Centrul cercului cu busolă și dreptar. Construcții cu busolă și riglă. Construcția mijlocului segmentului

Această lecție este dedicată studiului cercului și cercului. De asemenea, profesorul te va învăța să faci distincția între liniile închise și cele deschise. Veți face cunoștință cu proprietățile de bază ale unui cerc: centru, rază și diametru. Aflați definițiile lor. Învățați să determinați raza dacă diametrul este cunoscut și invers.

Dacă completați spațiul din interiorul cercului, de exemplu, desenați un cerc cu o busolă pe hârtie sau carton și îl decupați, atunci obținem un cerc (Fig. 10).

Orez. 10. Cercul

Un cerc este partea unui plan delimitată de un cerc.

Condiție: Vitya Verkhoglyadkin a desenat 11 diametre în cercul său (Fig. 11). Și când a numărat razele, a luat 21. A numărat corect?

Orez. 11. Ilustrație pentru problema

Soluţie: razele ar trebui să fie de două ori mai multe decât diametrele, deci:

Vitya a numărat greșit.

Bibliografie

1. Matematică. Clasa 3 Proc. pentru invatamantul general institutii cu adj. la un electron. purtător. La 2 h. Partea 1 / [M.I. Moro, M.A. Bantova, G.V. Beltyukova și alții] - ed. a 2-a. - M.: Educație, 2012. - 112 p.: ill. - (Școala Rusiei).
2. Rudnitskaya V.N., Yudacheva T.V. Matematică, clasa a III-a. - M.: VENTANA-GRAF.
3. Peterson L.G. Matematică, clasa a III-a. - M.: Juventa.

1. Mypresentation.ru ().
2. Sernam.ru ().
3. School-assistant.ru ().

Teme pentru acasă

1. Matematică. Clasa 3 Proc. pentru invatamantul general institutii cu adj. la un electron. purtător. La 2 h. Partea 1 / [M.I. Moro, M.A. Bantova, G.V. Beltyukova și alții] - ed. a 2-a. - M.: Iluminismul, 2012., Art. 94 nr. 1, art. 95 nr 3.

2. Rezolva ghicitoarea.

Locuim impreuna cu fratele meu,

Ne distrăm atât de mult împreună

Vom pune o cană pe cearșaf (Fig. 12),

Să-l încercuim cu un creion.

Obțineți ceea ce aveți nevoie -

Se numeste...

3. Este necesar să se determine diametrul cercului dacă se știe că raza este de 5 m.

4. * Desenați cu ajutorul unui compas două cercuri cu raze: a) 2 cm și 5 cm; b) 10 mm și 15 mm.

La fabricarea sau prelucrarea pieselor din lemn, în unele cazuri este necesar să se determine unde se află centrul lor geometric. Dacă piesa are o formă pătrată sau dreptunghiulară, atunci acest lucru nu este dificil de făcut. Este suficient să conectați colțurile opuse cu diagonale, care în același timp se intersectează exact în centrul figurii noastre.
Pentru produsele care au forma de cerc, această soluție nu va funcționa, deoarece nu au colțuri și, prin urmare, diagonale. În acest caz, este necesară o altă abordare bazată pe alte principii.

Și ele există și în multe variante. Unele dintre ele sunt destul de complexe și necesită mai multe instrumente, altele sunt ușor de implementat și nu necesită un set întreg de dispozitive pentru a le implementa.
Acum ne vom uita la una dintre cele mai simple moduri de a găsi centrul unui cerc doar cu o riglă obișnuită și un creion.

Secvența găsirii centrului cercului:

1. În primul rând, trebuie să ne amintim că o coardă este o linie dreaptă care leagă două puncte ale unui cerc și nu trece prin centrul cercului. Nu este deloc dificil să-l reproduc: trebuie doar să puneți o riglă pe un cerc oriunde, astfel încât să intersecteze cercul în două locuri și să trasați o linie dreaptă cu un creion. Un segment din interiorul unui cerc va fi o coardă.
În principiu, se poate renunța la o coardă, dar pentru a crește acuratețea stabilirii centrului cercului, vom desena cel puțin o pereche, sau chiar mai bine - 3, 4 sau 5 acorduri de lungimi diferite. Acest lucru ne va permite să nivelăm erorile construcțiilor noastre și să facem față mai precis sarcinii.

