Matemaatiliste võimete üldstruktuur (V. Krutetski järgi). V.A.

Kodu

nime saanud Biyski Riiklik Pedagoogiline Ülikool. Shukshina V.M.

KURSUSETÖÖ TEEMA:

Matemaatiliste võimete psühholoogia.

Lõpetatud:

3. kursuse füüsika ja matemaatika üliõpilane, gr. 191

Zaigraev Aleksander Sergejevitš

Teaduslik juhendaja:

Hunt Nadežda Timofejevna

Biysk, 2001

Mis on võimed?

Võimed on individuaalselt väljendatud võimed konkreetse tegevuse edukaks elluviimiseks. Need hõlmavad nii individuaalseid teadmisi, oskusi kui ka valmisolekut õppida uusi tegevusviise ja -võtteid. Võimete klassifitseerimisel kasutatakse erinevaid kriteeriume. Seega saab eristada sensomotoorseid, taju-, mnemo-, kujutlus-, vaimseid ja kommunikatiivseid võimeid. Teiseks kriteeriumiks võib olla üks või teine ainevaldkond, mille järgi saab võimeid kvalifitseerida loodusteaduslikeks (matemaatika, keeleline, humanitaar); loominguline (muusikaline, kirjanduslik, kunstiline); inseneritöö.

Sõnastame lühidalt mitmeid üldise võimeteooria sätteid: 1. Võimed on alati olemas võime teatud tüüpi tegevuseks

, eksisteerivad nad ainult vastavas konkreetses inimtegevuses. Seetõttu saab neid tuvastada vaid konkreetsete tegevuste analüüsi põhjal. Vastavalt sellele eksisteerivad matemaatilised võimed ainult matemaatilises tegevuses ja peavad selles avalduma.

2. Võimed on dünaamiline mõiste. Nad mitte ainult ei ilmu ja eksisteerivad tegevuses, nad tekivad tegevuses ja arenevad tegevuses. Vastavalt sellele eksisteerivad matemaatilised võimed ainult dünaamikas, arengus, need kujunevad ja arenevad matemaatilises tegevuses.

4. Tegevuse edukus sõltub võimete komplektist. Samamoodi ei sõltu matemaatilise tegevuse edukus mitte ühest võimest, vaid võimete kompleksist.

5. Kõrged saavutused samas tegevuses võivad olla tingitud erinevatest võimete kombinatsioonidest. Seetõttu saame põhimõtteliselt rääkida erinevat tüüpi võimetest, sealhulgas matemaatilistest.

6. Ühtede võimete kompenseerimine teiste poolt on võimalik laiades piirides, mille tulemusena kompenseeritakse ükskõik millise võime suhteline nõrkus teise võimega, mis lõppkokkuvõttes ei välista ka võimalust vastavat tegevust edukalt sooritada. A.G.Kovalev ja V.N.Mjaštšev mõistavad kompensatsiooni laiemalt – nad räägivad võimalusest kompenseerida puuduvat võimet oskuste, iseloomuomadustega (kannatlikkus, visadus). Ilmselt võib mõlemat tüüpi kompensatsioon esineda ka matemaatiliste võimete valdkonnas.

7. Keeruline ja psühholoogias lõpuni lahendamata on üld- ja eritalendi suhete küsimus. B. M. Teplov kaldus eitama üldise ande mõistet, mis ei olnud seotud konkreetse tegevusega. Mõisted "võime" ja "andekus" on B. M. Teplovi järgi mõttekad ainult seoses konkreetsete ajalooliselt arenevate sotsiaalse ja tööalase tegevuse vormidega. Tema arvates on vaja rääkida millestki muust, andekuse üldisematest ja erilisematest külgedest. S. L. Rubinstein märkis õigesti, et üldist ja erilist andekust ei tohiks vastandada – erivõimete olemasolu jätab üldisele andekusele teatud jälje ning üldise andekuse olemasolu mõjutab erivõimete olemust. B. G. Ananjev tõi välja, et eristada tuleks üldarengut ja eriarengut ning vastavalt üld- ja erivõimeid. Kõik need mõisted on õigustatud, mõlemad vastavad kategooriad on omavahel seotud. B. G. Ananjev rõhutab üldise arengu rolli erivõimete kujunemisel.

