Võrrandi patt x \u003d a. Valemid trigonomeetria i grupp. Suuremad identiteedid

Trigonomeetrias on paljud valemid lihtsam kõrvaldada kui sõita. Chuine Dual nurgas - imeline valem! See võimaldab teil saada valemid poolnurga kraadi ja valemi alandamiseks.

Niisiis, meil on vaja kahe nurga kosiini ja trigonomeetrilist seadet:

Nad on isegi sarnased: kahekordse nurga kosiini valemis - kosiini ja sinuse ruutude erinevus ning trigonomeetrilises üksuses - nende kogus. Kui väljendate trigonomeetrilise üksuse kosiini:

ja asendada see kahekordse nurga kosiinis, saame:

See on veel üks kahe nurga kosiini valem:

See valem on kraadi vähendamise valemi saamise võti:

Niisiis, Sine'i aste alandamise valem:

Kui alfa-nurk on asendatud poole nurga all Alpha poole ja kahekordse nurga kahe alfa - nurga all Alpha, siis saame valem poolnurk sinuse jaoks:

Nüüd, trigonomeetrilises üksuses väljendame teie sinuse:

Me asendame selle väljenduse kahes nurgas kosiini valemis:

Sai teine \u200b\u200bkahekordse nurga kosiini valem:

See valem on võti leidmine valemi alandamiseks kosiini aste ja poolnurk kosiini jaoks.

Seega valem kosiini aste alandamisel:

Kui see asendatakse α-ga α / 2-ga ja 2a - α-s, siis saame pool argumendile kosiini jaoks:

Kuna puutuja on sinuse suhtumine kosiini, mis on puutuja valem:

Kotangenesse - kosiini suhtumine sinusesse. Seetõttu valem kotangens:

Muidugi, protsessi lihtsustada trigonomeetriliste väljendite valemi poolnurk või vähenemine kraadi, see ei tähenda iga kord väljund. On palju lihtsam panna lehed valemitega. Ja lihtsustamine liigub kiiremini ja visuaalne mälu lülitub meelde jätta.

Kuid mitu korda nende valemite eemaldamiseks kuluvad endiselt. Siis olete täiesti kindel, et eksamil, kui võrevoodi kasutamiseks ei ole võimalust kasutada, saate vajaduse korral kergesti neid saada.

| BD | - ringi pikkus ringi keskpunktiga a.
α - nurk, väljendatuna radiaanides.

Puutuja ( tg α.) - See on trigonomeetriline funktsioon sõltuvalt nurga α-st ristkülikukujulise kolmnurga ja kate vahel, mis võrdub vastupidise kategooria pikkuse suhe BC | külgneva kategooria pikkusele AB | .
Kotnence ( cTG α.) on trigonomeetriline funktsioon, sõltuvalt Hypothenoomi ja ribali kolmnurga kateti nurga α-st, mis võrdub külgneva kategooria pikkuse suhtega AB | Vastupidise kategooria pikkus BC | .

Puutuja

Kus n. - Terve.

Lääne kirjanduses on puutuja määratud järgmiselt:
.
;
;
.

Puutuja funktsiooni graafik, y \u003d tg x

Odangentne

Kus n. - Terve.

Lääne kirjanduses on Kothanns märgitud järgmiselt:
.
Samuti võetakse järgmine märge:
;
;
.

Cotanence funktsiooni graafik, Y \u003d CTG X

Tangendi ja Kotnence'i omadused

Perioodilisus

Funktsioonid Y \u003d. tG X. ja y \u003d. cTG X. Perioodiline periood π.

Pariteet

Tangentide ja kotangenide funktsioonid on kummalised.

Määratlus ja väärtused, suurenemine, vähenemine

Tangentide ja cotangenese funktsioonid on pidevad nende määratluse valdkonnas (vt järjepidevuse tõendamist). Tangendi ja Kotnence peamised omadused on esitatud tabelis (\\ t n. - Terved).

	y \u003d. tG X.	y \u003d. cTG X.
Määratlus ja järjepidevus
Väärtuste piirkond	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
Kasvav		-
Desarmeerimine	-
Äärmuslikkus	-	-
Zeros, Y \u003d 0
Ordinaadi telje ristumiskoht, x \u003d 0	y \u003d. 0	-

Valemid

Väljendid sinuse ja kosiini kaudu

; ;
; ;
;

Puutuja ja cotangentivale valemite kogusest ja erinevusest

Ülejäänud valemid on näiteks kergesti kättesaadavad

Töövõimeline

Valemi summa ja puutujade erinevuse

Selles tabelis on esitatud puutulite ja osakutsete väärtused argumendi mõnes väärtuses.

Integreeritud väljendid

Väljendid hüperboolsete funktsioonide kaudu

;
;

Derivaadid

; .

.
N-nda tellimuse derivaat muutujaga x funktsioonilt:
.
Tangendi \u003e\u003e\u003e väljundvormid; COTANZA jaoks \u003e\u003e\u003e

Integraalid

Lagunemine auastmetes

Et saada tangendi lagunemist kraadi x-sse, peate funktsioonide toitereas võtma mitmeid lagunemisliikmeid sIN X. ja cOS X. Ja jagada need polünoomid üksteisele ,. Sellisel juhul saadakse järgmised valemid.

At.

at.
Kus B N. - numbrid Bernoulli. Need määratakse korduva suhte põhjal:
;
;
Kus.
Kas Laplace'i valemiga:

Pöördfunktsioonid

Pöördfunktsioonid puutuja ja kotangentide jaoks on vastavalt arctanens ja arkcotanence.

ARCTGNNES, ARCTG.

kus n. - Terve.

Arkkoothenenes, Arcctg.

kus n. - Terve.

Viited:
I.n. Bronstein, K.A. Semendyaev, viiteraamatu matemaatika inseneride ja õpilaste saatjate, "LAN", 2009.
Korn, matemaatika kataloog teadlastele ja inseneridele, 2012.

