Rotacja wokół osi AU. Jak obliczyć zakres obrotów za pomocą określonej integralnej? Obliczanie objętości ciała utworzonego przez obrót płaski kształt wokół osi

C jest zawarty w przedziale. Tak więc ponownie dostaliśmy formę LangunDree dodatkowego członka. 5. Wniosek. W pracy, definicje określonych i niezgodnych integralnych i jego typów, rozważane są kwestie niektórych stosowania konkretnej integralnej. W szczególności formuła Valles, która ma znaczenie historyczne, jako pierwsza reprezentacja liczby p w formie limitu łatwo obliczana ...

promieniowany zintegrowany z rodzaju funkcji jest numerycznie reprezentuje obszar krzywoliniowego trapezu ograniczonych krzywych X \u003d 0, Y \u003d A, Y \u003d B i Y \u003d (rys. 1). Istnieją dwie metody obliczania tego obszaru lub specyficzną integralną - metodę trapezów (rys. 2) i metodą prostokąta środkowego (rys. 3). Figa. 1. Curvilinear trapez. Figa. 2. Metoda trapezu. Figa. 3. Metoda środkowych prostokątów. Według metod ...

N (zwiększanie liczby integracji) zwiększa dokładność przybliżonego obliczenia całkowitego zadania do pracy laboratoryjnej 1) pisać programy do obliczania określonych metod integralnych: średnich, prawych prostokątów, trapezów i metody Simpson. Wykonaj integrację następujących funkcji: 1. f (x) \u003d xf (x) \u003d x2 f (x) \u003d x3 f (x) \u003d x4 w segmencie za pomocą boiska, 2. f (x) \u003d f (x ) \u003d f (x) \u003d ...

... (procedura tabl) i integralna. 4. Wniosek i wnioski. W ten sposób jest oczywiste, że przy obliczaniu pewnych całek za pomocą formuł kwadratory, aw szczególności formuła Chebyseva nie daje nam dokładnej wartości, ale tylko przybliżona. Aby zamknąć jak najwięcej niezawodnej wartości integralnej, musisz być w stanie wybrać odpowiednią metodę i formułę, która zostanie obliczona. Podobnie...

płaski kształt wokół osi

Przykład 3.

Dana płaska figura ograniczona liniami ,,

1) Znajdź obszar płaskiej liczby ograniczonej przez te linie.

2) Znajdź objętość ciała otrzymanego przez obrót płaskiej figury ograniczonej przez te linie wokół osi.

Uwaga! Nawet jeśli chcesz zapoznać się tylko z drugimtem, najpierw przed Przeczytaj pierwszy!

Decyzja: Zadanie składa się z dwóch części. Zacznijmy od placu.

1) Wykonaj rysunek:

Łatwo jest zobaczyć, że funkcja ustawia górną gałąź paraboli, a funkcja jest niższa gałąź paraboli. Przed nami jest trywialna parabola, która "leży na boku".

Pożądana figura, której obszar ma zostać znaleziony, zacieniony na niebiesko.

Jak znaleźć obszar postaci? Można go znaleźć "zwykły" sposób. Co więcej, obszar rysunku jest jak ilość obszaru:

- w segmencie;

- na segmencie.

W związku z tym:

Istnieje bardziej racjonalna ścieżka rozwiązania: polega na przejściu do funkcji odwrotnych i integracji wzdłuż osi.

Jak przejść do funkcji odwrotnych? Mniej więcej mówiąc, musisz wyrazić "x" przez "irek". Najpierw zajmiemy się parabola:

Wystarczy, ale upewnij się, że ta sama funkcja może zostać usunięta z dolnej gałęzi:

Z prostym, wszystko jest łatwiejsze:

Teraz patrzymy na oś: proszę, okresowo przechylaj głowę na prawo od 90 stopni wzdłuż objaśnienia (to nie jest żart!). Figura, którą potrzebujemy, leży w segmencie, który jest oznaczony czerwoną linią przerywaną. Jednocześnie linia prosta znajduje się nad parabola, a zatem obszar postaci należy znaleźć na formule już znajdziesz :. Co zmieniło się we wzorze? Tylko list i nic więcej.

! Uwaga : Azjatyckie limity integracji Należy go zorganizowaćŚciśle dołu !

