Pöörlemise ümber au telje. Kuidas arvutada pöörlemisala konkreetse integraaliga? Keha mahu arvutamine, mis on moodustatud tasase kuju ümber pöörlemise teel telje ümber

C on intervallis sisalduv. Seega sain jälle täiendava liikme Langlundree vormi. 5. Järeldus. Kursuse töö, mõisted teatud ja kokkusobimatu lahutamatu ja selle liiki antakse, mõned konkreetse lahutuse rakendamise küsimusi. Eelkõige valleb valem, millel on ajalooline tähtsus, kuna number P-i esimene esindatus on piiratud arvutatud piiri kujul ...

funktsiooni tüübi kiirgus on arvuliselt kujutab endast piiratud kõverate kõverate trapetsi pindala X \u003d 0, Y \u003d A, Y \u003d B ja Y \u003d (joonis 1). Selle ala arvutamiseks on kaks meetodit trapetside (joonis fig. 2) ja keskmises ristküliku meetodi arvutamiseks (joonis fig. 3). Joonis fig. 1. KUVILINEARS TRAPLEZIUM. Joonis fig. 2. Trapetsi meetod. Joonis fig. 3. Keskmise ristkülikute meetod. Meetodite kohaselt ...

N (integratsioonide arvu suurendamine) suurendab integraalide ülesannete ligikaudse arvutamise täpsust laboratooriumi tööle 1) Kirjutage programme konkreetsete integraalsete meetodite arvutamiseks: keskmise, õige ristkülikute, trapetside ja Simpsoni meetodi arvutamiseks. Täitke järgmiste funktsioonide integreerimine: 1. f (x) \u003d XF (x) \u003d x2 f (x) \u003d x3 f (x) \u003d x4 segmendis pigi, 2. f (x) \u003d f (x ) \u003d f (x) \u003d ...

... (taskumenetlus) ja lahutamatu. 4. Järeldus ja järeldused. Seega on ilmselge, et teatud integraalide arvutamisel kvadrature valemite abil ja eriti Chebyshevi valem ei anna meile täpset väärtust, vaid ainult ligikaudselt. Selleks, et sulgeda võimalikult palju terviklikku väärtust, peate valima õige meetodi ja valemiga, mis arvutatakse. Sama ...

lame kuju ümber telje

Näide 3.

Dana Flat Figue Limited Lines ,,

1) Leia pindala korter joonis piiratud need read.

2) Leidke keha maht, mis saadakse nende joonede ümber lühendiga piiratud joonise pöörlemise teel telje ümber.

Tähelepanu! Isegi kui sa tahad tutvuda ainult teise elemendiga enne Lugege esimene!

Otsus: Ülesanne koosneb kahest osast. Alustame ruuduga.

1) Tehke joonis:

See on lihtne näha, et funktsioon seab parabooli ülemise haru ja funktsioon on parabooli alumine haru. Meie ees on triviaalne parabool, mis "peitub küljel."

Soovitud joonis, mille pindala on leitud, varjutatud sinine.

Kuidas leida joonise pindala? Seda võib leida "tavalise" tee. Lisaks on joonise pindala sarnane piirkonna summa:

- segmendis;

- segmendis.

Seetõttu:

Seal on ratsionaalne lahendus tee: see koosneb üleminekul vastupidiste funktsioonide ja integratsiooni mööda teljel.

Kuidas minna vastupidise funktsiooni? Umbes rääkides peate väljendama "x" kaudu "Irek". Kõigepealt tegeleme parabolaga:

See on piisav, kuid veenduge, et sama funktsiooni saab põhjaosast eemaldada:

Sirge, kõik on lihtsam:

Nüüd vaatame telje: palun, perioodiliselt kallutage pea paremale 90 kraadi mööda selgituse käigus (see ei ole nali!). Joonis, mida me vajame segmendis, mis on tähistatud punase punktiiriga. Samal ajal asub sirgjoon parabooli kohal ja seetõttu tuleks joonise pindala leida teile juba tuttav valemist :. Mis vahetati valemis? Ainult kiri ja midagi muud.

! Märge : Aasia integratsiooni piirid See peaks olema paigutatudrangelt alt üles !

Leia ala:

Segmendis, nii et:

Pange tähele, kuidas ma rakendasin integratsiooni kõige raskemini ja järgmisel ülesandel on selge - miks.

