Équation sin x \u003d a. Formulas Trigonométry I Group. Identités majeures

En trigonométrie, de nombreuses formules sont plus faciles à retirer que pour conduire. Cosuine Dual Corner - Formule magnifique! Il vous permet d'obtenir les formules pour réduire le degré et la formule de moitié angle.

Nous avons donc besoin d'un cosinus à double coin et d'une unité trigonométrique:

Ils sont même similaires: dans la formule de cosinus d'un double angle - la différence de carrés de cosinus et de sinus, et dans une unité trigonométrique - leur quantité. Si vous exprimez des cosinus à partir de l'unité trigonométrique:

et pour le remplacer dans le cosinus d'un double angle, nous obtiendrons:

Ceci est une autre formule de cosinus double corner:

Cette formule est la clé pour obtenir une formule de réduction de degré:

Donc, la formule d'abaissement du degré de sinus:

Si un angle alpha est remplacé dans un demi-angle d'alpha en deux et double l'angle de deux alpha-à l'angle d'alpha, puis nous obtenons une formule d'un demi-angle pour sinus:

Maintenant, de l'unité trigonométrique, nous exprimerons des sinus:

Nous substituons cette expression dans la formule de cosinus à double coin:

Reçu une autre formule de cosinus d'un double angle:

Cette formule est la clé pour trouver la formule d'abaissement du degré de cosinus et d'un demi-angle de cosinus.

Ainsi, la formule d'abaissement du degré de cosinus:

S'il est remplacé par α sur α / 2 et 2α - sur α, nous obtenons une formule d'un demi argument de cosinus:

Puisque Tangent est une attitude sinusale envers un cosinus que la formule de tangente:

KOTANGENES - L'attitude du cosinus à sinus. Par conséquent, la formule de Kotangens:

Bien entendu, dans le processus de simplification des expressions trigonométriques de la formule d'un demi-angle ou d'une diminution du degré, cela n'a aucun sens à chaque sortie. Il est beaucoup plus facile de mettre une feuille avec des formules. Et la simplification se déplacera plus rapidement et la mémoire visuelle s'allume pour la mémorisation.

Mais plusieurs fois pour supprimer ces formules encore des coûts. Ensuite, vous serez absolument sûr que lors de l'examen, lorsqu'il n'y a aucune possibilité d'utiliser la crèche, vous pouvez facilement les obtenir si nécessaire.

| BD | - la longueur de l'arc du cercle avec le centre au point A.
α - angle, exprimé en radians.

Tangente ( tg α.) - Il s'agit d'une fonction trigonométrique en fonction de l'angle α entre l'hypothenooma et une cathémique du triangle rectangulaire, égale au rapport de la longueur de la catégorie opposée | BC | à la longueur de la catégorie adjacente | AB | .
Kotnence ( ctg α.) est une fonction trigonométrique, en fonction de l'angle α entre l'hypothenooma et la cathét triangle ribal, égale au rapport de la longueur de la catégorie adjacente | AB | à la longueur de la catégorie opposée | BC | .

Tangente

Où n. - ensemble.

Dans la littérature occidentale, Tangent est désignée comme suit:
.
;
;
.

Graphique de fonction tangente, y \u003d tg x

Cotangente

Où n. - ensemble.

Dans la littérature occidentale, Kothanns est indiqué comme suit:
.
La notation suivante est également prise:
;
;
.

Cotanence Fonction Graphique, Y \u003d CTG X

Propriétés de la tangente et de la kotnence

Périodicité

Fonctions y \u003d. tG X. et y \u003d cTG X. Périodique avec une période π.

Parité

Les fonctions des tangents et des kotangènes sont impairs.

Champs de définition et de valeurs, augmentation, diminution

Les fonctions de tangente et de cotangènes sont continues sur leur champ de définition (voir la preuve de continuité). Les principales propriétés de la tangente et de la kotnence sont présentées dans la table ( n. - ensemble).

	y \u003d. tG X.	y \u003d. cTG X.
Zone de définition et continuité
Région des valeurs	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
Ascendant		-
Désarmement	-
Extrêmement	-	-
Zéros, y \u003d 0
Point d'intersection avec l'axe d'ordonnée, x \u003d 0	y \u003d. 0	-

Formules

Expressions à travers le sinus et le cosinus

; ;
; ;
;

Formules tangentes et cotangentes de la quantité et de la différence

Les formules restantes sont faciles à obtenir, par exemple

Tangent de travail

La formule de la somme et la différence de tangentes

Cette table présente les valeurs des tangentes et des catangers à certaines valeurs de l'argument.

Expressions intégrées

Expressions par des fonctions hyperboliques

;
;

Dérivés

; .

.
N-ème Commander dérivé par variable x de la fonction:
.
Formules de sortie pour tangents \u003e\u003e\u003e; Pour Cotanza \u003e\u003e\u003e

Intégrales

Décomposition dans les rangs

Pour obtenir une décomposition de tangente en degrés X, vous devez prendre plusieurs membres de décomposition dans une rangée d'énergie pour des fonctions. sin X. et cos x. Et diviser ces polynômes les uns sur les autres ,. Dans ce cas, les formules suivantes sont obtenues.

À.

à.
Où B N. - Nombres Bernoulli. Ils sont déterminés soit du ratio récurrent:
;
;
où.
Soit par la formule de laplace:

Fonctions inverse

Les fonctions inverse aux tangents et kotangent sont des arctanèges et de l'arkcotanence, respectivement.

Arctgennes, arctg.

où n. - ensemble.

Arkkothangenes, Arcctg.

où n. - ensemble.

Les références:
DANS. BRONSTEIN, K.A. Semendyaev, un livre de référence sur les mathématiques pour les ingénieurs et les étudiants des assistants, "LAN", 2009.
KORN, répertoire de mathématiques pour scientifiques et ingénieurs, 2012.

Voir également:

Formules en trigonométrie beaucoup.

Rappelez-vous qu'ils sont mécaniquement très difficiles, presque impossibles. En classe, de nombreux écoliers et étudiants bénéficient d'impressions sur les fourchettes de manuels et des cahiers, des affiches sur les murs, des berceaux, enfin. Et comment être à l'examen?

Cependant, si vous regardez ces formules, vous constaterez qu'ils sont tous interconnectés et ont une certaine symétrie. Analysez-les en tenant compte des définitions et des propriétés des fonctions trigonométriques pour déterminer le minimum qui vaut vraiment l'apprentissage par cœur.

Je groupe. Identités majeures

sin 2 α + cos 2 α \u003d 1;

tGα \u003d. ____ Sinα Cosα; CTGα \u003d. ____ Cosα Sinα. ;

tGα · CTGα \u003d 1;

1 + tg 2 α \u003d _____ 1 cos 2 α; 1 + CTG 2 α \u003d _____ 1 Sin 2 α.

