Mechanikai rezgések. Az oszcilláló mozgás paraméterei. Mechanikai rezgések (alapiskola) A mechanikus lengőmozgás fogalma

(vagy természetes rezgések) egy oszcillációs rendszer rezgései, amelyeket csak az eredetileg jelentett energia (potenciális vagy kinetikai) okoz, külső hatások nélkül.

A potenciális vagy kinetikus energia kommunikálható például a mechanikai rendszerekben egy kezdeti elmozdulással vagy egy kezdeti sebességgel.

A szabadon rezgő testek mindig kölcsönhatásba lépnek más testekkel, és velük együtt testrendszert alkotnak, ún oszcillációs rendszer.

Például egy rugó, egy golyó és egy függőleges oszlop, amelyhez a rugó felső vége csatlakozik (lásd az alábbi ábrát), egy oszcillációs rendszer része. Itt a labda szabadon csúszik a húr mentén (a súrlódási erők elhanyagolhatóak). Ha jobbra viszi a labdát és magára hagyja, akkor szabadon oszcillál az egyensúlyi helyzet körül (pont RÓL RŐL) a rugó egyensúlyi helyzet felé irányuló rugalmas erejének hatása miatt.

A mechanikus oszcillációs rendszer másik klasszikus példája a matematikai inga (lásd az alábbi ábrát). Ebben az esetben a labda szabad rezgéseket hajt végre két erő hatására: a gravitáció és a szál rugalmas ereje (a Föld is belép az oszcillációs rendszerbe). Eredményüket az egyensúlyi helyzetbe irányítják.

Az oszcillációs rendszer testei között ható erőket ún belső erők. Külső erők A rendszerben nem szereplő testekből a rendszerre ható erőket nevezzük. Ebből a szempontból a szabad rezgések úgy definiálhatók, mint a rendszerben belső erők hatására bekövetkező rezgések, miután a rendszer kikerül az egyensúlyi helyzetből.

A szabad rezgések előfordulásának feltételei a következők:

1) olyan erő megjelenése bennük, amely visszaállítja a rendszert stabil egyensúlyi helyzetbe, miután kikerült ebből az állapotból;

2) nincs súrlódás a rendszerben.

A szabad rezgések dinamikája.

A test rezgései rugalmas erők hatására. Egy test lengő mozgásának egyenlete rugalmas erő hatására F() Newton második törvényének figyelembe vételével () F = ma) és Hooke törvénye ( F vezérlő = -kx), ahol m a labda tömege, és a labda által a rugalmas erő hatására elért gyorsulás, k- rugómerevségi együttható, x a test elmozdulása az egyensúlyi helyzetből (mindkét egyenlet a vízszintes tengelyre vetítve van felírva Ó). Ezen egyenletek jobb oldalainak egyenlővé tétele, és figyelembe véve, hogy a gyorsulás de a koordináta második deriváltja x(eltolások), a következőket kapjuk:

.

Hasonlóképpen a gyorsulás kifejezése de megkülönböztetéssel kapjuk ( v = -v m sin ω 0 t = -v m x m cos (ω 0 t + π/2)):

a \u003d -a m cos ω 0 t,

ahol a m = ω 2 0 x m a gyorsulás amplitúdója. Így a harmonikus rezgések sebességének amplitúdója arányos a frekvenciával, a gyorsulási amplitúdó pedig a rezgési frekvencia négyzetével.

Az USE kódoló témái: harmonikus rezgések; a rezgések amplitúdója, periódusa, frekvenciája, fázisa; szabad rezgések, kényszerrezgések, rezonancia.

ingadozások a rendszer állapotában bekövetkezett változások, amelyek idővel ismétlődnek. Az oszcilláció fogalma a jelenségek igen széles körét fedi le.

Mechanikai rendszerek rezgései, ill mechanikai rezgések- ez egy test vagy testrendszer mechanikus mozgása, amely időben megismételhető és az egyensúlyi helyzet közelében történik. egyensúlyi helyzet Ez az az állapota a rendszernek, amelyben tetszőlegesen hosszú ideig tud maradni anélkül, hogy külső hatásokat tapasztalna.

Például, ha az ingát eltérítjük és elengedjük, akkor az oszcillációk megindulnak. Az egyensúlyi helyzet az inga helyzete elhajlás nélkül. Ebben a helyzetben az inga, ha érintetlen marad, a végtelenségig megmaradhat. Amikor az inga oszcillál, sokszor átmegy az egyensúlyi helyzeten.

Az eltérített inga elengedése után azonnal mozogni kezdett, áthaladt az egyensúlyi helyzeten, elérte az ellentétes szélső helyzetet, egy pillanatra megállt benne, az ellenkező irányba mozdult el, ismét áthaladt az egyensúlyi helyzeten és visszatért. Egy dolog történt teljes lendülettel. Ezt a folyamatot ezután rendszeresen meg kell ismételni.

A test oszcillációinak amplitúdója az egyensúlyi helyzettől való legnagyobb eltérésének nagysága.

Oszcillációs periódus egy teljes oszcilláció ideje. Azt mondhatjuk, hogy a test négy amplitúdójú utat jár be az adott időszakra.

Oszcillációs frekvencia az időszak reciproka: . A frekvenciát hertzben (Hz) mérik, és azt jelzi, hogy hány teljes rezgés fordul elő egy másodperc alatt.

Harmonikus rezgések.

Feltételezzük, hogy az oszcilláló test helyzetét egyetlen koordináta határozza meg. Az érték az egyensúlyi helyzetnek felel meg. A mechanika fő feladata ebben az esetben egy olyan függvény megtalálása, amely bármikor megadja a test koordinátáját.

Az oszcillációk matematikai leírásához természetes a periodikus függvények használata. Sok ilyen függvény létezik, de ezek közül kettő – a szinusz és a koszinusz – a legfontosabb. Számos jó tulajdonsággal rendelkeznek, és szorosan kapcsolódnak a fizikai jelenségek széles skálájához.

Mivel a szinusz és a koszinusz függvényt úgy kapjuk meg egymástól, hogy az argumentumot eltolja -val, ezért csak az egyikre korlátozhatjuk magunkat. A határozottság kedvéért a koszinuszot használjuk.

Harmonikus rezgések Olyan rezgések, amelyekben a koordináta függ az időtől a harmonikus törvény szerint:

(1)

Nézzük meg a képletben szereplő mennyiségek jelentését.

