Segmente proporționale într-un triunghi dreptunghic. Lecția „segmente proporționale într-un triunghi dreptunghic” Cum să găsiți segmente proporționale într-un triunghi dreptunghic

Lecția 40 C. b. A. h. C. bc. H. ac. A. V. Înălțimea unui triunghi dreptunghic, trasată de la vârful unui unghi drept, împarte triunghiul în 2 triunghiuri dreptunghiulare similare, fiecare dintre ele asemănător unui triunghi dat. Semnul asemănării triunghiurilor dreptunghiulare. Două triunghiuri dreptunghiulare sunt similare dacă fiecare are același unghi ascuțit. Segmentul XY se numește media proporțională (media geometrică) pentru segmentele AB și CD dacă Proprietatea 1. Înălțimea unui triunghi dreptunghic tras de la vârful unghiului drept este media proporțională dintre proiecțiile catetelor pe ipotenuză. Proprietatea 2. Catemul unui triunghi dreptunghic este media proporțională dintre ipotenuză și proiecția acestui catet pe ipotenuză.

Slide 28 din prezentare „Geometrie „Triunghiuri similare””. Dimensiunea arhivei cu prezentarea este de 232 KB.

Geometrie clasa a 8-a

rezumatul altor prezentări

„Rezolvarea problemelor pe teorema lui Pitagora” - Triunghiul ABC isoscel. Aplicarea practică a teoremei lui Pitagora. ABCD este un patrulater. Suprafata patrata. Găsiți soarele. Dovada. Bazele unui trapez isoscel. Luați în considerare teorema lui Pitagora. Aria unui patrulater. Triunghiuri dreptunghiulare. Teorema lui Pitagora. Pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor.

„Găsirea ariei unui paralelogram” - Fundație. Înălţime. Determinarea înălțimii unui paralelogram. Semne de egalitate ale triunghiurilor dreptunghiulare. Aria unui paralelogram. Găsiți aria triunghiului. Proprietăți de zonă. exerciții orale. Aflați aria paralelogramului. Înălțimi paralelograme. Aflați perimetrul pătratului. Aria unui triunghi. Găsiți aria pătratului. Găsiți aria dreptunghiului. Suprafata patrata.

„Kvadrat clasa a VIII-a” - pătrat negru. Sarcini pentru lucru oral în jurul perimetrului pătratului. Suprafata patrata. Semne pătrate. Piața este printre noi. Un pătrat este un dreptunghi cu toate laturile egale. Pătrat. Geanta cu baza patrata. sarcini orale. Câte pătrate sunt afișate în imagine. Proprietăți pătrate. Negustor bogat. Sarcini pentru lucru oral pe zona pătratului. Perimetrul unui pătrat.

„Definiția simetriei axiale” - Puncte situate pe aceeași perpendiculară. Desenați două linii. Constructie. Plot puncte. Cheie. Figuri care nu au simetrie axială. Secțiune. Coordonatele lipsesc. Figura. Forme care au mai mult de două axe de simetrie. Simetrie. Simetria în poezie. Construiți triunghiuri. Axele de simetrie. Construirea unui segment. Construirea unui punct. Figuri cu două axe de simetrie. Popoarele. Triunghiuri. Proporționalitate.

„Definirea triunghiurilor similare” - Poligoane. tăieri proporționale. Raportul ariilor triunghiurilor similare. Două triunghiuri se numesc asemănătoare. Condiții. Construiți un triunghi având două unghiuri și bisectoarea la vârf. Să presupunem că trebuie să determinăm distanța până la pol. Al treilea semn al asemănării triunghiurilor. Să construim un triunghi. ABC. Triunghiurile ABC și ABC au trei laturi egale. Determinarea înălțimii unui obiect.

„Rezolvarea teoremei lui Pitagora” - părți ale ferestrelor. Cea mai simplă dovadă. Hammurabi. Diagonală. Dovada completă. Dovada prin scădere. pitagoreici. Dovada prin metoda de descompunere. Istoria teoremei. Diametru. Dovada prin metoda complementului. Dovada lui Epstein. Cantor. Triunghiuri. urmași. Aplicații ale teoremei lui Pitagora. Teorema lui Pitagora. Enunțul teoremei. Dovada lui Perigal. Aplicarea teoremei.

Semnul asemănării triunghiurilor dreptunghiulare

Să introducem mai întâi semnul asemănării triunghiurilor dreptunghiulare.

