Umnožavanje dvostrukih znamenki. Algoritam za umnožavanje dvostrukih znamenki. Umnožavanje u stupcu na umu
Uz najbolju besplatnu igru \u200b\u200bvrlo brzo uči. Provjerite sami!
Učite tablicu umnožavanja - igra
Isprobajte naše učenje elektroničke igre. Koristeći ga, već možete brzo riješiti matematičke zadatke u učionici na ploči bez odgovora, bez pribjegavanja ploča za umnožavanje brojeva. Vrijedi samo početi igrati, a samo 40 minuta bit će izvrstan rezultat. I kako bi se osigurao rezultat, nekoliko puta radite, ne zaboravljajući na prekide. U idealnom slučaju - svaki dan (spremite stranicu ne izgubiti). Oblik igre simulatora pogodan je za dječake i djevojčice.
Vidi ispod krevetića u punom obliku.
Umnožavanje izravno na web-lokaciji (online)
*× | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
2 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 | 20 | 22 | 24 | 26 | 28 | 30 | 32 | 34 | 36 | 38 | 40 |
3 | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 | 21 | 24 | 27 | 30 | 33 | 36 | 39 | 42 | 45 | 48 | 51 | 54 | 57 | 60 |
4 | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 | 24 | 28 | 32 | 36 | 40 | 44 | 48 | 52 | 56 | 60 | 64 | 68 | 72 | 76 | 80 |
5 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 | 45 | 50 | 55 | 60 | 65 | 70 | 75 | 80 | 85 | 90 | 95 | 100 |
6 | 6 | 12 | 18 | 24 | 30 | 36 | 42 | 48 | 54 | 60 | 66 | 72 | 78 | 84 | 90 | 96 | 102 | 108 | 114 | 120 |
7 | 7 | 14 | 21 | 28 | 35 | 42 | 49 | 56 | 63 | 70 | 77 | 84 | 91 | 98 | 105 | 112 | 119 | 126 | 133 | 140 |
8 | 8 | 16 | 24 | 32 | 40 | 48 | 56 | 64 | 72 | 80 | 88 | 96 | 104 | 112 | 120 | 128 | 136 | 144 | 152 | 160 |
9 | 9 | 18 | 27 | 36 | 45 | 54 | 63 | 72 | 81 | 90 | 99 | 108 | 117 | 126 | 135 | 144 | 153 | 162 | 171 | 180 |
10 | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 | 90 | 100 | 110 | 120 | 130 | 140 | 150 | 160 | 170 | 180 | 190 | 200 |
11 | 11 | 22 | 33 | 44 | 55 | 66 | 77 | 88 | 99 | 110 | 121 | 132 | 143 | 154 | 165 | 176 | 187 | 198 | 209 | 220 |
12 | 12 | 24 | 36 | 48 | 60 | 72 | 84 | 96 | 108 | 120 | 132 | 144 | 156 | 168 | 180 | 192 | 204 | 216 | 228 | 240 |
13 | 13 | 26 | 39 | 52 | 65 | 78 | 91 | 104 | 117 | 130 | 143 | 156 | 169 | 182 | 195 | 208 | 221 | 234 | 247 | 260 |
14 | 14 | 28 | 42 | 56 | 70 | 84 | 98 | 112 | 126 | 140 | 154 | 168 | 182 | 196 | 210 | 224 | 238 | 252 | 266 | 280 |
15 | 15 | 30 | 45 | 60 | 75 | 90 | 105 | 120 | 135 | 150 | 165 | 180 | 195 | 210 | 225 | 240 | 255 | 270 | 285 | 300 |
16 | 16 | 32 | 48 | 64 | 80 | 96 | 112 | 128 | 144 | 160 | 176 | 192 | 208 | 224 | 240 | 256 | 272 | 288 | 304 | 320 |
17 | 17 | 34 | 51 | 68 | 85 | 102 | 119 | 136 | 153 | 170 | 187 | 204 | 221 | 238 | 255 | 272 | 289 | 306 | 323 | 340 |
18 | 18 | 36 | 54 | 72 | 90 | 108 | 126 | 144 | 162 | 180 | 198 | 216 | 234 | 252 | 270 | 288 | 306 | 324 | 342 | 360 |
19 | 19 | 38 | 57 | 76 | 95 | 114 | 133 | 152 | 171 | 190 | 209 | 228 | 247 | 266 | 285 | 304 | 323 | 342 | 361 | 380 |
20 | 20 | 40 | 60 | 80 | 100 | 120 | 140 | 160 | 180 | 200 | 220 | 240 | 260 | 280 | 300 | 320 | 340 | 360 | 380 | 400 |
Kako pomnožiti broj stupaca (video u matematici)
Da biste vježbali i brzo učili, možete pokušati pomnožiti broj stupca.
