Alustame kõige lihtsamast juhtumist, nn puhtast paindest.

Puhas painutamine on painde erijuhtum, mille puhul nihkejõud talaosades on võrdne nulliga. Puhas painutamine saab toimuda ainult siis, kui tala omakaal on nii väike, et selle mõju võib tähelepanuta jätta. Kahe toe talade puhul näited puhtust põhjustavatest koormustest

painutamine on näidatud joonisel fig. 88. Nende talade lõikudel, kus Q = 0 ja seega M = const; on puhas kurv.

Puhta painutusega tala mis tahes lõigul olevad jõud taandatakse jõudude paariks, mille toimetasand läbib tala telge ja moment on konstantne.

Pingeid saab määrata järgmiste kaalutluste põhjal.

1. Tala ristlõikes elementaaraladel tehtavate pingutuste tangentsiaalseid komponente ei saa taandada jõupaariks, mille toimetasand on risti lõike tasapinnaga. Sellest järeldub, et sektsioonis tekkiv painutusjõud tuleneb elementaaraladel toimuvast tegevusest

ainult tavalised jõupingutused ja seetõttu on puhta painde ja pinged vähendatud ainult normaalseks.

2. Selleks, et jõupingutused elementaaraladel taanduksid vaid paarile jõule, peavad nende hulgas olema nii positiivsed kui ka negatiivsed jõud. Seetõttu peavad olemas olema nii venitatud kui ka kokkusurutud talakiud.

3. Tulenevalt asjaolust, et jõud erinevates lõikudes on samad, on pinged lõikude vastavates punktides samad.

Võtke arvesse mis tahes elementi pinna lähedal (joonis 89, a). Kuna piki selle alumist serva, mis langeb kokku tala pinnaga, ei rakendata jõudu, ei teki sellele pingeid. Seetõttu ei teki elemendi ülemisel serval pingeid, kuna vastasel juhul ei oleks element tasakaalus.Arvestades temaga kõrguselt külgnevat elementi (joon. 89, b), jõuame

Sama järeldus jne Siit järeldub, et ühegi elemendi horisontaalsetes servades ei esine pingeid. Arvestades elemente, mis moodustavad horisontaalkihi, alustades tala pinnal olevast elemendist (joonis 90), jõuame järeldusele, et ühegi elemendi külgmistes vertikaalsetes külgedes ei esine pingeid. Seega tuleks mis tahes elemendi pingeseisund (joonis 91, a) ning piirväärtuses ja kius esitada nii, nagu on näidatud joonisel fig. 91, b, see tähendab, et see võib olla kas aksiaalne pinge või aksiaalne kokkusurumine.

4. Välisjõudude rakendamise sümmeetria tõttu peaks tala pikkuse keskel olev lõik pärast deformatsiooni jääma tasaseks ja tala telje suhtes normaalseks (joon. 92, a). Samal põhjusel jäävad ka tala pikkuse neljandikku kuuluvad lõigud tasaseks ja tala telje suhtes normaalseks (joon. 92, b), kui ainult tala äärmised lõigud jäävad deformatsiooni ajal tasaseks ja normaalseks tala suhtes. tala telg. Sarnane järeldus kehtib ka lõikude kohta, mis on tala pikkusest kaheksandikku (joonis 92, c) jne. Seega, kui painutamisel jäävad tala äärmised lõigud tasaseks, jääb see iga lõigu jaoks.

kehtiv väide, et pärast deformatsiooni jääb see tasaseks ja kõvera tala telje suhtes normaalseks. Kuid sel juhul on ilmne, et tala kiudude pikenemise muutus piki selle kõrgust peaks toimuma mitte ainult pidevalt, vaid ka monotoonselt. Kui nimetada kihiks ühesuguse pikenemisega kiudude kogumit, siis öeldust järeldub, et tala venitatud ja kokkusurutud kiud peaksid asuma selle kihi vastaskülgedel, milles kiudude pikenemine on võrdne null. Kiudusid, mille pikenemine on võrdne nulliga, nimetame neutraalseteks; neutraalsetest kiududest koosnev kiht - neutraalne kiht; neutraalse kihi lõikejoon tala ristlõike tasapinnaga - selle lõigu neutraaljoon. Seejärel võib eelneva arutluskäigu põhjal väita, et tala puhta painutamisega igas selle sektsioonis tekib neutraalne joon, mis jagab selle lõigu kaheks osaks (tsooniks): venitatud kiudude tsoon (venitatud). tsoon) ja kokkusurutud kiudude tsoon (kokkusurutud tsoon). Vastavalt sellele peaksid lõigu laiendatud tsooni punktides toimima normaalsed tõmbepinged, kokkusurutud tsooni punktides - survepinged ja neutraaljoone punktides on pinged võrdsed nulliga.

Seega konstantse sektsiooni tala puhta painutusega:

1) lõikudes mõjuvad ainult normaalpinged;

2) kogu sektsiooni saab jagada kaheks osaks (tsooniks) - venitatud ja kokkusurutud; tsoonide piiriks on neutraalne lõikejoon, mille punktides on normaalpinged võrdsed nulliga;

3) tala mistahes pikisuunalisele elemendile (limiidis mistahes kiududele) rakendatakse aksiaalset pinget või kokkusurumist, nii et külgnevad kiud ei interakteeru üksteisega;

4) kui tala äärmised lõigud jäävad deformatsiooni ajal tasaseks ja telje suhtes normaalseks, jäävad kõik selle ristlõiked tasaseks ja kõvera tala telje suhtes normaalseks.

Tala pingeseisund puhtas paindes

Vaatleme tala elementi, mis on puhtalt painutatud, lõikude m - m ja n - n vahel, mis asuvad üksteisest lõpmatult väikese vahemaa kaugusel dx (joonis 93). Eelmise lõigu positsiooni (4) tõttu moodustavad lõigud mm ja nn, mis olid enne deformatsiooni paralleelsed, pärast painutamist, jäädes tasaseks, nurga dQ ja lõikuvad sirgjoonega, mis läbib punkti C, mis on keskpunkt. kumerusega neutraalne kiud NN. Siis muutub nende vahele jääv AB-kiu osa, mis asub neutraalkiust kaugusel z (painde ajal võtame z-telje positiivse suuna tala kumeruse suunas), pärast deformatsiooni kaareks A "B ". Neutraalse kiu O1O2 segment, mis muutub kaareks O1O2, ei muuda oma pikkust, samas kui kiud AB saab pikenemise:

enne deformatsiooni

pärast deformatsiooni

kus p on neutraalse kiu kõverusraadius.

