Kako se zove trokut u kojem. Tupokutni trokut: duljina stranica, zbroj kutova. Opisani tupokutni trokut. Svojstva zajednička za sve trokute

Trokut (sa stajališta Euklidova prostora) je takav geometrijski lik, koji se sastoji od tri segmenta koji povezuju tri točke koje ne leže na jednoj ravnoj crti. Tri točke koje tvore trokut nazivaju se njegovim vrhovima, a segmenti koji spajaju vrhove nazivaju se stranice trokuta. Što su trokuti?

Jednaki trokuti

Postoje tri znaka jednakosti trokuta. Koji se trokuti nazivaju jednaki? To su oni koji:

  • dvije stranice i kut između ovih stranica su jednaki;
  • jedna strana i dva kuta uz nju su jednaki;
  • sve tri strane su jednake.

Pravokutni trokuti imaju sljedeće znakove jednakosti:

  • duž oštrog kuta i hipotenuze;
  • uz akutni kut i nogu;
  • na dvije noge;
  • duž hipotenuze i katetusa.

Što su trokuti

Prema broju jednakih stranica trokut može biti:

  • Jednakostraničan. To je trokut s tri jednake stranice. Svi kutovi u jednakostraničnom trokutu su 60 stupnjeva. Osim toga, središta opisane i upisane kružnice poklapaju se.
  • Nejednakostrano. Trokut bez jednakih stranica.
  • Jednakokračni. To je trokut s dvije jednake stranice. Dvije identične strane su stranice, a treća strana je baza. U takvom trokutu simetrala, medijan i visina podudaraju se ako su spušteni na bazu.

Prema veličini kutova trokut može biti:

  1. Tup - kada jedan od kutova ima vrijednost veću od 90 stupnjeva, odnosno kada je tup.
  2. Oštrokutni – ako su sva tri kuta u trokutu oštra, odnosno imaju vrijednost manju od 90 stupnjeva.
  3. Koji se trokut naziva pravokutnim trokutom? Ovo je onaj koji ima jedan pravi kut jednak 90 stupnjeva. Noge u njemu nazvat ćemo dvije stranice koje tvore ovaj kut, a hipotenuza je strana nasuprot pravog kuta.

Osnovna svojstva trokuta

  1. Manji kut uvijek leži nasuprot manje stranice, a veći kut uvijek leži nasuprot veće stranice.
  2. Jednaki kutovi uvijek leže nasuprot jednakih stranica, a suprotne strane uvijek leže pod različitim kutovima. Konkretno, u jednakostraničnom trokutu svi kutovi imaju istu vrijednost.
  3. U bilo kojem trokutu, zbroj kutova je 180 stupnjeva.
  4. Vanjski kut može se dobiti tako da se jedna od njegovih stranica proširi na trokut. Vrijednost vanjskog kuta bit će jednaka zbroju unutarnjih kutova koji nisu uz njega.
  5. Stranica trokuta veća je od razlike njegovih drugih dviju stranica, ali manja od njihova zbroja.

U prostornoj geometriji Lobačevskog, zbroj kutova trokuta uvijek će biti manji od 180 stupnjeva. Na kugli je ta vrijednost veća od 180 stupnjeva. Razlika između 180 stupnjeva i zbroja kutova trokuta naziva se defekt.

Prilikom proučavanja matematike učenici se počinju upoznavati s raznim vrstama geometrijskih oblika. Danas ćemo govoriti o različitim vrstama trokuta.

Definicija

Geometrijski likovi koji se sastoje od tri točke koje nisu na istoj pravoj crti nazivaju se trokuti.

Isječci koji spajaju točke nazivaju se stranice, a točke nazivaju vrhovi. Vrhovi su označeni velikim latiničnim slovima, na primjer: A, B, C.

Stranice su označene nazivima dviju točaka od kojih se sastoje - AB, BC, AC. Presijecajući, stranice tvore kutove. Donja strana se smatra bazom figure.

