Drzewo pitagorejskie to rodzaj fraktala opartego na figurze zwanej spodniami pitagorejskimi.

Dowodząc swojego słynnego twierdzenia, Pitagoras skonstruował figurę, w której po obu stronach trójkąta prostokątnego znajdowały się kwadraty. Z czasem ta postać Pitagorasa zamieniła się w całe drzewo. Pierwszym, który w czasie II wojny światowej skonstruował drzewo pitagorejskie, był A. Bosman, używając zwykłej linijki.

Jedną z głównych właściwości drzewa pitagorejskiego jest to, że gdy powierzchnia pierwszego kwadratu wynosi jeden, wówczas na każdym poziomie suma pól kwadratów będzie również równa jeden. Klasyczne drzewo pitagorejskie ma kąt 45 stopni, ale możliwe jest również skonstruowanie uogólnionego drzewa pitagorejskiego przy użyciu innych kątów. Takie drzewo nazywa się niesionym przez wiatr drzewem Pitagorasa. Jeśli narysujesz tylko segmenty, które w jakiś sposób łączą pewne „środki” trójkątów, otrzymasz nagie drzewo pitagorejskie.

Innym przykładem może być słynne „drzewo pitagorejskie”. Często jest to przedstawiane w sposób pokazany na ryc. 3.2. Każdy z trójkątów prostokątnych w tym drzewie ma kąt wewnętrzny 45°.

Skorzystajmy ponownie z generatora liczb losowych, aby stworzyć bardziej ogólny program, który może wygenerować nie tylko ryż. 3.2, ale także generuje mniej regularne drzewa. Kąty ustawione na 45° dla rys. 3.2, generalnie, będzie ustawiany losowo w przedziale pomiędzy (45 - delta)° i (45 + delta)° , gdzie jest wartość delta podawany jest jako parametr wejściowy wraz z parametrem n, który określa głębokość rekurencji. Zwykła wersja pokazana na ryc. 3.2, uzyskany przez określenie delta= 0 i n = 7. Na rysunku parametr P określa liczbę trójkątów na ścieżce od korzenia do liści drzewa. Jądrem programu będzie funkcja rekurencyjna kwadrat_i_trójkąt („kwadrat i trójkąt”) z parametrem n, który określa głębokość rekurencji, jako pierwszym argumentem. Jeśli wartość parametru n jest większa od zera, to funkcja kwadrat_i_trójkąt, jak sama nazwa wskazuje, narysuje nad nim kwadrat i trójkąt, a następnie wywoła się jeszcze dwukrotnie z odpowiednimi nowymi argumentami, z których pierwszy to ustawiony na n-1. Rozmiar i położenie kwadratu są całkowicie określone przez cztery parametry: X0, Y0, a i j (patrz ryc. 3.3). Aby narysować trójkąt, musisz znać kąt a. Kąt ten, wyrażony w stopniach, jest równy 45+odchyleniu, gdzie odchylenie jest równe jednej z liczb całkowitych szeregu -delta, -delta+I, ..., delta, wybranej losowo. Na ryc. 3.3 niezbędne punkty numeruje się kolejnymi cyframi 0,1,2,3,4. Współrzędne X0, Y0 punktu O podawane są w wywołaniu funkcji. Aby obliczyć pozostałe punkty, rozważymy najpierw prostszą sytuację, w której j = 0, to znaczy, gdy bok 0 1 kwadratu zajmuje położenie poziome.

W tej pozycji współrzędne punktów są bardzo łatwe do ustalenia. Są one przechowywane w tablicach x i y. Następnie całą konstrukcję obraca się wokół punktu O o kąt j. Wynik rotacji zapisuje się w tablicach xx i yy.

/* PYTH_TREE: Wariant drzewa pitagorejskiego */

#include „matematyka.h”

#include „stdlib.h”

#include „czas.h”

#zdefiniuj pi 3.1415927

#include „stdio.h”

struktura (float xx; float yy; int ii;) s;

void pfopen())( fp=fopen("zadrapanie", "wb"); )

void pmove(float x,float y)

( s.xx=x; s.yy=y; s.ii=0; /* 0 = pióro do góry */ /* 0 = pióro do góry */

fwrite(&s, rozmiar s, 1, fp);

void pdraw(float x,float y)

( s.xx=x; s.yy=y; s.ii=1; /* 1 = pisak w dół */ /* 1 = pisak w dół */

fwrite(&s, rozmiar s, 1, fp);

void pfclose())( fclose(fp); )

void Square_and_triangle(int n,float x0,float y0, float a, float phi)

