu hipotenuze.

Zbroj kutova jednakokračnog trokuta

Ranije smo rekli da se zove jednakokračni mnogokut s tri vrha i dvije jednake stranice. Ovo svojstvo ove geometrijske figure je poznato: kutovi u njenoj osnovi su jednaki. Dokažimo to.

Uzmimo trokut KMN, koji je jednakokračan, KN je njegova baza.

Od nas se traži da dokažemo da je ∟K = ∟N. Dakle, recimo da je MA simetrala našeg trokuta KMN. Trokut MKA, uzimajući u obzir prvi znak jednakosti, jednak je trokutu MNA. Naime, uvjetom je zadano KM = NM, MA je zajednička stranica, ∟1 = ∟2, jer je MA simetrala. Koristeći činjenicu da su ova dva trokuta jednaka, možemo reći da je ∟K = ∟N. To znači da je teorem dokazan.

Ali nas zanima koliki je zbroj kutova trokuta (istokračnog). Budući da u tom pogledu nema svojih posebnosti, nadovezat ćemo se na ranije raspravljeni teorem. Odnosno, možemo reći da je ∟K + ∟M + ∟N = 180°, odnosno 2 x ∟K + ∟M = 180° (jer je ∟K = ∟N). Ovo svojstvo nećemo dokazivati ​​jer je sam teorem o zbroju kutova trokuta ranije dokazan.

Osim svojstava o kutovima trokuta o kojima se govori, vrijede i sljedeće važne izjave:

  • na kojoj je spuštena na podlogu, ujedno je i središnja, simetrala kuta koji je između jednakih stranica, kao i njegova osnovica;
  • medijane (simetrale, visine) koje se povlače na bočne stranice takvog geometrijskog lika su jednake.

Jednakostraničan trokut

Također se naziva pravilnim, ovo je trokut u kojem su sve strane jednake. Stoga su i kutovi jednaki. Svaki ima 60 stupnjeva. Dokažimo ovo svojstvo.

Recimo da imamo trokut KMN. Znamo da je KM = NM = KN. To znači da je, prema svojstvu kutova koji se nalaze na osnovici u jednakokračnom trokutu, ∟K = ∟M = ∟N. Kako je prema teoremu zbroj kutova trokuta ∟K + ∟M + ∟N = 180°, onda je 3 x ∟K = 180° ili ∟K = 60°, ∟M = 60°, ∟ N = 60°. Dakle, izjava je dokazana.

Kao što se može vidjeti iz gornjeg dokaza temeljenog na teoremu, zbroj kutova, kao i zbroj kutova bilo kojeg drugog trokuta, iznosi 180 stupnjeva. Nema potrebe ponovo dokazivati ​​ovaj teorem.

Postoje i takva svojstva karakteristična za jednakostranični trokut:

  • medijan, simetrala, visina u takvom geometrijskom liku se podudaraju, a njihova se duljina računa kao (a x √3): 2;
  • ako oko zadanog poligona opišemo krug, tada će njegov polumjer biti jednak (a x √3): 3;
  • ako jednakostraničnom trokutu upišete krug, tada će njegov polumjer biti (a x √3): 6;
  • Površina ove geometrijske figure izračunava se po formuli: (a2 x √3) : 4.

Tupokutni trokut

Prema definiciji, jedan od njegovih kutova je između 90 i 180 stupnjeva. Ali s obzirom da su druga dva kuta ove geometrijske figure oštra, možemo zaključiti da ne prelaze 90 stupnjeva. Stoga teorem o zbroju kutova trokuta funkcionira u izračunavanju zbroja kutova u tupokutnom trokutu. Ispada da sa sigurnošću možemo reći, na temelju gornjeg teorema, da je zbroj kutova tupokutni trokut jednako 180 stupnjeva. Opet, ovaj teorem ne treba ponovo dokazivati.

>>Geometrija: Zbroj kutova trokuta. Kompletne lekcije

TEMA LEKCIJE: Zbroj kutova trokuta.

Ciljevi lekcije:

  • Učvršćivanje i provjera znanja učenika o temi: „Zbroj kutova trokuta”;
  • Dokaz svojstava kutova trokuta;
  • Primjena ovog svojstva u rješavanju jednostavnih problema;
  • Korištenje povijesne građe za razvoj kognitivne aktivnosti učenika;
  • Usađivanje vještine točnosti pri izradi crteža.

Ciljevi lekcije:

  • Provjerite vještine rješavanja problema učenika.

Plan učenja:

  1. Trokut;
  2. Teorem o zbroju kutova trokuta;
  3. Primjeri zadataka.

Trokut.