Vaata ka:

Valemid trigonomeetria palju.

Pea meeles, et nad on mehaaniliselt väga rasked, peaaegu võimatu. Klassis saavad paljud koolilapsed ja üliõpilased välja pildid õpikute ja sülearvutite, seinte plakatitega, võrevoodi, lõpuks. Ja kuidas eksamil olla?

Siiski, kui te vaatate neid valemeid, leiate, et nad on kõik omavahel ühendatud ja teatud sümmeetria. Analüüsime neid, võttes arvesse trigonomeetriliste funktsioonide määratlusi ja omadusi, et määrata minimaalne, mis on tõesti väärt õppida südamest.

I grupp. Suuremad identiteedid

sin 2 α + cos 2 a \u003d 1;

tgα \u003d. ____ Sinα COSα; Ctgα \u003d. ____ COSα Sinα. ;

tGa · ctgα \u003d 1;

1 + Tg 2 α \u003d _____ 1 COS 2 a; 1 + CTG 2 α \u003d _____ 1 Sin 2 a.

See rühm sisaldab lihtsaimaid ja populaarsemaid valemeid. Enamik õpilasi teavad neid. Aga kui see on ikka veel raskusi, kujutavad endast esimesed kolm valemit meeles pidama vaimselt ristkülikukujulist kolmnurka, millel on hüpoteenukleaarne võrdne. Siis oma kartetid on vastavalt võrdsed vastavalt SINa, et määrata sinuse (vastassuhete suhe hüpotenusesse) ja COSα kosiini määramiseks (külgneva katekiga) suhe).

Esimene valem on pythagoras teoreem sellise kolmnurga jaoks - kateetide ruutude summa võrdub hüpotenuse ruuduga (1 2 \u003d 1), teine \u200b\u200bja kolmas on tangendi määratlused (selle suhe) Vastupidine kategooria külgnevatele) ja Chatanseni (külgneva kategooria suhe vastandlikule).
Töö puutuja Kotangenes on 1, sest katentant salvestatud kujul fraktsiooni (valem kolmas) on ümberpööratud puutuja (teine \u200b\u200bvalem). Viimane kaalutlus, muide, võimaldab välistada valemite hulgast, et on vaja meelde jätta kõik järgnevad pika valemid kotangeeritud. Kui te kohtute CTGaga kõigis rasketes ülesannetes, asendage see murdosa ___ 1 TGα. Ja kasutage puudusi puudusi.

Viimase kahe valemi ei saa meelde jätta. Nad on vähem levinud. Ja kui vajate, saate neid alati uuesti välja võtta. Selleks piisab asendaja asemel puutuja või kontakti nende määratluse pärast fraktsiooni (valem kaks ja kolmas) ja viia ekspressiooni üldnimetaja. Kuid on oluline meeles pidada, et sellised valemid, mis seonduvad puutuja ja kosiini ruutude ja kotangeenide ja sinuse ruudud. Vastasel juhul ei saa te arvata, milliseid konversioone on vaja konkreetse ülesande lahendamiseks.

II rühm. Valemite lisamine

patt (α + β) \u003d sinα · cosp + cosα · pattu;

patt (α - β) \u003d sinα · cosp - cosα · pattu;

cos (α + β) \u003d cosα · cosp - sinα · pattu;

cos (α - β) \u003d cosα · cosp + sinα · pattu;

tG (α + β) \u003d TGα + TGβ _________ 1 - TGa · TGP;

tG (α - β) \u003d

Tuletame meelde trigonomeetriliste funktsioonide pariteedi / imelikkuse täpsust:

patt (-α) \u003d - patt (α); cos (-α) \u003d cos (α); TG (-α) \u003d - Tg (α).

Kõigist trigonomeetrilistest funktsioonidest on ainult kosiin isegi funktsiooni ja ei muuda oma märki argumentmärgi (nurga all) muutmisel, ülejäänud funktsioonid on kummalised. Funktsiooni täpsus tähendab tegelikult, et miinusmärki saab teha ja välja lülitada funktsiooni märk. Seega, kui teil tekib trigonomeetrilise väljendusega trigonomeetrilise väljendusega kahe nurga erinevusega, saate seda alati mõista positiivsete ja negatiivsete nurkade summana.

Näiteks, patt ( x. - 30º) \u003d patt ( x. + (-30º)).
Järgmisena kasutame kahe nurga valemi summat ja tegeleme märkidega:
patt ( x. + (-30º)) \u003d patt x.· Cos (-30º) + cos x.· Sin (-30º) \u003d
\u003d Patt x.· COS30º - cos x.· SIN30º.

Seega võivad kõik nurkade erinevuse sisaldavate valemite lihtsalt esimesel mälestusse vahele jätta. Siis peaksite õppima neid üldiselt taastama, esiteks ja seejärel vaimselt.

Näiteks TG (α - β) \u003d Tg (α + (-β)) \u003d \u003d TGα + Tg (-β) ___________ 1 - TGa · tg (-β) = TGα - TGβ _________ 1 + TGα · TGβ.

See aitab veelgi kiiremini ära arvata, milliseid transformatsioonid tuleb rakendada, et lahendada trigonomeetria ülesande lahendamiseks.

SH grupp. Mitme argumendi valemid

sIN2α \u003d 2 · Sinα · cosα;

cos2α \u003d cos 2 a - sin 2 a;

tG2a \u003d. 2tgα _______ 1 - Tg 2 a;

sIN3α \u003d 3Sinα - 4Sin 3 a;

cOS3α \u003d 4cos 3 α - 3COSα.

