Środek koła z kompasem i linijką. Konstrukcje z kompasem i linijką. Budowa środka segmentu

Ta lekcja poświęcona jest studiowaniu koła i koła. Nauczyciel nauczy Cię również rozróżniać linie zamknięte i otwarte. Zapoznasz się z podstawowymi właściwościami okręgu: środkiem, promieniem i średnicą. Poznaj ich definicje. Naucz się określać promień, jeśli znana jest średnica, i na odwrót.

Jeśli wypełnisz miejsce wewnątrz koła, na przykład, narysuj okrąg kompasem na papierze lub tekturze i wytnij go, wtedy otrzymamy okrąg (ryc. 10).

Ryż. 10. Koło

Koło jest częścią płaszczyzny ograniczonej okręgiem.

Stan: schorzenie: Vitya Verkoglyadkin narysował w swoim kręgu 11 średnic (ryc. 11). A kiedy policzył promienie, otrzymał 21. Czy policzył poprawnie?

Ryż. 11. Ilustracja do problemu

Rozwiązanie: promienie powinny być dwa razy większe niż średnice, więc:

Vitya liczyła niepoprawnie.

Bibliografia

Matematyka. Ocena 3 Proc. dla kształcenia ogólnego instytucje z przym. do elektronu. przewoźnik. O 2 h. Część 1 / [M.I. Moro, mgr Bantova, G.V. Beltyukova i inni] - 2. wyd. - M.: Edukacja, 2012. - 112 s.: chor. - (Szkoła Rosji).
Rudnitskaya V.N., Yudacheva T.V. Matematyka, klasa 3. - M.: VENTANA-GRAF.
Peterson L.G. Matematyka, klasa 3. - M.: Juventa.

Moja prezentacja.ru ().
Sernam.ru ().
Asystent szkolny.ru ().

Praca domowa

1. Matematyka. Ocena 3 Proc. dla kształcenia ogólnego instytucje z przym. do elektronu. przewoźnik. O 2 h. Część 1 / [M.I. Moro, mgr Bantova, G.V. Beltyukova i inni] - 2. wyd. - M.: Oświecenie, 2012., art. 94 nr 1, art. 95 nr 3.

2. Rozwiąż zagadkę.

Mieszkamy razem z moim bratem,

Świetnie się razem bawimy

Na prześcieradle postawimy kubek (ryc. 12),

Zakreślmy to ołówkiem.

Zdobądź to, czego potrzebujesz -

To jest nazwane...

3. Konieczne jest określenie średnicy koła, jeśli wiadomo, że promień wynosi 5 m.

4. * Za pomocą cyrkla narysuj dwa koła o promieniach: a) 2 cm i 5 cm; b) 10 mm i 15 mm.

W produkcji lub obróbce części drewnianych w niektórych przypadkach wymagane jest określenie, gdzie znajduje się ich środek geometryczny. Jeśli część ma kształt kwadratu lub prostokąta, nie jest to trudne. Wystarczy połączyć przeciwległe rogi przekątnymi, które jednocześnie przecinają się dokładnie w środku naszej sylwetki.
W przypadku produktów, które mają kształt koła to rozwiązanie nie sprawdzi się, ponieważ nie mają narożników, a co za tym idzie przekątnych. W takim przypadku potrzebne jest inne podejście oparte na innych zasadach.

I istnieją, i to w wielu odmianach. Niektóre z nich są dość złożone i wymagają kilku narzędzi, inne są łatwe do wdrożenia i nie wymagają do ich realizacji całego zestawu urządzeń.
Teraz przyjrzymy się jednemu z najłatwiejszych sposobów na znalezienie środka koła za pomocą zwykłej linijki i ołówka.

Sekwencja znajdowania środka koła:

1. Po pierwsze, musimy pamiętać, że cięciwa jest linią prostą łączącą dwa punkty koła i nie przechodzącą przez środek koła. Odtworzenie go wcale nie jest trudne: wystarczy umieścić linijkę na okręgu w dowolnym miejscu, aby przecinała okrąg w dwóch miejscach i narysować ołówkiem linię prostą. Odcinek wewnątrz okręgu będzie akordem.
W zasadzie można zrezygnować z jednego cięciwy, ale aby zwiększyć dokładność ustalenia środka okręgu, narysujemy przynajmniej parę, a jeszcze lepiej 3, 4 lub 5 cięciw o różnej długości. Pozwoli nam to zniwelować błędy naszych konstrukcji i dokładniej poradzić sobie z zadaniem.

