Εξίσωση SIN X \u003d a. Τροπολογίες τριγωνομετρίας i ομάδα. Μεγάλες ταυτότητες

Στην τριγωνομετρία, πολλοί τύποι είναι ευκολότερο να αποσυρθούν παρά να οδηγούν. Cosuine Dual Corner - Υπέροχη φόρμουλα! Σας επιτρέπει να αποκτήσετε τους τύπους για τη μείωση του βαθμού και του τύπου μισής γωνίας.

Έτσι, χρειαζόμαστε μια διπλή γωνιακή cosine και μια τριγωνομετρική μονάδα:

Είναι ακόμη παρόμοια: στον συνάρμοστο τύπο μιας διπλής γωνίας - η διαφορά των τετραγώνων της συνάλτας και του κόλπου, και σε μια τριγωνομετρική μονάδα - το ποσό τους. Εάν εκφράστε το Cosine από την τριγωνομετρική μονάδα:

Και να το υποκατασταθεί στη συνίνη μιας διπλής γωνίας, θα πάμε:

Αυτή είναι μια άλλη διπλή γωνιακή συνάρτηση Cosine:

Αυτή η φόρμουλα είναι το κλειδί για την απόκτηση ενός τύπου μείωσης των σπουδών:

Έτσι, ο τύπος για τη μείωση του βαθμού Sine:

Εάν μια γωνία άλφα αντικαθίσταται σε μισή γωνία άλφα στο μισό και διπλασιάζεται η γωνία δύο άλφα - στη γωνία του άλφα, τότε παίρνουμε έναν τύπο μισής γωνίας για τον κόλπο:

Τώρα, από την τριγωνομετρική μονάδα, θα εκφράσουμε τον κόλπο:

Θα υποκαταστήσουμε αυτή την έκφραση στη φόρμουλα διπλή γωνιά cosine:

Έλαβε άλλη φόρμουλα συνημίας διπλής γωνίας:

Αυτός ο τύπος είναι το κλειδί για την εξεύρεση του τύπου για τη μείωση του βαθμού της συνημμένης και μισής γωνίας για συνίνη.

Έτσι, ο τύπος για τη μείωση του βαθμού Cosine:

Εάν αντικατασταθεί με α σε α / 2 και 2α - ON Α, τότε παίρνουμε μια φόρμουλα μισού επιχειρήματος για συνίνη:

Δεδομένου ότι η εφαπτομένη είναι μια στάση κόλπων σε μια συνάρτηση που ο τύπος για εφαπτομένη:

Kotangenes - Η στάση του Cosine στον κόλπο. Ως εκ τούτου, ο τύπος για τους Kotangens:

Φυσικά, στη διαδικασία απλοποίησης τριγωνομετρικών εκφράσεων του τύπου μισής γωνίας ή μείωση του βαθμού, δεν έχει νόημα κάθε φορά που να εξάγει. Είναι πολύ πιο εύκολο να τοποθετήσετε ένα φύλλο με τους τύπους. Και η απλούστευση θα μετακινηθεί ταχύτερα και η οπτική μνήμη θα ενεργοποιηθεί για απομνημόνευση.

Αλλά αρκετές φορές για να καταργήσετε αυτές τις φόρμουλες ακόμα. Στη συνέχεια, θα είστε απολύτως σίγουροι ότι στην εξέταση, όταν δεν υπάρχει καμία ευκαιρία να χρησιμοποιήσετε το παχνί, μπορείτε εύκολα να τα πάρετε αν είναι απαραίτητο.

| BD | - το μήκος του τόξου του κύκλου με το κέντρο στο σημείο Α.
Α - Γωνία, εκφρασμένη σε ακτίνες.

Εφαπτομένη ( tG α.) - Αυτή είναι μια τριγωνομετρική λειτουργία ανάλογα με τη γωνία α μεταξύ της υποθέσεως και ενός καθεστώτος του ορθογώνιου τριγώνου, ίσο με την αναλογία του μήκους της αντίθετης κατηγορίας | BC | στο μήκος της παρακείμενης κατηγορίας | ab | .
Kotnence ( cTG α.) είναι μια τριγωνομετρική λειτουργία, ανάλογα με τη γωνία α μεταξύ της υποθέσεως και του καθετήρα του Ribal τριγώνου, ίσο με την αναλογία του μήκους της παρακείμενης κατηγορίας | Ab | στο μήκος της αντίθετης κατηγορίας | BC | .

Εφαπτομένος

Οπου Ν. - ολόκληρος.

Στη δυτική λογοτεχνία, ο εφαπτόμενος ορίζεται ως:
.
;
;
.

Γράφημα λειτουργίας εφαπτομένων, y \u003d tg x

Συνεφαπτομένη

Οπου Ν. - ολόκληρος.

Στη δυτική λογοτεχνία, η Kothanns υποδεικνύεται ως εξής:
.
Λαμβάνεται επίσης η ακόλουθη σημείωση:
;
;
.

Γράφημα λειτουργίας CottaNence, y \u003d ctg x

Ιδιότητες εφαπτομένων και κοτόπουλου

Περιοδικότης

Λειτουργίες y \u003d. tg x. και y \u003d cTG X. Περιοδικό με μια περίοδο π.

Ισοτιμία

Οι λειτουργίες των εφαπτομένων και των κιτογγαγγέννων είναι περίεργες.

Πεδία ορισμός και αξίες, αυξανόμενη, μείωση

Οι λειτουργίες των εφαπτομένων και των cotangenes είναι συνεχές στον τομέα του ορισμού τους (βλέπε απόδειξη της συνέχειας). Οι κύριες ιδιότητες της εφαπτομένης και της κοτονίας παρουσιάζονται στο τραπέζι ( Ν. - ολόκληρος).

	y \u003d. tg x.	y \u003d. cTG X.
Ορισμός και περιοχή συνέχειας
Περιοχή αξιών	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
Άρχοντας		-
Αφοπλισμός	-
Ακρα	-	-
Zeros, y \u003d 0
Σημείο διασταύρωσης με τον άξονα εντοπισμού, x \u003d 0	y \u003d. 0	-

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ τυποι

Εκφράσεις μέσω του Sinus και της Cosine

; ;
; ;
;

Εφαπτομενικές και cotangent τύπους από το ποσό και τη διαφορά

Οι υπόλοιποι τύποι είναι εύκολο να πάρουν, για παράδειγμα

Εργασία

Ο τύπος του ποσού και η διαφορά των εφαπτομένων

Αυτός ο πίνακας παρουσιάζει τις τιμές των εφαπτομένων και των καξονιών σε ορισμένες αξίες του επιχειρήματος.

Ολοκληρωμένες εκφράσεις

Εκφράσεις μέσω υπερβολικών λειτουργιών

;
;

Παράγωγα

; .

.
N-th παράγωγο παραγγελιών με μεταβλητή x από τη λειτουργία:
.
Τύποι παραγωγής για εφαπτομένη \u003e\u003e\u003e; Για Cotanza \u003e\u003e\u003e

Ενσωμάτωση

Αποσύνθεση στις τάξεις

Για να αποκτήσετε μια αποσύνθεση εφαπτομένων σε βαθμούς X, πρέπει να πάρετε πολλά μέλη αποσύνθεσης σε μια σειρά εξουσίας για λειτουργίες sIN X. και cos x. Και διαιρέστε αυτά τα πολυώνυμα μεταξύ τους ,. Στην περίπτωση αυτή, λαμβάνονται οι ακόλουθοι τύποι.

Στο.

στο.
Οπου Β Ν. - Αριθμοί Bernoulli. Προσδιορίζονται είτε από τον επαναλαμβανόμενο λόγο:
;
;
όπου.
Είτε από τον Laplace Formula:

Αντίστροφη λειτουργίες

Αντίστροφες λειτουργίες σε εφαπτόμενες και KOTAGNENT είναι οι αρτράνες και η αρτηκοποίηση, αντίστοιχα.

Arctgennes, Arctg.

όπου Ν. - ολόκληρος.

Arkkothangenes, Arcctg.

όπου Ν. - ολόκληρος.

Βιβλιογραφικές αναφορές:
ΣΕ. Bronstein, Κ.Α. Semendyaev, ένα βιβλίο αναφοράς για τα μαθηματικά για τους μηχανικούς και τους φοιτητές των βοηθών, "LAN", 2009.
Korn, μαθηματικός κατάλογος για επιστήμονες και μηχανικούς, 2012.

Δείτε επίσης:

Φόρμουλες σε τριγωνομετρία πολύ.