Ce groupe contient les formules les plus simples et les plus populaires. La plupart des étudiants les connaissent. Mais si même il y a toujours des difficultés, alors de me souvenir des trois premières formules, imaginez mentalement un triangle rectangulaire avec une hypothénucléaire égale. Ensuite, ses karets seront égaux, respectivement, Sinα pour déterminer le sinus (le rapport de la cachette opposée à l'hypoténuse) et COSα pour déterminer le cosinus (le rapport de la cachette adjacente pour hypoténuse).

La première formule est le théorème de Pythagore pour un tel triangle - la somme des carrés des cathètes est égale au carré de l'hypoténuse (1 2 \u003d 1), les deuxième et troisième sont les définitions de la tangente (le rapport de la catégorie opposée à l'adjacente) et la Catangen (le rapport de la catégorie adjacente à l'opposé).
Le travail de tangente sur les kottangenes est 1 parce que la Catangente enregistrée sous la forme d'une fraction (une troisième formule) est une tangente inversée (deuxième formule). La dernière considération, au fait, permet d'exclure parmi les formules qu'il est nécessaire de mémoriser toutes les longues formules ultérieures avec Kotangent. Si vous rencontrez CTGα dans une tâche difficile, remplacez-la avec une fraction ___ 1 Tgα. Et utilisez les formules pour la tangente.

Les deux dernières formules ne peuvent pas être mémorisées. Ils sont moins courants. Et si vous avez besoin, vous pouvez toujours les retirer sur le projet de Web. Pour ce faire, il suffit de substituer au lieu d'une tangente ou d'un contact de leur définition après une fraction (formule deux et troisième, respectivement) et diriger l'expression au dénominateur général. Mais il est important de se rappeler que de telles formules qui lient les carrés de tangente et de cosinus, et les carrés de Kotangens et de sinus existent. Sinon, vous ne pouvez pas deviner les conversions nécessaires pour résoudre une tâche particulière.

GROUPE II. Addition de formules

péché (α + β) \u003d Sinα · Cosβ + Cosα · Sinβ;

péché (α - β) \u003d Sinα · Cosβ - Cosα · Sinβ;

cOS (α + β) \u003d Cosα · COSβ - Sinα · Sinβ;

cOS (α - β) \u003d Cosα · Cosβ + Sinα · Sinβ;

tG (α + β) \u003d TGα + TGβ _________ 1 - TGα · TGβ;

tG (α - β) \u003d

Rappelez-vous la précision de la parité / bizarrerie des fonctions trigonométriques:

péché (-α) \u003d - péché (α); cos (-α) \u003d cos (α); TG (-α) \u003d - TG (α).

De toutes les fonctions trigonométriques, seuls cosine est une fonction pair et ne change pas son signe lors du changement de signe d'argument (angle), les fonctions restantes sont impairs. En fait, la précision de la fonction signifie que le signe moins peut être fait et éteindre le signe de la fonction. Par conséquent, si vous rencontrez une expression trigonométrique avec une différence de deux angles, vous pouvez toujours le comprendre comme une somme d'angles positifs et négatifs.

Par example, péché ( x. - 30º) \u003d péché ( x. + (-30º)).
Ensuite, nous utilisons la formule somme de deux angles et nous traitons avec des signes:
péché ( x. + (-30º)) \u003d péché x.· COS (-30º) + COS x.· Sin (-30º) \u003d
Péché x.· COS30º - COS x.· Sin30º.

Ainsi, toutes les formules contenant la différence d'angles peuvent être simplement ignorées à la première mémorisation. Ensuite, vous devriez apprendre à les restaurer en général, d'abord sur le projet, puis mentalement.

Par exemple, TG (α - β) \u003d Tg (α + (-β)) \u003d TGα + TG (-β) ___________ 1 - TGα · TG (-β) = TGα - TGβ _________ 1 + Tgα · Tgβ.

Cela aidera plus vite à deviner quelles transformations doivent être appliquées pour résoudre une tâche de trigonométrie.

SH groupe. Formules de multiples arguments

sin2α \u003d 2 · Sinα · Cosα;

cOS2α \u003d COS 2 α - Sin 2 α;

tg2α \u003d. 2Tgα _______ 1 - TG 2 α;

sIN3α \u003d 3Sinα - 4Sin 3 α;

cOS3α \u003d 4COS 3 α - 3COSα.

La nécessité d'utiliser des formules pour le sinus et le cosinus d'un double angle se produit très souvent pour une tangente. Ces formules doivent être connues par cœur. De plus, leur mémorisation n'a aucune difficulté. Premièrement, les formules sont courtes. Deuxièmement, ils sont facilement contrôlés par les formules du groupe précédent, sur la base du fait que 2α \u003d α + α.
Par example:
péché (α + β) \u003d Sinα · Cosβ + Cosα · Sinβ;
péché (α + α) \u003d Sinα · Cosα + Cosα · Sinα;
SIN2α \u003d 2Sinα · Cosα.

Toutefois, si vous avez appris ces formules plus rapidement, et non les précédentes, vous pouvez agir au contraire: mémoriser la formule de la somme de deux angles par la formule correspondante pour un double angle.

Par exemple, si vous avez besoin d'une formule de cosinus de la somme de deux angles:
1) N'oubliez pas de la formule de cosinus à double coin: cOS2. x. \u003d Cos 2. x. - Sin 2. x.;
2) Nous le peignons longtemps: cos ( x. + x.) \u003d Cos. x.· COS. x. - PÉCHÉ x.· PÉCHÉ x.;
3) Remplacer un h. Sur α, la seconde sur β: cOS (α + β) \u003d Cosα · Cosβ - Sinα · Sinβ.

Répétez la même manière pour restaurer des formules pour la somme sinon et la quantité tangente. Dans des cas responsables, tels que la SGE, vérifiez la précision des formules réduites sur le premier quart bien connu: 0º, 30º, 45º, 60º, 90º.

Vérification de la formule précédente (obtenue par remplacement à la ligne 3):
laisser être α \u003d 60 °, β \u003d 30 °, α + β \u003d 90 °,
ensuite cOS (α + β) \u003d COS90 ° \u003d 0, COSα \u003d COS60 ° \u003d 1/2, COSβ \u003d COS30 ° \u003d √3 _ / 2, sinα \u003d sin60 ° \u003d √3 _ / 2, sinβ \u003d sin30 ° \u003d 1/2;
Nous substituons les valeurs de la formule: 0 \u003d (1/2) · ( √3_ /2) − (√3_ / 2) · (1/2);
0 ≡ 0, les erreurs ne sont pas détectées.