Matemaatiliste võimete uurimine välispsühholoogias.

Matemaatiliste võimete uurimisse aitasid kaasa ka sellised teatud psühholoogiasuundade silmapaistvad esindajad nagu A. Binet, E. Trondike ja G. Reves ning sellised silmapaistvad matemaatikud nagu A. Poincaré ja J. Hadamard.

Suur hulk suundi määras ka matemaatiliste võimete uurimise lähenemisviisi, metodoloogiliste vahendite ja teoreetiliste üldistuste mitmekesisuse.

Ainus, milles kõik teadlased nõustuvad, on võib-olla arvamus, et matemaatikateadmiste assimileerimiseks, taastootmiseks ja iseseisvaks rakendamiseks on vaja eristada tavalisi “koolilisi” võimeid ning iseseisva loominguga seotud loomingulisi matemaatilisi võimeid. millestki originaalsest ja sotsiaalse väärtusega tootest.

Välisuurijad näitavad selles küsimuses suurt vaadete ühtsust kaasasündinud või omandatud matemaatilised võimed. Kui siin eristada nende võimete kahte erinevat aspekti - “kool” ja loomingulised võimed, siis viimaste suhtes valitseb täielik ühtsus – matemaatiku loomingulised võimed on kaasasündinud moodustis, soodne keskkond on vajalik ainult nende avaldumiseks ja arengut. “Kooli” (õppimis)võimete osas pole välismaised psühholoogid nii üksmeelsed. Siin on ehk domineerivaks teooriaks kahe teguri – bioloogilise potentsiaali ja keskkonna – paralleelne toime.

Peamine küsimus matemaatiliste võimete (nii hariduslike kui ka loominguliste) uurimisel välismaal on olnud ja jääb selle keerulise psühholoogilise formatsiooni olemus. Sellega seoses võib välja tuua kolm olulist probleemi.

1. Matemaatiliste võimete spetsiifilisuse probleem. Kas matemaatilised võimed eksisteerivad ka konkreetse haridusena, mis erineb üldise intelligentsuse kategooriast? Või on matemaatilised võimed üldiste vaimsete protsesside ja isiksuseomaduste kvalitatiivne spetsialiseerumine, st üldised intellektuaalsed võimed, mis on arenenud seoses matemaatilise tegevusega? Teisisõnu, kas saab öelda, et matemaatiline andekus pole midagi muud kui üldine intelligentsus pluss huvi matemaatika vastu ja kalduvus seda teha?

2. Matemaatiliste võimete struktuuri probleem. Kas matemaatiline talent on ühtne (üksik lagunematu) või terviklik (kompleksne) omadus? Viimasel juhul võib tõstatada küsimuse matemaatiliste võimete struktuuri, selle keerulise vaimse moodustumise komponentide kohta.

3. Matemaatiliste võimete tüpoloogiliste erinevuste probleem. Kas matemaatilisel andekusel on erinevat tüüpi või, kui võtta aluseks sama alus, on erinevusi ainult huvides ja kalduvuses teatud matemaatikaharude suhtes?

Võimete probleemi uurimine kodupsühholoogias.

Vene psühholoogia peamine seisukoht selles küsimuses on seisukoht sotsiaalsete tegurite otsustava tähtsuse kohta võimete arengus, inimese sotsiaalse kogemuse juhtiva rolli, tema elu ja tegevuse tingimuste kohta. Vaimsed omadused ei saa olla kaasasündinud. See kehtib täielikult ka võimete kohta. Võimed on alati arengu tulemus. Need kujunevad ja arenevad elus, tegevusprotsessis, koolitus- ja kasvatusprotsessis.

