Уравнение sin x \u003d a. Формули Тригонометрия I група. Основни идентичности

В тригонометрията много формули са по-лесни за изтегляне, отколкото за шофиране. Cosuine Dual ъгъл - прекрасна формула! Тя ви позволява да получите формулите за понижаване на степента и формулата на половин ъгъл.

Така че, ние се нуждаем от двойна косинус и тригонометрична единица:

Те са дори сходни: в косинусовата формула на двоен ъгъл - разликата на квадратите на косинус и синус, и в тригонометрична единица - тяхната сума. Ако изразя косинус от тригонометричната единица:

и за да го замени в косинуса на двоен ъгъл, ще получим:

Това е друга двойна ъглови косинусна формула:

Тази формула е ключът към получаване на формула за намаляване на степента:

Така че, формулата за намаляване на степента на синуса:

Ако alpha ъгълът е заменен в половин ъгъл на алфа на половина и два пъти ъгъла на два алфа - под ъгъла на алфа, тогава получаваме формула от половин ъгъл за синус:

Сега, от тригонометричната единица, ще изразим синус:

Ние ще заменим този израз в формулата за косинус с двойна ъгъл:

Получи друга косинусна формула на двоен ъгъл:

Тази формула е ключът към намирането на формула за намаляване на степента на косинус и половин ъгъл за косинус.

По този начин, формулата за намаляване на степента на косинус:

Ако е заменен с α на α / 2 и 2α - върху α, тогава получаваме формула на половин аргумент за косинус:

Тъй като допирател е синусово отношение към косинус тази формула за допирателна:

Котангени - отношението на косина към синуса. Ето защо, формулата за котянс:

Разбира се, в процеса на опростяване на тригонометричните изрази на формулата от половин ъгъл или намаляване на степента, няма смисъл всеки път да се извежда. Много по-лесно е да се постави листа с формули. И опростяването ще се движи по-бързо и визуалната памет ще се включи за запаметяване.

Но няколко пъти за премахване на тези формули все още струва. Тогава ще бъдете абсолютно сигурни, че на изпита, когато няма възможност да използвате яслите, лесно можете да ги получите, ако е необходимо.

| BD | - дължината на дъгата на кръга с центъра в точката a.
α - ъгъл, изразен в радиани.

Допирателна ( tg α.) - това е тригонометрична функция в зависимост от ъгъла α между хипотената и катето на правоъгълния триъгълник, равен на съотношението на дължината на противоположната категория | BC | до дължината на съседната категория | ab | .
Котнец ( cTG α.) е тригонометрична функция, в зависимост от ъгъла α между хипотената и катереца от рибел триъгълник, равна на съотношението на дължината на съседната категория | ab | до дължината на противоположната категория | BC | .

Допирателна

Където н. - цяло.

В западната литература, допирателната е определена като:
.
;
;
.

Тангентна функционална графика, y \u003d tg x

CONANGENT.

Където н. - цяло.

В западната литература Kothanns се посочва, както следва:
.
Взема се и следната нотация:
;
;
.

Функция за котане, Y \u003d CTG X

Свойства на допирателната и котнеза

Периодичност

Функции y \u003d. tG X. и y \u003d. cTG X. Периодично с период π.

Паритет

Функциите на допирателните и котангените са странни.

Области на дефиниция и ценности, увеличаване, намаляване

Функциите на допирателните и котангените са непрекъснати в областта на дефиницията (виж доказателство за непрекъснатост). Основните свойства на допирателната и котнец са представени в таблицата ( н. - цяло).

	y \u003d. tG X.	y \u003d. cTG X.
Дефиниция и зона за непрекъснатост
Регион на ценностите	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
Възходящ		-
Разоръжаване	-
Крайности	-	-
Zeros, y \u003d 0
Точка на пресичане с ордена ос, x \u003d 0	y \u003d. 0	-

Формул

Изрази чрез синус и косинус

; ;
; ;
;

Допирателни и котанови формули от сумата и разликата

Останалите формули са лесни за получаване, например

Работа допирателна

Формулата на сумата и разликата в допустимите

Тази таблица представя ценностите на допирателите и катастрофата при някои ценности на аргумента.

Интегрирани изрази

Изрази чрез хиперболични функции

;
;

Деривати

; .

.
N-та поръчка по променлива x от функция:
.
Изходни формули за допирателна \u003e\u003e\u003e; За COTANZA \u003e\u003e\u003e.

Интеграли

Разлагане в редиците

За да получите разлагане на допирателни в градуси X, трябва да вземете няколко членове на разпадане в захранващ ред за функции sIN X. и cos X. И разделят тези полиноми един на друг ,. В този случай се получават следните формули.

В.

в.
Където Б. - Членове Бернули. Те се определят или от рецидивираното съотношение:
;
;
където.
Или до формула Laplace:

Обратните функции

Обратните функции за допирателни и котангент са съответно Арктанис и котаногенност.

Arctgennes, ARCTG.

където н. - цяло.

Arkkothangenes, Arcctg.

където н. - цяло.

Препратки:
I.N. Bronstein, K.A. Полудиаев, справочник по математика за инженери и студенти от страна на присъстващите, "LAN", 2009.
Korn, математическа директория за учени и инженери, 2012.

Вижте също:

Формули в тригонометрията много.