Teorema 1

Semnul asemănării triunghiurilor dreptunghiulare: două triunghiuri dreptunghiulare sunt asemănătoare când au câte un unghi ascuțit egal (fig. 1).

Figura 1. Triunghiuri dreptunghiulare similare

Dovada.

Să fim dat că $\angle B=\angle B_1$. Deoarece triunghiurile sunt dreptunghiulare, $\angle A=\angle A_1=(90)^0$. Prin urmare, ele sunt asemănătoare conform primului semn al asemănării triunghiurilor.

Teorema a fost demonstrată.

Teorema înălțimii într-un triunghi dreptunghic

Teorema 2

Înălțimea unui triunghi dreptunghic desenat de la vârful unghiului drept împarte triunghiul în două triunghiuri dreptunghiulare similare, fiecare dintre ele similar cu triunghiul dat.

Dovada.

Să ni se dă un triunghi dreptunghic $ABC$ cu unghi drept $C$. Desenați înălțimea $CD$ (Fig. 2).

Figura 2. Ilustrarea teoremei 2

Să demonstrăm că triunghiurile $ACD$ și $BCD$ sunt similare cu triunghiul $ABC$ și că triunghiurile $ACD$ și $BCD$ sunt similare.

Deoarece $\angle ADC=(90)^0$, triunghiul $ACD$ este dreptunghic. Triunghiurile $ACD$ și $ABC$ au unghi comun $A$, prin urmare, după teorema 1, triunghiurile $ACD$ și $ABC$ sunt similare.

Deoarece $\angle BDC=(90)^0$, triunghiul $BCD$ este dreptunghic. Triunghiurile $BCD$ și $ABC$ au unghi comun $B$, prin urmare, după teorema 1, triunghiurile $BCD$ și $ABC$ sunt similare.

Luați în considerare acum triunghiurile $ACD$ și $BCD$

\[\angle A=(90)^0-\angle ACD\] \[\angle BCD=(90)^0-\angle ACD=\unghi A\]

Prin urmare, după teorema 1, triunghiurile $ACD$ și $BCD$ sunt similare.

Teorema a fost demonstrată.

Media proporțională

Teorema 3

Înălțimea unui triunghi dreptunghic, trasă din vârful unghiului drept, este media proporțională pentru segmentele în care înălțimea împarte ipotenuza acestui triunghi.

Dovada.

Prin teorema 2, avem că triunghiurile $ACD$ și $BCD$ sunt similare, prin urmare

Teorema a fost demonstrată.

Teorema 4

Catemul unui triunghi dreptunghic este media proporțională dintre ipotenuză și segmentul ipotenuzei cuprins între catete și înălțimea trasă de la vârful unghiului.

Dovada.

În demonstrarea teoremei, vom folosi notația din figura 2.

Prin teorema 2, avem că triunghiurile $ACD$ și $ABC$ sunt similare, prin urmare

Teorema a fost demonstrată.

Semnul asemănării triunghiurilor dreptunghiulare

Să introducem mai întâi semnul asemănării triunghiurilor dreptunghiulare.

Teorema 1

Semnul asemănării triunghiurilor dreptunghiulare: două triunghiuri dreptunghiulare sunt asemănătoare când au câte un unghi ascuțit egal (fig. 1).

Figura 1. Triunghiuri dreptunghiulare similare

Dovada.

Teorema a fost demonstrată.

Teorema înălțimii într-un triunghi dreptunghic

Teorema 2

Înălțimea unui triunghi dreptunghic desenat de la vârful unghiului drept împarte triunghiul în două triunghiuri dreptunghiulare similare, fiecare dintre ele similar cu triunghiul dat.

Dovada.

Să ni se dă un triunghi dreptunghic $ABC$ cu unghi drept $C$. Desenați înălțimea $CD$ (Fig. 2).

Figura 2. Ilustrarea teoremei 2

Să demonstrăm că triunghiurile $ACD$ și $BCD$ sunt similare cu triunghiul $ABC$ și că triunghiurile $ACD$ și $BCD$ sunt similare.

Deoarece $\angle ADC=(90)^0$, triunghiul $ACD$ este dreptunghic. Triunghiurile $ACD$ și $ABC$ au unghi comun $A$, prin urmare, după teorema 1, triunghiurile $ACD$ și $ABC$ sunt similare.

Deoarece $\angle BDC=(90)^0$, triunghiul $BCD$ este dreptunghic. Triunghiurile $BCD$ și $ABC$ au unghi comun $B$, prin urmare, după teorema 1, triunghiurile $BCD$ și $ABC$ sunt similare.

