Proporcionalni segmenti u pravokutnom trokutu. Lekcija "proporcionalni segmenti u pravokutnom trokutu" Kako pronaći proporcionalne segmente u pravokutnom trokutu

Lekcija 40 C. b. a. h. C. pr. H. ac. A. V. Visina pravokutnog trokuta, povučena iz vrha pravog kuta, dijeli trokut na 2 slična pravokutna trokuta, od kojih je svaki sličan danom trokutu. Znak sličnosti pravokutnih trokuta. Dva pravokutna trokuta su slična ako svaki od njih ima isti oštar kut. Odsječak XY naziva se srednja proporcionalna (geometrijska sredina) za segmente AB i CD ako je svojstvo 1. Visina pravokutnog trokuta povučena iz vrha pravog kuta je srednja proporcionalna između projekcija kateta na hipotenuzu. Svojstvo 2. Krak pravokutnog trokuta je srednja proporcionalna vrijednost hipotenuze i projekcije te katete na hipotenuzu.

Slajd 28 iz prezentacije "Geometrija "Slični trokuti"". Veličina arhive s prezentacijom je 232 KB.

Geometrija 8. razred

sažetak ostalih prezentacija

"Rješenje zadataka na Pitagorinom teoremu" - trokut ABC jednakokračan. Praktična primjena Pitagorinog teorema. ABCD je četverokut. Kvadratno područje. Pronađite sunce. Dokaz. Osnove jednakokračnog trapeza. Razmotrimo Pitagorin teorem. Područje četverokuta. Pravokutni trokuti. Pitagorin poučak. Kvadrat hipotenuze jednak je zbroju kvadrata kateta.

"Pronalaženje površine paralelograma" - Temelj. Visina. Određivanje visine paralelograma. Znakovi jednakosti pravokutnih trokuta. Područje paralelograma. Pronađite površinu trokuta. Svojstva područja. usmene vježbe. Nađi površinu paralelograma. Visine paralelograma. Pronađite opseg kvadrata. Površina trokuta. Pronađite površinu kvadrata. Pronađite površinu pravokutnika. Kvadratno područje.

“Kvadrat 8. razred” - Crni kvadrat. Zadaci za usmeni rad po obodu kvadrata. Kvadratno područje. Kvadratni znakovi. Trg je među nama. Kvadrat je pravokutnik čije su sve strane jednake. Kvadrat. Torba s četvrtastom bazom. usmene zadatke. Koliko je kvadrata prikazano na slici. Kvadratna svojstva. Bogati trgovac. Zadaci za usmeni rad na prostoru trga. Opseg kvadrata.

"Definicija aksijalne simetrije" - Točke koje leže na istoj okomici. Nacrtajte dvije linije. Izgradnja. Zacrtajte točke. Trag. Figure koje nemaju aksijalnu simetriju. Odjeljak. Nedostaju koordinate. Lik. Oblici koji imaju više od dvije osi simetrije. Simetrija. Simetrija u poeziji. Izgradite trokute. Osi simetrije. Izgradnja segmenta. Izgradnja točke. Figure s dvije osi simetrije. Narodi. Trokuti. Proporcionalnost.

"Definiranje sličnih trokuta" - Poligoni. proporcionalni rezovi. Omjer površina sličnih trokuta. Dva trokuta nazivaju se sličnima. Uvjeti. Konstruiraj trokut zadana dva kuta i simetralu na vrhu. Pretpostavimo da trebamo odrediti udaljenost do pola. Treći znak sličnosti trokuta. Izgradimo trokut. ABC. Trokuti ABC i ABC imaju tri jednake stranice. Određivanje visine objekta.

"Rješenje Pitagorinog teorema" - Dijelovi prozora. Najjednostavniji dokaz. Hamurabija. dijagonala. Potpuni dokaz. Dokaz oduzimanjem. pitagorejci. Dokaz metodom dekompozicije. Povijest teorema. Promjer. Dokaz metodom komplementa. Epsteinov dokaz. Cantor. Trokuti. sljedbenici. Primjena Pitagorinog teorema. Pitagorin poučak. Izjava teorema. Dokaz za Perigal. Primjena teorema.

Znak sličnosti pravokutnih trokuta

Najprije uvedemo znak sličnosti pravokutnih trokuta.