Lugejatele, kes kahtlevad integratsiooni korrektsust, leian tuletisinstrumente:

Esialgne Integrand saadakse, see tähendab, et integratsioon on õigesti tehtud.

Vastus:

2) arvutada keha maht, mis on moodustatud selle joonise pöörlemise teel telje ümber.

Reguleerimine joonis veidi teises disainis:

Niisiis, sinise varjutatud joonis pöörleb telje ümber. Selle tulemusena selgub välja "riputatud liblikas", mis keerutab selle telje ümber.

Et leida rotatsiooni keha maht, integreerume mööda telje. Kõigepealt peate pöörduma vastupidiste funktsioonide juurde. Seda on juba tehtud ja üksikasjalikult kirjeldatud eelmises lõigus.

Nüüd me til maha kohe ja me uurida meie näitaja. Ilmselgelt tuleks pöörlemise keha mahtu leida mahtude erinevusena.

Pöörake joonist ringi, punaselt ringi ümber telje ümber, mille tulemuseks on kärbitud koonus. Tähistage seda mahtu läbi.

Pöörake joonist ringiga roheliselt, telje ümber ja tähistage pöörlemisse mahu kaudu.

Meie liblikas maht on võrdne mahtude erinevusega.

Me kasutame pöörlemise mahu leidmiseks valemit:

Mis vahe on eelmise lõike valemiga? Ainult kirjas.

Kuid integratsiooni eeliseks, mida ma hiljuti rääkisin, on palju lihtsam leida kui neljandal määral taaskehtestamise funktsiooni.

Vastus:

Pange tähele, et kui sama lame näitaja pöörab ümber telje, siis see osutub täiesti erineva pöörlemise keha, teiselt poolt loomulikult maht.

Näide 7.

Arvutage keha maht, mis on moodustatud pöörlemise teel joonise telje ümber, piiratud kõverate ja.

Otsus: Tehke joonis:

Nii et ma tutvun mõne muu funktsiooni graafikutega. Selline täisarvu funktsiooni huvitav ajakava.

Pöörami mahu leidmiseks on piisav, et kasutada joonise paremat pool, mida ma sinise jagatud. Mõlemad funktsioonid on isegi nende graafikud sümmeetrilised telje, sümmeetrilise ja meie näitaja kohta. Seega langeb varjutatud parempoolne osa, pöörleva telje ümber, kattuvad kindlasti vasakpoolse osaga. Or. Tegelikult ma ise olen alati kindlustatud, asendades paar ajakava leitud funktsiooni leitud funktsiooni.

Nüüd me libiseme pea paremale ja märkame järgmist asja:

- segmendis telje üle on funktsiooni graafik;

On loogiline eeldada, et rotatsiooni keha maht tuleb otsida pöörlemisorganite mahu kogusena!

Me kasutame valemit:

Sel juhul.

Rotatsiooni keha maht saab arvutada valemiga:

Valemis on lahutamatu osa tingimata kohal. See oli nii vajalik - kõik, mis keerutab elus on seotud selle konstantse.

Kuidas korraldada integratsiooni piirid "A" ja "BE", ma arvan, et joonisest on lihtne ära arvata.

Funktsioon ... Mis see funktsioon on? Vaatame joonistust. Flat näitaja piirdub parabolys tippgraafitega. See on funktsioon, mis on mõeldud valemis.

Praktilistes ülesannetes võib kindla näitaja mõnikord paikneda telje all. See ei muuda midagi - integreeritud funktsioon valemis ehitatakse ruudusse: nii integraalne on alati mittesegunev See on väga loogiline.

Arvuta rotatsiooni ulatus selle valemiga:

Nagu ma juba märkisin, on lahutamatu osa peaaegu alati lihtne, peamine asi on olla tähelepanelik.

Vastus:

Vastuseks peate määratlema mõõtme - kuupmeetriühikud. See tähendab, et meie rotatsiooni kehas on umbes 3,35 "kuubikud". Miks see on kuupmeetri üksused? Kuna kõige universaalne sõnastus. Kuupmentide kuupmeetrid võivad olla kuupmeetrid, võib olla kuupmeetri kilomeetrid jne, nii palju rohelised mehed teie kujutlusvõime pannakse lendamisplaadi.

