Rovnica SIN X \u003d A. Formulára Trigonometry I Group. Hlavné identity
V trigonometrie sa mnohé vzorce jednoduchšie odoberajú ako riadiť. Cosuine Dual Corner - Nádherný vzorec! To vám umožní získať vzorce na zníženie stupňa a vzorec polovice uhla.
Potrebujeme teda dvojité rohové cosine a trigonometrickú jednotku:
Sú to ešte podobné: v Cosine vzorec dvojitého uhla - rozdiel štvorcov kosínutí a sínusu a v trigonometrickej jednotke - ich množstvo. Ak vyjadrujete kosínus z trigonometrickej jednotky:
a nahradiť ho v kosíne dvojitého uhla, dostaneme:
Toto je ďalší dvojitý rohový cosine vzorec:
Tento vzorec je kľúčom k získaniu vzorca redukcie stupňa:
Tak, vzorec na zníženie stupňa sine:
Ak je alfa uhol nahradený v polovici uhla alfa na polovicu, a zdvojnásobiť uhol dvoch alfa - v uhle alfa, potom dostaneme vzorec polovi polovice uhla pre sínus:
Teraz, z trigonometrickej jednotky, budeme vyjadriť sínus:
Tento výraz nahrádzame v dvojitom rohu Cosine Formule:
Dostal ďalší cosine vzorec dvojitého uhla:
Tento vzorec je kľúčom k nájdeniu vzorec na zníženie stupňa kosínutého a pol uhla pre kosínus.
Vzorec na zníženie stupňa COSINE:
Ak je nahradený α na α /2 a 2α - na α, potom dostaneme vzorec polovičného argumentu pre Cosine:
Keďže Tangent je sínusový postoj k Cosine, ktorý vzorec pre Tangent:
KOTANGENES - postoj Cosine do Sinus. Preto vzor pre kotangens:
Samozrejme, v procese zjednodušenia trigonometrických výrazov vzorca polovice uhla alebo zníženia stupňa, nemá zmysel vždy na výstup. Je oveľa ľahšie dať list s vzorcami. A zjednodušenie sa presunie rýchlejšie a vizuálna pamäť sa bude zapnúť na zapamätanie.
Ale niekoľkokrát odstrániť tieto vzorce stále náklady. Potom budete absolútne istí, že na skúške, keď nie je príležitosť používať postieľku, môžete ich ľahko dostať v prípade potreby.
| BD | - dĺžka oblúka kruhu so stredom v bode a.
α - uhol, vyjadrený v radiánoch.
Tangent ( tg α.) - Toto je trigonometrická funkcia v závislosti od uhla a medzi hypoténou a katedou obdĺžnikového trojuholníka, rovnajúcu sa pomeru dĺžky opačnej kategórie | BC | na dĺžku susednej kategórie AB | .
KOTNENCE ( ctg α.) je trigonometrická funkcia, v závislosti od uhla a medzi hypoténou a kartou ribal trojuholníka, rovnajúca sa pomeru dĺžky susednej kategórie | AB | na dĺžku opačnej kategórie BC | .
Dotyčnica
Kde n. - celé.
V západnej literatúre je Tangent označený ako:
.
;
;
.
Tangent Function Graf, Y \u003d TG X
Cotangent
Kde n. - celé.
V západnej literatúre, Kothanns je označený takto:
.
Prijajú sa aj nasledujúce notácie:
;
;
.
COTANENCE funkčný graf, y \u003d ctg x
Vlastnosti Tangenta a KOTNENCE
Periodicita
Funkcie y \u003d. tG X. a y \u003d. cTG X. Periodicky s obdobím π.
Parita
Funkcie Tangenta a Kotangenes sú nepárne.
Oblasti definovania a hodnôt, zvýšenie, zníženie
Funkcie Tangenta a COTANGENES sú nepretržité v oblasti definície (pozri dôkaz o kontinuite). Hlavné vlastnosti tangence a kotnerence sú uvedené v tabuľke ( n. - celé).
| y \u003d. tG X. | y \u003d. cTG X. | |
| Oblasť definície a kontinuity | ||
| Región hodnôt | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
| Vzostupný | - | |
| Odzbrojenie | - | |
| Extrémy | - | - |
| Zeros, y \u003d 0 | ||
| Bod priesečníka s ordináciou osou, x \u003d 0 | y \u003d. 0 | - |
Vzor
Výrazy cez sínus a kosínus
;
;
;
;
;
Tangenty a kotangentné vzorce z množstva a rozdielu
Zostávajúce vzorce sa ľahko dostanú, napríklad
Prác
Vzorec sumy a rozdielu tangás
Táto tabuľka predstavuje hodnoty tangás a zostupovače pri niektorých hodnotách argumentu. 
Integrované výrazy
Výrazy prostredníctvom hyperbolických funkcií
;
;
Deriváty
; .
.
N-TH Order Derivát premennou X z funkcie:
.
Výstupné vzorce pre Tangent \u003e\u003e\u003e; Pre COTANZA \u003e\u003e\u003e
Integrály
Rozklad v hodnostiach
Ak chcete získať rozklad Tangenta v stupňoch X, musíte mať niekoľko členov rozkladu v riadku Power pre funkcie sIN X. a cOS X. A tieto polynómy rozdeľujú navzájom,. V tomto prípade sa získajú nasledujúce vzorce.
Na.
na.
Kde B N. - Čísla Bernoulli. Sú určené buď z rekurentného pomeru:
;
;
kde.
Buď podľa Laplace Formula: 
Reverzné funkcie
Inverzné funkcie do tangenca a kotangentu sú Arctans a Arkcotanencia.
ArctGennes, Arctg.
kde n. - celé.
Arkkothangenes, ARCCTG.
kde n. - celé.
Referencie:
I.N. Bronstein, K.A. SemendYaev, referenčná kniha o matematike pre inžinierov a študentov účastníkov, "LAN", 2009.