Teorem 1

Znak sličnosti pravokutnih trokuta: dva pravokutna trokuta su slična kada imaju po jedan jednak oštar kut (slika 1).

Slika 1. Slični pravokutni trokuti

Dokaz.

Neka nam je dano da je $\kut B=\kut B_1$. Budući da su trokuti pravokutni, $\angle A=\angle A_1=(90)^0$. Stoga su slični prema prvom znaku sličnosti trokuta.

Teorem je dokazan.

Teorem o visini u pravokutnom trokutu

Teorem 2

Visina pravokutnog trokuta povučena iz vrha pravog kuta dijeli trokut na dva slična pravokutna trokuta, od kojih je svaki sličan zadanom trokutu.

Dokaz.

Neka nam je zadan pravokutni trokut $ABC$ s pravim kutom $C$. Nacrtajte visinu $CD$ (slika 2).

Slika 2. Ilustracija teorema 2

Dokažimo da su trokuti $ACD$ i $BCD$ slični trokutu $ABC$ i da su trokuti $ACD$ i $BCD$ slični.

    Budući da je $\angle ADC=(90)^0$, trokut $ACD$ je pravokutni. Trokuti $ACD$ i $ABC$ imaju zajednički kut $A$, pa su prema teoremu 1 trokuti $ACD$ i $ABC$ slični.

    Budući da je $\ugao BDC=(90)^0$, trokut $BCD$ je pravokutni. Trokuti $BCD$ i $ABC$ imaju zajednički kut $B$, pa su prema teoremu 1 trokuti $BCD$ i $ABC$ slični.

    Razmotrimo sada trokute $ACD$ i $BCD$

    \[\kut A=(90)^0-\kut ACD\] \[\kut BCD=(90)^0-\kut ACD=\kut A\]

    Stoga su prema teoremu 1 trokuti $ACD$ i $BCD$ slični.

Teorem je dokazan.

Prosječna proporcionalna

Teorem 3

Visina pravokutnog trokuta, povučena iz vrha pravog kuta, prosječna je proporcionalna za segmente na koje visina dijeli hipotenuzu ovog trokuta.

Dokaz.

Prema teoremu 2, imamo da su trokuti $ACD$ i $BCD$ slični, dakle

Teorem je dokazan.

Teorem 4

Noga pravokutnog trokuta je srednja proporcionalna vrijednost hipotenuze i odsječka hipotenuze zatvorene između katete i visine povučene iz vrha kuta.

Dokaz.

U dokazu teorema koristit ćemo se zapisom sa slike 2.

Prema teoremu 2, imamo da su trokuti $ACD$ i $ABC$ slični, dakle

Teorem je dokazan.

Znak sličnosti pravokutnih trokuta

Najprije uvedemo znak sličnosti pravokutnih trokuta.

Teorem 1

Znak sličnosti pravokutnih trokuta: dva pravokutna trokuta su slična kada imaju po jedan jednak oštar kut (slika 1).

Slika 1. Slični pravokutni trokuti

Dokaz.

Neka nam je dano da je $\kut B=\kut B_1$. Budući da su trokuti pravokutni, $\angle A=\angle A_1=(90)^0$. Stoga su slični prema prvom znaku sličnosti trokuta.

Teorem je dokazan.

Teorem o visini u pravokutnom trokutu

Teorem 2

Visina pravokutnog trokuta povučena iz vrha pravog kuta dijeli trokut na dva slična pravokutna trokuta, od kojih je svaki sličan zadanom trokutu.

Dokaz.

Neka nam je zadan pravokutni trokut $ABC$ s pravim kutom $C$. Nacrtajte visinu $CD$ (slika 2).

Slika 2. Ilustracija teorema 2

Dokažimo da su trokuti $ACD$ i $BCD$ slični trokutu $ABC$ i da su trokuti $ACD$ i $BCD$ slični.

    Budući da je $\angle ADC=(90)^0$, trokut $ACD$ je pravokutni. Trokuti $ACD$ i $ABC$ imaju zajednički kut $A$, pa su prema teoremu 1 trokuti $ACD$ i $ABC$ slični.

    Budući da je $\ugao BDC=(90)^0$, trokut $BCD$ je pravokutni. Trokuti $BCD$ i $ABC$ imaju zajednički kut $B$, pa su prema teoremu 1 trokuti $BCD$ i $ABC$ slični.