Vajadus kasutada plekitud valemid ja kosiini kahekordse nurga tekib väga sageli puutuja, liiga. Need valemid peaksid olema tuntud südamega. Lisaks puuduvad nende mälestusraskused. Esiteks on valemid lühikesed. Teiseks, neid on kergesti juhitavad eelmise rühma valemitega, mis põhinevad asjaolul, et 2α \u003d α + a.
Näiteks:
patt (α + β) \u003d sinα · cosp + cosα · pattu;
patt (α + a) \u003d sinα · cosα + ca · sinα;
SIN2α \u003d 2Sinα · cosα.

Siiski, kui olete neid valemeid kiiremini õppinud ja mitte eelmised, siis võite tegutseda vastupidi: meeles pidada kahe nurga summa valemit kahekordse nurga vastava valemiga.

Näiteks, kui teil on vaja kahe nurga summa kosiini valemit:
1) Pea meeles kahe nurga kosiini valemit: cOS2. x. \u003d Cos 2. x. - Sin 2. x.;
2) Me värvime seda kaua: cos ( x. + x.) \u003d Cos. x.· Cos. x. - patt x.· Sin x.;
3) Vahetage üks h. Α, teine \u200b\u200bβ: cos (α + β) \u003d cosα · cosp - sinα · pattu.

Korrake sarnaselt siinsete summade ja puutuja koguse taastamise valemite taastamiseks. Vastutavatel juhtudel, näiteks EGE, kontrollige vähendatud valemite täpsust tuntud esimese kvartali kohta: 0º, 30º, 45º, 60º, 90º.

Eelmise valemi kontrollimine (mis on saadud asendamise teel 3):
Las olla α \u003d 60 °, β \u003d 30 °, α + β \u003d 90 °,
siis cos (α + β) \u003d cos90 ° \u003d 0, cosα \u003d cos60 ° \u003d 1/2, cosp \u003d cos30 ° \u003d √3 _ / 2, Sinα \u003d SIN60 ° \u003d √3 _ / 2, Sinβ \u003d SIN30 ° \u003d 1/2;
Me asendame väärtused valemis: 0 \u003d (1/2) · ( √3_ /2) − (√3_ / 2) · (1/2);
0 ≡ 0, vead ei tuvastatud.

Kolmekordse nurga valemid, minu arvates ei ole vaja "tööriista". Neid leidub harva eksamite eksamites. Need on kergesti tulenevad valemitest, mis olid kõrgemad, sest SIN3α \u003d patt (2α + α). Ja need õpilased, kes mingil põhjusel ikka vaja õppida neid valemeid südamega, soovitan teil pöörata tähelepanu oma mõnele sümmeetriale "ja pidage meeles mitte valemitest, vaid mnemoonilisi reegleid. Näiteks selleks, millised numbrid asuvad kahes valemites "33433433" jne.

IV Group. Summa / erinevus -

sinα + Sinp \u003d 2 · patt α + β ____ 2· Cos. α - β ____ 2 ;

sinα - Sinβ \u003d 2 · patt α - β ____ 2· Cos. α + β ____ 2 ;

cosα + cosp \u003d 2 · cos α + β ____ 2· Cos. α - β ____ 2 ;

cosα - cosp \u003d -2 · patt α - β ____ 2· Sin α + β ____ 2 ;

tgα + tgβ \u003d patt (α + β) ________ cosα · cosp ;

tGα - TGβ \u003d patt (α - β) ________ cosα · cosp .

Kasutades täpsust funktsioone sinuse ja puutuja: patt (-α) \u003d - patt (α); TG (-α) \u003d - Tg (α), \\ t
Saate valemid kahe funktsiooni erinevused nende summade jaoks valemite vähendamiseks. Näiteks,

sIN90º - SIN30º \u003d SIN90º + sin (-30º) \u003d 2 · patt 90º + (-30º) __________ 2· Cos. 90º - (-30º) __________ 2 =

2 · SIN30º · COS60º \u003d 2 · (1/2) · (1/2) \u003d 1/2.

Seega ei pea sinuse ja puutujate erinevuse valemid tingimata koheselt meelde.
Kosiini summa ja erinevusega on olukord keerulisem. Need valemid ei ole vahetatavad. Aga jällegi, kasutades kosiini pariteeti, saate meeles pidada järgmisi reegleid.

Kogus COSα + COSp ei saa muuta oma märki nurkade märkide muutuste jaoks, nii et toode peaks koosnema ka isegi funktsioonidest, st Kaks kosiini.

Cosα - COSβ erinevusmärk sõltub funktsioonide väärtustest ise, mis tähendab, et töömärk peaks sõltuma nurkade korrelatsioonist, nii et toode peaks koosnema paaritu funktsiooni, st. Kaks siinist.

Sellegipoolest ei ole see valemite rühm kõige lihtsam meelde jätta. See on nii, kui see on parem teravamaks, kuid rohkem kontrollida. Vigade vältimiseks antud eksami valemis salvestage see kindlasti esmalt eelnõu ja kontrollige kahel viisil. Esimesed asendused β \u003d α ja β \u003d -α, seejärel tuntud funktsioonide väärtused lihtsate nurkade jaoks. Selleks on kõige parem võtta 90º ja 30º, kuna seda tehti ülaltoodud näites, sest nende väärtuste pooltoidu ja setteolud annavad uuesti lihtsate nurkade ja saate hõlpsasti näha, kui võrdsus muutub identiteedile õige valik. Või vastupidi, ei teostata, kui te eksite.

Näidevalemi COSION COSA - COSP \u003d 2 · patt α - β ____ 2· Sin α + β ____ 2 Cosiinide erinevuse eest viga !

1) Olgu β \u003d α, siis cosα - ca \u003d 2 · patt α - α _____ 2· Sin α + α _____ 2 \u003d 2sin0 · Sinα \u003d 0 · Sinα \u003d 0. cosα - cosα ≡ 0.

2) Olgu β \u003d - α, siis cosα - cos (- α) \u003d 2 · patt α - (-α) _______ 2· Sin α + (-α) _______ 2 \u003d 2Sinα · SIN0 \u003d 0 · Sinα \u003d 0. cosα - cos (- a) \u003d cosα - cosα ≡ 0.

