Formula za pronalaženje površine jednakokračnog trokuta. Kako pronaći površinu trokuta (formule)

Slovne oznake stranica i kutova na gornjoj slici odgovaraju oznakama navedenim u formulama. Ovo će vam pomoći da ih uskladite s elementima jednakokračnog trokuta. Iz uvjeta zadatka odredite koji su elementi poznati, pronađite njihove oznake na crtežu i odaberite odgovarajuću formulu.

Formula za površinu jednakokračnog trokuta

Sljedeće su formule za pronalaženje površine jednakokračnog trokuta: kroz stranice, stranicu i kut između njih, kroz stranicu, osnovicu i kut pri vrhu, kroz stranicu baze i kut pri bazi itd. Samo pronađite najprikladniju na slici lijevo. Za one najznatiželjnije, tekst s desne strane objašnjava zašto je formula točna i kako se točno pomoću nje može pronaći područje.

1. može se naći znajući njegovu stranu i osnovu. Ovaj izraz je dobiven pojednostavljivanjem općenitije, univerzalne formule. Ako uzmemo Heronovu formulu kao osnovu, a zatim uzmemo u obzir da su dvije stranice trokuta međusobno jednake, tada se izraz pojednostavljuje na formulu prikazanu na slici.
   Primjer korištenja takve formule dan je u primjeru rješavanja zadatka u nastavku.
2. Druga formula vam omogućuje da pronađete njegovo područje kroz stranice i kut između njih je polovica kvadrata stranice, pomnožena sa sinusom kuta između stranica
   Ako mentalno spustimo visinu na stranicu jednakokračnog trokuta, primijetit ćemo da će njegova duljina biti jednaka a * sin β. Budući da nam je duljina bočne stranice poznata, visina prebačena na nju sada je poznata, polovica njihovog umnoška bit će jednaka površini zadanog jednakokračnog trokuta (Objašnjenje: puni umnožak daje površinu pravokutnik, što je očito. Visina dijeli ovaj pravokutnik na dva mala pravokutnika, pri čemu su stranice trokuta njihove dijagonale koje ih dijele točno na pola. Dakle, površina jednakokračnog trokuta bit će jednaka polovica umnoška bočne stranice i visine). Vidi također Formulu 5
3. Treća formula pokazuje pronalaženje područja kroz kut stranice, baze i vrha.
   Strogo govoreći, znajući jedan od kutova jednakokračnog trokuta, možete pronaći ostale, tako da je korištenje ove ili prethodne formule stvar ukusa (usput, zato se možete sjetiti samo jednog od njih).
   Treća formula također ima još jednu zanimljivost - proizvod grijeh α dat će nam duljinu visine spuštene na bazu. Kao rezultat toga, dobivamo jednostavnu i očitu formulu 5.
4. Površina jednakokračnog trokuta također se može naći kroz bočnu stranu baze i kut na bazi(kutovi na bazi su jednaki) kao kvadrat baze podijeljen s četiri tangente polovice kuta koji čine njezine stranice. Ako bolje pogledate, postaje očito da nam polovica baze (b/2) pomnožena s tan(β/2) daje visinu trokuta. Kako je visina u jednakokračnom trokutu istovremeno i simetrala i središnja, tada je tg(β/2) omjer polovice osnovice (b/2) i visine - tg(β/2) = (b/2)/h. Odatle je h = b / (2 tan(β/2)). Kao rezultat toga, formula će se opet svesti na jednostavniju Formulu 5, što je sasvim očito.
5. Naravno površina jednakokračnog trokuta može se pronaći ispuštanjem visine od vrha do baze, što rezultira u dva pravokutna trokuta. Dalje - sve je očito. Pola umnoška visine i baze i postoji potrebna površina. Za primjer korištenja ove formule pogledajte problem u nastavku (2. metoda rješenja)
6. Ova se formula dobiva ako pokušate pronaći područje jednakokračnog trokuta koristeći Pitagorin teorem. Da bismo to učinili, izražavamo visinu iz prethodne formule, koja je ujedno i krak pravokutnog trokuta kojeg čine stranica, polovica njegove osnovice i visina, kroz Pitagorin poučak. Bočna strana je hipotenuza, stoga od kvadrata bočne strane (a) oduzimamo kvadrat druge noge. Budući da je jednak polovici baze (b/2), njegov kvadrat će biti jednak b 2 /4. Izvlačenje korijena iz ovog izraza će nam dati visinu. Kao što se može vidjeti u Formuli 6. Ako se brojnik i nazivnik pomnože s dva, a zatim se dva od brojnika upiše ispod znaka korijena, dobiva se druga verzija iste formule koja se piše kroz znak jednakosti.
   Inače, oni najpametniji vide da ako otvorite zagrade u Formuli 1, to će se pretvoriti u Formulu 6. Ili obrnuto, razlika kvadrata dvaju brojeva, faktorizirana, dat će nam onaj izvorni, prvi.