Pozitív érték az abszolút értékben mért legnagyobb koordinátaérték (mivel a koszinuszmodulus maximális értéke eggyel egyenlő), azaz a legnagyobb eltérés az egyensúlyi helyzettől. Ezért - a rezgések amplitúdója.

A koszinusz argumentumot ún fázis ingadozások. Az at fázis értékével megegyező értéket kezdeti fázisnak nevezzük. A kezdeti fázis a test kezdeti koordinátájának felel meg: .

Az értéket ún ciklikus frekvencia. Keressük kapcsolatát az oszcilláció periódusával és frekvenciájával. Egy teljes rezgés radiánnal egyenlő fázisnövekménynek felel meg: , honnan

(2)

(3)

A ciklikus frekvenciát rad/s-ban (radián per másodperc) mérjük.

A (2) és (3) kifejezésekkel összhangban az (1) harmonikus törvény rögzítésének további két formáját kapjuk:

ábrán látható az (1) függvény grafikonja, amely a koordináta időtől való függését fejezi ki harmonikus rezgések esetén. egy .

Az (1) alak harmonikus törvénye a legáltalánosabb természetű. Például arra a helyzetre ad választ, amikor az ingával egyidejűleg két kezdeti műveletet hajtottak végre: egy összeggel eltérítették, és kezdeti sebességet adtak neki. Két fontos speciális eset van, amikor az egyik műveletet nem hajtották végre.

Le kell utasítani az ingát, de a kezdeti sebességet nem jelentették (a kezdeti sebesség nélkül engedték el). Egyértelmű, hogy ebben az esetben, így tudjuk tenni. Megkapjuk a koszinusz törvényét:

A harmonikus rezgések grafikonja ebben az esetben az ábrán látható. 2.

Rizs. 2. A koszinusz törvénye

Tegyük fel most, hogy az ingát nem térítették ki, hanem egy ütéssel a kezdeti sebességet az egyensúlyi helyzetből adták neki. Ebben az esetben , így fel . Megkapjuk a szinusztörvényt:

Az ingadozások ütemezése az 1. ábrán látható. 3.

Rizs. 3. Szinusz törvénye

A harmonikus rezgések egyenlete.

Térjünk vissza az általános harmonikus törvényhez (1) . Megkülönböztetjük ezt az egyenletet:

. (4)

Most megkülönböztetjük a kapott (4) egyenlőséget:

. (5)

Hasonlítsuk össze az (1) kifejezést a koordinátára és az (5) kifejezést a gyorsulási vetületre. Látjuk, hogy a gyorsulási vetület csak a következő tényezőben tér el a koordinátától:

. (6)

Ezt az arányt ún harmonikus rezgések egyenlete. Így is átírható:

. (7)

Matematikai szempontból a (7) egyenlet az differenciálegyenlet. A differenciálegyenletek megoldásai függvények (és nem számok, mint a közönséges algebrában).
Tehát be tudjuk bizonyítani, hogy:

A (7) egyenlet megoldása az (1) alak tetszőleges függvénye tetszőleges ;

Semmilyen más függvény nem oldja meg ezt az egyenletet.

Más szóval, a (6) , (7) relációk ciklikus frekvenciájú harmonikus rezgéseket írnak le, és csak azokat. Két állandót határoznak meg a kezdeti feltételekből - a koordináta és a sebesség kezdeti értékei alapján.

Rugós inga.

Rugós inga egy rugóra rögzített terhelés, amely vízszintes vagy függőleges irányban oszcillálni képes.

Határozzuk meg a rugóinga kis vízszintes lengésének periódusát (4. ábra). Az oszcillációk kicsik lesznek, ha a rugó deformációjának nagysága sokkal kisebb, mint a méretei. Kisebb alakváltozásokhoz használhatjuk a Hooke-törvényt. Ez azt eredményezi, hogy az oszcillációk harmonikusak lesznek.

Elhanyagoljuk a súrlódást. A tömegnek van tömege, a rugóállandó pedig .

A koordináta annak az egyensúlyi helyzetnek felel meg, amelyben a rugó nem deformálódik. Ezért a rugó alakváltozásának nagysága megegyezik a terhelési koordináta modulusával.

Rizs. 4. Rugós inga

Vízszintes irányban csak a rugóból származó rugalmas erő hat a terhelésre. Newton második törvénye a tengely vetületében lévő terhelésre:

. (8)

Ha (a terhelés jobbra tolódik, mint az ábrán), akkor a rugalmas erő az ellenkező irányba irányul, és. Ezzel szemben, ha , akkor . A és előjelek mindig ellentétesek, így a Hooke-törvény a következőképpen írható fel:

Ekkor a (8) reláció a következő alakot ölti:

Megkaptuk a harmonikus rezgések (6) alakú egyenletét, amelyben

A rugóinga ciklikus rezgési frekvenciája tehát egyenlő:

. (9)

Innen és az arányból megtaláljuk a rugóinga vízszintes lengésének periódusát:

. (10)

Ha egy rugóra súlyt akasztasz, akkor egy rugós ingát kapsz, amely függőleges irányban oszcillál. Megmutatható, hogy ebben az esetben a (10) képlet az oszcillációs periódusra is érvényes.

Matematikai inga.

Matematikai inga - ez egy súlytalan, nyújthatatlan menetre felfüggesztett kis test (5. ábra). A matematikai inga függőleges síkban tud ingadozni a gravitációs térben.

Rizs. 5. Matematikai inga

Határozzuk meg a matematikai inga kis rezgésének periódusát. A szál hossza . A légellenállást figyelmen kívül hagyják.

Írjuk fel Newton második törvényét az ingára:

és vetítsd a tengelyre:

Ha az inga olyan pozíciót foglal el, mint az ábrán (azaz), akkor:

Ha az inga az egyensúlyi helyzet másik oldalán van (azaz), akkor:

Tehát az inga bármely helyzetéhez a következőket kapjuk:

. (11)

Ha az inga egyensúlyi helyzetben nyugalomban van, akkor az egyenlőség teljesül. Kisebb kilengések esetén, amikor az inga egyensúlyi helyzetétől való eltérései kicsik (a menet hosszához képest), a közelítő egyenlőség teljesül. Használjuk a (11) képletben:

Ez a harmonikus rezgések (6) alakú egyenlete, amelyben

Ezért a matematikai inga ciklikus rezgési frekvenciája egyenlő:

. (12)

Ezért a matematikai inga lengési periódusa:

. (13)

Felhívjuk figyelmét, hogy a (13) képlet nem tartalmazza a rakomány tömegét. A rugós ingától eltérően a matematikai inga lengési periódusa nem függ a tömegétől.