Need kontrollid näitasid, et valemi funktsioone kasutatakse õigesti, kuid tingitud asjaolust, et identiteet sai 0 ≡ 0, võib jätta viga märk või koefitsiendiga viga. Me teeme kolmanda kontrolli.

3) Olgu α \u003d 90º, β \u003d 30º, siis COS90º - COS30º \u003d 2 · patt 90º - 30º ________ 2· Sin 90º + 30º ________ 2 \u003d 2Sin30º · SIN60º \u003d 2 · (1/2) · (√3 _ /2) = √3_ /2.

cOS90 - COS30 \u003d 0 - √3 _ /2 = −√3_ /2 ≠ √3_ /2.

Viga oli tõesti märkis ja alles enne töö märki.

V bänd. Töö - summa / erinevus

sinα · pattu \u003d 1 _ 2 · (COS (α - β) - cos (α + β));

cosα · cosp \u003d 1 _ 2 · (COS (α - β) + cos (α + β));

sinα · cosp \u003d 1 _ 2 · (Pattu (α - β) + patt (α + β)).

Viienda valemite rühma nimi ise soovitab, et need valemid on eelmise rühma suhtes vastupidised. On selge, et antud juhul on lihtsam taastada eelnõu valem, kui selle uuesti õppida, suurendades riski "putru pea". Ainus asi, mis on mõistlik keskenduda kiiremini taastumise valemi, need on järgmised võrdsed (kontrollige neid):

α = α + β ____ 2 + α - β ____ 2; β = α + β ____ 2 − α - β ____ 2.

Kaaluma näide: vaja konverteerida SIN5 x.· COS3. x. kahe trigonomeetrilise funktsiooni summas.
Kuna töö sisaldab sinuse ja kosiini, siis võtame eelmise grupi valemit nina koguse valemiga, mis oli juba õppinud ja kirjutab selle eelnõule.

sinα + Sinp \u003d 2 · patt α + β ____ 2· Cos. α - β ____ 2

Olgu 5. x. = α + β ____ 2 ja 3. x. = α - β ____ 2 , siis α \u003d α + β ____ 2 + α - β ____ 2 = 5x. + 3x. = 8x., β = α + β ____ 2 − α - β ____ 2 = 5x. − 3x. = 2x..

Me asendame menurkade väärtuste eelnõu valemis, väljendatuna muutujate α ja β kaudu nurkade väärtustel, väljendatuna muutuja x..
Vastu võtma sin8. x. + SIN2. x. \u003d 2 · sin5 x.· COS3. x.

Me jagame mõlema osa õigluse 2-le ja kirjutame selle paremale vasakule sin5 x.· COS3. x. = 1 _ 2 (SIN8. x. + SIN2. x.). Vastus on valmis.

Harjutusena: Selgitage, miks õpikuvasse valemis muudab 6 ja pöördvõrdelise töö summa / erinevuse muutmiseks (toote teisendamiseks summa või erinevus) - ainult 3?

VI grupp. Kraadi vähendamise valemid

cos 2 α \u003d 1 + cos2α _________ 2;

sin 2 α \u003d 1 - COS2α _________ 2;

cos 3 α \u003d 3COSα + COS3α ____________ 4;

sin 3 α \u003d 3Sinα - SIN3α ____________ 4.

Selle rühma kaks esimest valemit on väga vajalikud. Seda kasutatakse sageli trigonomeetriliste võrrandite lahendamisel, sealhulgas ühe eksami tasemel, samuti trigonomeetrilise tüübi elementaarsete funktsioonide lisamisel integraalide arvutamisel.

Neid võib olla lihtsam meeles pidada järgmistes "ühe lugu" vormis
2cos 2 a \u003d 1 + cos2α;
2 sin 2 α \u003d 1 - cos2α,
Ja saate alati jagada 2 või eelnõusse.

Vajadus kasutada järgmisi kaks valemit (kuubikutega funktsioone) eksamid on palju vähem levinud. Teises seadistuses on teil alati aega eelnõu kasutamiseks aega. Võimalikud on järgmised valikud:
1) Kui mäletate III rühma viimaseid kaks valemit, kasutage neid, et väljendada patu 3 α ja COS 3 a lihtsate transformatsioonidega.
2) Kui selle grupi viimases kahes valemites märkasite sümmeetria elemente, mis aitavad kaasa nende meeldejäämisele, seejärel kirjutage valemite visandid eelnõule ja kontrollige neid peamiste nurkade väärtustega.
3) Kui lisaks selliste kraadi vähendamise valemitele eksisteerivad, siis te ei tea nende kohta midagi, seejärel lahendage probleemi etappides, mis põhineb asjaolul, et sin 3 α \u003d sin 2 α · sinα ja muud õppinud valemid. Ruutjooksude vähendamise valemid ja valem töö ümberkujundamiseks koguses.

VII grupp. Pool argument

patt. α _ 2. = ± √ 1 - cosα ________ 2;_____

cos. α _ 2. = ± √ 1 + cosα ________ 2;_____

tG. α _ 2. = ± √ 1 - cosα ________ 1 + cosα._____

Ma ei näe seda punkti selle valemite rühma südames olevat punkti vormis, kus need on õpikutes ja võrdlusraamatutes esitatud kujul. Kui sa mõistad seda α on pool 2α, Et see on piisav, et kiiresti saada soovitud pool argumenti soovitud valemi, mis põhineb esimesel kahel ajal, et vähendada kraadi.

See kehtib ka poolnurga tangendi suhtes, mille valem on valem, jagades sinuse ekspressiooni vastava ekspressiooni kosiini ekspressioonile.

Ärge unustage ainult ruutjuure eemaldamisel märk ± .

