Mechanické vibrácie. Parametre oscilačného pohybu. Mechanické vibrácie (základná škola) Pojem mechanický vibračný pohyb
(alebo prirodzené vibrácie) - sú to kmity oscilačného systému, vykonávané iba v dôsledku pôvodne komunikovanej energie (potenciálnej alebo kinetickej) za neprítomnosti vonkajších vplyvov.
Potenciálna alebo kinetická energia môže byť odovzdaná napríklad v mechanických systémoch prostredníctvom počiatočného posunu alebo počiatočnej rýchlosti.
Voľne kmitajúce telesá vždy interagujú s inými telesami a spolu s nimi tvoria sústavu telies, ktorá je tzv oscilačný systém.
Napríklad pružina, guľa a stĺpik, ku ktorému je pripevnený horný koniec pružiny (pozri obrázok nižšie), sú zahrnuté do oscilačného systému. Tu sa loptička voľne kĺže po strune (trecie sily sú zanedbateľné). Ak vezmete loptu doprava a necháte ju pre seba, bude voľne vibrovať okolo rovnovážnej polohy (body O) v dôsledku pôsobenia elastickej sily pružiny smerujúcej do rovnovážnej polohy.
Ďalším klasickým príkladom mechanického oscilačného systému je matematické kyvadlo (pozri obrázok nižšie). V tomto prípade loptička vykonáva voľné vibrácie pôsobením dvoch síl: gravitačnej sily a elastickej sily vlákna (Zem tiež vstupuje do oscilačného systému). Ich výslednica smeruje do rovnovážnej polohy.
Sily pôsobiace medzi telesami kmitavého systému sa nazývajú vnútorné sily. Vonkajšie sily sily pôsobiace na sústavu zo strany telies, ktoré v nej nie sú zahrnuté, sa nazývajú. Z tohto hľadiska možno voľné kmitanie definovať ako kmitanie v sústave pod vplyvom vnútorných síl po vyvedení sústavy z rovnovážnej polohy.
Podmienky pre vznik voľných vibrácií sú:
1) vznik sily v nich, ktorá vráti systém do stabilnej polohy po vyvedení z tohto stavu;
2) nedostatok trenia v systéme.
Dynamika voľných vibrácií.
Vibrácie tela pod vplyvom elastických síl... Rovnica vibračného pohybu telesa pod vplyvom elastickej sily F() možno získať s prihliadnutím na druhý Newtonov zákon ( F = mа) a Hookov zákon ( F ctrl = -kx), kde m Je to hmotnosť lopty a zrýchlenie dosiahnuté loptou pri pôsobení elastickej sily, k- koeficient tuhosti pružiny, NS- posunutie telesa z rovnovážnej polohy (obe rovnice sú napísané v priemete na vodorovnú os) Oh). Vyrovnanie pravých strán týchto rovníc a zohľadnenie tohto zrýchlenia a Je druhou deriváciou súradnice NS(posun), dostaneme:
.
Podobne výraz pre zrýchlenie a získame diferenciáciou ( v = -v m sin ω 0 t = -v m x m cos (ω 0 t + π / 2)):
a = -a m cos ω 0 t,
kde a m = ω 20 x m- amplitúda zrýchlenia. Amplitúda rýchlosti harmonických kmitov je teda úmerná frekvencii a amplitúda zrýchlenia je úmerná druhej mocnine frekvencie kmitov.
Témy kodifikátora USE: harmonické kmity; amplitúda, perióda, frekvencia, fáza kmitov; voľné vibrácie, vynútené vibrácie, rezonancia.
Výkyvy - ide o zmeny stavu systému, ktoré sa v čase opakujú. Pojem vibrácie pokrýva veľmi široké spektrum javov.
Výkyvy v mechanických sústavách, príp mechanické vibrácie je mechanický pohyb telesa alebo sústavy telies, ktorý má opakovateľnosť v čase a vyskytuje sa v blízkosti rovnovážnej polohy. Rovnovážna poloha sa nazýva stav systému, v ktorom môže zotrvať ľubovoľne dlhý čas bez toho, aby naňho pôsobili vonkajšie vplyvy.
Napríklad, ak sa kyvadlo vychýli a uvoľní, začnú oscilácie. Rovnovážna poloha je poloha kyvadla pri absencii vychýlenia. V tejto polohe môže kyvadlo, ak sa ho nedotknete, zostať neobmedzene dlho. Kyvadlo pri kmitaní mnohokrát prechádza rovnovážnou polohou.
Ihneď po uvoľnení vychýleného kyvadla sa dalo do pohybu, prešlo rovnovážnou polohou, dostalo sa do opačnej krajnej polohy, na chvíľu sa tam zastavilo, posunulo sa opačným smerom, opäť prešlo rovnovážnou polohou a vrátilo sa späť. Stala sa jedna vec naplno... Ďalej sa tento proces bude pravidelne opakovať.
Amplitúda vibrácií tela je hodnota jeho najväčšej odchýlky od rovnovážnej polohy.
Doba oscilácie - toto je čas jedného úplného kmitu. Dá sa povedať, že počas tohto obdobia telo prejde dráhu štyroch amplitúd.
Oscilačná frekvencia je recipročná doba:. Frekvencia sa meria v hertzoch (Hz) a ukazuje, koľko úplných oscilácií sa vyskytne za jednu sekundu.
Harmonické vibrácie.
Budeme predpokladať, že poloha kmitajúceho telesa je určená jedinou súradnicou. Rovnovážna poloha zodpovedá hodnote. Hlavnou úlohou mechaniky je v tomto prípade nájsť funkciu, ktorá kedykoľvek udáva súradnicu tela.
Pre matematický popis kmitov je prirodzené použiť periodické funkcie. Existuje veľa takýchto funkcií, ale dve z nich - sínus a kosínus - sú najdôležitejšie. Majú veľa dobrých vlastností a úzko súvisia so širokou škálou fyzikálnych javov.
Keďže funkcie sínus a kosínus sa získavajú od seba posunutím argumentu o, môžete sa obmedziť len na jednu z nich. Pre jednoznačnosť použijeme kosínus.
Harmonické vibrácie- sú to kmity, pri ktorých súradnica závisí od času podľa harmonického zákona:
(1)
Poďme zistiť význam množstiev zahrnutých v tomto vzorci.