Szabad és kényszer rezgések.

A rendszer állítólag szabad rezgések, ha egyszer kivesszük az egyensúlyi helyzetből, és ezt követően magára hagyjuk. Nincs időszakos külső
Ugyanakkor a rendszert semmilyen hatás nem éri, és nincsenek a rendszerben rezgéseket támogató belső energiaforrások.

A fent említett rugó és matematikai ingák lengései a szabad rezgések példái.

A szabad rezgések frekvenciáját nevezzük természetes frekvencia oszcillációs rendszer. Tehát a (9) és (12) képlet megadja a rugó és a matematikai ingák természetes (ciklikus) rezgési frekvenciáját.

Idealizált helyzetben, súrlódás hiányában a szabad rezgések csillapítatlanok, azaz állandó amplitúdójúak és korlátlan ideig tartanak. A valós oszcillációs rendszerekben a súrlódás mindig jelen van, így a szabad rezgések fokozatosan csillapodnak (6. ábra).

Kényszer rezgések- ezek a rendszer által külső erő hatására, időben periodikusan változó rezgések (ún. hajtóerő).

Tegyük fel, hogy a rendszer természetes rezgésfrekvenciája , és a hajtóerő függ az időtől a harmonikus törvény szerint:

Egy ideig kényszerrezgések jönnek létre: a rendszer összetett mozgást hajt végre, amely kényszer- és szabad rezgések szuperpozíciója. A szabad rezgések fokozatosan csillapodnak, és egyensúlyi állapotban a rendszer kényszerrezgéseket hajt végre, amelyek szintén harmonikusnak bizonyulnak. Az állandó kényszerű rezgések frekvenciája egybeesik a frekvenciával
hajtóerő (egy külső erő, úgymond, rákényszeríti a frekvenciáját a rendszerre).

Az állandósult állapotú kényszerrezgések amplitúdója a hajtóerő frekvenciájától függ. Ennek a függőségnek a grafikonja az ábrán látható. 7.

Rizs. 7. Rezonancia

Látjuk, hogy a frekvencia közelében rezonancia lép fel - ez a jelenség az erőltetett rezgések amplitúdójának növekedésében. A rezonanciafrekvencia megközelítőleg megegyezik a rendszer természetes rezgésfrekvenciájával: , és ez az egyenlőség minél pontosabb, annál kisebb a súrlódás a rendszerben. Súrlódás hiányában a rezonanciafrekvencia egybeesik a természetes rezgésfrekvenciával, és az oszcilláció amplitúdója a végtelenségig nő.

A körülöttünk lévő fizikai világ tele van mozgással. Gyakorlatilag lehetetlen legalább egy olyan fizikai testet találni, amely nyugalomban lévőnek tekinthető. A komplex pálya mentén egyenletesen progresszív egyenes vonalú, gyorsulással járó mozgás és egyebek mellett saját szemünkkel is megfigyelhetjük vagy megtapasztalhatjuk az anyagi tárgyak periodikusan ismétlődő mozgásának hatását.

Az ember már régóta észrevette a jellegzetes tulajdonságokat és jellemzőket, sőt, megtanulta a mechanikai rezgéseket saját céljaira használni. Minden időközönként ismétlődő folyamatot fluktuációnak nevezhetünk. A mechanikai rezgések csak egy részét képezik ennek a sokrétű jelenségvilágnak, amely gyakorlatilag ugyanazon törvények szerint történik. A mechanikus ismétlődő mozgások jó példájával fel lehet állítani az alapvető szabályokat, meghatározni azokat a törvényszerűségeket, amelyek alapján az elektromágneses, elektromechanikus és egyéb oszcillációs folyamatok végbemennek.

A mechanikai rezgések előfordulásának természete a potenciális energia kinetikus energiává történő periodikus átalakulásában rejlik. Egy példa arra, hogyan alakul át az energia a mechanikai rezgések során, leírható egy rugóra felfüggesztett golyóval. Nyugalomban a gravitációt rugók egyensúlyozzák ki. De érdemes a rendszert erőszakkal kihozni az egyensúlyból, ezzel mozgást kiváltani az egyensúlyi pont oldaláról, mivel megkezdi átalakulását kinetikussá. És ez viszont attól a pillanattól kezdve, hogy a labda átmegy a nulla pozícióba, elkezd átalakulni potenciális golyóvá. Ez a folyamat addig tart, ameddig a rendszer létezésének feltételei tökéletesek.

Matematikailag a szinusz vagy koszinusz törvénye szerint fellépő rezgések tekinthetők ideálisnak. Az ilyen folyamatokat harmonikus rezgéseknek nevezzük. A mechanikai harmonikus rezgések ideális példája az inga mozgása, amikor a súrlódási erők nem befolyásolják. De ez egy teljesen tökéletes eset, amelyet technikailag nagyon problémás megvalósítani.

A mechanikai rezgések időtartamuk ellenére előbb-utóbb leállnak, és a rendszer relatív egyensúlyi helyzetbe kerül. Ez a légellenállás, a súrlódás és más tényezők leküzdésére fordított energiapazarlás miatt következik be, amelyek elkerülhetetlenül a számítások korrekciójához vezetnek az ideálisról a valós állapotra való átmenet során, amelyben a vizsgált rendszer létezik.

A mélyreható tanulmányozáshoz és elemzéshez közeledve elkerülhetetlenül eljutunk a mechanikai rezgések matematikai leírásának szükségességéhez. Ennek a folyamatnak a képletei olyan mennyiségeket tartalmaznak, mint az amplitúdó (A), (w), kezdeti fázis (a). Az elmozdulás (x) időtől (t) való függésének függvénye pedig a klasszikus formában

Érdemes megemlíteni a mechanikai rezgéseket jellemző mennyiséget is, melynek neve - periódus (T), amit matematikailag definiálunk:

A mechanikai rezgések a nem mechanikai jellegű lengési folyamatok leírásának láthatósága mellett néhány olyan tulajdonsággal is érdekesek számunkra, amelyek helyes alkalmazása esetén némi hasznot hozhatnak, figyelmen kívül hagyva pedig jelentős bajok.