Seetõttu on lõigu AB absoluutne pikenemine võrdne

ja pikenemine

Kuna vastavalt positsioonile (3) on kiud AB telgpinge all, siis elastse deformatsiooni all

Sellest on näha, et normaalpinged piki tala kõrgust jaotuvad lineaarse seaduse järgi (joonis 94). Kuna kõigi jõupingutuste võrdne toime lõigu kõikidel elementaarsetel lõikudel peaks olema võrdne nulliga, siis

kust (5.8) väärtuse asendamisel leiame

Kuid viimane integraal on staatiline moment Oy telje ümber, mis on risti paindejõudude toimetasandiga.

Nulliga võrdsuse tõttu peab see telg läbima lõigu raskuskeskme O. Seega on tala osa neutraalne sirgjoon yy, mis on risti paindejõudude toimetasandiga. Seda nimetatakse tala sektsiooni neutraalteljeks. Siis tuleneb (5.8), et pinged neutraalteljest ühel kaugusel asuvates punktides on samad.

Puhta painde juhtum, kus paindejõud mõjuvad ainult ühes tasapinnas, põhjustades painde ainult sellel tasapinnal, on tasapinnaline puhas painutus. Kui nimetatud tasapind läbib Oz-telge, siis elementaarjõudude moment selle telje suhtes peaks olema võrdne nulliga, s.o.

Asendades siin σ väärtuse (5.8), leiame

Selle võrrandi vasakpoolseks integraaliks on, nagu teada, lõigu tsentrifugaalinertsimoment y- ja z-telgede suhtes, nii et

Telgesid, mille suhtes lõigu tsentrifugaalinertsimoment on võrdne nulliga, nimetatakse selle lõigu peamisteks inertstelgedeks. Kui need lisaks läbivad sektsiooni raskuskeskme, võib neid nimetada sektsiooni peamisteks keskseteks inertstelgedeks. Seega on tasapinnalises puhta painde puhul paindejõudude toimetasandi suund ja lõigu neutraaltelg viimase peamised kesksed inertsteljed. Teisisõnu, tala tasapinnalise puhta painde saamiseks ei saa sellele koormust suvaliselt rakendada: see tuleb taandada jõududele, mis mõjuvad tasapinnal, mis läbib tala sektsioonide üht peamist keskinertstelge; sel juhul on teiseks peamiseks keskseks inertsi teljeks lõigu neutraaltelg.

Teatavasti mis tahes telje suhtes sümmeetrilise lõigu puhul on sümmeetriatelg selle inertsi üks peamisi kesktelge. Järelikult saame antud konkreetsel juhul kindlasti puhta painde, rakendades tala pikitelge ja selle lõigu sümmeetriatelge läbivale tasapinnale vastavaid koormusi. Sümmeetriateljega risti kulgev ja lõigu raskuskeskme läbiv sirgjoon on selle lõigu neutraaltelg.

Olles kindlaks teinud neutraaltelje asukoha, on pinge suurust lihtne leida lõigu mis tahes punktis. Tõepoolest, kuna elementaarjõudude momentide summa neutraaltelje yy suhtes peab olema võrdne paindemomendiga, siis

kust σ väärtuse asendamisel (5.8) leiame

Kuna integraal on. lõigu inertsimoment yy telje suhtes, siis

ja avaldisest (5.8) saame

Korrutist EI Y nimetatakse tala paindejäikuseks.

Suurimad tõmbe- ja absoluutväärtuselt suurimad survepinged mõjuvad lõigu punktides, mille absoluutväärtus z on suurim, st neutraalteljest kõige kaugemal asuvates punktides. Märkega, joonis fig. 95 meil on

Väärtust Jy / h1 nimetatakse lõigu pingele vastupidavuse momendiks ja seda tähistatakse Wyр; samamoodi nimetatakse Jy / h2 sektsiooni survetakistusmomendiks

ja tähistab Wyc, nii et

ning seetõttu

Kui neutraaltelg on lõigu sümmeetriatelg, siis h1 = h2 = h / 2 ja seega Wyp = Wyc, seega pole vaja neid eristada ja kasutage ühte tähistust:

nimetades W y lihtsalt lõigu takistusmomendiks. Seetõttu neutraaltelje suhtes sümmeetrilise lõigu korral,

Kõik ülaltoodud järeldused tehti eeldusel, et tala ristlõiked jäävad painutatuna tasaseks ja oma telje suhtes normaalseks (lamedate lõigete hüpotees). Nagu näidatud, kehtib see eeldus ainult siis, kui tala äärmised (otsad) lõigud jäävad painutamise ajal tasaseks. Teisest küljest järeldub lamedate lõikude hüpoteesist, et elementaarjõud sellistel lõikudel tuleks jaotada vastavalt lineaarsele seadusele. Seetõttu on saadud tasapinnalise puhta painde teooria kehtivuse tagamiseks vajalik, et paindemomendid tala otstes rakendataks elementaarjõudude kujul, mis on jaotatud piki lõigu kõrgust vastavalt lineaarsele seadusele (joonis 1). 96), mis langeb kokku pingete jaotumise seadusega piki sektsiooni talade kõrgust. Saint-Venant'i printsiibi alusel võib aga väita, et paindemomentide rakendamise meetodi muutmine tala otstes põhjustab ainult lokaalseid deformatsioone, mille mõju mõjutab nendest vaid teatud kaugust. otsad (ligikaudu võrdne lõigu kõrgusega). Ülejäänud tala pikkuses olevad lõigud jäävad tasaseks. Järelikult kehtib puhta tasapinnalise painde teooria mis tahes paindemomentide rakendamise meetodi puhul ainult tala pikkuse keskosas, mis asub selle otstest ligikaudu ristlõike kõrgusega võrdsetel vahemaadel. Seega on selge, et see teooria on ilmselgelt rakendamatu, kui sektsiooni kõrgus ületab poole tala pikkusest või ulatusest.