Luați în considerare acum triunghiurile $ACD$ și $BCD$

\[\angle A=(90)^0-\angle ACD\] \[\angle BCD=(90)^0-\angle ACD=\unghi A\]

Prin urmare, după teorema 1, triunghiurile $ACD$ și $BCD$ sunt similare.

Teorema a fost demonstrată.

Media proporțională

Teorema 3

Înălțimea unui triunghi dreptunghic, trasă din vârful unghiului drept, este media proporțională pentru segmentele în care înălțimea împarte ipotenuza acestui triunghi.

Dovada.

Prin teorema 2, avem că triunghiurile $ACD$ și $BCD$ sunt similare, prin urmare

Teorema a fost demonstrată.

Teorema 4

Catemul unui triunghi dreptunghic este media proporțională dintre ipotenuză și segmentul ipotenuzei cuprins între catete și înălțimea trasă de la vârful unghiului.

Dovada.

În demonstrarea teoremei, vom folosi notația din figura 2.

Prin teorema 2, avem că triunghiurile $ACD$ și $ABC$ sunt similare, prin urmare

Teorema a fost demonstrată.

Obiectivele lecției:

introduceți conceptul de medie proporțională (media geometrică) a două segmente;
luați în considerare problema segmentelor proporționale dintr-un triunghi dreptunghic: o proprietate a înălțimii unui triunghi dreptunghic trasat de la vârful unui unghi drept;
de a forma elevilor deprinderi de utilizare a temei studiate în procesul de rezolvare a problemelor.

Tip de lecție: lecția de învățare a materialelor noi.

Plan:

Moment organizatoric.
Actualizare de cunoștințe.
Studiind proprietatea înălțimii unui triunghi dreptunghic trasat de la vârful unui unghi drept:
- etapa pregătitoare;
– introducere;
- asimilare.
Introducerea conceptului de medie proporțională la două segmente.
Asimilarea conceptului de proporțională medie a două segmente.
Dovada consecințelor:
- inaltimea unui triunghi dreptunghic, trasa din varful unghiului drept, este media proportionala intre segmentele in care se imparte ipotenuza la aceasta inaltime;
- catetul unui triunghi dreptunghic este media proporțională dintre ipotenuză și segmentul ipotenuzei cuprins între catete și înălțime.
Rezolvarea problemelor.
Rezumând.
Stabilirea temelor.

În timpul orelor

I. ORGANIZAREA

Bună băieți, luați loc. Toți sunt pregătiți pentru lecție?

Începem treaba.

II. ACTUALIZARE A CUNOAȘTILOR

Ce concept matematic important ai învățat în lecțiile anterioare? ( cu conceptul de similaritate triunghiulară)

- Să ne amintim care două triunghiuri se numesc asemănătoare? (două triunghiuri se numesc similare dacă unghiurile lor sunt egale, iar laturile unui triunghi sunt proporționale cu laturile similare ale celuilalt triunghi)

Ce folosim pentru a demonstra asemănarea a două triunghiuri? (

- Enumeră aceste semne. (formula trei semne de asemănare a triunghiurilor)

III. STUDIAREA PROPRIETĂȚILOR ÎNĂLȚIMII UNUI TRIANGUL DREPTUNGULAR REALIZAT DIN VERTEXUL UNGIULUI DREPT.

a) etapa pregătitoare

- Băieți, vă rog să vă uitați la primul slide. ( Apendice) Iată două triunghiuri dreptunghiulare - și . și sunt înălțimile și, respectiv. .

Sarcina 1. a) Stabiliți dacă și sunt similare.

Ce folosim pentru a demonstra asemănarea triunghiurilor? ( semne de asemănare a triunghiurilor)

(primul semn, deoarece nu se știe nimic despre laturile triunghiurilor din problemă)

. (Două perechi: 1. ∟B= ∟B1 (linii drepte), 2. ∟A= ∟A 1)

- Faceți o concluzie. ( prin primul semn al asemănării triunghiurilor ~)

Sarcina 1. b) Stabiliți dacă și sunt similare.

Ce criteriu de similitudine vom folosi și de ce? (primul semn, pentru că în problemă nu se știe nimic despre laturile triunghiurilor)

Câte perechi de unghiuri egale trebuie să găsim? Găsiți aceste cupluri (deoarece triunghiurile sunt dreptunghiulare, este suficientă o pereche de unghiuri egale: ∟A= ∟A 1)

- Faceți o concluzie. (prin primul semn de asemănare a triunghiurilor, tragem concluzia că aceste triunghiuri sunt asemănătoare).