Помнете, че са механично много трудни, почти невъзможни. В клас, много ученици и ученици се радват на отпечатъци на крава от учебници и преносими компютри, плакати по стените, яслите, накрая. И как да бъдем на изпита?

Въпреки това, ако погледнете тези формули, ще откриете, че всички те са взаимосвързани и имат определена симетрия. Нека ги анализираме, като се вземат предвид дефинициите и свойствата на тригонометричните функции, за да определим минимума, който наистина си струва да се учи на сърце.

I група. Основни идентичности

sIN 2 α + COS 2 α \u003d 1;

tgα \u003d. ____ sinα cosa; Ctgα \u003d. ____ cosa sinα. ;

tga · ctgα \u003d 1;

1 + TG 2 α \u003d _____ 1 cos 2 α; 1 + CTG 2 α \u003d _____ 1 SIN 2 Α.

Тази група съдържа най-простите и най-популярните формули. Повечето ученици ги познават. Но ако все още има трудности, тогава да помните първите три формула, психически си представете правоъгълен триъгълник с хипотеяклеар. Тогава неговите карти ще бъдат равни, съответно, SINRA, за да се определи синуса (съотношението на противоположния катахер към хипотенуза) и Cosa, за да се определи косинус (съотношението на съседния катеш за хипотенуза).

Първата формула е теоремата Pythagoras за такъв триъгълник - сумата на квадратите на катетите е равна на квадрата на хипотенузата (1 2 \u003d 1), втората и третата е определенията на допирателната (съотношението на. \\ T противоположна категория до съседство) и катанген (съотношението на съседната категория към обратното).
Работата на допирателната върху котангените е 1, защото катастрофата, записана под формата на фракция (формула трета), е обърната допирателна (втора формула). Последното внимание, между другото, дава възможност измежду формулите, че е необходимо да се запомнят всички последващи формули с котангент. Ако отговаряте на CTGα във всяка трудна задача, просто го заменете с фракция ___ 1 tgα. И използвайте формулите за допирателна.

Последните две формули не могат да бъдат запомнени. Те са по-рядко срещани. И ако имате нужда, винаги можете да ги оттеглите по проекта. За да направите това, е достатъчно да заменим вместо допирателна или контакт на тяхната дефиниция след фракция (формула два и трета, съответно) и да доведете израз на общия знаменател. Но е важно да се помни, че такива формули, които свързват квадратите на допирателната и косинуса, и корабите на котяните и синусите съществуват. В противен случай не можете да познаете кои преобразувания са необходими за решаване на конкретна задача.

II група. Допълнение към формулите

sIN (α + β) \u003d sina · козик + cosa · sinβ;

sIN (α - β) \u003d sina · COSP - COSA · SIN р;

cOS (α + β) \u003d Cosa · COSP - SINS · SIN р;

cOS (α - β) \u003d Cosa · COSP + SINI · SIN р;

tg (α + β) \u003d Tgα + tgp _________ 1 - tga · tgp;

tg (α - β) \u003d

Припомнете точността на паритета / странността на тригонометричните функции:

sIN (-α) \u003d - SIN (α); cos (-α) \u003d cos (α); Tg (-α) \u003d - tg (α).

От всички тригонометрични функции, само косинусът е дори функция и не променя знака си, когато променя знака на аргумента (ъгъл), останалите функции са странни. Всъщност точността на функцията означава, че знакът за минус може да бъде направен и изважда функционалния знак. Ето защо, ако срещнете тригонометричен израз с разлика от два ъгъла, винаги можете да го разберете като сума от положителни и отрицателни ъгли.

Например, грях ( х. - 30º) \u003d грях ( х. + (-30º)).
След това използваме формулата на два ъгъла и се занимаваме със знаци:
грях ( х. + (-30º)) \u003d грях х.· Cos (-30º) + cos х.· SIN (-30º) \u003d
\u003d Греха х.· Cos30º - cos х.· SIN30º.

По този начин всички формули, съдържащи разликата в ъглите, могат просто да бъдат пропуснати при първото запаметяване. Тогава трябва да се научите да ги възстановите като цяло, първо в проекта и след това психически.

Например, tg (α - β) \u003d tg (α + (-р)) \u003d Tgα + tg (-β) ___________ 1 - tga · tg (-р) = Tgα - tgp _________ 1 + tga · tgp.

Това ще помогне за по-бързо по-бързо да се отгатне кои трансформации трябва да бъдат приложени за решаване на задача на тригонометрията.

SH група. Формули на множество аргументи

sin2a \u003d 2 · sina · cosa;

cos2a \u003d cos 2 α - sin 2 α;

tg2α \u003d. 2TGa _______ 1 - TG2 α;

sIN3a \u003d 3SINA - 4SIN 3 α;

cOS3a \u003d 4COS 3 α - 3COSa.

Необходимостта от използване на формули за синуса и косинус на двоен ъгъл се среща много често, за допирателна. Тези формули трябва да бъдат известни на сърце. Освен това в тях няма затруднения. Първо, формулите са кратки. Второ, те лесно се контролират от формулите на предишната група, базирана на факта, че 2α \u003d α + α.
Например:
SIN (α + β) \u003d sina · козик + cosa · sinβ;
SIN (α + α) \u003d sina · cosa + cosa · sinα;
SIN2a \u003d 2SINA · COSA.

