Za oknem parno, leci puch topoli i taka pogoda sprzyja wypoczynkowi. W ciągu roku szkolnego każdemu kumuluje się zmęczenie, ale oczekiwanie na wakacje/wakacje powinno zainspirować Cię do pomyślnego zdania egzaminów i testów. Swoją drogą, nauczyciele też są nudni w sezonie, więc niedługo i ja znajdę chwilę, żeby rozładować umysł. A teraz kawa, rytmiczne buczenie jednostki systemowej, kilka martwych komarów na parapecie i stan w pełni sprawny... ...o cholera... pieprzony poeta.

Do momentu. Kogo to obchodzi, ale dla mnie dzisiaj jest 1 czerwca i przyjrzymy się innemu typowemu problemowi złożonej analizy - znajdowanie konkretnego rozwiązania układu równań różniczkowych metodą rachunku operacyjnego. Co musisz wiedzieć i umieć, aby dowiedzieć się, jak go rozwiązać? Przede wszystkim, wysoce zalecane zapoznaj się z lekcją. Proszę przeczytać część wprowadzającą, zrozumieć ogólne sformułowanie tematu, terminologię, notację i co najmniej dwa lub trzy przykłady. Faktem jest, że z systemami dyfuzorów wszystko będzie prawie takie samo, a nawet prostsze!

Oczywiście musisz zrozumieć, co to jest układ równań różniczkowych, co oznacza znalezienie rozwiązania ogólnego układu i rozwiązania szczegółowego układu.

Przypomnę, że układ równań różniczkowych można rozwiązać w „tradycyjny” sposób: poprzez eliminację Lub za pomocą równania charakterystycznego. Metoda rachunku operacyjnego, która zostanie omówiona, ma zastosowanie do systemu zdalnego sterowania, gdy zadanie zostanie sformułowane w następujący sposób:

Znajdź szczególne rozwiązanie jednorodnego układu równań różniczkowych , odpowiadające warunkom początkowym .

Alternatywnie system może być heterogeniczny - z „dodatkami” w postaci funkcji i po prawej stronie:

Ale w obu przypadkach należy zwrócić uwagę na dwa podstawowe punkty warunku:

1) Chodzi o to tylko o rozwiązaniu prywatnym.
2) W nawiasach warunki początkowe Czy ściśle zerowe, i nic więcej.

Ogólny przebieg i algorytm będą bardzo podobne rozwiązywanie równań różniczkowych metodą operacyjną. Z materiałów referencyjnych będziesz potrzebować tego samego tabela oryginałów i obrazów.

Przykład 1

, ,

Rozwiązanie: Początek jest banalny: użycie Tablice transformacji Laplace'a Przejdźmy od oryginałów do odpowiednich obrazów. W przypadku problemu z systemami zdalnego sterowania przejście to jest zwykle proste:

Korzystając ze wzorów tabelarycznych nr 1, 2, uwzględniając warunek początkowy, otrzymujemy:

Co zrobić z „grami”? Zmień mentalnie „X” w tabeli na „I”. Stosując te same przekształcenia nr 1, 2, biorąc pod uwagę warunek początkowy, znajdujemy:

Podstawmy znalezione obrazy do pierwotnego równania :

Teraz w lewych partiach trzeba zebrać równania Wszystko terminy, w których lub jest obecny. Do właściwych części równania muszą zostać „sformalizowane” Inny warunki:

Następnie po lewej stronie każdego równania przeprowadzamy nawias:

W takim przypadku na pierwszych pozycjach, a na drugich pozycjach należy umieścić:

Powstały układ równań z dwiema niewiadomymi jest zwykle rozwiązywany według wzorów Cramera. Obliczmy główny wyznacznik układu:

W wyniku obliczenia wyznacznika otrzymano wielomian.

Ważna technika! Ten wielomian jest lepszy Natychmiast spróbuj to uwzględnić. W tym celu należy spróbować rozwiązać równanie kwadratowe , ale wielu czytelników z wytrenowanym okiem drugiego roku zauważy to .

Zatem naszym głównym wyznacznikiem systemu jest:

Dalszy demontaż systemu, dzięki Kramerowi, jest standardem:

W rezultacie otrzymujemy rozwiązanie operatorskie systemu:

Zaletą omawianego zadania jest to, że ułamki zwykle okazują się proste, a radzenie sobie z nimi jest znacznie łatwiejsze niż z ułamkami w zadaniach znalezienie konkretnego rozwiązania dla DE przy użyciu metody operacyjnej. Twoje przeczucie cię nie oszukało - stary dobry metoda niepewnych współczynników, za pomocą którego rozkładamy każdy ułamek na ułamki elementarne:

1) Zajmijmy się pierwszym ułamkiem:

Zatem:

2) Drugi ułamek rozkładamy według podobnego schematu, ale bardziej poprawne jest użycie innych stałych (nieokreślonych współczynników):

Zatem:

Radzę manekinom zapisać rozłożone rozwiązanie operatora w następującej formie:
- dzięki temu ostatni etap będzie jaśniejszy - odwrotna transformata Laplace'a.

Korzystając z prawej kolumny tabeli, przejdźmy od obrazów do odpowiednich oryginałów:

Zgodnie z zasadami dobrych manier matematycznych uporządkujemy trochę wynik:

Odpowiedź:

Odpowiedź sprawdzana jest według standardowego schematu, który szczegółowo omówiono na lekcji. Jak rozwiązać układ równań różniczkowych? Zawsze staraj się go ukończyć, aby dodać duży plus do zadania.

Przykład 2

Korzystając z rachunku operacyjnego, znajdź szczególne rozwiązanie układu równań różniczkowych, które odpowiada zadanym warunkom początkowym.
, ,

To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie. Przybliżona próbka ostatecznej postaci problemu i odpowiedzi na końcu lekcji.

Rozwiązanie niejednorodnego układu równań różniczkowych nie różni się algorytmicznie od tego, że technicznie będzie nieco bardziej skomplikowane:

Przykład 3

Korzystając z rachunku operacyjnego, znajdź szczególne rozwiązanie układu równań różniczkowych, które odpowiada zadanym warunkom początkowym.
, ,

Rozwiązanie: Korzystając z tablicy przekształceń Laplace'a, biorąc pod uwagę warunki początkowe , przejdźmy od oryginałów do odpowiednich obrazów:

Ale to nie wszystko, po prawej stronie równań znajdują się samotne stałe. Co zrobić w przypadkach, gdy stała jest zupełnie sama? Było to już omawiane na zajęciach. Jak rozwiązać DE metodą operacyjną. Powtórzmy: pojedyncze stałe należy w myślach pomnożyć przez jeden, a do jednostek zastosować transformację Laplace'a:

Zastąpmy znalezione obrazy oryginalnym systemem:

Przesuńmy terminy zawierające , w lewo, a pozostałe terminy umieść po prawej stronie:

W lewych stronach przeprowadzimy nawias, dodatkowo prawą stronę drugiego równania sprowadzimy do wspólnego mianownika:

Obliczmy główny wyznacznik systemu, nie zapominając, że wskazane jest natychmiastowe podjęcie próby rozkładu wyniku na czynniki:
co oznacza, że ​​system posiada unikalne rozwiązanie.

Przejdźmy dalej:



Rozwiązaniem operatorskim układu jest zatem:

Czasami można skrócić jeden lub oba ułamki, a czasami tak skutecznie, że nie trzeba nawet niczego rozszerzać! A tak na marginesie, w niektórych przypadkach od razu dostajesz gratis, poniższy przykład lekcji będzie przykładem orientacyjnym.

Stosując metodę współczynników nieokreślonych otrzymujemy sumy ułamków elementarnych.

Rozłóżmy pierwszy ułamek:

I osiągamy drugie:

W efekcie rozwiązanie operatorskie przybiera potrzebną nam postać:

Korzystanie z prawej kolumny tabele oryginałów i obrazów przeprowadzamy odwrotną transformatę Laplace'a:

Podstawmy otrzymane obrazy do rozwiązania operatorskiego układu:

Odpowiedź: rozwiązanie prywatne:

Jak widać w systemie heterogenicznym konieczne jest przeprowadzenie bardziej pracochłonnych obliczeń w porównaniu z systemem jednorodnym. Spójrzmy na jeszcze kilka przykładów z sinusami i cosinusami, i to wystarczy, ponieważ uwzględnione zostaną prawie wszystkie typy problemów i większość niuansów rozwiązania.