Korn, matematika adresár pre vedcov a inžinierov, 2012.
Vzorce v trigonometrie veľa.
Pamätajte si, že sú mechanicky veľmi ťažké, takmer nemožné. V triede, mnoho školákov a študentov si vychutnávajú výtlačky na nohavičky učebníc a notebookov, plagáty na stenách, postieľky, nakoniec. A ako byť na skúške?
Avšak, ak sa pozriete na tieto vzorce, zistíte, že sú všetci prepojení a majú určitú symetriu. Analyzujme, aby sa zohľadnili definície a vlastnosti trigonometrických funkcií na určenie minimum, ktoré je skutočne za to, že sa učiť srdcom.
I Skupina. Hlavné identity
hriech 2 α + cos 2 a \u003d 1;
tgα \u003d. ____ Sinα Cosa; Ctgα \u003d. ____ Cosa Sinα. ;
tGa · CTGa \u003d 1;
1 + TG 2 a \u003d _____ 1 COS 2 α; 1 + CTG 2 α \u003d _____ 1 SIN 2 α.
Táto skupina obsahuje najjednoduchšie a najobľúbenejšie vzorce. Väčšina študentov ich pozná. Ale ak stále existujú ťažkosti, potom si spomenúť na prvé tri vzorce, mentálne si predstavte obdĺžnikový trojuholník s hypotenukleárnou rovnou. Potom budú jeho kartety rovní, resp. Sinα určiť sínus (pomer opačnej katech na hyptotenuse) a COSa na určenie kosínutého (pomer susedného katechov pre hyptotenuse).
Prvým vzorcom je teorem Pytagoras pre taký trojuholník - súčet štvorcov katézie sa rovná námesti hyptootenuse (1 2 \u003d 1), druhá a tretí je definícia dotyčnosti (pomer the Opakovaná kategória pre susedné) a katangen (pomer susednej kategórie na opačnú).
Práca Tangenta na Kotangenes je 1, pretože katastrofa zaznamenaná vo forme frakcie (tretina vzorec) je invertovaný tangent (druhý vzorec). Mimochodom, z dôvodu, že je možné vylúčiť z vzorcov, že je potrebné zapamätať si všetky nasledujúce dlhé vzorce s KOTANDENTOM. Ak sa stretnete s CTGα v akomkoľvek náročnej úlohe, len nahradíte frakciou ___ 1 tgα. A použiť vzorce pre dotyčnicu.
Posledné dve vzorce nemožno zapamätať. Sú menej časté. A ak potrebujete, môžete ich vždy vybrať na návrhu znovu. Aby to urobilo, stačí nahradiť namiesto dotyčnice alebo kontaktu ich definície po zlomení (vzorca dve a tretie, resp.) A viesť expresiu na všeobecný menovateľ. Je však dôležité si uvedomiť, že takéto vzorce, ktoré viažu štvorce dotyčnice a kosínu, a štvorce Kotangens a sínus existujú. V opačnom prípade nemôžete uhádnuť, ktoré konverzie sú potrebné na vyriešenie konkrétnej úlohy.
II. Prídavok formulárov
hriech (α + β) \u003d sinα · cosp + cosa · SINP;
hriech (α - β) \u003d sinα · cosp - cosa · sinp;
cOS (α + β) \u003d Cosa · COSP - SINA · SINP;
cOS (α - β) \u003d COSA · COSP + SINA · SINP;
tG (α + β) \u003d TGa + TGp _________ 1 - TGa · TGp;
tG (α - β) \u003d
Pripomeňme presnosť parity / podivnosti trigonometrických funkcií:
hriech (-α) \u003d - hriech (α); cos (-α) \u003d cos (α); TG (-α) \u003d - TG (α).
Zo všetkých trigonometrických funkcií, len Cosine je dokonca funkcia a nemení svoj znak pri zmene nápisu argumentu (uhol), zostávajúce funkcie sú nepárne. Presnosť funkcie, v skutočnosti, znamená, že znamienko mínus môže byť vykonané a vyložená znak funkcie. Preto, ak sa stretnete s trigonometrickým výrazom s rozdielom dvoch uhlov, môžete ho vždy pochopiť ako súčet pozitívnych a negatívnych uhlov.
Napríklad, hriech ( x. - 30 °) \u003d hriech ( x. + (-30 °)).
Ďalej používame súčet vzorca dvoch uhlov a riešime znamenia:
hriech ( x. + (-30 °)) \u003d hriech x.· COS (-30º) + COS x.· SIN (-30º) \u003d
Hriech x.· COS30º - COS x.· Sin30º.
Všetky vzorce obsahujúce rozdiel uhlov sa teda môžu jednoducho preskočiť na prvom mieste. Potom by ste sa mali naučiť obnoviť ich všeobecne, najprv na návrh, a potom mentálne.
Napríklad TG (α - p) \u003d TG (α + (-p)) \u003d TGa + TG (-β) ___________ 1 - TGa · TG (-β) = TGα - TGp _________ 1 + TGa · TGp.
To pomôže viac rýchlejšie, aby ste sa hádali, ktoré transformácie je potrebné aplikovať na vyriešenie úlohy trigonometrie.
SH skupiny. Formuly viacerých argumentov
sin2α \u003d 2 · Sinα · Cosa;
cOS2α \u003d COS 2 α - SIN 2 α;
tg2α \u003d. 2TGα _______ 1 - TG 2 a;
sin3a \u003d 3sinα - 4sin 3 a;
cOS3a \u003d 4cos 3 a - 3cosa.
Potreba používať vzorce pre sine a kosínus dvojitého uhla sa vyskytuje aj veľmi často, aj pre tangent. Tieto vzorce by mali byť známe srdcom. Okrem toho nie sú žiadne ťažkosti pri ich zapamätaní. Po prvé, vzorce sú krátke. Po druhé, sú ľahko ovládané vzorcami predchádzajúcej skupiny, na základe skutočnosti, že 2a \u003d α + a.