Kako brzo umnožiti velike brojeve, kako ovladati tako korisnim vještinama? Većina uzrokuje poteškoće s umnožavanjem dvoznamenkastih brojeva nedvosmislenim. I ne postoji ništa o složenim aritmetičkim izračunima o složenim aritmetičkim izračunima. Ali ako želite, može se razviti sposobnost položena u svakoj osobi. Redovita obuka, malo truda i primjena znanstvenika učinkovite tehnike Sve će omogućiti da postignu zapanjujuće rezultate.
Odabiremo tradicionalne metode
Decimale su dokazali do desetljeća, metode umnožavanja dvoznamenkastih brojeva ne gube svoju važnost. Najjednostavnije tehnike pomažu milijunima običnih učenica, studenata specijaliziranih sveučilišta i liceuma, kao i ljudi koji se bave samo-razvojem, poboljšavaju računalnu iskaznu.
Umnožavanje razgradnjom brojeva
Najlakši način kako brzo naučiti razmnožavanje velikih brojeva u umu se umnožava desetke i jedinice. Prvo pomnožite desetke dva broja, zatim alternativne jedinice i desetke. Dobiveni četiri broja su sažeti. Da biste koristili ovu metodu, važno je biti u mogućnosti pamtiti rezultate množenja i preklopiti ih u umu.
Na primjer, za množenje 38 do 57 potrebno je:
- otpremiti (30+8)*(50+7) ;
- 30*50 = 1500 - zapamtite rezultat;
- 30*7 + 50*8 = 210 + 400 = 610 - Zapamtiti;
- (1500 + 610) + 8*7 = 2110 + 56 = 2166
Umnožavanje u stupcu na umu
Vizualni prikaz uobičajenog množenja u stupcu, mnogi se koriste u izračunima. Ova metoda će odgovarati onima koji mogu trajno pamtiti pomoćne brojeve i provoditi aritmetičku akciju s njima. Ali proces je uvelike pojednostavljen ako ste naučili kako brzo umnožiti dvoznamenkasti brojeve na nedvosmislen. Zamnoženo, na primjer, 47 * 81:
- 47*1 = 47 - Zapamtiti;
- 47*8 = 376 - zapamtiti;
- 376*10 + 47 = 3807.
Gornje metode umnožavanja su univerzalne. No, znanje o učinkovitijim algoritama za neke brojeve smanjit će broj izračuna.
Množenje do 11.
To je možda najlakši način koji se koristi za umnožavanje bilo koje dvoznamenkaste brojeve za 11.
Dovoljno je između brojeva multiplikatora za umetanje njihove sume:
13*11 = 1(1+3)3 = 143
Ako postoji broj više od 10 u zagradama, tada se jedinica doda u prvu znamenku i od iznosa u zagradama 10 se odbija.
28*11 = 2 (2+8) 8 = 308
Umnožavanje velikih brojeva
Vrlo je prikladno umnožiti brojeve blizu 100 raspadanja u komponente. Na primjer, morate se pomnožiti 87 do 91.
- Svaki broj mora biti predstavljen kao razlika od 100 i drugog broja:
(100 - 13)*(100 - 9)
Odgovor će se sastojati od četiri znamenke, od kojih su prva dva razlika u prvom faktoru i oduzeta od drugog nosača ili obrnuto - razlika između drugog multiplikatora i oduzeta od prvog nosača.
87 – 9 = 78
91 – 13 = 78 - Druga dva znamenke odgovora rezultat su množenja oduzetih od dva ugla. 13*9 = 144
- Kao rezultat toga, dobiveni su brojevi 78 i 144. Ako se, prilikom snimanja konačnog rezultata, broj od 5 znamenki dobiva se druga i treća znamenka za sumiranje. Proizlaziti: 87*91 = 7944 .