Kladná hodnota je najväčšia hodnota súradnice v absolútnej hodnote (keďže maximálna hodnota modulu kosínusu je rovná jednej), t.j. najväčšia odchýlka od rovnovážnej polohy. Preto - amplitúda kmitov.
Kosínusový argument sa nazýva fáza váhanie. Hodnota rovnajúca sa hodnote fázy at sa nazýva počiatočná fáza. Počiatočná fáza zodpovedá počiatočnej súradnici tela:.
Množstvo je tzv cyklická frekvencia... Nájdime jeho súvislosť s periódou a frekvenciou kmitov. Jedna úplná oscilácia zodpovedá fázovému prírastku rovnému radiánom: odkiaľ
(2)
(3)
Cyklická frekvencia sa meria v rad/s (radiánoch za sekundu).
V súlade s výrazmi (2) a (3) získame ďalšie dve formy zápisu harmonického zákona (1):
Graf funkcie (1), vyjadrujúci závislosť súradnice od času s harmonickými kmitmi, je na obr. 1.
Harmonický zákon tvaru (1) má najvšeobecnejší charakter. Reaguje napríklad na situácie, keď boli s kyvadlom vykonávané súčasne dve počiatočné činnosti: o určitú hodnotu ho vychýlili a udelili mu určitú počiatočnú rýchlosť. Existujú dva dôležité špeciálne prípady, keď sa jedna z týchto akcií nevykonala.
Nechajte kyvadlo vychýliť, ale počiatočná rýchlosť nebola hlásená (uvoľnená bez počiatočnej rýchlosti). Je jasné, že v tomto prípade sa teda dá. Dostaneme kosínusový zákon:
Graf harmonických kmitov je v tomto prípade znázornený na obr. 2.
 |
| Ryža. 2. Kosínusový zákon |
Predpokladajme teraz, že kyvadlo nebolo vychýlené, ale počiatočnú rýchlosť mu udelil náraz z rovnovážnej polohy. V tomto prípade tak môžete dať. Dostávame sínusový zákon:
Graf oscilácií je znázornený na obr. 3.
 |
| Ryža. 3. Sínusový zákon |
Rovnica harmonických kmitov.
Vráťme sa k všeobecnému harmonickému zákonu (1). Rozlišujeme túto rovnosť:
. (4)
Teraz diferencujeme získanú rovnosť (4):
. (5)
Porovnajme výraz (1) pre súradnicu a výraz (5) pre projekciu zrýchlenia. Vidíme, že projekcia zrýchlenia sa líši od súradnice iba faktorom:
. (6)
Tento pomer sa nazýva harmonická vibračná rovnica... Dá sa prepísať takto:
. (7)
Z matematického hľadiska rovnica (7) je Diferenciálnej rovnice... Funkcie (nie čísla, ako v bežnej algebre) slúžia ako riešenia diferenciálnych rovníc.
Môžete teda dokázať, že:
Riešením rovnice (7) je ľubovoľná funkcia tvaru (1) s ľubovoľným;
Žiadna iná funkcia nie je riešením tejto rovnice.
Inými slovami, vzťahy (6), (7) opisujú harmonické kmity s cyklickou frekvenciou a len ich. Z počiatočných podmienok sú určené dve konštanty - podľa počiatočných hodnôt súradnice a rýchlosti.
Pružinové kyvadlo.
Pružinové kyvadlo je pružinové závažie schopné vibrovať horizontálne alebo vertikálne.
Nájdite periódu malých horizontálnych kmitov pružinového kyvadla (obr. 4). Oscilácie budú malé, ak je veľkosť deformácie pružiny oveľa menšia ako jej veľkosť. Pre malé deformácie môžeme použiť Hookov zákon. To povedie k tomu, že vibrácie sú harmonické.
Zanedbávame trenie. Záťaž má hmotnosť, tuhosť pružiny je rovnaká.
Súradnica zodpovedá rovnovážnej polohe, v ktorej pružina nie je deformovaná. V dôsledku toho sa veľkosť deformácie pružiny rovná modulu súradnice zaťaženia.
 |
| Ryža. 4. Pružinové kyvadlo |
V horizontálnom smere pôsobí na zaťaženie iba sila pružiny. Druhý Newtonov zákon pre náklad v projekcii na os je:
. (8)
Ak (zaťaženie je posunuté doprava, ako na obrázku), potom elastická sila smeruje opačným smerom a. Naopak, ak, tak. Znamienka a sú vždy opačné, takže Hookov zákon možno napísať takto:
Potom vzťah (8) nadobúda tvar:
Získali sme rovnicu harmonických kmitov tvaru (6), v ktorej
Frekvencia cyklického kmitania pružinového kyvadla sa teda rovná:
. (9)
Odtiaľ a z pomeru zistíme periódu horizontálnych kmitov pružinového kyvadla:
. (10)
Ak zavesíte závažie na pružinu, získate pružinové kyvadlo, ktoré osciluje vo vertikálnom smere. Dá sa ukázať, že v tomto prípade platí vzorec (10) pre periódu oscilácie.
Matematické kyvadlo.
Matematické kyvadlo je malé teleso zavesené na beztiažovej neroztiahnuteľnej nite (obr. 5). Matematické kyvadlo môže v gravitačnom poli oscilovať vo vertikálnej rovine.
 |
| Ryža. 5. Matematické kyvadlo |
Nájdite periódu malých kmitov matematického kyvadla. Dĺžka vlákna je. Odpor vzduchu zanedbávame.
Napíšme druhý Newtonov zákon pre kyvadlo:
a premietni ho na os:
Ak kyvadlo zaujíma polohu ako na obrázku (t.j.), potom:
Ak je kyvadlo na druhej strane rovnovážnej polohy (t.j.), potom:
Takže pre akúkoľvek polohu kyvadla máme:
. (11)
Keď je kyvadlo v pokoji v rovnovážnej polohe, rovnosť je splnená. Pre malé kmity, kedy sú odchýlky kyvadla z rovnovážnej polohy malé (v porovnaní s dĺžkou závitu), je splnená približná rovnosť. Použijeme ho vo vzorci (11):
Ide o rovnicu harmonických vibrácií tvaru (6), v ktorej
V dôsledku toho sa cyklická frekvencia kmitov matematického kyvadla rovná:
. (12)
Preto perióda oscilácie matematického kyvadla:
. (13)
Upozorňujeme, že vzorec (13) nezahŕňa hmotnosť nákladu. Na rozdiel od pružinového kyvadla nezávisí doba kmitania matematického kyvadla od jeho hmotnosti.