Riža. 1. Trokut ABC.

Vrste trokuta

Trokuti se dijele prema kutovima i stranicama. Svaka vrsta trokuta ima svoja svojstva.

Postoje tri vrste trokuta u uglovima:

  • oštrokutni;
  • pravokutan;
  • tupim.

Svi kutovi oštrokutna trokuti su oštri, to jest, mjera stupnja svakog od njih nije veća od 90 0.

Pravokutan trokut sadrži pravi kut. Druga dva kuta uvijek će biti oštra, jer će inače zbroj kutova trokuta premašiti 180 stupnjeva, što je nemoguće. Strana koja je suprotna pravom kutu naziva se hipotenuza, a druga dva kraka. Hipotenuza je uvijek veća od kateta.

tupim trokut sadrži tupi kut. To jest, kut veći od 90 stupnjeva. Druga dva kuta u takvom trokutu bit će oštra.

Riža. 2. Vrste trokuta u kutovima.

Pitagorin trokut je pravokutnik čije su stranice 3, 4, 5.

Štoviše, veća stranica je hipotenuza.

Takvi se trokuti često koriste za sastavljanje jednostavnih zadataka u geometriji. Stoga zapamtite: ako su dvije strane trokuta 3, onda će treća definitivno biti 5. To će pojednostaviti izračune.

Vrste trokuta na stranicama:

  • jednakostraničan;
  • jednakokračan;
  • svestran.

Jednakostraničan trokut je trokut u kojem su sve strane jednake. Svi kutovi takvog trokuta jednaki su 60 0, odnosno uvijek je oštrokutni.

Jednakokračni trokut je trokut sa samo dvije jednake stranice. Ove strane se nazivaju bočne, a treća - baza. Osim toga, kutovi na bazi jednakokračnog trokuta jednaki su i uvijek oštri.

Svestran ili proizvoljni trokut je trokut u kojem sve duljine i svi kutovi nisu međusobno jednaki.

Ako nema pojašnjenja o figuri u problemu, onda je općenito prihvaćeno da govorimo o proizvoljnom trokutu.

Riža. 3. Vrste trokuta na stranicama.

Zbroj svih kutova trokuta, bez obzira na njegovu vrstu, je 1800.

Nasuprot većeg kuta je veća stranica. A također je duljina bilo koje strane uvijek manja od zbroja njezinih drugih dviju stranica. Ova svojstva su potvrđena teoremom o nejednakosti trokuta.

Postoji koncept zlatnog trokuta. Ovo je jednakokračni trokut, u kojem su dvije strane proporcionalne bazi i jednake određenom broju. Na takvoj slici kutovi su proporcionalni omjeru 2:2:1.

Zadatak:

Postoji li trokut čije su stranice 6 cm, 3 cm, 4 cm?

Riješenje:

Da biste riješili ovaj zadatak, trebate koristiti nejednakost a

Što smo naučili?

Iz ovog gradiva iz matematike 5. razreda naučili smo da se trokuti razvrstavaju po stranicama i kutovima. Trokuti imaju određena svojstva koja se mogu koristiti pri rješavanju problema.

Trokut u kojem sve stranice nisu iste duljine naziva se svestran.

Trokut s dvije jednake stranice označava se kao jednakokračan. Iste strane se zovu bočno, treća strana osnovu. Sljedeća definicija bila bi jednako istinita osnovice trokuta je stranica jednakokračnog trokuta koja nije jednaka drugim dvjema stranicama.

U jednakokračan trokut bazni kutovi su jednaki. Visina, medijan, simetrala jednakokračni trokut, povučen do njegove baze, kombinirani su.

Trokut, sa svim stranama istim, označava se kao jednakostraničan ili ispravan. U jednakostraničnom trokutu svi kutovi su 60°, a središta upisane i opisane kružnice su poravnata.

Vrste trokuta ovisno o parametrima kutova.

Trokut u kojemu se nazivaju samo kutovi manji od 90 0 (oštri). oštrokutna.