Umnožavanje dvoznamenkastih znamenki | Online simulator
Vježba se smatra izvršenim nakon 7 točnih odgovora
Stopa vježbanja - 3 minute
Za uspješno vježbanje pročitajte teoriju i radite prethodne lekcije.
Umnožavanje dvoznamenkastih znamenki | Teorija
U općenito Množenje u umu dvoznamenkastih brojeva prikladan je za izvršavanje sljedećih redoslijeda:
- za osnovni (prvi ili lijevi) broj, uzmite broj s najvišom drugom znamenkom;
- pomnožite bazu (prvi) dvoznamenkasti broj za desetke drugih (drugi) dvoznamenkasti brojevi;
- pomnožite osnovni (prvi) dvoznamenkasti broj po jedinici drugog (drugog) dvoznamenkasti broj;
- preklopite dva rezultata.
Zadatak: 42 x 36
1) 36 x 42 (broj 36 se uzima za osnovni (prvi) broj, kao 6\u003e 1)
2) 36 x 40 \u003d (30 + 6) x 4 x 10
30 x 4 \u003d 120; 6 x 4 \u003d 24; 120 + 24 \u003d 144; 144 x 10 \u003d 1440 *
3) 36 x 2 \u003d (30 + 6) x 2
30 x 2 \u003d 60; 6 x 2 \u003d 12; 60 + 12 \u003d 72
4) 1440 + 72 = 1752
Zadatak: 47 x 52
1) 47 x 52 (broj 47 se uzima za osnovni (prvi) broj, kao 7\u003e 2)
2) 47 x 50 \u003d 2350
4) 2350 + 94 = 2444
Ako jedan od brojeva završava na 9, tada je zadatak prikladniji za rješavanje sljedećih redoslijeda:
- za drugi (smješten na desnoj strani), broj se uzima po broju koji završava u 9;
- zaokruživanje drugog broja na najviše desetak, dodajući 1 na njega;
- pomnožite prvi broj na zaobljeni drugi broj;
- ukloniti iz rezultata stavka 3. prvi broj.
Zadatak: 39 x 56
1) 56 x 39 (broj 39 se uzima za drugi (na desnoj) broj, kako završava 9)
2) 56 x 39 (40-1)
3) 56 x 40 \u003d (50 + 6) x 4 x 10
50 x 4 \u003d 200; 6 x 4 \u003d 24; 200 + 24 \u003d 224; 224 x 10 \u003d 2240
4) 2240 - 56 = 2184
Ako je jedan od dvoznamenkastih brojeva 11, onda će biti mnogo lakše riješiti ovaj zadatak ako koristite metodu opisanu u lekciji 1.
U mnogim slučajevima, rješenje problema množenja dvoznamenkastih brojeva u umu je mnogo pojednostavljeno ako koristite metodu faktorizacije.
Factorsion je transformacija broja u rad jednostavnijih brojeva. Na primjer, broj 24 može se pretvoriti u komad 8 i 3 (24 \u003d 8 x 3) ili 6 i 4 (24 \u003d 6 x 4). Broj 24 također može biti predstavljen kao dio posla 12 i 2 (24 \u003d 12 x 2), ali prilikom izvođenja aritmetičkih operacija u umu to je prikladnije za rješavanje nedvosmislenih brojeva.
Odvojili dvoznamenkasti brojevi mogu se također predstavljati kao proizvod od tri nedvosmislene brojeve. Na primjer, 84 \u003d 7 x 6 x 2 \u003d 7 x 4 x 3.
Riješit ćemo problem množenja faktorizacije.
Zadatak: 34 x 42
Faktorizacija broja 24 daje 8 i 3 ili 6 i 4. Za rješavanje problema, predstavljamo broj 24 kao rad od 6 i 4, ali ako ste prikladniji, možete odabrati proizvod 8 i 3.
Pomnožite prvi broj za 6, nakon čega ćete pomnožiti rezultat do 4:
34 x 6 \u003d 204
204 x 4 \u003d 816
Da biste znali koja je faktorizacija podložna znaju koji od dvoznamenkastih brojeva, potrebno je pažljivo naučiti tablicu množenja. Možete zapisati sve dvoznamenkaste brojeve koji mogu biti factorsion, što ukazuje moguće metode njihova faktorizacija.