Niisiis on sotsiaalne kogemus, sotsiaalne mõju ja kasvatus määrav ja määrav roll. Noh, mis roll on kaasasündinud võimetel?

Muidugi on igal konkreetsel juhul raske kindlaks teha kaasasündinud ja omandatud suhte suhtelist rolli, kuna mõlemad on kokkusulanud ja eristamatud. Kuid selle küsimuse põhimõtteline lahendus vene psühholoogias on järgmine: võimed ei saa olla kaasasündinud, kaasasündinud võivad olla ainult võimete kalduvused - mõned aju ja närvisüsteemi anatoomilised ja füsioloogilised tunnused, millega inimene sünnib.

Milline on aga nende kaasasündinud bioloogiliste tegurite roll võimete kujunemisel?

Nagu S. L. Rubinstein märkis, ei ole võimed ette määratud, kuid neid ei saa lihtsalt väljastpoolt implanteerida. Inimestel peavad olema eeldused, sisemised tingimused võimete arendamiseks. A. N. Leontiev, A. R. Luria räägivad ka vajalikest sisemistest tingimustest, mis võimaldavad võimete tekkimist.

Võimed ei sisaldu kalduvuses. Ontogeneesis nad ei ilmu, vaid moodustuvad. Kalduvus ei ole potentsiaalne võime (ja võime ei ole ka arengukalduvus), kuna anatoomiline ja füsioloogiline tunnus ei saa mingil juhul areneda vaimseks tunnuseks.

Veidi teistsugune arusaam kalduvustest on antud A. G. Kovaljovi ja V. N. Myasishchevi teostes. Kaldumiste all mõistavad nad psühhofüsioloogilisi omadusi, eeskätt neid, mis tuvastatakse konkreetse tegevuse omandamise varases faasis (näiteks hea värvide eristusvõime, visuaalne mälu). Teisisõnu, kalduvused on esmane loomulik võime, mis pole veel välja kujunenud, kuid annab tunda esimestel tegevuskatsetel.

Kuid isegi sellise arusaama kalduvustest jääb põhiseisukoht samaks: võimed selle sõna õiges tähenduses kujunevad tegevuses ja on eluaegne haridus.

Loomulikult võib kõike eeltoodut seostada matemaatiliste võimete kui üldiste võimete tüübi küsimusega.

Matemaatilised võimed ja nende loomulikud eeldused (B. M. Teplovi tööd).

Kuigi matemaatilised võimed ei olnud B. M. Teplovi töödes erilise tähelepanu all, võib paljudele nende uurimisega seotud küsimustele vastuseid leida tema võimete probleemidele pühendatud töödest. Nende hulgas on erilisel kohal kaks monograafilist teost - "Muusikaliste võimete psühholoogia" ja "Komando mõistus", millest on saanud võimete psühholoogilise uurimise klassikalised näited ja mis on hõlmanud selle probleemi universaalseid lähenemisviise. , mida saab ja tuleks kasutada mis tahes tüüpi võimete uurimisel.

Mõlemas teoses ei anna B. M. Teplov mitte ainult konkreetset tüüpi tegevuste geniaalset psühholoogilist analüüsi, vaid toob muusika- ja sõjakunsti silmapaistvate esindajate näidete abil esile ka vajalikud komponendid, millest nendes valdkondades on eredad anded. B. M. Teplov pööras erilist tähelepanu üld- ja erivõimete vahekorra küsimusele, tõestades, et edu mistahes tegevuses, sealhulgas muusikas ja sõjalistes asjades, ei sõltu ainult erikomponentidest (näiteks muusikas - kuulmine, rütmitaju). ), aga ka tähelepanu, mälu ja intelligentsuse üldisi omadusi. Samal ajal on üldised vaimsed võimed lahutamatult seotud erivõimetega ja mõjutavad oluliselt viimaste arengutaset.