Napríklad:
hriech (α + β) \u003d sinα · cosp + cosa · SINP;
hriech (α + α) \u003d sinα · cosa + cosa · sinα;
Sin2α \u003d 2sinα · Cosa.
Avšak, ak ste sa naučili tieto vzorce rýchlejšie, a nie tých predchádzajúcich, potom môžete konať naopak: na zapamätanie sa na súčet dvoch uhlov zodpovedajúcim vzorcom pre dvojitý uhol.
Napríklad, ak potrebujete cosine vzorec na súčet dvoch uhlov:
1) Zapamätajte si dvojitý rohový cosine vzorec: cOS2. x. \u003d Cos 2. x. - SIN 2. x.;
2) Maľujeme ju dlho: cos ( x. + x.) \u003d Cos. x.· COS. x. - hriech x.Hriech x.;
3) nahradiť jeden h. Na α, druhý na β: cos (α + β) \u003d Cosa · COSP - SINA · SINP.
Opakujte podobne ako obnoviť vzorce pre sínusovú sumu a dotyčnicu. V zodpovedných prípadoch, ako napríklad EGE, skontrolujte presnosť znížených vzorcov na známej štvrťroku: 0º, 30º, 45º, 60º, 90º.
Kontrola predchádzajúceho vzorca (získaný nahradením v riadku 3):
byť α \u003d 60 °, p \u003d 30 °, a + β \u003d 90 °,
potom cOS (α + β) \u003d COS90 ° \u003d 0, COSα \u003d COS60 ° \u003d 1/2, COSP \u003d COS30 ° \u003d √3 _
/ 2, sinα \u003d SIN60 ° \u003d √3 _
/ 2, SINP \u003d SIN30 ° \u003d 1/2;
Hodnoty nahradíme vo vzorci: 0 \u003d (1/2) · ( √3_
/2) − (√3_
/ 2) · (1/2);
0 ≡ 0, chyby nie sú zistené.
Formuláry pre trojitý uhol, podľa môjho názoru, nie je potrebné "nástroj". Zriedka sa nachádzajú na skúškach EGE. Ľahko odvodzujú z vzorcov, ktoré boli vyššie, pretože Sin3α \u003d SIN (2α + α). A tí študenti, ktorí sa z nejakého dôvodu stále potrebujú naučiť tieto vzorce srdcom, odporúčam vám, aby ste venovali pozornosť svojej nejakej "symetriu" a pamätajte na samotné vzorce, ale mnemonické pravidlá. Napríklad poradie, v ktorom sa čísla nachádzajú v dvoch vzorcoch "33433433", atď.
IV skupina. Suma / rozdiel -
sinα + SINP \u003d 2 · SIN α + β ____ 2· COS. α - β ____ 2 ;
sinα - Sinp \u003d 2 · SIN α - β ____ 2· COS. α + β ____ 2 ;
cosa + cosp \u003d 2 · cos α + β ____ 2· COS. α - β ____ 2 ;
cosa - cosp \u003d -2 · hriech α - β ____ 2Hriech α + β ____ 2 ;
tgα + tgp \u003d hriech (α + β) ________ Cosa · COSP ;
tGα - TGp \u003d hriech (α - β) ________ Cosa · COSP .
Pomocou presnosti funkcií sínusu a tangenca: hriech (-α) \u003d - hriech (α); TG (-α) \u003d - TG (α),
Môžete vytvoriť rozdiely dvoch funkcií na zníženie vzorcov pre ich sumy. Napríklad,
sIN90º - SIN30º \u003d SIN90º + SIN (-30º) \u003d 2 · SIN 90º + (-30º) __________ 2· COS. 90 ° - (-30 °) __________ 2 =
2 · SIN30º · COS60º \u003d 2 · (1/2) · (1/2) \u003d 1/2.
Vzorce rozdielu dutín a tangás sa teda nemusia nevyhnutne okamžite zapamätať.
Sumou a rozdielom Cosine je situácia zložitejšia. Tieto vzorce nie sú zameniteľné. Ale znova, pomocou parity kosínu, môžete si spomenúť na nasledujúce pravidlá.
Množstvo Cosa + COSP nemôže zmeniť svoje označenie pre akékoľvek zmeny v príznakoch uhlov, takže výrobok by mal tiež pozostávať z dokonca funkcií, t.j. Dve Cosines.
Znamenie rozdielu COSa - COSP závisí od hodnôt samotných funkcií, čo znamená, že pracovná značka by mala závisieť od korelácie uhlov, takže výrobok by mal pozostávať z nepárnych funkcií, t.j. dve série.
Táto skupina vzorcov však nie je najjednoduchšia zapamätať si. To je prípad, keď je lepšie zostreliť, ale viac kontroly. Aby ste predišli chybám vo vzorci v danej skúške, uistite sa, že ste ho najprv zaznamenali na návrh a skontrolujte dvomi spôsobmi. Prvé substitúcie p \u003d a a β \u003d -α, potom známymi hodnotami funkcií pre jednoduché uhly. Aby to urobilo, je najlepšie vziať 90º a 30º, ako to bolo vykonané vo vyššie uvedenom príklade, pretože polovica-diéta a sedimentality týchto hodnôt opäť dávajú jednoduché uhly, a môžete ľahko vidieť, ako sa rovnosť stáva identitou správnu možnosť. Alebo naopak, nevykonávate, ak sa mýlite.
Príkladkontroly vzorca Cosa - COSP \u003d 2 · SIN α - β ____ 2Hriech α + β ____ 2 Pre rozdiel kosoviek s chybou !
1) Nech β \u003d α, potom Cosa - Cosa \u003d 2 · SIN α - α _____ 2Hriech α + α _____ 2 \u003d 2SIN0 · SINA \u003d 0 · SINA \u003d 0. Cosa - Cosa ≡ 0.