    Razmotrimo sada trokute $ACD$ i $BCD$

    \[\kut A=(90)^0-\kut ACD\] \[\kut BCD=(90)^0-\kut ACD=\kut A\]

    Stoga su prema teoremu 1 trokuti $ACD$ i $BCD$ slični.

Teorem je dokazan.

Prosječna proporcionalna

Teorem 3

Visina pravokutnog trokuta, povučena iz vrha pravog kuta, prosječna je proporcionalna za segmente na koje visina dijeli hipotenuzu ovog trokuta.

Dokaz.

Prema teoremu 2, imamo da su trokuti $ACD$ i $BCD$ slični, dakle

Teorem je dokazan.

Teorem 4

Noga pravokutnog trokuta je srednja proporcionalna vrijednost hipotenuze i odsječka hipotenuze zatvorene između katete i visine povučene iz vrha kuta.

Dokaz.

U dokazu teorema koristit ćemo se zapisom sa slike 2.

Prema teoremu 2, imamo da su trokuti $ACD$ i $ABC$ slični, dakle

Teorem je dokazan.

Ciljevi lekcije:

  1. uvesti pojam srednje proporcionalne (geometrijske sredine) dvaju segmenta;
  2. razmotrimo problem proporcionalnih odsječaka u pravokutnom trokutu: svojstvo visine pravokutnog trokuta povučeno iz vrha pravokutnoga;
  3. formirati kod učenika vještine korištenja proučene teme u procesu rješavanja zadataka.

Vrsta lekcije: sat učenja novog gradiva.

Plan:

  1. Organizacijski trenutak.
  2. Ažuriranje znanja.
  3. Proučavanje svojstva visine pravokutnog trokuta povučenog iz vrha pravokutnog:
    - pripremna faza;
    - Uvod;
    - asimilacija.
  4. Uvođenje pojma srednje proporcionalne dvama segmentima.
  5. Asimilacija koncepta prosječne proporcije dvaju segmenata.
  6. Dokaz o posljedicama:
    - visina pravokutnog trokuta, povučena iz vrha pravog kuta, je prosječna proporcionalna među segmentima na koje je hipotenuza podijeljena ovom visinom;
    - krak pravokutnog trokuta je srednja proporcionalna između hipotenuze i odsječka hipotenuze zatvorenog između katete i visine.
  7. Rješavanje problema.
  8. Rezimirajući.
  9. Postavljanje domaće zadaće.

Tijekom nastave

I. ORGANIZACIJA

Pozdrav ljudi, sjednite. Jesu li svi spremni za lekciju?

Počinjemo s radom.

II. AŽURIRANJE ZNANJA

Koje ste važne matematičke pojmove naučili u prethodnim lekcijama? ( s konceptom sličnosti trokuta)

- Prisjetimo se koja se dva trokuta zovu slična? (dva se trokuta nazivaju sličnima ako su im kutovi jednaki, a stranice jednog trokuta proporcionalne sličnim stranicama drugog trokuta)

Čime dokazujemo sličnost dvaju trokuta? (

- Navedite ove znakove. (formulirajte tri znaka sličnosti trokuta)

III. PROUČAVANJE SVOJSTVA VISINE PRAVOKUTNOG TROKUTA IZVEDENOG IZ VREMENA PRAVOG UGA

a) pripremna faza

- Dečki, pogledajte prvi slajd. ( dodatak) Ovdje su dva pravokutna trokuta - i . i su visine i, respektivno. .

Zadatak 1. a) Odredite jesu li i slični.

Čime dokazujemo sličnost trokuta? ( znakovi sličnosti trokuta)

(prvi znak, budući da se ništa ne zna o stranicama trokuta u zadatku)

. (Dva para: 1. ∟B= ∟B1 (ravne), 2. ∟A= ∟A 1)

- Donesite zaključak. ( po prvom znaku sličnosti trokuta ~)

Zadatak 1. b) Odredite jesu li i slični.

Koji ćemo kriterij sličnosti koristiti i zašto? (prvi znak, jer se u zadatku ništa ne zna o stranicama trokuta)

Koliko parova jednakih kutova trebamo pronaći? Pronađite ove parove (jer su trokuti pravokutni, dovoljan je jedan par jednakih kutova: ∟A= ∟A 1)

- Donesite zaključak. (po prvom znaku sličnosti trokuta zaključujemo da su ti trokuti slični).