Formules pour un triple angle, à mon avis, pas nécessaire à "outil". Ils sont rarement trouvés lors des examens de la SGE. Ils sont facilement dérivés des formules plus élevées, car sin3α \u003d péché (2α + α). Et ces étudiants qui ont encore besoin d'apprendre ces formules par cœur, je vous conseille de faire attention à leur "symétrie" et de me souvenir des formules elles-mêmes, mais des règles mnémoniques. Par exemple, l'ordre dans lequel les chiffres sont situés dans deux formules "33433433", etc.

GROUPE IV. Montant / Différence -

sinα + sinβ \u003d 2 · péché α + β ____ 2· COS. α - β ____ 2 ;

sinα - Sinβ \u003d 2 · Sin α - β ____ 2· COS. α + β ____ 2 ;

cosα + COSβ \u003d 2 · COS α + β ____ 2· COS. α - β ____ 2 ;

cosα - Cosβ \u003d -2 · Sin α - β ____ 2· PÉCHÉ α + β ____ 2 ;

tGα + TGβ \u003d péché (α + β) ________ Cosα · Cosβ ;

tGα - TGβ \u003d péché (α - β) ________ Cosα · Cosβ .

En utilisant la précision des fonctions de sinus et de tangente: péché (-α) \u003d - péché (α); TG (-α) \u003d - TG (α),
Vous pouvez formuler les différences de deux fonctions pour réduire les formules pour leurs sommes. Par example,

sin90º - Sin30º \u003d Sin90º + Sin (-30º) \u003d 2 · Sin 90º + (-30º) __________ 2· COS. 90º - (-30º) __________ 2 =

2 · Sin30º · COS60º \u003d 2 · (1/2) · (1/2) \u003d 1/2.

Ainsi, les formules de la différence de sinus et de tangentes ne mémorisent pas nécessairement immédiatement.
Avec la somme et la différence de cosinus, la situation est plus compliquée. Ces formules ne sont pas interchangeables. Mais encore une fois, en utilisant la parité du cosinus, vous pouvez vous rappeler les règles suivantes.

La quantité de COSα + COSβ ne peut pas modifier son signe pour toute modification des signes des angles, de sorte que le produit doit également être constitué de fonctions même, c'est-à-dire Deux cosinés.

Le signe de différence COSα - COSβ dépend des valeurs des fonctions elles-mêmes, ce qui signifie que la marque de travail doit dépendre de la corrélation des angles, de sorte que le produit doit être composé de fonctions impaires, c'est-à-dire. Deux Sines.

Néanmoins, ce groupe de formules n'est pas le plus facile à mémoriser. C'est le cas quand il est préférable d'aiguiser, mais plus de vérification. Pour prévenir les erreurs de la formule d'un examen donné, assurez-vous de l'enregistrer d'abord sur le projet et de vérifier de deux manières. Premières substitutions β \u003d α et β \u003d -α, puis par des valeurs connues de fonctions pour des angles simples. Pour ce faire, il est préférable de prendre 90º et de 30º, comme cela a été fait dans l'exemple ci-dessus, car le demi-régime et la sédimentation de ces valeurs, donnent à nouveau des angles simples, et vous pouvez facilement voir comment l'égalité devient l'identité pour la bonne option. Ou, au contraire, non exécuté si vous vous trompez.

Exemplevérifications de la formule COSα - COSβ \u003d 2 · Sin α - β ____ 2· PÉCHÉ α + β ____ 2 Pour la différence de cosinées avec une erreur !

1) let β \u003d α, puis cosα - cosα \u003d 2 · péché α - α _____ 2· PÉCHÉ α + α _____ 2 \u003d 2Sin0 · Sinα \u003d 0 · Sinα \u003d 0. Cosα - Cosα ≡ 0.

2) let β \u003d - α, puis cosα - cos (- α) \u003d 2 · péché α - (-α) _______ 2· PÉCHÉ α + (-α) _______ 2 \u003d 2Sinα · SIN0 \u003d 0 · SINα \u003d 0. COSα - COS (- α) \u003d Cosα - Cosα 0.

Ces chèques ont montré que les fonctions de la formule sont correctement utilisées, mais que l'identité obtenue le type 0 ≡ 0, une erreur avec un signe ou un coefficient de coefficient pourrait être manquée. Nous faisons une troisième chèque.

3) laisser α \u003d 90º, β \u003d 30º, puis COS90º - COS30º \u003d 2 · Sin 90º - 30º ________ 2· PÉCHÉ 90º + 30º ________ 2 \u003d 2Sin30º · Sin60º \u003d 2 · (1/2) · (√3 _ /2) = √3_ /2.

cOS90 - COS30 \u003d 0 - √3 _ /2 = −√3_ /2 ≠ √3_ /2.

L'erreur était vraiment dans le signe et seulement dans le panneau avant le travail.

V bande. Travail - En quantité / différence

sinα · Sinβ \u003d 1 _ 2 · (COS (α-β) - COS (α + β));

cosα · Cosβ \u003d 1 _ 2 · (COS (α - β) + COS (α + β));

sinα · Cosβ \u003d 1 _ 2 · (Péché (α - β) + sin (α + β)).

Le nom du cinquième groupe de formules lui-même suggère que ces formules sont inversées par rapport au groupe précédent. Il est clair que dans ce cas, il est plus facile de restaurer la formule sur le projet, que de l'apprendre à nouveau, augmentant le risque de créer une "bouillie dans la tête". La seule chose qui a du sens à se concentrer sur une récupération plus rapide de la formule, ce sont les égalités suivantes (vérifiez-les):

α = α + β ____ 2 + α - β ____ 2; β = α + β ____ 2 − α - β ____ 2.

Considérer exemple: besoin de convertir sin5 x.· COS3. x. dans la somme de deux fonctions trigonométriques.
Étant donné que le travail comprend des sinus et des cosinus, alors nous prenons du groupe précédent la formule de la quantité de sinus, qui a déjà été apprise et l'écrivent sur le projet.

sinα + sinβ \u003d 2 · péché α + β ____ 2· COS. α - β ____ 2

Soit 5. x. = α + β ____ 2 et 3. x. = α - β ____ 2 , alors α \u003d α + β ____ 2 + α - β ____ 2 = 5x. + 3x. = 8x., β = α + β ____ 2 − α - β ____ 2 = 5x. − 3x. = 2x..

Nous remplaçons dans la formule sur le brouillon des valeurs des angles, exprimées à travers les variables α et β, sur les valeurs des angles, exprimée à travers la variable x..
Recevoir sin8. x. + Sin2. x. \u003d 2 · Sin5 x.· COS3. x.

Nous divisons les deux parties de la justice pour 2 et écris-la à la finale à droite sin5 x.· COS3. x. = 1 _ 2 (Sin8. x. + Sin2. x.). La réponse est prête.

Comme un exercice: Expliquez pourquoi dans la formule de manuel pour transformer la quantité / différence dans le travail de 6 et inverse (pour convertir un produit en somme ou différence) - seulement 3?

