ต้นไม้พีทาโกรัสปลิวไปตามสายลม คลื่น R ของคลื่นไฟฟ้าหัวใจเป็นพารามิเตอร์ของต้นพีทาโกรัส ฟังก์ชันสำหรับสร้างต้นไม้พีทาโกรัสในภาษา C

ต้นพีทาโกรัสเป็นเศษส่วนประเภทหนึ่งที่มีพื้นฐานมาจากรูปร่างที่เรียกว่ากางเกงพีทาโกรัส

เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทอันโด่งดังของเขา พีธากอรัสได้สร้างร่างที่มีสี่เหลี่ยมจัตุรัสอยู่แต่ละด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก เมื่อเวลาผ่านไป ร่างของพีทาโกรัสนี้ก็กลายเป็นต้นไม้ทั้งต้น ต้นพีทาโกรัสคนแรกที่สร้างในช่วงสงครามโลกครั้งที่สองคือ เอ. บอสแมน โดยใช้ไม้บรรทัดวาดรูปธรรมดา

คุณสมบัติหลักอย่างหนึ่งของต้นพีทาโกรัสคือเมื่อพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสแรกเป็นหนึ่ง ดังนั้นในแต่ละระดับผลรวมของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสก็จะเท่ากับหนึ่งด้วย ต้นไม้พีทาโกรัสแบบคลาสสิกมีมุม 45 องศา แต่ก็สามารถสร้างต้นไม้พีทาโกรัสทั่วไปโดยใช้มุมอื่นได้เช่นกัน ต้นไม้ชนิดนี้เรียกว่าต้นไม้ที่ถูกลมพัดแห่งพีทาโกรัส หากคุณวาดเฉพาะส่วนที่เชื่อมต่อกับ "จุดศูนย์กลาง" ของรูปสามเหลี่ยม คุณจะได้ต้นไม้พีทาโกรัสที่เปลือยเปล่า

อีกตัวอย่างหนึ่งก็คือ "ต้นพีทาโกรัส" ที่มีชื่อเสียง มักจะแสดงดังภาพ 3.2. สามเหลี่ยมมุมฉากแต่ละรูปในต้นไม้นี้มีมุมภายใน 45°

ลองใช้ตัวสร้างตัวเลขสุ่มอีกครั้งเพื่อสร้างโปรแกรมทั่วไปที่ไม่เพียงแต่สร้างข้าวเท่านั้น 3.2 แต่ยังสร้างต้นไม้ที่ไม่ธรรมดาอีกด้วย มุมตั้งไว้ที่ 45° สำหรับรูปภาพ 3.2 โดยทั่วไปจะตั้งค่าแบบสุ่มอยู่ในช่วงระหว่าง (45 - เดลต้า)°และ (45 + เดลต้า)° , ค่าอยู่ที่ไหน เดลต้าถูกกำหนดให้เป็นพารามิเตอร์อินพุตพร้อมกับพารามิเตอร์ n ซึ่งกำหนดความลึกของการเรียกซ้ำ รุ่นปกติตามภาพ 3.2 ได้มาจากการระบุ เดลต้า= 0 และ n = 7 ในรูปคือพารามิเตอร์ ปกำหนดจำนวนรูปสามเหลี่ยมบนเส้นทางจากรากถึงใบของต้นไม้ แกนหลักของโปรแกรมจะเป็นฟังก์ชันแบบเรียกซ้ำ square_and_triangle ("สี่เหลี่ยมจัตุรัสและสามเหลี่ยม") พร้อมด้วยพารามิเตอร์ n ซึ่งกำหนดความลึกของการเรียกซ้ำเป็นอาร์กิวเมนต์แรก หากค่าของพารามิเตอร์ n มากกว่าศูนย์ ฟังก์ชันของ square_and_triangle จะวาดรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสและสามเหลี่ยมไว้เหนือฟังก์ชันตามชื่อของมัน จากนั้นเรียกตัวเองอีกสองครั้งด้วยอาร์กิวเมนต์ใหม่ที่สอดคล้องกัน ซึ่งตัวแรกคือ ตั้งค่าเป็น n-1 ขนาดและตำแหน่งของสี่เหลี่ยมจัตุรัสถูกกำหนดโดยพารามิเตอร์สี่ตัว: X0, Y0, a และ j (ดูรูปที่ 3.3) ในการวาดรูปสามเหลี่ยม คุณจำเป็นต้องรู้มุม a มุมนี้แสดงเป็นองศา เท่ากับค่าเบี่ยงเบน 45+ โดยที่ค่าเบี่ยงเบนเท่ากับหนึ่งในจำนวนเต็มของอนุกรม -delta, -delta+I, ... , เดลต้า เลือกโดยการสุ่ม ในรูป 3.3 จุดที่จำเป็นจะมีตัวเลขต่อเนื่องกัน 0,1,2,3,4 พิกัด X0, Y0 ของจุด O ถูกระบุในการเรียกฟังก์ชัน ในการคำนวณคะแนนที่เหลือ ก่อนอื่นเราจะพิจารณาสถานการณ์ที่ง่ายกว่าโดยให้ j = 0 นั่นคือเมื่อด้าน 0 1 ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสอยู่ในตำแหน่งแนวนอน