Voľné a nútené vibrácie.
Hovorí sa, že systém áno voľné vibrácie ak sa raz vytiahne z rovnovážnej polohy a potom sa nechá samému. Žiadne pravidelné externé
Súčasne systém nepociťuje žiadne vplyvy a neexistujú žiadne vnútorné zdroje energie, ktoré podporujú oscilácie v systéme.
Kmity pružiny a matematické kyvadla uvažované vyššie sú príkladmi voľných oscilácií.
Frekvencia, s ktorou sa vyskytujú voľné vibrácie, sa nazýva prirodzená frekvencia oscilačný systém. Vzorce (9) a (12) teda udávajú vlastné (cyklické) frekvencie kmitov pružiny a matematického kyvadla.
V idealizovanej situácii pri absencii trenia sú voľné kmity netlmiace, t.j. majú konštantnú amplitúdu a trvajú neobmedzene dlho. V reálnych oscilačných systémoch je vždy prítomné trenie, preto voľné kmity postupne tlmia (obr. 6).
Nútené vibrácie- sú to kmity, ktoré systém vytvára pod vplyvom vonkajšej sily, ktorá sa periodicky mení v čase (tzv. hnacia sila).
Predpokladajme, že prirodzená frekvencia kmitov systému je rovnaká a hnacia sila závisí od času podľa harmonického zákona:
Na nejaký čas sa vytvárajú nútené oscilácie: systém vykonáva zložitý pohyb, ktorý je uložením nútených a voľných oscilácií. Voľné vibrácie postupne tlmia a v ustálenom stave systém vykonáva vynútené vibrácie, ktoré sa tiež ukážu ako harmonické. Frekvencia ustálených vynútených kmitov sa zhoduje s frekvenciou
sila sily (vonkajšia sila vnucuje systému svoju frekvenciu).
Amplitúda vynútených kmitov v ustálenom stave závisí od frekvencie hnacej sily. Graf tejto závislosti je na obr. 7.
 |
| Ryža. 7. Rezonancia |
Vidíme, že v blízkosti frekvencie nastáva rezonancia - jav zvýšenia amplitúdy vynútených kmitov. Rezonančná frekvencia sa približne rovná vlastnej frekvencii vibrácií systému: a táto rovnosť je splnená tým presnejšie, čím menšie je trenie v systéme. Pri absencii trenia sa rezonančná frekvencia zhoduje s prirodzenou frekvenciou vibrácií a amplitúda vibrácií sa zvyšuje do nekonečna pri.
Fyzický svet okolo nás je plný pohybu. Je prakticky nemožné nájsť čo i len jedno fyzické telo, ktoré by sa dalo považovať za pokojné. Okrem rovnomerne translačného priamočiareho po zložitej trajektórii, pohybu so zrýchlením a iných, môžeme na vlastné oči pozorovať či zažiť vplyv periodicky sa opakujúcich pohybov hmotných objektov.
Človek si už dlho všimol charakteristické vlastnosti a črty a dokonca sa naučil využívať mechanické vibrácie na svoje účely. Všetky procesy periodicky sa opakujúce v čase možno nazvať fluktuáciami. Mechanické vibrácie sú len časťou tohto rozmanitého sveta javov vyskytujúcich sa prakticky podľa rovnakých zákonov. Pomocou vizuálneho príkladu mechanických opakujúcich sa pohybov môžete zostaviť základné pravidlá a určiť zákony, podľa ktorých sa vyskytujú elektromagnetické, elektromechanické a iné oscilačné procesy.
Podstata výskytu mechanických vibrácií spočíva v periodickej premene potenciálnej energie na kinetickú energiu. Príklad toho, ako sa energia premieňa počas mechanických vibrácií, možno opísať tak, že vezmeme do úvahy guľu zavesenú na pružine. V pokoji je gravitačná sila vyvážená pružinami. Akonáhle je však systém vytlačený z rovnovážneho stavu, čím sa vyvolá pohyb zo strany rovnovážneho bodu, začne sa jeho premena na kinetickú. A tá sa od chvíle, keď loptička prejde nulovou pozíciou, začne premieňať na potenciálnu. Tento proces trvá dovtedy, kým sa podmienky pre existenciu systému blížia k dokonalosti.
Oscilácie, ktoré sa vyskytujú podľa sínusového alebo kosínusového zákona, sa považujú za matematicky ideálne. Takéto procesy sa zvyčajne nazývajú harmonické vibrácie. Ideálnym príkladom mechanických harmonických vibrácií je pohyb kyvadla, keď nie je ovplyvnený trecími silami. Ale toto je úplne bezchybný prípad, ktorý je technicky veľmi problematické dosiahnuť.
Mechanické vibrácie, napriek ich trvaniu, skôr či neskôr ustanú a systém zaujme polohu relatívnej rovnováhy. Stáva sa to v dôsledku plytvania energiou na prekonanie odporu vzduchu, trenia a iných faktorov, ktoré nevyhnutne vedú k úprave výpočtov pri prechode z ideálnych na reálne podmienky, v ktorých uvažovaný systém existuje.
S blížiacim sa hĺbkovým štúdiom a analýzou sa nevyhnutne dostávame k potrebe matematicky opísať mechanické vibrácie. Vzorce pre tento proces zahŕňajú veličiny ako amplitúda (A), (w), počiatočná fáza (a). A funkcia závislosti posunu (x) od času (t) v klasickom tvare má tvar
Za zmienku stojí aj hodnota, ktorá charakterizuje mechanické vibrácie, ktorá má názov - perióda (T), ktorá je matematicky definovaná ako
Mechanické vibrácie nás okrem jasnosti popisu vibračných procesov nemechanického charakteru zaujímajú aj o niektoré vlastnosti, ktoré pri správnom používaní môžu poskytnúť určitý úžitok a ak sa ignorujú, vedú k značným problémom.