VI groupe. Formules de réduction de diplôme

cos 2 α \u003d 1 + COS2α _________ 2;

sin 2 α \u003d 1 - COS2α _________ 2;

cos 3 α \u003d 3COSα + COS3α ____________ 4;

sin 3 α \u003d 3Sinα - SIN3α ____________ 4.

Les deux premières formules de ce groupe sont très nécessaires. Il est souvent utilisé pour résoudre les équations trigonométriques, y compris le niveau d'un seul examen, ainsi que lors du calcul des intégrales contenant les fonctions élémentaires d'un type trigonométrique.

Il peut être plus facile de se souvenir d'eux dans le formulaire "One-Story" suivant
2COS 2 α \u003d 1 + COS2α;
2 péché 2 α \u003d 1 - COS2α,
Et vous pouvez toujours diviser en 2 ou dans le brouillon.

La nécessité d'utiliser les deux formules suivantes (avec des cubes de fonctions) lors des examens est beaucoup moins fréquente. Dans un autre cadre, vous aurez toujours le temps d'utiliser le projet. Les options suivantes sont possibles:
1) Si vous vous souvenez des deux dernières formules du groupe III, utilisez-les pour exprimer SIN 3 α et COS 3 α par des transformations simples.
2) Si dans les deux dernières formules de ce groupe, vous avez constaté les éléments de symétrie, qui contribuent à leur mémorisation, puis écrivez les croquis des formules sur le projet et vérifiez-les par les valeurs des coins principaux.
3) Si, outre que ces formules de réduction de ce degré existent, vous ne savez rien d'eux, puis résolvez le problème des étapes, en fonction du fait que le péché 3 α \u003d péché 2 α · Sinα et d'autres formules apprises. Formules de réduction de diplôme pour la place et la formule de transformation du travail en quantité.

Groupe VII. Demi-argument

péché. α _ 2. = ± √ 1 - Cosα ________ 2;_____

cos. α _ 2. = ± √ 1 + COSα ________ 2;_____

tg. α _ 2. = ± √ 1 - Cosα ________ 1 + Cosα._____

Je ne vois pas le point de mémoriser par cœur de ce groupe de formules sous la forme dans laquelle ils sont présentés dans des manuels et des livres de référence. Si vous comprenez que α est la moitié de 2α, Cela suffit à tirer rapidement la formule souhaitée d'un demi-argument, sur la base des deux premières formules pour réduire le degré.

Ceci s'applique également à une demi-tangente à angle, la formule qui est obtenue en divisant l'expression pour sinus à l'expression correspondante pour la cosinine.

N'oubliez pas que lorsque vous retirez la racine carrée pour mettre un signe ± .

VIII Groupe. Substitution universelle

sinα \u003d 2TG (α / 2) _________ 1 + TG 2 (α / 2);

cosα \u003d 1 - TG 2 (α / 2) __________ 1 + TG 2 (α / 2);

tGα \u003d. 2TG (α / 2) _________ 1 - TG 2 (α / 2).

Ces formules peuvent être extrêmement utiles pour résoudre les tâches trigonométriques de tous types. Ils vous permettent de réaliser le principe de «un argument est une fonction», ce qui vous permet de remplacer les variables qui réduisent les expressions trigonométriques complexes à algébrique. Pas étonnant que cette substitution s'appelle universelle.
Les deux premières formules apprennent. Le troisième peut être obtenu en divisant les deux premiers l'une de l'autre par définition de TGα Tangent \u003d sinα ___ Cosα.

Groupe IX. Réclamer des formules.

Pour faire face à ce groupe de formules trigonométriques, FIE

X groupe. Valeurs pour les coins principaux.

Les valeurs des fonctions trigonométriques pour les coins principaux du premier trimestre sont données.

Alors faites-le production: La trigonométrie de formules doit savoir. Le plus gros le meilleur. Mais que passer votre temps et vos efforts - mémoriser les formules ou sur leur rétablissement dans le processus de résolution de tâches, tout le monde devrait résoudre de manière indépendante.

Exemple de tâche d'utilisation des formules de trigonométrie

Résoudre l'équation sin5 x.· COS3. x. - Sin8. x.· COS6. x. = 0.

Nous avons deux fonctions différentes sin () et cos () et quatre! Différents arguments 5. x., 3x., 8x. et 6. x.. Sans transformations préliminaires, il ne sera pas possible de réduire les types les plus simples d'équations trigonométriques. Par conséquent, nous essayons d'abord de remplacer les travaux sur les montants ou la différence de fonctions.
Nous le faisons de la même manière que dans l'exemple ci-dessus (voir la section).

péché (5. x. + 3x.) + péché (5 x. − 3x.) \u003d 2 · SIN5 x.· COS3. x.
Sin8. x. + Sin2. x. \u003d 2 · Sin5 x.· COS3. x.

péché (8. x. + 6x.) + péché (8 x. − 6x.) \u003d 2 · Sin8 x.· COS6. x.
SIN14. x. + Sin2. x. \u003d 2 · Sin8 x.· COS6. x.

Exprimant le travail de ces égales, nous les substituons à l'équation. On a:

(Sin8. x. + Sin2. x.) / 2 - (sin14 x. + Sin2. x.)/2 = 0.

Nous multiplions sur 2 parties de l'équation, révèrons des supports et donnons à ces membres

Sin8. x. + Sin2. x. - SIN14. x. - SIN2. x. = 0;
Sin8. x. - SIN14. x. = 0.

L'équation a de manière significative de manière significative, mais de le résoudre si SIN8 x. \u003d Sin14. x., donc, 8. x. = 14x. + T, où T - la période est incorrecte, car nous ne connaissons pas la valeur de cette période. Par conséquent, nous utilisons cela dans la partie droite de l'égalité, il vaut 0, avec lequel il est facile de comparer des multiplicateurs dans n'importe quelle expression.
Décomposer sin8 x. - SIN14. x. Pour les multiplicateurs, vous devez passer de la différence au travail. Pour ce faire, vous pouvez utiliser la formule de différence sinusale, ou à nouveau la valeur de formule des sinus et la bizarrerie de la fonction sinusale (voir exemple dans la section).

sin8. x. - SIN14. x. \u003d sin8. x. + péché (-14 x.) \u003d 2 · péché 8x. + (−14x.) __________ 2 · COS. 8x. − (−14x.) __________ 2 \u003d péché (-3 x.) · COS11 x. \u003d -Sin3 x.· COS11 x..

Ainsi, l'équation SIN8 x. - SIN14. x. \u003d 0 équivaut à l'équation SIN3 x.· COS11 x. \u003d 0, qui, à son tour, est équivalent à la combinaison de deux équations simples SIN3 x. \u003d 0 et cos11 x. \u003d 0. résolution de ce dernier, nous obtenons deux séries de réponses
x. 1 \u003d π. n./3, n.εz.
x. 2 \u003d π / 22 + π k./11, k.εz.