Trokut u kojem je prikazan kut od 90 0 naziva se pravokutan. Obično se označavaju stranice trokuta koje tvore pravi kut noge, a strana nasuprot pravog kuta - hipotenuza.

Danas idemo u zemlju geometrije, gdje ćemo se upoznati s različitim vrstama trokuta.

Proučite geometrijske oblike i među njima pronađite “višak” (slika 1).

Riža. 1. Ilustracija na primjer

Vidimo da su slike br. 1, 2, 3, 5 četverokuti. Svaki od njih ima svoje ime (slika 2).

Riža. 2. Četverokutnici

To znači da je "dodatni" lik trokut (slika 3).

Riža. 3. Ilustracija na primjer

Trokut je lik koji se sastoji od tri točke koje ne leže na istoj pravoj liniji i tri segmenta koji te točke povezuju u paru.

Točke se zovu vrhovima trokuta, segmenti - njegovi stranke. Stranice trokuta se formiraju U vrhovima trokuta postoje tri kuta.

Glavne značajke trokuta su tri strane i tri ugla. Trokuti se klasificiraju prema kutu akutna, pravokutna i tupa.

Trokut se naziva oštrokutnim ako su mu sva tri kuta oštra, odnosno manja od 90° (slika 4).

Riža. 4. Oštri trokut

Trokut se naziva pravokutnim ako mu je jedan od kutova 90° (slika 5.).

Riža. 5. Pravokutni trokut

Trokut se naziva tupokutnim ako mu je jedan od kutova tup, tj. veći od 90° (slika 6).

Riža. 6. Tupokutni trokut

Prema broju jednakih stranica trokuti su jednakostranični, jednakokračni, razmjerni.

Jednakokračni trokut je trokut u kojem su dvije stranice jednake (slika 7).

Riža. 7. Jednakokračni trokut

Ove strane se zovu bočno, Treća strana - osnovu. U jednakokračnom trokutu kutovi na bazi su jednaki.

Jednakokračni trokuti su akutna i tupa(slika 8) .

Riža. 8. Oštri i tupi jednakokračni trokuti

Zove se jednakostranični trokut u kojemu su sve tri stranice jednake (slika 9).

Riža. 9. Jednakostranični trokut

U jednakostranični trokut svi su kutovi jednaki. Jednakostranični trokuti stalno oštrokutna.

Trokut se naziva svestranim, u kojem sve tri strane imaju različite duljine (slika 10.).

Riža. 10. Skalirani trokut

Dovrši zadatak. Podijelite ove trokute u tri skupine (slika 11).

Riža. 11. Ilustracija za zadatak

Prvo, rasporedimo prema veličini kutova.

Oštri trokuti: br. 1, br. 3.

Pravokutni trokuti: #2, #6.

Tupokutni trokuti: #4, #5.

Ti su trokuti podijeljeni u skupine prema broju jednakih stranica.

Skalirani trokuti: br. 4, br. 6.

Jednakokračni trokuti: br. 2, br. 3, br.

Jednakostranični trokut: br. 1.

Pregledajte crteže.

Razmislite od kojeg je komada žice napravljen svaki trokut (slika 12).

Riža. 12. Ilustracija za zadatak

Možete se ovako raspravljati.

Prvi komad žice podijeljen je na tri jednaka dijela, tako da od njega možete napraviti jednakostranični trokut. Na slici je prikazano treće.

Drugi komad žice podijeljen je na tri različita dijela, tako da od njega možete napraviti skalasti trokut. Prvo je prikazano na slici.

Treći komad žice podijeljen je na tri dijela, pri čemu su dva dijela iste duljine, tako da od njega možete napraviti jednakokračni trokut. Prikazano je drugo na slici.

Danas smo se u lekciji upoznali s različitim vrstama trokuta.