VIII grupp. Universaalne asendamine

sinα \u003d. 2tg (α / 2) _________ 1 + Tg2 (a / 2);

cosα \u003d 1 - Tg 2 (α / 2) __________ 1 + Tg 2 (a / 2);

tgα \u003d. 2TG (α / 2) _________ 1 - Tg 2 (α / 2).

Need valemid võivad olla äärmiselt kasulikud kõigi tüüpi trigonomeetriliste ülesannete lahendamiseks. Need võimaldavad teil mõista "ühe argumendi ühe funktsiooni põhimõtet", mis võimaldab teil asendada muutujad, mis vähendavad algebralisele keerukaid trigonomeetrilisi väljendeid. Pole ime, et seda asendamist nimetatakse universaalseks.
Kaks esimest valemit õppida peavad. Kolmandaks saab saada kahe esimese jagamisega üksteisega TGa puutuja määratluse järgi \u003d sinα ___ ca.

IX Group. Nõuda valemite.

Tegelema selle rühma trigonomeetriliste valemitega, FIE

X grupp. Peamiste nurkade väärtused.

Esimese kvartali peamiste nurkade trigonomeetriliste funktsioonide väärtused on esitatud.

Nii et tehke seda väljund: Valemite trigonomeetria vaja teada. Mida suurem on parem. Aga mida veeta oma aega ja vaeva - meelde, et valemid meelde jätta või nende taastumine ülesannete lahendamise protsessis peaksid kõik iseseisvalt lahendama.

Näide trigonomeetria valemite kasutamise ülesandest

Võrrandi lahendamine sin5 x.· COS3. x. - SIN8. x.· COS6. x. = 0.

Meil on kaks erinevat funktsiooni pattu () ja cos () ja neli! Erinevad argumendid 5. x., 3x., 8x. ja 6. x.. Esialgsete muutusteta ei ole võimalik vähendada lihtsamaid trigonomeetriliste võrrandite tüüpe. Seetõttu püüame esmalt asendada tööde teoseid funktsioonide summade või erinevuse kohta.
Me teeme seda samamoodi nagu ülaltoodud näites (vt lõik).

patt (5. x. + 3x.) + patt (5 x. − 3x.) \u003d 2 · sin5 x.· COS3. x.
Sin8. x. + SIN2. x. \u003d 2 · sin5 x.· COS3. x.

patt (8. x. + 6x.) + patt (8 x. − 6x.) \u003d 2 · sin8 x.· COS6. x.
SIN14. x. + SIN2. x. \u003d 2 · sin8 x.· COS6. x.

Nende võrdsete osade töö väljendamine asendame need võrrandile. Saame:

(SIN8. x. + SIN2. x.) / 2 - (SIN14 x. + SIN2. x.)/2 = 0.

Me korrutame võrrandi mõlema osaga 2-st, paljastavad sulgud ja annavad sellistele liikmetele

Sin8. x. + SIN2. x. - Sin14. x. - Sin2. x. = 0;
Sin8. x. - Sin14. x. = 0.

Võrrand on oluliselt lihtsustanud, kuid selle lahendamiseks nii SIN8 x. \u003d Sin14. x.seetõttu, 8. x. = 14x. + T, kus T - periood on vale, kuna me ei tea selle perioodi väärtust. Seetõttu kasutame seda, et võrdsuse paremas osas on väärt 0, millega on lihtne ühekordistada.
Sin8 lagunemiseks x. - Sin14. x. Mitmeliijatele peate minema töö erinevusest. Selleks saate kasutada sinuse erinevuse valemi või taas valemite ja sinusefunktsiooni kummalise valemi summa (vt sektsioonis näide).

sin8. x. - Sin14. x. \u003d Sin8. x. + patt (-14 x.) \u003d 2 · patt 8x. + (−14x.) __________ 2 · Cos. 8x. − (−14x.) __________ 2 \u003d patt (-3 x.) · COS11 x. \u003d -Sin3 x.· COS11 x..

Niisiis, võrrand sin8 x. - Sin14. x. \u003d 0 on samaväärne Sin3 võrrandiga x.· COS11 x. \u003d 0, mis omakorda on samaväärne kahe lihtsa SIN3 võrrandi kombinatsiooniga x. \u003d 0 ja COS11 x. \u003d 0. Viimase lahendamine, saame kaks reageerimissarja
x. 1 \u003d π. n./3, n.εz.
x. 2 \u003d π / 22 + π k./11, k.εz.

Kui olete tuvastanud vea või tüüpilise teksti, teavitage seda e-posti aadressile [E-posti kaitstud] . Ma olen väga tänulik.

Tähelepanu, ©. mathematichka.. Otsene materjalide kopeerimine teistes kohtades on keelatud. Asetage lingid.

Ülesanne.
Leia X väärtus.

Otsus.
Leidke funktsiooni funktsiooni väärtus, mille puhul see on võrdne mis tahes väärtuse vahenditega, et teha kindlaks, milliseid argumente siini suurus on täpselt nii, nagu on näidatud seisundis.
Sellisel juhul peame välja selgitama, millised väärtused on sinuse väärtus 1/2. Seda saab teha mitmel viisil.
Näiteks kasutamiseks, mille abil määrata kindlaks, milliseid väärtusi X on sinuse funktsioon 1/2.
Teine võimalus on kasutada. Lubage mul teile meelde tuletada, et sinuse väärtused asuvad OU teljel.
Kõige tavalisem viis on pöörduda, eriti kui me räägime selliste standardfunktsioonide väärtustest 1/2.
Kõigil juhtudel ei tohiks te unustada ühe sinuse kõige olulisemaid omadusi - tema perioodi kohta.
Leia tabelis 1/2 sinuse jaoks ja vaatame, milliseid argumente ta sellele vastab. Argumendid olete huvitatud on PI / 6 ja 5P / 6.
Kirjutame kõik juured, mis vastavad määratud võrrandile. Selleks kirjutage meile tundmatu argument ja üks tabelist saadud argumendi väärtustest, st PI / 6. Me kirjutame sellele, arvestades siinisi, kõiki väärtusi Argument:

Võtke teine \u200b\u200bväärtus ja teeme sama sammu nagu eelmisel juhul:

Allika võrrandi täielik lahendus on:
ja
q. Võib võtta mis tahes täisarvu väärtuse.