Osobitná pozornosť by sa mala venovať fenoménu prudkého skoku v amplitúde, keď sila sily ovplyvňuje frekvenciu prirodzených vibrácií tela, keď sa frekvencia blíži. Hovorí sa tomu rezonancia. Fenomén rezonancie, ktorý je široko používaný v elektronike a mechanických systémoch, je hlavne deštruktívny, treba ho brať do úvahy pri vytváraní širokej škály mechanických štruktúr a systémov.
Ďalším prejavom mechanických vibrácií sú vibrácie. Jeho vzhľad môže spôsobiť nielen určité nepohodlie, ale môže viesť aj k vzniku rezonancie. Okrem negatívneho vplyvu však lokálne vibrácie s nízkou intenzitou prejavu môžu mať priaznivý vplyv na ľudské telo ako celok, zlepšiť funkčný stav centrálneho nervového systému a dokonca urýchliť atď.
Medzi variantmi prejavu mechanických vibrácií je možné vyčleniť fenomén zvuku, ultrazvuk. Priaznivé vlastnosti týchto mechanických vĺn a iné prejavy mechanických vibrácií sú široko používané v rôznych odvetviach ľudského života.
1. Oscilácie. Periodické výkyvy. Harmonické vibrácie.
2. Voľné vibrácie. Nepretržité a tlmené oscilácie.
3. Nútené vibrácie. Rezonancia.
4. Porovnanie oscilačných procesov. Energia trvalých harmonických vibrácií.
5. Vlastné oscilácie.
6. Kmity ľudského tela a ich registrácia.
7. Základné pojmy a vzorce.
8. Úlohy.
1.1. Výkyvy. Periodické výkyvy.
Harmonické vibrácie
Výkyvy sa nazývajú procesy, ktoré sa líšia rôznymi stupňami opakovateľnosti.
Opakujúce sa procesy sa neustále vyskytujú vo vnútri akéhokoľvek živého organizmu, napríklad: srdcové kontrakcie, funkcia pľúc; trasieme sa, keď je nám zima; počujeme a hovoríme v dôsledku vibrácií ušných bubienkov a hlasiviek; pri chôdzi sa nám kývajú nohy. Atómy, z ktorých sme stvorení, vibrujú. Svet, v ktorom žijeme, je prekvapivo náchylný na váhanie.
V závislosti od fyzickej povahy opakujúceho sa procesu sa rozlišujú oscilácie: mechanické, elektrické atď. Táto prednáška pojednáva mechanické vibrácie.
Periodické výkyvy
Pravidelné nazývajú sa také oscilácie, pri ktorých sa po určitom čase opakujú všetky charakteristiky pohybu.
Pre periodické oscilácie sa používajú tieto charakteristiky:
oscilačná perióda T sa rovná času, počas ktorého dôjde k jednej úplnej oscilácii;
frekvencia vibráciíν sa rovná počtu kmitov uskutočnených za jednu sekundu (ν = 1 / T);
amplitúda vibrácií A, rovná maximálnemu posunutiu z rovnovážnej polohy.
Harmonické vibrácie
Zvláštne miesto medzi periodickými osciláciami zaujíma harmonický výkyvy. Ich význam je spôsobený nasledujúcimi dôvodmi. Po prvé, oscilácie v prírode a technike majú často charakter veľmi blízky harmonickému a po druhé periodické procesy rôznej formy (s inou závislosťou od času) možno znázorniť ako superpozíciu viacerých harmonických oscilácií.
Harmonické vibrácie- sú to fluktuácie, pri ktorých sa pozorovaná hodnota mení v čase podľa sínusového alebo kosínusového zákona:
V matematike sa funkcie tohto druhu nazývajú harmonický, preto sa oscilácie opísané takýmito funkciami nazývajú aj harmonické.
Poloha tela vykonávajúceho kmitavý pohyb je charakteristická posunutie vzhľadom k rovnovážnej polohe. V tomto prípade majú množstvá zahrnuté vo vzorci (1.1) nasledujúci význam:
NS- zaujatosť telesá v čase t;
A - amplitúda kolísanie rovnajúce sa maximálnemu výtlaku;
ω - kruhová frekvencia kmitov (počet kmitov vykonaných za 2 π sekundy) spojené s frekvenciou vibrácií pomerom
φ = (ωt +φ 0) - fáza kolísanie (v čase t); φ 0 - počiatočná fáza oscilácie (pri t = 0).
Ryža. 1.1. Grafy časového posunu pre x (0) = A a x (0) = 0
1.2. Voľné vibrácie. Nepretržité a tlmené oscilácie
zadarmo alebo vlastné sa nazývajú také vibrácie, ktoré sa vyskytujú v systéme, ponechaný sám na seba, po jeho odstránení z rovnovážnej polohy.
Príkladom sú vibrácie gule zavesenej na nite. Aby ste vyvolali vibrácie, musíte loptičku buď zatlačiť, alebo ju pustiť nabok. Pri pretláčaní sa povie lopta kinetická energie a v prípade odchýlky - potenciál.
Voľné vibrácie sa vykonávajú kvôli počiatočnému prísunu energie.
Voľné netlmené vibrácie
Voľné vibrácie môžu byť nepretržité iba pri absencii trecej sily. V opačnom prípade sa počiatočná zásoba energie vynaloží na jej prekonanie a rozsah výkyvov sa zníži.
Ako príklad uvažujme vibrácie telesa zaveseného na beztiažovej pružine, ku ktorému dochádza po vychýlení telesa nadol a následnom uvoľnení (obr. 1.2).
Ryža. 1.2. Vibrácie tela na pružine
Zo strany napnutej pružiny pôsobí telo elastická sila F úmerné veľkosti posunutia NS:
Konštantný faktor k sa nazýva jarná miera a závisí od jeho veľkosti a materiálu. Znamienko "-" označuje, že pružná sila smeruje vždy v smere opačnom k smeru posunu, t.j. do rovnovážnej polohy.