Painutage



Painutamise põhimõisted

Paindedeformatsiooni iseloomustab tala joone (selle telje) sirguse või algkuju kaotus välise koormuse rakendamisel. Sel juhul, vastupidiselt nihkedeformatsioonile, muudab tala joon sujuvalt oma kuju.
Lihtne on kontrollida, et paindekindlust ei mõjuta mitte ainult tala ristlõikepindala (latt, latt jne), vaid ka geomeetriline kuju sellest jaotisest.

Kuna keha (talad, talad jne) painutamine toimub mis tahes telje suhtes, mõjutab paindetakistust kereosa aksiaalse inertsimomendi väärtus selle telje suhtes.
Võrdluseks, väändedeformatsiooni ajal väänatakse keha lõik pooluse (punkti) suhtes, seetõttu mõjutab selle lõigu polaarne inertsimoment väändetakistust.

Painutamisel võivad töötada mitmed konstruktsioonielemendid - teljed, võllid, talad, hammasrataste hambad, hoovad, vardad jne.

Materjalide tugevuse osas võetakse arvesse mitut tüüpi painutusi:
- eristama sõltuvalt puidule rakendatava väliskoormuse iseloomust puhas kurv ja külgmine painutus ;
- sõltuvalt paindekoormuse toimetasandi asukohast tala telje suhtes - sirge kurv ja kaldus kurv.

Tala puhas ja külgsuunas painutamine

Puhas painutamine on deformatsiooni tüüp, mille puhul varda mis tahes ristlõikes tekib ainult paindemoment ( riis. 2).
Puhta painde deformatsioon toimub näiteks siis, kui telge läbival tasapinnal rakendatakse sirgele vardale kaks võrdse suurusega ja vastasmärgiga jõudu. Siis mõjuvad igas varda sektsioonis ainult paindemomendid.

Kui painutus tekib vardale põikjõu rakendamise tulemusena ( riis. 3), siis nimetatakse sellist kurvi põiksuunaliseks. Sellisel juhul toimib tala igas sektsioonis nii põikjõud kui ka paindemoment (välja arvatud lõik, millele rakendatakse välist koormust).

Kui talal on vähemalt üks sümmeetriatelg ja sellega kattub koormuste mõjutasand, siis toimub otsene painutus, aga kui see tingimus ei ole täidetud, siis toimub kaldus painutus.

Paindedeformatsiooni uurides kujutame mõttes ette, et tala (varras) koosneb lõpmatust arvust teljega paralleelsetest pikikiududest.
Sirge painde deformatsiooni visualiseerimiseks viime läbi katse kummist vardaga, millele kantakse piki- ja põikijoonte võrk.
Allutades sellise lati otsesele paindele, on näha, et ( riis. üks):

Ristjooned jäävad deformeerumisel sirgeks, kuid pöörlevad üksteise suhtes nurga all;
- puidu osad laienevad põikisuunas nõgusalt ja kitsenevad kumeralt;
- pikisuunalised sirgjooned on kõverad.

Selle kogemuse põhjal võib järeldada, et:

Puhta painde puhul kehtib hüpotees lamedate sektsioonide kohta;
- kumeral küljel asetsevad kiud on venitatud, nõgusalt kokku surutud ja nendevahelisel piiril on neutraalne kiudude kiht, mis ainult paindub oma pikkust muutmata.

Eeldades, et hüpotees kiudude mitterõhust peab paika, võib väita, et varda ristlõikes puhta painde korral tekivad ainult normaalsed tõmbe- ja survepinged, mis jagunevad lõikes ebaühtlaselt.
Nimetatakse neutraalse kihi ja ristlõiketasandi lõikejoont neutraaltelg... Ilmselgelt on neutraalteljel normaalpinged nullid.

Paindemoment ja külgjõud

Nagu teoreetilisest mehaanikast on teada, määratakse talade toetusreaktsioonid kogu tala staatika tasakaaluvõrrandite koostamise ja lahendamise teel. Materjalide vastupidavuse probleemide lahendamisel ja talade sisejõutegurite määramisel võtsime arvesse sidemete reaktsioone koos taladele mõjuvate väliskoormustega.
Sisejõutegurite määramiseks rakendame sektsioonimeetodit ja tala kujutame ainult ühe joonega - teljega, millele rakendatakse aktiiv- ja reaktiivjõud (sidemete koormused ja reaktsioonid).

Mõelge kahele juhtumile:

1. Talale rakendatakse kaks jõupaari, mis on võrdse ja vastasmärgiga.
Arvestades selle tala osa tasakaalu, mis asub lõigust 1-1 vasakul või paremal (joon. 2), näeme, et kõikides ristlõigetes on ainult paindemoment M ja võrdne välismomendiga. Nii et see on puhas bend juhtum.

Paindemoment on tala ristlõikes mõjuvate sisemiste normaaljõudude resultantmoment neutraaltelje ümber.

Pange tähele, et paindemomendil on tala vasaku ja parema osa jaoks erinev suund. See viitab staatiliste märkide reegli sobimatusele paindemomendi märgi määramisel.

2. Talale rakendatakse teljega risti aktiiv- ja reaktiivjõud (sidemete koormused ja reaktsioonid). (riis. 3). Arvestades tala vasakul ja paremal paiknevate osade tasakaalu, näeme, et ristlõigetes peaks mõjuma paindemoment M ja ja nihkejõud Q.
Sellest järeldub, et vaadeldaval juhul punktides ristlõiked ei mõju mitte ainult paindemomendile vastavad normaalpinged, vaid ka nihkejõule vastavad tangentsiaalsed pinged.

Ristjõud on sisemiste nihkejõudude resultant tala ristlõikes.

Pöörame tähelepanu sellele, et põikjõul on tala vasaku ja parema osa puhul vastupidine suund, mis viitab staatikamärkide reegli sobimatusest põikjõu märgi määramisel.

