Formules de multiplication abrégées. Mise au carré rapide des nombres sans calculatrice Que signifie un nombre au carré

Formules de multiplication abrégées.

Étudier les formules de la multiplication abrégée : le carré de la somme et le carré de la différence de deux expressions ; différence des carrés de deux expressions ; le cube de la somme et le cube de la différence de deux expressions ; sommes et différences de cubes de deux expressions.

Application de formules de multiplication abrégées lors de la résolution d'exemples.

Pour simplifier les expressions, factoriser les polynômes et réduire les polynômes à une forme standard, des formules de multiplication abrégées sont utilisées. Formules de multiplication abrégées à connaître par cœur.

Soit a, b R. Alors :

1. Le carré de la somme de deux expressions est le carré de la première expression plus deux fois le produit de la première expression et de la seconde plus le carré de la seconde expression.

(une + b) 2 = une 2 + 2ab + b 2

2. Le carré de la différence de deux expressions est le carré de la première expression moins deux fois le produit de la première expression et de la seconde plus le carré de la seconde expression.

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

3. Différence de carrés deux expressions est égal au produit de la différence de ces expressions par leur somme.

une 2 - b 2 \u003d (une - b) (une + b)

4. cube somme de deux expressions est égal au cube de la première expression plus trois fois le carré de la première expression multiplié par la seconde plus trois fois le produit de la première expression multiplié par le carré de la seconde plus le cube de la seconde expression.

(une + b) 3 = une 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

5. cube de différence de deux expressions est égal au cube de la première expression moins trois fois le produit du carré de la première expression et de la seconde plus trois fois le produit de la première expression et du carré de la seconde moins le cube de la seconde expression.

(a - b) 3 = une 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

6. Somme de cubes deux expressions est égal au produit de la somme des première et deuxième expressions par le carré incomplet de la différence de ces expressions.

une 3 + b 3 \u003d (une + b) (une 2 - ab + b 2)

7. Différence de cubes de deux expressions est égal au produit de la différence des première et deuxième expressions par le carré incomplet de la somme de ces expressions.

une 3 - b 3 \u003d (une - b) (une 2 + ab + b 2)

Application de formules de multiplication abrégées lors de la résolution d'exemples.

Exemple 1

Calculer

a) En utilisant la formule du carré de la somme de deux expressions, on a

(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681

b) En utilisant la formule de la différence au carré de deux expressions, on obtient

98 2 \u003d (100 - 2) 2 \u003d 100 2 - 2 100 2 + 2 2 \u003d 10000 - 400 + 4 \u003d 9604

Exemple 2

Calculer

En utilisant la formule de la différence des carrés de deux expressions, on obtient

Exemple 3

Simplifier l'expression

(x - y) 2 + (x + y) 2

Nous utilisons les formules pour le carré de la somme et le carré de la différence de deux expressions

(x - y) 2 + (x + y) 2 \u003d X 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 \u003d 2x 2 + 2y 2

Formules de multiplication abrégées dans un tableau :

(une + b) 2 = une 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
une 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(une + b) 3 = une 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = une 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
une 3 + b 3 \u003d (une + b) (une 2 - ab + b 2)
une 3 - b 3 \u003d (une - b) (une 2 + ab + b 2)

Aujourd'hui, nous allons apprendre à mettre rapidement au carré de grandes expressions sans calculatrice. Par gros, j'entends des nombres entre dix et cent. Les grandes expressions sont extrêmement rares dans les problèmes réels, et vous savez déjà compter les valeurs inférieures à dix, car il s'agit d'une table de multiplication régulière. Le matériel de la leçon d'aujourd'hui sera utile aux étudiants assez expérimentés, car les étudiants novices n'apprécieront tout simplement pas la rapidité et l'efficacité de cette technique.

Pour commencer, comprenons en général de quoi nous parlons. Par exemple, je propose de faire la construction d'une expression numérique arbitraire, comme on le fait habituellement. Disons 34. On l'élève en le multipliant par lui-même avec une colonne :

\[((34)^(2))=\times \frac(34)(\frac(34)(+\frac(136)(\frac(102)(1156))))\]

1156 est le carré 34.

Le problème de cette méthode peut être décrit en deux points :

1) il nécessite une inscription écrite ;

2) il est très facile de se tromper dans le processus de calcul.

Aujourd'hui, nous allons apprendre à multiplier rapidement sans calculatrice, verbalement et pratiquement sans erreur.

Alors, commençons. Pour travailler, nous avons besoin de la formule du carré de la somme et de la différence. Écrivons-les :

\[(((a+b))^(2))=((a)^(2))+2ab+((b)^(2))\]

\[(((a-b))^(2))=((a)^(2))-2ab+((b)^(2))\]

Qu'est-ce que cela nous donne ? Le fait est que toute valeur entre 10 et 100 peut être représentée par un nombre $a$, qui est divisible par 10, et un nombre $b$, qui est le reste de la division par 10.