Przykład 4

Korzystając z metody rachunku operacyjnego, znaleźć szczególne rozwiązanie układu równań różniczkowych przy danych warunkach początkowych,

Rozwiązanie: Sam również przeanalizuję ten przykład, ale komentarze będą dotyczyć tylko wyjątkowych momentów. Zakładam, że jesteś już dobrze zaznajomiony z algorytmem rozwiązania.

Przejdźmy od oryginałów do odpowiednich obrazów:

Zamieńmy znalezione obrazy na oryginalny system zdalnego sterowania:

Rozwiążmy układ korzystając ze wzorów Cramera:
co oznacza, że ​​system posiada unikalne rozwiązanie.

Powstałego wielomianu nie można rozłożyć na czynniki. Co zrobić w takich przypadkach? Absolutnie niczego. Ten też się nada.

W rezultacie rozwiązaniem operatorskim systemu jest:

Oto szczęśliwy bilet! Nie ma w ogóle potrzeby stosowania metody współczynników nieokreślonych! Tyle, że aby zastosować przekształcenia tabeli, przepisujemy rozwiązanie w następującej postaci:

Przejdźmy od obrazów do odpowiednich oryginałów:

Podstawmy otrzymane obrazy do rozwiązania operatorskiego układu:

Rozmiar: piks

Rozpocznij wyświetlanie od strony:

Transkrypcja

1 Rozwiązywanie równań różniczkowych za pomocą transformaty Laplace'a (metoda operacyjna) Rachunek operacyjny jest jedną z najbardziej ekonomicznych metod całkowania liniowych równań różniczkowych o stałych współczynnikach i cieszy się dużą popularnością wśród inżynierów. Metodę zaproponował słynny amerykański inżynier elektryk i fizyk O. Heaviside (892). Zaproponował formalne zasady obsługi operatora d dx i niektórych funkcji tego operatora, za pomocą których rozwiązał szereg ważnych problemów elektrodynamiki. Rachunek operacyjny nie doczekał się jednak matematycznego uzasadnienia w pracach O. Heaviside’a („jego matematyka powstała w kontekście fizycznym, z którego niełatwo ją wyizolować” [, s. 8]), wiele jego wyników pozostało niepotwierdzonych. Dopiero w II latach XX w. metoda znalazła uzasadnienie w pracach Bromwicha (T. J. I A. Bromwich) i Carsona (J. R. Carson) 2. Pojęcie oryginału i obrazu według definicji Laplace’a. Funkcja oryginalna to dowolna funkcja o wartościach zespolonych f(x) rzeczywistego argumentu x, która spełnia następujące warunki:) f(x) jest ciągła dla x, być może z wyjątkiem skończonej liczby punktów nieciągłości -tego Uprzejmy; 2) dla wszystkich x< f(x) = ; 3) существуют такие постоянные M >oraz a >, dla którego f(x) M e ax dla x. () Równania różniczkowe i całkowe: podręcznik dla studentów Wydziału Fizyki i Techniki: w 3 godz. Część 2 / komp. : N. Yu. Svetova, E. E. Semyonova. Petrozavodsk: Wydawnictwo PetrSU, Próby rygorystycznego uzasadnienia i „matematycznie akceptowalnej” prezentacji rachunku różniczkowego przypominały „powszechny atak”: angielski matematyk Bromwich (96), amerykański inżynier Carson (925), holenderski inżynier elektryk Van der Pol ( ) przyciągnął wyniki różnych teorii, łączących rachunek Heaviside'a z transformatą Laplace'a, z teorią funkcji zmiennej zespolonej.

2 2 Dolna część wszystkich liczb a, dla których zachodzi nierówność (), nazywana jest wykładnikiem wzrostu funkcji f(x). Należy zauważyć, że dla dowolnej funkcji ograniczonej wskaźnik wzrostu a =. Najprostszym oryginałem jest funkcja Heaviside'a (, x ; χ(x) =, x<. Очевидно, для любой функции ϕ(x) { ϕ(x), x, ϕ(x) χ(x) =, x <. Если при x функция ϕ(x) удовлетворяет условиям и 3 определения, то функция ϕ(x)χ(x) является оригиналом. В дальнейшем для сокращения записи будем, как правило, записывать ϕ(x) вместо ϕ(x)χ(x), считая, что рассматриваемые нами функции продолжены нулем для отрицательных значений аргумента x. Определение 2. Функция F (p) комплексного переменного p (p C), определяемая интегралом F (p) = e px f(x) dx, () называется преобразованием Лапласа, или изображением по Лапласу 3, функции f(x). Для указания соответствия между оригиналом и изображением будем использовать следующую запись 4: f(x) F (p). 3 В мемуарах П. Лапласа (782 82) современные оригинал и изображение именуются fonction determinant и fonction generatrice «определяющая функция» и «производящая». Эти названия, хотя и признанные неудачными, сохранились до XX в. Хевисайд употреблял названия «подоператорная функция» (892). Оператор он обозначал буквой p, которая употребляется в современном исчислении . 4 Названия original и image и знак предложил Ван дер Поль в статьях гг. В русской литературе термин изображение и символ, по-видимому, впервые появились в книге харьковских математиков А. М. Эфроса и А. М. Данилевского «Операционное исчисление и контурные интегралы» (937), а термин оригинал только в 953 г. . Используются и другие варианты записи соответствия между оригиналами и изображениями. Например, f(x) F (p) или L{f(x)} = F (p).

3 Dla dowolnego oryginału f(x) jego obraz F (p) jest zdefiniowany w półpłaszczyźnie Rep > a (a jest wskaźnikiem wzrostu funkcji f(x)), gdzie zbiega się całka niewłaściwa (). Przykład. Korzystając z definicji, znajdź obraz funkcji f(x) = sin 3x. Rozwiązanie. Dla funkcji f(x) = sin 3x mamy a =. Zatem obraz F (p) będzie zdefiniowany w półpłaszczyźnie Rep >. Zastosujmy wzór () do danej funkcji, korzystając z zasady całkowania przez części i ograniczenia na zbiór wartości zmiennej p, zapewniając zbieżność całki: F (p) = + e px sin 3x dx = = p e px sin 3x x= = 3 p p e px cos 3x = 3 p 2 9 p 2 Otrzymujemy równość: Gdzie znajdziemy + x=+ + 3 p x=+ x= + 3 p e px cos 3x dx = + e px sin 3x dx = 3 p 2 9 p 2 fa (p ). fa (p) = 3 p 2 9 p 2 fa (p). F (p) = 3 p Zatem prawdziwa jest następująca zgodność: sin 3x 3 p 2, Rep >. + 9 e px sin 3x dx = 3

4 4 2. Własności transformaty Laplace'a W praktyce przy konstruowaniu obrazów wykorzystuje się różne techniki bazujące na własnościach transformaty Laplace'a. Wymieńmy główne właściwości, których ważność można łatwo ustalić, korzystając z definicji obrazu i oryginału. Jeśli f(x) F (p), g(x) G(p), to dla dowolnego α, β C αf(x) + βg(x) αf (p) + βg(p), Re p > max( a, b). Tutaj i poniżej a i b są wskaźnikami wzrostu odpowiednio dla funkcji f(x) i g(x). 2. Twierdzenie o podobieństwie. Jeżeli f(x) F (p), to dla dowolnego α > f(αx) α F (p α), Rep > αa. 3. Twierdzenie o przemieszczeniu. Jeżeli f(x) F (p), to dla dowolnego λ C e λx f(x) F (p λ), Rep > a + Re λ. 4. Zróżnicowanie oryginału. Niech funkcja f(x) będzie różniczkowalna n razy. Następnie f (x) pf (p) f(+), f (x) p 2 F (p) pf(+) f (+), f (n) (x) p n F (p) p n f(+). .. pf (n 2) (+) fa (n) (+), gdzie f (k) (+) = lim x + fa (k) (x), k =, n. Komentarz. Konstruując obrazy pochodnych funkcji ciągłych w punkcie zerowym, znak plusa pomija się przy pisaniu argumentu funkcji i jej pochodnych. 5. Różnicowanie obrazu. Jeśli f(x) F (p), to W szczególności dla n = mamy F (n) (p) (x) n f(x), Re p >. F(p) xf(x).