Painet, mille puhul tala ristlõikes mõjuvad paindemoment ja nihkejõud, nimetatakse põiksuunaliseks.



Tasapinnalise jõudude süsteemi mõjul vee tasakaalus oleva kiire puhul on kõigi aktiiv- ja reaktiivjõudude momentide algebraline summa mis tahes punkti suhtes võrdne nulliga; seetõttu on lõigust vasakul asuvale talale mõjuvate välisjõudude momentide summa arvuliselt võrdne kõigi lõigust paremal asuvale talale mõjuvate välisjõudude momentide summaga.
Sellel viisil, paindemoment tala sektsioonis on arvuliselt võrdne momentide algebralise summaga selle lõigu raskuskeskme suhtes, kus talale mõjuvad kõik välised jõud lõigust paremal või vasakul.

Teljega risti oleva tasapinnalise jõudude süsteemi (st paralleelsete jõudude süsteemi) mõjul tasakaalus oleva kiire korral on kõigi välisjõudude algebraline summa null; seetõttu on lõigust vasakul asuvale talale mõjuvate välisjõudude summa arvuliselt võrdne lõigust paremal asuvale talale mõjuvate jõudude algebralise summaga.
Sellel viisil, põikjõud tala sektsioonis on arvuliselt võrdne kõigi sektsioonist paremal või vasakul mõjuvate välisjõudude algebralise summaga.

Kuna staatikamärkide reeglid on paindemomendi ja nihkejõu märkide määramisel vastuvõetamatud, siis kehtestame neile teised märgireeglid, nimelt: Kui väliskoormus kipub painutama tala allapoole kumerust, siis paindemoment lõigul. loetakse positiivseks ja vastupidi, kui väliskoormus kipub tala kumerusega ülespoole painutama, loetakse paindemoment sektsioonis negatiivseks ( Joonis 4, a).

Kui kõrval asuvate välisjõudude summa vasak pool lõigust, annab resultandi, suunatud ülespoole, siis ristsuunaline jõud lõikes loetakse positiivseks, kui resultant on suunatud alla, siis ristjõud lõikes loetakse negatiivseks; sektsioonist paremal asuva tala osa puhul on nihkejõu märgid vastupidised ( riis. 4, b). Neid reegleid kasutades tuleks vaimselt ette kujutada tala sektsiooni jäigalt kinnitatud ja ühendusi äravisatud ja asendatud reaktsioonidena.

Veelkord märgime, et sidemete reaktsioonide määramisel kasutatakse staatikamärkide reegleid ning paindemomendi ja põikjõu märkide määramiseks materjalide vastupidavusmärkide reegleid.
Paindemomentide märgireeglit nimetatakse mõnikord "vihmareegliks", mis tähendab, et allapoole suunatud mõhna korral moodustub lehter, milles vihmavesi(positiivne märk) ja vastupidi - kui tala paindub koormuste mõjul kaarega ülespoole, siis vesi sellel ei püsi (paindemomentide märk on negatiivne).

Sektsiooni "Painutamine" materjalid:

Tala teljega risti mõjuvad ja seda telge läbival tasapinnal paiknevad jõud põhjustavad deformatsiooni nn. külgmine painutus... Kui nimetatud jõudude toimetasand – põhitasapind, siis on sirge (tasane) põikkõver. Vastasel juhul nimetatakse paindet kaldus põiki. Peamiselt paindumisele alluvat tala nimetatakse tala 1 .

Põhimõtteliselt on külgne painutamine puhta painde ja nihke kombinatsioon. Seoses ristlõigete kõverusega, mis on tingitud kääride ebaühtlasest jaotumisest piki kõrgust, tekib küsimus normaalpinge σ valemi rakendamise võimalusest. X tuletatud puhta painde jaoks lamedate sektsioonide hüpoteesi põhjal.

1 Üheavalist tala, mille otstes on vastavalt üks silindriline fikseeritud tugi ja üks tala telje suunas liigutatav silindriline tala, nimetatakse lihtne... Nimetatakse tala, mille üks vaoshoitud ja teine ​​vaba ots konsool... Nimetatakse lihtsat tala, mille üks või kaks osa ripub toe kohal konsool.

Kui lisaks võtta lõigud koormuse rakendamise kohtadest kaugele (vahemaaga, mis ei ole väiksem kui pool lati lõigu kõrgusest), siis võib eeldada, nagu ka puhta painutamise puhul. et kiud ei avaldaks üksteisele survet. See tähendab, et iga kiud läbib üheteljelise pinge või kokkusurumise.

Jaotatud koormuse mõjul erinevad külgjõud kahes külgnevas sektsioonis summa võrra, mis on võrdne qdx... Seetõttu on ka sektsioonide kõverused veidi erinevad. Lisaks avaldavad kiud üksteisele survet. Küsimuse hoolikas uurimine näitab, et kui lati pikkus l on oma kõrgusega võrreldes piisavalt suur h (l/ h> 5), siis isegi jaotatud koormuse korral ei mõjuta need tegurid oluliselt ristlõike normaalpingeid ja seetõttu ei pruugi neid praktilistes arvutustes arvesse võtta.

a B C

Riis. 10.5 Joon. 10.6

Kontsentreeritud koormusega lõikudes ja nende läheduses σ jaotus X kaldub kõrvale lineaarsest seadusest. Seda kõrvalekallet, mis on lokaalse iseloomuga ja millega ei kaasne suurimate pingete suurenemist (äärmuslikes kiududes), praktikas tavaliselt arvesse ei võeta.

Seega põiki painutamisega (tasapinnas hu) normaalpinged arvutatakse valemiga

σ X= – [M z(x)/I z]y.

Kui tõmmata tala koormusest vabale lõigule kaks kõrvuti asetsevat lõiku, siis on mõlema lõigu põikjõud sama, mis tähendab, et sektsioonide kõverus on sama. Sel juhul mis tahes kiutükk ab(joonis 10.5) liigub uude kohta a "b", ilma täiendava pikenemiseta ja seetõttu normaalse pinge suurust muutmata.

Määrame nihkepinged ristlõikes nende paarispingete kaudu, mis mõjuvad varda pikilõikes.