Kao rezultat razgovora, slajd 1 izgleda ovako:

b) otkriće teorema

Zadatak 2.

Odrediti ako i , I su slični. Kao rezultat razgovora izgrađuju se odgovori koji se odražavaju na slajdu.

- Brojka je ukazivala na to. Jesmo li koristili ovu mjeru stupnja kada smo odgovarali na pitanja zadataka? ( Ne, nije korišteno)

- Dečki, izvucite zaključak: u koje trokute visina povučena iz vrha pravog kuta dijeli pravokutni trokut? (donesi zaključak)

- Postavlja se pitanje: hoće li ova dva pravokutna trokuta, na koja visina dijeli pravokutni trokut, biti međusobno slični? Pokušajmo pronaći parove jednakih kutova.

Kao rezultat razgovora izrađuje se zapisnik:

- A sada napravimo potpuni zaključak. ( ZAKLJUČAK: visina pravokutnog trokuta povučena iz vrha pravog kuta dijeli trokut na dva dijela sličan

- To. formulirali smo i dokazali teorem o svojstvu visine pravokutnog trokuta.

Uspostavimo strukturu teorema i napravimo crtež. Što je dano u teoremu i što treba dokazati? Učenici zapisuju u svoje bilježnice:

Dokažimo prvu točku teorema za novi crtež. Koji ćemo kriterij sličnosti koristiti i zašto? (Prvo, budući da se ništa ne zna o stranicama trokuta u teoremu)

Koliko parova jednakih kutova trebamo pronaći? Pronađite ove parove. (U ovom slučaju dovoljan je jedan par: ∟A-general)

- Donesite zaključak. Trokuti su slični. Kao rezultat, prikazan je primjer formulacije teorema

- Drugu i treću točku sami napišite kod kuće.

c) asimilacija teorema

- Dakle, ponovno formulirajte teorem (Visina pravokutnog trokuta, povučena iz vrha pravog kuta, dijeli trokut na dva sličan pravokutni trokuti, od kojih je svaki sličan ovome)

- Koliko se parova sličnih trokuta u konstrukciji "u pravokutnom trokutu visina od vrha pravog kuta" može pronaći ovim teoremom? ( Tri para)

Učenici dobijaju sljedeći zadatak:

IV. UVOĐENJE KONCEPTA PROSJEČNOG RAZMJERA DVA PRAVA

Sada ćemo naučiti novi koncept.

Pažnja!

Definicija. Odjeljak XY pozvao prosječna proporcionalna (geometrijska sredina) između segmenata AB i CD, ako

(zapisati u bilježnicu).

V. POVEZIVANJE KONCEPTA PROSJEČNOG RAZMJERA DVA CRTA

Sada prijeđimo na sljedeći slajd.

Vježba 1. Odredite duljinu prosječnih proporcionalnih odsječaka MN i KP, ako je MN = 9 cm, KP = 16 cm.

- Što je dano u zadatku? ( Dva segmenta i njihove duljine: MN = 9 cm, KP = 16 cm)

- Što trebate pronaći? ( Duljina prosječne proporcije ovih segmenata)

- Koja je formula za srednju proporcionalnu vrijednost i kako je nalazimo?

(Podatke zamjenjujemo u formulu i nalazimo duljinu srednjeg propa.)

Zadatak broj 2. Odredite duljinu segmenta AB ako je prosječni proporcionalni dio odsječaka AB i CD 90 cm, a CD = 100 cm

- Što je dano u zadatku? (duljina odsječka CD = 100 cm, a prosječna proporcija segmenata AB i CD je 90 cm)

Što bi se trebalo naći u problemu? ( Duljina segmenta AB)

- Kako ćemo riješiti problem? (Zapišimo formulu za prosječne proporcionalne segmente AB i CD, iz nje izrazimo duljinu AB i zamijenimo podatke zadatka.)

VI. ZAKLJUČAK

- Bravo dečki. A sada se vratimo na sličnost trokuta, koju smo dokazali u teoremu. Ponovite teorem. ( Visina pravokutnog trokuta povučena iz vrha pravog kuta dijeli trokut na dva dijela sličan pravokutnih trokuta, od kojih je svaki sličan danom)

- Prvo se poslužimo sličnošću trokuta i . Što iz ovoga slijedi? ( Po definiciji sličnosti, strane su proporcionalne sličnim stranicama)

- Koja će se jednakost dobiti korištenjem osnovnog svojstva proporcije? ()

– Izrazite CD i donesite zaključak (;.