2) Nech β \u003d - α, potom cosa - cos (- α) \u003d 2 · hriech α - (-α) _______ 2Hriech α + (-α) _______ 2 \u003d 2sinα · Sin0 \u003d 0 · Sinα \u003d 0. Cosa - COS (- α) \u003d Cosa - Cosa ≡ 0.
Tieto kontroly ukázali, že funkcie vo vzore sa používajú správne, ale vzhľadom na to, že identita získala typ 0 ≡ 0, chyba so znakom alebo koeficientom by mohla vynechať. Vykonávame tretiu kontrolu.
3) Nech α \u003d 90 °, β \u003d 30 °, potom COS90º - COS30º \u003d 2 · SIN 90º - 30º ________ 2Hriech 90º + 30º ________ 2 \u003d 2sin30º · SIN60º \u003d 2 · (1/2) · (√3 _ /2) = √3_ /2.
cOS90 - COS30 \u003d 0 - √3 _ /2 = −√3_ /2 ≠ √3_ /2.
Chyba bola naozaj v znamení a len v znamení pred prácou.
V pásmo. Práca - v množstve / rozdielom
sinα · Sinp \u003d 1 _ 2 · (COS (α - β) - cos (α + β));
cosa · cosp \u003d 1 _ 2 · (COS (α - β) + COS (α + β));
sinα · cosp \u003d 1 _ 2 · (Hriech (α - β) + hriech (α + β)).
Názov piatej skupiny samotných vzorcov naznačuje, že tieto vzorce sú opačné s ohľadom na predchádzajúcu skupinu. Je zrejmé, že v tomto prípade je ľahšie obnoviť vzorec na návrhu, než aby sa naučil znova, zvýšenie rizika vytvárania "kašu v hlave". Jediná vec, ktorá má zmysel zamerať sa na rýchlejšie obnovenie vzorca, toto sú nasledovné rovnosti (skontrolovať):
α = α + β ____ 2 + α - β ____ 2; β = α + β ____ 2 − α - β ____ 2.
Zvážiť príklad: je potrebné previesť sin5 x.· COS3. x. v súčte dvoch trigonometrických funkcií.
Vzhľadom k tomu, práca zahŕňa sínus, a Cosine, potom berieme z predchádzajúcej skupiny vzorca pre množstvo dutín, ktoré sa už naučili a napíšu na návrh.
sinα + SINP \u003d 2 · SIN α + β ____ 2· COS. α - β ____ 2
5. x. = α + β ____ 2 a 3. x. = α - β ____ 2 , potom α \u003d α + β ____ 2 + α - β ____ 2 = 5x. + 3x. = 8x., β = α + β ____ 2 − α - β ____ 2 = 5x. − 3x. = 2x..
Nahradíme vo vzorci na návrhu hodnôt uhlov, vyjadrených prostredníctvom premenných α a β, na hodnotách uhlov, vyjadrených premennou x..
Prijať sIN8. x. + SIN2. x. \u003d 2 · Sin5 x.· COS3. x.
Rozdeľujeme obe časť spravodlivosti pre 2 a napíšte ho do finále vpravo doľava sin5 x.· COS3. x. = 1 _ 2 (SIN8. x. + SIN2. x.). Odpoveď je pripravená.
Ako cvičenie: Vysvetlite, prečo v učebnicovom prúde pre transformáciu sumy / rozdielu v práci 6 a inverznej (pre konverziu produktu v súčte alebo rozdiel) - len 3?VI Skupina. Študovacie vzorce
cos 2 α \u003d 1 + cos2α _________ 2;
sIN 2 α \u003d 1 - COS2α _________ 2;
cos 3 α \u003d 3cosα + cos3α ____________ 4;
sIN 3 α \u003d 3sinα - SIN3α ____________ 4.
Prvé dve vzorce tejto skupiny sú veľmi potrebné. Často sa používa pri riešení trigonometrických rovníc, vrátane úrovne jednej skúšky, ako aj pri výpočte integrálov obsahujúcich elementárne funkcie trigonometrického typu.
Môže byť ľahšie si ich zapamätať v nasledujúcom "jednom príbehu"
2cos 2 a \u003d 1 + COS2a;
2 hriech 2 α \u003d 1 - cos2α,
A môžete sa vždy rozdeliť na 2 alebo v návrhu.
Potreba používať tieto dve vzorce (s kockami funkcií) na skúškach je oveľa menej časté. V inom nastavení budete mať vždy čas na používanie návrhu. Možné sú nasledujúce možnosti:
1) Ak si spomeniete na posledné dve vzorce skupiny III, potom ich použite na vyjadrenie hriechu 3 a a cos 3 α jednoduchými transformáciami.
2) Ak ste v posledných dvoch vzorcoch tejto skupiny si všimli prvky symetrie, ktoré prispievajú k ich zapamätaniu, potom zapíšte náčrty vzorcov na návrhu a skontrolujte ich podľa hodnôt hlavných rohov.
3) Ak okrem toho, že takéto stupne redukčné vzorce existujú, nič o nich neviete, potom problém vyriešite v etapách, na základe skutočnosti, že hriech 3 α \u003d hriech 2 · sinα a iné naučené vzorce. Redukčné vzory stupňa pre štvorec a vzorec pre transformáciu práce v množstve.
Skupina VII. Polovičný argument
hriech. α _ 2. = ± √ 1 - Cosa ________ 2;_____
cos. α _ 2. = ± √ 1 + COSα ________ 2;_____
tG. α _ 2. = ± √ 1 - Cosa ________ 1 + Cosa._____
Nevidím bod v zapamätení srdcom tejto skupiny vzorcov vo forme, v ktorom sú prezentované v učebniciach a referenčných knihách. Ak to pochopíte α je polovica 2a, To stačí, aby sa rýchlo odvodil požadovaný vzorec polovičného argumentu, vztiahnuté na prvé dve vzorce na zníženie stupňa.