Különös figyelmet kell fordítani az éles amplitúdóugrás jelenségére, amikor a hajtóerő hatásának gyakorisága megközelíti a test természetes rezgésének frekvenciáját. Ezt rezonanciának hívják. Az elektronikában, mechanikai rendszerekben széles körben alkalmazott rezonancia jelensége elsősorban destruktív, a legkülönfélébb mechanikai szerkezetek, rendszerek kialakításakor kell vele számolni.

A mechanikai rezgések következő megnyilvánulása a vibráció. Megjelenése nemcsak kellemetlenséget okozhat, hanem rezonanciához is vezethet. De a negatív hatás mellett az alacsony megnyilvánulási intenzitású helyi vibráció jótékony hatással lehet az emberi test egészére, javítva a központi idegrendszer funkcionális állapotát, sőt felgyorsíthatja stb.

A mechanikai rezgések megnyilvánulásai közül kiemelhető a hang jelensége, az ultrahang. E mechanikai hullámok hasznos tulajdonságait és a mechanikai rezgések egyéb megnyilvánulásait széles körben használják az emberi élet különböző ágaiban.

1. Ingadozások. időszakos ingadozások. Harmonikus rezgések.

2. Szabad rezgések. Csillapítatlan és csillapított rezgések.

3. Kényszerrezgések. Rezonancia.

4. Oszcillációs folyamatok összehasonlítása. Csillapítatlan harmonikus rezgések energiája.

5. Önrezgések.

6. Az emberi test oszcillációi és regisztrációjuk.

7. Alapfogalmak és képletek.

8. Feladatok.

1.1. Ingadozások. időszakos ingadozások.

Harmonikus rezgések

ingadozások a változó ismétlési fokban eltérő folyamatokat nevezzük.

ismétlődő bármely élő szervezetben folyamatosan zajlanak folyamatok, például: szívösszehúzódások, tüdőműködés; reszketünk, ha fázunk; a dobhártya és a hangszálak rezgéseinek köszönhetően hallunk és beszélünk; Séta közben a lábunk lengő mozdulatokat végez. Az atomok, amelyek rezgésre késztetnek bennünket. A világ, amelyben élünk, rendkívül hajlamos az ingadozásokra.

Az ismétlődő folyamat fizikai természetétől függően megkülönböztetünk rezgéseket: mechanikus, elektromos stb. Ez az előadás tárgyalja mechanikai rezgések.

Időszakos ingadozások

időszakos olyan rezgéseknek nevezzük, amelyekben a mozgás összes jellemzője egy bizonyos idő elteltével megismétlődik.

A periodikus oszcillációkhoz a következő jellemzőket kell használni:

oszcillációs periódus T, egyenlő azzal az idővel, amely alatt egy teljes rezgés megy végbe;

oszcillációs frekvenciaν, egyenlő a másodpercenkénti oszcillációk számával (ν = 1/T);

oszcillációs amplitúdó A, egyenlő az egyensúlyi helyzetből való maximális elmozdulással.

Harmonikus rezgések

Az időszakos ingadozások között különleges helyet foglal el harmonikus ingadozások. Fontosságukat a következő okok magyarázzák. Egyrészt a természetben és a technológiában előforduló rezgések gyakran a harmonikushoz nagyon közeli karakterrel rendelkeznek, másrészt a különböző formájú (más időfüggő) periodikus folyamatok több harmonikus rezgés szuperpozíciójaként is ábrázolhatók.

Harmonikus rezgések- ezek olyan oszcillációk, amelyekben a megfigyelt érték időben változik a szinusz vagy koszinusz törvénye szerint:

A matematikában az ilyen jellegű függvényeket ún harmonikus, ezért az ilyen függvényekkel leírt rezgéseket harmonikusnak is nevezik.

Az oszcilláló mozgást végző test helyzetét az jellemzi elmozdulás az egyensúlyi helyzetről. Ebben az esetben az (1.1) képletben szereplő mennyiségek jelentése a következő:

x- Elfogultság test a t időpontban;

DE - amplitúdó a maximális elmozdulással egyenlő ingadozások;

ω - körkörös frekvencia oszcillációk (a 2-ben végrehajtott rezgések száma π másodperc), az oszcillációs frekvenciához viszonyítva az aránnyal

φ = (ωt +φ 0) - fázis ingadozások (t időpontban); φ 0 - kezdeti fázis oszcillációk (t = 0-nál).

Rizs. 1.1. Az eltolás és az idő diagramja x(0) = A és x(0) = 0 esetén

1.2. Szabad rezgések. Csillapítatlan és csillapított rezgések

ingyenes vagy saját Olyan oszcillációknak nevezzük, amelyek egy magára hagyott rendszerben fordulnak elő, miután az egyensúlyból kikerült.

Példa erre a menetre felfüggesztett golyó oszcillációja. A rezgések előidézéséhez vagy meg kell tolni a labdát, vagy félremozdítva el kell engedni. Lökéskor a labda tájékoztat kinetikus energia, és eltérés esetén - lehetséges.

A szabad oszcilláció a kezdeti energiatartalék miatt történik.

Szabad csillapítatlan rezgések

A szabad rezgéseket csak súrlódási erő hiányában lehet csillapítani. Ellenkező esetben a kezdeti energiakészletet ennek leküzdésére fordítják, és az oszcillációk tartománya csökken.

Példaként vegyük egy súlytalan rugóra felfüggesztett test rezgéseit, amelyek a test lefelé billentése, majd elengedése után jelentkeznek (1.2. ábra).

Rizs. 1.2. Egy test rezgései egy rugón

A megfeszített rugó oldaláról a test hat rugalmas erő F arányos az elmozdulás mértékével X:

A k állandó tényezőt ún tavaszi árfolyamés méretétől és anyagától függ. A "-" jel azt jelzi, hogy a rugalmas erő mindig az elmozdulási iránnyal ellentétes irányba, azaz. egyensúlyi helyzetbe.