Oznake, koji su primijenjeni u formulama na slici:

a- duljina jedne od dviju jednakih stranica trokuta

b- duljina baze

α - veličina jednog od dva jednaka kuta na bazi

β - veličina kuta između jednakih stranica trokuta i one nasuprot njegovoj osnovici

h- duljina visine spuštene s vrha jednakokračnog trokuta na osnovicu

Važno. Obratite pozornost na oznake varijabli! Nemojte se zbuniti α I β, i a I b!

Bilješka. Ovo je dio lekcije s geometrijskim problemima (površina presjeka jednakokračnog trokuta). Evo problema koje je teško riješiti. Ako trebate riješiti geometrijski problem koji nije ovdje, pišite o tome na forumu. Za označavanje radnje vađenja kvadratnog korijena u rješenjima problema koristi se simbol √ ili sqrt(), s radikalnim izrazom naznačenim u zagradama.

Zadatak

Stranica jednakokračnog trokuta iznosi 13 cm, a osnovica 10 cm. Pronađite područje jednakokračan trokut.

Riješenje.

1. metoda. Primijenimo Heronovu formulu. Budući da je trokut jednakokračan, poprimit će jednostavniji oblik (pogledajte formulu 1 na gornjem popisu formula):

gdje je a duljina stranica, a b duljina baze.
Zamjenom vrijednosti duljina stranica trokuta iz tvrdnje problema dobivamo:
S = 1/2 * 10 * √ ((13 + 5)(13 - 5)) = 5 √ (18 * 8) = 60 cm 2

2. metoda. Primijenimo Pitagorin teorem
Pretpostavimo da se ne sjećamo formule korištene u prvom rješenju. Stoga spustimo visinu BK iz vrha B na osnovicu AC.
Budući da visina jednakokračnog trokuta dijeli njegovu osnovicu na pola, duljina polovice osnovice bit će jednaka
AK = AC / 2 = 10 / 2 = 5 cm.

Visina s polovicom osnovice i stranicom jednakokračnog trokuta čini pravokutni trokut ABK. U tom trokutu znamo hipotenuzu AB i krak AK. Izrazimo duljinu drugog kraka kroz Pitagorin teorem.

Ne javlja se samo kod učenika ili studenata, već iu stvarnom, praktičnom životu. Na primjer, tijekom izgradnje postaje potrebno završiti fasadu koja se nalazi ispod krova. Kako izračunati potrebnu količinu materijala?

Obrtnici koji rade s tkaninom ili kožom često se suočavaju sa sličnim problemima. Uostalom, mnogi dijelovi koje majstor mora izrezati imaju točno oblik jednakokračnog trokuta.

Dakle, postoji nekoliko načina za pronalaženje površine jednakokračnog trokuta. Prvi je izračunavanje prema bazi i visini.

Da bismo ga riješili, trebamo konstruirati, radi jasnoće, trokut MNP s osnovicom MN i visinom PO. Sada dovršimo nešto na crtežu: iz točke P nacrtaj liniju paralelnu s bazom, a iz točke M - liniju paralelnu s visinom. Nazovimo točku sjecišta Q. Da biste saznali kako pronaći područje jednakokračnog trokuta, morate uzeti u obzir rezultirajući četverokut MOPQ, u kojem je bočna strana trokuta MP koja nam je dana već njegova dijagonala.

Dokažimo prvo da je ovo pravokutnik. Budući da smo ga sami izgradili, znamo da su stranice MO i OQ paralelne. I stranice QM i OP su također paralelne. Kut POM je prav, pa je i kut OPQ prav. Dakle, dobiveni četverokut je pravokutnik. Pronalaženje njegove površine nije teško; ona je jednaka umnošku PO i OM. OM je polovica osnovice ovog MPN trokuta. Slijedi da je površina pravokutnika koji smo konstruirali jednaka polovici umnoška visine pravokutnog trokuta i njegove baze.