2. În continuare, folosind aceeași riglă, găsim punctele de mijloc ale acordurilor pe care le-am reprodus. De exemplu, dacă lungimea totală a unei coarde este de 28 cm, atunci centrul său va fi într-un punct care se află la 14 cm în linie dreaptă de la intersecția coardei cu cercul.
După ce am determinat centrele tuturor acordurilor în acest fel, tragem linii perpendiculare prin ele, folosind, de exemplu, un triunghi dreptunghic.

3. Dacă continuăm acum aceste linii perpendiculare pe coarde în direcția către centrul cercului, atunci ele se vor intersecta în aproximativ un punct, care va fi centrul dorit al cercului.

4. După ce am stabilit locația centrului cercului nostru particular, putem folosi acest fapt în diverse scopuri. Deci, dacă plasați piciorul busolei unui dulgher în acest punct, atunci puteți desena un cerc ideal și apoi puteți tăia un cerc folosind instrumentul de tăiere adecvat și punctul central al cercului pe care l-am determinat.

Se numește o propoziție care explică semnificația unei anumite expresii sau nume definiție. Ne-am întâlnit deja cu definiții, de exemplu, cu definiția unui unghi, a unghiurilor adiacente, a unui triunghi isoscel etc. Să dăm o definiție a unei alte figuri geometrice - un cerc.

Definiție

Acest punct se numește centrul cercului, iar segmentul care leagă centrul cu orice punct al cercului este raza cercului(Fig. 77). Din definiția cercului rezultă că toate razele au aceeași lungime.

Orez. 77

Un segment de linie care leagă două puncte dintr-un cerc se numește coardă. Coarda care trece prin centrul cercului se numește ea diametru.

În figura 78, segmentele AB și EF sunt coardele cercului, segmentul CD este diametrul cercului. Evident, diametrul unui cerc este de două ori mai mare decât raza lui. Centrul unui cerc este punctul de mijloc al oricărui diametru.

Orez. 78

Oricare două puncte dintr-un cerc îl împart în două părți. Fiecare dintre aceste părți se numește arc de cerc. În figura 79, ALB și AMB sunt arce delimitate de punctele A și B.

Orez. 79

Pentru a reprezenta un cerc într-un desen, utilizați busolă(Fig. 80).

Orez. 80

Pentru a desena un cerc pe sol, puteți folosi o frânghie (Fig. 81).

Orez. 81

Partea de plan delimitată de un cerc se numește cerc (Fig. 82).

Orez. 82

Construcții cu busolă și riglă

Ne-am ocupat deja de construcții geometrice: am desenat linii drepte, am pus deoparte segmente egale cu cele date, am trasat unghiuri, triunghiuri și alte figuri. În același timp, am folosit o riglă de scară, o busolă, un raportor, un pătrat de desen.

Se dovedește că multe construcții pot fi făcute folosind doar o busolă și o linie dreaptă fără diviziuni de scară. Prin urmare, în geometrie, se disting în mod special acele sarcini de construcție, care sunt rezolvate folosind doar aceste două instrumente.

Ce se poate face cu ele? Este clar că rigla permite să se deseneze o linie arbitrară, precum și să construiască o linie care trece prin două puncte date. Folosind o busolă, puteți desena un cerc de rază arbitrară, precum și un cerc cu un centru într-un punct dat și o rază egală cu un anumit segment. Efectuând aceste operații simple, putem rezolva multe probleme interesante de construcție:

construiți un unghi egal cu unul dat;
printr-un punct dat trageți o dreaptă perpendiculară pe dreapta dată;
împărțiți acest segment în jumătate și alte sarcini.

Să începem cu o sarcină simplă.

Sarcină

Pe o rază dată de la început, puneți deoparte un segment egal cu cel dat.

Soluţie

Să descriem cifrele date în starea problemei: raza OS și segmentul AB (Fig. 83, a). Apoi, cu un compas, construim un cerc de raza AB cu centrul O (Fig. 83, b). Acest cerc va intersecta raza OS la un punct D. Segmentul OD este cel necesar.