Datoteka:O.gif Trokut- najjednostavniji mnogokut koji ima 3 vrha (kuta) i 3 stranice; dio ravnine omeđen s tri točke i tri odsječka koji spajaju te točke u parovima.
Tri točke u prostoru koje ne leže na istoj pravoj liniji odgovaraju jednoj i samo jednoj ravnini.
Bilo koji poligon može se podijeliti na trokute - taj se proces naziva triangulacija.
Postoji odjeljak matematike koji je u potpunosti posvećen proučavanju zakona trokuta - Trigonometrija.

Teorem o zbroju kutova trokuta.

File:T.gif Teorem o zbroju kutova trokuta klasični je teorem euklidske geometrije koji kaže da je zbroj kutova trokuta 180°.

Dokaz" :

Neka je dan Δ ABC. Povucimo kroz vrh B pravac paralelan s (AC) i na njemu označimo točku D tako da točke A i D leže na suprotnim stranama pravca BC. Tada su kut (DBC) i kut (ACB) jednaki kao unutarnji poprečno ležeći s paralelnim pravcima BD i AC i sekantom (BC). Tada je zbroj kutova trokuta na vrhovima B i C jednak kutu (ABD). No kut (ABD) i kut (BAC) pri vrhu A trokuta ABC su unutarnje jednostranice s paralelnim pravcima BD i AC i sekantom (AB), a njihov zbroj je 180°. Stoga je zbroj kutova trokuta 180°. Teorem je dokazan.


Posljedice.

Vanjski kut trokuta jednak je zbroju dvaju kutova trokuta koji mu nisu susjedni.

Dokaz:

Neka je dan Δ ABC. Točka D leži na pravcu AC tako da A leži između C i D. Tada je BAD vanjski kut trokuta pri vrhu A i A + BAD = 180°. Ali A + B + C = 180°, pa je stoga B + C = 180° – A. Stoga je BAD = B + C. Korolar je dokazan.


Posljedice.

Vanjski kut trokuta veći je od bilo kojeg kuta trokuta koji mu nije susjedan.

Zadatak.

Vanjski kut trokuta je kut susjedan bilo kojem kutu tog trokuta. Dokažite da je vanjski kut trokuta jednak zbroju dvaju kutova trokuta koji mu nisu susjedni.
(Sl. 1)

Riješenje:

Neka je u Δ ABC ∠DAS vanjski (sl. 1). Tada je ∠DAC = 180°-∠BAC (po svojstvu susjednih kutova), po teoremu o zbroju kutova trokuta ∠B+∠C = 180°-∠BAC. Iz ovih jednakosti dobivamo ∠DAS=∠V+∠S

Zanimljiva činjenica:

Zbroj kutova trokuta" :

U geometriji Lobačevskog zbroj kutova trokuta uvijek je manji od 180. U euklidskoj geometriji uvijek je jednak 180. U Riemannovoj geometriji zbroj kutova trokuta uvijek je veći od 180.

Iz povijesti matematike:

Euklid (3. st. pr. Kr.) u svom djelu “Elementi” daje sljedeću definiciju: “Paralelni pravci su pravci koji se nalaze u istoj ravnini i budući da se beskonačno pružaju u oba smjera, ne susreću se ni s jedne strane.” .
Posidonije (1. st. pr. Kr.) “Dvije ravne crte koje leže u istoj ravnini, jednako udaljene jedna od druge”
Starogrčki znanstvenik Papus (III. st. pr. Kr.) uveo je simbol paralelnih pravaca - znak =. Kasnije je engleski ekonomist Ricardo (1720-1823) koristio ovaj simbol kao znak jednakosti.
Tek u 18. stoljeću počeli su koristiti simbol za paralelne pravce - znak ||.
Živa veza među generacijama ne prekida se ni na trenutak, svakodnevno učimo iskustvo koje su skupili naši preci. Stari Grci su na temelju opažanja i praktičnog iskustva donosili zaključke, iznosili hipoteze, a zatim su na sastancima znanstvenika - simpozijima (doslovno "gozba") - pokušavali potkrijepiti i dokazati te hipoteze. U to vrijeme pojavila se izjava: “Istina se rađa u raspravi.”

Pitanja:

  1. Što je trokut?
  2. Što kaže teorem o zbroju kutova trokuta?
  3. Koliki je vanjski kut trokuta?

Dokaz:

  • Zadan je trokut ABC.
  • Kroz vrh B povucimo pravac DK paralelan s osnovicom AC.
  • \kut CBK= \kut C kao unutarnja poprečno leži s paralelama DK i AC, i sekantom BC.
  • \kut DBA = \kut A unutarnja poprijeko leži s DK \paralelnom AC i sekantom AB. Kut DBK je obrnut i jednak
  • \kut DBK = \kut DBA + \kut B + \kut CBK
  • Kako je rasklopljeni kut jednak 180 ^\circ , a \angle CBK = \kut C i \angle DBA = \kut A , dobivamo 180 ^\circ = \kut A + \kut B + \kut C.