Znajdź obszar:

W segmencie, więc:

Należy pamiętać, jak wdrożona integracja jest najbardziej racjonalna droga, aw następnym punkcie zadania będzie jasna - dlaczego.

Dla czytelników, którzy wątpiąc poprawność integracji, znajdę pochodne:

Uzyskuje się początkową integandę, oznacza to, że integracja jest prawidłowo wykonana.

Odpowiedź:

2) Oblicz objętość korpusu utworzonego obrotem tej figury wokół osi.

Redawring rysunek trochę w innym projekcie:

Tak więc figura, zacieniona na niebiesko, obraca się wokół osi. W rezultacie okazuje się "Hung Butterfly", który obraca się wokół swojej osi.

Aby znaleźć objętość obrotu, będziemy integrować wzdłuż osi. Najpierw musisz przejść do funkcji odwrotnych. Jest to już wykonane i opisane szczegółowo w poprzednim akapicie.

Teraz znowu odprawiamy i studiujemy naszą figurę. Oczywiście objętość korpusu obrotu należy znaleźć jako różnica w woluminach.

Obróć rysunek, krążył na czerwono, wokół osi, co powoduje obcięty stożek. Oznacz tę objętość.

Obróć figurę, okrążoną zielenią, wokół osi i oznaczają objętość korpusu obrotu.

Objętość naszego motyla jest równa różnicy woluminów.

Używamy formuły do \u200b\u200bznalezienia objętości korpusu obrotu:

Jaka jest różnica z formuły poprzedniego akapitu? Tylko w liście.

Ale zaletą integracji, którą ostatnio mówiłem, jest znacznie łatwiej znaleźć niż wstępnie zbudować funkcję remontową w 4 stopniu.

Odpowiedź:

Należy pamiętać, że jeśli ta sama płaska figura obróciła się wokół osi, wówczas okaże się zupełnie inny korpus obrotu, drugiego, naturalnie, objętości.

Przykład 7.

Oblicz objętość korpusu utworzonego przez obrót wokół osi figury, ograniczony przez krzywych i.

Decyzja: Wykonaj rysunek:

Po drodze zapoznam się z wykresami niektórych innych funkcji. Taki interesujący harmonogram funkcji całkowitej ....

W celu znalezienia objętości ciała obrotu, wystarczy użyć prawej połowy figury, którą udostępniłem na niebiesko. Oba funkcje są nawet ich wykresy są symetryczne o osi, symetrycznej i naszej figurze. Tak więc, zacieniona prawa część, obracająca się wokół osi, z pewnością zbiega się z częścią leworęczną. lub. W rzeczywistości sam jestem zawsze ubezpieczony, zastępując kilka punktów harmonogramu w znalezionej funkcji znalezionej.

Teraz pełni nam głowę i zauważmy następną rzecz:

- W segmencie nad osią istnieje wykres funkcji;

Logiczne jest założenie, że objętość obrotu należy przeszukiwać jako ilość objętości obrotów obrotów!

Używamy formuły:

W tym przypadku.

Objętość korpusu obrotowego można obliczyć o wzorze:

W formule integralną jest koniecznie obecne. To było takie konieczne - wszystko, co spinki w życiu jest związane z tą stałą.

Jak zorganizować granice integracji "A" i "być", myślę, że łatwo jest odgadnąć od rysowania.

Funkcja ... Jaka jest ta funkcja? Spójrzmy na rysunek. Płaska liczba jest ograniczona do najlepszego harmonogramu Parabolys. Jest to funkcja przeznaczona w formule.

W praktycznych zadaniach płaska postać może czasami znajdować się poniżej osi. Nie zmienia się nic - zintegrowana funkcja w formule jest wbudowana na kwadrat: integral jest zawsze nonnegacyjni to jest bardzo logiczne.

Oblicz zakres obrotu za pomocą tego wzoru:

Jak już zauważyłem, integralna jest prawie zawsze prosta, główną rzeczą jest uważna.

Odpowiedź:

W odpowiedzi należy zdefiniować wymiar - jednostki sześcienne. To jest, w naszym obrocie około 3,35 "kostek". Dlaczego jest sześcienny jednostki? Ponieważ najbardziej uniwersalne sformułowanie. Centymetry sześcienne mogą być metry sześcienne, mogą występować kilometry sześcienne itp., Jest to ilu zielonych mężczyzn twoja wyobraźnia zostanie umieszczona w latającym płycie.