5 5 6. Integracja oryginału. Jeżeli f(x) F (p), to x f(ξ) dξ F (p) p, Re p > α. 7. Integracja obrazu. Jeśli całka i F (p) f(x), to p F (p) dp f(x) x, Re p > α. p F (p) dp zbieżny 8. Twierdzenie o mnożeniu obrazów (twierdzenie o splocie) Jeśli f(x) F (p), g(x) G(p), to F (p)g(p) x f(t) g( x t) dt = x f(x t)g(t) dt, gdy Re p > max(a, b). Całki po prawej stronie korespondencji nazywane są splotem funkcji f(x) i g(x). 9. Twierdzenie o opóźnieniu. Jeśli f(x) F (p), to dla dowolnego ξ > f(x ξ)χ(x ξ) e ξp F (p), Re p > α. Oryginał jest przywracany z obrazu w unikalny sposób, z dokładnością do wartości w punktach przerwania. W praktyce najczęściej wykorzystuje się gotowe tabele oryginałów i obrazów 5. W tabeli wyszczególniono główne oryginały i obrazy często spotykane w aplikacjach. Przykład 2. Korzystając z własności transformaty Laplace'a oraz tabeli podstawowych oryginałów i obrazów, znajdź obrazy następujących funkcji :) f(x) = e 4x sin 3x cos 2x; 3) f(x) = x 2 mi 3x ; 2) f(x) = e (x 2) grzech (x 2); 4) f(x) = sin2 x x. 5 Ditkin V. A., Prudnikov A. P. Podręcznik rachunku operacyjnego. M., 965.

6 6 Tabela. Podstawowe oryginały i obrazy Obraz oryginalny Obraz oryginalny p cos ωx p p 2 + ω 2 x n n! p n+ e λx p + λ sin ωx x cos ωx x n e λx n! (p + λ) n+ x sin ωx ω p 2 + ω 2 p 2 ω 2 (p 2 + ω 2) 2 2pω (p 2 + ω 2) 2 Rozwiązanie.) Przekształć wyrażenie na funkcję f(x) jako następująco: f(x) = mi 4x grzech 3x cos 2x = 2 mi 4x (grzech 5x + grzech x) = = 2 mi 4x grzech 5x + 2 mi 4x grzech x. Ponieważ sin x 5 p 2 i sin 5x + p, to korzystając z właściwości liniowości i twierdzenia o przemieszczeniu, aby przedstawić funkcję f(x) otrzymamy: F (p) = () 5 2 (p + 4) ( p + 4 )) Ponieważ sin x p 2 +, ex sin x (p) 2 +, to korzystając z twierdzenia o opóźnieniu, będziemy mieli f(x) = e x 2 sin (x 2) F (p) = e 2p ( p)) Zatem jako x 2 2 p 3, to z twierdzenia o przemieszczeniu mamy: f(x) = x 2 e 3x F (p) = 2 (p 3) 3.

7 Dla porównania przedstawiamy sposób konstruowania obrazu funkcji f(x) = x 2 e 3x wykorzystując własność różniczkowania obrazu: Otrzymaliśmy ten sam wynik. 4) Ponieważ e 3x p 3 ; xe 3x re () = dp p 3 (p 3) 2 ; x 2 e 3x d () 2 dp (p 3) 2 = (p 3) 3. sin 2 x = 2 2 cos 2x 2p 2 p p 2 + 4, wówczas korzystając z własności integracji obrazów będziemy mieli: sin 2 x ( x 2p) 2 p p 2 dp = + 4 p (= 4 ln p2) 4 ln(p2 + 4) = p 4 ln p 2 p p = 4 ln p2 + 4 p Przywracanie oryginału z obrazu Niech obraz Y (p) będzie właściwym ułamkiem wymiernym (jest funkcją wymierną). Jeśli ułamek rozłożymy na sumę ułamków prostych (elementarnych), to dla każdego z nich można znaleźć odpowiedni oryginał, korzystając z właściwości transformaty Laplace'a oraz tabeli oryginałów i ich obrazów. Rzeczywiście, A p a eax; A (p a) n A (n)! xn i topór.

8 8 Po przeliczeniu ułamka Ap + B A(p a) + aa + B A(p a) (p a) 2 = + b2 (p a) 2 + b 2 = (p a) 2 + b 2 + aa + B (p a) 2 + b 2, otrzymujemy Ap + B (p a) 2 + b 2 A eax cos bx + aa + B e ax sin bx. b Aby skonstruować oryginał odpowiadający ułamkowi Ap + B ((pa a) 2 + b 2) n, możesz skorzystać z twierdzenia o mnożeniu. Na przykład dla n = 2 mamy Ap + B ((p a) 2 + b 2) 2 = Ap + B (p a) 2 + b 2 (p a) 2 + b 2. Od tego czasu Dla n = 3: Ap + B (p a) 2 + b 2 A eax cos bx + aa + B e ax sin bx = h (x) b (p a) 2 + b 2 b eax sin bx = g(x), Ap + B ((p a ) 2 + b 2) 2 = x Ap + b ((p a) 2 + b 2) 2 (p a) 2 + b 2 g(x t) godz (t) dt = godz 2 (t). x g(x t) h 2 (t) dt, Podobnie możemy rozważyć przywrócenie oryginałów dla n > 3. Mianownik funkcji wymiernej Y (p) jest wielomianem rzędu k. Jeśli ma k różnych zer p i, i =, k, to rozwija się

9 mianownik przez współczynniki (p p i), odpowiedni oryginał dla Y (p) można znaleźć ze wzoru: y(x) = k (Y (p)(p p i)e px) p=pi. (2) i= Iloczyn Y (p)(p p i) daje funkcję wymierną, której mianownik nie zawiera współczynnika (p p i), a obliczony przy p = p i wyznacza współczynnik, z jakim ułamek jest zawarty w p p i rozwinięcie funkcji Y (p) na sumę ułamków elementarnych. Przykład 3. Znajdź oryginał odpowiadający obrazowi: Y (p) = p 3 p. Rozwiązanie. Rozbudowując dany obraz na sumę ułamków elementarnych: p 3 p = p(p)(p +) = p + 2(p) + 2(p +), znajdujemy pierwotną Odpowiedź: y(x) = + ch x. y(x) = + 2 ex + 2 mi x = + ch x. Przykład 4. Znajdź oryginał obrazu: Y (p) = p(p 2 +). Rozwiązanie. Ponieważ p 2 sin x, zatem stosując własność całkowania oryginału, + otrzymujemy: p(p 2 +) x Odpowiedź: y(x) = cos x. grzech t dt = sałata t x = cos x. Przykład 5. Znajdź oryginał odpowiadający obrazowi: Y (p) = (p 2 + 4) 2, 9

10 Rozwiązanie. Stosując własność obrazu splotu, mamy: Y (p) = (p 2 + 4) 2 = p p x sin 2(x t) sin 2t dt. Po obliczeniu całki otrzymujemy pożądane wyrażenie dla oryginału. Odpowiedź: y(x) = 6 grzech 2x x cos 2x. 8 Przykład 6. Znajdź oryginał odpowiadający obrazowi: Y (p) = p p 3 p 2 6p. Rozwiązanie. Ponieważ p 3 p 2 6p = p(p 3)(p + 2), to mianownik ułamka Y (p) ma trzy proste pierwiastki: p =, p 2 = 3 i p 3 = 2. Skonstruujmy odpowiednie oryginał stosując wzór (2): y(x) = (p2 + 2)e px (p 3)(p + 2) + (p2 + 2)e px p= p(p + 2) + (p2 + 2 )e px p =3 p(p 3) = p= 2 = e3x e 2x. Przykład 7. Znajdź oryginał odpowiadający obrazowi: Y (p) = e p 2 p(p +)(p 2 + 4). Rozwiązanie. Wyobraźmy sobie ułamek zawarty w wyrażeniu w postaci ułamków prostych: p(p +)(p 2 + 4) = A p + B p + + Cp + D p Stosując do rozwinięcia metodę współczynników nieokreślonych otrzymujemy : Obraz będzie wyglądał następująco: A = 4 ; B = re = 5; do = 2. Y (p) = mi p 2 4 p 5 mi p 2 p + pe p 2 2 p mi p 2 5 p (a)

11 Korzystając z zależności: p χ(x), p + e x χ(x), p p cos 2x χ(x), p sin 2x χ(x) 2 i biorąc pod uwagę twierdzenie o opóźnieniu, otrzymujemy pożądany oryginał obrazu (A). Odpowiedź: y(x) = (4 5 e (x 2) cos (2x) sin (2x) 2) χ (x) Rozwiązanie problemu Cauchy'ego dla równania różniczkowego o stałych współczynnikach Metoda rozwiązywania różnych klas równań za pomocą transformata Laplace'a nazywana jest metodą operacyjną. Właściwość transformaty Laplace'a, różniczkowanie oryginału, pozwala sprowadzić rozwiązanie liniowych równań różniczkowych o stałych współczynnikach do rozwiązania równań algebraicznych. Rozważmy problem Cauchy'ego dla niejednorodnego równania z warunkami początkowymi y (n) + a y (n) a n y + a n y = f(x) (3) y() = y, y () = y,..., y (n ) ( ) = y n. (4) Niech funkcja f(x) i wymagane rozwiązanie spełniają warunki istnienia transformaty Laplace'a. Oznaczmy przez Y (p) obraz nieznanej funkcji (pierwotnej) y(x), a przez F (p) obraz prawej strony f(x): y(x) Y (p), f (x) F (p). Zgodnie z zasadą różniczkowania oryginału mamy y (x) py (p) y, y (x) p 2 Y (p) py y, y (n) (x) p n Y (p) p n y p n 2 y.. .