Sellel leheküljel leiad kõik peamised trigonomeetrilised valemid, mis aitavad teil lahendada paljusid harjutusi, lihtsustades oluliselt väljendit ise.

Trigonomeetrilised valemid - matemaatiline võrdõiguslikkus trigonomeetriliste funktsioonide jaoks, mis viiakse läbi kõigi argumendi kehtivate väärtustega.

Valemid on esitatud peamiste trigonomeetriliste funktsioonide vaheliste suhted - siinse, kosiini, puutuja, kotangendi vahel.

Sine'i nurk on koordinaat Y punkt (ordinate) ühe ringi. Kosiniknurk on koordinaadi X-punkt (abscissa).

Vastavalt puutuja ja kotangenese on seega siinisi kosiini ja vastupidi.
`patt \\ \\ t, \\ t
`Tg \\ t alfa \u003d Frac (patt \\ \\ t alfa) (cos \\ nakkususes),` `\\ t" \\ t alfa \\ t
`CTG \\ t alfa \u003d Frac (COS \\ t a a) (pattu),` `` \\ t alfa \\ inu PI + \\ PE n \\ in z "

Ja kaks, mida kasutatakse harvemini - istungid, salongid. Nad tähistavad suhted 1 kosiini ja sinuse suhtes.

`SEK \\ t alfa \u003d frac (1) (cos \\ \\ t alfa),` `\\ t alfa \\ na \\ fracile PI2 + \\ Pi n, \\ n \\ in z`
`Cosec \\ thri \u003d frac (1) (patt \\ \\ t alfa),` '\\ t alfa \\ n pI + \\ Pi n, \\ n \\ in in z`

Trigonomeetriliste funktsioonide määratlustest näete, millised märgid on igal kvartalis. Funktsiooni funktsioon sõltub ainult sellest, millist neljandikku on argument.

Kui argument märk muutub "+" to "-", ainult kosiini funktsioon ei muuda oma väärtust. Seda nimetatakse isegi. Selle graafik on sümmeetriline ordinaadi telje kohta.

Ülejäänud funktsioonid (sinus, puutuja, catent) on kummalised. Argumendi märgi muutmisel "+" to-ga "-" nende tähendus muutub ka negatiivseks. Nende graafikud on koordinaatide alguses sümmeetrilised.

"patt (- \\ alfa) \u003d - patu"
`Cos (- \\ alfa) \u003d cos \\ naast`
`Tg (- \\ alfa) \u003d - TG \\ t
`CTG (- \\ alfa) \u003d - CTG \\ \\ t

Põhilised trigonomeetrilised identiteedid

Põhilised trigonomeetrilised identiteedid on valemid, mis loovad suhtlemise ühe nurga trigonomeetriliste funktsioonide vahel (`patt \\ \\ t, \\ t) Kõik need funktsioonid läbi kuulus teiste.
`sin ^ 2 \\ alfa + cos ^ 2 \\ alfa \u003d 1`
`Tg \\ t Apha \\ cdeot ctg \\ \\ t alfa \u003d 1, \\ \\ alfa \\ i frac (PI n) 2, n \\ I z`
`1 + TG ^ 2 \\ Talphe \u003d \\ Frac 1 (cos ^ 2 \\ alfa) \u003d sec ^ 2 \\ alfa,` \\ t
`1 + CTG ^ 2 \\ TOPHA \u003d FRAC 1 (sin ^ 2 \\ alfa) \u003d cosec ^ 2 \\ the"

Trigonomeetriliste funktsioonide nurkade summa ja erinevuse valemid

Vale lisamise valemid ja lahutamise argumendid väljendavad trigonomeetrilisi funktsioone summa või vahe kahe nurka läbi trigonomeetriliste funktsioonide nende nurkade.
`patt (\\ Tofa + beeta) \u003d` `patt \\ t alfa \\ cos \\ beta + com \\ t
`patt (\\ t afa- beeta) \u003d` `patt \\ t alfa \\ t com \\ t apat-com \\ t
`Cos (\\ TOPHA + \\ beeta) \u003d` `com \\ t alfa-patt \\ t - patu \\ t
`Cos (\\ t afa - beeta) \u003d` `com \\ t alfa \\ cos \\ beta + patt \\ \\e-sugu \\ \\ beta`
`Tg (\\ TOPHA + BETA) \u003d FRAC (TG \\ t alfa + TG \\ beeta) (1-Tg \\ t alfa \\ t \\ betta)`
`Tg (tähefa- beeta) \u003d FRAC (TG \\ bE - Tg \\ betta) (1 + Tg \\ t a-tg \\ betta)`
`CTG (\\ TOPHA + \\ beeta) \u003d FRAC (CTG \\ TO CTG \\ Beta-1) (CTG
`CTG (\\ Tih- beeta) \u003d FRAC (CTG \\ thli CTG \\ Beta + 1) (CTG \\ t