Въпреки това, ако сте научили тези формули по-бързо, а не предишните, тогава можете да действате напротив: да запомните формулата за сумата от два ъгъла по съответната формула за двоен ъгъл.

Например, ако имате нужда от косинус формула на сумата от два ъгъла:
1) Помнете двойната косинусна формула: cos2. х. \u003d Cos 2. х. - SIN 2. х.;
2) Ние го нарисуваме дълго: cos ( х. + х.) \u003d Cos. х.· Защото. х. - Син х.· Греш х.;
3) замени един х. На α, втората на β: cOS (α + β) \u003d Cosa · КОСП - Синфа · SIN р.

Повторете по същия начин, за да възстановите формулите за сумата и допирателната сума. В отговорните случаи, като например EGE, проверете точността на намалените формули върху добре познатото първото тримесечие: 0º, 30º, 45º, 60º, 90º.

Проверка на предишната формула (получена чрез замяна в ред 3):
нека бъде α \u003d 60 °, β \u003d 30 °, α + β \u003d 90 °,
тогава cOS (α + β) \u003d cos90 ° \u003d 0, cosa \u003d cos60 ° \u003d 1/2, cosp \u003d cos30 ° \u003d √3 _ / 2, sinα \u003d sin60 ° \u003d √3 _ / 2, sinβ \u003d sin30 ° \u003d 1/2;
Заместваме стойностите във формулата: 0 \u003d (1/2) · ( √3_ /2) − (√3_ / 2) · (1/2);
0 ≡ 0, грешките не са открити.

Формули за троен ъгъл, по мое мнение, не е необходимо за "инструмент". Те рядко се намират при изпитите на ЕГГ. Те лесно се получават от формулите, които са били по-високи, защото sin3a \u003d sin (2α + α). И онези студенти, които по някаква причина все още трябва да научат тези формули наизуст, съветвам ви да обърнете внимание на тяхната "симетрия" и да не си спомните самите формули, а мнемонични правила. Например редът, в който числата са разположени в две формули "33433433" и др.

IV група. Сума / разлика -

sinα + sinβ \u003d 2 · грях α + β ____ 2· Защото. α - β ____ 2 ;

sinα - sinβ \u003d 2 · грях α - β ____ 2· Защото. α + β ____ 2 ;

cosa + Cosp \u003d 2 · cos α + β ____ 2· Защото. α - β ____ 2 ;

cosa - COSP \u003d -2 · грях α - β ____ 2· Греш α + β ____ 2 ;

tgα + tgβ \u003d sIN (α + β) ________ Cosa · КОСП ;

tgα - tgβ \u003d sIN (α - β) ________ Cosa · КОСП .

Използване на точността на функциите на синуса и допирателната: sIN (-α) \u003d - SIN (α); Tg (-α) \u003d - tg (α),
Можете да формулите за разликите в две функции за намаляване на формулите за техните суми. Например,

sin90º - sin30º \u003d sin90º + sin (-30º) \u003d 2 · грях 90º + (-30º) __________ 2· Защото. 90º - (-30º) __________ 2 =

2 · SIN30º · COS60º \u003d 2 · (1/2) · (1/2) \u003d 1/2.

Така формулите на разликата в синусите и допирателите не непременно незабавно запомнят.
С сумата и разликата в косинуса ситуацията е по-сложна. Тези формули не са взаимозаменяеми. Но отново, използвайки паритета на косинуса, можете да запомните следните правила.

Количеството на Cosa + Cosp не може да промени знака си за всякакви промени в признаците на ъглите, така че продуктът трябва да се състои и от дори функции, т.е. Два косина.

Знакът за разлика в COSA - COSAL зависи от стойностите на самите функции, което означава, че работната марка трябва да зависи от корелацията на ъглите, така че продуктът трябва да се състои от нечетни функции, т.е. два сила.

Въпреки това тази група формули не е най-лесният за запомняне. Такъв е случаят, когато е по-добре да се изострят, но повече чек. За да предотвратите грешките във формулата в даден изпит, не забравяйте да я запишете първо върху проекта и проверете по два начина. Първи замествания β \u003d α и β \u003d -α, след това чрез известни стойности на функции за прости ъгли. За да направите това, най-добре е да се вземат 90º и 30º, както е направено в примера по-горе, защото полу-диетата и утайката от тези ценности, отново дават прости ъгли и лесно можете да видите как равенството става самоличност правилната опция. Или, напротив, не е изпълнено, ако грешите.

Примерпроверки на формулата Cosa - COS \u003d 2 · грях α - β ____ 2· Греш α + β ____ 2 За разликата в косиньовете с грешка !

1) Нека β \u003d α, след това cosa-cosa \u003d 2 · греха α - α _____ 2· Греш α + α _____ 2 \u003d 2SIN0 · SINΑ \u003d 0 · SINΑ \u003d 0. COSA-COSA ≡ 0.

2) Нека β \u003d - α, след това cosa - cos (- α) \u003d 2 · грях α - (-α) _______ 2· Греш α + (-α) _______ 2 \u003d 2sina · sin0 \u003d 0 · sinα \u003d 0. cosa - cos (- α) \u003d cosa-cosa ≡ 0.

Тези проверки показват, че функциите във формулата се използват правилно, но поради факта, че идентичността е получила тип 0 ≡ 0, грешка със знак или коефициент може да бъде пропуснат. Ние правим трета проверка.