( float x, y, xx, yy, cphi, sphi, c1, c2, b, c,

alfa, kalfa, salfa;

int i, odchylenie; /* phi i alfa w radianach */

/* delta w stopniach */

jeśli(n==0) powrót; /* kąty phi i alfa w radianach */

/* delta kąta w stopniach */

odchylenie=rand()%(2*delta+1)-delta;

alfa=(45+odchylenie)*pi/180,0;

x=x=x0; x=x=x0+a;

y=y=y0; y=y=y0+a;

calfa=cos(alfa); salfa=sin(alfa);

c=a*calfa; b=a*salfa;

/* Obrót o (x0, y0) o kąt phi ; */

/* Obróć wokół punktu (x0, y0) o kąt phi;*/

cphi=cos(fi); sphi=sin(fi);

c1=x0-x0*cphi+y0*sphi;

c2=y0-x0*sphi-y0*cphi;

dla (i=0; tj<5; i++)

( xx[i]=x[i]*cphi-y[i]*sphi+c1;

yy[i]=x[i]*sphi+y[i]*cphi+c2;

dla (i=0; tj<5; i++) pdraw(xx[i],yy[i]);

kwadrat_i_trójkąt(n-1, xx, yy, c, phi+alfa);

kwadrat_i_trójkąt(n-1, xx, yy, b, phi+alfa-0,5*pi);

pfopen(); czas(&nasienie); srand((int)ziarno);

printf(" Ustaw kąt delta w stopniach (0< delta < 45) ");

scanf("%d", &delta);

printf("Ustaw głębokość rekurencji n "); scanf("%d", &n);

kwadrat_i_trójkąt(n, 0,0, 0,0, 1,0, 0,0);

Ten program generuje plik ZADRAPANIE które muszą zostać przetworzone przez program G ENPLOT z wykładu 2. Wynik graficzny programu dla delta= 30 i n = 7 pokazano na ryc. 3.4.

Drzewo Pitagorasa

Drzewo pitagorejskie to rodzaj fraktala opartego na figurze zwanej spodniami pitagorejskimi.

Fabuła.

Pitagoras, udowadniając swoje słynne twierdzenie, skonstruował figurę z kwadratami po bokach trójkąta prostokątnego. W naszym stuleciu ta postać Pitagorasa wyrosła na całe drzewo. Drzewo pitagorejskie zostało po raz pierwszy zbudowane przez A.E. Bosmana (1891-1961) podczas II wojny światowej, przy użyciu zwykłej linijki rysunkowej.

Osobliwości.

Jedną z właściwości drzewa Pitagorasa jest to, że jeśli powierzchnia pierwszego kwadratu jest równa jeden, to na każdym poziomie suma pól kwadratów również będzie równa jeden.

Jeśli w klasycznym drzewie pitagorejskim kąt wynosi 45 stopni, wówczas możliwe jest również skonstruowanie uogólnionego drzewa pitagorejskiego przy użyciu innych kątów. Drzewo to często nazywane jest drzewem Pitagorasa niesionym przez wiatr. Jeśli przedstawisz tylko odcinki łączące w jakiś sposób wybrane „środki” trójkątów, otrzymasz nagie drzewo pitagorejskie.

Klasyczne drzewo pitagorejskie

Drzewo pitagorejskie niesione przez wiatr

Nagie drzewo Pitagorasa

Odsłonięte, dmuchane przez wiatr drzewo Pitagorasa

Trójka pitagorejska

Trójki pitagorasa to liczby spełniające twierdzenie Pitagorasa:

3, 4, 5; 7, 24, 25; 11,60, 61; 15, 8, 17; 33, 56, 65;

35, 12, 37; 63, 16, 65;

Liczby te mają wiele interesujących właściwości:

Jedna z nóg musi być wielokrotnością trzech

Jedna z nóg musi być wielokrotnością czterech

Jedna z liczb pitagorejskich musi być wielokrotnością pięciu

W matematyce trójka pitagorejska to krotka trzech liczb naturalnych spełniających relację pitagorejską:

Prymitywne trojaczki

Ponieważ równanie jest jednorodne, po pomnożeniu przez tę samą liczbę naturalną otrzymuje się kolejną trójkę pitagorejską. Trójka pitagorejska nazywana jest pierwotną, jeśli nie można jej uzyskać w ten sposób z innej trójki pitagorejskiej, to znaczy są to liczby względnie pierwsze.

Drzewo twierdzenia Pitagorasa

Łatwo zauważyć, że w pierwotnej trójce liczby x i y mają różne parzystości, a nawet jest podzielne przez 4, a z jest zawsze nieparzyste.

