Segments proportionnels dans un triangle rectangle. Leçon "segments proportionnels dans un triangle rectangle" Comment trouver des segments proportionnels dans un triangle rectangle

Leçon 40 C.b. une. h. C. av. H. ac. A. V. La hauteur d'un triangle rectangle, tirée du sommet d'un angle droit, divise le triangle en 2 triangles rectangles similaires, dont chacun est similaire à un triangle donné. Signe de similitude des triangles rectangles. Deux triangles rectangles sont semblables s'ils ont chacun le même angle aigu. Le segment XY est appelé la moyenne proportionnelle (moyenne géométrique) pour les segments AB et CD si la propriété 1. La hauteur d'un triangle rectangle tiré du sommet de l'angle droit est la moyenne proportionnelle entre les projections des jambes sur l'hypoténuse. Propriété 2. La jambe d'un triangle rectangle est la moyenne proportionnelle entre l'hypoténuse et la projection de cette jambe sur l'hypoténuse.

Diapositive 28 de la présentation "Géométrie "Triangles Similaires"". La taille de l'archive avec la présentation est de 232 Ko.

Géométrie 8e année

résumé des autres présentations

"Résolution de problèmes sur le théorème de Pythagore" - Triangle ABC isocèle. Application pratique du théorème de Pythagore. ABCD est un quadrilatère. Zone carrée. Trouver le soleil. Preuve. Bases d'un trapèze isocèle. Considérons le théorème de Pythagore. Aire d'un quadrilatère. Triangles rectangulaires. Théorème de Pythagore. Le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des jambes.

"Trouver l'aire d'un parallélogramme" - Fondation. Hauteur. Déterminer la hauteur d'un parallélogramme. Signes d'égalité des triangles rectangles. L'aire d'un parallélogramme. Trouvez l'aire du triangle. Propriétés de la région. exercices oraux. Trouvez l'aire du parallélogramme. Hauteurs du parallélogramme. Trouver le périmètre du carré. Aire d'un triangle. Trouvez l'aire du carré. Trouvez l'aire du rectangle. Zone carrée.

"Kvadrat 8e année" - Carré noir. Tâches pour le travail oral autour du périmètre de la place. Zone carrée. Signes carrés. Le carré est parmi nous. Un carré est un rectangle dont tous les côtés sont égaux. Carré. Sac à fond carré. tâches orales. Combien de carrés sont représentés sur l'image. Propriétés carrées. Riche marchand. Tâches pour le travail oral sur la zone de la place. Le périmètre d'un carré.

"Définition de la symétrie axiale" - Points situés sur la même perpendiculaire. Tracez deux lignes. Construction. Tracer des points. Indice. Figures qui n'ont pas de symétrie axiale. Section. Coordonnées manquantes. Chiffre. Formes qui ont plus de deux axes de symétrie. Symétrie. La symétrie en poésie. Construisez des triangles. Axes de symétrie. Construire un segment. Construire un point. Figures à deux axes de symétrie. Peuples. Triangles. Proportionnalité.

"Définir des triangles similaires" - Polygones. réductions proportionnelles. Le rapport des aires de triangles semblables. Deux triangles sont dits semblables. Conditions. Construire un triangle étant donné deux angles et la bissectrice au sommet. Supposons que nous ayons besoin de déterminer la distance au pôle. Le troisième signe de la similitude des triangles. Construisons un triangle. ABC. Les triangles ABC et ABC ont trois côtés égaux. Déterminer la hauteur d'un objet.

"Solution du théorème de Pythagore" - Parties de fenêtres. La preuve la plus simple. Hammourabi. Diagonale. Preuve complète. Preuve par soustraction. Pythagoriciens. Preuve par méthode de décomposition. Histoire du théorème. Diamètre. Preuve par la méthode du complément. Preuve d'Epstein. Chantre. Triangles. suiveurs. Applications du théorème de Pythagore. Théorème de Pythagore. Énoncé du théorème. Preuve de Périgal. Application du théorème.

Signe de similitude des triangles rectangles

Introduisons d'abord le signe de similarité des triangles rectangles.

Théorème 1

Signe de similitude des triangles rectangles: deux triangles rectangles sont semblables lorsqu'ils ont chacun un angle aigu égal (Fig. 1).

Figure 1. Triangles rectangles similaires

Preuve.