12 2 Następnie, ze względu na liniowość transformaty Laplace'a, po zastosowaniu jej do lewej i prawej strony równania (3) otrzymujemy równanie operatorowe M(p)Y (p) N(p) = F (p ), (5) gdzie M(p) wielomian charakterystyczny równania (3): M(p) = p n + a p n a n p + a n y, N(p) wielomian zawierający początkowe dane problemu Cauchy'ego (znika, gdy dane początkowe wynoszą zero ): N(p) = y (p n + a p n a n) + + y (p n 2 + a p n za n 2) y n 2 (p + a) + y n, F (p) obraz funkcji f(x). Rozwiązując równanie operatora (5), otrzymujemy obraz Laplace'a Y (p) pożądanego rozwiązania y(x) w postaci Y (p) = F (p) + N(p). M(p) Przywracając oryginał dla Y (p), znajdujemy rozwiązanie równania (3) spełniające warunki początkowe (4). Przykład 8. Znajdź rozwiązanie równania różniczkowego: y (x) + y(x) = e x, spełniając warunek: y() =. Rozwiązanie. Niech y(x) Y (p). Ponieważ y (x) py (p) y() = py (p), e x p +, to stosując do danego równania transformatę Laplace'a, korzystając z własności liniowości, otrzymujemy równanie algebraiczne dla Y (p): py ( p) + Y (p) = p +. Gdzie znajdziemy wyrażenie na Y (p):

13 Od tego momentu mamy Y (p) = p + e x, (p +) 2 + p +. (p +) 2 xe x, Y (p) y(x) = mi x x + mi x. Weryfikacja: Pokażemy, że znaleziona funkcja rzeczywiście jest rozwiązaniem problemu Cauchy'ego. Podstawiamy wyrażenie na funkcję y(x) i jej pochodną do podanego równania: y (x) = e x x + e x e x = e x x e x + e x x + e x = e x. Po sprowadzeniu podobnych wyrazów na lewą stronę równania otrzymujemy poprawną tożsamość: ex ex x. Zatem skonstruowana funkcja jest rozwiązaniem równania. Sprawdźmy, czy spełnia warunek początkowy y() = : y() = e + e =. Zatem znaleziona funkcja jest rozwiązaniem problemu Cauchy’ego. Odpowiedź: y(x) = mi x x + mi x. Przykład 9. Rozwiąż problem Cauchy'ego y + y =, y() =, y() =. Rozwiązanie. Niech y(x) Y (p). Ponieważ 3 y (x) p 2 Y (p) py() y (), /p, to stosując do równania transformatę Laplace'a, uwzględniając warunki początkowe, otrzymujemy (p 2 +)Y (p) = p = Y ( p) = p(p 2 +). Rozłóżmy ułamek na prostsze ułamki: Y (p) = p Z tabeli znajdujemy y(x) = cos x. p. 2 +.

14 4 Oryginał można także przywrócić z obrazu, stosując właściwość integracji oryginału (patrz przykład 4). Odpowiedź: y(x) = cos x. Przykład. Rozwiąż problem Cauchy'ego y +3y = e 3x, y() =, y() =. Rozwiązanie. Niech y(x) Y (p). Ponieważ y py (p) y(), y (x) p 2 Y (p) py() y (), oraz e 3x p + 3, to biorąc pod uwagę warunki początkowe, otrzymujemy równanie operatora (p 2 + 3p) Y (p) + = p + 2 = Y (p) = p + 3 (p + 3) 2 p. Rozłóżmy funkcję wymierną na ułamki proste: p + 2 (p + 3) 2 p = A p + B p C (p + 3) 2 = A(p2 + 6p + 9) + B(p 2 + 3p) + Cp p (p + 3) 2. Stwórzmy układ równań, aby znaleźć współczynniki A, B i C: A + B =, 6A + 3B + C =, 9A = 2, rozwiązując które znajdujemy A = 2/9 , B = 2/9, C = /3. Dlatego Y (p) = 2 9 p p (p + 3) 2. Korzystając z tabeli, otrzymujemy odpowiedź. Odpowiedź: y(x) = e 3x 3 xe 3x. Przykład. Znajdź rozwiązanie równania różniczkowego: y (x) + 2y (x) + 5y (x) =, spełniając warunki: y() =, y () = 2, y () =. Rozwiązanie. Niech y(x) Y (p). Ponieważ biorąc pod uwagę podane warunki, mamy y (x) p Y (p) y() = py (p) () = py (p) +, y (x) p 2 Y (p) p y() y () = = p 2 Y (p) p () 2 = p 2 Y (p) + p 2, y (x) p 3 Y (p) p 2 y() p y () y () = = p 3 Y ( p) p 2 () p 2 = p 3 Y (p) + p 2 2p,

15 to po zastosowaniu transformaty Laplace'a do danego równania otrzymujemy następujące równanie operatorowe: p 3 Y (p) + p 2 2p + 2p 2 Y (p) + 2p 4 + 5pY (p) + 5 = lub po przekształceniach: Y (p) (p 3 + 2 p 2 + 5 p) = p 2. Rozwiązując to równanie dla Y (p), otrzymujemy Y (p) = p 2 p(p 2 + 2 p + 5). Rozłóżmy powstałe wyrażenie na ułamki proste: p 2 p(p 2 + 2p + 5) = A p + Bp + C p 2 + 2p + 5. Metodą współczynników nieokreślonych znajdujemy A, B, C. Aby to zrobić, redukujemy ułamki do ogólnego mianownika i przyrównujemy współczynniki dla równych potęg p: p 2 p(p 2 + 2p + 5) = Ap2 + 2Ap + 5A + Bp 2 + Cp p(p p + 5) Otrzymujemy układ równań algebraicznych dla A, B, C: rozwiązaniem którego będzie: A + B =, 2A + C =, 5A =, A = 5, B = 4 5, C = 2 5. Wtedy Y (p) = 5p + 5 4p + 2 p 2 + 2p + 5. Aby znaleźć oryginał drugiego ułamka, wybieramy cały kwadrat w jego mianowniku: p 2 + 2p + 5 = (p +) 2 + 4, następnie w liczniku wybieramy wyraz p+: 4p+2 = 4(p+)+6 i rozkładamy ułamek na sumę dwóch ułamków: 5 4p + 2 p 2 + 2p + 5 = 4 5 p + (p +) (p +) Następnie, korzystając z twierdzenia o przemieszczeniach i tabeli korespondencji obrazów i oryginałów, otrzymujemy rozwiązanie pierwotnego równania. Odpowiedź: y(x) = mi x cos 2x e x sin 2x.

16 6 Metodą operacyjną można skonstruować ogólne rozwiązanie równania (3). Aby to zrobić, należy zastąpić określone wartości y, y,..., y (n) warunków początkowych dowolnymi stałymi C, C 2,..., C n. Bibliografia. Aleksandrova N.V. Historia terminów matematycznych, pojęć, notacji: Słownik-podręcznik. M.: Wydawnictwo LKI, s. 13-12. 2. Vasilyeva A. B. Równania różniczkowe i całkowe, rachunek wariacyjny w przykładach i problemach / A. B. Vasilyeva, G. N. Miedwiediew, N. A. Tichonow, T. A. Urazgildina. M.: FIZ-MATLIT, s. 25 3. Sidorov Yu. V. Wykłady z teorii funkcji zmiennej zespolonej / Yu. V. Sidorov, M. V. Fedoryuk, M. I. Shabunin M.: Science, 989.