Si vous avez détecté une erreur ou typique dans le texte, veuillez l'informer à l'adresse e-mail. [Email protégé] . Je serai très reconnaissant.

La tâche.
Trouvez la valeur de x à.

Décision.
Trouvez la valeur de la fonction de la fonction auquel elle est égale à n'importe quel moyen de valeur pour déterminer à quels arguments la taille du sinus sera exactement comme indiqué dans la condition.
Dans ce cas, nous devons savoir à quelles valeurs la valeur des sinus sera de 1/2. Cela peut être fait de plusieurs manières.
Par exemple, à utiliser pour déterminer à quelles valeurs x la fonction sinusale sera de 1/2.
Une autre façon est d'utiliser. Permettez-moi de vous rappeler que les valeurs sinusales se trouvent sur l'axe ou l'axe.
La manière la plus courante est de faire appel à, surtout si nous parlons des valeurs de telles fonctions standard que 1/2.
Dans tous les cas, vous ne devez pas oublier l'une des propriétés les plus importantes de sinus - à propos de ses règles.
Trouvez dans la valeur de la table 1/2 pour sinus et voyons quels arguments cela correspond à elle. Les arguments que vous êtes intéressé sont PI / 6 et 5P / 6.
Nous écrivons toutes les racines qui satisfont à l'équation spécifiée. Pour ce faire, écrivez-nous l'argument inconnu et l'une des valeurs de l'argument obtenu à partir de la table, c'est-à-dire PI / 6. Nous l'écrivons, compte tenu de la période de sinus, toutes les valeurs de la argument:

Prenez la deuxième valeur et nous faisons les mêmes étapes que dans le cas précédent:

Une solution complète de l'équation source sera la suivante:
et
q. Peut prendre la valeur de tout entier.

Sur cette page, vous trouverez toutes les principales formules trigonométriques qui vous aideront à résoudre de nombreux exercices, simplifiant considérablement l'expression elle-même.

Formules trigonométriques - Égalité mathématique pour les fonctions trigonométriques effectuées avec toutes les valeurs valides de l'argument.

Les formules sont données par des relations entre les principales fonctions trigonométriques - sinus, cosinus, tangente, kotangent.

Le sinus de l'angle est la coordonnée Y du point (ordonnée) sur un seul cercle. L'angle de cosinus est le point X coordonné (abscisse).

Les tangents et les kotangènes sont donc du rapport entre sinus et inversement.
`sin \\ \\ \\ alpha, \\ cos \\ \\ alpha`
`Tg \\ \\ alpha \u003d \\ frac (sin \\ \\ alpha) (cos \\ \\ alpha),` \\ alpha \\ ne \\ frac \\ pi2 + \\ pi n, \\ n \\ in z`
`Ctg \\ \\ alpha \u003d \\ frac (cos \\ \\ alpha) (sin \\ \\ alpha),` \\ alpha \\ ne \\ pi + \\ pi n, \\ n \\ in z`

Et les deux, qui sont utilisés moins souvent - sessions, Sosekans. Ils désignent les ratios 1 pour la cosinus et les sinus.

`sec \\ \\ \\ alpha \u003d \\ frac (1) (cos \\ \\ alpha),` \\ alpha \\ ne \\ frac \\ pi2 + \\ pi n, \\ n \\ in z`
`Cosec \\ \\ alpha \u003d \\ frac (1) (sin \\ \\ alpha),` '\\ alpha \\ ne \\ pi + \\ pi n, \\ n \\ in in z`

Parmi les définitions des fonctions trigonométriques, vous pouvez voir quels signes qu'ils ont dans tous les trimestres. La fonction de la fonction dépend uniquement duquel des quartiers est l'argument.

Lorsque l'argument signe change avec "+" sur "-", seule la fonction cosinus ne change pas sa valeur. On l'appelle même. Son graphique est symétrique sur l'axe de l'ordonnée.

Les fonctions restantes (sinus, tangentes, catangentes) sont impairs. Lorsque vous modifiez le signe de l'argument avec "+" sur "-", leur signification est également changée au négatif. Leurs graphiques sont symétriques au début des coordonnées.

`sin (- \\ alpha) \u003d - sin \\ \\ alpha`
`Cos (- \\ alpha) \u003d cos \\ \\ alpha`
`Tg (- \\ alpha) \u003d - TG \\ \\ alpha`
`Ctg (- \\ alpha) \u003d - CTG \\ \\ alpha`

Identités trigonométriques de base

Les identités trigonométriques de base sont des formules qui établissent une communication entre les fonctions trigonométriques d'un angle (`sin \\ \\ alpha, \\ cos \\ \\ alpha, \\ tg \\ \\ alpha, \\ ctg \\ \\ alpha`) et qui vous permettent de trouver la valeur de la valeur de chacune de ces fonctions par tout autre célèbre.
`sin ^ 2 \\ alpha + cos ^ 2 \\ alpha \u003d 1`
`Tg \\ \\ alpha \\ cdot ctg \\ \\ alpha \u003d 1, \\ \\ alpha \\ ne \\ frac (\\ pi n) 2, \\ n \\ in z`
`1 + tg ^ 2 \\ alpha \u003d \\ frac 1 (cos ^ 2 \\ alpha) \u003d sec ^ 2 \\ alpha,` \\ alpha \\ ne \\ frac \\ pi2 + \\ pi n, \\ n \\ in z`
`1 + ctg ^ 2 \\ alpha \u003d \\ frac 1 (sin ^ 2 \\ alpha) \u003d COSEC ^ 2 \\ alpha,` \\ alpha \\ ne \\ pi n, \\ n \\ in z`

Formules de la somme et de la différence de coins de fonctions trigonométriques

Les formules d'addition et de soustraction des arguments expriment les fonctions trigonométriques de la somme ou de la différence de deux angles à travers les fonctions trigonométriques de ces angles.
`péché (\\ alpha + \\ beta) \u003d` `sin \\ \\ alpha \\ cos \\ \\ beta + cos \\ \\ alpha \\ sin \\ beta`
`sin (\\ alpha- \\ beta) \u003d` `sin \\ \\ alpha \\ cos \\ \\ beta-cos \\ \\ alpha \\ sin \\ beta`
`Cos (\\ alpha + \\ beta) \u003d` `cos \\ \\ alpha \\ cos \\ \\ beta-sin \\ \\ alpha \\ sin \\ beta`
`Cos (\\ alpha- \\ beta) \u003d` `cos \\ \\ alpha \\ cos \\ \\ beta + sin \\ alpha \\ sin \\ \\ \\ beta`
`Tg (\\ alpha + \\ beta) \u003d \\ frac (tg \\ \\ alpha + tg \\ \\ bêta) (1-tg \\ \\ alpha \\ tg \\ \\ beta)`
`Tg (\\ alpha- \\ bêta) \u003d \\ frac (tg \\ \\ alpha-tg \\ \\ beta) (1 + tg \\ \\ alpha \\ tg \\ \\ beta)`
`Ctg (\\ alpha + \\ beta) \u003d \\ frac (CTG \\ \\ alpha \\ ctg \\ \\ beta-1) (CTG \\\\ BETA + CTG \\ \\ alpha)`
`Ctg (\\ alpha- \\ beta) \u003d \\ frac (CTG \\ \\ alpha \\ ctg \\ \\ bêta + 1) (CTG \\ \\ BETA-CTG \\ \\ alpha)`