Soit $\angle B=\angle B_1$. Comme les triangles sont rectangles, $\angle A=\angle A_1=(90)^0$. Par conséquent, ils sont similaires selon le premier signe de la similitude des triangles.

Le théorème a été démontré.

Théorème de hauteur dans un triangle rectangle

Théorème 2

La hauteur d'un triangle rectangle tiré du sommet de l'angle droit divise le triangle en deux triangles rectangles similaires, chacun étant similaire au triangle donné.

Preuve.

Donnons-nous un triangle rectangle $ABC$ d'angle droit $C$. Dessinez la hauteur $CD$ (Fig. 2).

Figure 2. Illustration du théorème 2

Montrons que les triangles $ACD$ et $BCD$ sont semblables au triangle $ABC$ et que les triangles $ACD$ et $BCD$ sont semblables.

Puisque $\angle ADC=(90)^0$, le triangle $ACD$ est rectangle. Les triangles $ACD$ et $ABC$ ont un angle commun $A$, donc, d'après le théorème 1, les triangles $ACD$ et $ABC$ sont similaires.

Puisque $\angle BDC=(90)^0$, le triangle $BCD$ est rectangle. Les triangles $BCD$ et $ABC$ ont un angle commun $B$, donc, d'après le théorème 1, les triangles $BCD$ et $ABC$ sont similaires.

Considérons maintenant les triangles $ACD$ et $BCD$

\[\angle A=(90)^0-\angle ACD\] \[\angle BCD=(90)^0-\angle ACD=\angle A\]

Par conséquent, d'après le théorème 1, les triangles $ACD$ et $BCD$ sont semblables.

Le théorème a été démontré.

Moyenne proportionnelle

Théorème 3

La hauteur d'un triangle rectangle, tirée du sommet de l'angle droit, est la moyenne proportionnelle des segments en lesquels la hauteur divise l'hypoténuse de ce triangle.

Preuve.

D'après le théorème 2, on a que les triangles $ACD$ et $BCD$ sont semblables, donc

Le théorème a été démontré.

Théorème 4

La jambe d'un triangle rectangle est la moyenne proportionnelle entre l'hypoténuse et le segment de l'hypoténuse compris entre la jambe et la hauteur tirée du sommet de l'angle.

Preuve.

Dans la preuve du théorème, nous utiliserons la notation de la figure 2.

D'après le théorème 2, on a que les triangles $ACD$ et $ABC$ sont semblables, d'où

Le théorème a été démontré.

Signe de similitude des triangles rectangles

Introduisons d'abord le signe de similarité des triangles rectangles.

Théorème 1

Signe de similitude des triangles rectangles: deux triangles rectangles sont semblables lorsqu'ils ont chacun un angle aigu égal (Fig. 1).

Figure 1. Triangles rectangles similaires

Preuve.

Soit $\angle B=\angle B_1$. Comme les triangles sont rectangles, $\angle A=\angle A_1=(90)^0$. Par conséquent, ils sont similaires selon le premier signe de la similitude des triangles.

Le théorème a été démontré.

Théorème de hauteur dans un triangle rectangle

Théorème 2

La hauteur d'un triangle rectangle tiré du sommet de l'angle droit divise le triangle en deux triangles rectangles similaires, chacun étant similaire au triangle donné.

Preuve.

Donnons-nous un triangle rectangle $ABC$ d'angle droit $C$. Dessinez la hauteur $CD$ (Fig. 2).

Figure 2. Illustration du théorème 2

Montrons que les triangles $ACD$ et $BCD$ sont semblables au triangle $ABC$ et que les triangles $ACD$ et $BCD$ sont semblables.

Puisque $\angle ADC=(90)^0$, le triangle $ACD$ est rectangle. Les triangles $ACD$ et $ABC$ ont un angle commun $A$, donc, d'après le théorème 1, les triangles $ACD$ et $ABC$ sont similaires.

Puisque $\angle BDC=(90)^0$, le triangle $BCD$ est rectangle. Les triangles $BCD$ et $ABC$ ont un angle commun $B$, donc, d'après le théorème 1, les triangles $BCD$ et $ABC$ sont similaires.

Considérons maintenant les triangles $ACD$ et $BCD$

\[\angle A=(90)^0-\angle ACD\] \[\angle BCD=(90)^0-\angle ACD=\angle A\]

Par conséquent, d'après le théorème 1, les triangles $ACD$ et $BCD$ sont semblables.