3) Нека α \u003d 90º, β \u003d 30 °, след това cos90º - cos30º \u003d 2 · грях 90º - 30º ________ 2· Греш 90º + 30º ________ 2 \u003d 2sin30º · SIN60º \u003d 2 · (1/2) · (·3 _ /2) = √3_ /2.

cos90 - cos30 \u003d 0 - √3 _ /2 = −√3_ /2 ≠ √3_ /2.

Грешката беше наистина в знака и само в знака преди работата.

V Band. Работа - в сумата / разликата

sina · sinβ \u003d 1 _ 2 · (COS (α - β) - COS (α + р));

cosa · Cosp \u003d 1 _ 2 · (Cos (α - β) + cos (α + β));

sINΑ · КОСП \u003d 1 _ 2 · (SIN (α - β) + sin (α + β)).

Името на петата група на самата формули предполага, че тези формули са обратни по отношение на предишната група. Ясно е, че в този случай е по-лесно да се възстанови формулата върху проекта, отколкото да се научи отново, увеличаване на риска от създаване на "овесена каша в главата". Единственото нещо, което има смисъл да се фокусира за по-бързо възстановяване на формулата, това са следните равенства (проверете ги):

α = α + β ____ 2 + α - β ____ 2; β = α + β ____ 2 − α - β ____ 2.

Обмисли пример: трябва да конвертирате SIN5 х.· COS3. х. в сумата от две тригонометрични функции.
Тъй като работата включва синус, и косинус, тогава ние вземаме от предишната група формулата за количеството синусите, което вече е било научено и го напише по проекта.

sinα + sinβ \u003d 2 · грях α + β ____ 2· Защото. α - β ____ 2

Нека 5. х. = α + β ____ 2 и 3. х. = α - β ____ 2 , след това α \u003d α + β ____ 2 + α - β ____ 2 = 5х. + 3х. = 8х., β = α + β ____ 2 − α - β ____ 2 = 5х. − 3х. = 2х..

Ние сменим във формулата върху проекта на стойностите на ъглите, изразени през променливите α и β, върху стойностите на ъглите, изразени през променливата х..
Получаване sin8. х. + SIN2. х. \u003d 2 · sin5 х.· COS3. х.

Разделяме двете част от справедливостта за 2 и го напишете на финала отдясно sIN5. х.· COS3. х. = 1 _ 2 (SIN8. х. + SIN2. х.). Отговорът е готов.

Като упражнение: Обяснете защо в формулата за учебник за трансформиране на количеството / разликата в работата на 6 и обратна (за превръщане на продукт в сума или разлика) - само 3?

VI Group. Формули за намаляване на степента

cos 2 α \u003d 1 + cos2α _________ 2;

sIN 2 α \u003d 1 - COS2a _________ 2;

cos 3 α \u003d 3cosa + cos3α ____________ 4;

sIN 3 α \u003d 3SINA - SIN3α ____________ 4.

Първите две формули от тази група са много необходими. Често се използва в решаването на тригонометрични уравнения, включително нивото на един изпит, както и при изчисляване на интегралите, съдържащи елементарните функции на тригонометричен тип.

Може да е по-лесно да ги запомните в следната форма "едноетажна" форма
2 α \u003d 1 + cos2α;
2 sin 2 α \u003d 1 - cos2α,
И винаги можете да се разделяте на 2 или в проекта.

Необходимостта от използване на следните две формули (с кубчета функции) на изпитите е много по-рядко. В друга настройка винаги ще имате време да използвате проекта. Възможни са следните опции:
1) Ако си спомняте последните две формули на групата III, след това ги използвайте, за да експресирате SIN 3 α и cos 3 α чрез прости трансформации.
2) Ако в последните две формули на тази група забелязахте елементите на симетрията, които допринасят за тяхното запаметяване, след това запишете скиците на формулите върху проекта и ги проверявайте по ценностите на основните ъгли.
3) Ако освен това съществуват формули за намаляване на степента, вие не знаете нищо за тях, след което решавате проблема на етапите, въз основа на факта, че греха 3 α \u003d sin 2 α α · синте и други научени формули. Формули за намаляване на степента за площада и формулата за трансформация на работата в сумата.

VII група. Половин аргумент

греха. α _ 2. = ± √ 1 - Cosa ________ 2;_____

защото. α _ 2. = ± √ 1 + Cosa ________ 2;_____

tG. α _ 2. = ± √ 1 - Cosa ________ 1 + Cosa._____

Не виждам точката в запаметяването на сърцето на тази група формули във формата, в която са представени в учебници и справочници. Ако го разбирате α е половината от 2а, Това е достатъчно, за да се извлече бързо желаната формула на половин аргумента, базирана на първите две формули, за да се намали степента.

Това важи и за половин ъгъл, формулата за която се получава чрез разделяне на експресията за синуса към съответния израз за косинус.

Не забравяйте само когато извадите квадратния корен, за да поставите знак ± .

VIII група. Универсално заместване

sinα \u003d 2tg (α / 2) _________ 1 + Tg2 (а / 2);

cosa \u003d. 1 - Tg2 (α / 2) __________ 1 + Tg2 (а / 2);

tgα \u003d. 2TG (α / 2) _________ 1 - Tg2 (α / 2).