Formules à double coin

`sin \\ 2 \\ alpha \u003d 2 \\ sin \\ alpha \\ cos \\ \\ alpha \u003d` \\ frac (2 \\ tg \\ \\ alpha) (1 + tg ^ 2 \\ alpha) \u003d \\ frac (2 \\ ctg \\ \\ alpha ) (1 + ctg ^ 2 \\ alpha) \u003d `` \\ frac 2 (tg \\ \\ alpha + ctg \\ \\ alpha) `
`cos \\ 2 \\ alpha \u003d cos ^ 2 \\ alpha-sin ^ 2 \\ alpha \u003d` `1-2 \\ sin ^ 2 \\ alpha \u003d 2 \\ cos ^ 2 \\ alpha-1 \u003d` \\ frac (1-1-TG ^ 2 \\ alpha) (1 + tg ^ 2 \\ alpha) \u003d \\ frac (CTG ^ 2 \\ alpha-1) (CTG ^ 2 \\ alpha + 1) \u003d `\\ \\ frac (ctg \\ \\ alpha-tg \\ \\ alpha) (CTG \\ \\ alpha + tg \\ \\ alpha) `
`Tg \\ 2 \\ alpha \u003d \\ frac (2 \\ tg \\ \\ alpha) (1-tg ^ 2 \\ alpha) \u003d` \\ \\ frac (2 \\ ctg \\ \\ alpha) (CTG ^ 2 \\ alpha-1) \u003d ` `\\ Frac 2 (\\ ctg \\ \\ alpha-tg \\ \\ alpha)`
`Ctg \\ 2 \\ alpha \u003d \\ frac (CTG ^ 2 \\ alpha-1) (2 \\ ctg \\ \\ alpha) \u003d` `\\ frac (\\ ctg \\ \\ alpha-tg \\ \\ alpha) 2`

Formules du triple coin

`sin \\ 3 \\ alpha \u003d 3 \\ sin \\ alpha-4sin ^ 3 \\ alpha`
`cos \\ 3 \\ alpha \u003d 4COS ^ 3 \\ alpha-3 \\ cos \\ \\ alpha`
`Tg \\ 3 \\ alpha \u003d \\ frac (3 \\ tg \\ \\ alpha-tg ^ 3 \\ alpha) (1-3 \\ tg ^ 2 \\ alpha)`
`Ctg \\ 3 \\ alpha \u003d \\ frac (CTG ^ 3 \\ alpha-3 \\ ctg \\ \\ alpha) (3 \\ ctg ^ 2 \\ alpha-1)`

Formules de demi-angle

`sin \\ \\ frac \\ alpha 2 \u003d \\ pm \\ sqrt (\\ frac (1-cos \\ \\ alpha) 2)`
`Cos \\ \\ frac \\ alpha 2 \u003d \\ pm \\ sqrt (\\ frac (1 + cos \\ \\ alpha) 2)`
`Tg \\ \\ \\ frac \\ alpha 2 \u003d \\ pm \\ sqrt (\\ frac (1-cos \\ \\ alpha) (1 + cos \\ \\ alpha)) \u003d` \\ \\ frac (sin \\ alpha) (1 + cos \\ \\ alpha) \u003d \\ frac (1-cos \\ \\ alpha) (sin \\ \\ alpha) `
`Ctg \\ \\ frac \\ alpha 2 \u003d \\ pm \\ sqrt (\\ frac (1 + cos \\ \\ alpha) (1-cos \\ \\ alpha)) \u003d` \\ \\ frac (sin \\ \\ alpha) (1-COS \\ \\ Alpha) \u003d \\ frac (1 + cos \\ \\ alpha) (sin \\ \\ alpha) `

Les formules de demi, double et triple arguments expriment les fonctions `SIN, \\ COS, \\ TG, \\ CTG` de ces arguments (\\ frac (\\ alpha) 2, \\ 2 \\ alpha, \\ 3 \\ alpha, ...` ) à travers ces fonctions argument `\\ alpha`.

La conclusion peut être obtenue auprès du groupe précédent (addition et soustraction des arguments). Par exemple, une identité à double angle est facile à obtenir, remplaçant `\\ beta` on` \\ alpha`.

Formules de réduction de diplôme

Les formules carrées (cubes, etc.) de fonctions trigonométriques vous permettent de passer de 2,3, ... degré aux fonctions trigonométriques du premier degré, mais de plusieurs angles (\\ alpha, \\ 3 \\ alpha, \\ ... `ou` 2 \\ alpha, \\ ... 4 \\ alpha, \\ ... `).
`sin ^ 2 \\ alpha \u003d \\ frac (1-cos \\ 2 \\ alpha) 2,` `(sin ^ 2 \\ frac \\ alpha 2 \u003d \\ frac (1-COS \\ \\ alpha) 2)`
`cos ^ 2 \\ alpha \u003d \\ frac (1 + cos \\ 2 \\ alpha) 2,` `(cos ^ 2 \\ frac \\ alpha 2 \u003d \\ frac (1 + cos \\ \\ alpha) 2)`
`Sin ^ 3 \\ alpha \u003d \\ frac (3sin \\ \\ alpha-sin \\ 3 \\ alpha) 4`
`cos ^ 3 \\ alpha \u003d \\ frac (3COS \\ \\ alpha + cos \\ 3 \\ alpha) 4`
`sin ^ 4 \\ alpha \u003d \\ frac (3-4cos \\ 2 \\ alpha + cos \\ 4 \\ alpha) 8`
`cos ^ 4 \\ alpha \u003d \\ frac (3 + 4COS \\ 2 \\ alpha + cos \\ 4 \\ alpha) 8`

Formules de la somme et de la différence de fonctions trigonométriques

Les formules sont des transformations de la quantité et de la différence de fonctions trigonométriques d'arguments différents dans le travail.