Przykład 2.

Znajdź objętość korpusu utworzonego obrotem wokół osi kształtu ograniczonej liniami ,,

Jest to przykład dla niezależnego rozwiązania. Kompletne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.

Rozważ dwa bardziej złożone zadania, które są również powszechne w praktyce.

Przykład 3.

Oblicz objętość jednostki uzyskanej podczas obracania wokół osi odcięcia limitowanych linii ,, i

Decyzja: Pokaż płaską figurę na rysunku, ograniczone liniami ,,,,, o zapomnieniu, że równania jest oś:

Pożądana figura jest zacieniona na niebiesko. Gdy obraca się wokół osi, taki surrealistyczny bagel o czterech kątach.

Objętość korpusu obrotu jest obliczana jako różnica w woluminach.

Najpierw rozważ figurę, która jest krążyła na czerwono. Przy jego obrotach wokół osi otrzymuje się obcięty stożek. Oznacz objętość tego ściętego stożka.

Rozważ liczbę, która jest kręcona zielenią. Jeśli obrócisz tę liczbę wokół osi, otrzymasz również stożek ścięty, tylko trochę mniejszy. Oznacz swoją wielkość.

Oczywiście, różnica w woluminach jest dokładnie objętością naszego "Bagelu".

Używamy standardowej formuły do \u200b\u200bznalezienia objętości korpusu obrotu:

1) Postać krążyła na czerwono jest ograniczona z góry prosty, więc:

2) Figura odwiedzana zieleń jest ograniczona z góry prosty, więc:

3) objętość oryginalnego korpusu obrotu:

Odpowiedź:

Jest ciekaw, że w tym przypadku rozwiązanie można sprawdzić za pomocą formuły szkolnej, aby obliczyć objętość obciętego stożka.

Sama decyzja jest częściej zorganizowana w skrócie, w przybliżeniu w takim duchu:

Teraz trochę odpoczynku i opowiedz o iluzjach geometrycznych.

Ludzie często mają iluzje związane z tomem, który został zauważony przez Perelman (innego) w książce Rozrywkowa geometria. Spójrz na płaską postać w sprawdzonym zadaniu - wydaje się być niewielka w obszarze, a objętość obrotu jest nieco ponad 50 jednostek sześciennych, co wydaje się zbyt wiele. Nawiasem mówiąc, przeciętna osoba w całym życiu pije płyn z pomieszczeniem o powierzchni 18 metrów kwadratowych, które, wręcz przeciwnie, wydaje się zbyt mały.

Ogólnie rzecz biorąc, system edukacji w ZSRR był naprawdę najlepszy. Ta sama książka Perelman, opublikowana w 1950 roku, rozwija się bardzo dobrze, jak powiedział humorysta, skonsolidować i uczy poszukać oryginalnych niestandardowych rozwiązań problemów. Ostatnio niektóre rozdziały czytają z dużym zainteresowaniem, polecają, dostępne nawet dla humanitarnej. Nie, nie musisz się uśmiechać, że zaproponowałem rozrywkę, erudition i szeroką gamę komunikacji - świetna rzecz.

Po rekolekcji lirycznych ma znaczenie dla rozwiązania zadania kreatywnego:

Przykład 4.

Oblicz objętość korpusu utworzonego przez obrót w stosunku do osi płaskiej postaci ograniczonej przez linie, gdzie.

Jest to przykład dla niezależnego rozwiązania. Należy pamiętać, że wszystkie sprawy występują w taśmie, innymi słowy, ukończone limity integracji są faktycznie podane. Prawidłowo rysuj wykresy funkcji trygonometrycznych, przypominają materiał o lekcji przekształcenia wykresu geometrycznego : Jeśli argument jest podzielony na dwa: wówczas wykresy są rozciągane przez dwukrotnie. Wskazane jest znalezienie co najmniej 3-4 punktów według tabel trygonometrycznych W celu dokładniejszego wykonania rysunku. Kompletne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji. Przy okazji, zadanie można rozwiązać racjonalnie i nie jest zbyt racjonalne.