Orez. 83

Exemple de sarcini de construcție

Construirea unui unghi egal cu unul dat

Sarcină

Lăsați deoparte de raza dată un unghi egal cu cel dat.

Soluţie

Acest unghi cu vârful A și raza OM sunt prezentate în Figura 84. Este necesar să se construiască un unghi egal cu unghiul A, astfel încât una dintre laturile sale să coincidă cu raza OM.

Orez. 84

Să desenăm un cerc de rază arbitrară cu centrul la vârful A al unghiului dat. Acest cerc intersectează laturile colțului în punctele B și C (Fig. 85, a). Apoi desenăm un cerc de aceeași rază cu centrul la începutul razei date OM. Intersectează fasciculul în punctul D (Fig. 85, b). După aceea, construim un cerc cu centrul D, a cărui rază este egală cu BC. Cercurile cu centrele O și D se intersectează în două puncte. Să notăm unul dintre aceste puncte cu litera E. Să demonstrăm că unghiul MOE este cel necesar.

Orez. 85

Luați în considerare triunghiurile ABC și ODE. Segmentele AB și AC sunt razele unui cerc cu centrul A, iar segmentele OD și OE sunt razele unui cerc cu centrul O (vezi Fig. 85, b). Deoarece prin construcție aceste cercuri au raze egale, atunci AB = OD, AC = OE. De asemenea, prin construcție, BC = DE.

Prin urmare, Δ ABC = Δ ODE pe trei laturi. Prin urmare, ∠DOE = ∠BAC, adică unghiul construit MOE este egal cu unghiul dat A.

Aceeași construcție se poate executa și la sol, dacă în loc de busolă folosim o frânghie.

Construirea unei bisectoare unghiulare

Sarcină

Construiți bisectoarea unghiului dat.

Soluţie

Acest unghi BAC este prezentat în Figura 86. Să desenăm un cerc de rază arbitrară cu un centru la vârful A. Acesta va intersecta laturile unghiului în punctele B și C.

Orez. 86

Apoi desenăm două cercuri de aceeași rază BC cu centre în punctele B și C (în figură sunt prezentate doar părți ale acestor cercuri). Se intersectează în două puncte, dintre care cel puțin unul se află în interiorul colțului. O notăm cu litera E. Să demonstrăm că raza AE este bisectoarea unghiului dat BAC.

Luați în considerare triunghiurile ACE și ABE. Sunt egali pe trei laturi. Într-adevăr, AE este partea comună; AC și AB sunt egale ca razele aceluiași cerc; CE = BE prin construcție.

Din egalitatea triunghiurilor ACE și ABE rezultă că ∠CAE = ∠BAE, adică raza AE este bisectoarea unghiului dat BAC.

cometariu

Un unghi dat poate fi împărțit în două unghiuri egale folosind o busolă și o linie dreaptă? Este clar că este posibil - pentru aceasta trebuie să desenați o bisectoare a acestui unghi.

Acest unghi poate fi, de asemenea, împărțit în patru unghiuri egale. Pentru a face acest lucru, trebuie să o împărțiți în jumătate și apoi să împărțiți din nou fiecare jumătate în jumătate.

Este posibil să împărțiți un unghi dat în trei unghiuri egale folosind o busolă și o linie dreaptă? Această sarcină, numită probleme de trisecție unghiulară, a atras atenția matematicienilor de multe secole. Abia în secolul al XIX-lea s-a dovedit că o astfel de construcție este imposibilă pentru un unghi arbitrar.

Construirea de linii perpendiculare

Sarcină

Dată o linie și un punct pe ea. Construiți o dreaptă care trece printr-un punct dat și perpendiculară pe o dreaptă dată.

Soluţie

Linia dată a și punctul dat M aparținând acestei linii sunt prezentate în Figura 87.

Orez. 87

Pe razele dreptei a, care emană din punctul M, punem deoparte segmentele egale MA și MB. Apoi construim două cercuri cu centrele A și B de raza AB. Se intersectează în două puncte: P și Q.