Θυμηθείτε ότι είναι μηχανικά πολύ δύσκολο, σχεδόν αδύνατο. Στην τάξη, πολλοί μαθητές και οι μαθητές απολαμβάνουν εκτυπώσεις στα εργαλεία των εγχειριδίων και των φορητών υπολογιστών, αφίσες στους τοίχους, κλιμάκια, τέλος. Και πώς να είστε στην εξέταση;

Ωστόσο, αν ρίξετε μια ματιά σε αυτές τις φόρμουλες, θα διαπιστώσετε ότι όλα διασυνδέονται και έχουν μια συγκεκριμένη συμμετρία. Ας τους αναλύσουμε λαμβάνοντας υπόψη τους ορισμούς και τις ιδιότητες των τριγωνομετρικών λειτουργιών για να καθορίσει το ελάχιστο που αξίζει πραγματικά να μάθετε από την καρδιά.

I ομάδα. Μεγάλες ταυτότητες

sIN 2 α + COS 2 α \u003d 1;

tga \u003d. ____ SINA COSA; Ctga \u003d. ____ cosa sina. ;

tGA · CTGA \u003d 1;

1 + tg 2 α \u003d _____ 1 cos 2 α; 1 + CTG 2 α \u003d _____ 1 SIN 2 Α.

Αυτή η ομάδα περιέχει τους πιο απλούς και πιο δημοφιλείς φόρμουλες. Οι περισσότεροι μαθητές τους γνωρίζουν. Αλλά αν εξακολουθούν να υπάρχουν δυσκολίες, τότε να θυμάστε τους πρώτους τρεις τύπους, φανταστείτε διανοητικά ένα ορθογώνιο τρίγωνο με μια υποθαλκαβεία ισοδύναμη. Στη συνέχεια, τα kartets του θα είναι ίσα, αντίστοιχα, η Sina για τον προσδιορισμό του κόλπου (ο λόγος της αντίθετης καέτσας στην υποτείνουσα) και το COSA για τον προσδιορισμό της συνόδου (ο λόγος της παρακείμενης κατέρου για υποτείνουσα).

Η πρώτη φόρμουλα είναι το θεώρημα Pythagoras για ένα τέτοιο τρίγωνο - το άθροισμα των τετραγώνων των καθεθροίων είναι ίσο με το τετράγωνο της υποτείνης (1 2 \u003d 1), το δεύτερο και το τρίτο είναι οι ορισμοί της εφαπτομένης (η αναλογία του λόγου αντίθετη κατηγορία στο γειτονικό) και το catangen (ο λόγος της παρακείμενης κατηγορίας στο αντίθετο).
Το έργο της εφαπτομενικής στα Κογγένια είναι 1 επειδή η καυσακερά που καταγράφεται με τη μορφή ενός κλάσματος (Τρίτη Τρίτη) είναι μια ανεστραμμένη εφαπτομένη (δεύτερη φόρμουλα). Η τελευταία σκέψη, παρεμπιπτόντως, καθιστά δυνατή την εξαίρεση από τους τύπους που είναι απαραίτητο να απομνημονεύσουμε όλες τις μεταγενέστερες μακρές φόρμουλες με το KOTAGNENT. Εάν θα συναντήσετε το CTGA σε οποιοδήποτε δύσκολο έργο, απλά αντικαταστήστε το με ένα κλάσμα ___ 1 TGa. Και να χρησιμοποιήσετε τους φόρμουλες για εφαπτόμενη.

Οι τελευταίοι δύο τύποι δεν μπορούν να απομνημονευθούν. Είναι λιγότερο συχνές. Και αν χρειάζεστε, μπορείτε πάντα να τις αποσύρετε στο σχέδιο εκ νέου. Για να γίνει αυτό, αρκεί να υποκατασταθεί αντί για μια εφαπτομένη ή επαφή του ορισμού τους μετά από ένα κλάσμα (τύπος δύο και τρίτο, αντίστοιχα) και να οδηγήσει την έκφραση στον γενικό παρονομαστή. Είναι όμως σημαντικό να θυμόμαστε ότι υπάρχουν τέτοιοι τύποι που δεσμεύουν τα τετράγωνα της εφαπτομένης και της συνημίας, και τα τετράγωνα των Κονακών και του κόλπου υπάρχουν. Διαφορετικά, δεν μπορείτε να μαντέψετε ποιες μετατροπές χρειάζονται για την επίλυση ενός συγκεκριμένου καθήκοντος.

II ομάδα. Προσθήκη τύπων

sIN (α + β) \u003d SINA · COSβ + COSA · SINB;

sIN (Α - β) \u003d SINA · COSβ - COSA · SINB;

cOS (α + β) \u003d COSA · COSI - SINA · SINB.

cos (α-β) \u003d cosa · cosβ + sina · sinb;

tg (α + β) \u003d TGA + TGβ _________ 1 - TGa · TGB;

tG (Α - β) \u003d

Υπενθυμίστε την ακρίβεια της ισοτιμίας / τουρισμού των τριγωνομετρικών λειτουργιών:

αμαρτία (-α) \u003d - αμαρτία (α); cos (-α) \u003d cos (α); Tg (-α) \u003d - Tg (α).

Από όλες τις τριγωνομετρικές λειτουργίες, μόνο η Cosine είναι μια ομοιόμορφη λειτουργία και δεν αλλάζει το σήμα του όταν αλλάζει το σήμα του όρου (γωνία), οι υπόλοιπες λειτουργίες είναι περίεργες. Η ακρίβεια της λειτουργίας, στην πραγματικότητα, σημαίνει ότι το σήμα μείον μπορεί να γίνει και να βάλει το σήμα λειτουργίας. Επομένως, αν αντιμετωπίσετε μια τριγωνομετρική έκφραση με διαφορά δύο γωνιών, μπορείτε πάντα να το καταλάβετε ως ένα άθροισμα θετικών και αρνητικών γωνιών.

Για παράδειγμα, αμαρτία ( Χ. - 30º) \u003d αμαρτία ( Χ. + (-30º)).
Στη συνέχεια, χρησιμοποιούμε το άθροισμα του τύπου δύο γωνιών και συμφωνούμε με σημάδια:
αμαρτία ( Χ. + (-30º)) \u003d αμαρτία Χ.· COS (-30º) + COS Χ.· SIN (-30º) \u003d
\u003d Αμαρτία Χ.· COS30º - COS Χ.· SIN30º.

Έτσι, όλοι οι τύποι που περιέχουν τη διαφορά των γωνιών μπορούν απλά να παραλειφθούν στην πρώτη απομνημόνευση. Τότε θα πρέπει να μάθετε να τα αποκαταστήσετε γενικά, πρώτα στο σχέδιο, και στη συνέχεια διανοητικά.

Για παράδειγμα, Tg (α-β) \u003d Tg (α + (-β)) \u003d TGA + TG (-β) ___________ 1 - TGA · TG (-β) = TGA - TGβ _________ 1 + TGA · TGB.

Αυτό θα βοηθήσει στην περαιτέρω ταχύτερη να μαντέψει ποιες μετασχηματισμοί πρέπει να εφαρμοστούν για την επίλυση ενός έργου της τριγωνομετρίας.

Ομάδα SH. Τύποι πολλαπλών επιχειρήσεων

sin2α \u003d 2 · Sina · cosa;

cos2α \u003d cos 2 α - αμαρτία 2 α;

tg2α \u003d. 2TGA _______ 1 - TG 2 α;

sIN3α \u003d 3SINA - 4SIN 3 Α;

cOS3α \u003d 4COS 3 Α - 3COSA.

Η ανάγκη χρήσης των τύπων για το ημιτονοφόρο και συνίνη μιας διπλής γωνίας εμφανίζεται πολύ συχνά, για εφαπτόμενη. Αυτοί οι τύποι πρέπει να είναι γνωστοί από την καρδιά. Επιπλέον, δεν υπάρχουν δυσκολίες στην απομνημόνειά τους. Πρώτον, οι τύποι είναι σύντομοι. Δεύτερον, ελέγχονται εύκολα από τους τύπους της προηγούμενης ομάδας, με βάση το γεγονός ότι 2α \u003d α + α.
Για παράδειγμα:
SIN (α + β) \u003d SINA · COSβ + COSA · SINB;
SIN (α + α) \u003d SINA · COSA + COSA · SINA;
Sin2α \u003d 2sina · cosa.

Ωστόσο, αν μάθατε αυτούς τους τύπους ταχύτερα και όχι τα προηγούμενα, τότε μπορείτε να ενεργήσετε αντίθετα: για να θυμάστε τον τύπο για το άθροισμα δύο γωνιών με την αντίστοιχη φόρμουλα για μια διπλή γωνία.