Üldvõimete roll on kõige ilmekamalt demonstreeritud teoses “Komando mõistus”. Vaatleme selle töö põhisätteid, kuna neid saab kasutada muud tüüpi vaimse tegevusega seotud võimete, sealhulgas matemaatiliste võimete uurimisel. Pärast komandöri tegevuse põhjalikku uurimist näitas B. M. Teplov selles intellektuaalsete funktsioonide kohta. Need pakuvad keeruliste sõjaliste olukordade analüüsi, tuvastades üksikuid olulisi üksikasju, mis võivad mõjutada eelseisvate lahingute tulemusi. Just analüüsivõime annab esimese vajaliku etapi õige otsuse langetamisel, lahinguplaani koostamisel. Analüütilisele tööle järgneb sünteesi etapp, mis võimaldab ühendada detailide mitmekesisuse ühtseks tervikuks. B. M. Teplovi sõnul eeldab komandöri tegevus analüüsi- ja sünteesiprotsesside tasakaalu, nende arendamise kohustuslikku kõrget taset.

Mälul on ülema intellektuaalses tegevuses oluline koht. Ta on väga valiv, see tähendab, et ta säilitab ennekõike vajalikud, olulised detailid. Sellise mälu klassikalise näitena toob B. M. Teplov välja väited Napoleoni mälestuse kohta, kes mäletas sõna otseses mõttes kõike, mis oli otseselt seotud tema sõjategevusega, alates üksuste numbritest ja lõpetades sõdurite nägudega. Samal ajal ei suutnud Napoleon mõttetut materjali pähe õppida, kuid tal oli oluline omadus koheselt assimileerida klassifitseerimisele kuuluv, teatud loogiline seadus.

B. M. Teplov jõuab järeldusele, et „oskus leida ja esile tõsta materjali olemuslikku ja pidevat süstematiseerimist on kõige olulisemad tingimused, mis tagavad analüüsi ja sünteesi ühtsuse, tasakaalu nende vaimse tegevuse aspektide vahel, mis eristavad vaimu tööd. heast komandörist” (B. M. Teplov 1985, lk.249). Koos silmapaistva mõistusega peavad komandöril olema teatud isikuomadused. See on ennekõike julgus, sihikindlus, energia, see tähendab, mida sõjalise juhtimisega seoses tavaliselt tähistatakse mõistega "tahe". Sama oluline isiklik omadus on stressitaluvus. Andeka komandöri emotsionaalsus avaldub kombinatsioonis lahingupõnevuse emotsioonist ning kogumis- ja keskendumisvõimest.

B. M. Teplov omistas komandöri intellektuaalses tegevuses erilise koha sellise omaduse olemasolule nagu intuitsioon. Ta analüüsis seda ülema mõistuse omadust, kõrvutades seda teadlase intuitsiooniga. Nende vahel on palju ühist. Peamine erinevus seisneb B. M. Teplovi sõnul komandöri vajaduses teha kiireloomuline otsus, millest võib sõltuda operatsiooni edukus, samas kui teadlast ajaraamid ei piira. Kuid mõlemal juhul peab “mõistmisele” eelnema raske töö, mille põhjal saab probleemile ainsa õige lahenduse leida.

Kinnitust B. M. Teplovi analüüsitud ja üldistatud sätetele psühholoogilisest vaatenurgast võib leida paljude silmapaistvate teadlaste, sealhulgas matemaatikute töödest. Nii kirjeldab Henri Poincaré psühholoogilises uurimuses “Matemaatiline loovus” üksikasjalikult olukorda, milles tal õnnestus teha üks oma avastustest. Sellele eelnes pikk ettevalmistustöö, millest suure osa moodustas teadlase sõnul teadvuseta protsess. "Sissenägemise" etapile järgnes tingimata teine etapp - hoolikas teadlik töö tõendite järjekorda seadmiseks ja nende kontrollimiseks. A. Poincaré jõudis järeldusele, et matemaatilistes võimetes on kõige olulisem koht oskusel ehitada loogiliselt üles tehteahel, mis viib ülesande lahendamiseni. Näib, et see peaks olema kättesaadav kõigile, kes on võimelised loogiliselt mõtlema. Kuid mitte kõik ei suuda kasutada matemaatilisi sümboleid sama hõlpsalt kui loogikaülesannete lahendamisel.