Тези формули могат да бъдат изключително полезни за решаване на тригонометрични задачи на всички видове. Те ви позволяват да осъзнаете принципа на "един аргумент е една функция", която ви позволява да замените променливите, които намаляват сложните тригонометрични изрази на алгебрично. Нищо чудно, че това заместване се нарича универсално.
Първите две формули, които научават. Третата може да бъде получена чрез разделяне на първите две един на друг по дефиниция на tgα tangent \u003d sinα ___ cosa.

IX Group. Формули за претенция.

Да се \u200b\u200bсправят с тази група тригонометрични формули, FIE

X Group. Стойности за основните ъгли.

Дадени са стойностите на тригонометричните функции за основните ъгли на първото тримесечие.

Така че, го направи изход: Формули Тригонометрията трябва да знае. Колкото по-голям, толкова по-добре. Но какво да прекарате времето и усилията си - да запомните формулите или върху тяхното възстановяване в процеса на решаване на задачи, всеки трябва да реши независимо.

Пример за задачата за използване на формули за тригонометрия

Решаване на уравнение sIN5. х.· COS3. х. - SIN8. х.· COS6. х. = 0.

Имаме две различни функции sin () и cos () и четири! Различни аргументи 5. х., 3х., 8х. и 6. х.. Без предварителни трансформации, няма да е възможно да се намалят най-простите видове тригонометрични уравнения. Затова първо се опитваме да заменим работата по сумите или разликата в функциите.
Правим го по същия начин, както в горния пример (вж. Раздел).

греха (5. х. + 3х.) + SIN (5 х. − 3х.) \u003d 2 · sin5 х.· COS3. х.
sin8. х. + SIN2. х. \u003d 2 · sin5 х.· COS3. х.

греха (8. х. + 6х.) + SIN (8 х. − 6х.) \u003d 2 · SIN8 х.· COS6. х.
Sin14. х. + SIN2. х. \u003d 2 · SIN8 х.· COS6. х.

Изразяване на работата от тези равенства, ние ги заменяме с уравнението. Получаваме:

(SIN8. х. + SIN2. х.) / 2 - (sin14 х. + SIN2. х.)/2 = 0.

Умножаваме 2 от двете части на уравнението, разкриваме скоби и дават такива членове

Sin8. х. + SIN2. х. - SIN14. х. - SIN2. х. = 0;
sin8. х. - SIN14. х. = 0.

Уравнението е опростено значително, но за да го реши така sin8 х. \u003d Sin14. х.следователно 8. х. = 14х. + T, където t - периодът е неправилен, тъй като не знаем стойността на този период. Ето защо, ние използваме това в дясната част на равенството си струва 0, с което е лесно да се сравнят множествата във всеки израз.
Да се \u200b\u200bразложи Син8. х. - SIN14. х. За мултипликатори трябва да отидете от разликата в работата. За да направите това, можете да използвате формулата за синус разлика или отново сумата на синусите и странността на синусната функция (виж пример в раздела).

sin8. х. - SIN14. х. \u003d Sin8. х. + SIN (-14 х.) \u003d 2 · грях 8х. + (−14х.) __________ 2 · Защото. 8х. − (−14х.) __________ 2 \u003d sin (-3 х.) · COS11. х. \u003d -Sin3. х.· COS11. х..

Така, уравнение sin8 х. - SIN14. х. \u003d 0 е еквивалентно на уравнението на SIN3 х.· COS11. х. \u003d 0, което от своя страна е еквивалентно на комбинацията от два прости SIN3 уравнения х. \u003d 0 и cos11 х. \u003d 0. Решаването на последното, получаваме две серии от отговори
х. 1 \u003d π. н./3, н.εz.
х. 2 \u003d π / 22 + π к./11, к.εz.

Ако сте открили грешка или типична в текста, моля, уведомете го на имейл адреса [Защитен имейл] . Аз ще бъда много благодарен.

Задачата.
Намерете стойността на x на.

Решение.
Намерете стойността на функцията на функцията, на която е равна на всяка стойност означава да се определи при какви аргументи размерът на синуса ще бъде точно както е посочено в състоянието.
В този случай трябва да разберем при какви ценности стойността на синусите ще бъде 1/2. Това може да се направи по няколко начина.
Например, за да се използва, за да се определи при какви стойности x синусовата функция ще бъде 1/2.
Друг начин е да се използва. Позволете ми да ви напомня, че ценностите на синусите лежат на оста на OU.
Най-често срещаният начин е да се хареса, особено ако говорим за стойностите на такива стандартни функции като 1/2.
Във всички случаи не трябва да забравяте за една от най-важните свойства на синуса - за неговия период.
Намерете в таблицата стойност 1/2 за синуса и нека да видим какви аргументи съответства на него. Аргументите, които ви интересуват, са PI / 6 и 5P / 6.
Пишем всички корени, които отговарят на определеното уравнение. За да направите това, пишете ни неизвестния аргумент и една от стойностите на аргумента, получени от таблицата, т.е. пишата му, като се има предвид периода на синуса, всички ценности на Аргумент:

Вземете втората стойност и ние правим същите стъпки, както в предишния случай:

Пълното решение на уравнението на източника ще бъде:
и
q. Може да приеме стойността на всяко цяло число.

На тази страница ще намерите всички основни тригонометрични формули, които ще ви помогнат да решите много упражнения, значително опростяване на самия израз.