Wykorzystanie integerów, aby znaleźć objętość ciała obrotu

Praktyczne użyteczność matematyki wynika z tego, że bez

specyficzna wiedza matematyczna jest utrudniona przez zrozumienie zasad urządzenia i wykorzystania nowoczesnej technologii. Każda osoba w swoim życiu musi wykonać dość złożone obliczenia, wykorzystać wspólną technikę, aby znaleźć w książkach referencyjnych, aby zastosować niezbędne wzory, aby wykonać proste algorytmy do rozwiązywania problemów. W nowoczesnym społeczeństwie coraz więcej specjalności wymagających wysokiego poziomu wykształcenia wiąże się z bezpośrednim wykorzystaniem matematyki. Tak więc dla ucznia matematyki staje się profesjonalnym znaczącym obiektem. Wiodąca rola należy do matematyki w tworzeniu myślenia algorytmicznego, wprowadza zdolność do działania zgodnie z danym algorytmem i projektowaniem nowych algorytmów.

Studiowanie tematu zastosowania całkowania do obliczenia ilości jednostek rotacji, oferuję uczniom na zajęciach opcjonalnych, aby wziąć pod uwagę temat: "Woluminy organów obrotowych z wykorzystaniem integerów". Poniżej przedstawiamy metodyczne zalecenia dotyczące rozpatrzenia tego tematu:

1. Lokalizacja płaski kształt.

Od przebiegu algebry wiemy, że koncepcja pewnej integralności doprowadziła do praktycznego zadania ... "Szerokość \u003d" 88 "wysokość \u003d" 51 "\u003e. JPG" Szerokość \u003d "526" wysokość \u003d "262 src \u003d "\u003e

https://pandia.ru/text/77/502/IMAGES/image006_95.gif "szerokość \u003d" 127 "wysokość \u003d" 25 SRC \u003d "\u003e.

Aby znaleźć objętość korpusu obrotu utworzonego przez obrót krzywoliniowego trapezium wokół osi wołowej ograniczonej przez linię przerwanie Y \u003d F (X), oś OX, Direct X \u003d A i X \u003d B obliczany przez wzór

https://pandia.ru/text/77/502/IMAGES/image008_26.jpg "Szerokość \u003d" 352 "wysokość \u003d" 283 src \u003d "\u003e y

3. Objętość cylindra.

https://pandia.ru/text/77/502/IMAGES/image011_58.gif "Szerokość \u003d" 85 "wysokość \u003d" 51 "\u003e .. GIF" Szerokość \u003d "13" wysokość \u003d "25"\u003e .. jpg " Szerokość \u003d "401" wysokość \u003d "355"\u003e Stożek uzyskuje się przez obracanie prostokątnego trójkąta ABC (C \u003d 90) wokół osi OX, na której kłamie głośnik.

Cut leży na linii prostej Y \u003d KX + C, gdzie https://pandia.ru/text/77/502/images/image019_33.gif "Szerokość \u003d" 59 "wysokość \u003d" 41 src \u003d "\u003e.

Niech A \u003d 0, B \u003d H (wysokość stożka), a następnie VHTTPS: //Pandia.ru/text/77/502/images/image021_27.gif "Szerokość \u003d" 13 "wysokość \u003d" 23 src \u003d "\u003e .

5. Punal stożka ściętego.

Crounched stożka można uzyskać przez obracanie prostokątnego trapezu AVD (CDOX) wokół osi OX.

Wytnij AB leży na linii prostej Y \u003d KX + C, gdzie , C \u003d R.

Ponieważ linia prosta przechodzi przez punkt A (0; R).

W ten sposób linia ma wygląd https://pandia.ru/text/77/502/IMAGES/image027_17.gif "szerokość \u003d" 303 "wysokość \u003d" 291 src \u003d "\u003e

Niech A \u003d 0, B \u003d H (wysokość ścięty stożek), a następnie https://pandia.ru/text/77/502/images/image030_16.gif "Szerokość \u003d" 36 "Wysokość \u003d" 17 SRC \u003d "\u003e \u003d. .

6. Miska.

Kula można uzyskać, obracając okrąg z środkiem (0; 0) wokół osi OX. Półkola znajdująca się nad osią wół podaje się przez równanie

https://pandia.ru/text/77/502/IMAGES/image034_13.gif "Szerokość \u003d" 13 "wysokość \u003d" 16 src \u003d "\u003e x r.

Definicja 3. Korpus obrotu jest ciałem uzyskanym przez obracanie płaskiej figury wokół osi, która nie przekracza figury i kłodycza z nim w tej samej płaszczyźnie.

Oś rotacji może i przekracza rysunek, jeśli jest to oś symetrii figury.