Matemaatiku jaoks ei piisa heast mälust ja tähelepanust. Poincaré järgi eristab matemaatikavõimelisi inimesi oskus hoomata, millises järjekorras peaksid olema matemaatiliseks tõestuseks vajalikud elemendid paigutatud. Seda tüüpi intuitsiooni olemasolu on matemaatilise loovuse põhielement. Mõnel inimesel puudub see peen taju ning neil pole tugevat mälu ja tähelepanu ning seetõttu ei saa nad matemaatikast aru. Teistel on nõrk intuitsioon, kuid neil on hea mälu ja võime pöörata suurt tähelepanu ning seetõttu saavad nad aru ja rakendada matemaatikat. Teistel on aga selline eriline intuitsioon ja isegi suurepärase mälu puudumisel ei saa nad mitte ainult matemaatikast aru, vaid teevad ka matemaatilisi avastusi (Poincaré A., 1909).

Siin räägime matemaatilisest loovusest, mis on kättesaadav vähestele. Kuid nagu kirjutas J. Hadamard, "algebra või geomeetria ülesannet lahendava õpilase töö ja loovtöö vahel on erinevus ainult tasemes, kvaliteedis, kuna mõlemad tööd on sarnase iseloomuga" (J. Hadamard, lk 98). Et mõista, milliseid omadusi matemaatikas edu saavutamiseks veel vaja on, analüüsisid teadlased matemaatilist tegevust: probleemide lahendamise protsessi, tõestusmeetodeid, loogilist arutluskäiku, matemaatilise mälu tunnuseid. See analüüs viis matemaatiliste võimete struktuuride erinevate variantide loomiseni, mis on nende komponentide koostiselt keerukad. Samal ajal nõustusid enamiku teadlaste arvamused ühes asjas - et ei ole ega saa olla ühte selgelt väljendatud matemaatilist võimet - see on kumulatiivne omadus, mis peegeldab erinevate vaimsete protsesside omadusi: taju, mõtlemine, mälu, kujutlusvõime. .

Matemaatiliste võimete olulisemate komponentide hulgas on spetsiifiline võime üldistada matemaatilist materjali, ruumiliste esituste võime ja abstraktse mõtlemise võime. Mõned teadlased määratlevad ka matemaatilist mälu arutlus- ja tõestusmustrite, probleemide lahendamise meetodite ja neile lähenemise põhimõtete jaoks kui matemaatiliste võimete iseseisvat komponenti. Nõukogude psühholoog, kes uuris koolilaste matemaatilisi võimeid, V. A. Krutetsky annab matemaatiliste võimete definitsiooni järgmiselt: „Matemaatika õppimisvõimete kaudu mõistame individuaalseid psühholoogilisi omadusi (eeskätt vaimse tegevuse tunnuseid), mis vastavad kasvatusliku matemaatilise tegevuse nõuetele ja määravad. matemaatika kui akadeemilise õppeaine loomingulise valdamise edukuse tingimused, eelkõige matemaatika valdkonna teadmiste, oskuste ja vilumuste suhteliselt kiire, lihtne ja sügav omandamine, kui muud asjaolud on võrdsed" (Krutetsky V.A., 1968).