Valige ribalt pikkusega element dx(Joon.10.7 a). Joonistame horisontaalse lõigu kaugusel juures neutraalteljest z, jagades elemendi kaheks osaks (joonis 10.7) ja arvestama ülemise osa tasakaalu, millel on alus

laius b... Tangentsiaalsete pingete paaristumise seaduse kohaselt on pikilõikes mõjuvad pinged võrdsed ristlõikes mõjuvate pingetega. Seda silmas pidades, eeldusel, et kohas on nihkepinged bühtlaselt jaotatud, kasutame tingimust ΣX = 0, saame:

N*- (N*+dN*)+

kus: N * on normaaljõudude σ resultant elemendi dx vasakpoolses ristlõikes "lõigatud" alal A * (joonis 10.7 d):

kus: S = on ristlõike „äralõigatud“ osa staatiline moment (varjutatud ala joonisel 10.7 c). Seetõttu võime kirjutada:

Siis võid kirjutada:

Selle valemi sai 19. sajandil vene teadlane ja insener D.I. Žuravski ja kannab tema nime. Ja kuigi see valem on ligikaudne, kuna see keskmistab pinget ristlõike laiuse ulatuses, on selle abil saadud arvutuslikud tulemused katseandmetega hästi kooskõlas.

Nihkepingete määramiseks lõigu suvalises punktis, mis on z-teljest kaugusel y, peaksite:

Määra skeemilt lõigul mõjuva põikjõu Q väärtus;

Arvutage kogu lõigu inertsimoment I z;

Joonistage seda punkti läbiv tasapind paralleelselt tasapinnaga xz ja määrake sektsiooni laius b;

Arvutage kärbitud ala S staatiline moment suurema kesktelje suhtes z ja asendage leitud väärtused Zhuravsky valemiga.

Määratleme näitena nihkepinged ristkülikukujulises ristlõikes (joon. 10.6, c). Staatiline moment telje ümber z osa rea ​​1-1 kohal olevast jaotisest, millele pinge määratakse, kirjutame kujul:

See muutub vastavalt ruutparabooli seadusele. Sektsiooni laius v ristkülikukujulise varda puhul on konstantne, siis on lõigu nihkepingete muutumise seadus samuti paraboolne (joonis 10.6, c). Kui y = ja y = - puutujapinged on võrdsed nulliga ja neutraalteljel z nad saavutavad oma suurima väärtuse.

Neutraalteljel ümmarguse ristlõikega tala jaoks on meil.

Talade tasane põiksuunaline painutamine. Sisemised paindejõud. Sisemiste pingutuste erinevused. Sisemiste paindejõudude diagrammide kontrollimise reeglid. Normaal- ja nihkepaindepinged. Normaalsete ja nihkepingete tugevusanalüüs.

10. LIHTSALT VASTUVÕTE. LAME PAIND

10.1. Üldmõisted ja määratlused

Painutamine on koormuse liik, mille puhul lati koormatakse momentidega varda pikitelge läbivatel tasapindadel.

Painutusvarda nimetatakse talaks (või vardaks). Järgnevalt käsitleme sirgjoonelisi talasid, mille ristlõikel on vähemalt üks sümmeetriatelg.

Materjalide tugevuses eristatakse tasapinnalist, kald- ja keerulist painutamist.

Tasapinnaline painutus on painutus, mille puhul kõik tala painutavad jõud asuvad tala ühel sümmeetriatasandil (ühel põhitasanditest).

Tala inertsi põhitasapindadeks nimetatakse ristlõigete peatelgi ja tala geomeetrilist telge (x-telg) läbivaid tasapindu.

Kaldpainutus on painutus, mille korral koormused mõjuvad ühes tasapinnas, mis ei lange kokku inertsi põhitasanditega.

Komplekspainutus on painutus, mille puhul koormused toimivad erinevates (suvalistes) tasandites.

10.2. Sisemiste paindejõudude määramine

Vaatleme kahte tüüpilist paindejuhtu: esimeses on konsooltala painutamine kontsentreeritud momendi M o toimel; teises kontsentreeritud jõuga F.

Kasutades mentaalsete lõikude meetodit ja koostades tala äralõigatud osade tasakaaluvõrrandid, määrame mõlemal juhul sisejõud:

Ülejäänud tasakaaluvõrrandid on ilmselgelt identsed nulliga.

Seega sisse üldine juhtum lame painutamine tala sektsioonis kuuest sisejõust tekib kaks - paindemoment M z ja nihkejõud Q y (või teise peatelje ümber painutamisel - paindemoment M y ja nihkejõud Q z).

Peale selle, vastavalt kahele kaalutud laadimisjuhtumile, tasane painutus võib jagada puhtaks ja põiksuunaliseks.

Puhas painutamine on lame painutus, mille puhul tekib vardaosades ainult üks kuuest sisejõust - paindemoment (vt esimest juhtumit).

Põiksuunaline painutamine- painutamine, mille puhul lisaks sisemisele paindemomendile tekib varda ristlõigetes põikjõud (vt teine ​​juhtum).

Rangelt võttes kuulub lihtsate vastupanuliikide hulka ainult puhas painutamine; Põikpainutust nimetatakse tinglikult lihtsateks takistustüüpideks, kuna enamikul juhtudel (piisavalt pikkade talade puhul) võib põikjõu mõju tugevusarvutustes tähelepanuta jätta.

Sisemiste jõupingutuste määramisel järgime järgmist märkide reeglit:

1) põikjõud Q y loetakse positiivseks, kui see kaldub vaadeldavat tala elementi päripäeva pöörama;

2) paindemoment M z loetakse positiivseks, kui tala elemendi painutamisel surutakse elemendi ülemised kiud kokku ja alumised venitatakse (vihmavarjureegel).