Súrlódás hiányában a rugalmas erő (1.4) az egyetlen erő, amely a testre hat. Newton második törvénye szerint (ma = F):

Miután az összes tagot átvisszük a bal oldalra, és elosztjuk a testtömeggel (m), differenciálegyenletet kapunk a súrlódás nélküli szabad rezgésekre:

Az ω 0 (1,6) érték egyenlőnek bizonyult a ciklikus frekvenciával. Ezt a frekvenciát ún saját.

Így a szabad rezgések súrlódás hiányában harmonikusak, ha az egyensúlyi helyzettől eltérve rugalmas erő(1.4).

Saját körlevél a frekvencia a szabad harmonikus rezgések fő jellemzője. Ez az érték csak az oszcilláló rendszer tulajdonságaitól függ (a vizsgált esetben a test tömegétől és a rugó merevségétől). A továbbiakban mindig az ω 0 szimbólumot fogjuk használni a jelölésre saját körfrekvencia(azaz a rezgések gyakorisága súrlódás nélkül).

A szabad rezgések amplitúdója az oszcillációs rendszer tulajdonságai (m, k) és a kezdeti időpillanatban a rá adott energia határozza meg.

Súrlódás hiányában a harmonikusokhoz közeli szabad rezgések más rendszerekben is fellépnek: matematikai és fizikai ingákban (e kérdések elméletét nem vesszük figyelembe) (1.3. ábra).

Matematikai inga- súlytalan menetre felfüggesztett kis test (anyagpont) (1.3 a ábra). Ha a menetet egy kis (legfeljebb 5°-os) α szöggel kitérítjük az egyensúlyi helyzetből és elengedjük, akkor a test a képlet által meghatározott periódusban rezeg.

ahol L a menet hossza, g a szabadesési gyorsulás.

Rizs. 1.3. Matematikai inga (a), fizikai inga (b)

fizikai inga- merev test, amely a gravitáció hatására egy rögzített vízszintes tengely körül oszcillál. Az 1.3 b ábra vázlatosan ábrázol egy fizikai ingát tetszőleges alakú test formájában, amely α szöggel eltér az egyensúlyi helyzettől. A fizikai inga lengési periódusát a képlet írja le

ahol J a test tehetetlenségi nyomatéka a tengely körül, m a tömeg, h a súlypont (C pont) és a felfüggesztési tengely (O pont) közötti távolság.

A tehetetlenségi nyomaték olyan mennyiség, amely a test tömegétől, méreteitől és a forgástengelyhez viszonyított helyzetétől függ. A tehetetlenségi nyomatékot speciális képletekkel számítják ki.

Szabad csillapított rezgések

A valós rendszerekben ható súrlódási erők jelentősen megváltoztatják a mozgás természetét: egy rezgőrendszer energiája folyamatosan csökken, és a rezgések vagy fokozatosan halkít vagy egyáltalán nem fordulnak elő.

Az ellenállási erő a test mozgásával ellentétes irányba irányul, és nem túl nagy sebességeknél arányos a sebességgel:

Az ilyen ingadozások grafikonja az ábrán látható. 1.4.

A csillapítás mértékének jellemzőjeként dimenzió nélküli mennyiséget használunk, ún logaritmikus csillapítás csökkenéseλ.

Rizs. 1.4. Eltolás az idő függvényében csillapított oszcillációk esetén

Logaritmikus csillapítás csökkenése egyenlő az előző rezgés amplitúdója és a következő oszcilláció amplitúdója arányának természetes logaritmusával.

ahol i az oszcilláció sorszáma.

Könnyen belátható, hogy a logaritmikus csillapítási csökkenést a képlet határozza meg

Erős csillapítás. Nál nél

ha a β ≥ ω 0 feltétel teljesül, a rendszer rezgés nélkül tér vissza az egyensúlyi helyzetbe. Az ilyen mozgást ún időszakos. Az 1.5. ábra az egyensúlyi helyzetbe való visszatérés két lehetséges módját mutatja be periodikus mozgás során.

Rizs. 1.5. időszakos mozgás

1.3. Kényszerrezgések, rezonancia

A súrlódási erők jelenlétében fellépő szabad rezgések csillapításra kerülnek. Folyamatos rezgéseket lehet létrehozni periodikus külső hatás segítségével.

kénytelen az ilyen rezgéseket nevezzük, amelyek során a rezgőrendszer külső periodikus erőhatásnak van kitéve (ezt hívják hajtóerőnek).

A hajtóerő változzon a harmonikus törvény szerint

Az erőltetett rezgések grafikonja az ábrán látható. 1.6.

Rizs. 1.6. Az elmozdulás és az idő diagramja a kényszerrezgéseknél

Látható, hogy a kényszerrezgések amplitúdója fokozatosan ér el állandó értéket. Az állandó kényszerű rezgések harmonikusak, gyakoriságuk megegyezik a hajtóerő frekvenciájával:

Az állandó kényszerű rezgések amplitúdóját (A) a következő képlet határozza meg:

Rezonancia Az erőltetett rezgések maximális amplitúdójának elérését nevezzük a hajtóerő frekvenciájának egy bizonyos értékénél.

Ha az (1.18) feltétel nem teljesül, akkor nem jön létre rezonancia. Ebben az esetben a hajtóerő frekvenciájának növekedésével a kényszerrezgések amplitúdója monoton csökken, nullára hajlik.

A kényszerrezgések A amplitúdójának grafikus függése a hajtóerő körfrekvenciájától a csillapítási együttható különböző értékeinél (β 1 > β 2 > β 3) az ábrán látható. 1.7. Az ilyen grafikonokat rezonanciagörbéknek nevezzük.

Egyes esetekben a rezgések amplitúdójának erős növekedése a rezonancia során veszélyes a rendszer erejére. Vannak esetek, amikor a rezonancia a szerkezetek megsemmisüléséhez vezetett.

Rizs. 1.7. Rezonancia görbék

1.4. Az oszcillációs folyamatok összehasonlítása. Csillapítatlan harmonikus rezgések energiája

Az 1.1. táblázat a vizsgált oszcillációs folyamatok jellemzőit mutatja be.