Pri absencii trenia je pružná sila (1.4) jedinou silou pôsobiacou na teleso. Podľa druhého Newtonovho zákona (ma = F):
Po prenesení všetkých členov na ľavú stranu a vydelení hmotnosťou tela (m) získame diferenciálnu rovnicu voľných vibrácií bez trenia:
Ukázalo sa, že hodnota ω 0 (1,6) sa rovná cyklickej frekvencii. Táto frekvencia sa nazýva vlastné.
Voľné vibrácie pri absencii trenia sú teda harmonické, ak pri odchýlke od rovnovážnej polohy elastická sila(1.4).
Vlastný obežník frekvencia je hlavnou charakteristikou voľných harmonických kmitov. Táto hodnota závisí len od vlastností oscilačného systému (v posudzovanom prípade od hmotnosti tela a tuhosti pružiny). V nasledujúcom bude na označenie vždy použitý symbol ω 0 prirodzená kruhová frekvencia(t. j. frekvencia, s ktorou by sa oscilácie vyskytovali pri absencii trecej sily).
Amplitúda voľných vibrácií je určená vlastnosťami oscilačného systému (m, k) a energiou, ktorá je mu odovzdaná v počiatočnom časovom okamihu.
Pri absencii trenia vznikajú voľné kmity, blízke harmonickým, aj v iných systémoch: matematicko-fyzikálne kyvadlo (o teórii týchto problémov sa neuvažuje) (obr. 1.3).
Matematické kyvadlo- malé teleso (hmotný bod), zavesené na beztiažovej nite (obr. 1.3 a). Ak sa závit vychýli z rovnovážnej polohy o malý (do 5°) uhol α a uvoľní sa, teleso bude oscilovať s periódou určenou vzorcom
kde L je dĺžka vlákna, g je gravitačné zrýchlenie.
Ryža. 1.3. Matematické kyvadlo (a), fyzikálne kyvadlo (b)
Fyzické kyvadlo- tuhé teleso, ktoré pôsobením gravitácie kmitá okolo pevnej horizontálnej osi. Na obrázku 1.3b je schematicky znázornené fyzické kyvadlo v tvare telesa ľubovoľného tvaru, vychýlené z rovnovážnej polohy o uhol α. Periódu kmitania fyzického kyvadla popisuje vzorec
kde J je moment zotrvačnosti telesa okolo osi, m je hmotnosť, h je vzdialenosť medzi ťažiskom (bod C) a osou zavesenia (bod O).
Moment zotrvačnosti je veličina, ktorá závisí od hmotnosti telesa, jeho veľkosti a polohy vzhľadom na os otáčania. Moment zotrvačnosti sa vypočíta pomocou špeciálnych vzorcov.
Voľné tlmené oscilácie
Trecie sily pôsobiace v reálnych systémoch výrazne menia charakter pohybu: energia oscilačného systému neustále klesá a oscilácie buď vyblednúť alebo nevzniknú vôbec.
Odporová sila je nasmerovaná v smere opačnom k pohybu tela a pri nie príliš vysokých rýchlostiach je úmerná veľkosti rýchlosti:
Graf takýchto výkyvov je znázornený na obr. 1.4.
Ako charakteristiku stupňa útlmu sa uvádza bezrozmerná veličina tzv logaritmické zníženie tlmeniaλ.
Ryža. 1.4. Posun oproti času pre tlmené oscilácie
Logaritmické zníženie tlmenia sa rovná prirodzenému logaritmu pomeru amplitúdy predchádzajúceho kmitania k amplitúde nasledujúceho kmitania.
kde i je poradové číslo vibrácie.
Je ľahké vidieť, že dekrement logaritmického tlmenia sa nachádza podľa vzorca
Silný útlm. o
ak je splnená podmienka β ≥ ω 0, systém sa vráti do rovnovážnej polohy bez vibrácií. Tento pohyb sa nazýva aperiodický. Obrázok 1.5 ukazuje dva možné spôsoby návratu do rovnovážnej polohy počas aperiodického pohybu.
Ryža. 1.5. Aperiodický pohyb
1.3. Nútené vibrácie, rezonancia
Voľné vibrácie v prítomnosti trecích síl sú tlmené. Pomocou periodických vonkajších vplyvov je možné vytvárať nepretržité oscilácie.
Nútené nazývajú sa také kmity, pri ktorých je kmitajúci systém vystavený vonkajšej periodickej sile (nazýva sa to hnacia sila).
Nech sa hnacia sila mení podľa harmonického zákona
Graf nútenej oscilácie je znázornený na obr. 1.6.
Ryža. 1.6. Graf posunu v závislosti od času pre nútené oscilácie
Je vidieť, že amplitúda vynútených kmitov postupne dosahuje hodnotu ustáleného stavu. Vynútené vibrácie v ustálenom stave sú harmonické a ich frekvencia sa rovná frekvencii hnacej sily:
Amplitúdu (A) vynútených kmitov v ustálenom stave nájdeme podľa vzorca:
Rezonancia sa nazýva dosiahnutie maximálnej amplitúdy vynútených vibrácií pri určitej hodnote frekvencie hnacej sily.
Ak podmienka (1.18) nie je splnená, potom rezonancia nevzniká. V tomto prípade so zvýšením frekvencie hnacej sily amplitúda vynútených kmitov monotónne klesá a má tendenciu k nule.
Grafická závislosť amplitúdy A vynútených kmitov od kruhovej frekvencie hnacej sily pri rôznych hodnotách koeficientu tlmenia (β 1> β 2> β 3) je znázornená na obr. 1.7. Tento súbor grafov sa nazýva rezonančné krivky.
V niektorých prípadoch je silné zvýšenie amplitúdy vibrácií pri rezonancii nebezpečné pre silu systému. Existujú prípady, keď rezonancia viedla k zničeniu štruktúr.
Ryža. 1.7. Rezonančné krivky
1.4. Porovnanie oscilačných procesov. Energia trvalých harmonických vibrácií
V tabuľke 1.1 sú uvedené charakteristiky uvažovaných oscilačných procesov.