Par exemple, 28 peut être représenté comme suit :

\[\begin(align)& ((28)^(2)) \\& 20+8 \\& 30-2 \\\end(align)\]

De même, nous présentons les exemples restants :

\[\begin(align)& ((51)^(2)) \\& 50+1 \\& 60-9 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((42)^(2)) \\& 40+2 \\& 50-8 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((77)^(2)) \\& 70+7 \\& 80-3 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((21)^(2)) \\& 20+1 \\& 30-9 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((26)^(2)) \\& 20+6 \\& 30-4 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((39)^(2)) \\& 30+9 \\& 40-1 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((81)^(2)) \\& 80+1 \\& 90-9 \\\end(align)\]

Qu'est-ce qui nous donne une telle idée ? Le fait est qu'avec la somme ou la différence, nous pouvons appliquer les calculs ci-dessus. Bien entendu, afin d'abréger les calculs, il convient pour chacun des éléments de choisir une expression avec le plus petit second terme. Par exemple, parmi les options $20+8$ et $30-2$, vous devez choisir l'option $30-2$.

De même, nous choisissons des options pour d'autres exemples :

\[\begin(align)& ((28)^(2)) \\& 30-2 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((51)^(2)) \\& 50+1 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((42)^(2)) \\& 40+2 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((77)^(2)) \\& 80-3 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((21)^(2)) \\& 20+1 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((26)^(2)) \\& 30-4 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((39)^(2)) \\& 40-1 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((81)^(2)) \\& 80+1 \\\end(align)\]

Pourquoi s'efforcer de réduire le second terme en multiplication rapide ? Il s'agit des calculs initiaux du carré de la somme et de la différence. Le fait est que le terme plus ou moins $2ab$ est le plus difficile à calculer lors de la résolution de problèmes réels. Et si le facteur $a$, un multiple de 10, se multiplie toujours facilement, alors avec le facteur $b$, qui est un nombre compris entre un et dix, de nombreux élèves ont régulièrement des difficultés.

\[{{28}^{2}}={{(30-2)}^{2}}=200-120+4=784\]

\[{{51}^{2}}={{(50+1)}^{2}}=2500+100+1=2601\]

\[{{42}^{2}}={{(40+2)}^{2}}=1600+160+4=1764\]

\[{{77}^{2}}={{(80-3)}^{2}}=6400-480+9=5929\]

\[{{21}^{2}}={{(20+1)}^{2}}=400+40+1=441\]

\[{{26}^{2}}={{(30-4)}^{2}}=900-240+16=676\]

\[{{39}^{2}}={{(40-1)}^{2}}=1600-80+1=1521\]

\[{{81}^{2}}={{(80+1)}^{2}}=6400+160+1=6561\]

Donc en trois minutes nous avons fait la multiplication de huit exemples. C'est moins de 25 secondes par expression. En réalité, après un peu d'entraînement, vous compterez encore plus vite. Il ne vous faudra pas plus de cinq ou six secondes pour calculer une expression à deux chiffres.

Mais ce n'est pas tout. Pour ceux à qui la technique montrée ne semble pas assez rapide et pas assez cool, je propose encore plus manière rapide la multiplication, qui, cependant, ne fonctionne pas pour toutes les tâches, mais seulement pour celles qui diffèrent d'un des multiples de 10. Dans notre leçon, il y a quatre valeurs de ce type : 51, 21, 81 et 39.

Cela semblerait beaucoup plus rapide, nous les comptons déjà littéralement en quelques lignes. Mais, en fait, il est possible d'accélérer, et cela se fait comme suit. Nous écrivons la valeur, un multiple de dix, qui est la plus proche de celle souhaitée. Par exemple, prenons 51. Par conséquent, pour commencer, nous allons lever cinquante :

\[{{50}^{2}}=2500\]

Les valeurs qui sont des multiples de dix sont beaucoup plus faciles à mettre au carré. Et maintenant, nous ajoutons simplement cinquante et 51 à l'expression originale. La réponse sera la même :

\[{{51}^{2}}=2500+50+51=2601\]

Et ainsi de suite avec tous les nombres qui diffèrent d'un.

Si la valeur que nous recherchons est supérieure à celle que nous pensons, nous ajoutons des nombres au carré résultant. Si le nombre souhaité est inférieur, comme dans le cas de 39, alors lors de l'exécution de l'action, la valeur doit être soustraite du carré. Pratiquons sans utiliser de calculatrice :

\[{{21}^{2}}=400+20+21=441\]

\[{{39}^{2}}=1600-40-39=1521\]

\[{{81}^{2}}=6400+80+81=6561\]

Comme vous pouvez le voir, dans tous les cas, les réponses sont les mêmes. De plus, cette technique est applicable à toutes les valeurs adjacentes. Par exemple:

\[\begin(align)& ((26)^(2))=625+25+26=676 \\& 26=25+1 \\\end(align)\]

Dans le même temps, nous n'avons pas du tout besoin de nous souvenir des calculs des carrés de la somme et de la différence et d'utiliser une calculatrice. La rapidité de travail est au-delà des louanges. Par conséquent, rappelez-vous, pratiquez et utilisez dans la pratique.

Points clés

Avec cette technique, vous pouvez facilement faire la multiplication de n'importe nombres naturels allant de 10 à 100. De plus, tous les calculs sont effectués oralement, sans calculatrice et même sans papier !