Тригонометрични формули - математическо равенство за тригонометрични функции, които се изпълняват с всички валидни стойности на аргумента.

Формулите се дават от отношенията между основните тригонометрични функции - синус, косинус, допирателна, котангент.

Синусът на ъгъла е координатната г на точката (ордината) на един кръг. Ъгъл Косинус е координатът x точка (абсциса).

Допирателни и котангени са съответно съотношението на синуса към косинус и обратно.
`sin alpha, cos alpha`
Alpha \u003d frac (sin alpha) (cos alpha), `alpha ne frac pi2 + pi n, z`
`Ctg alpha \u003d frac (cos alpha) (sin alpha),` alpla ne pi + pi n, n z`

И двете, които се използват по-рядко - сесии, Sosekans. Те означават съотношенията 1 на косинус и синус.

`sec alpha \u003d frac (1) (cos alpha),` alpha ne frac pi2 + pi n, \\ t
`Cosec alpha \u003d frac (1) (sin alpha),` '' alpha ne pi + pi n, в z`

От дефинициите на тригонометричните функции можете да видите кои признаци те имат във всяко тримесечие. Функцията на функцията зависи само от това коя от тримесечието е аргументът.

Когато аргументът се промени с "+" на "-", само косинусната функция не променя стойността си. Тя се нарича дори. Графиката му е симетрична за оста на ординатата.

Останалите функции (синус, допирателни, катастрофа) са странни. При промяна на знака на аргумента с "+" до "-" тяхното значение също се променя на негативния. Техните графики са симетрични в началото на координатите.

`sin (- alpha) \u003d - sin alpha`
`Cos (- alpha) \u003d cos alpha`
`Tg (- алфа) \u003d - tg alpha`
`Ctg (- алфа) \u003d - ctg alpha`

Основни тригонометрични идентичности

Основните тригонометрични идентичности са формули, които установяват комуникация между тригонометричните функции на един ъгъл (`sin alpha, cos alpha, tg alpha, ctg alpha) и които ви позволяват да намерите стойността на всяка от тези функции чрез всеки известен друг.
`sin ^ 2 alpha + cos ^ 2 alpha \u003d 1`
`Tg alpha cdot ctg alpha \u003d 1, alpa ne frac (pi n) 2, в z`
`1 + tg ^ 2 alpha \u003d frac 1 (cos ^ 2] \u003d sec ^ 2 алфа,` alpha ne frac pi2 + pi n, \\ t
`1 + ctg ^ 2 alpha \u003d frac 1 (sin ^ 2 алфа) \u003d cosec ^ 2 alpha,` alpla n n, \\ t

Формули на сумата и разликата на ъглите на тригонометричните функции

Формулите на добавяне и изваждане на аргументи изразяват тригонометричните функции на сумата или разликата в два ъгъла чрез тригонометричните функции на тези ъгли.
`sin (alpha + бета) \u003d` `sin alpha cos quice + cos alpha \\ t
`sin (алфа- бета) \u003d` `грех alpha cos ala-cos alpha sin \\ t
`Cos (alpha + бета) \u003d` cos alpha cos alpa \\ t
`Cos (алфа- бета) \u003d` cos alpha cos alphe alphe alphe \\ t
`Tg (алфа + бета) \u003d frac (tg alpha + tg бета) (1-tg alpha tg beta)
`Tg (алфа- бета) \u003d frac (tg alpha-tg бета) (1 + tg alpha tg beta)
`Ctg (алфа + бета) \u003d frac (ctg alpha ctg beta-1) (ctg beta + ctg alpha)
`CTG (алфа- бета) \u003d frac (ctg alpha ctg beta + 1) (ctg beta-ctg alpha)

Двойни ъглови формули.

`sin 2 alpha \u003d 2 sin alpha cos alpha \u003d` `frac (2 alpha) (1 + tg ^ 2] \u003d frac (2 ctg \\ t ) (1 + CTG ^ 2 алфа) \u003d `` `alpha + ctg alpha)
`защото ^ ^ alpha-sin ^ 2 alpha \u003d` `1-2 sin ^ 2 alpha \u003d 2 cos ^ 2 alpha-1 \u003d` `` Rac (1-tg ^ 2 алфа) (1 + tg ^ 2 алфа) \u003d FRAC (CTG ^ 2] алфа-1) (CTG ^ 2 алфа + 1) \u003d `` `\\ t (CTG alpha + tg alpha)
Alpha \u003d frac (2) (1-tg ^ 2 алфа) \u003d `` `\\ t (2) (2) (ctg ^ 2 алфа-1) \u003d` `Frac 2 (ctg alpha-tg alpha)
`Ctg alpha \u003d frac (ctg ^ 2 алфа-1) (2 ctg alpha) \u003d` `frac (ctg alpha-tg alpha) 2

Формули на тройния ъгъл

`sin 3 alpha \u003d 3 sin alpha-4sin ^ 3 alpha`
`защото alpha \u003d 4cos ^ 3 alpha-3 cos \\ t
`Tg alpha \u003d frac (3) alpha-tg ^ 3) (1-3 tg ^ 2 алфа)
`Ctg alpha \u003d frac (ctg ^ 3 алфа-3 ctg alpha) (3 ctg ^ 2 алфа-1)

Формули от половин ъгъл

`sin \\ _ sqrt (frac (1-cos alpha) 2)
`Cos \\ t pm sqrt (frac (1 + cos alpha) 2)
`Tg alp alpht (frac (1-cos] (1 + cos alpha)) \u003d` `frac (sin \\ t (1 + cos \\ t Alpha) \u003d Frac (1-Cos alpha) (SIN \\ t
`Ctg sqrt (frac (1 + cos alpha) (1-cos]) \u003d` `` "frac (sin] (1-cos \\ t Alpha) \u003d FRAC (1 + COS алфа) (SIN \\ t

Формулите на половината, двойните и тройните аргументи изразяват функциите "грях, защото", "frac (alpha) 2, 2 alpha, alpha, ...` ` ) чрез тези функции аргумент "алфа".