Näide 2.

Leidke keha maht, mis on moodustatud kujul ümber pööratud rotatsiooniga liinide poolt piiratud kujul ,,

See on eeskuju sõltumatu lahenduse kohta. Täielik lahendus ja vastus õppetundi lõpus.

Kaaluge kahte keerulisemat ülesannet, mis on praktikas tavalised.

Näide 3.

Arvutage keha maht, mis saadakse joonisel piiratud liinide abscissa telje ümber, ja

Otsus: Näita joonisel lamedat arvu, piiratud joonega ,,,,, ärge unustage, et võrrand on telg:

Soovitud joonis on sinine varjutatud. Kui see pöörleb telje ümber, saadakse selline sürrealsibageli nelja nurgaga.

Rotatsiooni keha maht arvutatakse mahtude erinevus.

Kõigepealt kaaluge joonist, mis on ringis punaselt. Oma pöörlemisega telje ümber saadakse kärbitud koonus. Tähistage selle kärbitud koonuse mahtu läbi.

Mõtle joonisele, mis on roheline. Kui te pöörate seda jooni telje ümber, saate ka kärbitud koonuse, vaid veidi väiksem. Tähistavad selle mahtu läbi.

Ja ilmselt erinevus mahud on täpselt maht meie "Bagel".

Me kasutame standardvalemile pöörlemisvaru mahu leidmiseks:

1) punases ringis olev joonis piirab ülaltoodust sirgelt, nii et:

2) Viitud arv roheline piirdub ülaltoodud sirgelt, nii et:

3) rotatsiooni algse keha maht:

Vastus:

See on uudishimulik, et sel juhul saab lahendust kontrollida, kasutades koolist valemit, et arvutada kärbitud koonuse maht.

Otsus ise on sageli korraldatud lühikese, ligikaudu sellises vaimus:

Nüüd veidi puhata ja rääkige geomeetriliste illusioonide kohta.

Inimestel on sageli seotud illusioone, mis on seotud mahuga, mida täheldas peerlane (teine) raamatus Meelelahutuslik geomeetria. Vaadake proovitud ülesannete lamedat arvu - see tundub olevat väike piirkonnas ja pöörleva keha maht on veidi üle 50 kuupmeetri, mis tundub liiga palju. Muide, keskmine inimene oma kogu elu joob vedeliku ruumi koos pindalaga 18 ruutmeetrit, mis vastupidi tundub liiga väike.

Üldiselt oli NSV Liidu haridussüsteem tõesti parim. 1950. aastal avaldatud peerlani raamat areneb väga hästi, kui humoristi ütles, konsolideerida ja õpetab otsima probleeme originaalseid mittestandardseid lahendusi. Hiljuti lugesid mõned peatükid suure huviga, soovitavad isegi humanitaarabi jaoks kättesaadavaks. Ei, te ei pea naeratama, et ma pakkusin mõjutamise ajaviide, erudeerimist ja laia valikut kommunikatsiooni - suur asi.

Pärast Lyric'i taganemist on loomingulise ülesande lahendamiseks oluline:

Näide 4.

Arvutage keha maht, mis on moodustatud pöörlemise suhtes, mis on võrreldes liinidega piiratud liiniga piiratud telje suhtes, kus.

See on eeskuju sõltumatu lahenduse kohta. Pange tähele, et kõik ribas esinevad küsimused teisisõnu, valmis integreerimise piirid on tegelikult antud. Korralikult joonistage trigonomeetriliste funktsioonide graafikud, tuletage õppetundi materjali meelde geomeetriline diagrammi transformatsioonid : Kui argument on jagatud kaheks: siis on graafikud kaks korda venitanud. Soovitatav on leida vähemalt 3-4 punkti trigonomeetriliste tabelite kohaselt Joonise täpsemaks täitmiseks. Täielik lahendus ja vastus õppetundi lõpus. Muide, ülesanne saab lahendada ratsionaalselt ja ei ole väga ratsionaalne.