Le théorème a été démontré.

Moyenne proportionnelle

Théorème 3

La hauteur d'un triangle rectangle, tirée du sommet de l'angle droit, est la moyenne proportionnelle des segments en lesquels la hauteur divise l'hypoténuse de ce triangle.

Preuve.

D'après le théorème 2, on a que les triangles $ACD$ et $BCD$ sont semblables, donc

Le théorème a été démontré.

Théorème 4

La jambe d'un triangle rectangle est la moyenne proportionnelle entre l'hypoténuse et le segment de l'hypoténuse compris entre la jambe et la hauteur tirée du sommet de l'angle.

Preuve.

Dans la preuve du théorème, nous utiliserons la notation de la figure 2.

D'après le théorème 2, on a que les triangles $ACD$ et $ABC$ sont semblables, d'où

Le théorème a été démontré.

Objectifs de la leçon:

introduire le concept de la moyenne proportionnelle (moyenne géométrique) de deux segments ;
considérons le problème des segments proportionnels dans un triangle rectangle : une propriété de la hauteur d'un triangle rectangle tiré du sommet d'un angle droit ;
former les compétences des élèves à utiliser le sujet étudié dans le processus de résolution de problèmes.

Type de leçon : leçon d'apprentissage de nouveau matériel.

Planifier:

Moment d'organisation.
Mise à jour des connaissances.
Étudier la propriété de la hauteur d'un triangle rectangle tiré du sommet d'un angle droit :
- phase préparatoire ;
- introduction;
- assimilation.
Introduction du concept de moyenne proportionnelle à deux segments.
Assimilation de la notion de moyenne proportionnelle de deux segments.
Preuve des conséquences :
- la hauteur d'un triangle rectangle, tirée du sommet de l'angle droit, est la moyenne proportionnelle entre les segments en lesquels l'hypoténuse est divisée par cette hauteur ;
- la jambe d'un triangle rectangle est la moyenne proportionnelle entre l'hypoténuse et le segment de l'hypoténuse compris entre la jambe et la hauteur.
Résolution de problème.
Résumant.
Réglage des devoirs.

Pendant les cours

I. ORGANISATION

Bonjour les gars, asseyez-vous. Est-ce que tout le monde est prêt pour le cours ?

Nous commençons le travail.

II. ACTUALISATION DES CONNAISSANCES

Quel concept mathématique important avez-vous appris dans les leçons précédentes ? ( avec le concept de similarité triangulaire)

- Rappelons-nous quels sont les deux triangles dits semblables ? (deux triangles sont dits semblables si leurs angles sont respectivement égaux et les côtés d'un triangle sont proportionnels aux côtés semblables de l'autre triangle)

Avec quoi prouve-t-on la similarité de deux triangles ? (

- Énumérez ces signes. (formuler trois signes de similitude de triangles)

III. ETUDE DES PROPRIETES DE LA HAUTEUR D'UN TRIANGLE RECTANGULAIRE EFFECTUEE A PARTIR DU SOMMET D'UN ANGLE DROIT

a) étape préparatoire

- Les gars, veuillez regarder la première diapositive. ( appendice) Voici deux triangles rectangles - et . et sont les hauteurs et, respectivement. .

Tâche 1. a) Déterminez si et sont similaires.

Avec quoi prouve-t-on la similarité des triangles ? ( signes de similitude de triangles)

(le premier signe, puisque rien n'est connu sur les côtés des triangles dans le problème)

. (Deux paires : 1. ∟B= ∟B1 (lignes droites), 2. ∟A= ∟A 1)

- Faire une conclusion. ( par le premier signe de similitude des triangles ~)

Tâche 1. b) Déterminez si et sont similaires.

Quel critère de similarité allons-nous utiliser et pourquoi ? (le premier signe, car dans le problème on ne sait rien des côtés des triangles)

Combien de paires d'angles égaux devons-nous trouver ? Trouvez ces couples (comme les triangles sont rectangles, une paire d'angles égaux suffit : ∟A= ∟A 1)

- Faire une conclusion. (au premier signe de similitude des triangles, on conclut que ces triangles sont semblables).