RACHUNEK OPERACYJNY Rachunek operacyjny to rachunek symboliczny, który opiera się na konstrukcji analizy matematycznej jako systemu operacji formalnych na sztucznie wprowadzonych

Lekcja 18 Oryginały i ich obrazy Rachunek operacyjny to jedna z metod analizy matematycznej, którą zastosujemy do rozwiązywania równań i układów różniczkowych. Istota stosowania tej metody

Równania fizyki matematycznej Zbiór przykładów i ćwiczeń Pietrozawodsk 1 Pietrozawodsk Państwowy Uniwersytet Wydział Matematyki Równania fizyki matematycznej Zbiór przykładów i ćwiczeń

Spis treści Wprowadzenie. Podstawowe pojęcia.... 4 1. Równania całkowe Volterry... 5 Opcje zadań domowych.... 8 2. Rozwiązanie równania całkowego Volterry. 10 opcji pracy domowej.... 11

1 Temat 4. Metoda operatorowa rozwiązywania równań i układów różniczkowych liniowych 4.1 Transformata Laplace'a Oryginałem jest dowolna funkcja f(t) zmiennej rzeczywistej t, która spełnia poniższe

ELEMENTY RACHUNKU OPERACYJNEGO WYDAWNICTWO TSTU MINISTERSTWO EDUKACJI I NAUKI FEDERACJI ROSYJSKIEJ GOU VPO „Państwowy Uniwersytet Techniczny w Tambowie” ELEMENTY RACHUNKU OPERACYJNEGO

Analiza matematyczna Sekcja: rachunek operacyjny Temat: Transformata Laplace'a i jej własności Wykładowca Pakhomova E.G. 2011 11. Oryginał i obraz. Twierdzenie o inwersji DEFINICJA 1. Niech:RC. Funkcja

Liczby zespolone, funkcje i operacje na nich y moduł R część rzeczywista liczba rzeczywista, yim część urojona liczba rzeczywista iy algebraiczna forma zapisywania liczb zespolonych Główna wartość argumentu

Rozwiązanie standardowych wariantów pracy testowej na temat Całki funkcji jednej zmiennej Instrukcje metodyczne UDC 517.91 Instrukcje metodyczne zawierają szczegółowe rozwiązania typowych wariantów pracy testowej

Rozdział 1 Rachunek operacyjny. 1. Definicja transformaty Laplace'a. Transformata Laplace'a wiąże funkcję f(t) ze zmienną rzeczywistą t z funkcją F() zmiennej zespolonej = x + iy

MINISTERSTWO TRANSPORTU FEDERACJI ROSYJSKIEJ PAŃSTWA FEDERALNEGO BUDŻETOWA INSTYTUCJA EDUKACYJNA SZKOLNICTWA WYŻSZEGO „ROSYJSKI UNIWERSYTET TRANSPORTU (MIIT)” Wydział „Szkolnictwa Wyższego i Informatyki”

PAŃSTWOWA FEDERALNA BUDŻETOWA INSTYTUCJA EDUKACYJNA SZKOLNICTWA WYŻSZEGO „PAŃSTWOWY UNIWERSYTET TRANSPORTU cesarza Mikołaja II” Katedra „Matematyki Wyższej i Obliczeniowej”

82 4. Rozdział 4. Szereg funkcjonalny i mocowy 4.2. Lekcja 3 4.2. Lekcja 3 4.2.. Rozwinięcie funkcji w szereg Taylora DEFINICJA 4.2.. Niech funkcja y = f(x) będzie nieskończenie różniczkowalna w pewnym sąsiedztwie

Wykład INTEGRACJA UŁAMKÓW WYMIAROWYCH Ułamki wymierne Całkowanie prostych ułamków wymiernych Rozkład ułamków wymiernych na ułamki proste Całkowanie ułamków wymiernych Wymierne

TEMAT 5 Liniowe równanie Volterry typu - Podstawowe definicje i twierdzenia Równanie y = λ K(,) y() d+ f(), [ lub w postaci operatorowej y = λ By+ f, nazywane jest równaniem rodzaju Volterry Pozwalać

Wykład 6 Rachunek operacyjny Transformata Laplace'a Obrazy prostych funkcji Podstawowe właściwości transformaty Laplace'a Obraz pochodnej oryginału Rachunek operacyjny Transformata Laplace'a

Lekcja 19 Rozwiązywanie równań i układów różniczkowych metodą operacyjną 19.1 Rozwiązywanie liniowych równań różniczkowych o stałych współczynnikach Niech konieczne będzie znalezienie konkretnego rozwiązania liniowego

2.2. Metoda operatorowa obliczania procesów przejściowych. Informacje teoretyczne. Obliczanie procesów przejściowych w złożonych obwodach metodą klasyczną jest bardzo często komplikowane przez znalezienie stałych całkowania.

DOROKHOV VM PRZEWODNIK ROZWIĄZYWANIA PROBLEMÓW W RACHUNKU OPERACYJNYM MOSKWA, 4 WSTĘP W tym podręczniku przedstawiono teoretyczne podstawy rachunku operacyjnego. Przedstawiono metody rozwiązywania problemów

Ministerstwo Edukacji i Nauki Federacji Rosyjskiej Federalna Państwowa Budżetowa Instytucja Edukacyjna Wyższego Szkolnictwa Zawodowego „Rosyjski Uniwersytet Chemiczno-Technologiczny im. DI Mendelejewa” Instytut Nowomoskowska (oddział) Test 8 z matematyki (operacyjny

UDC 53.7 O JEDNEJ METODIE ZNAJDOWANIA CZĘŚCIOWEGO ROZWIĄZANIA LINIOWYCH RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH O STAŁYCH WSPÓŁCZYNNIKACH Zhanybekova A.A., [e-mail chroniony] Kazachsko-Brytyjski Uniwersytet Techniczny,

RACHUNEK INTEGRALNY INDEMNITE INTEGRAL Funkcja pierwotna i całka nieoznaczona lematu pierwotnego Funkcja F(nazywana jest funkcją pierwotną dla funkcji f(na przedziale X, jeśli F (= f(Funkcja X,

Równania pierwszego rzędu nierozwiązane ze względu na pochodną Rozważymy równania pierwszego rzędu nierozwiązane ze względu na pochodną: F (x, y, y) = 0, (1) gdzie F jest daną funkcją jej

II RÓWNANIA RÓŻNICOWE Równania różniczkowe pierwszego rzędu Definicja Relacje, w których nieznane zmienne i ich funkcje znajdują się pod znakiem pochodnej lub różniczkowej, nazywamy

ELEMENTY TEORII FUNKCJI RACHUNKU OPERACYJNEGO ZMIENNEJ ZŁOŻONEJ W wyniku studiowania tego tematu student musi nauczyć się: znajdować formy trygonometryczne i wykładnicze liczby zespolonej według

Ministerstwo Edukacji i Nauki Federacji Rosyjskiej „MATI” Rosyjski Państwowy Uniwersytet Technologiczny im. K.E. Ciołkowski Wydział Matematyki Wyższej Liczby zespolone i rachunek operacyjny

1 Temat 3. Liniowe równania różniczkowe o stałych współczynnikach 3.1 Liniowe równanie jednorodne Równanie różniczkowe postaci y (n) + a n 1 y (n 1) +... + a 1 y + a 0 y = 0, (3.1) gdzie A

CAŁKA NIEOkreślona. Funkcja pierwotna i całka nieoznaczona Głównym zadaniem rachunku różniczkowego jest znalezienie pochodnej (różniczki) danej funkcji. Rachunek całkowy

Ministerstwo Edukacji i Nauki Federacji Rosyjskiej Achinsk oddział Federalnej Państwowej Autonomicznej Instytucji Edukacyjnej Wyższego Kształcenia Zawodowego „Syberyjski Uniwersytet Federalny” MATEMATYKA

Granica funkcji. Znaczenie studiowania tematu Teoria granic odgrywa zasadniczą rolę w analizie matematycznej i pozwala nam określić charakter zachowania funkcji przy danej zmianie argumentu. Używając

Funkcja pierwotna i całka nieoznaczona Podstawowe pojęcia i wzory 1. Definicja całki pierwotnej i całki nieoznaczonej. Definicja. Funkcja F(x) nazywana jest funkcją pierwotną funkcji f(x) na przedziale

Rozdział 1 Równania różniczkowe 1.1 Pojęcie równania różniczkowego 1.1.1 Zagadnienia prowadzące do równań różniczkowych. W fizyce klasycznej każda wielkość fizyczna jest powiązana z

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYKŁE PIERWSZEGO RZĘDU Podstawowe pojęcia Równania różniczkowe ze zmiennymi rozłącznymi Wiele problemów w nauce i technologii sprowadza się do równań różniczkowych Rozważmy

Rozwój metodologiczny Rozwiązywanie problemów na TFKP Liczby zespolone Operacje na liczbach zespolonych Płaszczyzna zespolona Liczbę zespoloną można przedstawić w postaci wykładniczej algebraicznej i trygonometrycznej