Kahekordse nurga valemid

`patt \\ 2 \\ thliefat \u003d 2 \\ the \\ t alfa \\ thri \\ t alfa \u003d` `sugu (2 \\ t) (1 + Tg ^ 2 \\ alfa) \u003d frac (2 CTG \\ ) (1 + CTG ^ 2 alfa) \u003d `` \\ Frac 2 (TG
`cos \\ 2 \\ alfa \u003d cos ^ 2 \\ alfa-sin ^ 2 \\ alfa \u003d` `1-2 Sin ^ 2 \\ the \u003d 2 \\ cos ^ 2 2 alfa) (1 + TG ^ 2 \\ TOPHA) \u003d FRAC (CTG ^ 2 \\ TOPHA-1) (CTG ^ 2 \\ TOPHA + 1) \u003d `` \\ t (CTG \\ t alfat + tg \\ t
`Tg \\ _atemperatuuril \u003d frac (2 Tg \\ t alfa) (1-Tg ^ 2 \\ t) \u003d` `\\ t" Frac (2 CTG \\ \\ t) (CTG ^ 2 `Frac 2 (CTG \\ t alfa-tg \\ t
`CTG \\ 2 \\ T alfa \u003d FRAC (CTG ^ 2 \\ TOPHA-1) (2 CTG \\ t alfa) \u003d` `\\ frac (CTG \\ t alfa-tg

Kolmekordse nurga valemid

`patt \\ 3 Apha \u003d 3 patu \\ thli
`cos \\ 3 \\ t alfa \u003d 4cos ^ 3 \\ t
`Tg \\ 3 A alfa \u003d prac (3 Tg
`CTG \\ 3 AUFL \u003d FRAC (CTG ^ 3 \\ TOPHA-3 CTG \\ t) (3 CTG ^ 2 \\ TOPHA-1)`

Poolnurga valemid

`patt \\ t
`Cos \\ s sugupuu 2 \u003d pQRT (FRAC (1 + cos
`Tg \\ \\ Fraci \\ alfa 2 \u003d \\ PM sqrt (Frac (1-com \\ t \\ t) (1 + cos \\ t)) \u003d` `Frac (patt \\ \\ t Alpha) \u003d frac (1-com \\ t alfa) (sin
`CTG \\ \\ t frac \\ thefat 2 \u003d pQRT (FRAC (1 + cos \\ nakkuse) (1-com \\ t)) \u003d` `\\ t" sugu (pattu) (1 Alpha) \u003d frac (1 + cos \\ t a

Poolte kahekordsete ja kolmekordsete argumentide valemid väljendavad funktsioone `patt, \\ cos, \\ Tg, \\ t ctg" nende argumentide (`frac (sugu) 2, \\ 2 \\ t ) Nende funktsioonide argumendi kaudu ".

Järeldus võib saada eelmisest rühmast (argumentide lisamine ja lahutamine). Näiteks topeltnurga identiteet on lihtne saada, asendades "beeta" ".

Kraadi vähendamise valemid

Trigonomeetriliste funktsioonide ruudukujulised valemid (kuubikud jne) võimaldavad teil liikuda alates 2.3-st, ... esimese astme trigonomeetriliste funktsioonide tasemeni, kuid mitu nurka (`\\ t" \\ t 2 \\ Tofa, \\ ... 4 \\ t ").").
`Sin ^ 2 \\ TOPHA \u003d FRAC (1-COS \\ _ast) 2,` `(patt ^ 2 frac \\ alfa 2 \u003d frac (1-com \\ t alfa) 2)
`cos ^ 2 \\ thlation \u003d frac (1 + cos \\ _asapadi) 2,` `(cos ^ 2 frac \\ alfa 2 \u003d frac (1 + cos \\ \\ the) 2)`
`Sin ^ 3 \\ thre \u003d \\ frac (3Sin \\ 3-s
`cos ^ 3 \\ thration \u003d frac (3COS
`Sin ^ 4 \\ Tofac \u003d \\ t
`cos ^ 4 \\ Tofac \u003d frac (3 + 4cos \\ 2 \\ 4

Trigonomeetriliste funktsioonide summa ja erinevuse valemid

Valemid on erineva argumentide trigonomeetriliste funktsioonide koguse ja erinevuse ümberkujundamine töösse.

`patt \\ \\ t ja patu \\ \\ \\ t bata \u003d` 2 patu \\ frac (\\ thla + beeta) 2 \\ t
`Patu \\ \\ \\ t - patu \\ \\ t -` 2 \\ t` com \\ t fraktorite (\\ thla +
`COS \\ \\ t alfa \u003d` 2 \\ t` cos \\ the frac (\\ thla + \\ beeta) 2 \\ t
`com \\ t alfa-com Alpha + beeta) 2 patrium (beta- \\ alfa) 2`
`Tg \\ t alfa PM TG \\ beta \u003d Frac (pattu (\\ tsat beeta)) (cos \\ the
`CTG \\ t alfa PM CTG \\ beta \u003d Frac (pattu (PM \\ alfa)) (pattu \\ t
`Tg \\ t alfa PM CTG \\ t

Siin on konversioon lisamise ja lahutab funktsioone ühe argumendi töösse.

`COS \\ \\ na \\ \\ \\ naistliku patt \\ \\ t alfa \u003d sqrt (2) cos (Frac (PI) 4- \\ alfa )`
`com \\ t alfa-patt \\ \\ t alfa \u003d sqrt (2) patu (Frac (PI) 4- \\ alfa)`
`Tg \\ t alfa + ctg \\ t alfa \u003d 2 \\ _astmeline;` `tg

Järgmised valemid konverteerivad ühikute ja trigonomeetrilise funktsiooni kogus ja erinevus töösse.