Για παράδειγμα, εάν χρειάζεστε έναν τύπο cosine του αθροίσματος δύο γωνιών:
1) Θυμηθείτε τη φόρμουλα με διπλή γωνία Cosine: cos2. Χ. \u003d Cos 2. Χ. - SIN 2. Χ.;
2) ζωγραφίζουμε πολύ: cos ( Χ. + Χ.) \u003d Cos. Χ.· COS. Χ. - ΑΜΑΡΤΙΑ Χ.· ΑΜΑΡΤΙΑ Χ.;
3) Αντικαταστήστε ένα Η. Σε α, το δεύτερο στη Β: cOS (α + β) \u003d COSA · COSI - SINA · SINB.

Επαναλάβετε παρομοίως για να επαναφέρετε τους τύπους για το ημιτονοειδές ποσό και την εφαπτομένη ποσότητα. Σε υπεύθυνες περιπτώσεις, όπως η ΕΓΕ, ελέγξτε την ακρίβεια των μειωμένων τύπων στο πολύ γνωστό πρώτο τρίμηνο: 0º, 30º, 45º, 60º, 90º.

Έλεγχος του προηγούμενου τύπου (που λαμβάνεται με αντικατάσταση στη γραμμή 3):
ας είναι α \u003d 60 °, β \u003d 30 °, α + β \u003d 90 °,
έπειτα cos (α + β) \u003d cos90 ° \u003d \u003d 0, cosa \u003d cos60 ° \u003d 1/2, cosβ \u003d cos30 ° \u003d √3 _ / 2, sina \u003d sin60 ° \u003d √3 _ / 2, sinb \u003d sin30 ° \u003d 1/2;
Υποκαθιστούμε τις τιμές στον τύπο: 0 \u003d (1/2) · √3_ /2) − (√3_ / 2) · (1/2) ·
0 ≡ 0, τα σφάλματα δεν ανιχνεύονται.

Τύποι για μια τριπλή γωνία, κατά τη γνώμη μου, δεν είναι απαραίτητα για το "εργαλείο". Σπάνια βρίσκονται στις εξετάσεις του EGE. Είναι εύκολα προέρχονται από τους τύπους που ήταν υψηλότεροι, επειδή SIN3α \u003d SIN (2α + α). Και αυτοί οι φοιτητές που για κάποιο λόγο εξακολουθούν να πρέπει να μάθουν αυτούς τους τύπους από καρδιά, σας συμβουλεύω να δώσετε προσοχή στη "συμμετρία" τους και να θυμάστε ότι δεν είναι οι ίδιοι οι φόρμουλες, αλλά μνημονικοί κανόνες. Για παράδειγμα, η σειρά με την οποία οι αριθμοί βρίσκονται σε δύο φόρμουλες "33433433", κλπ.

IV ομάδα. Ποσό / διαφορά -

sina + sinb \u003d 2 · αμαρτία Α + β ____ 2· COS. Α - Β ____ 2 ;

sINA - SINB \u003d 2 · ΑΡΧΗ Α - Β ____ 2· COS. Α + β ____ 2 ;

cosa + cosβ \u003d 2 · cos Α + β ____ 2· COS. Α - Β ____ 2 ;

cosa - cosβ \u003d -2 · αμαρτία Α - Β ____ 2· ΑΜΑΡΤΙΑ Α + β ____ 2 ;

tga + tgb \u003d sIN (Α + Β) ________ COSA · COSI ;

tGA - TGB \u003d sIN (Α - Β) ________ COSA · COSI .

Χρησιμοποιώντας την ακρίβεια των λειτουργιών του Sinus και της εφαπτομενικής: αμαρτία (-α) \u003d - αμαρτία (α); Tg (-α) \u003d - tg (α),
Μπορείτε να διαμορφώσετε τις διαφορές δύο λειτουργιών για να μειώσετε τους τύπους για τα ποσά τους. Για παράδειγμα,

sin90º - SIN30º \u003d SIN90º + SIN (-30º) \u003d 2 · ΑΡΜΑΤΑ 90º + (-30º) __________ 2· COS. 90º - (-30º) __________ 2 =

2 · SIN30º · COS60º \u003d 2 · (1/2) · (1/2) \u003d 1/2.

Έτσι, οι τύποι της διαφοράς των κόλπων και των εφαπτομένων δεν απομνημονεύουν απαραιτήτως αμέσως.
Με το άθροισμα και τη διαφορά της Cosine, η κατάσταση είναι πιο περίπλοκη. Αυτοί οι τύποι δεν είναι εναλλάξιμοι. Αλλά και πάλι, χρησιμοποιώντας την ισοτιμία του cosine, μπορείτε να θυμηθείτε τους ακόλουθους κανόνες.

Η ποσότητα COSA + COSβ δεν μπορεί να αλλάξει το σήμα του για οποιεσδήποτε αλλαγές στα σημάδια των γωνιών, έτσι ώστε το προϊόν να αποτελείται επίσης από ομοιόμορφα λειτουργίες, δηλ. Δύο cosines.

Το σήμα διαφοράς COSA - COSI εξαρτάται από τις τιμές των ίδιων των λειτουργιών, πράγμα που σημαίνει ότι το σήμα εργασίας θα πρέπει να εξαρτάται από τη συσχέτιση των γωνιών, έτσι ώστε το προϊόν να αποτελείται από περίεργες λειτουργίες, δηλ. δύο οίνοι.

Παρ 'όλα αυτά, αυτή η ομάδα των τύπων δεν είναι η ευκολότερη για να απομνημονεύσει. Αυτό συμβαίνει όταν είναι καλύτερο να ακονίσετε, αλλά περισσότερη επιταγή. Για να αποφύγετε σφάλματα στον τύπο σε μια συγκεκριμένη εξέταση, βεβαιωθείτε ότι το καταγράφετε πρώτα στο σχέδιο και ελέγξτε με δύο τρόπους. Οι πρώτες υποκαταστάσεις β \u003d α και β \u003d -α, στη συνέχεια από γνωστές τιμές λειτουργιών για απλές γωνίες. Για να γίνει αυτό, είναι καλύτερο να διαρκέσει 90º και 30º, καθώς έγινε στο παραπάνω παράδειγμα, επειδή η ημι-δίαιτα και το ιζηματογενή αυτών των αξιών, δίνουν και πάλι απλές γωνίες και μπορείτε εύκολα να δείτε πώς η ισότητα γίνεται η ταυτότητα για την ταυτότητα τη σωστή επιλογή. Ή, αντίθετα, δεν εκτελείται αν κάνετε λάθος.

ΠαράδειγμαΈλεγχοι του τύπου COSA - COSI \u003d 2 · SIN Α - Β ____ 2· ΑΜΑΡΤΙΑ Α + β ____ 2 Για τη διαφορά των cosinees Με ένα λάθος !

1) ας β \u003d α, τότε cosa - cosa \u003d 2 · αμαρτία Α - Α _____ 2· ΑΜΑΡΤΙΑ α + α _____ 2 \u003d 2sin0 · Sina \u003d 0 · SINA \u003d 0. COSA - COSA ≡ 0.

2) Ας β \u003d - α, στη συνέχεια COSA - COS (- α) \u003d 2 · αμαρτία Α - (-α) _______ 2· ΑΜΑΡΤΙΑ α + (-α) _______ 2 \u003d 2sina · Sin0 \u003d 0 · Sina \u003d 0. COSA - COS (- α) \u003d COSA - COSA ≡ 0.

Αυτοί οι έλεγχοι έδειξαν ότι οι λειτουργίες του τύπου χρησιμοποιούνται σωστά, αλλά λόγω του γεγονότος ότι η ταυτότητα έλαβε τον τύπο 0 ≡ 0, ένα σφάλμα με ένα σημάδι ή ένα συντελεστή θα μπορούσε να χάσει. Κάνουμε έναν τρίτο έλεγχο.

3) Αφήστε Α \u003d 90º, β \u003d 30º, τότε cos90º - cos30º \u003d 2 · αμαρτία 90º - 30º ________ 2· ΑΜΑΡΤΙΑ 90º + 30º ________ 2 \u003d 2sin30º · Sin60º \u003d 2 · (1/2) · (√3 _ /2) = √3_ /2.

cOS90 - COS30 \u003d 0 - √3 _ /2 = −√3_ /2 ≠ √3_ /2.

Το σφάλμα ήταν πραγματικά στο σημάδι και μόνο στο σημάδι πριν από την εργασία.

V ζώνη. Εργασία - στο ποσό / διαφορά

sina · sinb \u003d 1 _ 2 · (COS (α-β) - COS (α + β)).

cosa · cosb \u003d 1 _ 2 · (Α-β) + COS (α + β)).

sina · cosb \u003d 1 _ 2 · (Α-β) + αμαρτία (α + β)).