Заключението може да бъде получено от предишната група (добавяне и изваждане на аргументи). Например, двойната идентичност е лесна за получаване, замяна на "бета" на alpha`.

Формули за намаляване на степента

Квадратните формули (кубчета и др.) На тригонометрични функции ви позволяват да се преместите от 2.3, ... степен до тригонометрични функции от първа степен, но множество ъгли (alpha, 3 алфа, ... или " 2 alpha, ... 4 alpha, ... `).
`sin ^ 2 alpha \u003d frac (1-cos 2] 2,` `(sin ^ 2 frac alpha 2 \u003d frac (1-cos alpha) 2)
`cos ^ 2 alpha \u003d frac (1 + cos] 2,` `(cos ^ 2 frac alpha 2 \u003d frac (1 + cos alpha) 2)
`Sin ^ 3 alpha \u003d frac (3sin alpha-sin 3 alpha)
`cos ^ 3 alpha \u003d frac (3cos] alpha + cos \\ t
`sin ^ 4 alpha \u003d frac (3-4cos] alpha + cos 4 alpha)
`cos ^ 4 alpha \u003d frac (3 + 4cos] alpha + cos 4 apha) 8

Формули на сумата и разликата на тригонометричните функции

Формулите са трансформации на сумата и разликата на тригонометричните функции на различни аргументи в работата.

"грях] alpha + sin" bata \u003d `` 2 sin frac (алфа + бета) 2 cos \\ t (алфа) 2`
"грях] alpha-sin" bata \u003d `` 2 cos rat (alpha + beta) 2 sin \\ _ frac (алфа- бета) 2
`защото alpha + cos \\ t \u003d alp \\ _ alp \\ t
`защото alpha-cos` `-2 sin \\ _ frac (алфа + бета) 2 sin \\ t (алфа- бета) 2 \u003d` `2 sin \\ t Alpha + бета) 2 SIN RAC (бета- алфа) 2`
`Tg alpha pm (sin (alpha pm beta)) (cos alpha cos`
`Ctg alpha pm (грях)) (грях) (греха alpha sin, beta)
Alpha pm ctg beta \u003d `` pm (cos (alpha mp beta) (cos alpha sin \\ t

Тук е превръщането на добавянето и изваждането на функциите на един аргумент в работата.

`защото alpha + sin alpha \u003d sqrt (2) cos (frac (pi) 4- alpha)
alphe alpha-sin alpha \u003d sqrt (2) sin (frac (pi) 4- alpha)
`Tg alpha + ctg alpha \u003d 2 alpe alpha alpha \u003d -2 ctg \\ t

Следните формули превръщат количеството и разликата на единиците и тригонометричната функция в работата.

`1 + cos alpha \u003d 2 cos ^ 2 frac (алфа) 2`
`1-cos alpha \u003d 2 sin ^ 2 frac (алфа) 2`
`1 + sin alpha \u003d 2 cos ^ 2 (frac (pi) 4- \\ t frac (алфа) 2)
`1-sin alpha \u003d 2 sin ^ 2 (frac (pi) 4-, frac (алфа) 2)
`1 pm (sin (frac (pi) 4 pm] (cos \\ t \u003d pi) 4 cos alpha) \u003d` `frac (sqrt (sqrt (\\ t 2) sin (frac (pi) 4 pm алфа)) (cos alpha)
`1 pm alpha tg beta \u003d frac (cos (alpha mp beta))) Beta pm 1 \u003d frac (cos (alpha mp beta)) (SIN \\ _ alpha \\ t

Формули за конвертиране на функции

Формули за превръщане на продукта на тригонометрични функции с аргументите "алфа" и "бета" в сумата (разликата) на тези аргументи.
"грях" alpha sin \\ t бета \u003d `` frac (cos (алфа - бета) -Сос (алфа + бета))
`sin alpha cos bet` `frac (sin (алфа - бета) + sin (алфа + бета)) (2)
`cos alpha cos \\ t бета \u003d` `frac (cos (алфа - бета) + cos (алфа + бета)) (2) \\ t
`Tg alpha tg (cos (алфа - бета) -COs (алфа + бета)) (COS (алфа - бета) + cos (alpha + \\ t Beta)) \u003d `` alpha + tg бета) (ctg alpha + ctg beta)
`Ctg alpha ctg beta \u003d` `\\ t Beta)) \u003d `` frac (ctg alpha + ctg beta) (tg alpha + tg beta)
Alpha alpha ctg beta \u003d `` frac (sin (alpha - бета) + sin (алфа + бета) (sin (alpha + leta) -зин (алфа - \\ t Бета))