Ako su obje varijabilne dvoznamenkasti brojevi pogodni za faktorizaciju, u većini slučajeva to je prikladnije za manji broj.
Zadatak: 36 x 72
Broj 36 može biti predstavljen kao proizvod 6 i 6, a broj 72 je u obliku rada 9 i 8.
Od 36.
72 x 6 \u003d 432
432 x 6 \u003d 2592
Primjer s faktorizacijom s tri broja.
Zadatak: 57 x 75
U slučaju da se jedan od varijabilnih dvoznamenkastih brojeva sastoji od identičnih brojeva (22, 33, 44, itd.), To je prikladnije za faktoriziranje na 11 i 2, 3, 4, itd.), Od umnožavanja do 11 nije teško, kao što je prikazano u lekciji 11.
Zadatak: 81 x 44
Ako su brojevi u blizini vrijednosti s okruglim brojem, zatim s množenjem u umu prikladno je koristiti sljedeće formule: (c + a) (c + b) \u003d (c + a + b) C + ab; (C-a) (C-B) \u003d (C-A-B) C + ab; (C + a) (cb) \u003d (c + ab) C-ab **, gdje je "C" okrugli broj blizu dva varijabla brojeva, a "A" i "B" - je razlika između varijabilnih brojeva i okrugli broj.
Zadatak: 67 x 64
(60 + 7) X (60 + 4) \u003d (60 + 7 + 4) x 60 + 7 x 4 \u003d 71 x 60 + 28 \u003d 4260 + 28 \u003d 4288
Zadatak: 39 x 38
(40 - 1) X (40-2) \u003d (40-1-2) x 40 + 1 x 2 \u003d 37 x 40 + 2 \u003d 1480 + 2 \u003d 1482
Zadatak: 41 x 38
(40 + 1) X (40-2) \u003d (40 + 1 - 2) x 40 + 1 x 2 \u003d 39 x 40 - 2 \u003d 1558
Množenje dvoznamenkastih brojeva, prve znamenke (desetke) su jednake, a druga znamenka (jedinice) su dane u iznosu od 10, to je prikladnije proizvoditi u sljedećem redoslijedu:
- pomnožite prvu znamenku dvostrukih znamenki na istu sliku, povećanu po jedinici;
- pomnožite druge znamenke dvostrukih znamenki;
- stavite jedan za drugom, stavak 1. i stavak 2. \\ t
Zadatak: 76 x 74
Nemojte se obeshrabriti i ne odustati ako isprva imate poteškoća u množenju dvoznamenkastih brojeva. Za samopouzdanje ispunjenja takve operacije u umu, potrebna je praksa, kao i kreativni pristup.
* Za pamćenje u umu međuproizvoda izračuna, mogu se koristiti materijalni proizvodi na temelju brojeva udruživanja sa slikama.
** Dokazi o formulama transformacijom: (c + a) (c + b) \u003d (c + a) c + (c + a) b \u003d C2 + CA + cb + ab \u003d (c + a + b) c + Ab; (C-a) (C-B) \u003d (C-a) C- (C-a) B \u003d C2-CA-CB + ab \u003d (C-A-B) C + ab; (C + a) (C-B) \u003d (c + a) C- (C + a) b \u003d C2 + CA-CB-ab \u003d (C + A-B) C-AB.
*** Dokaz o metodi: u skladu s formulom koja se koristi u metodi koja se može spriječiti (C + a) (C + B) \u003d (c + a + b) C + ab; Od A + B \u003d 10, zatim (C + a) (c + b) \u003d (c + 10) C + ab; Budući da proizvod dvoznamenkasti kružnih brojeva C i C + 10 daje broj s dva nula na kraju, a proizvod A i B daje dvoznamenkasti broj, a zatim pronaći zbroj tih dvaju izraza, dovoljno je staviti proizvod A i B umjesto posljednje dvije nule prvog izraza.
Postoje tri opće metode: izravno umnožavanje, način referentnog broja i metoda Trachtenberg.
Sve ih ublažite, jer svatko može biti poželjniji na ovaj ili onaj način.
Moguće je izraditi rezultirajuće vještine pomoću tablice za obuku.
Izravno umnožavanje
Ova metoda je prikladna kada je jedan od multiplikatora u rasponu od 12-18 ili završava na 1, a drugi se razlikuje od njega.