1.1. táblázat. A szabad és kényszerrezgések jellemzői

Csillapítatlan harmonikus rezgések energiája

A harmonikus rezgéseket végző testnek kétféle energiája van: a mozgás kinetikus energiája E k \u003d mv 2 / 2 és az E p potenciális energia, amely egy rugalmas erő hatásához kapcsolódik. Ismeretes, hogy a rugalmas erő hatására (1.4) a test potenciális energiáját az E p = kx 2 /2 képlet határozza meg. Csillapítatlan lengésekhez x= A cos(ωt), és a test sebességét a képlet határozza meg v= - A ωsin(ωt). Ebből kifejezéseket kapunk a csillapítatlan rezgéseket végző test energiáira:

A rendszer teljes energiája, amelyben csillapítatlan harmonikus rezgések fordulnak elő, ezen energiák összege, és változatlan marad:

Itt m a test tömege, ω és A a rezgések körfrekvenciája és amplitúdója, k a rugalmassági együttható.

1.5. Önrezgések

Vannak olyan rendszerek, amelyek maguk szabályozzák az elvesztett energia időszakos pótlását, ezért hosszú ideig ingadozhatnak.

Önrezgések- külső energiaforrás által támogatott csillapítatlan rezgések, amelyek ellátását maga az oszcillációs rendszer szabályozza.

Azokat a rendszereket, amelyekben ilyen oszcillációk lépnek fel, ún önoszcilláló. Az önrezgések amplitúdója és frekvenciája magának az önoszcilláló rendszernek a tulajdonságaitól függ. Az önoszcillációs rendszer a következő sémával ábrázolható:

Ebben az esetben maga az oszcillációs rendszer egy visszacsatolási csatornán keresztül hat az energiaszabályozóra, tájékoztatva azt a rendszer állapotáról.

Visszacsatolás bármely folyamat eredményének a lefolyására gyakorolt ​​hatásának nevezzük.

Ha egy ilyen hatás a folyamat intenzitásának növekedéséhez vezet, akkor a visszacsatolást hívják pozitív. Ha a hatás a folyamat intenzitásának csökkenéséhez vezet, akkor visszacsatolást hívunk negatív.

Egy önoszcilláló rendszerben pozitív és negatív visszacsatolás egyaránt jelen lehet.

Példa az önrezgő rendszerre egy óra, amelyben az inga ütéseket kap a megemelt súly vagy egy csavart rugó energiája miatt, és ezek az ütések azokban a pillanatokban fordulnak elő, amikor az inga áthalad a középső pozíción.

A biológiai önoszcillációs rendszerek példái az olyan szervek, mint a szív és a tüdő.

1.6. Az emberi test oszcillációi és regisztrációjuk

Az emberi test vagy egyes részei által keltett oszcillációk elemzését széles körben alkalmazzák az orvosi gyakorlatban.

Az emberi test oszcilláló mozgásai járás közben

A séta összetett periodikus mozgási folyamat, amely a törzs és a végtagok vázizomzatának összehangolt tevékenységéből adódik. A járási folyamat elemzése számos diagnosztikai jellemzőt kínál.

A járás jellegzetes vonása az egy lábbal (egyszeri támasztási periódus) vagy két lábbal (kettős támaszperiódus) végzett támaszpont periodikussága. Normális esetben ezeknek az időszakoknak az aránya 4:1. Séta közben a tömegközéppont (CM) periodikusan elmozdul a függőleges tengely mentén (általában 5 cm-rel) és oldalra (általában 2,5 cm-rel). Ebben az esetben a CM egy görbe mentén mozog, amelyet közelítőleg egy harmonikus függvénnyel ábrázolhatunk (1.8. ábra).

Rizs. 1.8. Az emberi test CM-jének függőleges elmozdulása járás közben

Összetett oszcilláló mozgások a test függőleges helyzetének megőrzése mellett.

A függőlegesen álló személy a láb közös tömegközéppontjának (MCM) és nyomásközéppontjának (CP) összetett oszcillációit tapasztalja a támaszsíkon. Ezen ingadozások elemzése alapján statokinemetria- egy módszer annak felmérésére, hogy egy személy képes-e egyenes testtartást tartani. Úgy, hogy a GCM vetületet a támogatási terület határának koordinátáin belül tartjuk. Ezt a módszert egy stabilometrikus analizátorral valósítjuk meg, amelynek fő része egy stabiloplatform, amelyen az alany függőleges helyzetben van. Az alany CP-je által a függőleges testtartás mellett keltett oszcillációk a stabiloplatformra kerülnek, és speciális nyúlásmérőkkel rögzítik. A nyúlásmérő jelek a rögzítőkészülékhez kerülnek. Ugyanakkor rögzítésre kerül statokinezigram - a tesztalany vízszintes síkban történő mozgásának pályája kétdimenziós koordináta-rendszerben. A harmonikus spektrum szerint statokinezigramok a vertikalizáció jellemzőit a normában és az attól való eltérésekkel lehet megítélni. Ez a módszer lehetővé teszi egy személy statokinetikai stabilitásának (SCR) mutatóinak elemzését.

A szív mechanikai rezgései

A szív vizsgálatára különféle módszerek léteznek, amelyek mechanikai periodikus folyamatokon alapulnak.

Ballisztokardiográfia(BCG) - a szívműködés mechanikai megnyilvánulásainak tanulmányozására szolgáló módszer, amely a test impulzus-mikromozgásának regisztrálásán alapul, amelyet a szív kamráiból a nagy erekbe történő vér kilökődése okoz. Ebből adódik a jelenség visszatér. Az emberi testet egy speciális mozgatható platformra helyezik, amely egy hatalmas, rögzített asztalon található. A platform a visszarúgás következtében összetett oszcilláló mozgásba kerül. A platform testtől való elmozdulásának időbeli függőségét ballisztokardiogramnak nevezzük (1.9. ábra), melynek elemzése lehetővé teszi a vér mozgásának és a szívműködés állapotának megítélését.

Apexcardiográfia(AKG) - egy módszer a mellkas alacsony frekvenciájú oszcillációinak grafikus regisztrálására a csúcsi ütem területén, amelyet a szív munkája okoz. Az apexcardiogram regisztrálása általában többcsatornás elektrokardiogramon történik.

Rizs. 1.9. Balisztokardiogram rögzítése

grafikonon egy piezokristályos érzékelővel, amely a mechanikai rezgések elektromos rezgésekké alakítója. A mellkas elülső falán történő rögzítés előtt tapintással meghatározzuk a maximális pulzáció (csúcsütés) pontját, amelyben az érzékelőt rögzítjük. Az érzékelő jelei alapján automatikusan apexcardiogram készül. Elvégzik az ACG amplitúdóanalízisét - a görbe amplitúdóit összehasonlítják a szív munkájának különböző fázisaiban a nulla vonaltól való maximális eltéréssel - az EO szegmenst, 100%-nak tekintve. Az 1.10. ábra az apexcardiogramot mutatja.