ในตำแหน่งนี้ พิกัดของจุดต่างๆ จะกำหนดได้ง่ายมาก พวกมันจะถูกเก็บไว้ในอาร์เรย์ x และ y จากนั้นโครงสร้างทั้งหมดจะหมุนรอบจุด O ด้วยมุม j ผลลัพธ์ของการหมุนจะถูกบันทึกไว้ในอาร์เรย์ xx และ yy

/* PYTH_TREE: รูปแบบของต้นไม้พีทาโกรัส */

#รวม"คณิต.ช"

#รวม "stdlib.h"

#รวม "time.h"

#กำหนด pi 3.1415927

#รวม "stdio.h"

struct (ลอย xx; ลอย yy; int ii;) s;

เป็นโมฆะ pfopen())( fp=fopen("scratch", "wb"); )

pmove เป็นโมฆะ (ลอย x, ลอย y)

( s.xx=x; s.yy=y; s.ii=0; /* 0 = ปากกาขึ้น */ /* 0 = ปากกาขึ้น */

fwrite(&s, ขนาดของ s, 1, fp);

เป็นโมฆะ pdraw (ลอย x, ลอย y)

( s.xx=x; s.yy=y; s.ii=1; /* 1 = เลิกปากกา */ /* 1 = เลิกปากกา */

fwrite(&s, ขนาดของ s, 1, fp);

เป็นโมฆะ pfclose())( fclose(fp); )

โมฆะ square_and_triangle (int n, ลอย x0, ลอย y0, ลอย a, ลอย phi)

(ลอย x, y, xx, yy, cphi, sphi, c1, c2, b, c,

อัลฟ่า, คาลฟา, ซัลฟา;

int ฉัน, ส่วนเบี่ยงเบน; /* phi และ alpha เป็นเรเดียน */

/* เดลต้าเป็นองศา */

ถ้า (n==0) กลับ; /* มุม phi และ alpha เป็นเรเดียน */

/* เดลต้ามุมเป็นองศา */

ส่วนเบี่ยงเบน=rand()%(2*เดลต้า+1)-เดลต้า;

อัลฟา=(45+ส่วนเบี่ยงเบน)*pi/180.0;

x=x=x0; x=x=x0+ก;

y=y=y0; y=y=y0+ก;

คาลฟา=คอส(อัลฟา); salpha=บาป(อัลฟา);

c=a*คาลฟา; b=a*ซัลฟา;

/* การหมุนประมาณ (x0, y0) ผ่านมุม phi ; -

/* หมุนรอบจุด (x0, y0) ด้วยมุม phi;*/

cphi=cos(พีพี); sphi=บาป(พี);

c1=x0-x0*cphi+y0*sphi;

c2=y0-x0*sphi-y0*cphi;

สำหรับ (i=0; i<5; i++)

( xx[i]=x[i]*cphi-y[i]*sphi+c1;

ปปปป[i]=x[i]*sphi+y[i]*cphi+c2;

สำหรับ (i=0; i<5; i++) pdraw(xx[i],yy[i]);

square_and_triangle(n-1, xx, yy, c, phi+alpha);

square_and_triangle(n-1, xx, yy, b, phi+alpha-0.5*pi);

pfopen(); เวลา(&เมล็ด); srand((int)เมล็ด);

printf(" ตั้งค่ามุมเดลต้าเป็นองศา (0< delta < 45) ");

scanf("%d", &เดลต้า);

printf(" ตั้งค่าความลึกของการเรียกซ้ำ n "); scanf("%d", &n);

square_and_triangle(n, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0);

โปรแกรมนี้จะสร้างไฟล์ เกาซึ่งจะต้องประมวลผลด้วยโปรแกรม G เอ็นพล็อตจากการบรรยายที่ 2 ผลกราฟิกของโปรแกรมสำหรับ เดลต้า= 30 และ น= 7 แสดงไว้ในรูปที่ 7 3.4.