Bibliografija

  1. MI. Moro, M.A. Bantova i dr. Matematika: Udžbenik. 3. razred: u 2 dijela, 1. dio. - M .: "Prosvjeta", 2012.
  2. MI. Moro, M.A. Bantova i dr. Matematika: Udžbenik. 3. razred: u 2 dijela, 2. dio. - M .: "Prosvjeta", 2012.
  3. MI. Moreau. Sat matematike: Upute za učitelje. 3. razred - M.: Obrazovanje, 2012.
  4. Regulatorni dokument. Praćenje i evaluacija ishoda učenja. - M.: "Prosvjeta", 2011.
  5. "Ruska škola": Programi za osnovnu školu. - M.: "Prosvjeta", 2011.
  6. SI. Volkov. Matematika: Provjera rada. 3. razred - M.: Obrazovanje, 2012.
  7. V.N. Rudnitskaya. Testovi. - M.: "Ispit", 2012.
  1. Nsportal.ru ().
  2. Prosv.ru ().
  3. Do.gendocs.ru ().

Domaća zadaća

1. Završi fraze.

a) Trokut je lik koji se sastoji od ..., koji ne leži na istoj pravoj liniji, i ..., koji povezuje ove točke u parovima.

b) Točke se nazivaju … , segmenti - njegovi … . Stranice trokuta nastaju u vrhovima trokuta ….

c) Prema veličini kuta trokuti su ..., ..., ....

d) Prema broju jednakih stranica trokuti su ..., ..., ....

2. Crtanje

a) pravokutni trokut

b) oštar trokut;

c) tupokutni trokut;

d) jednakostranični trokut;

e) skalenski trokut;

e) jednakokračni trokut.

3. Napravite zadatak na temu sata za svoje suborce.

Trokut . Oštar, tupokutni i pravokutni trokut.

Noge i hipotenuza. Jednakokračni i jednakostranični trokut.

Zbroj kutova trokuta.

Vanjski kut trokuta. Znakovi jednakosti trokuta.

Divne linije i točke u trokutu: visine, medijane,

simetrale, medijan e okomice, ortocentar,

težište, središte opisane kružnice, središte upisane kružnice.

Pitagorin poučak. Omjer stranica proizvoljnog trokuta.

Trokut je poligon s tri strane (ili tri ugla). Stranice trokuta često se označavaju malim slovima, koji odgovaraju velikim slovima koji označavaju suprotne vrhove.

Ako su sva tri kuta oštra (slika 20), onda ovo oštar trokut . Ako je jedan od uglova ispravan(C, sl. 21), to je pravokutni trokut; stranea , btvoreći pravi kut nazivaju se noge; stranacnasuprot pravog kuta naziva se hipotenuza. Ako jedan od tupi kutovi (B, sl.22), to je tupokutni trokut.


Trokut ABC (slika 23) - jednakokračan, ako dva njegove strane su jednakea= c); te se jednake strane nazivaju bočno, poziva se treća strana osnovu trokut. Trokut ABC (Sl. 24) - jednakostraničan, ako svi njegove strane su jednakea = b = c). Općenito ( a ≠ b ≠ c) imamo scalene trokut .

Osnovna svojstva trokuta. U bilo kojem trokutu:

1. Nasuprot veće strane je veći kut, i obrnuto.

2. Jednaki kutovi leže nasuprot jednakih stranica, i obrnuto.

Konkretno, svi kutovi u jednakostraničan trokuta su jednaki.

3. Zbroj kutova trokuta je 180 º .

Iz posljednja dva svojstva proizlazi da je svaki kut u jednakostranični

trokut je 60 º.

4. Nastavljajući jednu od stranica trokuta (AC, sl. 25), dobivamo vanjski

kut BCD . Vanjski kut trokuta jednak je zbroju unutarnjih kutova,

nije vezano za to :BCD=A+B.

5. Bilo koji stranica trokuta manja je od zbroja druge dvije stranice i više

njihove razlike (a < b + c, a > b – c;b < a + c, b > a – c;c < a + b,c > a – b).