Tabuľka 1.1. Charakteristika voľných a vynútených vibrácií
Energia trvalých harmonických vibrácií
Teleso vykonávajúce harmonické vibrácie má dva druhy energie: kinetickú energiu pohybu E k = mv 2/2 a potenciálnu energiu E p spojenú s pôsobením elastickej sily. Je známe, že pri pôsobení elastickej sily (1.4) je potenciálna energia telesa určená vzorcom E n = kx 2/2. Pre trvalé vibrácie NS= A cos (ωt) a rýchlosť telesa je určená vzorcom v= - А ωsin (ωt). Z toho sa získajú výrazy pre energie telesa vykonávajúceho nepretržité oscilácie:
Celková energia systému, v ktorom dochádza k nepretržitým harmonickým osciláciám, sa skladá z týchto energií a zostáva nezmenená:
Tu m je telesná hmotnosť, ω a A sú kruhová frekvencia a amplitúda vibrácií, k je koeficient pružnosti.
1.5. Vlastné oscilácie
Existujú také systémy, ktoré sami regulujú periodické dopĺňanie stratenej energie a preto môžu dlhodobo kolísať.
Vlastné oscilácie- netlmené kmity, podporované vonkajším zdrojom energie, ktorých tok je regulovaný samotným kmitavým systémom.
Systémy, v ktorých sa takéto kmity vyskytujú, sa nazývajú samooscilujúce. Amplitúda a frekvencia samokmitov závisí od vlastností samotného samooscilačného systému. Samooscilačný systém môže byť znázornený nasledujúcim diagramom:
V tomto prípade samotný oscilačný systém funguje ako spätnoväzbový kanál na regulátore energie, ktorý ho informuje o stave systému.
Spätná väzba vplyv výsledkov akéhokoľvek procesu na jeho priebeh je tzv.
Ak takýto vplyv vedie k zvýšeniu intenzity procesu, potom sa nazýva spätná väzba pozitívne. Ak náraz vedie k zníženiu intenzity procesu, potom sa nazýva spätná väzba negatívne.
V samooscilujúcom systéme môže byť prítomná pozitívna aj negatívna spätná väzba.
Príkladom samooscilačného systému sú hodiny, v ktorých kyvadlo dostáva rázy v dôsledku energie zdvihnutého závažia alebo skrútenej pružiny a tieto rázy vznikajú v tých okamihoch, keď kyvadlo prechádza strednou polohou.
Príkladom biologických samooscilačných systémov sú orgány ako srdce a pľúca.
1.6. Vibrácie ľudského tela a ich registrácia
Analýza vibrácií vytváraných ľudským telom alebo jeho jednotlivými časťami má široké využitie v lekárskej praxi.
Oscilačné pohyby ľudského tela pri chôdzi
Chôdza je zložitý periodický pohybový proces vyplývajúci z koordinovanej činnosti kostrového svalstva trupu a končatín. Analýza procesu chôdze poskytuje mnoho diagnostických funkcií.
Charakteristickým znakom chôdze je frekvencia opornej polohy jednou nohou (obdobie jednej opory) alebo dvoma nohami (obdobie dvojitej opory). Normálne je pomer týchto období 4: 1. Pri chôdzi dochádza k periodickému posúvaniu ťažiska (CM) pozdĺž vertikálnej osi (bežne o 5 cm) a vychýleniu do strany (bežne o 2,5 cm). V tomto prípade sa CM pohybuje po krivke, ktorá môže byť približne reprezentovaná harmonickou funkciou (obr. 1.8).
Ryža. 1.8. Vertikálny posun CM ľudského tela počas chôdze
Komplexné oscilačné pohyby pri udržiavaní vzpriamenej polohy tela.
Osoba stojaca vzpriamene má zložité oscilácie všeobecného ťažiska (GCM) a ťažiska (CP) chodidiel v rovine podpory. Analýza týchto výkyvov je založená na statokinezimetria- metóda hodnotenia schopnosti človeka udržať vzpriamený postoj. Dodržaním priemetu GCM v rámci súradníc hranice oblasti podpory. Táto metóda je realizovaná pomocou stabilometrického analyzátora, ktorého hlavnou súčasťou je stabiloplatforma, na ktorej je subjekt vo vertikálnej polohe. Oscilácie spôsobené CP subjektu pri udržiavaní vzpriamenej polohy sa prenášajú na stabiloplatformu a zaznamenávajú sa špeciálnymi tenzometrami. Signály snímača zaťaženia sa prenášajú do záznamového zariadenia. V tomto prípade je to napísané statokinezigram - trajektória pohybu CP testovaného subjektu po horizontálnej rovine v dvojrozmernom súradnicovom systéme. Harmonické spektrum statokinezigramy možno usudzovať o znakoch vertikalizácie v norme a pri odchýlkach od nej. Táto metóda vám umožňuje analyzovať ukazovatele statokinetickej stability (SKU) osoby.
Mechanické vibrácie srdca
Na vyšetrenie srdca existujú rôzne metódy, ktoré sú založené na mechanických periodických procesoch.
Balistokardiografia(BCG) je metóda na štúdium mechanických prejavov srdcovej činnosti, založená na registrácii pulzných mikropohybov tela spôsobených výronom krvi zo srdcových komôr do veľkých ciev. V tomto prípade vzniká jav spätný ráz.Ľudské telo je umiestnené na špeciálnej pohyblivej plošine umiestnenej na masívnom stacionárnom stole. Plošina sa v dôsledku spätného rázu dostáva do zložitého oscilačného pohybu. Závislosť posunu plošiny s telom od času sa nazýva balistokardiogram (obr. 1.9), ktorého analýza umožňuje posúdiť pohyb krvi a stav srdcovej činnosti.
Apexkardiografia(AKG) je metóda grafickej registrácie nízkofrekvenčných oscilácií hrudníka v oblasti apikálneho impulzu spôsobeného prácou srdca. Registrácia apexkardiogramu sa spravidla vykonáva na viackanálovom elektrokardiograme.
Ryža. 1.9. Záznam balistokardiogramu
graf pomocou piezokryštalického snímača, ktorý je prevodníkom mechanických vibrácií na elektrické. Pred záznamom na prednej hrudnej stene palpácia určuje bod maximálnej pulzácie (apikálny impulz), v ktorom je snímač fixovaný. Podľa signálov senzora sa automaticky vytvorí apexkardiogram. Vykoná sa amplitúdová analýza ACG - amplitúdy krivky sa porovnajú v rôznych fázach srdca s maximálnou odchýlkou od nulovej čiary - segment EO, braný ako 100%. Obrázok 1.10 ukazuje apexkardiogram.