Jedan multiplikator je mentalno podijeljen u desetke i jedinice. Zatim se još jedan multiplikator umnožava desetke, a zatim na jedinice i preklopite.
Na primjer, 62 × 13 \u003d 62 × 10 + 62 × 3 \u003d 620 + 186 \u003d 806.
Ponekad je zgodno razbiti do desetaka i jedinice većeg multiplikatora: 42 × 17 \u003d 17 × 40 + 17 × 2 \u003d 714.
Način referentnog broja
Da biste ovladali metodom, potrebna je mala praksa, ali je vrlo prikladno kada su dva faktora bliski brojevi. Konkretno, ovo je glavni način za izgradnju dvoznamenkastih brojeva po kvadratu.
Referentni broj je okrugli broj blizu oba multiplikatora. Može biti manji od oba multiplikatora, više od oba multiplikatora ili se nalazi između njih.
Kao referentni broj, trebali biste odabrati brojeve koji se lako pomnožavaju. Na primjer, 50 ili 100, ako su blizu dva multiplikatora.
Ovisno o tome kako se referentni broj i množitelji odnose, tehnika množenja lagano se razlikuje.
ali. Referentni broj je manji od dva faktora. Na primjer, morate se pomnožiti 32 do 36.
- Broj podrške - 30. Multiplikatori su više referentnih brojeva za 2 i 6.
- Dodajte na prvi faktor 6 i pomnožite na referentni broj: 38 × 30 \u003d 1140.
- Dodajte dio 2 i 6: 1140 + 2 × 6 \u003d 1152.
b. Referentni broj je više od dva čimbenika. Na primjer, morate se pomnožiti 43 do 48.
- Broj podrške - 50. Poljoprivrednici su manji od referentnog broja na 7 i 2.
- Izvadite iz prvog faktora 2 i pomnožite na referentni broj: 41 × 50 \u003d 2050.
- Dodajte dio 7 i 2: 2050 + 7 × 2 \u003d 2064.
u. Referentni broj je između multiplikatora. Na primjer, morate se pomnožiti 37 do 42.
- Referentni broj je 40. Prvi faktor je manji od 3, drugi je veći od 2.
- Dodajte manji faktor 2 i pomnožite na referentni broj: 39 × 40 \u003d 1560.
- Izbrišite rad 3 i 2: 1440 - 3 × 2 \u003d 1554.
Metoda tvrtke Trachtenberg
Trachtenberg metoda je najčešća. To je prikladno koristiti ga uvijek kada posebne tehnike ne rade. Također se primjenjuje za umnožavanje višestrukih brojeva.
Budući da metoda Trachtenberg nije u potpunosti navikla, bolje je imati množitelja prije njihovih očiju. U budućnosti, praksa bez snimanja početnih brojeva.
Analizirat ćemo metodu na primjeru množenja 87 do 32.
- Pripremite brojeve: 8732. Pomnožite dva unutarnja broja (7 i 3), dva vanjska brojeva (8 i 2) i preklop. Ispada 37.
- Multimimiju desetine: 80 × 30 \u003d 2400. Dodajte 37 × 10. Ispada 2770.
- Dodajte komad jedinica (7 i 2). Ukupno 2784.
Na primjer: 98 x 97 \u003d 9506
Ovdje koristim takav algoritam: ako želite umnožiti dva
dvoznamenkasti brojevi blizu 100, a zatim to čine:
1) pronaći nedostatke čimbenika na stotine;
2) odbitak od jedne tvornice nedostatak drugog na stotine;
3) na rezultat potpomognutih dvije znamenke proizvod mana
toliko prije stotine.
2.9 Množenje troznamenkasti broj na 999
Znatiželjna značajka broja 999 očituje se množenjem bilo kojeg drugog troznamenkastog broja. Tada se dobiva šest-znamenkasti proizvod: prve tri znamenke su višestruki broj, samo smanjena po jedinici, a preostale tri znamenke (osim posljednjeg) - " dodataka»Prvi do 9. Na primjer:
385 * 999 = 384615
573 * 999 = 572427 943 * 999 = 942057
2.10 Množenje šest (trachtenberg)
Potrebno je dodati svakoj znamenki " susjed».
Primjer: 0622084 * 6
0622084 * 6 4 je desna znamenka ovog broja i, tako 4 kao " susjed- Ona nema, nema što dodati.