Универсално тригонометрично заместване

Тези формули експресират тригонометрични функции чрез половин ъгъл.
`sin alpha \u003d frac (2tg frac (алфа) (2)) (1 + tg ^ (2) frac (алфа) (2)),` `alpha ne pi +2 Pi n, n z`
alpha \u003d frac (1 - tg ^ (2) frac (алфа) (2)) (1 + tg ^ (2) frac (алфа) (2)), `` `alpha N n, n z`
`Tg alpha \u003d frac (2tg frac (алфа) (2)) (1 - tg ^ (2) frac (алфа) (2)),` `alpha ne pi +2 \\ t pi n, n z, `'' alpha ne frac (2) + pi n, n z`
`Ctg alpha \u003d frac (1 - tg ^ (2) frac (alpha) (2)) (2tg frac (алфа) (2)),` `alpha n n, n, n z, `alpha ne pi + 2 pi n, n z`

Формули на ролите

Получените формули могат да бъдат получени, като се използват такива свойства на тригонометричните функции, като честота, симетрия, смяна на собственост за ъгъла. Те позволяват функциите на произволен ъгъл да се преобразуват във функцията, чийто ъгъл е в границата между 0 и 90 градуса.

За ъгъл (`frac (pi) 2 pm alpha") или (90 ^ cirm pm alpha "):
`sin (frac (pi) 2 - alpha) \u003d cos alpha;` `sin (frac (pi) 2 + алфа) \u003d cos \\ t
`Cos (frac (pi) 2 - alpha) \u003d sin alpha;` cos (frac (pi) 2 + алфа) \u003d - sin \\ t
`Tg (frac (pi) 2 - alpha) \u003d ctg alpha;` tg (frac (pi) 2 + алфа) \u003d - ctg alpha`
`Ctg (frac (pi) 2 - alpha) \u003d tg alpha;` ctg (frac (pi) 2 + алфа) \u003d - tg \\ t
За ъгъл (`pi pm alpha) или (` 180 ^ cirm alpha):
`sin (pi - alpha) \u003d грях" грях (pi + alpha) \u003d - sin \\ t
`Защото (pi - alpha) \u003d - cos alpha;` cos (pi + alpha) \u003d - cos alpha`
`Tg (pi - alpha) \u003d - tg alpha;` tg (pi + alpha) \u003d tg alpha`
`Ctg (pi - алфа) \u003d - ctg alpha;` ctg (pi + alpha) \u003d ctg alpha`
За ъгъл (`frac (3 pi) 2 pm alpha") или (`270 ^ cirm pm alpha):
`Sin (frac (3 pi) 2 - alpha) \u003d - cos alpha;` `sin (frac (3 pi) 2 + алфа) \u003d - cos \\ t
`Cos (frac (3 pi) 2 - alpha) \u003d - греха alpha;` cos (frac (3 pi) 2 + алфа) \u003d sin \\ t
`Tg (frac (3 pi) 2 - alpha) \u003d ctg alpha;` tg (3 pi) 2 + алфа) \u003d - ctg alpha`
`Ctg (frac (3 pi) 2 - alpha) \u003d tg alpha;` `ctg (3 pi) 2 + алфа) \u003d - tg \\ t
За ъгъл (`2 pi pm alpha) или (` 360 ^ cirm]):
`sin (2 pi - алфа) \u003d - грях (2 pi + alpha) \u003d sin \\ t
`Cos (2 pi - алфа) \u003d cos alpha;` cos (2 pi + alpha) \u003d cos \\ t
`Tg (2 pi - алфа) \u003d - tg alpha;` tg (2 pi + alpha) \u003d tg alpha`
`Ctg (2 pi - алфа) \u003d - ctg alpha;` `ctg (2 pi + alpha) \u003d ctg alpha`

Изразяване на една тригонометрични функции чрез други

ame alpht (1-cos ^ 2] \u003d `` frac (tg alpht (pm) (1 + tg ^ 2 алфа)) \u003d frac 1 (Pm sqrt (1 + ctg ^ 2 алфа))
`cos alpha \u003d pm (1-sin ^ 2 alpha) \u003d` `frac 1 (pm sqrt (1 + tg ^ 2 алфа)) \u003d frac (ctg alpha) \\ t (Pm sqrt (1 + ctg ^ 2 алфа))
`Tg alpha \u003d frac (snap] (PM) (1-sin ^ 2)) \u003d` `frac (pm sqrt (1-cos ^ 2 алфа))) (Cos alpha) \u003d frac 1 (ctg alpha)
`Ctg alpht (pm sqrt (1-sin ^ 2)) (SIN \\ t \u003d alpa) \u003d` `frac (cos alpha) (pm sqrt (1-cos \\ t ^ 2 alpha)) \u003d frac 1 (tg alpha)

Тригонометрията буквално се превежда като "измерването на триъгълниците". Тя започва да учи в училище и продължава по-подробно в университетите. Следователно са необходими основните формули върху тригонометрията, като се започне от 10-ия клас, както и за преминаване на използването. Те означават връзки между функциите и тъй като тези връзки са много, тогава повечето формули са много. Не е лесно да се запомнят и не е необходимо - ако е необходимо, всичко може да бъде очертано.

Тригонометричните формули се прилагат в неразделни термини, както и тригонометрични опростявания, изчисления, трансформации.