Matemaatiliste võimete uurimine hõlmab ka ühe olulisema probleemi lahendamist – seda tüüpi võimete loomulike eelduste ehk kalduvuste otsimist. Kaldumiste hulka kuuluvad indiviidi kaasasündinud anatoomilised ja füsioloogilised omadused, mida peetakse võimete arenguks soodsateks tingimusteks. Pikka aega peeti kalduvusi teguriks, mis määras saatuslikult ette võimete arengu taseme ja suuna. Vene psühholoogia klassikud B. M. Teplov ja S. L. Rubinstein tõestasid teaduslikult sellise kalduvuste mõistmise ebaseaduslikkust ja näitasid, et võimete arengu allikas on väliste ja sisemiste tingimuste tihe koostoime. Ühe või teise füsioloogilise omaduse tõsidus ei viita mingil juhul teatud tüüpi võimete kohustuslikule arengule. See võib olla selle arengu jaoks ainult soodne tingimus. Kaldumiste osaks ja nende oluliseks komponendiks olevad tüpoloogilised omadused peegeldavad selliseid keha toimimise individuaalseid omadusi nagu sooritusvõime piir, närvireaktsiooni kiirusomadused, võime reaktsiooni ümber korraldada vastusena väliste muutustele. mõjutused.

Närvisüsteemi omadused, mis on tihedalt seotud temperamendi omadustega, mõjutavad omakorda indiviidi karakteroloogiliste omaduste avaldumist (V.S. Merlin, 1986). B. G. Ananyev, arendades ideid iseloomu ja võimete arendamise üldise loomuliku aluse kohta, osutas võimete ja iseloomu vaheliste seoste tekkele, mis viib uute vaimsete moodustisteni, mida tähistatakse mõistetega "talent" ja "kutse". ” (Ananjev B. G., 1980). Seega moodustavad temperament, võimed ja iseloom isiksuse ja individuaalsuse struktuuris justkui omavahel seotud alamstruktuuride ahela, millel on üks loomulik alus (E. A. Golubeva 1993).

Kooliealiste matemaatiliste võimete struktuuri üldskeem V. A. Krutetsky järgi.

V. A. Krutetsky kogutud materjal võimaldas tal koostada kooliealiste matemaatiliste võimete struktuuri üldise diagrammi.

1. Matemaatilise teabe saamine.

1) Oskus formaalselt tajuda matemaatilist materjali, hoomata ülesande formaalset struktuuri.

2. Matemaatilise teabe töötlemine.

1) loogilise mõtlemise oskus kvantitatiivsete ja ruumiliste suhete, numbrilise ja sümboolse sümboolika vallas. Oskus mõelda matemaatilistes sümbolites.

2) Oskus kiiresti ja laialdaselt üldistada matemaatilisi objekte, seoseid ja toiminguid.

3) Oskus piirata matemaatilise arutlemise protsessi ja vastavate toimingute süsteemi. Oskus mõelda kokkuvarisenud struktuurides.

4) Mõtteprotsesside paindlikkus matemaatilises tegevuses.

5) Otsuste selguse, lihtsuse, ökonoomsuse ja ratsionaalsuse poole püüdlemine.

6) Oskus kiiresti ja vabalt ümber korraldada mõtteprotsessi suunda, lülituda otsesest mõttekäigust vastupidisele (mõtlemisprotsessi pöörduvus matemaatilises arutluskäigus).

3. Matemaatilise teabe säilitamine.

1) Matemaatiline mälu (üldmälu matemaatiliste seoste, tüüpiliste tunnuste, arutlus- ja tõestusmustrite, probleemide lahendamise meetodite ja nendele lähenemise põhimõtete jaoks).

4. Üldine sünteetiline komponent.

1) Meele matemaatiline orientatsioon.

Valitud komponendid on omavahel tihedalt seotud, mõjutavad üksteist ja moodustavad oma terviklikkuses ühtse süsteemi, tervikliku struktuuri, ainulaadse matemaatilise andekuse sündroomi, matemaatilise mõtteviisi.