Să trasăm o dreaptă prin punctul M și unul dintre aceste puncte, de exemplu, dreapta MP (vezi Fig. 87) și să demonstrăm că această dreaptă este cea dorită, adică că este perpendiculară pe dreapta dată a .

Într-adevăr, întrucât PM mediană a unui triunghi isoscel PAB este și altitudinea, atunci PM ⊥ a.

Construcția mijlocului segmentului

Sarcină

Construiți punctul de mijloc al acestui segment.

Soluţie

Fie AB segmentul dat. Construim două cercuri cu centrele A și B de raza AB. Se intersectează în punctele P și Q. Desenați o dreaptă PQ. Punctul O al intersecției acestei drepte cu segmentul AB este punctul de mijloc dorit al segmentului AB.

Într-adevăr, triunghiurile APQ și BPQ sunt egale în trei laturi, deci ∠1 = ∠2 (Fig. 89).

Orez. 89

În consecință, segmentul RO este bisectoarea triunghiului isoscel ARV și, prin urmare, mediana, adică punctul O este mijlocul segmentului AB.

Sarcini

143. Care dintre segmentele prezentate în figura 90 sunt: ​​a) coarde ale unui cerc; b) diametrele cercului; c) razele unui cerc?

Orez. 90

144. Segmentele AB și CD sunt diametrele unui cerc. Demonstrați că: a) acordurile BD și AC sunt egale; b) acordurile AD și BC sunt egale; c) ∠RĂU = ∠BCD.

145. Segmentul MK este diametrul unui cerc cu centrul O, iar MR și RK sunt coarde egale ale acestui cerc. Găsiți ∠POM.

146. Segmentele AB și CD sunt diametrele unui cerc cu centrul O. Aflați perimetrul triunghiului AOD, dacă se știe că CB = 13 cm, AB = 16 cm.

147. Punctele A și B sunt marcate pe un cerc cu centrul O astfel încât unghiul AOB să fie drept. Segmentul BC este diametrul cercului. Demonstrați că acordurile AB și AC sunt egale.

148. Două puncte A și B sunt date pe o linie dreaptă. Pe continuarea fasciculului BA, lăsați deoparte segmentul BC astfel încât BC \u003d 2AB.

149. Având în vedere o dreaptă a, un punct B care nu se află pe ea și un segment PQ. Construiți un punct M pe dreapta a astfel încât BM = PQ. Problema are întotdeauna o soluție?

150. Având în vedere un cerc, un punct A care nu se află pe el și un segment PQ. Construiți un punct M pe cerc astfel încât AM = PQ. Problema are întotdeauna o soluție?

151. Se dau unghiul acut BAC si raza XY. Construiți unghiul YXZ astfel încât ∠YXZ = 2∠BAC.

152. Este dat unghiul obtuz AOB. Construiți raza OX astfel încât unghiurile XOA și XOB să fie unghiuri obtuze egale.

153. Având în vedere o dreaptă a și un punct M care nu se află pe ea. Construiți o dreaptă care trece prin punctul M și perpendiculară pe dreapta a.

Soluţie

Să construim un cerc cu un centru într-un punct dat M, intersectând o dreaptă dată a în două puncte, pe care o notăm cu literele A și B (Fig. 91). Apoi construim două cercuri cu centrele A și B care trec prin punctul M. Aceste cercuri se intersectează în punctul M și în încă un punct, pe care îl notăm cu litera N. Să trasăm dreapta MN și să demonstrăm că această dreaptă este cea dorită. unul, adică este perpendicular pe dreapta a.

Orez. 91

Într-adevăr, triunghiurile AMN și BMN sunt egale în trei laturi, deci ∠1 = ∠2. Rezultă că segmentul MC (C este punctul de intersecție al dreptelor a și MN) este bisectoarea triunghiului isoscel AMB și, prin urmare, înălțimea. Astfel, MN ⊥ AB, adică MN ⊥ a.

154. Este dat triunghiul ABC. Construiți: a) bisectoarea AK; b) mediana VM; c) înălțimea CH a triunghiului. 155. Folosind o busolă și o riglă, construiți un unghi egal cu: a) 45°; b) 22°30".