À la suite de la conversation, la diapositive 1 ressemble à ceci :

b) découverte du théorème

Tâche 2.

Déterminez si et , et sont similaires. À la suite de la conversation, des réponses sont construites, qui sont reflétées sur la diapositive.

- Le chiffre indiquait que . Avons-nous utilisé cette mesure de degré pour répondre aux questions sur les tâches ? ( Non, pas utilisé)

- Les gars, tirez une conclusion: dans quels triangles la hauteur tirée du sommet de l'angle droit divise-t-elle le triangle rectangle? (faire une conclusion)

- La question se pose : ces deux triangles rectangles, en lesquels la hauteur divise le triangle rectangle, seront-ils semblables l'un à l'autre ? Essayons de trouver des paires d'angles égaux.

À la suite de la conversation, un enregistrement est créé:

- Et maintenant, faisons une conclusion complète. ( CONCLUSION : la hauteur d'un triangle rectangle tiré du sommet de l'angle droit divise le triangle en deux similaire

- Cette. nous avons formulé et prouvé un théorème sur la propriété de la hauteur d'un triangle rectangle.

Établissons la structure du théorème et faisons un dessin. Que donne le théorème et que faut-il prouver ? Les élèves écrivent dans leurs cahiers :

Démontrons le premier point du théorème pour le nouveau dessin. Quel critère de similarité allons-nous utiliser et pourquoi ? (Premièrement, puisque rien n'est connu sur les côtés des triangles dans le théorème)

Combien de paires d'angles égaux devons-nous trouver ? Trouvez ces couples. (Dans ce cas, une paire suffit : ∟A-général)

- Faire une conclusion. Les triangles sont similaires. En conséquence, un exemple de la formulation du théorème est montré

- Écrivez vous-même les deuxième et troisième points à la maison.

c) assimilation du théorème

- Alors, reformulez le théorème (La hauteur d'un triangle rectangle, tirée du sommet de l'angle droit, divise le triangle en deux similaire triangles rectangles, dont chacun est similaire à celui-ci)

- Combien de paires de triangles semblables dans la construction "dans un triangle rectangle la hauteur à partir du sommet d'un angle droit" peut-on trouver par ce théorème ? ( Trois couples)

Les étudiants reçoivent le devoir suivant :

IV. INTRODUCTION DU CONCEPT DE LA PROPORTIONNELLE MOYENNE DE DEUX LIGNES

Nous allons maintenant apprendre un nouveau concept.

Attention!

Définition. Section XY appelé proportionnel moyen (Moyenne géométrique) entre segments UN B et CD, si

(écrire dans un cahier).

V. ASSOCIATION DU CONCEPT DE LA PROPORTIONNELLE MOYENNE DE DEUX LIGNES

Passons maintenant à la diapositive suivante.

Exercice 1. Trouvez la longueur des segments proportionnels moyens MN et KP, si MN = 9 cm, KP = 16 cm.

- Qu'est-ce qui est donné dans la tâche ? ( Deux segments et leurs longueurs : MN = 9 cm, KP = 16 cm)

- Qu'est-ce que tu a besoin de trouver? ( La longueur de la moyenne proportionnelle de ces segments)

- Quelle est la formule de la moyenne proportionnelle et comment la trouve-t-on ?

(Nous substituons les données dans la formule et trouvons la longueur de la prop moyenne.)

Tâche numéro 2. Trouver la longueur du segment AB si la moyenne proportionnelle des segments AB et CD est de 90 cm et CD = 100 cm

- Qu'est-ce qui est donné dans la tâche ? (la longueur du segment CD = 100 cm et la moyenne proportionnelle des segments AB et CD est de 90 cm)

Que faut-il trouver dans le problème ? ( Longueur du segment AB)

- Comment allons-nous résoudre le problème ? (Écrivons la formule pour les segments proportionnels moyens AB et CD, exprimons la longueur de AB à partir de celle-ci et substituons les données du problème.)

VI. CONCLUSION

- Bravo les garçons. Et revenons maintenant à la similitude des triangles, prouvée par nous dans le théorème. Reformulez le théorème. ( La hauteur d'un triangle rectangle tiré du sommet de l'angle droit divise le triangle en deux similaire triangles rectangles dont chacun est semblable à un)

- Utilisons d'abord la similarité des triangles et . Qu'en découle-t-il ? ( Par définition de similarité, les côtés sont proportionnels aux côtés similaires)

- Quelle égalité sera obtenue en utilisant la propriété fondamentale de proportion ? ()

– Express CD et tirer une conclusion (;.