To platí aj na polovicu dotyčnice, vzorec, pre ktorý sa získa rozdelením expresie pre sínus na zodpovedajúci expresiu pre kosínus.
Nezabudnite len pri odstraňovaní odmocniny ± .
Skupiny VIII. Univerzálna substitúcia
sinα \u003d 2TG (α / 2) _________ 1 + TG 2 (α / 2);
cosa \u003d. 1 - TG 2 (α / 2) __________ 1 + TG2 (α / 2);
tgα \u003d. 2TG (α / 2) _________ 1 - TG 2 (α / 2).
Tieto vzorce môžu byť veľmi užitočné na riešenie trigonometrických úloh všetkých typov. Umožňujú vám realizovať princíp "jeden argument je jedna funkcia", ktorá vám umožní nahradiť premenné, ktoré znižujú komplexné trigonometrické výrazy algebraickému. Niet divu, že táto substitúcia sa nazýva univerzálna.
Prvé dve vzorce sa učia. Tretí je možné získať rozdelením prvých dvoch na seba podľa definície Tgα Tangent \u003d sinα ___ Cosa.
IX GROUP. Reklamácie.
Zaoberať sa touto skupinou trigonometrických vzorcov, FieX skupina. Hodnoty pre hlavné rohy.
Hodnoty trigonometrických funkcií pre hlavné rohy prvého štvrťroka sú uvedené.Tak to urob výkon: Trigonometria vzorcami je potrebné vedieť. Čím väčšie, tým lepšie. Ale čo tráviť svoj čas a úsilie - zapamätať si vzorce alebo na ich oživenie v procese riešenia úloh, každý by mal každý vyriešiť nezávisle.
Príklad úlohy používania trigonometria vzorca
Riešiť rovnicu sin5 x.· COS3. x. - SIN8. x.· COS6. x. = 0.Máme dve rôzne funkcie hriech () a cos () a štyri! Rôzne argumenty 5. x., 3x., 8x. a 6. x.. Bez predbežných transformácií nebude možné znížiť najjednoduchšie typy trigonometrických rovníc. Preto sa najprv pokúsite nahradiť diela na sumy alebo rozdielu funkcií.
Robíme to rovnako ako v príklade vyššie (pozri časť).
hriech (5. x. + 3x.) + hriech (5 x. − 3x.) \u003d 2 · SIN5 x.· COS3. x.
SIN8. x. + SIN2. x. \u003d 2 · Sin5 x.· COS3. x.
hriech (8. x. + 6x.) + hriech (8 x. − 6x.) \u003d 2 · SIN8 x.· COS6. x.
Sin14. x. + SIN2. x. \u003d 2 · SIN8 x.· COS6. x.
Vyjadrenie práce z týchto rovnováhy ich nahrádzame do rovnice. Dostaneme:
(SIN8. x. + SIN2. x.) / 2 - (SIN14 x. + SIN2. x.)/2 = 0.
Vynásobíme 2 z oboch častí rovnice, odhaliť zátvorky a dať takýmto členom
SIN8. x. + SIN2. x. - SIN14. x. - Sin2. x. = 0;
SIN8. x. - SIN14. x. = 0.
Rovnica sa výrazne zjednodušila, ale vyriešiť to tak sin8 x. \u003d SIN14. x.Preto 8. x. = 14x. + T, kde t - obdobie je nesprávne, pretože nevieme hodnotu tohto obdobia. Preto používame, že v pravej časti rovnosti stojí 0, s ktorým je ľahké porovnávať multiplikátory v akomkoľvek výraze.
Rozkladať SIN8 x. - SIN14. x. Pre multiplikátorov musíte ísť z rozdielu na prácu. Aby ste to mohli urobiť, môžete použiť sinusový rozdielový vzorec, alebo opäť receptúry súčet dutínov a podivnosť funkcie sínusy (pozri príklad v časti).
sIN8. x. - SIN14. x. \u003d SIN8. x. + SIN (-14 x.) \u003d 2 · hriech 8x. + (−14x.) __________ 2 · COS. 8x. − (−14x.) __________ 2 \u003d SIN (-3 x.) · COS11 x. \u003d -Sin3 x.· COS11 x..
Tak, rovnica sin8 x. - SIN14. x. \u003d 0 je ekvivalentné sin3 rovnici x.· COS11 x. \u003d 0, ktoré je zase ekvivalentné kombinácii dvoch jednoduchých Equations Sin3 x. \u003d 0 a COS11 x. \u003d 0. Riešenie druhej, získame dve série odpovedí
x. 1 \u003d π. n./3, n.ΕZ.
x. 2 \u003d π / 22 + π k./11, k.ΕZ.
Ak ste zistili chybu alebo typické v texte, informujte ho na e-mailovú adresu [Chránené e-mail] . Budem veľmi vďačný.
Pozor, ©. matematichka.. Priame kopírovanie materiálov na iných miestach je zakázané. Odkazy.
Úloha.
Nájdite hodnotu x na.
Rozhodnutie.
Nájdite hodnotu funkcie funkcie, pri ktorej sa rovná akejkoľvek hodnote znamená určiť, aké argumenty bude veľkosť sine presne tak, ako je uvedené v stave.
V tomto prípade musíme zistiť, čo hodnota bude sínusová hodnota 1/2. To sa dá urobiť niekoľkými spôsobmi.
Napríklad použiť, podľa ktorého určiť, akú hodnoty X bude funkcia sínusu 1/2.
Ďalším spôsobom. Dovoľte mi pripomenúť, že hodnoty sínusov ležia na osu ou.
Najbežnejším spôsobom je odvolať sa na, najmä ak hovoríme o hodnotách takýchto štandardných funkcií ako 1/2.
Vo všetkých prípadoch by ste nemali zabudnúť na jednu z najdôležitejších vlastností sínusu - o jeho období.