Twierdzenie 2.
, oś
i proste cięcia
i

obraca się wokół osi
. Następnie objętość powstałego korpusu obrotowego można obliczyć za pomocą wzoru

(2)

Dowód. W przypadku takiego ciała, przekrój z odcięciem - To jest krąg promienia
Więc
i formuła (1) daje wymagany wynik.

Jeśli liczba jest ograniczona do wykresów dwóch ciągłych funkcji
i
i proste cięcia
i
co więcej
i
, podczas obracania się wokół osi odciętej, otrzymujemy organizm, którego objętość

Przykład 3. Oblicz objętość torusa uzyskanego przez obrót okręgu ograniczonego przez krąg

wokół osi odciętej.

R. pomiar. Określone dno koła jest ograniczone przez wykres
i z góry -
. Różnica kwadratów tych funkcji:

Żądana objętość

(Wykres integrandi jest górną częścią przyjazną, więc zintegrowany powyżej jest półokrągły obszar).

Przykład 4. Segment paraboliczny
i wysoki , obraca się wokół bazy. Oblicz objętość powstałego ciała ("cytryna" Cavalieri).

R. pomiar. Parabola jest umieszczona, jak pokazano na rysunku. Potem jego równanie
, i
. Znajdź wartość parametru :
. Tak więc żądany wolumin:

Twierdzenie 3. Niech Curvilinear Trape, ograniczona przez wykres ciągłej funkcji nie-negatywnej
, oś
i proste cięcia
i
co więcej
Obraca się wokół osi
. Następnie objętość odbiorczego korpusu obrotu można znaleźć według wzoru

(3)

Idea dowodu. Małe cięcie
zwrotnica

, części i wydaj bezpośredni
. Cała trapeza rozkłada się na paski, które można uznać za w przybliżeniu prostokąty z podstawą.
i wysokość
.

Cylinder otrzymuje się podczas obracania takiego prostokąta, przecinamy formowanie i rozwijamy się. Dostajemy "prawie" równoległe z wymiarami:
,
i
. Jego objętość
. Tak więc, aby objętość obrotu będziemy mieli przybliżoną równość

Aby uzyskać dokładną równość, musisz przejść do limitu, gdy
. Powyższa kwota jest integralną kwotą dla funkcji
Dlatego w limicie otrzymujemy integralną część o wzorze (3). Twierdzenie jest udowodnione.

Notatka 1. W twierdzeniu 2 i 3
możesz pominąć: Wzór (2) jest ogólnie niewrażliwy na znak
i we wzorze (3) wystarczy
zastąpione przez
.

Przykład 5. Segment paraboliczny (baza
, wysokość ) Stawki wokół wysokości. Znajdź objętość powstałego ciała.

Decyzja. Umieść parabola, jak pokazano na rysunku. I chociaż oś obrotu przekracza figurę, jest osi - jest osa symetrii. Dlatego konieczne jest rozważenie tylko w prawej połowie segmentu. Równanie Parabolla.
, i
Więc
. Mamy dla wolumenu:

Uwaga 2. Jeśli granica krzywoliniowego trapezu Curvilinear jest ustawiona przez równania parametryczne
,
,
i
,
możesz używać formuł (2) i (3) z wymianą na
i
na
kiedy się zmienia t. z
przed .

Przykład 6. Rysunek jest ograniczony do pierwszych cyklii łukowych
,
,
i oś ucieczce. Znajdź objętość ciała uzyskanego przez obrót tego figury wokół: 1) osi
; 2) Oś
.

Decyzja. 1) Wzór ogólny
W naszym przypadku:

2) Wzór ogólny
Na naszą liczbę:

Oferujemy uczniom niezależnie wykonywać wszystkie obliczenia.

Uwaga 3. Niech sektorze krzywoliniowym ograniczy się do neur-rive
i promienie
,

Obraca się wokół osi polarnej. Objętość powstałego korpusu można obliczyć o wzorze.

Przykład 7. Część kształtu limitowanej cardioid
obwód
Obraca się wokół osi polarnej. Znajdź objętość ciała, który się okazuje.

Decyzja. Obie linie, a zatem liczba, którą ograniczają, jest symetryczny w odniesieniu do osi polarnej. Dlatego konieczne jest rozważenie tylko części, dla której
. Krzywe przecinają się
i