2. Następnie, korzystając z tej samej linijki, odnajdujemy punkty środkowe odtworzonych akordów. Na przykład, jeśli całkowita długość jednego cięciwy wynosi 28 cm, to jego środek będzie w punkcie, który w linii prostej znajduje się 14 cm od przecięcia cięciwy z okręgiem.
Ustaliwszy w ten sposób środki wszystkich akordów, rysujemy przez nie prostopadłe linie, używając np. trójkąta prostokątnego.

3. Jeśli teraz będziemy kontynuować te linie prostopadle do cięciw w kierunku środka okręgu, to przecinają się one w przybliżeniu w jednym punkcie, który będzie pożądanym środkiem okręgu.

4. Po ustaleniu położenia środka naszego szczególnego kręgu możemy ten fakt wykorzystać do różnych celów. Tak więc, jeśli umieścisz w tym miejscu nogę cyrkla cieśli, możesz narysować idealny okrąg, a następnie wyciąć okrąg za pomocą odpowiedniego narzędzia tnącego i środka okręgu, który wyznaczyliśmy.

Zdanie, które wyjaśnia znaczenie określonego wyrażenia lub nazwy, nazywa się definicja. Spotkaliśmy się już z definicjami, na przykład z definicją kąta, kątów sąsiednich, trójkąta równoramiennego itp. Podajmy definicję innej figury geometrycznej - koła.

Definicja

Ten punkt nazywa się środek okręgu, a odcinek łączący środek z dowolnym punktem okręgu to promień okręgu(ryc. 77). Z definicji koła wynika, że wszystkie promienie mają tę samą długość.

Ryż. 77

Odcinek łączący dwa punkty na okręgu nazywany jest jego cięciwą. Akord przechodzący przez środek koła nazywa się its średnica.

Na rysunku 78 odcinki AB i EF są cięciwami okręgu, odcinek CD jest średnicą okręgu. Oczywiście średnica koła to dwukrotność jego promienia. Środek okręgu jest punktem środkowym dowolnej średnicy.

Ryż. 78

Dowolne dwa punkty na kole dzielą go na dwie części. Każda z tych części nazywana jest łukiem koła. Na rysunku 79 ALB i AMB są łukami ograniczonymi punktami A i B.

Ryż. 79

Aby przedstawić okrąg na rysunku, użyj kompas(Rys. 80).

Ryż. 80

Aby narysować okrąg na ziemi, możesz użyć liny (ryc. 81).

Ryż. 81

Część płaszczyzny ograniczona kołem nazywa się kołem (ryc. 82).

Ryż. 82

Konstrukcje z kompasem i linijką

Zajmowaliśmy się już konstrukcjami geometrycznymi: rysowaliśmy linie proste, odkładaliśmy równe odcinki, rysowaliśmy kąty, trójkąty i inne figury. Używaliśmy przy tym linijki podziałki, cyrkla, kątomierza, kwadratu rysunkowego.

Okazuje się, że wiele konstrukcji można wykonać tylko za pomocą cyrkla i linijki bez podziałek podziałki. Dlatego w geometrii wyróżnia się te zadania konstrukcyjne, które są rozwiązywane za pomocą tylko tych dwóch narzędzi.

Co można z nimi zrobić? Jasne jest, że linijka pozwala na narysowanie dowolnej linii, a także na skonstruowanie linii przechodzącej przez dwa zadane punkty. Za pomocą kompasu możesz narysować okrąg o dowolnym promieniu, a także okrąg ze środkiem w danym punkcie i promieniem równym danemu segmentowi. Wykonując te proste operacje, możemy rozwiązać wiele interesujących problemów budowlanych:

skonstruować kąt równy danemu;
przez dany punkt narysuj linię prostopadłą do danej linii;
podziel ten segment na pół i inne zadania.

Zacznijmy od prostego zadania.

Zadanie

Na danym promieniu od początku odłóż segment równy danemu.