Druga faza zadatka koji je pred nas, kako odrediti površinu trokuta, je dokazati činjenicu da pravokutnik koji smo dobili po površini odgovara zadanom jednakokračnom trokutu, odnosno da je površina trokut je također jednak poluproizvodu baze i visine.

Usporedimo prvo trokut PON i PMQ. Oba su pravokutna, jer je pravi kut u jednom od njih formirana visinom, a pravi kut u drugom je kut pravokutnika. Hipotenuze u njima su stranice jednakokračnog trokuta, stoga su i jednake. Stranice PO i QM također su jednake kao paralelne stranice pravokutnika. To znači da su površine trokuta PON i trokuta PMQ međusobno jednake.

Površina pravokutnika QPOM jednaka je zbroju površina trokuta PQM i MOP. Zamjenom izgrađenog trokuta QPM s trokutom PON, ukupno dobivamo trokut koji nam je dan za izvođenje teorema. Sada znamo kako pronaći površinu jednakokračnog trokuta na temelju njegove baze i visine - izračunajte njihov poluprodukt.

Ali možete saznati kako pronaći područje jednakokračnog trokuta koristeći njegovu bazu i stranu. Ovdje također postoje dvije opcije: Heronov i Pitagorin teorem. Razmotrimo rješenje pomoću Pitagorinog teorema. Na primjer, uzmimo isti PMN s visinom PO.

U pravokutnom trokutu POM MP je hipotenuza. Njegov kvadrat jednak je zbroju kvadrata PO i OM. A budući da je OM polovica baze koju znamo, lako možemo pronaći OM i kvadrirati broj. Oduzimanjem dobivenog broja od kvadrata hipotenuze saznajemo koliko je jednak kvadrat druge katete, koja je u jednakokračnom trokutu visina. Nakon što smo iz razlike pronašli i saznali visinu pravokutnog trokuta, možemo dati odgovor na postavljeni zadatak.

Vi samo trebate pomnožiti visinu s bazom i podijeliti rezultat na pola. Objasnili smo zašto to treba učiniti u prvoj verziji dokaza.

Događa se da morate izračunati stranu i kut. Zatim nalazimo visinu i bazu koristeći formulu sa sinusima i kosinusima, i, opet, pomnožimo ih i podijelimo rezultat na pola.

Kako bi pomogli svom djetetu oko zadaće, roditelji i sami moraju znati mnoge stvari. Kako pronaći površinu jednakokračnog trokuta, kako se participni izraz razlikuje od participnog izraza, što je ubrzanje gravitacije?

Vaš sin ili kći mogu imati problema s bilo kojim od ovih pitanja, pa će se obratiti vama za pojašnjenje. Kako ne biste pali na lice i zadržali svoj autoritet u očima djece, vrijedi osvježiti neke elemente školskog programa.

Uzmimo kao primjer pitanje jednakokračnog trokuta. Mnogima je geometrija u školi teška, a nakon škole se najbrže zaboravlja.

Ali kad vaša djeca uđu u 8. razred, morat ćete zapamtiti formule o geometrijskim oblicima. Jednakokračni trokut jedna je od najjednostavnijih figura u smislu pronalaženja njegovih parametara.

Ako je sve što ste nekoć učili o trokutima zaboravljeno, prisjetimo se. Jednakokračni trokut je onaj u kojem su dvije stranice iste duljine. Ti jednaki bridovi nazivaju se bočnim stranicama jednakokračnog trokuta. Treća strana je njegov temelj.

Postoji opcija u kojoj su sve 3 strane jednake. Naziva se jednakostraničnim trokutom. Sve formule primijenjene na jednakokračnik vrijede za njega, a ako je potrebno, bilo koja njegova stranica može se nazvati bazom.

Da bismo pronašli područje, bazu moramo podijeliti na pola. Ravna linija spuštena do dobivene točke od vrha koji povezuje stranice presijecat će bazu pod pravim kutom.

Ovo je svojstvo takvih trokuta: središnja crta, to jest ravna crta od vrha do sredine suprotne stranice, u jednakokračnom trokutu je njegova simetrala (ravna crta koja kut dijeli na pola) i njegova visina (okomica na suprotnu stranu).

Da biste pronašli područje jednakokračnog trokuta, morate pomnožiti njegovu visinu s bazom, a zatim podijeliti ovaj proizvod na pola.

Da biste pronašli površinu trokuta, formula je jednostavna: S=ah/2, gdje je a duljina baze, h visina.