Integraalide kasutamine pöörlemiskorralduse leidmiseks

Matemaatika praktiline kasulikkus on tingitud asjaolust, et ilma

spetsiifilisi matemaatilisi teadmisi takistavad seadme põhimõtete mõistmine ja kaasaegse tehnoloogia kasutamine. Iga inimene oma elus peab tegema üsna keerulisi arvutusi, et kasutada ühist tehnikat, et leida viide raamatuid rakendada vajalikke valemeid, teha lihtsaid algoritme probleemide lahendamiseks. Kaasaegses ühiskonnas on üha rohkem erialasid, mis nõuavad kõrge haridustaset, on seotud matemaatika otsese kasutamisega. Seega on koolipoegade jaoks matemaatika professionaalseks otstarbekaks objektiks. Juhtiv roll kuulub algoritmilise mõtlemise moodustamise matemaatikale, avab võime tegutseda vastavalt antud algoritmile ja kujundada uusi algoritme.

Uurides teema rakendamise lahutamatu arvutamise maht arvutada keha pöörlemise, pakun õpilast vabatahtlikel klassides kaaluda teema: "mahud pöörlemisasutused kasutamisega integraalid." Allpool anname metoodilisi soovitusi selle teema kaalumiseks:

1. Lame kuju asukoht.

Algebra käigus teame, et teatud lahutamatu kontseptsioon on viinud praktilise ülesande juurde ... "laius \u003d" 88 "kõrgus \u003d" 51 "\u003e. JPG" laius \u003d "526" kõrgus \u003d "262 SRC \u003d "\u003e

https://pandia.ru/text/77/502/Ilages/image006_95.gif "laius \u003d" 127 "kõrgus \u003d" 25 SRC \u003d "\u003e.

Et leida maht pöörlemise keha moodustatud pöörlemise kõverjoonear trapetsiumi ümber Ox-telje, mis piirneb katkestusjoone Y \u003d F (x), OX-teljel, Direct X \u003d A ja X \u003d B arvutatakse valemiga

https://pandia.ru/text/77/502/Ilages/image008_26.jpg "laius \u003d" 352 "kõrgus \u003d" 283 src \u003d "\u003e y

3. Silindri maht.

https://pandia.ru/text/77/502/Ilages/image011_58.gif "laius \u003d" 85 "kõrgus \u003d" 51 "\u003e .. gif" laius \u003d "13" kõrgus \u003d "25"\u003e .. jpg " Laius \u003d "401" kõrgus \u003d "355"\u003e Koonus saadakse ristkülikukujulise kolmnurga ABC (C \u003d 90) pöörleva Ox-telje ümber, millele kõlar lamab.

Lõika AV asub sirgjoonel Y \u003d KX + C, kus https://pandia.ru/text/77/502/Ilages/image019_33.gif "laius \u003d" 59 "kõrgus \u003d" 41 SRC \u003d "\u003e.

Olgu a \u003d 0, b \u003d h (koonuse kõrgus), seejärel VHTTPS: //pandia.ru/text/77/502/Ilages/image021_27.gif "laius \u003d" 13 "kõrgus \u003d" 23 SRC \u003d "\u003e .

5. kärbitud koonuse karistus.

Kärbitud koonust saab saada AVD (CDOX) ristkülikukujulise trapetsi pöörlemise teel OX-telje ümber.

Lõika AB peitub sirgjoonel Y \u003d KX + C, kus , C \u003d R.

Kuna sirge joone läbib punkti a (0; R).

Seega on liinil https://pandia.ru/text/77/502/images/image027_17.gif "laius \u003d" 303 "kõrgus \u003d" 291 SRC \u003d "\u003e

Olgu a \u003d 0, b \u003d h (kärbitud koonuse kõrgus), seejärel https://pandia.ru/text/77/502/images/image030_16.gif "laius \u003d" 36 "kõrgus \u003d" 17 src \u003d "\u003e \u003d. .

6. Bowl.

Pall võib saada ringi pöörleva ringiga keskpunkti (0; 0) ümber OX-telje ümber. Ox-telje kohal olev poolring on võrrandi poolt antud

https://pandia.ru/text/77/502/Ilages/image034_13.gif "laius \u003d" 13 "kõrgus \u003d" 16 src \u003d "\u003e x r.

Määratlus 3. Pöörami keha on keha, mis saadakse kindla suurusega telje ümber, mis ei ületa joonist ja lamades sellega samas lennukis.

Pöörlemise teljel võib ja ületada joonise, kui see on joonise sümmeetria telje.