Το όνομα της πέμπτης ομάδας των ίδιων των τύπων υποδηλώνει ότι αυτοί οι τύποι αντιστρέφονται σε σχέση με την προηγούμενη ομάδα. Είναι σαφές ότι στην περίπτωση αυτή είναι ευκολότερο να αποκατασταθεί ο τύπος στο σχέδιο, από το να το μάθετε και πάλι, αυξάνοντας τον κίνδυνο δημιουργίας "κουάκερ στο κεφάλι". Το μόνο πράγμα που έχει νόημα να επικεντρωθεί στην ταχύτερη ανάκτηση του τύπου, αυτές είναι οι ακόλουθες ισοτιμίες (ελέγξτε τα):

α = Α + β ____ 2 + Α - Β ____ 2; β = Α + β ____ 2 − Α - Β ____ 2.

Σκεφτείτε παράδειγμα: πρέπει να μετατρέψετε την αμαρτία5 Χ.· COS3. Χ. στο άθροισμα δύο τριγωνομετρικών λειτουργιών.
Δεδομένου ότι η εργασία περιλαμβάνει τον κόλπο και την συνήθεια, τότε παίρνουμε από την προηγούμενη ομάδα ο τύπος για την ποσότητα των ινιδιών, η οποία έχει ήδη μάθει και το γράψα στο σχέδιο.

sina + sinb \u003d 2 · αμαρτία Α + β ____ 2· COS. Α - Β ____ 2

Ας 5. Χ. = Α + β ____ 2 και 3. Χ. = Α - Β ____ 2 , τότε α \u003d Α + β ____ 2 + Α - Β ____ 2 = 5Χ. + 3Χ. = 8Χ., β = Α + β ____ 2 − Α - Β ____ 2 = 5Χ. − 3Χ. = 2Χ..

Αντικαταστήσουμε στον τύπο του σχεδίου των τιμών των γωνιών, εκφρασμένη μέσω των μεταβλητών Α και β, στις τιμές των γωνιών, εκφρασμένες μέσω της μεταβλητής Χ..
Λαμβάνω sin8. Χ. + Sin2. Χ. \u003d 2 · SIN55 Χ.· COS3. Χ.

Διαχωρίζουμε τόσο το μέρος της δικαιοσύνης για το 2 και το γράφουμε στο τελικό προς τα αριστερά sin5 Χ.· COS3. Χ. = 1 _ 2 (SIN8. Χ. + Sin2. Χ.). Η απάντηση είναι έτοιμη.

Ως άσκηση: Εξηγήστε γιατί στη φόρμουλα για τη μετατροπή της ποσότητας / διαφοράς στο έργο των 6, και αντίστροφα (για τη μετατροπή ενός προϊόντος σε άθροισμα ή διαφορά) - μόνο 3;

Ομάδα VI. Μείωση βαθμού Μείωσης

cos 2 α \u003d 1 + cos2α _________ 2;

sIN 2 Α \u003d 1 - COS2α _________ 2;

cos 3 α \u003d 3cosa + cos3α ____________ 4;

sIN 3 Α \u003d 3sina - Sin3α ____________ 4.

Οι δύο πρώτοι τύποι αυτής της ομάδας είναι πολύ απαραίτητοι. Χρησιμοποιείται συχνά στην επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων, συμπεριλαμβανομένου του επιπέδου μιας μόνο εξετάσεως, καθώς και κατά τον υπολογισμό των ολοκληρωμάτων που περιέχουν τις στοιχειακές λειτουργίες ενός τριγωνομετρικού τύπου.

Μπορεί να είναι ευκολότερο να τους θυμηθείτε στην ακόλουθη φόρμα "μονής ιστορίας"
2cos 2 α \u003d 1 + cos2α;
2 SIN 2 Α \u003d 1 - COS2α,
Και μπορείτε πάντα να χωρίσετε σε 2 ή στο σχέδιο.

Η ανάγκη χρήσης των ακόλουθων δύο τύπων (με κύβους λειτουργιών) στις εξετάσεις είναι πολύ λιγότερο συχνή. Σε μια άλλη ρύθμιση, θα έχετε πάντα χρόνο να χρησιμοποιήσετε το σχέδιο. Οι ακόλουθες επιλογές είναι δυνατές:
1) Αν θυμάστε τους τελευταίους δύο τύπους της ομάδας III, στη συνέχεια, χρησιμοποιήστε τα για να εκφράσετε την αμαρτία 3 α και COS 3 α με απλούς μετασχηματισμούς.
2) Εάν στις δύο τελευταίες φόρμουλες αυτής της ομάδας παρατηρήσατε τα στοιχεία της συμμετρίας, τα οποία συμβάλλουν στην απομνημόνειά τους, στη συνέχεια γράψτε τα σκίτσα των τύπων στο σχέδιο και ελέγξτε τα από τις αξίες των κύριων γωνιών.
3) Εάν, εκτός από ότι υπάρχουν τέτοιοι τύποι μείωσης των μαθημάτων, δεν γνωρίζετε τίποτα γι 'αυτούς, στη συνέχεια λύστε το πρόβλημα στα στάδια, με βάση το γεγονός ότι η αμαρτία 3 α \u003d SIN 2 α · SINA και άλλων μαθησιακών τύπων. Μείωση βαθμού Μείωσης για την πλατεία και τον τύπο για τον μετασχηματισμό της εργασίας στο ποσό.

Ομάδα VII. Μισό επιχείρημα

αμαρτία. α _ 2. = ± √ 1 - COSA ________ 2;_____

cos. α _ 2. = ± √ 1 + cosa ________ 2;_____

tg. α _ 2. = ± √ 1 - COSA ________ 1 + COSA._____

Δεν βλέπω το σημείο στην απομνημόνευση από την καρδιά αυτής της ομάδας των τύπων με τη μορφή στην οποία παρουσιάζονται σε εγχειρίδια και βιβλία αναφοράς. Εάν το καταλαβαίνετε α είναι το ήμισυ των 2α, Αυτό αρκεί για να αντλήσει γρήγορα τον επιθυμητό τύπο του μισού επιχειρήματος, με βάση τους πρώτους δύο τύπους για να μειώσετε το βαθμό.

Αυτό ισχύει επίσης για μια εφαπτομένη με μισή γωνία, ο τύπος για το οποίο λαμβάνεται διαιρώντας την έκφραση για κόλπο στην αντίστοιχη έκφραση για συνίνη.

Μην ξεχνάτε μόνο όταν αφαιρείτε την τετραγωνική ρίζα για να βάλετε ένα σημάδι ± .

Ομάδα VIII. Καθολική υποκατάσταση

sina \u003d 2TG (α / 2) _________ 1 + Tg2 (α / 2).

cosa \u003d 1 - Tg 2 (α / 2) __________ 1 + Tg2 (α / 2).

tga \u003d. 2TG (α / 2) _________ 1 - Tg 2 (α / 2).

Αυτοί οι τύποι μπορεί να είναι εξαιρετικά χρήσιμοι για την επίλυση τριγωνομετρικών καθηκόντων όλων των τύπων. Σας επιτρέπουν να συνειδητοποιήσετε την αρχή του "Ένα επιχείρημα είναι μια λειτουργία", η οποία σας επιτρέπει να αντικαταστήσετε τις μεταβλητές που μειώνουν τις πολύπλοκες τριγωνομετρικές εκφράσεις σε αλγεβρικά. Δεν είναι περίεργο ότι αυτή η αντικατάσταση ονομάζεται καθολική.
Οι πρώτοι δύο τύποι μαθαίνουν πρέπει. Το τρίτο μπορεί να ληφθεί διαιρώντας τα πρώτα δύο ο ένας στον άλλο εξ ορισμού της TGA εφαπτομένων \u003d sINA ___ COSA.

Ομάδα IX. Αίτηση φόρμουλες.

Να ασχοληθεί με αυτή την ομάδα τριγωνομετρικών τύπων, fie

X ομάδα. Τιμές για τις κύριες γωνίες.

Οι τιμές των τριγωνομετρικών λειτουργιών για τις κύριες γωνιές του πρώτου τριμήνου δίδονται.

Ετσι κάνε το παραγωγή: Οι τύποι τριγωνομετρίας πρέπει να γνωρίζουν. Οσο μεγαλύτερο τόσο καλύτερα. Αλλά τι να περάσετε το χρόνο και την προσπάθειά σας - να απομνημονεύσετε τους τύπους ή την ανάκαμψή τους στη διαδικασία επίλυσης εργασιών, ο καθένας πρέπει να λύσει ανεξάρτητα.

Παράδειγμα του καθήκοντος χρήσης τύπων τριγωνομετρίας

Επίλυση εξίσωσης sin5 Χ.· COS3. Χ. - SIN8. Χ.· COS6. Χ. = 0.