`sin \\ \\ \\ alpha + sin \\ \\ \\ bata \u003d` `2 \\ sin \\ sin \\ frac (\\ alpha + \\ beta) 2 \\ cos \\ frac (\\ alpha- \\ beta) 2`
`sin \\ \\ \\ alpha-sin \\ \\ bata \u003d` `2 \\ cos \\ frac (\\ alpha + \\ \\ beta) 2 \\ sin \\ frac (\\ alpha- \\ beta) 2`
`cos \\ \\ \\ \\ alpha + cos \\ \\ \\ bata \u003d` \\ \\ cos \\ cos \\ frac (\\ alpha + \\ beta) 2 \\ cos \\ frac (\\ alpha- \\ beta) 2`
`cos \\ \\ \\ alpha-cos \\ \\ beta \u003d` `-2 \\ \\ sin \\ frac (\\ alpha + \\ beta) 2 \\ sin \\ frac (\\ alpha- \\ bêta) 2 \u003d` `` 2 \\ sin \\ frac (\\ \\ alpha + \\ beta) 2 \\ sin \\ frac (\\ beta- \\ alpha) 2`
`Tg \\ \\ alpha \\ pm tg \\ \\ beta \u003d \\ frac (péché (\\ alpha \\ pm \\ beta)) (cos \\ \\ alpha \\ cos \\ \\ beta)`
`Ctg \\ \\ alpha \\ pm ctg \\ \\ beta \u003d \\ frac (pétant (\\ bêta \\ pm \\ alpha)) (sin \\ \\ alpha \\ sin \\ \\ beta)`
`Tg \\ \\ alpha \\ pm ctg \\ \\ beta \u003d` \\ pm \\ frac (cos (\\ alpha \\ mp \\ beta)) (cos \\ \\ alpha \\ sin \\ \\ beta) `

Voici la conversion d'addition et soustrait des fonctions d'un argument dans le travail.

`cos \\ \\ \\ alpha + sin \\ \\ alpha \u003d \\ sqrt (2) \\ cos (\\ frac (\\ pi) 4- \\ alpha)`
`cos \\ \\ \\ alpha-sin \\ \\ alpha \u003d \\ sqrt (2) \\ sin (\\ frac (\\ pi) 4- \\ alpha)`
`Tg \\ \\ alpha + ctg \\ \\ alpha \u003d 2 \\ cosec \\ 2 \\ alpha;` `tg \\ \\ alpha-ctg \\ \\ alpha \u003d -2 \\ ctg \\ 2 \\ alpha`

Les formules suivantes convertissent la quantité et la différence d'unités et de la fonction trigonométrique dans le travail.

`1 + cos \\ \\ alpha \u003d 2 \\ cos ^ 2 \\ frac (\\ alpha) 2`
`1-cos \\ \\ alpha \u003d 2 \\ sin \\ \\ frac (\\ alpha) 2`
`1 + sin \\ \\ alpha \u003d 2 \\ cos ^ 2 (\\ frac (\\ pi) 4- \\ frac (\\ alpha) 2)`
`1-sin \\ alpha \u003d 2 \\ sin ^ 2 (\\ frac (\\ pi) 4- \\ frac (\\ alpha) 2)`
`1 \\ pm tg \\ \\ alpha \u003d \\ frac (péché (\\ frac (\\ pi) 4 \\ pm \\ alpha) (cos \\ frac (\\ pi) 4 \\ cos \\ \\ alpha) \u003d` \\ frac (\\ sqrt ( 2) Sin (\\ frac (\\ pi) 4 \\ pm \\ alpha) (cos \\ \\ alpha) `
`1 \\ pm tg \\ \\ alpha \\ tg \\ \\ beta \u003d \\ frac (cos (\\ alpha \\ mp \\ beta)) (cos \\ \\ alpha \\ cos \\ \\ bêta);` \\ ctg \\ \\ alpha \\ ctg \\ \\ \\ \\ Bêta \\ pm 1 \u003d \\ frac (cos (\\ alpha \\ mp \\ beta)) (sin \\ \\ alpha \\ sin \\ \\ beta) `

Formules pour convertir des travaux de fonctions

Formules pour convertir le produit des fonctions trigonométriques avec les arguments `\\ alpha` et` \\ beta` dans la quantité (différence) de ces arguments.
`sin \\ \\ alpha \\ sin \\ \\ \\ beta \u003d` \\ frac (cos (\\ alpha-\\ beta) -cos (\\ alpha + \\ beta)) (2) `
`sin \\ alpha \\ cos \\ beta \u003d` \\ frac (péché (\\ alpha-\\ bêta) + sin (\\ alpha + \\ beta)) (2) `
`cos \\ \\ \\ alpha \\ cos \\ \\ \\ beta \u003d` \\ \\ frac (cos (\\ alpha-\\ beta) + cos (\\ alpha + \\ beta)) (2) `
`Tg \\ \\ alpha \\ tg \\ \\ beta \u003d \\ \\ frac (cos (\\ alpha-\\ beta) -cos (\\ alpha + \\ beta)) (cos (\\ alpha-\\ beta) + cos (\\ alpha + \\ \\ \\ Bêta)) \u003d `\\ \\ frac (tg \\ \\ alpha + tg \\ \\ beta) (CTG \\ \\ alpha + ctg \\ \\ beta)`
`Ctg \\ \\ alpha \\ ctg \\ \\ beta \u003d` \\ frac (cos (\\ alpha-\\ beta) + cos (\\ alpha + \\ beta)) (cos (\\ alpha-\\ beta) -cos (\\ alpha + \\ \\ Bêta))) \u003d `\\ \\ frac (ctg \\ \\ alpha + ctg \\ \\ bêta) (tg \\ \\ alpha + tg \\ \\ bêta)`
`Tg \\ \\ alpha \\ ctg \\ \\ beta \u003d` \\ frac (péché (\\ alpha-\\ beta) + sin (\\ alpha + \\ beta)) (sin (\\ alpha + \\ beta) -sin (\\ alpha - \\ bêta)) `

Substitution trigonométrique universelle

Ces formules expriment des fonctions trigonométriques à travers une demi-tangente à angle.
`sin \\ \\ alpha \u003d \\ frac (2TG \\ frac (\\ alpha) (2)) (1 + tg ^ (2) \\ frac (\\ alpha) (2)),` \\ alpha \\ ne \\ pi +2 \\ Pi n, n \\ in z`
`cos \\ \\ \\ alpha \u003d \\ frac (1 - tg ^ (2) \\ frac (\\ alpha) (2)) (1 + tg ^ (2) \\ frac (\\ alpha) (2)),` \\ alpha \\ NE \\ PI +2 \\ pi n, n \\ in z`
`Tg \\ \\ alpha \u003d \\ frac (2TG \\ frac (\\ alpha) (2)) (1 - TG ^ (2) \\ frac (\\ alpha) (2)),` \\ alpha \\ ne \\ pi +2 \\ \\ \\ pi n, n \\ in z, `'\\ alpha \\ ne \\ frac (\\ pi) (2) + \\ pi n, n \\ in z`
`Ctg \\ \\ alpha \u003d \\ frac (1 - TG ^ (2) \\ frac (\\ alpha) (2)) (2TG \\ frac (\\ alpha) (2)),` \\ alpha \\ ne \\ pi n, n \\ in z, `\\ alpha \\ ne \\ pi + 2 \\ pi n, n \\ in z`

Formules de la distribution

Les formules résultantes peuvent être obtenues à l'aide de telles propriétés de fonctions trigonométriques, en tant que fréquence, symétrie, propriété de décalage pour l'angle. Ils permettent aux fonctions d'un angle arbitraire de se convertir à la fonction, dont l'angle est dans la limite comprise entre 0 et 90 degrés.