Rizs. 1.10. Apexcardiogram felvétel

Kinetokardiográfia(KKG) - egy módszer a mellkasfal alacsony frekvenciájú rezgésének rögzítésére, amelyet a szívműködés okoz. A kinetocardiogram eltér az apexcardiogramtól: az első a mellkasfal abszolút térbeli mozgásait, a második a bordaközi terek bordákhoz viszonyított ingadozásait rögzíti. Ez a módszer meghatározza az elmozdulást (KKG x), a mozgás sebességét (KKG v), valamint a gyorsulást (KKG a) a mellkasi oszcillációkhoz. Az 1.11. ábra különböző kinetokardiogramok összehasonlítását mutatja be.

Rizs. 1.11. Az elmozdulás (x), a sebesség (v), a gyorsulás (a) kinetokardiogramjának rögzítése

Dynamocardiographia(DKG) - módszer a mellkasi súlypont mozgásának felmérésére. A dinamokardiográf lehetővé teszi az emberi mellkasból ható erők regisztrálását. A dinamokardiogram rögzítéséhez a pácienst a hátán fekve az asztalra kell helyezni. A mellkas alatt egy érzékelő eszköz található, amely két 30x30 cm-es merev fémlemezből áll, amelyek között rugalmas elemek találhatók, amelyekre nyúlásmérőket szereltek. Időnként változó nagyságrendű és alkalmazási hely, a vevőkészülékre ható terhelés három összetevőből áll: 1) állandó komponens - a mellkas tömege; 2) változó - a légzőmozgások mechanikai hatása; 3) változó - a szív összehúzódását kísérő mechanikai folyamatok.

A dinamokardiogram rögzítése az alany lélegzetének visszatartásával történik két irányban: a vevőkészülék hosszanti és keresztirányú tengelyéhez képest. A különböző dinamokardiogramok összehasonlítása az 1. ábrán látható. 1.12.

Szeizmokardiográfia az emberi test szív munkája által okozott mechanikai rezgések regisztrálásán alapul. Ennél a módszernél a xiphoid folyamat alapjának tartományába telepített szenzorok segítségével szívimpulzust rögzítenek a szív mechanikai aktivitása miatt az összehúzódás időszakában. Ugyanakkor az érrendszer szöveti mechanoreceptorainak aktivitásával kapcsolatos folyamatok zajlanak, amelyek akkor aktiválódnak, amikor a keringő vér térfogata csökken. A szeizmokardioszignál a szegycsont oszcillációinak alakját alkotja.

Rizs. 1.12. Normál longitudinális (a) és transzverzális (b) dinamokardiogram felvétele

Rezgés

A különféle gépek és mechanizmusok széles körű bevezetése az emberi életbe növeli a munka termelékenységét. Számos mechanizmus munkája azonban olyan rezgések előfordulásával jár, amelyek átadódnak egy személyre, és káros hatással vannak rá.

Rezgés- a test kényszerrezgései, amelyekben vagy az egész test egészében oszcillál, vagy annak különálló részei eltérő amplitúdójú és frekvenciával oszcillálnak.

Az ember folyamatosan különféle vibrációs hatásokat tapasztal a közlekedésben, a munkahelyén, otthonában. A test bármely pontján fellépő rezgések (például egy kalapácsot tartó munkás keze) rugalmas hullámok formájában terjednek az egész testben. Ezek a hullámok a test szöveteiben különböző típusú deformációkat okoznak (kompresszió, feszültség, nyírás, hajlítás). A rezgések személyre gyakorolt ​​hatása számos, a rezgéseket jellemző tényezőnek köszönhető: frekvencia (frekvencia spektrum, alapfrekvencia), amplitúdó, egy rezgéspont sebessége és gyorsulása, az oszcillációs folyamatok energiája.

A hosszan tartó rezgéseknek való kitettség tartós zavarokat okoz a szervezet normális élettani funkcióiban. „Vibrációs betegség” jelentkezhet. Ez a betegség számos súlyos rendellenességhez vezet az emberi szervezetben.

A rezgések testre gyakorolt ​​hatása függ a rezgések intenzitásától, gyakoriságától, időtartamától, alkalmazásuk helyétől és irányától a testhez, testtartáshoz, valamint az ember állapotától és egyéni jellemzőitől.

A 3-5 Hz frekvenciájú fluktuációk a vesztibuláris apparátus reakcióit, érrendszeri rendellenességeket okoznak. 3-15 Hz-es frekvenciákon az egyes szervek (máj, gyomor, fej) és a test egészének rezonáns rezgésével kapcsolatos rendellenességek figyelhetők meg. A 11-45 Hz-es frekvenciájú ingadozások homályos látást, hányingert és hányást okoznak. A 45 Hz-et meghaladó frekvenciákon az agy ereinek károsodása, a vérkeringés zavara stb. Az 1.13. ábra azokat a rezgési frekvenciatartományokat mutatja, amelyek káros hatással vannak az emberre és szervrendszereire.

Rizs. 1.13. A rezgés emberre gyakorolt ​​káros hatásainak frekvenciatartományai

Ugyanakkor bizonyos esetekben a rezgéseket az orvostudományban használják. Például egy speciális vibrátor segítségével a fogorvos amalgámot készít. A nagyfrekvenciás vibrációs eszközök használata lehetővé teszi egy összetett alakú lyuk fúrását a fogba.

A vibrációt masszázsban is alkalmazzák. A kézi masszázsnál a masszírozott szöveteket a masszőr kezei segítségével oszcilláló mozgásba hozzák. Hardveres masszázsnál vibrátorokat használnak, amelyekben különböző formájú hegyek segítségével oszcilláló mozgásokat továbbítanak a test felé. A vibrációs eszközök az általános rezgést kiváltó eszközökre oszthatók, amelyek az egész test rázkódását okozzák (rezgő "szék", "ágy", "platform" stb.), valamint az egyes testrészekre gyakorolt ​​helyi rezgéshatást gátló eszközökre.