Răspunsuri la sarcini

152. Instruire. Mai întâi, construiți bisectoarea unghiului AOB.

Obiective:

să consolideze conceptele de „cerc”, „cerc” în rândul elevilor; a deriva conceptul de „raza unui cerc”; învață să construiești cercuri cu o rază dată; dezvolta capacitatea de a raționa, de a analiza.

UUD personal:
să formeze o atitudine pozitivă față de lecțiile de matematică;
interes pentru activitățile de cercetare;

Sarcini meta-subiect

UUD de reglementare:
acceptă și salvează sarcina de învățare;
găsiți mai multe soluții în cooperare cu profesorul și clasa;

UUD cognitiv:
stabilirea si rezolvarea problemelor:
identifică și formulează în mod independent problema;
educatie generala:
găsiți informațiile necesare în manual;
construiți un cerc cu o rază dată folosind o busolă;
joc de inteligență:
să formeze conceptul de „rază”;
clasifica, compara;
trageți propriile concluzii;

UUD comunicativ:
să participe activ la munca în echipă, folosind mijloace de vorbire;
argumentează-ți punctul de vedere;

Abilități de articol:
identificați trăsăturile esențiale ale conceptelor „raza cercului”;
construiți cercuri cu raze diferite;
recunoaște razele într-un desen.

În timpul orelor

Motivația pentru activități de învățare

- Să verificăm dacă toată lumea este pregătită pentru lecție?

„Intrare emoțională în lecție”:

Zâmbește ca soarele.

Încruntă ca norii

Plange ca ploaia

Surprins de parcă ai vedea un curcubeu

Acum repetă după mine

Jocul „Ecou prietenos”

2.Actualizarea cunoștințelor

Numărarea verbală

a) 60-40 36+12 10+20 58-12 90-50 31+13

Descurcă modelul. Continuați rândul.

Raspuns: 20, 48,30,46,40,44 50,42

b) Rezolvați problema:

1. În prima zi, magazinul a vândut 42 kg de fructe, iar în a doua zi, cu 2 kg în plus. Câte kilograme s-au vândut în a doua zi?

Ce trebuie schimbat pentru ca sarcina să fie rezolvată în 2 pași.

Mingi - 16 buc.

Corzi de sărit - 28 buc.

Găsiți o soluție la această problemă.

28-16 28+16

Schimbați întrebarea astfel încât problema să poată fi rezolvată prin scădere.

3. Enunțul sarcinii de învățare

1. Numiți formele geometrice

Circumferința cercului minge ovală

Care figură lipsește?

Ce au în comun cifrele? (Cercul, circumferința, mingea au aceeași formă)

Care este diferența?

2. În

Ce puncte sunt pe cerc? Care sunt punctele din afara cercului?

Ce înseamnă punctul O? (cercul centru)

Care este numele segmentului OB?

Câte raze pot fi desenate într-un cerc?

Care segment nu este o rază? De ce?

Care poate fi concluzia?

Concluzie: toate razele au aceeași lungime .

3. Câte cercuri sunt în imagine?

Cum sunt diferite cercurile? (mărimea)

Ce determină dimensiunea unui cerc?

Care poate fi concluzia?

Concluzie: cu cât cercul este mai mare, cu atât raza lui este mai mare.

Stabiliți subiectul lecției.

Subiect: Construirea unui cerc cu raza dată folosind o busolă.

Ce sarcini ne putem stabili pentru această lecție?

4. Lucrați la tema

a) Construcția unui cerc.

Ce trebuie să știi pentru a desena un cerc de o anumită dimensiune?

Desenați un cerc cu raza de 3 cm.

b) Pregătirea pentru activitățile proiectului

1) Luați în considerare desenul

Din ce forme constă un fluture? Cercuri cu aceeași rază?

2) Lucrați în perechi.

Restabiliți ordinea etapelor de deasupra proiectului.

Prezentarea sau demonstrația proiectului

Intenție (de a face o schiță)

Construiți cifre pentru a implementa planul

Luați în considerare ce rază ar trebui să aibă formele

c) Lucrul la proiect.

Lucrați în grupuri conform algoritmului compilat