To se može jasno objasniti na sljedeći način. Izrežite sličan oblik od papira, pronađite sredinu baze, nacrtajte visinu do ove točke i pažljivo izrežite po toj visini. Dobit ćete dva pravokutna trokuta.

Postavimo li ih hipotenuzama (dužim stranicama) jednu do druge, formirat ćemo pravokutnik čija će jedna stranica biti jednaka visini našeg lika, a druga polovici njegove baze. Odnosno, formula će biti potvrđena.

Vizualna demonstracija je vrlo važna. Ako vaše dijete nauči ne bezumno pamtiti formule, već razumjeti njihovo značenje, geometrija mu se više neće činiti teškim predmetom.

Najbolji učenik u razredu nije onaj koji uči napamet, već onaj koji misli i, što je najvažnije, razumije.

Kako pronaći površinu figure ako je jedan kut ispravan?

Može se ispostaviti da je kut između stranica danog trokutastog lika 90°. Tada će se taj trokut zvati pravokutni trokut, njegove stranice katete, a osnovica hipotenuza.

Površina takve figure može se izračunati gornjom metodom (pronađite sredinu hipotenuze, nacrtajte visinu do nje, pomnožite je s hipotenuzom, podijelite je na pola). Ali problem se može riješiti mnogo jednostavnije.

Počnimo s jasnoćom. Pravokutni jednakokračni trokut je točno polovica kvadrata kada je prerezan dijagonalno. A ako se površina kvadrata pronađe jednostavnim podizanjem njegove strane na drugu potenciju, tada će površina figure koja nam je potrebna biti upola manja.

S=a 2 /2, gdje je a duljina kraka.

Površina jednakokračnog pravokutnog trokuta jednaka je polovici kvadrata njegove stranice. Ispostavilo se da problem nije tako ozbiljan kao što se činilo na prvi pogled.

Rješavanje geometrijskih problema ne zahtijeva nadljudske napore i može biti korisno ne samo djeci, već i vama pri pronalaženju odgovora na sva praktična pitanja.

Geometrija je egzaktna znanost. Udubite li se u njegove osnove, bit će malo poteškoća s tim, a logika dokaza može uvelike zaokupiti vaše dijete. Samo mu treba malo pomoći. Koliko god dobrog učitelja dobio, roditeljska pomoć neće biti suvišna.

A u slučaju proučavanja geometrije, gore navedena metoda bit će vrlo korisna - jasnoća i jednostavnost objašnjenja.

Istodobno, ne smijemo zaboraviti na točnost formulacija, inače ovu znanost možemo učiniti mnogo složenijom nego što zapravo jest.

Saznajte kako pronaći površinu paralelograma. Kvadrati i pravokutnici su paralelogrami, kao i svaki drugi četverostrani lik u kojem su suprotne stranice paralelne. Površina paralelograma izračunava se po formuli: S = bh, gdje je "b" baza (donja strana paralelograma), "h" je visina (udaljenost od gornje do donje strane; visina uvijek siječe bazu pod kutom od 90°).

• Kod kvadrata i pravokutnika visina je jednaka stranici jer stranice sijeku vrh i dno pod pravim kutom.

1. Usporedite trokute i paralelograme. Postoji jednostavna veza između ovih brojki. Ako bilo koji paralelogram prerežete dijagonalno, dobit ćete dva jednaka trokuta. Slično, ako zbrojite dva jednaka trokuta, dobit ćete paralelogram. Stoga se površina bilo kojeg trokuta izračunava po formuli: S = ½ bh, što je polovina površine paralelograma.

   Nađi osnovicu jednakokračnog trokuta. Sada znate formulu za izračunavanje površine trokuta; Ostaje saznati što su "baza" i "visina". Osnovica (označena kao "b") je stranica koja nije jednaka drugim dvjema (jednakim) stranicama.

2. Spustite okomicu na bazu. Napravite to od vrha trokuta, koji je nasuprot osnovici. Ne zaboravite da okomica siječe bazu pod pravim kutom. Ova okomica je visina trokuta (označena kao "h"). Nakon što pronađete vrijednost "h", možete izračunati površinu trokuta.

   • U jednakokračnom trokutu visina siječe osnovicu točno u sredini.