Znakovi jednakosti trokuta.

Trokuti su podudarni ako su, odnosno jednaki:

a ) dvije stranice i kut između njih;

b ) dva ugla i strana uz njih;

c) tri strane.

Znakovi jednakosti pravokutnih trokuta.

Dva pravokutan trokuti su podudarni ako je jedan od sljedećih uvjeta istinit:

1) noge su im jednake;

2) kateta i hipotenuza jednog trokuta jednake su kateta i hipotenuze drugoga trokuta;

3) hipotenuza i oštar kut jednog trokuta jednaki su hipotenuzi i oštrom kutu drugoga trokuta;

4) kateta i susjedni oštar kut jednog trokuta jednaki su kateta i susjednom oštrom kutu drugoga;

5) kateta i suprotni oštar kut jednog trokuta jednaki su kateta i nasuprot oštrom kutu drugog.

Prekrasne linije i točke u trokutu.

Visina trokut jeokomito,spušten s bilo kojeg vrha na suprotnu stranu ( ili njegov nastavak). Ova strana se zoveosnovica trokuta . Tri visine trokuta se uvijek sijekuu jednom trenutkupozvao ortocentar trokut. Ortocentar oštrog trokuta (točka O , sl. 26) nalazi se unutar trokuta, iortocentar tupokuta (točka O , sl.27) – vani; Ortocentar pravokutnog trokuta poklapa se s vrhom pravog kuta.

Medijan - ovo odjeljak , povezuje bilo koji vrh trokuta sa središtem suprotne strane. Tri medijane trokuta (AD , BE , CF , sl. 28) sijeku u jednoj točki O , koji uvijek leži unutar trokuta i biti njegov centar gravitacije. Ova točka dijeli svaki medijan 2:1 od vrha.

Simetrala - ovo segment simetrala kut od vrha do točke sjecište sa suprotnom stranom. Tri simetrale trokuta (AD , BE , CF , sl. 29) sijeku u jednoj točki Oh, uvijek leži unutar trokuta I biće središte upisane kružnice(vidi odjeljak "Upisanoi opisani poligoni).

Simetrala dijeli suprotnu stranu na dijelove proporcionalne susjednim stranicama ; na primjer, na sl.29 AE : CE = AB : BC .

Srednja okomita je okomica povučena iz srednje vrijednosti segmentne točke (stranice). Tri okomite simetrale trokuta ABC(KO, MO, NE, sl.30 ) sijeku se u jednoj točki O, koja je centar opisani krug (točke K, M, N središta stranica trokuta ABC).

U oštrom trokutu ova točka leži unutar trokuta; u tupim - izvana; u pravokutnom - u sredini hipotenuze. Ortocentar, težište, središte opisane i središte upisane kružnice podudaraju samo u jednakostraničnom trokutu.

Pitagorin poučak. U pravokutnom trokutu, kvadrat duljineHipotenuza je jednaka zbroju kvadrata duljina kateta.

Dokaz Pitagorinog teorema očito slijedi iz sl.31. Razmotrimo pravokutni trokut ABC s nogama a , b i hipotenuzu c.

Izgradimo trg AKMB koristeći hipotenuzu AB kao stranu. Zatimprodužiti stranice pravokutnog trokuta ABC pa da dobijemo kvadrat CDEF , čija je strana jednakaa + b .Sada je jasno da je površina kvadrata CDEF je ( a+b) 2 . S druge strane, ovo površina je jednaka zbroju područja četiri pravokutna trokuta i kvadratni AKMB , tj

c 2 + 4 (ab / 2) = c 2 + 2 ab,

odavde,

c 2 + 2 ab= (a+b) 2 ,

i konačno imamo:

c 2 =a 2 +b 2 .

Omjer stranica proizvoljnog trokuta.

U općem slučaju (za proizvoljni trokut) imamo:

c 2 =a 2 +b 2 – 2ab· cos c,

gdje je C - kut između stranicaa I b .

mob_info