Seega ehitatakse sisemiste paindejõudude määramise ülesande lahendus järgmise plaani järgi: 1) esimeses etapis, võttes arvesse konstruktsiooni kui terviku tasakaalutingimusi, määrame vajadusel kindlaks konstruktsiooni tundmatud reaktsioonid. toed (pange tähele, et konsooltala puhul võivad reaktsioonid kinnituses olla ja mitte leida, kui arvestada tala vabast otsast); 2) teises etapis valime tala iseloomulikud lõiked, võttes lõikude piirideks jõudude rakendumispunktid, tala kuju või mõõtmete muutumise kohad, tala kinnituskohad; 3) kolmandas etapis määrame tala sektsioonide sisejõud, võttes arvesse talaelementide tasakaalutingimusi igas sektsioonis.

10.3. Diferentsiaalpainutamise piirangud

Teeme kindlaks mõned seosed sisejõudude ja väliste paindekoormuste vahel, samuti Q- ja M diagrammide iseloomulikud tunnused, mille tundmine hõlbustab diagrammide koostamist ja võimaldab teil kontrollida nende õigsust. Mugavuse huvides tähistame: M ≡ M z, Q ≡ Q y.

Valime väikese elemendi dx suvalise koormusega tala lõigul kohas, kus puuduvad kontsentreeritud jõud ja momendid. Kuna kogu tala on tasakaalus, siis on dx-element tasakaalus ka nihkejõudude, paindemomentide ja väliskoormuse mõjul. Kuna Q ja M muutuvad üldiselt piki tala telge, ilmuvad elemendi dx lõikudesse nihkejõud Q ja Q + dQ, samuti paindemomendid M ja M + dM. Valitud elemendi tasakaalutingimusest saame

∑ F y = 0 Q + q dx - (Q + dQ) = 0;

∑ M 0 = 0 M + Q dx + q dx dx 2 - (M + dM) = 0.

Teisest võrrandist, jättes tähelepanuta termini q dx (dx / 2) kui teist järku lõpmatult väikese koguse, leiame

Nimetatakse seoseid (10.1), (10.2) ja (10.3). D.I. Žuravski diferentsiaalsõltuvused painutamisel.

Ülaltoodud diferentsiaalsõltuvuste analüüs paindes võimaldab kindlaks teha mõned tunnused (reeglid) paindemomentide ja nihkejõudude joonistamiseks:

a - aladel, kus ei ole jaotatud koormust q, on diagrammid Q piiratud alusega paralleelsete sirgjoontega ja diagrammid M on piiratud kaldjoontega;

b - piirkondades, kus talale rakendatakse jaotatud koormust q, on diagrammid Q piiratud kaldjoontega ja diagrammid M - ruutparaboolidega. Kui sel juhul ehitada krundi M "venitatud kiule", siis kumerus

rabola suunatakse q tegevuse suunas ja ekstreemum asub lõigul, kus Q graafik lõikub baasjoonega;

c - lõikudes, kus Q diagrammil rakendatakse talale kontsentreeritud jõudu, toimuvad hüpped antud jõu suuruse ja suunas ning M diagrammil on painded, mille ots on suunatud selle jõu tegevus; d - lõikudes, kus diagrammil rakendatakse talale kontsentreeritud momenti

re Q muudatusi ei toimu ja M diagrammil on hüppeid selle hetke väärtuse järgi; d - lõikudes, kus Q> 0, suureneb hetk M ja lõikudes, kus Q<0, момент М убывает (см. рисунки а–г).

10.4. Normaalsed pinged sirge varda puhtal painutamisel

Mõelge tala puhta tasapinnalise painutamise juhtumile ja tuletage valem selle juhtumi normaalpingete määramiseks. Pange tähele, et elastsuse teoorias on võimalik saada täpne sõltuvus normaalsete pingete jaoks puhta painde korral, kuid kui see probleem on lahendatud materjalide vastupidavuse meetoditega, on vaja kehtestada mõned eeldused.

Painutamisel on kolm sellist hüpoteesi:

a - lamedate sektsioonide hüpotees (Bernoulli hüpotees)

- sektsioonid, mis on enne deformatsiooni tasased, jäävad tasaseks ja pärast deformatsiooni, kuid pöörlevad ainult ümber teatud joone, mida nimetatakse tala sektsiooni neutraalteljeks. Sel juhul neutraaltelje ühel küljel asuvad tala kiud venivad ja teiselt poolt surutakse kokku; neutraalteljel asuvad kiud ei muuda oma pikkust;

b - hüpotees normaalpingete püsivuse kohta

niy - neutraalteljest samal kaugusel y mõjuvad pinged on konstantsed piki varda laiust;

c - hüpotees külgsurve puudumise kohta - kaas-

Hallid pikisuunalised kiud ei suru üksteise vastu.

Ülesanne. Looge Q- ja M-graafikud staatiliselt määratlemata kiire jaoks. Arvutame talad järgmise valemi abil:

n= Σ R- Sh— 3 = 4 — 0 — 3 = 1

Tala üks kord staatiliselt määratlemata tähendab üks reaktsioonidest on "Üleliigne" teadmata... "Ekstra" tundmatu jaoks võtame tugireaktsiooni V — R B.

Staatiliselt määratletavat kiirt, mis saadakse antud kiirt "lisa" ühenduse eemaldamise teel, nimetatakse põhisüsteemiks (b).

Nüüd tuleks seda süsteemi esitleda samaväärne antud. Selleks laadige põhisüsteem antud koormus ja punktis V kinnitada "Ekstra" reaktsioon R B(riis. v).

Siiski, jaoks samaväärsust sellest mitte piisavalt, kuna sellises kiires punkt V võib olla vertikaalselt liikuda, ja antud kiires (joonis fig. a ) seda ei saa juhtuda. Seetõttu lisame tingimus, mida läbipaine t. V põhisüsteemis peaks olema võrdne 0-ga. Läbipaine t. V koosneb läbipaine mõjuvast koormusest Δ F ja alates läbipaine "ekstra" reaktsioonist Δ R.

Siis koostame nihke ühilduvuse tingimus:

Δ F + Δ R=0 (1)

Nüüd jääb üle need arvutada nihe (painded).

Laadimine peamine süsteem antud koormus(riis .G) ja ehitada kaubakruntM F (riis. d ).

V T. V rakendada ja ehitada ep. (riis. siil ).

Simpsoni valemit kasutades defineerime koormuse läbipaine.