Mechanoterápia

A fizioterápiás gyakorlatokban (LFK) szimulátorokat használnak, amelyeken az emberi test különböző részeinek oszcilláló mozgásait hajtják végre. -ben használják mechanoterápia - mozgásterápia forma, melynek egyik feladata az ízületek edzését, illetve mozgásképességének helyreállítását célzó adagolt, ritmikusan ismételt fizikai gyakorlatok végrehajtása inga típusú eszközökön. Ezeknek az eszközöknek az alapja a kiegyensúlyozás (fr. egyensúlyozó- lengés, egyensúlyozás) inga, amely egy rögzített tengely körül lengő (ringató) mozgásokat végző kétkarú kar.

1.7. Alapfogalmak és képletek

A táblázat folytatása

A táblázat folytatása

A táblázat vége

1.8. Feladatok

1. Mondjon példákat ember oszcillációs rendszereire!

2. Felnőtteknél a szív percenként 70 összehúzódást végez. Határozza meg: a) az összehúzódások gyakoriságát; b) a vágások száma 50 év alatt

Válasz: a) 1,17 Hz; b) 1,84x10 9 .

3. Milyen hosszúnak kell lennie egy matematikai ingának, hogy rezgési periódusa 1 másodperc legyen?

4. Egy 1 m hosszú, vékony, egyenes homogén rúd a végénél van felfüggesztve egy tengelyen. Határozza meg: a) mekkora a rezgési periódusa (kis)? b) mekkora az azonos rezgésperiódusú matematikai inga?

5. Egy 1 kg tömegű test az x = 0,42 cos (7,40t) törvény szerint oszcillál, ahol t-t másodpercben, x-et méterben mérik. Keresse meg: a) amplitúdót; b) gyakoriság; c) összenergia; d) kinetikai és potenciális energiák x = 0,16 m-nél.

6. Becsülje meg azt a sebességet, amellyel egy személy lépéshosszal sétál l= 0,65 m. Lábhossz L = 0,8 m; a súlypont a lábtól H = 0,5 m távolságra van. A láb csípőízülethez viszonyított tehetetlenségi nyomatékához használja az I = 0,2 ml 2 képletet.

7. Hogyan határozhatja meg egy kis test tömegét egy űrállomáson, ha van egy óra, egy rugó és egy súlykészlet?

8. A csillapított rezgések amplitúdója 10 oszcilláció alatt az eredeti érték 1/10-ével csökken. Oszcillációs periódus T = 0,4 s. Határozza meg a logaritmikus csökkenést és csillapítási tényezőt!

ingadozások- Ezek bizonyos időközönként pontosan vagy megközelítőleg ismétlődő mozgások vagy folyamatok.

Mechanikai rezgések - mechanikai mennyiségek ingadozása (elmozdulás, sebesség, gyorsulás, nyomás stb.).

A mechanikai rezgések (az erők természetétől függően) a következők:

ingyenes;

kényszerű;

önrezgések.

ingyenes rezgéseknek nevezzük, amelyek akkor lépnek fel, amikor egy külső erő egyetlen fellépése (az energia kezdeti üzenete) és az oszcillációs rendszerre gyakorolt ​​külső hatás hiányában.

Ingyenes (vagy saját)- ezek a rendszerben belső erők hatására bekövetkező rezgések, miután a rendszer kikerül az egyensúlyi helyzetből (valós körülmények között a szabad rezgések mindig csillapításra kerülnek).

A szabad rezgések előfordulásának feltételei

1. Az oszcillációs rendszernek stabil egyensúlyi helyzetűnek kell lennie.

2. Amikor a rendszert eltávolítjuk az egyensúlyi helyzetből, eredő erőnek kell fellépnie, amely visszaállítja a rendszert az eredeti helyzetébe

3. A súrlódási (ellenállási) erők nagyon kicsik.

Kényszer rezgések- idővel változó külső erők hatására fellépő fluktuációk.

Önrezgések- csillapítatlan rezgések a rendszerben, belső energiaforrások által támogatott külső változó erő hiányában.

Az önrezgések gyakoriságát és amplitúdóját magának az oszcillációs rendszernek a tulajdonságai határozzák meg.

Az önrezgések abban különböznek a szabad rezgésektől, hogy az amplitúdó független az időtől és az oszcilláció folyamatát gerjesztő kezdeti hatástól.

Az önoszcilláló rendszer a következőkből áll: oszcillációs rendszer; energiaforrás; visszacsatoló eszköz, amely szabályozza az energia áramlását egy belső energiaforrásból egy oszcillációs rendszerbe.

A forrásból egy periódusban érkező energia megegyezik az oszcillációs rendszer által ugyanabban az időben elvesztett energiával.

A mechanikai rezgések a következőkre oszthatók:

fakulás;

száraz.

csillapított rezgések- fluktuációk, amelyek energiája idővel csökken.

Az oszcillációs mozgás jellemzői:

állandó:

amplitúdó (A)

időszak (T)

frekvencia()

A rezgő test legnagyobb (abszolút értékben) eltérését az egyensúlyi helyzettől ún. rezgés amplitúdója. Az amplitúdót általában A betűvel jelöljük.

Azt az időtartamot, amely alatt a test egy teljes rezgést végrehajt, nevezzük oszcilláció periódusa.

Az oszcilláció periódusát általában T betűvel jelölik, és SI-ben másodpercben (s) mérik.

Az egységnyi idő alatti rezgések számát ún oszcillációs frekvencia.

A frekvenciát v betű jelöli („nu”). A frekvencia egysége másodpercenként egy rezgés. Ezt az egységet Hertz-nek (Hz) nevezték el Heinrich Hertz német tudós tiszteletére.

a T lengési periódus és a v rezgési frekvencia a következő összefüggéssel függ össze:

T=1/ vagy =1/T.

Ciklikus (kör) frekvencia ω az oszcillációk száma 2π másodpercben

Harmonikus rezgések- az elmozdulással arányos és azzal ellentétes irányú erő hatására fellépő mechanikai rezgések. A harmonikus rezgések a szinusz vagy koszinusz törvénye szerint jönnek létre.

Hagyja, hogy az anyagi pont harmonikus rezgéseket hajtson végre.

A harmonikus rezgések egyenletének van formája:

a - gyorsulás V - sebesség q - töltés A - amplitúdó t - idő