ต้นไม้แห่งพีทาโกรัส

เรื่องราว.

พีทาโกรัสพิสูจน์ทฤษฎีบทที่มีชื่อเสียงของเขา โดยสร้างรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ด้านข้างของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ในศตวรรษของเรา ร่างของพีธากอรัสนี้เติบโตขึ้นจนกลายเป็นต้นไม้ทั้งต้น ต้นพีทาโกรัสถูกสร้างขึ้นครั้งแรกโดย A.E. บอสแมน (พ.ศ. 2434-2504) ในช่วงสงครามโลกครั้งที่สอง ใช้ไม้บรรทัดวาดรูปทั่วไป

ลักษณะเฉพาะ.

คุณสมบัติอย่างหนึ่งของต้นพีทาโกรัสคือถ้าพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสแรกเท่ากับ 1 ดังนั้นในแต่ละระดับผลรวมของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสก็จะเท่ากับ 1 ด้วย

หากต้นไม้พีทาโกรัสแบบคลาสสิกมีมุมเป็น 45 องศา ก็สามารถสร้างต้นไม้พีทาโกรัสทั่วไปโดยใช้มุมอื่นได้เช่นกัน ต้นไม้ต้นนี้มักถูกเรียกว่าต้นไม้ที่ถูกลมพัดแห่งพีทาโกรัส หากคุณพรรณนาเฉพาะส่วนที่เชื่อมต่อกันด้วย "จุดศูนย์กลาง" ของสามเหลี่ยมที่เลือกไว้ คุณจะได้ต้นไม้พีทาโกรัสที่เปลือยเปล่า

ต้นไม้พีทาโกรัสคลาสสิก

ต้นพีทาโกรัสที่ถูกลมพัด

ต้นไม้เปลือยของพีทาโกรัส

ต้นไม้ที่ถูกลมพัดของพีทาโกรัส

พีทาโกรัสสามเท่า

เลขสามเท่าของพีทาโกรัสคือตัวเลขที่เป็นไปตามทฤษฎีบทของพีทาโกรัส:

3, 4, 5; 7, 24, 25; 11,60, 61; 15, 8, 17; 33, 56, 65;

35, 12, 37; 63, 16, 65;

ตัวเลขเหล่านี้มีคุณสมบัติที่น่าสนใจหลายประการ:

ขาข้างหนึ่งต้องเป็นจำนวนเท่าของสาม

ขาข้างหนึ่งต้องเป็นจำนวนเท่าของสี่

จำนวนพีทาโกรัสตัวใดตัวหนึ่งต้องเป็นจำนวนเท่าของห้า

ในทางคณิตศาสตร์ ทริปเปิ้ลพีทาโกรัสคือสิ่งอันดับของจำนวนธรรมชาติ 3 จำนวนที่เป็นไปตามความสัมพันธ์ของพีทาโกรัส:

แฝดสามดั้งเดิม

เนื่องจากสมการนี้เป็นเนื้อเดียวกัน เมื่อคูณด้วยจำนวนธรรมชาติที่เท่ากัน จะได้ค่าสามเท่าของพีทาโกรัสอีก ทริปเปิลพีทาโกรัสเรียกว่าดั้งเดิมหากไม่สามารถรับด้วยวิธีนี้จากทริปเปิลพีทาโกรัสอื่น ๆ นั่นคือพวกมันเป็นจำนวนเฉพาะ

ต้นไม้กางเกงทฤษฎีบทปีทาโกรัส

มันง่ายที่จะเห็นว่าในสามเท่าดั้งเดิม ตัวเลข x และ y มีความเท่าเทียมกัน และแม้แต่หารด้วย 4 ลงตัว และ z นั้นเป็นเลขคี่เสมอ

ทริปเปิลพีทาโกรัสดั้งเดิมใดๆ โดยที่ x เป็นเลขคี่และ y เป็นเลขคู่ สามารถแสดงได้เฉพาะในรูปแบบสำหรับจำนวนโคไพรม์ธรรมชาติบางจำนวนที่มีความเท่าเทียมกันต่างกัน ซึ่งสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร:

ในทางตรงกันข้าม จำนวนคู่ใดๆ ดังกล่าวจะกำหนดสามเท่าของพีทาโกรัสดั้งเดิม

คุณสมบัติ.