Nüüd defineerime kõrvalekaldumine "lisa" reaktsiooni toimest R B , selleks laadime põhisüsteemi R B (riis. s ) ja koostage selle tegevusest hetkede diagramm HÄRRA (riis. ja ).

Koostame ja lahendame võrrand (1):

Ehitame ep. K ja M (riis. k, l ).

Koostame diagrammi K.

Koostame diagrammi M meetod iseloomulikud punktid... Järjestame talale punkte - need on kiire alguse ja lõpu punktid ( D, A ), kontsentreeritud hetk ( B ) ja märgi iseloomuliku punktina ka ühtlaselt jaotatud koormuse keskpunkt ( K ) On lisapunkt paraboolkõvera joonistamisel.

Määrake paindemomendid punktides. Märkide reegel cm - .

Hetk sh. V määratletakse järgmiselt. Esiteks määratleme:

Punkt TO vastu võtma keskelühtlaselt jaotatud koormusega ala.

Koostame diagrammi M ... Süžee AB – paraboolkõver(vihmavarjureegel), sait ВD – sirge kaldus joon.

Tala jaoks määrake toetusreaktsioonid ja joonistage paindemomendi diagrammid ( M) ja nihkejõud ( K).

1. Me tähistame toetab kirju A ja V ja otsesed tugireaktsioonid R A ja R B .

Koostame tasakaalu võrrandid.

Uurimine

Paneme väärtused kirja R A ja R B peal disaini skeem.

2. Joonistamine külgmised jõud meetod ristlõiked... Asetame sektsioonid peale iseloomulikud saidid(muudatuste vahel). Niidi suuruse järgi - 4 sektsiooni, 4 sektsiooni.

sek. 1-1 liigutada vasakule.

Lõik jookseb piki lõiku koos ühtlaselt jaotatud koormus, märkige suurus z 1 sektsioonist vasakule enne jao algust... Sektsiooni pikkus on 2 m. Märkide reegel jaoks K - cm.

Ehitame leitud väärtuse järgi süžeeK.

sek. 2-2 pööra paremale.

Sektsioon läbib uuesti ühtlaselt jaotatud koormusega sektsiooni, märkige suurus z 2 paremale lõigust lõigu alguseni. Lõigu pikkus on 6 m.

Koostame diagrammi K.

sek. 3-3 liigutage paremale.

sek. 4-4 liigutust paremale.

Meie ehitame süžeeK.

3. Ehitus diagrammid M meetod iseloomulikud punktid.

Iseloomulik punkt- punkt, mis on talal mingil moel märgatav. Need on punktid A, V, KOOS, D ja ka punkt TO , kus K=0 ja paindemomendil on äärmus... ka sisse keskel konsoolid, paneme lisapunkti E, kuna selles jaotises ühtlaselt jaotatud koormuse korral on diagramm M kirjeldatud kõverad rida ja see on ehitatud vähemalt mööda 3 punktid.

Niisiis, punktid on paigutatud, jätkame nende väärtuste määramist paindemomendid. Märkide reegel – vt..

Krundid NA, AD – paraboolkõver("vihmavarju" reegel mehaaniliste ametite jaoks või "purjereegel" ehituse jaoks) DC, SV – sirged kaldus jooned.

Hetk punktis D peaks määratlema nii vasakule kui paremale punktist D ... Just hetk nendes väljendites Välistatud... Punktis D saada kaks väärtused koos erinevus summa järgi m – hüpe selle väärtuse järgi.

Nüüd on vaja kindlaks määrata hetk punktis TO (K= 0). Esmalt aga määratleme punkti positsioon TO , mis näitab kaugust sellest lõigu alguseni tundmatuga X .

T. TO kuulub teine iseloomulik sait, selle nihkejõu võrrand(vt eespool)

Kuid külgjõud sh. TO on võrdne 0 , a z 2 võrdub tundmatuga X .

Saame võrrandi:

Nüüd teades X, määratlege hetk punktis TO paremal pool.

Koostame diagrammi M ... Ehitust teostame eest mehaanilised erialad, positiivsete väärtuste edasilükkamine üles nulljoonest ja vihmavarjureeglit kasutades.

Antud konsooltala skeemi jaoks on vaja joonistada nihkejõu Q ja paindemomendi M diagrammid, teostada projektarvutus ringlõike valides.

Materjal - puit, disainimaterjali vastupidavus R = 10MPa, M = 14kN m, q = 8kN / m

Jäiga kinnistusega konsooltalas saab skeeme konstrueerida kahel viisil - tavalisel, olles eelnevalt kindlaks määranud toetusreaktsioonid, ja ilma tugireaktsioone määratlemata, kui arvestada sektsioone, lähtudes tala vabast otsast. ja vasakpoolse osa äraviskamine koos manustamisega. Koostame diagramme tavaline tee.

1. Defineeri tugireaktsioonid.

Ühtlaselt jaotatud koormus q asendada tingimusliku jõuga Q = q 0,84 = 6,72 kN

Jäigas lõpetamises on kolm tugireaktsiooni - vertikaalne, horisontaalne ja moment, meie puhul on horisontaalne reaktsioon 0.

Otsi vertikaalne tugireaktsioon R A ja toetushetk M A tasakaalu võrranditest.

Parempoolses kahes esimeses osas puudub nihkejõud. Ühtlaselt jaotatud koormusega lõigu alguses (paremal) Q = 0, tagavaras - reaktsiooni suurusjärk R A.
3. Ehitamiseks koostame avaldised nende määramiseks saitidel. Konstrueerime kiududele momentide diagrammi, s.o. alla.

(üksikute hetkede skeem on juba varem üles ehitatud)

Lahendage võrrand (1), lühendage seda EI-ga

Staatiline määramatus avalikustati, leiti "ekstra" reaktsiooni tähendus. Võite hakata joonistama Q- ja M-diagramme staatiliselt määramatu kiire jaoks ... R b... Antud kiires võib paremale liikumisel manustamise reaktsioonid ära jätta.

Hoone diagrammid Q staatiliselt määramatule kiirele

Krunt Q.