Nájdite v tabuľke 1/2 pre sínus a pozrime sa, aké argumenty to zodpovedá. Argumenty, ktoré máte záujem, sú PI / 6 a 5P / 6.
Píšeme všetky korene, ktoré spĺňajú špecifikovanú rovnicu. Aby ste to urobili, napíšte nám neznámy argument a jednu z hodnôt argumentu získaného z tabuľky, to znamená PI / 6. Píšeme na ňu, vzhľadom na obdobie sínu, všetky hodnoty Argument:
Vezmite druhú hodnotu a robíme rovnaké kroky ako v predchádzajúcom prípade:
Kompletné riešenie zdrojovej rovnice bude: 
a 
q. Môže mať hodnotu akéhokoľvek celého čísla.
Na tejto stránke nájdete všetky hlavné trigonometrické vzorce, ktoré vám pomôžu vyriešiť mnohé cvičenia, výrazne zjednodušujú samotnú výraz.
Trigonometrické vzorce - matematická rovnosť pre trigonometrické funkcie, ktoré sa vykonávajú so všetkými platnými hodnotami argumentu.
Vzorce sú dané vzťahy medzi hlavnými trigonometrickými funkciami - sine, kosínom, tangentami, kotangentami.
Sínu z uhla je súradnica y bod (ordinácia) na jednom kruhu. Cosine Angle je súradnicový x bod (Abscissa).
Tangent a kotangény sú teda pomer sine na kosínu a naopak.
`hriech alfa" alfa "
`Tg a \u003d frac (hin alfa) (cos a),` `alfa n nerac pi2 + pi n, n '
`CTG a \u003d frac (cos a) (hriech a),` `alfa ne-nepoužívanie
A dva, ktoré sa používajú menej často stretnutia, Sosekans. Označujú pomery 1 k kosínu a sínusu.
`` sec apha \u003d frac (1) (cos a), `` alfa n nerac pi2 + pi n, n '
`Cosec apha \u003d frac (1) (hriech alfa),` `'alfa \\ ne-\\ _ ~ PI N, v Z"
Z definícií trigonometrických funkcií môžete vidieť, ktoré značky majú v každom štvrťroku. Funkcia funkcie závisí len na tom, ktorý z štvrťroku je argument.
Keď sa argument podpíše zmení "+" na "-", iba cosine function nemení jeho hodnotu. To sa nazýva aj. Jeho graf je symetrický o osi ordinácie.
Zostávajúce funkcie (sínus, tangenta, katastína) sú nepárne. Pri zmene znaku argumentu s "+" na "-" ich význam sa mení aj na negatívne. Ich grafy sú symetrické na začiatku súradníc.
`hriech (- alfa) \u003d - hriech alfa"
`Cos (- alfa) \u003d cos a3
`Tg (- alfa) \u003d - tg alfa"
`Ctg (- alfa) \u003d - ctg alfa"
Základné trigonometrické identity
Základné trigonometrické identity sú vzorce, ktoré vytvárajú komunikáciu medzi trigonometrickými funkciami jedného uhla (`hriech alfa, cos a, ktorý vám umožní nájsť hodnotu každá z týchto funkcií prostredníctvom akéhokoľvek slávneho iného.
`hriech ^ 2 alfa + cos ^ 2 alfa \u003d 1`
`Tg \u003d alfa cdOt ctg \u003d 1, a \\ _ \\ tP n) 2, n \\ t
`1 + TG ^ 2 alfa \u003d frac 1 (cos ^ 2 alfa) \u003d sek ^ 2 alfa,` `alfa n nerac pi2 + pi n, \\ t
`1 + CTG ^ 2 alfa \u003d frac 1 (hriech ^ 2 alfa) \u003d cosec ^ 2 alfa,` `alfa n nea n, \\ t
Formuláry súčtu a rozdielu rohov trigonometrických funkcií
Vzorce pridávania a odčítania argumentov vyjadrujú trigonometrické funkcie sumy alebo rozdielu dvoch uhlov cez trigonometrické funkcie týchto uhlov.
`hriech (alfa + beta) \u003d` `hriech alfa cos + beta '
`hriech (alfa- beta) \u003d` `hriech alfa cos \\ t
`Cos (alfa + beta) \u003d` `cos a cos \\ beta-hin alfa \\ \\ t
`Cos (alfa- beta) \u003d` `cos ap apha-beta '
`TG (alfa + beta) \u003d frac (TG-alfa + TG) (1-TG apha \\ t
`Tg (alfa- beta) \u003d frac (tg-alfa-tg) (1 + tg alfa \\ t
`CTG (alfa + beta) \u003d frac (CTG, ktorý je CTG beta-1) (CTG beta + ctg)`
`CTG (alfa- beta) \u003d frac (ctg a \\ _ ~ CTG + 1) (CTG beta-ctg)`
Dvojité rohové vzorce
`hriech 2 alfa \u003d 2 alfa cos a \u003d` `frac (2 TG) (1 + TG ^ 2 alfa) \u003d frac (2 CTG ) (1 + CTG ^ 2 alfa) \u003d `` `frac 2 (TG apha + CTG)`
`cos 2 alfa \u003d cos ^ 2 alfa-sin ^ 2 alfa \u003d` `1-2 hriech ^ 2 alfa \u003d 2 cos ^ 2 alfa-1 \u003d` `frac (1-TG ^ 2 alfa) (1 + TG ^ 2 alfa) \u003d frac (CTG ^ 2 alfa-1) (CTG ^ 2 alfa + 1) \u003d `` frac (CTG-ALPHA-TG) (CTG a + TG) `
`TG 2 alfa \u003d frac (2 alfa) (1-TG ^ 2 alfa) \u003d` `` frac (2 ctg) (CTG ^ 2 alfa-1) \u003d ` `Frac 2 (ctg alfa-tg)`
`CTG 2 alfa \u003d frac (CTG ^ 2 alfa-1) (2 ctg a) \u003d` `` frac (ctg alfa-tg) 2`
Formuly trojitého rohu
`hriech 3 alfa \u003d 3 hriech alfa-4sin ^ 3 alfa"
`cos 3 alfa \u003d 4cos ^ 3 alfa-3 cos a`
`Tg 3 a \u003d frac (3 tg-tg ^ 3 alfa) (1-3 TG ^ 2 alfa)`
`Ctg 3 alfa \u003d frac (ctg ^ 3 alfa-3 ctg) (3 ctg ^ 2 alfa-1)`
Formuly polovice polovice
`hriech frac apha 2 \u003d pm sqrt (1-cos a) 2)`
`Cos \\ y frac apha 2 \u003d pm sqrt (1 + cos a) 2)`
`Tg (frac (1-cos a) (1 + cos a)) \u003d` `` frac (sin-alfa) (1 + cos \\ \\ t alfa) \u003d frac (1-cos a) (hriech alfa) `
`Ctg (frac (1 + cos a) (1-cos a)) \u003d` `frac (sin a) (1-cos \\ \\ t Alfa) \u003d frac (1 + cos a) (hriech alfa) `
Formuláry polovice, dvojité a trojnásobné argumenty vyjadrujú funkcie `hriech, cos, tg, ctg" týchto argumentov (`frac (alfa) 2, 2 alfa, 3 alfa, ...` ) Prostredníctvom týchto funkcií argumentácia `alfa`.