Έχουμε δύο διαφορετικές λειτουργίες αμαρτίες () και cos () και τέσσερα! Διαφορετικά επιχειρήματα 5. Χ., 3Χ., 8Χ. και 6. Χ.. Χωρίς προκαταρκτικούς μετασχηματισμούς, δεν θα είναι δυνατόν να μειωθούν οι απλούστεροι τύποι τριγωνομετρικών εξισώσεων. Ως εκ τούτου, προσπαθούμε πρώτα να αντικαταστήσουμε τα έργα σχετικά με τα ποσά ή τη διαφορά λειτουργιών.
Το κάνουμε με τον ίδιο τρόπο όπως στο παραπάνω παράδειγμα (βλ. Τμήμα).

sIN (5. Χ. + 3Χ.) + SIN (5 Χ. − 3Χ.) \u003d 2 · SIN55 Χ.· COS3. Χ.
sin8. Χ. + Sin2. Χ. \u003d 2 · SIN55 Χ.· COS3. Χ.

sIN (8. Χ. + 6Χ.) + SIN (8 Χ. − 6Χ.) \u003d 2 · Sin8 Χ.· COS6. Χ.
SIN14. Χ. + Sin2. Χ. \u003d 2 · Sin8 Χ.· COS6. Χ.

Εκφράζοντας την εργασία από αυτές τις ισοτιμίες, τα υποκαθιστούμε στην εξίσωση. Παίρνουμε:

(SIN8. Χ. + Sin2. Χ.) / 2 - (SIN14 Χ. + Sin2. Χ.)/2 = 0.

Πολλαπλασιάζουμε 2 από τα δύο μέρη της εξίσωσης, αποκαλύπτουν αγκύλες και δίνουν τέτοια μέλη

Sin8. Χ. + Sin2. Χ. - SIN14. Χ. - Sin2. Χ. = 0;
sin8. Χ. - SIN14. Χ. = 0.

Η εξίσωση απλοποίησε σημαντικά, αλλά για την επίλυσή του τόσο αμαρτία8 Χ. \u003d SIN14. Χ.Επομένως, 8. Χ. = 14Χ. + T, όπου t - η περίοδος είναι εσφαλμένη, δεδομένου ότι δεν γνωρίζουμε την αξία αυτής της περιόδου. Ως εκ τούτου, το χρησιμοποιούμε το δεξιό μέρος της ισότητας, αξίζει 0, με την οποία είναι εύκολο να συγκρίνετε τους πολλαπλασιαστές σε οποιαδήποτε έκφραση.
Για να αποσυντεθούν Sin8 Χ. - SIN14. Χ. Για τους πολλαπλασιαστές, πρέπει να πάτε από τη διαφορά στο έργο. Για να το κάνετε αυτό, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τη φόρμουλα διαφορά κόλπων ή πάλι το άθροισμα του τύπου των sinmes και την ιδιαιτερότητα της λειτουργίας κόλπων (βλέπε παράδειγμα στην ενότητα).

sin8. Χ. - SIN14. Χ. \u003d SIN8. Χ. + SIN (-14 Χ.) \u003d 2 · αμαρτία 8Χ. + (−14Χ.) __________ 2 · COS. 8Χ. − (−14Χ.) __________ 2 \u003d αμαρτία (-3 Χ.) · Cos11 Χ. \u003d -Sin3 Χ.· Cos11 Χ..

Έτσι, η εξίσωση Sin8 Χ. - SIN14. Χ. \u003d 0 είναι ισοδύναμη με την εξίσωση SIN3 Χ.· Cos11 Χ. \u003d 0, η οποία, με τη σειρά του, ισοδυναμεί με τον συνδυασμό δύο απλών εξισώσεων SIN3 Χ. \u003d 0 και cos11 Χ. \u003d 0. Επίλυση του τελευταίου, παίρνουμε δύο σειρές απαντήσεων
Χ. 1 \u003d π. Ν./3, Ν.ΕΖ.
Χ. 2 \u003d π / 22 + π Κ./11, Κ.ΕΖ.

Εάν έχετε εντοπίσει σφάλμα ή τυπικό στο κείμενο, παρακαλείστε να το ενημερώσετε στη διεύθυνση ηλεκτρονικού ταχυδρομείου [Προστατεύεται μέσω ηλεκτρονικού ταχυδρομείου] . Θα είμαι πολύ ευγνώμων.

Το έργο.
Βρείτε την τιμή του x στο.

Απόφαση.
Βρείτε την αξία της λειτουργίας της λειτουργίας με την οποία είναι ίσο με οποιοδήποτε μέσο τιμής για να προσδιοριστεί σε ποια επιχειρήματα το μέγεθος του ημιτονοειδούς θα είναι ακριβώς όπως υποδεικνύεται στην κατάσταση.
Σε αυτή την περίπτωση, πρέπει να μάθουμε σε ποιες τιμές η τιμή κόλπων θα είναι 1/2. Αυτό μπορεί να γίνει με διάφορους τρόπους.
Για παράδειγμα, για να το χρησιμοποιήσετε για να προσδιορίσετε σε ποιες τιμές x η λειτουργία Sinus θα είναι 1/2.
Ένας άλλος τρόπος είναι να χρησιμοποιήσετε. Επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω ότι οι τιμές κόλπων βρίσκονται στον άξονα ou.
Ο πιο συνηθισμένος τρόπος είναι να προσφύγετε, ειδικά αν μιλάμε για τις αξίες τέτοιων τυποποιημένων λειτουργιών ως 1/2.
Σε όλες τις περιπτώσεις, δεν πρέπει να ξεχάσετε μια από τις σημαντικότερες ιδιότητες του Sinus - για την περίοδο του.
Βρείτε στην τιμή του πίνακα 1/2 για τον κόλπο και ας δούμε ποια επιχειρήματα αντιστοιχεί σε αυτό. Τα επιχειρήματα που σας ενδιαφέρουν είναι PI / 6 και 5P / 6.
Γράφουμε όλες τις ρίζες που ικανοποιούν την καθορισμένη εξίσωση. Για να το κάνετε αυτό, γράψτε μας το άγνωστο επιχείρημα και μία από τις αξίες του επιχειρήματος που προέκυψε από το τραπέζι, δηλαδή, pi / 6. γράφουμε σε αυτό, δεδομένης της περιόδου της προθεσμίας, όλες οι αξίες του διαφωνία:

Πάρτε τη δεύτερη αξία και κάνουμε τα ίδια βήματα όπως και στην προηγούμενη περίπτωση:

Μια πλήρης λύση της εξίσωσης πηγής θα είναι:
και
q. Μπορεί να πάρει την αξία οποιουδήποτε ακέραιου.

Σε αυτή τη σελίδα θα βρείτε όλες τις κύριες τριγωνομετρικές φόρμουλες που θα σας βοηθήσουν να λύσετε πολλές ασκήσεις, απλοποιώντας σημαντικά την ίδια την έκφραση.

Τριγωνομετρικές φόρμουλες - Μαθηματική ισότητα για τριγωνομετρικές λειτουργίες που εκτελούνται με όλες τις έγκυρες τιμές του επιχειρήματος.

Οι τύποι δίδονται από τις σχέσεις μεταξύ των κύριων τριγονομονομετρικών λειτουργιών - του ημιτονοειδούς, του συνάλλαγμα, της εφαπτομένης, του KOTAGN.

Η ηλιοβασίλεμα της γωνίας είναι η συντεταγμένη y του σημείου (τετηγμένη) σε έναν μόνο κύκλο. Η γωνία Cosine είναι το σημείο συντεταγμένης X (τετμημένη).

Οι εφαπτόμενοι και οι κοτουγκένια είναι, κατά συνέπεια, ο λόγος της ημιτονοειδούς σε συνίνη και αντίστροφα.
`Sin \\ \\ alpha, \\ cos \\ \\ alpha`
`Tg \\ \\ alpha \u003d \\ frac (sin \\ \\ alpha) (cos \\ \\ alpha),` \\ \\ alpha \\ ne \\ frac \\ pi2 + \\ pi n, \\ n \\ in z`
`CTG \\ \\ \\ alpha \u003d \\ frac (cos \\ \\ alpha) (sin \\ \\ alpha),` `\\ alpha \\ ne \\ pi + \\ pi n, \\ n \\ in z`

Και τα δύο, τα οποία χρησιμοποιούνται λιγότερο συχνά - συνεδρίες, ο Σοσσαχάς. Δηλώνουν τους λόγους 1 έως το συνίνη και τον κόλπο.