Dowolną pierwotną trójkę pitagorejską, gdzie x jest nieparzyste, a y jest parzyste, można jednoznacznie przedstawić w postaci pewnych naturalnych liczb względnie pierwszych o różnych parzystościach, które można obliczyć za pomocą wzorów:

Wręcz przeciwnie, każda taka para liczb definiuje pierwotną trójkę pitagorejską

Nieruchomości.

Trójkąt, którego boki są równe liczbom pitagorejskim, jest prostokątny. Ponadto każdy taki trójkąt jest trójkątem Herona, to znaczy wszystkie jego boki i pole są liczbami całkowitymi. Najprostszym z nich jest trójkąt egipski z bokami

Każda trójka pitagorejska definiuje punkt o wymiernych współrzędnych na okręgu jednostkowym

Nie wiadomo, czy istnieją dwie różne trójki pitagorejskie, które mają ten sam iloczyn.

Drzewo pitagorejskie to rodzaj fraktala opartego na figurze zwanej spodniami pitagorejskimi.

Dowodząc swojego słynnego twierdzenia, Pitagoras skonstruował figurę, w której po obu stronach trójkąta prostokątnego znajdowały się kwadraty. Z czasem ta postać Pitagorasa zamieniła się w całe drzewo. Pierwszym, który w czasie II wojny światowej skonstruował drzewo pitagorejskie, był A. Bosman, używając zwykłej linijki.

Jedną z głównych właściwości drzewa pitagorejskiego jest to, że gdy powierzchnia pierwszego kwadratu wynosi jeden, wówczas na każdym poziomie suma pól kwadratów będzie również równa jeden. Klasyczne drzewo pitagorejskie ma kąt 45 stopni, ale możliwe jest również skonstruowanie uogólnionego drzewa pitagorejskiego przy użyciu innych kątów. Takie drzewo nazywa się niesionym przez wiatr drzewem Pitagorasa. Jeśli narysujesz tylko segmenty, które w jakiś sposób łączą pewne „środki” trójkątów, otrzymasz nagie drzewo pitagorejskie.

Witam znajomych zainteresowanych fraktalami i nie tylko. Od tego momentu rozpoczynam serię postów, w których wyjaśnię zasady konstruowania najprostszych fraktali. Studiowanie jest zawsze interesujące i pomogę ci w tym: odtąd będziemy znać wiele, wiele fraktali. Przykładem tego był atraktor Lorenza w artykule o chaosie. A dzisiaj opowiem wam o drzewie pitagorejskim.

Więc co to jest? Drzewo Pitagorasa to najprostszy fraktal, jaki można narysować na papierze. Ale dlaczego ten fraktal nazywa się drzewem pitagorejskim? Faktem jest, że istnieje tu związek z twierdzeniem Pitagorasa - jednym z fundamentów geometrii euklidesowej. Pamiętasz ją? Przypomnę: a2 + b2 = c2 (suma kwadratów długości nóg jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej). Twierdzenie to znane jest od czasów starożytnych; obecnie istnieje ponad 400 dowodów na to twierdzenie i tylko Pitagoras jako pierwszy udowodnił je geometrycznie. Zbudował następującą figurę: wziął trójkąt prostokątny i narysował kwadraty po jego bokach. Ta liczba nazywana jest również „spodniami pitagorejskimi”:

Jeśli będziemy kontynuować tę konstrukcję rekurencyjnie, otrzymamy drzewo pitagorejskie:
Pierwsza iteracja (w naszym drzewie pitagorejskim kąt wynosi 45 stopni):

Druga iteracja:

Trzecia iteracja:

Dziesiąta iteracja:

Ważna właściwość drzewa pitagorejskiego: jeśli powierzchnia pierwszego kwadratu jest równa jeden, to na każdym poziomie suma pól kwadratów będzie również równa jeden.
Jeśli kąt zostanie zmieniony z 45 stopni, można skonstruować inne typy drzew pitagorejskich.
Oto na przykład tak zwane „dmuchane przez wiatr drzewo Pitagorasa”:

Niektóre generatory grafiki fraktalnej implementują wzór na konstruowanie fraktala w oparciu o drzewo Pitagorasa. Ta implementacja bardzo przypomina system IFS, szczególnie jeśli kwadraty zastąpimy prostokątami lub wydłużonymi kształtami.
To tyle na dzisiaj, do kolejnych spotkań, na których będzie jeszcze wiele innych ciekawych fraktali)