Wykład 3 Szereg Taylora i Maclaurina Zastosowanie szeregów potęgowych Rozbudowa funkcji na szeregi potęgowe Szereg Taylora i Maclaurina Dla zastosowań ważna jest umiejętność rozwinięcia danej funkcji w szereg potęgowy, te funkcje

Typowa wersja „Liczby zespolone Wielomiany i ułamki wymierne” Zadanie Biorąc pod uwagę dwie liczby zespolone i cos sn Znajdź i zapisz wynik w postaci algebraicznej Zapisz wynik w formie trygonometrycznej

Federalna Agencja ds. Edukacji Federalna Państwowa Instytucja Edukacyjna Wyższego Kształcenia Zawodowego UNIWERSYTET POŁUDNIOWEJ FEDERALNEJ R. M. Gavrilova, G. S. Kostetskaya Metodyczne

S P PREOBRAZHENSKY, SR TIKHOMIROV INTEGRACJA RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH Z WYKORZYSTANIEM SZEREGÓW POTĘGOWYCH 987 SPIS TREŚCI Przedmowa Formułowanie zadania 3 Opcje do zadania 3 Przykład zadania i komentarze

Analiza matematyczna Sekcja: Całka nieoznaczona Temat: Całkowanie ułamków wymiernych Wykładowca E.G. Pakhomova 0 g. 5. Całkowanie ułamków wymiernych DEFINICJA. Nazywa się ułamek wymierny

Ministerstwo Transportu Federacji Rosyjskiej PAŃSTWA FEDERALNEGO BUDŻETOWA INSTYTUCJA EDUKACYJNA SZKOLNICTWA WYŻSZEGO „ROSYJSKI UNIWERSYTET TRANSPORTU (MIIT)” Instytut Ekonomii i Finansów

RACHUNEK OPERACYJNY Transformata i inwersja Laplace'a Wzór na przedział Dirichleta, a mianowicie: Całka Fouriera (l l) a) jest ograniczona na tym przedziale; funkcja spełnia warunki b) odcinkowo ciągła

Ministerstwo Edukacji Federacji Rosyjskiej Rosyjski Państwowy Uniwersytet Nafty i Gazu im. IM Gubkina VI Iwanowa Wytyczne dotyczące studiowania tematu „RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE” (dla studentów

57 Rozważmy całkowanie najprostszego ułamka wymiernego czwartego typu (M N) d () p q p Dokonajmy zmiany zmiennej poprzez ustawienie d. gdzie a p q. Wtedy Całka M N d p p p q q a, M p N Mp q d M (p q) p

Równanie różniczkowe n-tego rzędu nazywamy liniowym, jeżeli jest pierwszego stopnia ze względu na funkcję y i jej pochodne y..., y (n), czyli ma postać a 0 y (n) + a 1 y (n 1) +. .. + a ny = fa (x), gdzie

Analiza matematyczna Sekcja: Całka nieoznaczona Temat: Całkowanie ułamków wymiernych Wykładowca Rozhkova S.V. 0 g. 5. Całkowanie ułamków wymiernych DEFINICJA. Nazywa się ułamek wymierny

Ministerstwo Telekomunikacji i Komunikacji Masowej Federacji Rosyjskiej Państwowa instytucja edukacyjna wyższej edukacji zawodowej PAŃSTWOWY UNIWERSYTET TELEKOMUNIKACJI WOŁGI

Równania różniczkowe pierwszego rzędu rozwiązane w odniesieniu do pochodnej Twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania W ogólnym przypadku równanie różniczkowe pierwszego rzędu ma postać F ()

T A Matveeva V B Vetlichnaya D K Agisheva A Zotova SPECJALNE ROZDZIAŁY MATEMATYKI: STUDIUM OPERACYJNE FEDERALNA AGENCJA EDUKACJI WOLZHKY INSTYTUT POLITECHNICZNY ODDZIAŁ EDUKACJI PAŃSTWOWEJ

RACHUNEK INTEGRALNY INDEMNITE INTEGRAL Funkcja pierwotna i całka nieoznaczona funkcji pierwotnej Funkcja F() nazywana jest funkcją pierwotną dla funkcji f() na przedziale X, jeśli F / () = f() X.

5.4 Podstawowe metody integracji Integracja bezpośrednia. Obliczanie całek w oparciu o sprowadzenie całki do postaci tabelarycznej i wykorzystanie własności nieokreślonego

Wykład 3 Matematyczny opis układów sterowania W teorii sterowania, analizując i syntetyzując układy sterowania, mamy do czynienia z ich modelem matematycznym. Modelem matematycznym układu automatycznego sterowania jest równanie

Całkowanie układu równań różniczkowych poprzez eliminację zmiennych Jedna z głównych metod całkowania układu równań różniczkowych jest następująca: z równań normalnego

Częściowe równania różniczkowe pierwszego rzędu Niektóre problemy mechaniki klasycznej, mechaniki ciągłej, akustyki, optyki, hydrodynamiki, przenoszenia promieniowania sprowadzają się do cząstkowych równań różniczkowych

Najprostsze całki nieoznaczone Przykłady rozwiązania problemu Poniższe całki sprowadzamy do postaci tabelarycznych poprzez identyczne przekształcenie całki. 1. dx = dx = 2x 2/3 /3 + 2x 1/2 + C. >2.

LEKCJA PRAKTYCZNA Całkowanie ułamków wymiernych Ułamek wymierny to ułamek postaci P Q, gdzie P i Q są wielomianami. Ułamek wymierny nazywa się właściwym, jeśli stopień wielomianu P jest mniejszy od stopnia

[F] Filippov AV Zbiór problemów dotyczących równań różniczkowych Moskwa-Iżewsk: Centrum Badań Naukowych „Dynamika regularna i chaotyczna” 00 URL: http://librarbsaz/kitablar/846pf [M] Matveev NM Zbiór problemów i ćwiczeń dot.

Zawód E. Seria Taylora. Sumowanie szeregów potęgowych Mat. analiza, ap. matematyka, semestr 3 Znaleźć rozwinięcie funkcji w szereg potęgowy w potęgach, obliczyć promień zbieżności szeregu potęgowego: A f()

Zadanie 1.1. Znajdź we wskazanym obszarze nieidentycznie zerowe rozwiązania y = y(x) równania różniczkowego, które spełniają podane warunki brzegowe (problem Sturma-Liouville'a) Rozwiązanie: Rozważmy

9. Funkcja pierwotna i całka nieoznaczona 9.. Niech funkcja f() będzie dana na przedziale I R. Funkcja F () nazywana jest funkcją pierwotną funkcji f () w przedziale I, jeśli F () = f () dla dowolnego I, a funkcja pierwotna

~ ~ Całki nieoznaczone i oznaczone. Pojęcie funkcji pierwotnej i całki nieoznaczonej. Definicja: Funkcję F nazywa się funkcją pierwotną funkcji f, jeśli funkcje te są ze sobą powiązane w następujący sposób

Wykład 5 7 Twierdzenie Hilberta-Schmidta Rozważymy operator całkowy A, którego jądro K(spełnia następujące warunki: K(s) jest symetryczne, ciągłe w zbiorze zmiennych na [, ]

Ministerstwo Edukacji Republiki Białorusi Białoruski Uniwersytet Państwowy Wydział Fizyki Katedra Matematyki Wyższej i Fizyki Matematycznej O A Kononova, N I Ilyinkova, N K Filippova Liniowa

Temat 9 Szereg potęgowy Szereg potęgowy to szereg funkcyjny postaci, w której liczby... są współczynnikami szeregu, a punkt rozwinięcia szeregu.,...,... R... nazywany jest środek Szereg potęgowy Ogólny termin szeregu potęgowego

UKŁADY LINIOWYCH RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH O STAŁYCH WSPÓŁCZYNNIKACH Sprowadzenie do jednego równania I rzędu Z praktycznego punktu widzenia bardzo ważne są układy liniowe o stałych współczynnikach

Całki i równania różniczkowe Moduł 1. Całka nieoznaczona Wykład 1.2 Streszczenie Ułamki wymierne. Rozkład ułamka wymiernego właściwego na najprostszą sumę. Integracja najprostsza

Wzór na ekspansję Heaviside’a

Niech obraz funkcji będzie ułamkową funkcją wymierną.