Joonistamine M

Me defineerime M ekstreemumipunktis - punktis TO... Esiteks määrame kindlaks selle asukoha. Määrakem kaugus selleni tundmatuks" X". Siis

Koostame M diagrammi.

Nihkepingete määramine I-lõikes... Mõelge jaotisele I-tala. S x = 96,9 cm3; Yx = 2030 cm 4; Q = 200 kN

Nihkepinge määramiseks rakendage valem, kus Q on ristlõike jõud, S x 0 on kihi ühel küljel asuva ristlõike osa staatiline moment, milles nihkepinged määratakse, I x on kogu ristlõike inertsmoment ristlõige, b on lõigu laius nihkepinge määramise kohas

Arvutame maksimum nihkepinge:

Arvutame staatilise momendi jaoks ülemine riiul:

Nüüd arvutame nihkepinged:

Meie ehitame nihkepinge diagramm:

Projekteerimis- ja taatlusarvutused. Konstrueeritud sisejõudude diagrammidega tala jaoks valige tugevustingimusest normaalpingete suhtes ristlõige kahe kanali kujul. Kontrollige tala tugevust nihketugevuse tingimuse ja energiatugevuse kriteeriumi abil. Arvestades:

Näitame tala koos konstrueerituga krundid Q ja M

Paindemomentide diagrammi järgi on see ohtlik jaotis C, milles M C = M max = 48,3 kNm.

Tugevustingimus normaalsete pingete jaoks antud tala jaoks on vorm σ max = M C / W X ≤σ adm. On vaja valida ristlõige kahest kanalist.

Määrake vajalik arvutatud väärtus sektsiooni aksiaalne takistusmoment:

Sektsiooni jaoks kahe kanali kujul, vastavalt aktsepteerime kaks kanalit №20а, iga kanali inertsmoment I x = 1670 cm 4, siis kogu sektsiooni aksiaalne takistusmoment:

Ülepinge (alapinge) ohtlikes punktides arvutame valemiga: Siis saame alapinge:

Nüüd kontrollime tala tugevust selle põhjal tugevustingimused nihkepingete jaoks. Vastavalt nihkejõu diagramm ohtlik on sektsioonid lennukiosal ja lõigul D. Nagu diagrammil näha, Q max = 48,9 kN.

Tõmbetugevuse seisund tundub, et:

Kanali nr 20 a puhul: ala staatiline moment S x 1 = 95,9 cm 3, lõigu inertsimoment I x 1 = 1670 cm 4, seina paksus d 1 = 5,2 mm, piirkonna keskmine paksus riiul t 1 = 9,7 mm , kanali kõrgus h 1 = 20 cm, riiuli laius b 1 = 8 cm.

Risti jaoks kahe kanali sektsioonid:

S x = 2S x 1 = 2 · 95,9 = 191,8 cm 3,

I x = 2I x 1 = 2 1670 = 3340 cm 4,

b = 2d 1 = 2 0,52 = 1,04 cm.

Määrake väärtus maksimaalne nihkepinge:

τ max = 48,9 · 10 3 · 191,8 · 10 -6 / 3340 · 10 -8 · 1,04 · 10 -2 = 27 MPa.

Nagu nähtud, τ max<τ adm (27 MPa<75МПа).

Seega tugevustingimus on täidetud.

Kontrollime tala tugevust vastavalt energiakriteeriumile.

Kaalutlusest krundid Q ja M järgib seda jaotis C on ohtlik, milles tegutsevad M C = M max = 48,3 kNm ja Q C = Q max = 48,9 kN.

Viime läbi pingeseisundi analüüs lõigu C punktides

Me määratleme normaalsed ja nihkepinged mitmel tasandil (märgitud sektsiooniskeemil)

Tase 1-1: y 1-1 = h 1/2 = 20/2 = 10 cm.

Normaalne ja puutuja Pinge:

Peamine Pinge:

Tase 2-2: y 2-2 = h 1/2 - t 1 = 20 / 2-0,97 = 9,03 cm.

Peamised pinged:

Tase 3-3: y 3-3 = h 1/2 - t 1 = 20 / 2-0,97 = 9,03 cm.

Normaalsed ja nihkepinged:

Peamised pinged:

Äärmuslikud nihkepinged:

Tase 4-4: y 4-4 = 0.

(keskel on normaalpinged võrdsed nulliga, tangentsiaalsed pinged on maksimaalsed, need leiti tugevuse kontrollimisel nihkepingetega)

Peamised pinged:

Äärmuslikud nihkepinged:

Tase 5–5:

Normaalsed ja nihkepinged:

Peamised pinged:

Äärmuslikud nihkepinged:

Tase 6–6:

Normaalsed ja nihkepinged:

Peamised pinged:

Äärmuslikud nihkepinged:

Tase 7–7:

Normaalsed ja nihkepinged:

Peamised pinged:

Äärmuslikud nihkepinged:

Vastavalt tehtud arvutustele pingediagrammid σ, τ, σ 1, σ 3, τ max ja τ min on näidatud joonisel fig.

Analüüs nendest diagramm näitab et tala lõigus ohtlikud punktid on tasemel 3-3 (või 5-5), milles:

Kasutades energia tugevuse kriteerium, saada

Samaväärsete ja lubatud pingete võrdlusest järeldub, et ka tugevustingimus on täidetud

(135,3 MPa<150 МПа).

Pidev tala on koormatud kõigis vahemikes. Looge pideva kiire jaoks Q ja M graafikud.

1. Määrake staatilise määramatuse aste talad vastavalt valemile:

n = Con-3 = 5-3 = 2, kus Sop - tundmatute reaktsioonide arv, 3 - staatika võrrandite arv... Selle tala lahendamiseks vajate kaks lisavõrrandit.

2. Tähistage numbrid toetab nulliga korras ( 0,1,2,3 )

3. Tähistage span numbrid esimesest korras ( v 1, v 2, v 3)

4. Iga ulatust loetakse lihtne tala ja koostage diagrammid iga lihtsa tala jaoks Q ja M. Mis on seotud lihtne tala, tähistame indeksiga "0", Mis viitab lõikamata tala, tähistame ilma selle indeksita. Seega on nihkejõud ja paindemoment lihtsa tala jaoks.