Rozwiązanie

Przedstawmy liczby podane w stanie problemu: promień OS i segment AB (ryc. 83, a). Następnie za pomocą kompasu konstruujemy okrąg o promieniu AB ze środkiem O (ryc. 83, b). Ten okrąg przetnie promień OS w pewnym punkcie D. Segment OD jest wymagany.

Ryż. 83

Przykłady zadań budowlanych

Konstruowanie kąta równego zadanemu

Zadanie

Odsuń od podanego promienia kąt równy danemu.

Rozwiązanie

Kąt ten z wierzchołkiem A i promieniem OM pokazano na rysunku 84. Wymagane jest skonstruowanie kąta równego kątowi A, tak aby jeden z jego boków pokrywał się z promieniem OM.

Ryż. 84

Narysujmy okrąg o dowolnym promieniu ze środkiem w wierzchołku A o danym kącie. Ten okrąg przecina boki narożnika w punktach B i C (ryc. 85, a). Następnie rysujemy okrąg o tym samym promieniu, którego środek znajduje się na początku danego promienia OM. Przecina belkę w punkcie D (ryc. 85, b). Następnie konstruujemy okrąg o środku D, którego promień jest równy BC. Okręgi o środkach O i D przecinają się w dwóch punktach. Oznaczmy jeden z tych punktów literą E. Udowodnijmy, że wymagany jest kąt MOE.

Ryż. 85

Rozważ trójkąty ABC i ODE. Segmenty AB i AC są promieniami koła o środku A, a segmenty OD i OE są promieniami koła o środku O (patrz ryc. 85, b). Ponieważ z założenia te okręgi mają równe promienie, to AB = OD, AC = OE. Również z konstrukcji BC = DE.

Dlatego Δ ABC = Δ ODE z trzech stron. Zatem ∠DOE = ∠BAC, czyli skonstruowany kąt MOE jest równy danemu kątowi A.

Taką samą konstrukcję możemy wykonać na ziemi, jeśli zamiast cyrkla użyjemy liny.

Konstruowanie dwusiecznej kąta

Zadanie

Skonstruuj dwusieczną danego kąta.

Rozwiązanie

Ten kąt BAC pokazano na rysunku 86. Narysujmy okrąg o dowolnym promieniu ze środkiem w wierzchołku A. Przetnie on boki kąta w punktach B i C.

Ryż. 86

Następnie rysujemy dwa okręgi o tym samym promieniu BC ze środkami w punktach B i C (na rysunku pokazano tylko części tych okręgów). Przecinają się w dwóch punktach, z których przynajmniej jeden leży w rogu. Oznaczamy go literą E. Udowodnijmy, że promień AE jest dwusieczną danego kąta BAC.

Rozważ trójkąty ACE i ABE. Są równe z trzech stron. Rzeczywiście, AE jest wspólną stroną; AC i AB są równe promieniom tego samego okręgu; CE = BE według konstrukcji.

Z równości trójkątów ACE i ABE wynika, że ∠CAE = ∠BAE, czyli promień AE jest dwusieczną danego kąta BAC.

Komentarz

Czy dany kąt można podzielić na dwa równe kąty za pomocą cyrkla i linijki? Oczywiste jest, że jest to możliwe - w tym celu musisz narysować dwusieczną tego kąta.

Ten kąt można również podzielić na cztery równe kąty. Aby to zrobić, musisz podzielić go na pół, a następnie ponownie podzielić każdą połowę na pół.

Czy za pomocą cyrkla i linijki można podzielić dany kąt na trzy równe kąty? To zadanie, zwane problemy z trisekcją kątów, od wieków przyciąga uwagę matematyków. Dopiero w XIX wieku udowodniono, że taka konstrukcja jest niemożliwa pod dowolnym kątem.

Budowa linii prostopadłych

Zadanie

Dana linia i punkt na niej. Skonstruuj prostą przechodzącą przez dany punkt i prostopadłą do danej prostej.

Rozwiązanie

Dana prosta a i dany punkt M należący do tej linii pokazano na rysunku 87.

Ryż. 87

Na promieniach prostej a wychodzącej z punktu M odkładamy równe odcinki MA i MB. Następnie konstruujemy dwa okręgi o środkach A i B o promieniu AB. Przecinają się w dwóch punktach: P i Q.