Tout d'abord, souvenez-vous des carrés des valeurs multiples de 10 :

\[\begin(align)& ((10)^(2))=100,((20)^(2))=400,((30)^(2))=900,..., \\ & ((80)^(2))=6400,((90)^(2))=8100. \\\fin(aligner)\]

\[\begin(align)& ((34)^(2))=(((30+4))^(2))=((30)^(2))+2\cdot 30\cdot 4+ ((4)^(2))= \\& =900+240+16=1156 ; \\\fin(aligner)\]

\[\begin(align)& ((27)^(2))=(((30-3))^(2))=((30)^(2))-2\cdot 30\cdot 3+ ((3)^(2))= \\& =900-180+9=729. \\\fin(aligner)\]

Comment compter encore plus vite

Mais ce n'est pas tout! En utilisant ces expressions, vous pouvez instantanément faire la quadrature des nombres qui sont "adjacents" à ceux de référence. Par exemple, nous connaissons 152 (la valeur de référence), mais nous devons trouver 142 (un nombre adjacent qui est un de moins que la référence). Écrivons:

\[\begin(align)& ((14)^(2))=((15)^(2))-14-15= \\& =225-29=196. \\\fin(aligner)\]

Attention : pas de mysticisme ! Les carrés des nombres qui diffèrent de 1 s'obtiennent en effet en multipliant les nombres de référence par eux-mêmes en soustrayant ou en ajoutant deux valeurs :

\[\begin(align)& ((31)^(2))=((30)^(2))+30+31= \\& =900+61=961. \\\fin(aligner)\]

Pourquoi ça arrive ? Écrivons la formule du carré de la somme (et de la différence). Soit $n$ notre valeur de référence. Ensuite, ils comptent comme ceci:

\[\begin(align)& (((n-1))^(2))=(n-1)(n-1)= \\& =(n-1)\cdot n-(n-1 )= \\& ==((n)^(2))-n-(n-1) \\\fin(aligner)\]

- c'est la formule.

\[\begin(align)& (((n+1))^(2))=(n+1)(n+1)= \\& =(n+1)\cdot n+(n+1) = \\& =((n)^(2))+n+(n+1) \\\fin(aligner)\]

- une formule similaire pour les nombres supérieurs à 1.

J'espère que cette technique vous fera gagner du temps sur tous les tests et examens importants en mathématiques. Et c'est tout pour moi. À bientôt!

Le carré d'un nombre est le résultat d'une opération mathématique qui élève ce nombre à la seconde puissance, c'est-à-dire qu'il multiplie une fois ce nombre par lui-même. Il est d'usage de désigner une telle opération comme suit : Z2, où Z est notre nombre, 2 est le degré de "carré". Notre article vous expliquera comment calculer le carré d'un nombre.

Calculer le carré

Si le nombre est simple et petit, alors il est facile de le faire soit dans la tête, soit en utilisant la table de multiplication, qui est bien connue de nous tous. Par exemple:

42 = 4x4 = 16 ; 72 = 7x7 = 49 ; 92 = 9x9 = 81.

Si le nombre est grand ou "énorme", vous pouvez utiliser soit le tableau des carrés que tout le monde a appris à l'école, soit une calculatrice. Par exemple:

122 = 12x12 = 144 ; 172 = 17x17 = 289 ; 1392 = 139x139 = 19321.

De plus, pour obtenir le résultat souhaité pour les deux exemples ci-dessus, vous pouvez multiplier ces nombres dans une colonne.

Pour obtenir le carré de n'importe quelle fraction, il faut :

Convertir une fraction (si la fraction a une partie entière ou si c'est un nombre décimal) en une fraction impropre. Si la fraction est correcte, alors rien n'a besoin d'être traduit.
Multipliez le dénominateur par le dénominateur et le numérateur par le numérateur de la fraction.

Par exemple:

(3/2)2 = (3/2)x(3/2) = (3x3)/(2x2) = 9/4 ; (5/7)2 = (5/7)x(5/7) = (5x5)/(7x7) = 25/49 ; (14/17) 2 \u003d (14x14) / (17x17) \u003d 196/289.

Dans chacune de ces options, le moyen le plus simple consiste à utiliser une calculatrice. Pour cela, vous avez besoin de :

Taper un chiffre sur le clavier
Cliquez sur le bouton avec le signe de multiplication
Appuyez sur le bouton avec le signe "égal"

Vous pouvez également toujours utiliser des moteurs de recherche sur Internet, comme par exemple Google. Pour ce faire, il vous suffit de saisir la requête appropriée dans le champ du moteur de recherche et d'obtenir un résultat prêt à l'emploi.

Par exemple : pour calculer le carré du nombre 9,17, il faut taper dans le moteur de recherche 9,17 * 9,17, soit 9,17 ^ 2, soit « 9,17 au carré ». Dans chacune de ces options, le moteur de recherche vous donnera le résultat correct - 84.0889.

Vous savez maintenant comment calculer le carré de n'importe quel nombre qui vous intéresse, qu'il s'agisse d'un nombre entier ou d'une fraction, grand ou petit !