Zaključak: visina pravokutnog trokuta, povučena iz vrha pravog kuta, je prosječna proporcionalna između segmenata na koje je hipotenuza podijeljena ovom visinom)

- A sada dokažite sami da je kateta pravokutnog trokuta prosječna proporcionalna između hipotenuze i odsječka hipotenuze zatvorene između katete i visine. Pronalazimo iz - ... odsječaka na koje se hipotenuza dijeli sa ovu visinu )

Noga pravokutnog trokuta je srednja proporcionalna između ... (- ... hipotenuza i dio hipotenuze zatvoren između ovog kraka i visine )

– Gdje primjenjujemo naučene tvrdnje? ( Prilikom rješavanja problema)

IX. POSTAVLJANJE DOMAĆE ZADAĆE

d/z: Broj 571, broj 572 (a, e), samostalni rad u bilježnici, teorija.

Danas je vaša pozornost pozvana na još jednu prezentaciju o nevjerojatnoj i tajanstvenoj temi - geometriji. U ovoj prezentaciji upoznat ćemo vas s novim svojstvom geometrijskih oblika, posebice s konceptom proporcionalnih segmenata u pravokutnim trokutima.

Prvo se morate sjetiti što je trokut? Ovo je najjednostavniji poligon koji se sastoji od tri vrha povezana s tri segmenta. Pravokutni trokut je trokut u kojem je jedan od kutova 90 stupnjeva. Već ste se s njima detaljnije upoznali u našim prethodnim materijalima za obuku koji su vam predstavljeni.

Dakle, vraćajući se našoj današnjoj temi, označavamo redom da ga visina pravokutnog trokuta, povučena iz kuta od 90 stupnjeva, dijeli na dva trokuta, koja su slična i jedan drugom i izvornom. Svi crteži i grafikoni koji vas zanimaju navedeni su u predloženom izlaganju, te preporučamo da se na njih uputite uz opisano objašnjenje.

Grafički primjer gornje teze može se vidjeti na drugom slajdu. Polazeći od prvog znaka sličnosti trokuta, trokuti su slični, jer imaju dva identična kuta. Ako detaljnije navedete, tada visina spuštena na hipotenuzu tvori s njom pravi kut, odnosno već postoje identični kutovi, a svaki od formiranih kutova također ima jedan zajednički kut kao svoj izvornik. Rezultat su dva jednaka kuta. Odnosno, trokuti su slični.

Označimo i što sam po sebi znači koncept "proporcionalne sredine" ili "geometrijske sredine"? Ovo je određeni segment XY za segmente AB i CD kada je jednak kvadratnom korijenu umnoška njihovih duljina.

Iz čega također proizlazi da je kateta pravokutnog trokuta geometrijska sredina između hipotenuze i projekcije te katete na hipotenuzu, odnosno drugu nogu.

Drugo svojstvo pravokutnog trokuta je da je njegova visina, povučena iz kuta od 90 o, prosječna proporcionalna između projekcija kateta na hipotenuzu. Ako se osvrnete na prezentaciju i druge materijale koji su vam dostavljeni, vidjet ćete da postoji dokaz ove teze u vrlo jednostavnom i pristupačnom obliku. Ranije smo već dokazali da su rezultirajući trokuti slični jedan drugome i izvornom trokutu. Zatim, koristeći omjer krakova ovih geometrijskih likova, dolazimo do zaključka da je visina pravokutnog trokuta izravno proporcionalna kvadratnom korijenu umnoška segmenata koji su nastali kao rezultat snižavanja visine od pravi kut izvornog trokuta.

Posljednja stvar u prezentaciji je da je krak pravokutnog trokuta geometrijska sredina za hipotenuzu i njezin segment koji se nalazi između katete i visine povučene iz kuta jednakog 90 stupnjeva. Ovaj slučaj treba razmotriti sa strane da su ti trokuti međusobno slični, a krak jednog od njih dobiva se hipotenuzom drugog. Ali to ćete detaljnije upoznati proučavajući predložene materijale.

mob_info