Narysujmy linię przechodzącą przez punkt M i jeden z tych punktów, na przykład prostą MP (patrz ryc. 87) i udowodnijmy, że ta linia jest pożądana, to znaczy, że jest prostopadła do danej prostej a .

Rzeczywiście, ponieważ mediana PM trójkąta równoramiennego PAB jest również wysokością, to PM ⊥ a.

Budowa środka segmentu

Zadanie

Skonstruuj środek tego segmentu.

Rozwiązanie

Niech AB będzie danym odcinkiem. Konstruujemy dwa okręgi o środkach A i B o promieniu AB. Przecinają się w punktach P i Q. Narysuj prostą PQ. Punkt O przecięcia tej prostej z odcinkiem AB jest pożądanym punktem środkowym odcinka AB.

Rzeczywiście, trójkąty APQ i BPQ są równe z trzech stron, więc ∠1 = ∠2 (ryc. 89).

Ryż. 89

W konsekwencji odcinek RO jest dwusieczną trójkąta równoramiennego ARV, a więc medianą, czyli punktem O jest środkiem odcinka AB.

Zadania

143. Które z odcinków pokazanych na rysunku 90 to: a) cięciwy koła; b) średnice koła; c) promienie koła?

Ryż. 90

144. Odcinki AB i CD są średnicami koła. Udowodnij, że: a) akordy BD i AC są równe; b) akordy AD i BC są równe; c) ZŁY = BCD.

145. Odcinek MK jest średnicą okręgu o środku O, a MR i RK są równymi cięciwami tego okręgu. Znajdź ∠POM.

146. Odcinki AB i CD to średnice koła o środku O. Znajdź obwód trójkąta AOD, jeśli wiadomo, że CB = 13 cm, AB = 16 cm.

147. Punkty A i B zaznaczono na okręgu o środku O tak, aby kąt AOB był prawy. Segment BC to średnica okręgu. Udowodnij, że akordy AB i AC są sobie równe.

148. Na linii prostej podano dwa punkty A i B. Na kontynuacji belki BA odłóż segment BC tak, aby BC \u003d 2AB.

149. Mając prostą a, punkt B nie leżący na niej i odcinek PQ. Skonstruuj punkt M na prostej a tak, że BM = PQ. Czy problem zawsze ma rozwiązanie?

150. Mając okrąg, punkt A nie leżący na nim i odcinek PQ. Skonstruuj punkt M na okręgu tak, aby AM = PQ. Czy problem zawsze ma rozwiązanie?

151. Podano kąt ostry BAC i promień XY. Skonstruuj kąt YXZ tak, że ∠YXZ = 2∠BAC.

152. Podano kąt rozwarty AOB. Skonstruuj promień OX tak, aby kąty XOA i XOB były równymi kątami rozwartymi.

153. Mając prostą a i punkt M nie leżący na niej. Skonstruuj linię przechodzącą przez punkt M i prostopadłą do linii a.

Rozwiązanie

Skonstruujmy okrąg o środku w danym punkcie M, przecinający daną prostą a w dwóch punktach, które oznaczymy literami A i B (ryc. 91). Następnie konstruujemy dwa okręgi o środkach A i B przechodzące przez punkt M. Okręgi te przecinają się w punkcie M iw jeszcze jednym punkcie, który oznaczymy literą N. Narysujmy prostą MN i udowodnijmy, że ta linia jest pożądana jeden, tzn. jest prostopadły do linii prostej a.

Ryż. 91

Rzeczywiście, trójkąty AMN i BMN są równe z trzech stron, więc ∠1 = ∠2. Wynika z tego, że odcinek MC (C jest punktem przecięcia prostych a i MN) jest dwusieczną trójkąta równoramiennego AMB, a więc i wysokości. Zatem MN ⊥ AB, czyli MN ⊥ a.

154. Dany jest trójkąt ABC. Zbuduj: a) dwusieczną AK; b) mediana VM; c) wysokość CH trójkąta. 155. Za pomocą cyrkla i linijki skonstruuj kąt równy: a) 45°; b) 22°30".