Teorem je dokazan

Posljedice iz teorema o zbroju kutova trokuta:

  1. Zbroj šiljastih kutova pravokutnog trokuta jednak je 90°.
  2. U jednakokračnom pravokutnom trokutu svaki šiljasti kut jednak je 45°.
  3. U jednakostraničnom trokutu svaki kut je jednak 60°.
  4. U svakom trokutu ili su svi kutovi oštri, ili su dva kuta oštra, a treći je tup ili pravi.
  5. Vanjski kut trokuta jednak je zbroju dva unutarnji kutovi, ne uz njega.

Teorem o vanjskom kutu trokuta

Vanjski kut trokuta jednak je zbroju dvaju preostalih kutova trokuta koji nisu susjedni tom vanjskom kutu.

Dokaz:

  • Zadan je trokut ABC, gdje je BCD vanjski kut.
  • \kut BAC + \kut ABC +\kut BCA = 180^0
  • Iz jednakosti kut \kut BCD + \kut BCA = 180^0
  • Dobivamo \kut BCD = \kut BAC+\kut ABC.

(referentni sažetak)

Vizualna geometrija 7. razred. Dodatna napomena br. 4 Zbroj kutova trokuta.

Veliki francuski znanstvenik 17. stoljeća Blaise Pascal Kao dijete volio sam petljati po geometrijskim oblicima. Poznavao je kutomjer i znao je mjeriti kutove. Mladi je istraživač primijetio da je za sve trokute zbroj triju kutova isti - 180°. “Kako to možemo dokazati? - razmišljao je Pascal. "Uostalom, nemoguće je provjeriti zbroj kutova svih trokuta - ima ih beskonačan broj." Zatim je škarama odrezao dva kuta trokuta i pričvrstio ih na treći kut. Rezultat je zakrenuti kut, koji je, kao što je poznato, jednak 180°. Ovo je bilo njegovo prvo vlastito otkriće. Daljnja sudbina dječak je već bio predodređen.

U ovoj temi naučit ćete pet svojstava podudarnosti pravokutnih trokuta i možda najpopularnije svojstvo pravokutnog trokuta s kutom od 30°. Zvuči ovako: krak koji leži nasuprot kutu od 30° jednak je polovici hipotenuze. Dijeljenjem jednakostraničnog trokuta visinom odmah dobivamo dokaz ovog svojstva.

TEOREMA. Zbroj kutova trokuta je 180°. Da biste to dokazali, povucite liniju kroz vrh paralelnu s bazom. Tamni kutovi su jednaki, a sivi kutovi jednaki kao da leže unakrsno na paralelnim crtama. Tamni kut, sivi kut i vršni kut tvore ispruženi kut, a njihov zbroj je 180°. Iz teorema slijedi da su kutovi jednakostraničnog trokuta jednaki 60°, a da je zbroj šiljastih kutova pravokutnog trokuta jednak 90°.

Vanjski kut trokuta je kut susjedan kutu trokuta. Stoga se ponekad kutovi samog trokuta nazivaju unutarnjim kutovima.

TEOREM o vanjskom kutu trokuta. Vanjski kut trokuta jednak je zbroju dva unutarnja kuta koji mu nisu susjedni. Doista, vanjski kut i dva unutarnja, koja nisu uz njega, nadopunjuju osjenčani kut do 180 °. Iz teorema slijedi da je vanjski kut veći od bilo kojeg unutarnjeg kuta koji mu nije susjedan.

TEOREM o odnosima stranica i kutova trokuta. U trokutu je veći kut nasuprot veće stranice, a veći kut nasuprot većeg kuta. Slijedi: 1) Kateta je manja od hipotenuze. 2) Okomica je manja od nagnute.

Udaljenost od točke do linije . Budući da je okomica manja od bilo koje nagnute crte povučene iz iste točke, njezina se duljina uzima kao udaljenost od točke do ravne crte.

Nejednakost trokuta . Duljina bilo koje stranice trokuta manja je od zbroja njegovih dviju stranica, tj. A< b + с , b< а + с , S< а + b . Posljedica. Duljina izlomljene linije veća je od segmenta koji spaja njezine krajeve.

ZNAKOVI JEDNAKOSTI
PRAVOKUTNI TROKUT

Na dvije strane. Ako su dva kraka jednog pravokutnog trokuta redom jednaka dvjema kracima drugog trokuta, tada su ti trokuti sukladni.

Duž kraka i susjednog oštrog kuta. Ako su krak i susjedni šiljasti kut jednog pravokutnog trokuta redom jednaki kraku i susjednom šiljastom kutu drugog trokuta, tada su ti trokuti sukladni.

Duž kraka i suprotnog oštrog kuta. Ako su krak i nasuprot njemu šiljasti kut jednog pravokutnog trokuta jednaki kraku i nasuprot njemu šiljasti kut drugog trokuta, tada su takvi trokuti sukladni.