`Sec \\ \\ \\ alpha \u003d \\ frac (1) (cos \\ \\ alpha),` `\\ alpha \\ ne \\ frac \\ pi2 + \\ pi n, \\ n \\ in z`
`Cosec \\ alpha \u003d \\ frac (1) (sin \\ \\ alpha),` `\\ alpha \\ ne \\ pi + \\ pi n, \\ n \\ in σε z`

Από τους ορισμούς των τριγωνομετρικών λειτουργιών, μπορείτε να δείτε ποια σημάδια έχουν σε κάθε τρίμηνο. Η λειτουργία της λειτουργίας εξαρτάται μόνο από ποια από τα τρίμηνα είναι το επιχείρημα.

Όταν το σύμβολο του επιχείρησης αλλάζει με "+" σε "-", μόνο η συνάρτηση Cosine δεν αλλάζει την τιμή του. Ονομάζεται ακόμη και. Το γράφημά του είναι συμμετρικό γύρω από τον άξονα της τεταγμένης.

Οι υπόλοιπες λειτουργίες (κόλπος, εφαπτομένη, καυστική) είναι περίεργοι. Όταν αλλάζετε το σημάδι του επιχειρήματος με το "+" σε "-" η σημασία τους αλλάζει επίσης αρνητικά. Τα γραφήματα τους είναι συμμετρικά στην αρχή των συντεταγμένων.

`Sin (- \\ alpha) \u003d - Sin \\ \\ alpha`
`Cos (- \\ alpha) \u003d cos \\ \\ alpha`
`Tg (- \\ alpha) \u003d - tg \\ \\ alpha`
`CTG (- \\ alpha) \u003d - ctg \\ \\ \\ alpha`

Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες

Οι βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες είναι τύποι που καθορίζουν την επικοινωνία μεταξύ των τριγωνομετρικών λειτουργιών μιας γωνίας (`sin \\ \\ alpha, \\ cos \\ alpha, \\ tg \\ alpha, \\ ctg \\ alpha`) και που σας επιτρέπουν να βρείτε την τιμή του Κάθε μία από αυτές τις λειτουργίες μέσω οποιουδήποτε διάσημου άλλου.
`Sin ^ 2 \\ Alpha + Cos ^ 2 \\ Alpha \u003d 1`
`Tg \\ \\ alpha \\ cdot ctg \\ \\ alpha \u003d 1, \\ \\ alpha \\ ne \\ frac (\\ pi n) 2, \\ n \\ in z`
`1 + tg ^ 2 \\ alpha \u003d \\ frac 1 (cos ^ 2 \\ alpha) \u003d sec ^ 2 \\ alpha,` \\ \\ alpha \\ ne \\ frac \\ pi2 + pi n, \\ n \\ in z`
`1 + ctg ^ 2 \\ alpha \u003d \\ frac 1 (sin ^ 2 \\ alpha) \u003d cosec ^ 2 \\ alpha,` \\ \\ \\ in \\ pi n, \\ n \\ in z`

Τύποι του ποσού και της διαφοράς των γωνιών των τριγωνομετρικών λειτουργιών

Οι τύποι προσθήκης και αφαίρεσης επιχειρήματος εκφράζουν τις τριγωνομετρικές λειτουργίες του ποσού ή τη διαφορά δύο γωνιών μέσω των τριγωνομετρικών λειτουργιών αυτών των γωνιών.
`Sin (\\ Alpha + \\ Beta) \u003d` `Sin \\ alpha \\ cos \\ \\ beta + cos \\ \\ alpha \\ sin \\ \\ beta`
`Sin (\\ alpha- beta) \u003d` `Sin \\ \\ alpha \\ cos \\ beta-cos \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ beta`
`Cos (\\ alpha + \\ beta) \u003d` `cos \\ \\ \\ alpha \\ cos \\ \\ beta-sin \\ \\ alpha \\ sin \\ \\ beta`
`Cos (\\ alpha- beta) \u003d` `cos \\ \\ \\ alpha \\ cos \\ \\ beta + sin \\ \\ alpha \\ sin \\ \\ \\ beta`
`Tg (\\ alpha + \\ beta) \u003d \\ frac (tg \\ \\ alpha + tg \\ \\ beta) (1-tg \\ \\ \\ alpha \\ tg \\ \\ beta)
`Tg (\\ alpha- beta) \u003d \\ frac (tg \\ \\ alpha-tg \\ \\ beta) (1 + tg \\ \\ \\ \\ alpha \\ tg \\ \\ beta)
`CTG (\\ alpha + \\ beta) \u003d \\ frac (ctg \\ \\ alpha \\ ctg \\ \\ beta-1) (ctg \\\\ beta + ctg \\ \\ alpha)
`CTG (\\ alpha- beta) \u003d \\ frac (ctg \\ \\ \\ alpha \\ ctg \\ \\ beta + 1) (ctg \\ \\ beta-ctg \\ \\ \\ alpha)

Διπλές γωνιακές φόρμουλες

`Sin \\ 2 \\ alpha \u003d 2 \\ sin \\ \\ alpha \\ cos \\ \\ alpha \u003d` \\ \\ frac (2 \\ tg \\ \\ alpha) (1 + tg ^ 2 \\ alpha) \u003d \\ frac (2 \\ ctg \\ \\ alpha ) (1 + CTG ^ 2 \\ άλφα) \u003d `` \\ frac 2 (tg \\ \\ \\ alpha + ctg \\ \\ alpha)
`Cos \\ 2 \\ alpha \u003d cos ^ 2 \\ alpha-sin ^ 2 \\ alpha \u003d` `1-2 \\ sin ^ 2 \\ alpha \u003d 2 \\ cos ^ 2 \\ alpha-1 \u003d` `\\ frac (1-tg ^ 2 \\ άλφα) (1 + tg ^ 2 \\ άλφα) \u003d \\ frac (CTG ^ 2 \\ άλφα-1) (CTG ^ 2 \\ άλφα + 1) \u003d `` \\ frac (CTG \\ \\ \\ alpha-tg \\ \\ alpha) (Ctg \\ \\ alpha + tg \\ alpha) `
`Tg \\ 2 \\ alpha \u003d \\ frac (2 \\ tg \\ alpha) (1-tg ^ 2 \\ alpha) \u003d` `\\ frac (2 \\ ctg \\ \\ \\ alpha) (ctg ^ 2 \\ alpha-1) \u003d` \\ \\ Frac 2 (\\ ctg \\ \\ \\ \\ alpha-tg \\ \\ alpha) `
`Ctg \\ 2 \\ alpha \u003d \\ frac (ctg ^ 2 \\ alpha-1) (2 \\ ctg \\ \\ alpha) \u003d` `\\ frac (\\ ctg \\ \\ \\ alpha-tg \\ \\ \\ al alpha)

Τύποι της τριπής γωνίας

`Sin \\ 3 \\ Alpha \u003d 3 \\ SIN \\ \\ alpha-4sin ^ 3 \\ Alpha`
`cos \\ 3 \\ alpha \u003d 4cos ^ 3 \\ alpha-3 \\ cos \\ \\ alpha`
`Tg \\ 3 \\ alpha \u003d \\ frac (3 \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ alpha-tg ^ 3 \\ alpha) (1-3 \\ tg ^ 2 \\ alpha)`
`CTG \\ 3 \\ alpha \u003d \\ Frac (CTG ^ 3 \\ Alpha-3 \\ CTG \\ \\ alpha) (3 \\ CTG ^ 2 \\ Alpha-1)`

Τύποι μισής γωνίας

`Sin \\ \\ frac \\ alpha 2 \u003d \\ pm \\ sqrt (\\ frac (1-cos \\ \\ \\ \\ alpha) 2)`
`Cos \\ \\ frac \\ alpha 2 \u003d \\ pm \\ sqrt (\\ frac (1 + cos \\ \\ \\ \\ \\ \\ alpha) 2)
`Tg \\ frac \\ alpha 2 \u003d \\ pm \\ sqrt (\\ frac (1-cos \\ \\ \\ alpha)) (1 + cos \\ \\ \\ alpha)) \u003d` `\\ frac (sin \\ \\ \\ \\ \\ \\ alpha) alpha) \u003d \\ frac (1-cos \\ \\ \\ alpha) (sin \\ \\ alpha) `
`Ctg \\ \\ frac \\ alpha 2 \u003d \\ pm \\ sqrt (\\ frac (1 + cos \\ \\ alpha) (1-cos \\ \\ alpha)) \u003d` `\\ frac (sin \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ allow Άλφα) \u003d \\ frac (1 + cos \\ \\ \\ alpha) (sin \\ \\ alpha) `

Οι τύποι μισών, διπλών και τριπλών επιχειρήματος εκφράζουν τις λειτουργίες `SIN, \\ COS, \\ TG, \\ CTG 'από αυτά τα επιχειρήματα (\\ \\ Alpha) 2, \\ 2 \\ Alpha, \\ 3 \\ Alpha, ... ) μέσω αυτών των λειτουργιών argument `\\ alpha`.