Teoreem 2.
, telg
ja sirged lõiked
ja

pöörleb ümber telje ümber
. Seejärel saab saadud pöörlemiskorpuse mahtu arvutada valemiga

(2)

Tõendid. Sellise keha jaoks ristlõige Abscissaga - See on raadiusering
Nii
ja valem (1) annab nõutava tulemuse.

Kui näitaja piirdub kahe pideva funktsiooniga graafikutega
ja
ja sirged kärped
ja
enamgi veel
ja
Abscissa telje ümber pöörlemisel saadame keha, mille maht

Näide 3. Arvutage maht, mis on saadud ringi pöörlemise teel, mis on piiratud ringiga piiratud

abscissa telje ümber.

Riba mõõta. Määratud ringi põhjas on piiratud graafikuga
ja ülaltpoolt -
. Nende funktsioonide ruutude erinevus:

Soovitud maht

(Integrandi graafik on ülemine osaline sõbralik, nii et ülalmainitud integraall on poolringikujuline piirkond).

Näide 4. Paraboolsegment
ja kõrge , pöörleb aluse ümber. Arvutage saadud keha maht ("sidruni" Cavalieri).

Riba mõõta. Parabola paigutatakse joonisel näidatud viisil. Siis selle võrrand
ja
. Leia parameetri väärtus :
. Niisiis, soovitud maht:

Teoreem 3. Laske kõverjoonelise trapetsi piirata pideva mitte-negatiivse funktsiooniga diagrammi
, telg
ja sirged lõiked
ja
enamgi veel
pöörleb ümber telje ümber
. Seejärel võib vastuvõtva pöörlemise mahtu leida valemiga

(3)

Tõendamise idee. Väike lõikamine
punkt

osa ja kuluta otse
. Kogu trapeze laguneb ribadeks, mida võib pidada ligikaudu ristkülikuteks alusega.
ja kõrgus
.

Silindri saadakse sellise ristküliku pöörlemisel, me lõigame läbi moodustamise ja avamise. Me saame "peaaegu" paralleelsed mõõtmetega:
,
ja
. Selle maht
. Niisiis, rotatsiooni keha mahu puhul on meil ühtlustatud võrdõiguslikkus

Täpse võrdsuse saamiseks peate minema piirini, kui
. Ülaltoodud summa on funktsiooni lahutamatu summa
Seetõttu saame piirmäära valemiga (3) lahutamatu osa. Teoreem on tõestatud.

Märkus 1. Teoturitel 2 ja 3 seisukorras
saate välja jätta: valem (2) on märgi üldiselt tundmatu
ja valemis (3)
asendatud
.

Näide 5. Paraboolsegment (baas
, kõrgus ) Kõrguse ümber. Leia saadud keha maht.

Otsus. Asetage parabool, nagu joonisel näidatud. Ja kuigi pöörlemistelg ületab joonise, on see telg - on sümmeetria telje. Seetõttu on vaja kaaluda ainult segmendi õiget pool. Parabolla võrrand
ja
Nii
. Meil on maht:

Märkus 2. Kui kõverjoonelise trapetsi kõverjooneline piiri määrab parameetriliste võrranditega
,
,
ja
,
võite kasutada valemite (2) ja (3) asendamisega kohta
ja
kohta
kui see muudab t. alates
enne .

Näide 6. Joonis on piiratud esimese kaartsükloididega
,
,
ja abscissa telg. Leidke selle joonise pöörlemise teel saadud keha maht ümber: 1) telg
; 2) telg
.

Otsus. 1) Üldvorm
Meie puhul:

2) üldvalemiga
Meie näitaja jaoks:

Pakume õpilasi iseseisvalt läbi kõik arvutused.

Märkus 3. Laske kõverjoonelisel sektoril piiratud neuro-reiviga
ja kiirte
,

Pöörab polaarse telje ümber. Saadud keha mahtu saab arvutada valemiga.

Näide 7. Osa kuju piiratud kardioide
ümbermõõt
Pöörab polaarse telje ümber. Leia keha maht, mida ta selgub.

Otsus. Mõlemad read ja seetõttu on see arv, mida nad piiravad, sümmeetriliselt polaarsel telje suhtes. Seetõttu on vaja kaaluda ainult selle osa
. Kõverad lõikuvad
ja