Pour angle (\\ \\ frac (\\ pi) 2 \\ pm \\ alpha`) ou (`90 ^ \\ circ \\ pm \\ alpha`):
`sin (\\ frac (\\ pi) 2 - \\ alpha) \u003d cos \\ \\ alpha;` `` péché (\\ frac (\\ pi) 2 + \\ alpha) \u003d cos \\ \\ alpha`
`Cos (\\ frac (\\ pi) 2 - \\ alpha) \u003d sin \\ \\ alpha;` `cos (\\ frac (\\ pi) 2 + \\ alpha) \u003d - sin \\ \\ alpha`
`Tg (\\ frac (\\ pi) 2 - \\ alpha) \u003d ctg \\ \\ alpha;` `tg (\\ frac (\\ pi) 2 + \\ alpha) \u003d - CTG \\ \\ alpha`
`Ctg (\\ frac (\\ pi) 2 - \\ alpha) \u003d tg \\ \\ alpha;` `ctg (\\ frac (\\ pi) 2 + \\ alpha) \u003d - TG \\ \\ alpha`
Pour un angle (\\ pi \\ pm \\ pm \\ alpha`) ou (`180 ^ \\ circ \\ pm \\ alpha`):
`sin (\\ pi - \\ alpha) \u003d sin \\ \\ alpha;` `péché (\\ pi + \\ alpha) \u003d - sin \\ \\ alpha`
`Cos (\\ pi - \\ alpha) \u003d - cos \\ \\ alpha;` `cos (\\ pi + \\ alpha) \u003d - cos \\ \\ alpha`
`Tg (\\ pi - \\ alpha) \u003d - tg \\ \\ alpha;` `tg (\\ pi + \\ alpha) \u003d tg \\ \\ alpha`
`Ctg (\\ pi - \\ alpha) \u003d - CTG \\ \\ alpha;` `ctg (\\ pi + \\ alpha) \u003d ctg \\ \\ alpha`
Pour angle (\\ \\ frac (3 \\ pi) 2 \\ pm \\ alpha`) ou (`270 ^ \\ circ \\ pm \\ alpha`):
`Péché (\\ frac (3 \\ pi) 2 - \\ alpha) \u003d - cos \\ \\ \\ alpha;` `` `sin (\\ frac (3 \\ pi) 2 + \\ alpha) \u003d - cos \\ \\ alpha`
`Cos (\\ frac (3 \\ pi) 2 - \\ alpha) \u003d - sin \\ \\ \\ alpha;` `COS (\\ frac (3 \\ pi) 2 + \\ alpha) \u003d sin \\ \\ alpha`
`Tg (\\ frac (3 \\ pi) 2 - \\ alpha) \u003d ctg \\ \\ alpha;` `tg (\\ frac (3 \\ pi) 2 + \\ alpha) \u003d - CTG \\ \\ alpha`
`CTG (\\ frac (3 \\ pi) 2 - \\ alpha) \u003d tg \\ \\ alpha;` `` ctg (\\ frac (3 \\ pi) 2 + \\ alpha) \u003d - TG \\ \\ alpha`
Pour angle (`2 \\ pi \\ pm \\ alpha`) ou (` 360 ^ \\ circ \\ pm \\ alpha`):
`Sin (2 \\ pi - \\ alpha) \u003d - sin \\ \\ \\ alpha;` `péché (2 \\ pi + \\ alpha) \u003d sin \\ \\ alpha`
`Cos (2 \\ pi - \\ alpha) \u003d cos \\ \\ alpha;` `cos (2 \\ pi + \\ alpha) \u003d cos \\ \\ alpha`
`Tg (2 \\ pi - \\ alpha) \u003d - TG \\ \\ alpha;` `tg (2 \\ pi + \\ alpha) \u003d tg \\ \\ alpha`
`CTG (2 \\ pi - \\ alpha) \u003d - CTG \\ \\ alpha;` `` `ctg (2 \\ pi + \\ alpha) \u003d ctg \\ \\ alpha`

Expression d'une fonction trigonométrique par d'autres

`sin \\ \\ alpha \u003d \\ pm \\ sqrt (1-cos ^ 2 \\ alpha) \u003d` `\\ frac (tg \\ \\ alpha) (\\ pm \\ sqrt (1 + tg ^ 2 \\ alpha)) \u003d \\ frac 1 (\\ Pm \\ sqrt (1 + ctg ^ 2 \\ alpha)) `
`cos \\ \\ \\ alpha \u003d \\ pm \\ sqrt (1-péché ^ 2 \\ alpha) \u003d` `\\ frac 1 (\\ pm \\ sqrt (1 + tg ^ 2 \\ alpha)) \u003d \\ frac (ctg \\ \\ alpha) (\\ Pm \\ sqrt (1 + ctg ^ 2 \\ alpha)) `
`Tg \\ \\ \\ alpha \u003d \\ frac (sin \\ \\ alpha) (\\ pm \\ sqrt (1-sin, ^ 2 \\ alpha)) \u003d` \\ \\ frac (\\ pm \\ sqrt (1-cos ^ 2 \\ alpha)) (Cos \\ \\ alpha) \u003d \\ frac 1 (ctg \\ \\ alpha) `
`Ctg \\ \\ alpha \u003d \\ frac (\\ pm \\ sqrt (1-péché ^ 2 \\ alpha)) (sin \\ \\ \\ alpha) \u003d` \\ \\ frac (cos \\ \\ alpha) (\\ pm \\ sqrt (1-sqrt ^ 2 \\ alpha)) \u003d \\ frac 1 (tg \\ \\ alpha) `

La trigonométrie se traduit littéralement comme "la mesure des triangles". Elle commence à étudier à l'école et continue de plus en détail dans les universités. Par conséquent, les formules de base sur la trigonométrie sont nécessaires, à partir de la 10e année, ainsi que de passer l'utilisation. Ils désignent des liens entre les fonctions et que ces connexions sont nombreuses, la plupart des formules sont beaucoup. Ce n'est pas facile à retenir et il n'est pas nécessaire - si nécessaire, tout peut être décrit.

Les formules trigonométriques sont appliquées en termes intégraux, ainsi que des simplifications trigonométriques, des calculs, des transformations.