Hipotenuzom i oštrim kutom. Ako su hipotenuza i šiljasti kut jednog pravokutnog trokuta jednaki hipotenuzi i šiljastom kutu drugog trokuta, tada su ti trokuti sukladni.

Dokaz ovih znakova odmah se svodi na jedan od testova jednakosti trokuta.

Po kateti i hipotenuzi. Ako su kateta i hipotenuza jednog pravokutnog trokuta jednake kateti i hipotenuzi drugog pravokutnog trokuta, tada su ti trokuti sukladni.

Dokaz. Pričvrstimo trokute s jednakim kracima. Dobivamo jednakokračni trokut. Njegova visina povučena iz vrha također će biti medijan. Tada trokuti imaju jednake druge katete, a trokuti su jednaki na tri strane.

TEOREMA o svojstvu kraka koji leži nasuprot kutu od 30°. Krak nasuprot kutu od 30° jednak je polovici hipotenuze. Dokazuje se dopunjavanjem trokuta do jednakostraničnog.

TEOREM o svojstvu točaka simetrale kuta. Svaka točka na simetrali kuta jednako je udaljena od njegovih stranica. Ako je točka jednako udaljena od stranica kuta, tada ona leži na simetrali kuta. Dokazuje se povlačenjem dviju okomica na stranice kuta i razmatranjem pravokutnih trokuta.

Druga velika točka . Simetrale trokuta sijeku se u jednoj točki.

Udaljenost između paralelnih pravaca. TEOREMA. Sve točke svakog od dva paralelna pravca jednako su udaljene od drugoga pravca. Teorem implicira definiciju udaljenosti između paralelnih pravaca.

Definicija. Udaljenost između dva paralelna pravca je udaljenost bilo koje točke jednog od paralelnih pravaca do drugog pravca.

Detaljni dokazi teorema






Ovo je referentna bilješka br. 4 o geometriji u 7. razredu. Odaberite sljedeće korake:

Teorema. Zbroj unutarnjih kutova trokuta jednak je dvama pravim kutovima.

Uzmimo neki trokut ABC (slika 208). Označimo njegove unutarnje kutove brojevima 1, 2 i 3. Dokažimo to

∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°.

Povucimo kroz neki vrh trokuta, na primjer B, pravac MN paralelan s AC.

U vrhu B dobili smo tri kuta: ∠4, ∠2 i ∠5. Njihov zbroj je ravni kut, dakle jednak je 180°:

∠4 + ∠2 + ∠5 = 180°.

Ali ∠4 = ∠1 su unutarnji poprečni kutovi s paralelnim pravcima MN i AC i sekantom AB.

∠5 = ∠3 - to su unutarnji poprečni kutovi s paralelnim pravcima MN i AC i sekantom BC.

To znači da se ∠4 i ∠5 mogu zamijeniti njima jednakim ∠1 i ∠3.

Prema tome, ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°. Teorem je dokazan.

2. Svojstvo vanjskog kuta trokuta.

Teorema. Vanjski kut trokuta jednak je zbroju dva unutarnja kuta koji mu nisu susjedni.

Naime, u trokutu ABC (sl. 209) ∠1 + ∠2 = 180° - ∠3, ali i ∠VSD, vanjski kut ovog trokuta, koji nije susjedan ∠1 i ∠2, također je jednak 180° - ∠3 .

Tako:

∠1 + ∠2 = 180° - ∠3;

∠BCD = 180° - ∠3.

Prema tome, ∠1 + ∠2= ∠BCD.

Izvedeno svojstvo vanjskog kuta trokuta pojašnjava sadržaj prethodno dokazanog teorema o vanjskom kutu trokuta, koji je tvrdio samo da je vanjski kut trokuta veći od svakog unutarnjeg kuta trokuta koji mu nije susjedan; sada je utvrđeno da je vanjski kut jednak zbroju obaju unutarnjih kutova koji mu nisu susjedni.

3. Svojstvo pravokutnog trokuta s kutom od 30°.

Teorema. Krak pravokutnog trokuta koji leži nasuprot kutu od 30° jednak je polovici hipotenuze.

Neka je kut B u pravokutnom trokutu ACB jednak 30° (slika 210). Tada će njegov drugi oštri kut biti jednak 60°.

Dokažimo da je krak AC jednak polovici hipotenuze AB. Produžimo krak AC preko vrha pravog kuta C i odvojimo dužinu CM jednaku dužici AC. Spojimo točku M s točkom B. Dobiveni trokut VSM jednak je trokutu ACB. Vidimo da je svaki kut trokuta ABM jednak 60°, stoga je ovaj trokut jednakostraničan trokut.

Krak AC jednak je polovici AM, a budući da je AM jednak AB, krak AC bit će jednak polovici hipotenuze AB.

mob_info