Conclusion: la hauteur d'un triangle rectangle, tirée du sommet de l'angle droit, est la moyenne proportionnelle entre les segments en lesquels l'hypoténuse est divisée par cette hauteur)

- Et maintenant prouvez par vous-même que la jambe d'un triangle rectangle est la moyenne proportionnelle entre l'hypoténuse et le segment de l'hypoténuse compris entre la jambe et la hauteur. Nous trouvons à partir de - ... les segments en lesquels l'hypoténuse est divisée par cette hauteur )

La jambe d'un triangle rectangle est la moyenne proportionnelle entre ... (- ... l'hypoténuse et le segment de l'hypoténuse compris entre cette jambe et la hauteur )

– Où appliquons-nous les énoncés appris? ( Lors de la résolution de problèmes)

IX. RÉGLAGE DES DEVOIRS

j/z : N° 571, N° 572 (a, e), travail indépendant dans un cahier, théorie.

Aujourd'hui, votre attention est invitée à une autre présentation sur un sujet étonnant et mystérieux - la géométrie. Dans cette présentation, nous vous présenterons une nouvelle propriété des formes géométriques, en particulier le concept de segments proportionnels dans les triangles rectangles.

Vous devez d'abord vous rappeler ce qu'est un triangle? C'est le polygone le plus simple, composé de trois sommets reliés par trois segments. Un triangle rectangle est un triangle dont l'un des angles mesure 90 degrés. Vous en avez déjà pris connaissance plus en détail dans nos précédents supports de formation présentés à votre attention.

Donc, revenant à notre sujet d'aujourd'hui, nous dénotons afin que la hauteur d'un triangle rectangle, dessiné à partir d'un angle de 90 degrés, le divise en deux triangles, qui sont similaires à la fois l'un à l'autre et à l'original. Tous les dessins et graphiques qui vous intéressent sont donnés dans la présentation proposée, et nous vous recommandons de vous y référer en accompagnant l'explication décrite.

Un exemple graphique de la thèse ci-dessus peut être vu sur la deuxième diapositive. Les triangles sont semblables car ils ont deux angles identiques. Si vous spécifiez plus en détail, la hauteur abaissée à l'hypoténuse forme un angle droit avec elle, c'est-à-dire qu'il existe déjà des angles identiques, et chacun des angles formés a également un angle commun comme son original. Le résultat est deux angles égaux entre eux. Autrement dit, les triangles sont similaires.

Désignons également ce que la notion de « moyenne proportionnelle » ou de « moyenne géométrique » signifie à elle seule ? Il s'agit d'un certain segment XY pour les segments AB et CD lorsqu'il est égal à la racine carrée du produit de leurs longueurs.

D'où il résulte également que la jambe d'un triangle rectangle est la moyenne géométrique entre l'hypoténuse et la projection de cette jambe sur l'hypoténuse, c'est-à-dire l'autre jambe.

Une autre propriété d'un triangle rectangle est que sa hauteur, tirée d'un angle de 90°, est la moyenne proportionnelle entre les projections des jambes sur l'hypoténuse. Si vous vous référez à la présentation et aux autres documents portés à votre attention, vous verrez qu'il existe une preuve de cette thèse sous une forme très simple et accessible. Plus tôt, nous avons déjà prouvé que les triangles résultants sont similaires les uns aux autres et au triangle d'origine. Ensuite, en utilisant le rapport des jambes de ces figures géométriques, nous arrivons à la conclusion que la hauteur d'un triangle rectangle est directement proportionnelle à la racine carrée du produit des segments qui se sont formés à la suite de l'abaissement de la hauteur de la angle droit du triangle d'origine.

La dernière chose dans la présentation est que la jambe d'un triangle rectangle est la moyenne géométrique de l'hypoténuse et de son segment situé entre la jambe et la hauteur tirée d'un angle égal à 90 degrés. Ce cas doit être considéré du côté que ces triangles sont similaires les uns aux autres, et la jambe de l'un d'eux est obtenue par l'hypoténuse de l'autre. Mais vous apprendrez à le connaître plus en détail en étudiant les matériaux proposés.