Ca rezultat al conversației, diapozitivul 1 arată astfel:

b) descoperirea teoremei

Sarcina 2.

Determinați dacă și , și sunt similare. În urma conversației, se construiesc răspunsuri, care se reflectă pe diapozitiv.

- Cifra a indicat că . Am folosit această măsură a gradului când am răspuns la întrebările sarcinilor? ( Nu, nu este folosit)

- Băieți, trageți o concluzie: în ce triunghiuri înălțimea trasă de la vârful unghiului drept împarte triunghiul dreptunghic? (face o concluzie)

- Se pune întrebarea: aceste două triunghiuri dreptunghiulare, în care înălțimea împarte triunghiul dreptunghic, vor fi similare între ele? Să încercăm să găsim perechi de unghiuri egale.

Ca rezultat al conversației, se construiește o înregistrare:

- Și acum să tragem o concluzie completă. ( CONCLUZIE: înălțimea unui triunghi dreptunghic tras de la vârful unghiului drept împarte triunghiul în două asemănătoare

- Acea. am formulat și demonstrat o teoremă asupra proprietății înălțimii unui triunghi dreptunghic.

Să stabilim structura teoremei și să facem un desen. Ce este dat în teoremă și ce trebuie demonstrat? Elevii scriu în caiete:

Să demonstrăm primul punct al teoremei pentru noul desen. Ce criteriu de similitudine vom folosi și de ce? (În primul rând, deoarece nu se știe nimic despre laturile triunghiurilor din teoremă)

Câte perechi de unghiuri egale trebuie să găsim? Găsiți aceste cupluri. (În acest caz, o pereche este suficientă: ∟A-general)

- Faceți o concluzie. Triunghiurile sunt asemănătoare. Ca rezultat, este prezentat un exemplu de formulare a teoremei

- Scrieți singur al doilea și al treilea punct acasă.

c) asimilarea teoremei

- Deci, formulează din nou teorema (Înălțimea unui triunghi dreptunghic, trasată de la vârful unghiului drept, împarte triunghiul în două asemănătoare triunghiuri dreptunghiulare, fiecare dintre ele similar cu acesta)

- Câte perechi de triunghiuri similare din construcția „într-un triunghi dreptunghic înălțimea de la vârful unui unghi drept” pot fi găsite prin această teoremă? ( Trei cupluri)

Studenților li se oferă următoarea sarcină:

IV. INTRODUCEREA CONCEPTULUI DE PROPORȚIONAL MEDIE A DOUĂ LINII

Acum vom învăța un nou concept.

Atenţie!

Definiție. Secțiune X Y numit medie proporțională (medie geometrică)între segmente ABși CD, dacă

(scrieți în caiet).

V. ASOCIAREA CONCEPTULUI DE PROPORȚIONAL MEDIE A DOUĂ LINII

Acum să trecem la următorul diapozitiv.

Exercitiul 1. Aflați lungimea segmentelor proporționale medii MN și KP, dacă MN = 9 cm, KP = 16 cm.

- Ce este dat în sarcină? ( Două segmente și lungimile lor: MN = 9 cm, KP = 16 cm)

- Ce trebuie să găsești? ( Lungimea mediei proporționale a acestor segmente)

- Care este formula pentru medie proporțională și cum o găsim?

(Înlocuim datele în formulă și găsim lungimea mediei prop.)

Sarcina numărul 2. Aflați lungimea segmentului AB dacă media proporțională a segmentelor AB și CD este de 90 cm și CD = 100 cm

- Ce este dat în sarcină? (lungimea segmentului CD = 100 cm iar proporționala medie a segmentelor AB și CD este de 90 cm)

Ce ar trebui găsit în problemă? ( Lungimea segmentului AB)

- Cum vom rezolva problema? (Să scriem formula pentru segmentele proporționale medii AB și CD, să exprimăm lungimea lui AB și să înlocuim datele problemei.)