Ryža. 1.10. Záznam apexkardiogramu
Kinetokardiografia(KKG) - metóda zaznamenávania nízkofrekvenčných vibrácií hrudnej steny spôsobených srdcovou činnosťou. Kinetokardiogram sa líši od apexkardiogramu: prvý zaznamenáva absolútne pohyby hrudnej steny v priestore, druhý zaznamenáva vibrácie medzirebrového priestoru vo vzťahu k rebrám. Pri tejto metóde sa zisťuje posun (KKG x), rýchlosť pohybu (KKG v) a zrýchlenie (KKG a) pre kmity hrudníka. Obrázok 1.11 ukazuje porovnanie rôznych kinetokardiogramov.
Ryža. 1.11. Záznam kinetokardiogramov posunutia (x), rýchlosti (v), zrýchlenia (a)
Dynamokardiografia(DCG) - metóda na posúdenie pohybu ťažiska hrudníka. Dynamokardiograf umožňuje registrovať sily pôsobiace zo strany ľudského hrudníka. Na zaznamenanie dynamokardiogramu sa pacient položí na stôl ležiaci na chrbte. Pod hrudníkom sa nachádza snímacie zariadenie, ktoré pozostáva z dvoch pevných kovových platní s rozmermi 30x30 cm, medzi ktorými sú elastické prvky s upevnenými tenzometrami. Zaťaženie pôsobiace na snímacie zariadenie, ktoré sa pravidelne mení vo veľkosti a mieste aplikácie, sa skladá z troch zložiek: 1) konštantná zložka - hmotnosť hrudníka; 2) variabilný - mechanický účinok dýchacích pohybov; 3) premenlivé - mechanické procesy sprevádzajúce srdcový tep.
Dynamokardiogram sa zaznamenáva pri zadržiavaní dychu pacienta v dvoch smeroch: vo vzťahu k pozdĺžnej a priečnej osi prijímacieho zariadenia. Porovnanie rôznych dynamokardiogramov je na obr. 1.12.
Seizmokardiografia na základe registrácie mechanických vibrácií ľudského tela spôsobených prácou srdca. Pri tejto metóde sa pomocou senzorov inštalovaných v oblasti základne xiphoidného výbežku zaznamenáva srdcový impulz v dôsledku mechanickej aktivity srdca počas obdobia kontrakcie. V tomto prípade ide o procesy spojené s aktivitou tkanivových mechanoreceptorov cievneho riečiska, ktoré sa aktivujú pri znížení objemu cirkulujúcej krvi. Seizmický srdcový signál tvorí formu kmitov hrudnej kosti.
Ryža. 1.12. Záznam normálnych pozdĺžnych (a) a priečnych (b) dynamokardiogramov
Vibrácie
Plošné zavádzanie rôznych strojov a mechanizmov do ľudského života zvyšuje produktivitu práce. Práca mnohých mechanizmov je však spojená s výskytom vibrácií, ktoré sa prenášajú na človeka a majú na neho škodlivý vplyv.
Vibrácie- vynútené vibrácie tela, pri ktorých buď celé telo vibruje ako celok, alebo jeho jednotlivé časti vibrujú s rôznymi amplitúdami a frekvenciami.
Človek neustále zažíva rôzne druhy vibračných vplyvov v doprave, vo výrobe, v každodennom živote. Vibrácie, ktoré vznikli v ktorejkoľvek časti tela (napríklad v ruke robotníka, ktorý drží zbíjačku) sa šíria po tele vo forme elastických vĺn. Tieto vlny spôsobujú premenlivé deformácie rôznych typov (stlačenie, natiahnutie, šmyk, ohyb) v tkanivách tela. Vplyv vibrácií na človeka je spôsobený mnohými faktormi, ktoré charakterizujú vibrácie: frekvencia (frekvenčné spektrum, základná frekvencia), amplitúda, rýchlosť a zrýchlenie oscilačného bodu, energia oscilačných procesov.
Dlhodobé vystavenie vibráciám spôsobuje trvalé poruchy normálnych fyziologických funkcií v organizme. Môže sa vyskytnúť choroba z vibrácií. Toto ochorenie vedie k množstvu vážnych porúch v ľudskom tele.
Vplyv vibrácií na telo závisí od intenzity, frekvencie, trvania vibrácií, miesta ich pôsobenia a smeru vo vzťahu k telu, držania tela, ako aj od stavu človeka a jeho individuálnych vlastností.
Oscilácie s frekvenciou 3-5 Hz spôsobujú reakcie vestibulárneho aparátu, vaskulárne poruchy. Pri frekvenciách 3-15 Hz sa pozorujú poruchy spojené s rezonančnými vibráciami jednotlivých orgánov (pečeň, žalúdok, hlava) a tela ako celku. Výkyvy s frekvenciami 11-45 Hz spôsobujú poruchy zraku, nevoľnosť a zvracanie. Pri frekvenciách presahujúcich 45 Hz dochádza k poškodeniu ciev mozgu, narušeniu krvného obehu atď. Obrázok 1.13 zobrazuje oblasti frekvencií vibrácií, ktoré majú škodlivý vplyv na človeka a systémy jeho orgánov.
Ryža. 1.13. Frekvenčné rozsahy škodlivých účinkov vibrácií na človeka
Zároveň sa v mnohých prípadoch v medicíne využívajú vibrácie. Napríklad pomocou špeciálneho vibrátora zubár pripraví amalgám. Použitie vysokofrekvenčných vibračných zariadení umožňuje vyvŕtať do zuba dieru zložitého tvaru.
Vibrácie sa využívajú aj pri masáži. Pri ručnej masáži sa pomocou rúk maséra uvedú masírované tkanivá do vibračného pohybu. Pri hardvérovej masáži sa používajú vibrátory, pri ktorých sa používajú hroty rôznych tvarov na prenos vibračných pohybov na telo. Vibračné prístroje sa delia na prístroje pre všeobecné vibrácie, ktoré rozochvejú celé telo (vibračné „stolička“, „posteľ“, „plošina“ atď.) a prístroje na lokálne vibrácie pôsobiace na určité časti tela.