3. Pogledajte polovicu jednakokračnog trokuta. Primijetite da je visina podijelila jednakokračni trokut na dva jednaka pravokutna trokuta. Pogledajte jedan od njih i pronađite njegove strane:

   • Kraća stranica jednaka je polovici baze: b 2 (\displaystyle (\frac (b)(2))).
   • Druga stranica je visina "h".
   • Hipotenuza pravokutnog trokuta je bočna stranica jednakokračnog trokuta; Označimo to sa "s".

4. Koristite Pitagorinu teoremu. Ako su poznate dvije stranice pravokutnog trokuta, njegova se treća stranica može izračunati pomoću Pitagorinog teorema: (stranica 1) 2 + (stranica 2) 2 = (hipotenuza) 2. U našem će se primjeru Pitagorin teorem napisati ovako: .

   • Najvjerojatnije poznajete Pitagorin teorem u sljedećoj notaciji: a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)). Koristimo riječi strana 1, strana 2 i hipotenuza kako bismo spriječili zabunu s primjerima varijabli.

5. Izračunajte vrijednost "h". Zapamtite da u formuli za izračunavanje površine trokuta postoje varijable "b" i "h", ali vrijednost "h" je nepoznata. Prepišite formulu za izračunavanje "h":

   • (b 2) 2 + h 2 = s 2 (\displaystyle ((\frac (b)(2)))^(2)+h^(2)=s^(2))
     h 2 = s 2 − (b 2) 2 (\displaystyle h^(2)=s^(2)-((\frac (b)(2)))^(2))
     .

6. Zamijenite poznate vrijednosti u formulu i izračunajte "h". Ova se formula može primijeniti na bilo koji jednakokračni trokut čije su stranice poznate. Zamijenite vrijednost baze za "b" i vrijednost stranice za "s" da biste pronašli vrijednost "h".

   • U našem primjeru: b = 6 cm; s = 5 cm.
   • Zamijenite vrijednosti u formulu:
     h = (s 2 − (b 2) 2) (\displaystyle h=(\sqrt (())s^(2)-((\frac (b)(2)))^(2)))
     h = (5 2 − (6 2) 2) (\displaystyle h=(\sqrt (())5^(2)-((\frac (6)(2)))^(2)))
     h = (25 − 3 2) (\displaystyle h=(\sqrt (())25-3^(2)))
     h = (25 − 9) (\displaystyle h=(\sqrt (())25-9))
     h = (16) (\displaystyle h=(\sqrt (())16))
     h = 4 (\displaystyle h=4) cm.

7. Uključite vrijednosti baze i visine u formulu za izračunavanje površine trokuta. Formula: S = ½bh; Zamijenite vrijednosti "b" i "h" u nju i izračunajte površinu. Obavezno upišite kvadratne jedinice u svoj odgovor.

   • U našem primjeru baza je 6 cm, a visina 4 cm.
   • S = ½ bh
     S = ½(6 cm)(4 cm)
     S = 12 cm 2.

8. Pogledajmo složeniji primjer. U većini slučajeva dobit ćete teži zadatak od onog koji je opisan u našem primjeru. Da biste izračunali visinu, morate uzeti kvadratni korijen, koji se u pravilu ne uzima u cijelosti. U tom slučaju zapišite vrijednost visine kao pojednostavljeni kvadratni korijen. Evo novog primjera:

   • Izračunaj površinu jednakokračnog trokuta čije su stranice 8 cm, 8 cm, 4 cm.
   • Za bazu "b" odaberite stranicu od 4 cm.
   • Visina: h = 8 2 − (4 2) 2 (\displaystyle h=(\sqrt (8^(2)-((\frac (4)(2)))^(2))))
     = 64 − 4 (\displaystyle =(\sqrt (64-4)))
     = 60 (\displaystyle =(\sqrt (60)))
   • Pojednostavite kvadratni korijen koristeći faktore: h = 60 = 4 ∗ 15 = 4 15 = 2 15 . (\displaystyle h=(\sqrt (60))=(\sqrt (4*15))=(\sqrt (4))(\sqrt (15))=2(\sqrt (15)).)
   • S = 1 2 b h (\displaystyle =(\frac (1)(2))bh)
     = 1 2 (4) (2 15) (\displaystyle =(\frac (1)(2))(4)(2(\sqrt (15))))
     = 4 15 (\displaystyle =4(\sqrt (15)))
   • Odgovor se može napisati s korijenom ili izvući korijen na kalkulatoru i zapisati odgovor kao decimalni razlomak (S ≈ 15,49 cm 2).