VI. CONCLUZIE

- Bravo baieti. Și acum să revenim la asemănarea triunghiurilor, demonstrată de noi în teoremă. Reformulați teorema. ( Înălțimea unui triunghi dreptunghic trasat de la vârful unghiului drept împarte triunghiul în două asemănătoare triunghiuri dreptunghiulare, fiecare dintre ele asemănător unui dat)

- Să folosim mai întâi asemănarea triunghiurilor și . Ce rezultă din asta? ( Prin definiția similarității, laturile sunt proporționale cu laturile similare)

- Ce egalitate se va obține atunci când se folosește proprietatea de bază a proporției? ()

– Exprimați CD-ul și trageți o concluzie (;.

Concluzie: înălțimea unui triunghi dreptunghic, trasă din vârful unghiului drept, este media proporțională dintre segmentele în care se împarte ipotenuza la această înălțime)

- Și acum demonstrați singuri că catetul unui triunghi dreptunghic este media proporțională dintre ipotenuză și segmentul ipotenuzei cuprins între catete și înălțime.Găsim din - ... segmentele în care se împarte ipotenuza la această înălțime )

catetul unui triunghi dreptunghic este media proporțională dintre ... (- ... ipotenuza si segmentul ipotenuzei cuprinse intre acest catet si inaltime )

– Unde aplicăm enunțurile învățate? ( La rezolvarea problemelor)

IX. SETAREA TEMEI

d/z: Nr. 571, Nr. 572 (a, e), lucrare independentă într-un caiet, teorie.

Astăzi, atenția dumneavoastră este invitată la o altă prezentare pe un subiect uimitor și misterios - geometria. În această prezentare, vă vom prezenta o nouă proprietate a formelor geometrice, în special, conceptul de segmente proporționale în triunghiuri dreptunghiulare.

Mai întâi trebuie să vă amintiți ce este un triunghi? Acesta este cel mai simplu poligon, format din trei vârfuri conectate prin trei segmente. Un triunghi dreptunghic este un triunghi în care unul dintre unghiuri are 90 de grade. Le-ați familiarizat deja mai detaliat în materialele noastre de instruire anterioare prezentate atenției dumneavoastră.

Deci, revenind la subiectul nostru de astăzi, notăm astfel încât înălțimea unui triunghi dreptunghic, desenat dintr-un unghi de 90 de grade, îl împarte în două triunghiuri, care sunt asemănătoare atât unul cu celălalt, cât și cu cel original. Toate desenele și graficele care vă interesează sunt date în prezentarea propusă și vă recomandăm să vă referiți la acestea, însoțind explicația descrisă.

Un exemplu grafic al tezei de mai sus poate fi văzut pe al doilea diapozitiv. Triunghiurile sunt similare deoarece au două unghiuri identice. Dacă specificați mai detaliat, atunci înălțimea coborâtă la ipotenuză formează un unghi drept cu aceasta, adică există deja unghiuri identice, iar fiecare dintre unghiurile formate are, de asemenea, un unghi comun ca original. Rezultatul sunt două unghiuri egale unul cu celălalt. Adică triunghiurile sunt asemănătoare.

Să notăm, de asemenea, ce înseamnă în sine conceptul de „medie proporțională” sau „medie geometrică”? Acesta este un anumit segment XY pentru segmentele AB și CD atunci când este egal cu rădăcina pătrată a produsului lungimii lor.

Din care mai rezultă că catetul unui triunghi dreptunghic este media geometrică dintre ipotenuză și proiecția acestui catet pe ipotenuză, adică celălalt catet.

O altă proprietate a unui triunghi dreptunghic este că înălțimea lui, trasă dintr-un unghi de 90 o, este media proporțională dintre proiecțiile catetelor pe ipotenuză. Dacă vă referiți la prezentarea și alte materiale aduse în atenție, veți vedea că există o dovadă a acestei teze într-o formă foarte simplă și accesibilă. Mai devreme am demonstrat deja că triunghiurile rezultate sunt similare între ele și cu triunghiul original. Apoi, folosind raportul catetelor acestor figuri geometrice, ajungem la concluzia că înălțimea unui triunghi dreptunghic este direct proporțională cu rădăcina pătrată a produsului segmentelor care s-au format ca urmare a scăderii înălțimii de la unghiul drept al triunghiului original.

Ultimul lucru din prezentare este că catetul unui triunghi dreptunghic este media geometrică pentru ipotenuză și segmentul acesteia situat între catete și înălțimea trasă dintr-un unghi egal cu 90 de grade. Acest caz trebuie considerat din partea că aceste triunghiuri sunt asemănătoare între ele, iar catetul unuia dintre ele se obține prin ipotenuza celuilalt. Dar vei cunoaște acest lucru mai în detaliu studiind materialele propuse.