Mechanoterapia
Vo fyzioterapeutických cvičeniach (cvičebná terapia) sa používajú simulátory, na ktorých sa vykonávajú oscilačné pohyby rôznych častí ľudského tela. Používajú sa v mechanoterapia - forma cvičebnej terapie, ktorej jednou z úloh je vykonávanie dávkovaných, rytmicky sa opakujúcich telesných cvičení s cieľom precvičiť alebo obnoviť pohyblivosť v kĺboch na kyvadlovom aparáte. Základom týchto zariadení je vyvažovacie zariadenie (od fr. vyvažovačka- hojdačka, rovnováha) kyvadlo, čo je dvojramenná páka, ktorá vykonáva oscilačné (kývavé) pohyby okolo pevnej osi.
1.7. Základné pojmy a vzorce
Pokračovanie tabuľky
Pokračovanie tabuľky
Koniec stola
1.8. Úlohy
1. Uveďte príklady ľudských vibračných systémov.
2. U dospelého človeka srdce bije 70 za minútu. Určte: a) frekvenciu kontrakcií; b) počet znížení za 50 rokov
odpoveď: a) 1,17 Hz; b) 1,84 x 109.
3. Akú dĺžku musí mať matematické kyvadlo, aby sa doba jeho kmitania rovnala 1 sekunde?
4.
Tenká, rovná, homogénna tyč s dĺžkou 1 m je zavesená koncom na osi. Určte: a) aká je perióda jeho kmitov (malá)? b) aká je dĺžka matematického kyvadla s rovnakou periódou kmitania?
5.
Teleso s hmotnosťou 1 kg vibruje podľa zákona x = 0,42 cos (7,40 t), kde t sa meria v sekundách a x je v metroch. Nájdite: a) amplitúdu; b) frekvencia; c) plná energia; d) kinetická a potenciálna energia pri x = 0,16 m.
6.
Odhadnite rýchlosť, ktorou človek kráča s dĺžkou kroku l= 0,65 m Dĺžka nohy L = 0,8 m; ťažisko je vo vzdialenosti H = 0,5 m od chodidla. Pre moment zotrvačnosti nohy vzhľadom na bedrový kĺb použite vzorec I = 0,2 ml 2.
7.
Ako môžete určiť hmotnosť malého telesa na palube vesmírnej stanice, ak máte k dispozícii hodiny, pružinu a súpravu závaží?
8.
Amplitúda tlmených kmitov klesá pri 10 kmitoch o 1/10 svojej pôvodnej hodnoty. Doba oscilácie je T = 0,4 s. Určite logaritmický dekrement a faktor tlmenia.
Výkyvy Sú pohyby alebo procesy, ktoré sa presne alebo približne opakujú v určitých intervaloch.
Mechanické vibrácie kolísanie mechanických hodnôt (výtlak, rýchlosť, zrýchlenie, tlak atď.).
Mechanické vibrácie (v závislosti od povahy síl) sú:
zadarmo;
nútený;
samokmitanie.
zadarmo nazývané vibrácie, ktoré vznikajú pri jedinom pôsobení vonkajšej sily (počiatočný prenos energie) a pri absencii vonkajších vplyvov na oscilačný systém.
Zadarmo (alebo vlastné)- sú to kmity v sústave pod vplyvom vnútorných síl, po vyvedení sústavy z rovnovážneho stavu (v reálnych podmienkach sú voľné kmity vždy tlmené).
Podmienky voľných vibrácií
1. Oscilačný systém musí mať stabilnú rovnovážnu polohu.
2. Pri odstraňovaní systému z rovnovážnej polohy by mala vzniknúť výsledná sila, ktorá vráti systém do pôvodnej polohy
3. Sily trenia (odpor) sú veľmi malé.
Nútené vibrácie- vibrácie vznikajúce pod vplyvom vonkajších síl, ktoré sa časom menia.
Vlastné oscilácie- trvalé oscilácie v systéme podporované vnútornými zdrojmi energie v neprítomnosti vonkajšej premenlivej sily.
Frekvencia a amplitúda vlastných oscilácií je určená vlastnosťami samotného oscilačného systému.
Vlastné oscilácie sa líšia od voľných oscilácií nezávislosťou amplitúdy od času a od počiatočného nárazu, ktorý vybudí proces oscilácie.
Samooscilačný systém pozostáva z: oscilačného systému; Zdroj energie; spätnoväzbové zariadenia, ktoré regulujú tok energie z vnútorného zdroja energie do oscilačného systému.
Energia prichádzajúca zo zdroja počas periódy sa rovná energii stratenej oscilačným systémom za rovnaký čas.
Mechanické vibrácie sa delia na:
blednutiu;
netlmené.
Tlmené oscilácie- vibrácie, ktorých energia časom klesá.
Charakteristika oscilačného pohybu:
trvalé:
amplitúda (A)
obdobie (T)
frekvencia ()
Najväčšia (modulová) odchýlka kmitajúceho telesa od rovnovážnej polohy sa nazýva amplitúda kmitov. Zvyčajne je amplitúda označená písmenom A.
Časový úsek, počas ktorého telo vytvára jednu úplnú vibráciu, sa nazýva obdobie výkyvov.
Perióda kmitania sa zvyčajne označuje písmenom T a v SI sa meria v sekundách (s).
Počet vibrácií za jednotku času sa nazýva frekvencia vibrácií.
Frekvencia je označená písmenom v („nu“). Jedna vibrácia za sekundu sa berie ako jednotka frekvencie. Táto jednotka je pomenovaná hertz (Hz) na počesť nemeckého vedca Heinricha Hertza.
perióda kmitov T a frekvencia kmitov v súvisia podľa nasledujúceho vzťahu:
T = 1 / alebo = 1 / T.
Cyklická (kruhová) frekvencia ω- počet kmitov za 2π sekundy
Harmonické vibrácie- mechanické vibrácie, ktoré vznikajú pôsobením sily úmernej posunutiu a smerujúcej proti nemu. Harmonické kmity sa vykonávajú podľa sínusového alebo kosínusového zákona.
Nechajte hmotný bod vykonávať harmonické vibrácie.
Harmonická vibračná rovnica má tvar:
a - zrýchlenie V - rýchlosť q - náboj A - amplitúda t - čas