06222084 * 6 Dvije znamenke 8, E " susjed"- 4. Mi uzeti 8 04 dodavanjem pola 4 (2) i dobiti 10, nula pisanje, 1 u prijenosu.
06222084 * 6 Sljedeća znamenka nula. Dodajemo joj
504 pola " susjed»8 (4), to jest, 0 + 4 \u003d 4 plus
prijenos (1).
Preostali brojevi su slični.
Odgovor: 06222084 * 6
Pravilo umnožavanja za 6: je " susjed"Svjesni ili čak ni zna - nema uloga. Pogledamo samo broj u broju: ako je čak i, dodajući je s cijelim dijelom pola " susjed", Ako nešto, osim pola" susjed»Dodamo još 5.
Primjer: 0443052 * 6
0443052 * 6 2 - čak i nema " susjed", Napiši ga ispod
0443052 * 6 5 - Nepar: 5 + 5 i plus pola " susjed»2 (1)
12 će biti 11. Pišite 1 i u prijenosu 1
0443052 * 6 pola od 5 će biti 2 i doda se prijenos 1, a zatim će biti 3
0443052 * 6 3 - Nepar, 3 + 5 \u003d 8
0443052 * 6 + pola od 3 (1) će biti 5
0443052 * 6 + pola od 4 (2) će biti 6
0443052 * 6 Zero + pola od 4 (2) će biti 2
2658312 Odgovor: 2658312.
zaključci
Znanje o tehnikama brza računa omogućuje vam da pojednostavite izračune, uštedite vrijeme, razvija logičko razmišljanje i fleksibilnost uma.
U školskim udžbenicima praktički nemaju nikakvih tehnika ubrzanih računa, tako da će rezultat ovog rada dopis za brz račun biti vrlo koristan za studente u razredima 5-6.
Kao što vidimo, brzi račun više nije tajna za sedam pečata, već znanstveno dizajnirani sustav. Kada postoji sustav, to znači da se može proučavati, ona se može slijediti, može se savladati.
Sve metode oralnog množenja razmatraju se o dugogodišnjem interesu znanstvenika i obični ljudi Na igru \u200b\u200bs brojevima.
Koristeći neke od ovih metoda u lekcijama ili kod kuće, možete razviti brzinu izračuna, usaditi interes za matematiku, postići uspjeh u učenju svih školskih predmeta.
Zaključak
Opisujući vintage metode izračuna i modernih tehnika brzog računa, pokušao sam pokazati da iu budućnosti, a u budućnosti, bez matematike, znanosti koju je stvorio um čovjeka, nije mogao učiniti.
Proučavanje starih metoda računanja pokazalo je da su te aritmetičke akcije bile teške i složene zbog razdjelnika metoda i njihovih glomaznih rezultata.
Moderne metode izračuna su jednostavne i dostupne svima.
Kada se upoznaju s znanstvenom literaturom, otkrili su brže i pouzdane metode izračuna.
Rezultati vašeg rada izdao sam podsjetnik (Dodatak 2), koji će ponuditi sve vaše kolege. Moguće je da prvi put ne uspije brzo, za obavljanje izračuna s korištenjem ovih tehnika, čak i ako najprije ne uspijete koristiti recepciju prikazane u dopisu, ništa strašno, samo trebate stalnu računalnu obuku. Ona će vam pomoći da kupite korisne vještine.
Popis rabljene literature
1. Vanzian a.g. Matematika: Udžbenik za 5. razreda. - Samara: izdavačka kuća " Fedorov", 1999
2. Zaikin m.n. Matematički trening. - Moskva, 1996.
3. Zimikovts K.A., Pashchenko V.A. Zanimljive tehnike oralnog računalstva. //Osnovna škola. - 1990, №6.
4. Ivanova T. usmeni račun. // Osnovna škola. - 1999, №7.
5. Cordemsky B.A., Ahadov a.a. Nevjerojatan svijet brojeva: Knjiga studenata, - M. prosvjetiteljstvo, 1986.
6. Minsk E.m. "" Od igre do znanja", M.," Obrazovanje", 1982
7. Perelman ya.i. Žive matematike. - Ekaterinburg, teza, 1994.
8. Svethers a.a. Brojevi, brojke, zadaci. M., prosvjetiteljstvo, 1977
Internet izvori
1. School.edu.ru.