Odpowiedzi na zadania

152. Instrukcja. Najpierw skonstruuj dwusieczną kąta AOB.

Cele:

utrwalenie pojęć „koła”, „koła” wśród uczniów; wyprowadzić pojęcie „promienia koła”; nauczyć się budować koła o zadanym promieniu; rozwijać umiejętność rozumowania, analizowania.

Osobiste UUD:
kształtować pozytywne nastawienie do lekcji matematyki;
zainteresowanie działalnością naukowo-badawczą;

Zadania metatematyczne

Regulacje UUD:
zaakceptuj i zapisz zadanie nauki;
znaleźć kilka rozwiązań we współpracy z nauczycielem i klasą;

Poznawcze UUD:
ustawianie i rozwiązywanie problemów:
samodzielnie identyfikować i formułować problem;
ogólne wykształcenie:
znajdź niezbędne informacje w podręczniku;
zbuduj okrąg o zadanym promieniu za pomocą kompasu;
łamigłówka:
stworzyć pojęcie „promienia”;
klasyfikować, porównywać;
wyciągnij własne wnioski;

Komunikatywny UUD:
aktywnie uczestniczyć w pracy zespołowej, używając środków mowy;
argumentować swój punkt widzenia;

Umiejętności przedmiotów:
zidentyfikować podstawowe cechy pojęć „promień okręgu”;
buduj koła o różnych promieniach;
rozpoznawać promienie na rysunku.

Podczas zajęć

Motywacja do nauki

- Sprawdźmy, czy wszyscy są gotowi na lekcję?

„Emocjonalne wejście do lekcji”:

Uśmiechaj się jak słońce.

Zmarszczyć brwi jak chmury

Płacz jak deszcz

Zaskoczony, jakbyś zobaczył tęczę

Teraz powtórz za mną

Gra „Przyjazne echo”

2. Aktualizacja wiedzy

Liczenie słowne

a) 60-40 36+12 10+20 58-12 90-50 31+13

Rozwiąż wzór. Kontynuuj rząd.

Odpowiedź: 20, 48,30,46,40,44 50,42

b) Rozwiąż problem:

1. Pierwszego dnia sklep sprzedał 42 kg owoców, a drugiego dnia 2 kg więcej. Ile kilogramów sprzedano drugiego dnia?

Co należy zmienić, aby zadanie zostało rozwiązane w 2 krokach.

Kulki - 16 szt.

Skakanki - 28 szt.

Znajdź rozwiązanie tego problemu.

28-16 28+16

Zmień pytanie tak, aby problem można było rozwiązać przez odejmowanie.

3. Zestawienie zadania uczenia się

1. Nazwij kształty geometryczne

Obwód koła owalna kula

Której figurki brakuje?

Co mają ze sobą wspólnego te liczby? (Koło, obwód, kulka mają ten sam kształt)

Jaka jest różnica?

2. W

Jakie punkty znajdują się na kole? Jakie są punkty poza kołem?

Co oznacza punkt O? (koło w środku)

Jak nazywa się segment OB?

Ile promieni można narysować w okręgu?

Który segment nie jest promieniem? Czemu?

Jaki może być wniosek?

Wniosek: wszystkie promienie mają tę samą długość .

3. Ile kółek jest na obrazku?

Czym różnią się kręgi? (rozmiar)

Co decyduje o wielkości koła?

Jaki może być wniosek?

Wniosek: im większy okrąg, tym większy jego promień.

Określ temat lekcji.

Temat: Konstruowanie okręgu o zadanym promieniu za pomocą kompasu.

Jakie zadania możemy sobie postawić na tę lekcję?

4. Pracuj nad tematem

a) Budowa koła.

Co musisz wiedzieć, aby narysować okrąg o danej wielkości?

Narysuj okrąg o promieniu 3 cm.

b) Przygotowanie do działań projektowych

1) Rozważ rysunek

Z jakich kształtów składa się motyl? Koła o tym samym promieniu?

2) Pracuj w parach.

Przywróć kolejność etapów nad projektem.

Prezentacja projektu lub demonstracja

Intencja (zrobić szkic)

Zbuduj figury, aby zrealizować plan

Zastanów się, jaki promień powinny mieć kształty

c) Praca nad projektem.

Praca w grupach według opracowanego algorytmu