Záver je možné získať z predchádzajúcej skupiny (dodatok a odčítanie argumentov). Napríklad dvojitá uhlová identita sa dá ľahko dostať, nahradiť "beta" na` a ".
Študovacie vzorce
Štvorcové vzorce (kocky atď.) Trigonometrické funkcie vám umožňujú pohybovať sa od 2.3, ... Stupeň na trigonometrické funkcie prvého stupňa, ale viac uhlov (`alfa, 3 alfa, ...` alebo ` 2 alfa, ... 4 alfa, ... `).
`hriech ^ 2 alfa \u003d frac (1-cos 2 alfa) 2,` `(hriech ^ 2 frac apha 2 \u003d frac (1-cos a) 2)`
`cos ^ 2 alfa \u003d frac (1 + cos 2 alfa) 2,` `(cos ^ 2 frac a 2 \u003d frac (1 + cos a) 2)`
`Hriech ^ 3 alfa \u003d frac (3sin-alfa-hriech 3 alfa) 4`
`cos ^ 3 alfa \u003d frac (3cos a + cos 3 a) 4`
`hriech ^ 4 alfa \u003d frac (3-4cos 2 alfa + cos 4 alfa) 8`
`cos ^ 4 alfa \u003d frac (3 + 4cos 2 alfa + cos 4 alfa) 8"
Formuly súčtu a rozdielu trigonometrických funkcií
Vzorce sú transformácie množstva a rozdielu trigonometrických funkcií rôznych argumentov do práce.
`hriech alfa + hriech \u003d` `2 sin frac (alfa + beta) 2 cos frac (alfa- beta) 2"
`hriech alfa-hriech bata \u003d` `2 cos frac (alfa + beta) 2 sin frac (alfa- beta) 2"
`cos -` `2 cos frac (alfa + beta) 2 cos frac (alfa- beta) 2"
`cos a-2 sin frac (alfa + beta) 2 hriech frac (alfa- beta) 2 \u003d` `2 sin frac (\\ t alfa + beta) 2 hriech frac (beta- alfa) 2 "
`Tg (pm tg \u003d frac (hriech (hriech (hriech (alfa, beta)) (cos a \\ ya \\ cos \\ t
`CTG ALDA PM CTG \u003d FAC (SIN (SIN (SIN (SIN (SIN (SIN) (hriech a hriech)`
`TG ALDA PM CTG \u003d` `` pm \\ frac (cos (alfa mP)) (cos a. \\ t
Tu je konverzia pridávania a odpočítania funkcií jedného argumentu do práce.
`cos as apha + hriech \u003d sqrt (2) cos (frac (pi) 4- alfa)`
`cos as-hin alfa \u003d sqrt (2) hriech (frac (\\ frac (\\ frac) 4- a)`
`Tg a + ctg \u003d 2 cosec 2 alfa;` `tg-ctg-ctg \u003d -2 ctg 2 alfa"
Nasledujúce vzorce konvertujú množstvo a rozdiel jednotiek a trigonometrickej funkcie do práce.
`1 + cos a \u003d 2 cos ^ 2 frac (alfa) 2`
`1-cos a \u003d 2 sin ^ 2 frac (alfa) 2`
`1 + hriech alfa \u003d 2 cos ^ 2 (frac (pi) 4- frac (alfa) 2)`
"1-hin alfa \u003d 2 hriech ^ 2 (frac (pi) 4- frac (alfa) 2)`
"1 hod 2) hriech (frac (pi) 4 pm apha)) (cos a) `
"1 hod Beta pm 1 \u003d frac (cos (alfa mp \\ beta) (hriech a hriech) `
Formuláry na konverziu fungovaní funkcií
Formuly na konverziu produktu trigonometrických funkcií s argumentmi `alfa` a` beta` v množstve (rozdiel) týchto argumentov.
`hriech a hriech -` `frac (cos (alfa - beta) -cos (alfa + beta)) (2)`
`hriech alfa cos beta \u003d` `` frac (hriech (alfa - beta) + hriech (alfa + beta)) (2) `
`cos - cos as \u003d` `` frac (cos (alfa - beta) + cos (alfa + beta)) (2) `
`Tg aphat tg \u003d` `frac (cos (cos (alfa - beta) -cos (alfa + beta)) (cos (alfa - beta) + cos (alfa + \\ t Beta) \u003d `` `` frac (tg + tg + beta) (CTG a + CTG) `
`CTG ALDA CTG \u003d` `frac (cos (alfa-beta) + cos (alfa + beta)) (cos (alfa - beta) -cos (alfa + \\ t Beta) \u003d `` `frac (CTG a + CTG) (TG ALDA + TG)`
`Tg apha \\ cntg beta \u003d` `frac (hriech) + hriech (alfa + beta)) (hriech (alfa + beta) -sin (alfa - \\ t beta))
Univerzálna trigonometrická substitúcia
Tieto vzorce exprimujú trigonometrické funkcie cez polovičný uhol dotyčnice.