สามเหลี่ยมที่มีความยาวด้านเท่ากับตัวเลขพีทาโกรัสจะเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า นอกจากนี้ สามเหลี่ยมใดๆ ก็ตามที่เป็นสามเหลี่ยมเฮโรเนียน กล่าวคือ ด้านและพื้นที่ทั้งหมดเป็นจำนวนเต็ม สิ่งที่ง่ายที่สุดคือสามเหลี่ยมอียิปต์ที่มีด้านข้าง

ทริปเปิลพีทาโกรัสทุกตัวกำหนดจุดด้วยพิกัดตรรกยะบนวงกลมหน่วย

ไม่มีใครรู้ว่ามี Pythagorean triple สองตัวที่มีผลิตภัณฑ์เดียวกันหรือไม่

สวัสดีเพื่อนๆ ที่สนใจเรื่องแฟร็กทัลและอื่นๆ อีกมากมาย นับจากนี้เป็นต้นไป ฉันกำลังเปิดตัวชุดโพสต์ซึ่งฉันจะอธิบายหลักการสร้างแฟร็กทัลที่ง่ายที่สุด การเรียนรู้เป็นเรื่องที่น่าสนใจเสมอและฉันจะช่วยคุณในเรื่องนี้: จากนี้ไปเราจะรู้จักแฟร็กทัลมากมาย ตัวดึงดูดของ Lorenz ในบทความเกี่ยวกับความโกลาหลเป็นตัวอย่างของสิ่งนี้ และวันนี้ฉันจะเล่าให้คุณฟังเกี่ยวกับต้นพีทาโกรัส

แล้วมันคืออะไร? ต้นไม้พีทาโกรัสเป็นเศษส่วนที่ง่ายที่สุดที่สามารถวาดบนกระดาษได้ แต่เหตุใดแฟร็กทัลนี้จึงถูกเรียกว่าต้นพีทาโกรัส ความจริงก็คือมีความเชื่อมโยงกับทฤษฎีบทพีทาโกรัสซึ่งเป็นหนึ่งในรากฐานของเรขาคณิตแบบยุคลิด จำเธอได้ไหม? ฉันขอเตือนคุณว่า a2 + b2 = c2 (ผลรวมของกำลังสองของความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับกำลังสองของความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก) ทฤษฎีบทนี้เป็นที่รู้จักมาตั้งแต่สมัยโบราณ ปัจจุบันมีการพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้มากกว่า 400 ข้อ และมีเพียงพีทาโกรัสเท่านั้นที่พิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ได้เป็นคนแรก เขาสร้างรูปต่อไปนี้: เขาเอาสามเหลี่ยมมุมฉากแล้ววาดสี่เหลี่ยมที่ด้านข้าง ตัวเลขนี้เรียกอีกอย่างว่า "กางเกงพีทาโกรัส":

หากเราก่อสร้างแบบวนซ้ำ เราจะได้ต้นไม้พีทาโกรัส:
การวนซ้ำครั้งที่ 1 (ในต้นไม้พีทาโกรัสของเรา มุมคือ 45 องศา):

การทำซ้ำครั้งที่สอง:

การทำซ้ำครั้งที่สาม:

การทำซ้ำครั้งที่สิบ:

คุณสมบัติที่สำคัญของต้นพีทาโกรัส: หากพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสแรกเท่ากับหนึ่ง ดังนั้นในแต่ละระดับผลรวมของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสก็จะเท่ากับหนึ่งด้วย
ถ้ามุมเปลี่ยนจาก 45 องศา ก็สามารถสร้างต้นพีทาโกรัสชนิดอื่นได้
ตัวอย่างเช่นนี่คือสิ่งที่เรียกว่า "ต้นไม้เป่าลมแห่งพีทาโกรัส":

เครื่องกำเนิดกราฟิกแฟร็กทัลบางตัวใช้สูตรสำหรับสร้างแฟร็กทัลตามต้นไม้พีทาโกรัส การใช้งานนี้ชวนให้นึกถึงระบบ IFS มาก โดยเฉพาะอย่างยิ่งหากคุณแทนที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสด้วยสี่เหลี่ยมหรือรูปทรงยาว
นั่นคือทั้งหมดสำหรับวันนี้ จนถึงการประชุมครั้งต่อไป ซึ่งจะมี fractals ที่น่าสนใจอื่นๆ อีกมากมาย)