Το συμπέρασμα μπορεί να ληφθεί από την προηγούμενη ομάδα (προσθήκη και αφαίρεση των επιχειρημάτων). Για παράδειγμα, η ταυτότητα διπλής γωνίας είναι εύκολο να πάρει, αντικαθιστώντας το `\\ beta` on` \\ alpha`.

Μείωση βαθμού Μείωσης

Οι τετράγωνοι τύποι (κύβοι κ.λπ.) των τριγωνομετρικών λειτουργιών σας επιτρέπουν να μετακινηθείτε από 2.3, ... πτυχίο σε τριγωνομετρικές λειτουργίες του πρώτου βαθμού, αλλά πολλαπλές γωνίες (`\\ Alpha, \\ 3 \\ Alpha, \\ ...` ή 2 \\ Alpha, \\ ... 4 \\ Alpha, \\ ... ').
`Sin ^ 2 \\ alpha \u003d \\ frac (1-cos \\ 2 \\ alpha) 2,` `(SIN ^ 2 \\ FRAC \\ ALPHA 2 \u003d \\ FRAC (1-COS \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ alpha)
`cos ^ 2 \\ alpha \u003d \\ frac (1 + cos \\ 2 \\ alpha) 2,` `(cos ^ 2 \\ frac \\ alpha 2 \u003d \\ frac (1 + cos \\ \\ \\ \\ \\ alpha) 2)
`Sin ^ 3 \\ alpha \u003d \\ frac (3sin \\ \\ \\ alpha-sin \\ 3 \\ alpha) 4`
`cos ^ 3 \\ alpha \u003d \\ frac (3cos \\ \\ \\ alpha + cos \\ 3 \\ alpha) 4`
`Sin ^ 4 \\ alpha \u003d \\ frac (3-4cos \\ 2 \\ \\ alpha + cos \\ 4 \\ alpha) 8`
`Cos ^ 4 \\ alpha \u003d \\ frac (3 + 4cos \\ 2 \\ alpha + cos \\ 4 \\ alpha) 8`

Τύποι του αθροίσματος και διαφορά τριγωνομετρικών λειτουργιών

Οι τύποι είναι μετασχηματισμοί της ποσότητας και διαφορά τριγωνομετρικών λειτουργιών διαφορετικών επιχειρημάτων στην εργασία.

`Sin \\ \\ \\ alpha + sin \\ \\ bata \u003d` `2 \\ sin \\ frac (\\ alla + \\ beta) 2 \\ cos \\ frac (\\ alpha- beta) 2`
`Sin \\ \\ \\ \\ alpha-sin \\ \\ bata \u003d` `\\ cos \\ frac (\\ alpha + \\ \\ beta) 2 \\ sin \\ frac (\\ alpha- beta) 2`
`Cos \\ \\ \\ \\ alpha + cos \\ \\ bata \u003d` `2 \\ cos \\ frac (\\ Alpha + \\ beta) 2 \\ cos \\ frac (\\ alpha- beta) 2`
\\ \\ \\ \\ \\ alpha-cos \\ \\ beta \u003d `` -2 \\ sin \\ frac (\\ alpha + \\ beta) 2 \\ sin \\ frac (\\ alpha- beta) 2 \u003d `` 2 \\ sin \\ frac (\\ alpha + \\ beta) 2 \\ sin \\ frac (\\ beta- \\ alpha) 2`
`Tg \\ \\ alpha \\ pm tg \\ \\ beta \u003d \\ frac (sin (\\ alpha \\ pm \\ beta)) (cos \\ \\ alpha \\ cos \\ \\ beta)`
`Ctg \\ \\ \\ \\ \\ \\ pm ctg \\ \\ beta \u003d \\ frac (sin (\\ beta \\ pm \\ alpha)) (sin \\ \\ alpha \\ sin \\ \\ beta)`
`Tg \\ \\ alpha \\ pm ctg \\ \\ beta \u003d` \\ \\ pm \\ frac (cos (\\ alpha \\ mp \\ beta)) (cos \\ \\ alpha \\ sin \\ \\ beta) `

Εδώ είναι η μετατροπή της προσθήκης και αφαιρεί τις λειτουργίες ενός επιχειρήματος στο έργο.

`cos \\ \\ \\ alpha + sin \\ \\ alpha \u003d \\ sqrt (2) \\ cos (\\ frac (\\ pi) 4- \\ alpha)`
`cos \\ \\ \\ alpha-sin \\ \\ alpha \u003d \\ sqrt (2) \\ sin (\\ frac (\\ pi) 4- \\ alpha)`
`Tg \\ \\ alpha + ctg \\ alpha \u003d 2 \\ cosec \\ 2 \\ alpha;` `tg \\ \\ alpha-ctg \\ \\ \\ \\ \\ alpha-ctg \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ ctg \\ 2 \\ \\ \\ ctg \\

Οι ακόλουθοι τύποι μετατρέπουν την ποσότητα και τη διαφορά των μονάδων και της τριγωνομετρικής λειτουργίας στην εργασία.

`1 + cos \\ \\ \\ alpha \u003d 2 \\ cos ^ 2 \\ frac (\\ alpha) 2`
`1-cos \\ \\ alpha \u003d 2 \\ sin ^ 2 \\ frac (\\ alpha) 2`
`1 + sin \\ \\ alpha \u003d 2 \\ cos ^ 2 (\\ frac (\\ pi) 4- \\ frac (\\ alpha) 2)`
`1-αμαρτία \\ \\ alpha \u003d 2 \\ sin ^ 2 (\\ frac (\\ pi) 4- \\ frac (\\ alpha) 2)`
\\ 1 \\ pm tg \\ \\ alpha \u003d \\ frac (sin (\\ frac (\\ pi) 4 \\ pm \\ alpha) (cos \\ frac (\\ pi) 4 \\ cos \\ \\ alpha) \u003d `` \\ frac (\\ sqrt ( 2) αμαρτία (\\ frac (\\ pi) 4 \\ pm \\ alpha)) (cos \\ \\ alpha) `
`\\ \\ Pm tg \\ \\ \\ \\ \\ alpha \\ tg \\ \\ beta \u003d \\ frac (cos (\\ alpha \\ mp \\ beta)) (cos (\\ alpha \\ mp \\ beta)) (cos \\ \\ alpha \\ cos \\ \\ beta);` \\ \\ \\ \\ Beta \\ pm 1 \u003d \\ frac (cos (\\ alpha \\ mp \\ beta)) (sin \\ \\ alpha \\ sin \\ \\ beta) `

Τύποι για μετατροπή έργων λειτουργιών

Τύποι για τη μετατροπή του προϊόντος των τριγωνομετρικών λειτουργιών με τα επιχειρήματα «\\ Alpha» και »\\ Beta» στο ποσό (διαφορά) αυτών των επιχειρημάτων.
`Sin \\ \\ alpha \\ sin \\ \\ \\ beta \u003d` `\\ frac (cos (\\ alpha - \\ beta) -cos (\\ alpha + \\ beta)) (2)
`Sin \\ Alpha \\ Cos \\ Beta \u003d` `\\ Frac (SIN (\\ Alpha - \\ Beta) + SIN (\\ Alpha + \\ Beta)) (2)
`Cos \\ \\ \\ alpha \\ cos \\ \\ \\ beta \u003d` \\ \\ frac (cos (\\ alpha - \\ beta) + cos (\\ alpha + \\ beta)) (2)
`Tg \\ \\ alpha \\ tg \\ \\ beta \u003d` `\\ frac (cos (\\ alpha - \\ beta) -cos (\\ alpha + \\ beta)) (\\ alpha \\ beta)) (\\ alpha \\ beta) + cos (\\ \\ \\ \\ Beta)) \u003d `\\ \\ frac (tg \\ \\ alpha + tg \\ \\ beta) (ctg \\ \\ alpha + ctg \\ \\ beta)`
`CTG \\ alpha \\ ctg \\ \\ beta \u003d` `\\ frac (cos (\\ alpha - \\ beta) + cos (\\ Alpha + \\ Beta)) (\\ Alpha \\ Beta)) (\\ Alpha - \\ Beta) -COS (\\ Alpha + \\ Beta)) \u003d `\\ \\ frac (ctg \\ \\ alpha + ctg \\ \\ beta) (tg \\ \\ alpha + tg \\ \\ beta)
`Tg \\ \\ alpha \\ ctg \\ \\ beta \u003d` `\\ frac (SIN (\\ Alpha - \\ Beta) + SIN (\\ ALPHA + \\ BETA)) (SIN (\\ Alpha + \\ Beta) -sin (\\ Alpha - \\ beta))