`hriech a \u003d frac (2tg frac (alfa) (2)) (1 + TG ^ (2) frac (alfa) (2)),` `alfa \\ ne Pi n, n \\ t
`cos - alfa \u003d frac (1 - TG ^ (2) frac (alfa) (2)) (1 + TG ^ (2) frac (alfa) (2)),` `alfa Ne-pi +2 pi n, n \\ t
`Tg alfa \u003d frac (2TG frac (alfa) (2)) (1 - TG ^ (2) frac (alfa) (2)),` `alfa \\ ne pi n, n, v z, `` 'alfa n nerac (pi) (2) + pi n, n \\ t
`CTG a \u003d frac (1 - TG ^ (2) frac (alfa) (2)) (2TG frac (alfa) (2)),` `alfa n nea n, n v Z, `` `alfa ne-2 pi n, n \\ t
Formuláry obsadenia
Výsledné vzorce sa môžu získať s použitím takýchto vlastností trigonometrických funkcií, ako frekvencie, symetrie, posunutím majetku pre uhol. Umožňujú funkcie ľubovoľného uhla pre konverziu na funkciu, ktorého uhol je v limite medzi 0 a 90 stupňami.
Pre uhol (`frac (pi) 2 pm apha) alebo (` 90 ^ circm alfa "):
`hriech (frac (pi) 2 - alfa) \u003d cos a;` `hriech (frac (pi) 2 + alfa) \u003d cos a)
`Cos (frac (pi) 2 - alfa) \u003d hriech alfa,` `cos (frac (frac (pi) 2 + alfa) \u003d - hriech
`TG (frac (pi) 2 - alfa) \u003d ctg alfa;` `tg (frac (pi) 2 + alfa) \u003d - CTG
`CTG (frac (pi) 2 - alfa) \u003d TG a" CTG (frac (frac (pi) 2 + alfa) \u003d - TG \\ t
Pre uhol (`\\` \\ for pm apha) alebo (`180 ^ circm alfa"):
`hriech (pi - alfa) \u003d hriech alfa,` `hriech (pi + alfa) \u003d - hriech
`Cos (pi - alfa) \u003d - cos asha,` cos (pi + alfa) \u003d - cosa-alfa "
`Tg (pi - alfa) \u003d - tg-tg (pi + alfa) \u003d TG apha
`CTG (PI - alfa) \u003d - CTG a" CTG (PI + alfa) \u003d CTG alfa "
Pre uhol (`frac (3 pi) 2 pm apha) alebo (` 270 ^ circm alfa "):
`Hriech (frac (3 pi) 2 - alfa) \u003d - cosa,` `hriech (frac (3 pi) 2 + alfa) \u003d - cos a
`Cos (frac (3 pi) 2 - alfa) \u003d - hriech,` `cos (frac (3 pi) 2 + alfa) \u003d hriech
`TG (frac (3 pi) 2-alfa) \u003d CTG alfa,` `tg (3 frac (3 pi) 2 + alfa) \u003d - CTG \\ t
`CTG (frac (3 pi) 2 - alfa) \u003d tg,` `` ctg (3 pi) 2 + alfa) \u003d - TG
Pre uhol (`2 pm apha) alebo (` 360 ^ circm alfa "):
`hriech (2 pi - alfa) \u003d - hriech,` `hriech (2 pi + alfa) \u003d hriech
`Cos (2 pi - alfa) \u003d cosa,` `` cos (2 pi + alfa) \u003d cos a`
`TG (2 pi - alfa) \u003d - tg-tg (2 pi + alfa) \u003d tg alfa"
`CTG (2 pi - alfa) \u003d - ctg a` `ctg (2 pi + alfa) \u003d CTG \\ t
Expresia jednej trigonometrickej funkcie cez iné
`hriech (1-cos ^ 2 alfa) \u003d` `` frac (tg) (pm sqrt (1 + TG ^ 2 alfa)) \u003d frac 1 (Pm sqrt (1 + ctg ^ 2 alfa)) `
`cos a \u003d pm sqrt (1-sin ^ 2 alfa) \u003d` `` frac 1 (pm sqrt (1 + tg ^ 2 alfa)) \u003d frac (ctg a) (Pm sqrt (1 + ctg ^ 2 alfa)) `
`Tg a \u003d frac (hin alfa) (pm sqrt (1-SIN ^ 2 alfa)) \u003d` `` frac (pm sqrt (1-cos ^ 2 alfa)) (Cos a) \u003d frac 1 (ctg alfa) `
`Ctg alfa \u003d frac (pm sqrt (1-SIN ^ 2 alfa)) (hriech) \u003d` `frac (cos a) (pm sqrt (1-cos ^ 2 alfa) \u003d frac 1 (tg) `
Trigonometria sa doslova prekladá ako "meranie trojuholníkov". Začína študovať v škole a podrobnejšie pokračuje na univerzitách. Preto sú potrebné základné vzorce na trigonometriu, počnúc 10. ročníkom, ako aj pre prechod použitia. Oni označujú odkazy medzi funkciami, a pretože tieto spojenia sú mnohé, potom je väčšina vzorcov veľa. Nie je ľahké zapamätať si, a to nie je potrebné - v prípade potreby môže byť všetko načrtnuté.
Trigonometrické vzorce sa aplikujú v integrálnom vyjadrení, ako aj trigonometrické zjednodušenia, výpočty, transformácie.