Twierdzenie. Niech, gdzie i są funkcjami różniczkowalnymi. Wprowadźmy oba bieguny funkcji, tj. pierwiastki (zera) jego mianownika. Następnie, jeśli otrzymamy wzór Heaviside'a:

Dowód przeprowadzamy dla przypadku, gdy i są wielomianami stopni T I P odpowiednio, podczas gdy T P. Wtedy jest to ułamek wymierny właściwy. Przedstawmy to jako sumę ułamków prostych:

Stąd znajdujemy współczynniki z tożsamości (17.2), przepisując je w formie

Pomnóżmy obie strony ostatniej równości przez i przejdźmy do granicy w. Biorąc to pod uwagę i otrzymujemy

skąd wynika (17.1). Twierdzenie zostało udowodnione.

Notatka 1. Jeśli współczynniki wielomianów są rzeczywiste, wówczas zespolone pierwiastki wielomianu są sprzężone parami. W konsekwencji we wzorze (17.1) zespolonymi wielkościami sprzężonymi będą wyrazy odpowiadające zespolonym sprzężonym pierwiastkom wielomianu, a wzór Heaviside'a przyjmie postać

gdzie pierwsza suma jest rozciągana na wszystkie rzeczywiste pierwiastki wielomianu, druga - na wszystkie jego pierwiastki zespolone z dodatnimi częściami urojonymi.

Uwaga 2. Każdy wyraz wzoru (17.1) reprezentuje oscylację zapisaną w postaci zespolonej, gdzie. Zatem pierwiastki rzeczywiste () odpowiadają oscylacjom aperiodycznym, pierwiastki złożone z ujemnymi częściami rzeczywistymi odpowiadają oscylacjom tłumionym, a pierwiastki czysto urojone odpowiadają nietłumionym oscylacjom harmonicznym.

Jeśli mianownik nie ma pierwiastków z dodatnimi częściami rzeczywistymi, to dla wystarczająco dużych wartości otrzymujemy stan ustalony:

Czysto urojone pierwiastki wielomianu z dodatnimi częściami urojonymi.

Oscylacje odpowiadające pierwiastkom z ujemnymi częściami rzeczywistymi zanikają wykładniczo przy i dlatego nie wchodzą w stan ustalony.

Przykład 1. Znajdź oryginalny obraz

Rozwiązanie. Mamy. Zapiszmy pierwiastki wielomianu: .

Według wzoru (17.1)

Tutaj, ponieważ liczby są pierwiastkami równania. Stąd,

Przykład 2. Znajdź oryginalny obraz

Gdzie A 0; .

Rozwiązanie. Tutaj funkcja oprócz oczywistego pierwiastka ma nieskończenie wiele pierwiastków, które są zerami funkcji. Rozwiązując równanie, dochodzimy gdzie

Zatem pierwiastki mianownika mają formę i gdzie

Korzystając ze wzoru (17.3) znajdujemy oryginał

Metoda operatorowa rozwiązywania równań różniczkowych

Równania różniczkowe. Rozważ problem Cauchy'ego dla liniowego równania różniczkowego

(tutaj) z warunkami początkowymi

Przechodząc do obrazów z (18.1), ze względu na liniowość transformaty Laplace'a, będziemy mieli

Korzystając z Twierdzenia 3 z § 16 i warunków początkowych (18.2), zapisujemy obrazy pochodnych w postaci

Podstawiając (18.4) do (18.3) po prostych przekształceniach otrzymujemy równanie operatorowe

gdzie (wielomian charakterystyczny); .

Z równania (18.5) znajdujemy rozwiązanie operatorowe

Rozwiązaniem problemu Cauchy'ego (18.1), (18.2) jest oryginalne rozwiązanie operatorowe (18.6):

Dla problemu Cauchy'ego w przyjętej notacji możemy zapisać

Równanie operatora ma postać

Rozłóżmy rozwiązanie operatorowe na ułamki proste:

Korzystając ze wzorów uzyskanych w § 15, otrzymujemy oryginały:

Zatem rozwiązanie problemu Cauchy'ego będzie miało postać

Przykład 1. Rozwiąż problem Cauchy'ego dla równania różniczkowego z warunkami początkowymi, gdzie.

Rozwiązanie.

Jego rozwiązanie ma postać

Stosując Twierdzenie 2 z § 16, konsekwentnie znajdujemy:

Przykład 2. Rozwiąż problem Cauchy'ego dla równania różniczkowego z zerowymi warunkami początkowymi, gdzie jest funkcją impulsu krokowego.

Rozwiązanie. Napiszmy równanie operatora

i jego decyzja

Z Twierdzenia 2 z § 16 wynika

zgodnie z twierdzeniem o opóźnieniu (§ 15)

Wreszcie,

Przykład 3. Na masę punktową T, przymocowany do sprężyny za pomocą sztywności Z i znajduje się na gładkiej płaszczyźnie poziomej, działa okresowo zmieniająca się siła. W pewnym momencie punkt został poddany uderzeniu niosącemu impuls. Pomijając opór, znajdź zasadę ruchu punktu, jeśli w chwili początkowej znajdował się on w spoczynku w początku współrzędnych.

Rozwiązanie. Równanie ruchu zapisujemy w postaci

gdzie jest siła sprężystości; - Funkcja Diraca. Rozwiążmy równanie operatora

Jeśli (przypadek rezonansu), to

Na podstawie twierdzenia o opóźnieniu

Wreszcie,

Całka Duhamela (wzór). Rozważmy problem Cauchy'ego dla równania (18.1) w warunkach początkowych. Rozwiązanie operatorowe w tym przypadku ma postać

Niech funkcja wagi będzie oryginalna dla. wówczas na podstawie Twierdzenia 1 z § 16 otrzymujemy

Relację (18.7) nazywamy całką Duhamela (wzór).

Komentarz. W przypadku niezerowych warunków początkowych wzór Duhamela nie ma bezpośredniego zastosowania. W takim przypadku należy najpierw przekształcić problem pierwotny w problem o jednorodnych (zerowych) warunkach początkowych. Aby to zrobić, wprowadzamy nową funkcję, przyjmując

gdzie są wartości początkowe pożądanego rozwiązania.

Jak łatwo to zobaczyć i dlatego .

Zatem funkcja jest rozwiązaniem równania (18.1), którego prawa strona otrzymana przez podstawienie (18.8) do (18.1), przy zerowych danych początkowych.

Korzystając z (18.7), znajdujemy i.

Przykład 4. Korzystając z całki Duhamela, znajdź rozwiązanie problemu Cauchy'ego

z warunkami początkowymi.

Rozwiązanie. Dane początkowe są niezerowe. Zakładamy, zgodnie z (18.8), . Następnie dla definicji otrzymujemy równanie z jednorodnymi warunkami początkowymi.

Dla rozważanego problemu wielomian charakterystyczny, funkcja wagi. Według wzoru Duhamela

Wreszcie,

Układy liniowych równań różniczkowych o stałych współczynnikach. Problem Cauchy'ego dla układu liniowych równań różniczkowych w zapisie macierzowym ma postać

gdzie jest wektorem wymaganych funkcji; - wektor prawych stron; - macierz współczynników; - wektor danych początkowych.

Rachunek operacyjny stał się obecnie jednym z najważniejszych rozdziałów praktycznej analizy matematycznej. Metodę operacyjną stosuje się bezpośrednio przy rozwiązywaniu równań różniczkowych zwyczajnych i układów takich równań; można go również wykorzystać do rozwiązywania równań różniczkowych cząstkowych.

Za założycieli rachunku symbolicznego (operacyjnego) uważa się rosyjskich naukowców M.E. Vashchenko - Zakharchenko i A.V. Letnikov.

Rachunek operacyjny zwrócił na siebie uwagę po tym, jak angielski inżynier elektryk Heaviside, stosując rachunek symboliczny, uzyskał szereg ważnych wyników. Jednak nieufność do rachunku symbolicznego trwała do czasu, gdy Georgi, Bromwich, Carson, A. M. Efros, A. I. Lurie, V. A. Ditkin i inni nie ustalili powiązań między rachunkiem operacyjnym a transformacjami całkowymi.

Pomysł rozwiązania równania różniczkowego metodą operacyjną polega na tym, że z równania różniczkowego w odniesieniu do pożądanej funkcji pierwotnej F ( T ) przejdź do równania innej funkcji F ( P ), zwany obrazem F ( T ) . Powstałe równanie (operacyjne) jest zwykle już algebraiczne (czyli prostsze niż pierwotne). Rozwiązywanie go względem obrazu F ( P ) a następnie przechodząc do odpowiedniego oryginału, znajdują pożądane rozwiązanie tego równania różniczkowego.