Οικουμενική τριγωνομετρική υποκατάσταση

Αυτοί οι τύποι εκφράζουν τριγωνομετρικές λειτουργίες μέσα από μισή εφαπτομένη γωνία.
`Sin \\ \\ \\ alpha \u003d \\ frac (2TG \\ Frac (2)) (1 + Tg ^ (2) \\ Frac (\\ Alpha) (2)),` + \\ alpha \\ ne + +2 \\ Pi n, n \\ in z`
`Cos \\ \\ \\ alpha \u003d \\ frac (1 - tg ^ (2) \\ frac (\\ άλφα) (2)) (1 + tg ^ (2) \\ frac (\\ alpha) (2)),` \\ \\ alpha \\ Ne \\ pi +2 \\ pi n, n \\ in z`
`Tg \\ alpha \u003d \\ frac (2TG \\ frac (\\ άλφα) (2)) (1 - tg ^ (2) \\ frac (\\ άλφα) (2)),` \\ \\ alpha \\ ne \\ pi +2 \\ pi n, n \\ in z, `` \\ alpha \\ ne \\ frac (\\ pi) (2) + \\ pi n, n \\ in z`
`CTG \\ alpha \u003d \\ frac (1 - tg ^ (2) \\ frac (\\ alpha) (2)) (2TG \\ frac (\\ άλφα) (2)),` `\\ alpha \\ ne \\ pi n, n, n, n, n, n, n, n, \\ in z, `\\ alpha \\ ne \\ pi + 2 \\ pi n, n \\ in z`

Τύποι του cast

Οι προκύπτουσες τύποι μπορούν να ληφθούν χρησιμοποιώντας τέτοιες ιδιότητες των τριγωνομετρικών λειτουργιών, ως συχνότητα, συμμετρία, ιδιότητα μετατόπισης για τη γωνία. Επιτρέπουν τις λειτουργίες μιας αυθαίρετης γωνίας να μετατραπεί στη λειτουργία, η γωνία του οποίου βρίσκεται στο όριο μεταξύ 0 και 90 μοίρες.

Για γωνία (`\\ frac (\\ pi) 2 \\ pm \\ alpha`) ή (` 90 ^ \\ circ \\ pm \\ alpha`):
`Sin (\\ frac (\\ pi) 2 - \\ alpha) \u003d cos \\ \\ alpha;` `Sin (\\ frac (\\ pi) 2 + \\ alpha) \u003d cos \\ \\ \\ alpha`
`Cos (\\ frac (\\ pi) 2 - \\ alpha) \u003d sin \\ \\ alpha;` `cos (\\ frac (\\ pi) 2 + \\ alpha) \u003d - sin \\ \\ alpha`
`Tg (\\ frac (\\ pi) 2 - \\ alpha) \u003d ctg \\ \\ alpha;` `tg (\\ frac (\\ pi) 2 + \\ alpha) \u003d - ctg \\ \\ \\ \\ \\ \\ alpha`
`CTG (\\ frac (\\ pi) 2 - \\ alpha) \u003d tg \\ \\ alpha;` `CTG (\\ frac (\\ pi) 2 + \\ alpha) \u003d - tg \\ \\ alpha`
Για γωνία (`\\ pi \\ pm \\ alpha`) ή (` 180 ^ \\ circ \\ pm \\ alpha`):
`Sin (\\ pi - alpha) \u003d sin \\ \\ alpha;` `Sin (\\ pi + \\ alpha) \u003d - SIN \\ \\ Alpha`
`Cos (\\ pi - \\ alpha) \u003d - cos \\ \\ alpha;` `cos (\\ pi + \\ alpha) \u003d - cos \\ \\ alpha`
`Tg (\\ pi - alpha) \u003d - tg \\ \\ alpha;` `tg (\\ pi + \\ alpha) \u003d tg \\ \\ alpha`
`CTG (\\ pi - \\ alpha) \u003d - ctg \\ \\ alpha;` `ctg (\\ pi + \\ alpha) \u003d ctg \\ \\ \\ \\ \\ \\ alpha`
Για γωνία (`\\ frac (3 \\ pi) 2 \\ pm \\ alpha`) ή (` 270 ^ \\ cirg \\ pm \\ alpha`):
`Sin (\\ frac (3 \\ pi) 2 - \\ alpha) \u003d - cos \\ \\ alpha;` `sin (\\ frac (3 \\ pi) 2 + \\ alpha) \u003d - cos \\ \\ \\ alpha`
`Cos (\\ frac (3 \\ pi) 2 - \\ alpha) \u003d - SIN \\ \\ \\ alpha;` `cos (\\ frac (3 \\ pi) 2 + \\ alpha) \u003d sin \\ \\ alpha`
`Tg (\\ frac (3 \\ pi) 2 - \\ alpha) \u003d ctg \\ \\ alpha;` `tg (\\ frac (3 \\ pi) 2 + \\ alpha) \u003d - ctg \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ alpha`
`CTG (\\ frac (3 \\ pi) 2 - \\ alpha) \u003d tg \\ \\ alpha;` `` CTG (\\ frac (3 \\ pi) 2 + \\ alpha) \u003d - tg \\ \\ alpha`
Για γωνία (`2 \\ pi \\ pm \\ alpha`) ή (` 360 ^ \\ circ \\ pm \\ alpha`):
`Sin (2 \\ pi - \\ alpha) \u003d - αμαρτία \\ \\ \\ alpha;` `Sin (2 \\ pi + \\ alpha) \u003d sin \\ \\ alpha`
`Cos (2 \\ pi - \\ alpha) \u003d cos \\ \\ alpha;` `cos (2 \\ pi + \\ alpha) \u003d cos \\ \\ alpha`
`Tg (2 \\ pi - \\ alpha) \u003d - tg \\ \\ alpha;` `tg (2 \\ pi + \\ alpha) \u003d tg \\ \\ \\ alpha`
`CTG (2 \\ pi - alpha) \u003d - ctg \\ \\ \\ alpha;` `` CTG (2 \\ pi + \\ alpha) \u003d ctg \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ alpha`

Έκφραση μιας τριγωνομετρικής λειτουργίας μέσω άλλων

`Sin \\ \\ alpha \u003d \\ pm \\ sqrt (1-cos ^ 2 \\ alpha) \u003d` `\\ frac (tg \\ \\ \\ alpha) (\\ pm \\ sqrt (1 + tg ^ 2 \\ alpha)) \u003d \\ frac 1 (\\ Pm \\ sqrt (1 + ctg ^ 2 \\ άλφα)) `
`Cos \\ \\ \\ alpha \u003d \\ pm \\ sqrt (1-sin ^ 2 \\ alpha) \u003d` `\\ frac 1 (\\ pm \\ sqrt (1 + tg ^ 2 \\ alpha)) \u003d \\ Frac (CTG \\ \\ \\ alpha) (\\ Pm \\ sqrt (1 + ctg ^ 2 \\ άλφα)) `
`Tg \\ \\ alpha \u003d \\ frac (sin \\ \\ alpha) (\\ pm \\ sqrt (1-sin ^ 2 \\ alpha)) \u003d` `\\ frac (\\ pm \\ sqrt (1-cos ^ 2 \\ alpha)) (Cos \\ \\ alpha) \u003d \\ frac 1 (ctg \\ \\ alpha) `
`CTG \\ alpha \u003d \\ frac (\\ pm \\ sqrt (1-sin \\ \\ alpha)) (sin \\ \\ \\ \\ alpha) \u003d` `\\ frac (cos \\ \\ \\ alpha) (\\ pm \\ sqrt (\\ pm \\ sqrt (1-cos ^ 2 \\ alpha)) \u003d \\ frac 1 (tg \\ \\ alpha) `

Η τριγωνομετρία μεταφράζεται κυριολεκτικά ως "η μέτρηση των τριγώνων". Αρχίζει να σπουδάζει στο σχολείο και συνεχίζει λεπτομερέστερα στα πανεπιστήμια. Επομένως, οι βασικοί τύποι για την τριγωνομετρία χρειάζονται, ξεκινώντας από την 10η τάξη, καθώς και για τη διέλευση της χρήσης. Δηλώνουν συνδέσμους μεταξύ των λειτουργιών και αφού αυτές οι συνδέσεις είναι πολλές, τότε οι περισσότεροι τύποι είναι πολύ. Δεν είναι εύκολο να θυμηθείτε και δεν είναι απαραίτητο - εάν είναι απαραίτητο, όλα μπορούν να περιγραφούν.

Οι τριγωνομετρικοί τύποι εφαρμόζονται σε ενσωματωμένους όρους, καθώς και τριγωνομετρικές απλουστεύσεις, υπολογισμούς, μετασχηματισμοί.