`1 + cos \\ nakkuse \u003d 2 cos ^ 2 prac (\\ tsast) 2`
`1-com \\ nakkususes \u003d 2 patu ^ 2 frac (\\ tha) 2`
`1 + patt \\ nakkusused \u003d 2 cos ^ 2 (PI (PI) 4- \\ Frac (\\ TOPHA) 2)`
"1-patt \\ nakkusused \u003d 2 sin ^ 2 (Frac (PI) 4- \\ Frac (\\ thra) 2)`
`1 PM TG \\ t alfa \u003d Frac (patt (PI) 4 PM \\ pm \\ t 2) patt (Frac (PI) 4 PM \\ t alfa)) (cos \\ t
`1 PM Tg \\ t alfa-tg \\ beta \u003d frac (cos (cos (cos Beeta pm 1 \u003d Frac (cos (cos (cos)) (patt \\ \\ t-sugu \\ beta) `

Funktsioonide konverteerimise valemid

Trigonomeetriliste funktsioonide produkti muutmise valemid argumentide ja nende argumentide koguses (erinevus).
`patt \\ \\ t - patu \\ \\ beta \u003d` `` \\ t "\\ t
`patt \\ cos \\ beeta \u003d` `\\ frac (patt (\\ t
`COS \\ t alfa \\ t cos \\ t \\ t" \\ t
`Tg \\ t alfa-tg \\ beta \u003d` \\ t "\\ t Beeta)) \u003d `` Frac (TG \\ t alfa + TG \\ beta) (CTG \\ t alfa + ctg \\ t
`Ctg \\ t alfa-ctg \\ t Beeta)) \u003d `` \\ t "cTG (CTG \\ t alfa + CTG \\ beeta) (Tg \\ b + tg \\ t
`Tg \\ t alfa \\ tko CTG \\ beta \u003d` `\\ t" stu (\\ t beeta))

Universaalne trigonomeetriline asendus

Need valemid ekspresseerivad trigonomeetrilisi funktsioone poolnurga tangendi kaudu.
`patt \\ \\ naast \u003d prac (2t frac (\\ t a Pi n, n z "
`COS \\ t alfa \u003d \\ t NE PI +2 PI N, n z "
`Tg \\ t alfa \u003d \\ t PI N, n \\ in z, `'' \\ t alfa \\ n (PI) (2) + Pi n, n z"
`CTG \\ t alfa \u003d prac (1 - Tg ^ (2) r z, `` "\\ t alfa \\ n n + 2 PI n, n z`

Valatud valemid

Saadud valemid võib saada selliste trigonomeetriliste funktsioonide omaduste abil, sagedusena, sümmeetriaks, nurga vahetuse vahetustega vara. Need võimaldavad funktsioone funktsiooni teisendada funktsiooni, mille nurk on piirides vahemikus 0 kuni 90 kraadi.

Nurga jaoks (`frac (PI) 2 PM \\ thte") või (`90 ^ cir \\ t pm"):
`patt (sugu (PI) 2 - \\ alfa) \u003d cos \\ naast;
`Cos (Frac (PI) 2 - \\ alfa) \u003d patt \\ \\ nakkuse;` cos (sugu (PI) 2 +
`TG (FRAC (PI) 2 - \\ alfa) \u003d CTG \\ t
`CTG (Frac (PI) 2 - \\ alfa) \u003d Tg \\ t
Nurga ("\\ Pi \\ PM") või (`180 ^ cir \\ tma \\ alpha`):
`patt (Pi - \\ alfa) \u003d patt \\ \\ t" `` patt (PI + \\ alfa) \u003d - patt \\ \\ t "
`Cos (Pi - \\ alfa) \u003d - cos \\ \\ t alfa;` cos (PI + \\ alfa) \u003d - cos \\ t
`Tg (\\ Pi - \\ alfa) \u003d - Tg \\ \\ t" `Tg (PI + \\ alfa) \u003d Tg \\ t
`CTG (PI - \\ t alfa) \u003d - CTG \\ t" CTG (PI + \\ alfa) \u003d CTG \\ t
Nurga jaoks (`sugu (3 PI) 2 PM" \\ t alfa ") või (` 270 ^ cir 00 \\ TOPHA`):
`Patt (Frac (3 PI) 2 - \\ alfa) \u003d - COS \\ \\ t
`Cos (FRAC (3 PI) 2 - \\ alfa) \u003d - patu \\ \\ t
`Tg (FRAC (3 PI) 2 - \\ alfa) \u003d CTG \\ t
`CTG (FRAC (3 PI) 2 - \\ alfa) \u003d Tg \\ t
Nurk (`2 \\ Pi \\ PM \\ alpha`) või (` 360 ^ cir 00 \\ alpha`):
`patt (2 Pi - \\ alfa) \u003d - patt \\ \\ ien-;` `patt (2 PI + \\ alfa) \u003d patt \\ t
`Cos (2 Pi - \\ alfa) \u003d cos \\ naast;` cos (2 PI + \\ alfa) \u003d cos \\ the
`Tg (2 PI - \\ alfa) \u003d - Tg \\ \\ t" Tg (2 PI + \\ alfa) \u003d Tg \\ t
`CTG (2 PI - \\ alfa) \u003d - CTG \\ t" CTG (2 PI + \\ alfa) \u003d CTG

Ühe trigonomeetriliste funktsioonide ekspressioon teiste

`patt \\ \\ t a (PM SQRT (1 + CTG ^ 2 \\ TOPHA)) `
`com \\ t alfa \u003d \\ PM-s (PM SQRT (1 + CTG ^ 2 \\ TOPHA)) `
`Tg \\ \\ iefa \u003d frac (patt \\ \\ t) (pm \\ t (COS \\ t alfa) \u003d Frac 1 (CTG \\ t alfa) `
`CTG \\ t a ^ 2 \\ alfa)) \u003d Frac 1 (tg \\ t) "

Trigonomeetria tähendab sõna otseses mõttes sõna otseses mõttes kui "kolmnurkade mõõtmine". Ta hakkab õppima koolis ja jätkub üksikasjalikumalt ülikoolides. Seetõttu on vaja trigonomeetria põhilisi valemeid, alates 10. klassist, samuti kasutamise läbiviimiseks. Nad tähistavad lingid funktsioone ja kuna need ühendused on palju, siis kõige valemid on palju. See ei ole kerge meeles pidada ja see ei ole vajalik - vajadusel on kõik välja toodud.

Trigonomeetriliste valemite rakendatakse integraalsed terminid, samuti trigonomeetrilised lihtsustused, arvutused, transformatsioonid.