Operacyjną metodę rozwiązywania równań różniczkowych można porównać do obliczania różnych wyrażeń za pomocą logarytmów, gdy na przykład podczas mnożenia obliczenia przeprowadzane są nie na samych liczbach, ale na ich logarytmach, co prowadzi do zastąpienia mnożenia przez prostsza operacja - dodawanie.

Podobnie jak w przypadku logarytmu, korzystając z metody operacyjnej, potrzebujesz:

1) tabela oryginałów i odpowiadających im obrazów;

2) znajomość zasad wykonywania operacji na obrazie odpowiadających czynnościom wykonywanym na oryginale.

§1. Oryginały i obrazy funkcji Laplace'a

Definicja 1.Będziemy rzeczywistą funkcją prawdziwego argumentu F (T) dzwonić oryginalny, jeśli spełnia trzy wymagania:

1) F (T) 0 , Na T 0

2) F ( T ) rośnie nie szybciej niż pewna funkcja wykładnicza

, Na T0, gdzie M 0, s 00 - niektóre stałe rzeczywiste, S 0 zwany wskaźnik wzrostu funkcji f(t) .

3) Na dowolnym skończonym segmencie  A , Bdodatnia półoś Ot funkcjonować F (T) spełnia warunki Dirichleta, tj.

limitowany,

b) jest albo ciągły, albo ma tylko skończoną liczbę punktów nieciągłości pierwszego rodzaju,

c) ma skończoną liczbę ekstremów.

Funkcje spełniające te trzy wymagania nazywane są w rachunku operacyjnym reprezentowany przez Laplace’a Lub oryginały .

Najprostszym oryginałem jest funkcja jednostkowa Heaviside'a

Jeśli funkcja

spełnia warunek 2 i nie spełnia warunku 1, to produkt będzie spełniał także warunek 1, tj. będzie oryginalny. Aby uprościć zapis, z reguły będziemy używać mnożnika H (T) pominąć, biorąc pod uwagę, że wszystkie rozważane funkcje są równe zeru dla wartości ujemnych T .

Całka Laplace’a za oryginał F (T) nazywa się całką niewłaściwą formy

, jest parametrem złożonym.

Twierdzenie.

Całka Laplace'a jest zbieżna absolutnie w półpłaszczyźnie

(czyli obraz F (P) jest oczywiście zdefiniowane w ), gdzie S 0 - tempo wzrostu F (T). otrzymujemy: , ale zgodnie z właściwościami modułów .

Należy pamiętać, że z definicji oryginału

.

Obliczmy tę całkę:

To znaczy, rozumiemy to F (P) istnieje, gdy

Komentarz . Z dowodu twierdzenia wynika następujące oszacowanie:

Definicja 2 . Obraz według Laplace’a Funkcje F (T) nazywa się funkcją zmiennej zespolonej p = s + jaσ, określone przez relację

(1)

Fakt, że funkcja F (T) jest obrazem oryginału F (T), symbolicznie jest napisane tak:

Lub (2)

§2. Podstawowe twierdzenia rachunku operacyjnego

2.1 Zwijane oryginały.

Rolka oryginałów

i funkcja jest wywoływana .

Funkcje F (T) I G (T) są nazywane składniki splotu .

Znajdźmy na przykład splot dowolnego oryginału

i funkcję jednostkową Mamy . chwila . (2.1.1)

Twierdzenie 1. Jeśli

Rozważmy operacyjną metodę rozwiązywania równań różniczkowych na przykładzie równania trzeciego rzędu.

Załóżmy, że musimy znaleźć szczególne rozwiązanie liniowego równania różniczkowego trzeciego rzędu ze stałymi współczynnikami

spełniający warunki początkowe:

c 0, c 1, c 2 - podane liczby.

Korzystając z własności różniczkowania oryginału, piszemy:

W równaniu (6.4.1) przejdźmy od oryginałów do obrazów

Powstałe równanie nazywa się operator lub równanie na obrazach. Rozwiąż to względem Y.

Wielomiany algebraiczne w zmiennej R.

Równość nazywa się rozwiązaniem operatorowym równania różniczkowego (6.4.1).

Znalezienie oryginału y(t), odpowiadający znalezionemu obrazowi, otrzymujemy szczególne rozwiązanie równania różniczkowego.

Przykład: Korzystając z metody rachunku operacyjnego, znajdź konkretne rozwiązanie równania różniczkowego, które spełnia podane warunki początkowe

Przejdźmy od oryginałów do obrazów

Zapiszmy oryginalne równanie na obrazach i rozwiążmy je Y

Aby znaleźć oryginał powstałego obrazu, rozkładamy na czynniki mianownik ułamka i zapisujemy powstały ułamek jako sumę ułamków prostych.

Znajdźmy współczynniki A, B, I Z.

Korzystając z tabeli, rejestrujemy oryginał powstałego obrazu

Szczególne rozwiązanie pierwotnego równania.

Metodę operacyjną stosuje się podobnie do rozwiązywania układów liniowych równań różniczkowych o stałych współczynnikach

Nieznane funkcje.

Przejdźmy do obrazów

Otrzymujemy układ reprezentacji równań

Układ rozwiązujemy metodą Cramera. Znajdujemy wyznaczniki:

Znalezienie rozwiązania dla systemu obrazowania X(p), Y(p), Z(p).

Uzyskaliśmy wymagane rozwiązanie układu

Korzystając z rachunku operacyjnego, można znaleźć rozwiązania liniowych równań różniczkowych o zmiennych współczynnikach i równań różniczkowych cząstkowych; obliczać całki. Jednocześnie rozwiązywanie problemów jest znacznie uproszczone. Znajduje zastosowanie przy rozwiązywaniu problemów równań matematycznych fizyki.

Pytania do samokontroli.

1. Która funkcja nazywa się oryginałem?

2. Jaką funkcję nazywa się obrazem oryginału?

3. Funkcja Heaviside'a i jej obraz.

4. Uzyskaj obraz dla funkcji oryginałów korzystając z definicji obrazu: f(t) = t , .

5. Uzyskiwać obrazy funkcji wykorzystując własności transformat Laplace'a.

6. Znajdź funkcje oryginałów korzystając z tabeli obrazów: ;

7. Znaleźć konkretne rozwiązanie liniowego równania różniczkowego, korzystając z metod rachunku operacyjnego.

Literatura: s. 411-439, s. 572-594.

Przykłady: s. 305-316.

LITERATURA

1. Danko PE Matematyka wyższa w ćwiczeniach i problemach. W 2 częściach. Część I: Podręcznik. podręcznik dla szkół wyższych/PE Danko, A.G. Popow, T.Ya. Kozhevnikova - M.: Wyższa. szkoła, 1997. – 304 s.

2. Danko PE Matematyka wyższa w ćwiczeniach i problemach. W 2 częściach. Część II: Podręcznik. podręcznik dla szkół wyższych./PE. Danko, A.G. Popow, T.Ya. Kozhevnikova - M.: Wyższa. szkoła, 1997. – 416 s.

3. Kaplan I.A. Zajęcia praktyczne z matematyki wyższej. Część 4./I.A. Kaplan – Wydawnictwo Uniwersytetu Państwowego w Charkowie, 1966, 236 s.

4. Piskunov N.S. Rachunek różniczkowy i całkowy. W 2 tomach, tom 1: podręcznik. podręcznik dla szkół wyższych./ N.S. Piskunov – M.: wyd. „Nauka”, 1972. – 456 s.

5. Piskunov N.S. Rachunek różniczkowy i całkowy dla szkół wyższych. W 2 tomach, tom 2: podręcznik. Podręcznik dla szkół wyższych../ N.S. Piskunov – M.: wyd. „Nauka”, 1972. – 456 s.

6. Napisane D.T. Notatki z wykładów z matematyki wyższej: cały kurs – wyd. 4/ D.T. Napisane – M.: Iris-press, 2006.–608 s. - (Wyższa edukacja).

7. Słobodskaja V.A. Krótki kurs matematyki wyższej. wyd. 2., przerobione i dodatkowe Podręcznik podręcznik dla szkół wyższych/V.A. Słobodska - M.: Wyższa. szkoła, 1969. – 544 s.

© Irina Aleksandrowna Dracheva

Notatki z wykładów Matematyka wyższa

dla studentów kierunku 6.070104 „Transport morski i rzeczny”

specjalność „Eksploatacja elektrowni okrętowych”

studia stacjonarne i niestacjonarne II rok

Nakład______ egzemplarzy Podpisano do publikacji ______________

Nr zamówienia.__________. Tom__2,78__p.l.

Wydawnictwo „Kercz Państwowy Morski Uniwersytet Technologiczny”

98309 Kercz, Ordzhonikidze, 82