Matemaatilise andekuse struktuur ei hõlma neid komponente, mille olemasolu selles süsteemis pole vajalik (kuigi kasulik). Selles mõttes on nad matemaatilise andekuse suhtes neutraalsed. Kuid nende olemasolu või puudumine struktuuris (täpsemalt nende arenguaste) määrab matemaatilise mõtteviisi tüübi. Järgmised komponendid ei ole matemaatilise andekuse struktuuris kohustuslikud:

1. Mõtteprotsesside kiirus kui ajutine omadus.

2. Arvutusvõime (oskus teha kiireid ja täpseid arvutusi, sageli meeles).

3. Mälu numbrite, arvude, valemite jaoks.

4. Ruumilise esituse oskus.

5. Oskus visualiseerida abstraktseid matemaatilisi seoseid ja sõltuvusi.

Järeldus.

Matemaatiliste võimete probleem psühholoogias kujutab endast teadlase jaoks laia tegevusvaldkonda. Psühholoogia erinevate voolude vahel, aga ka hoovuste endi sees esinevate vastuolude tõttu ei saa selle mõiste sisu täpsest ja rangest mõistmisest siiski juttugi olla.

Selles töös läbi vaadatud raamatud kinnitavad seda järeldust. Samas tuleb märkida, et selle probleemi vastu tuntakse surematut huvi kõigis psühholoogiavooludes, mis kinnitab järgmist järeldust.

Selle teema uurimise praktiline väärtus on ilmne: matemaatikaõpetus mängib enamikus haridussüsteemides juhtivat rolli ja see omakorda muutub tõhusamaks pärast selle aluse - matemaatiliste võimete teooria - teaduslikku põhjendamist.

Niisiis, nagu väitis V. A. Krutetsky: "Inimese isiksuse igakülgse ja harmoonilise arengu ülesandeks on tingimata vaja sügavalt teaduslikult arendada inimeste võimet teatud tüüpi tegevusi teha. Selle probleemi arendamine pakub nii teoreetiliselt kui ka praktilist huvi.

Viited:

Hadamard J. Leiutamisprotsessi psühholoogia uurimine matemaatika valdkonnas. M., 1970.
Ananyev B.G. Valitud teosed: 2 köites. M., 1980.
Golubeva E.A., Guseva E.P., Pasynkova A.V., Maksimova N.E., Maksimenko V.I. Mälu ja akadeemilise jõudluse bioelektrilised korrelatsioonid vanematel koolilastel. Psühholoogia küsimusi, 1974, nr 5.
Golubeva E.A. Võimed ja isiksus. M., 1993.
Kadõrov B.R. Aktiveerimise tase ja mõned vaimse tegevuse dünaamilised omadused.
dis. Ph.D. psühhol. Sci. M., 1990.
Krutetsky V.A. Koolilaste matemaatiliste võimete psühholoogia. M., 1968.
Merlin V.S. Essee individuaalsuse terviklikust uurimisest. M., 1986.
Pechenkov V.V. Üld- ja spetsiifiliselt inimtüüpide vahelise suhte probleem v.n.d. ja nende psühholoogilised ilmingud. Raamatus "Võimed ja kalduvused", M., 1989.
Poincare A. Matemaatiline loovus. M., 1909.
Rubinshtein S.L. Üldpsühholoogia alused: 2 kd M., 1989.
Teplov B.M. Valitud teosed: 2 köites. M., 1985.

võimete koolipoisi matemaatiline sport

Matemaatika on tunnetuse, mõtlemise ja arengu tööriist. See on rikas loomingulise rikastamise võimaluste poolest. Matemaatika võimetega mõtleva inimese kasvatamisel võistelda ei suuda ükski kooliaine. Matemaatika erilist tähtsust vaimses arengus märkis juba 18. sajandil M.V. Lomonosov: "Siis tuleks matemaatikat õpetada, sest see paneb mõtted korda."

On olemas üldtunnustatud võimete klassifikatsioon. Selle järgi jagunevad võimed üldisteks ja erilisteks, mis määravad inimese edukuse teatud tüüpi tegevuses ja suhtlemises, kus on vaja eriliiki kalduvusi ja nende arendamist (matemaatilised, tehnilised, kirjanduslikud ja keelelised, kunstilised ja loomingulised võimed, oskused ja oskused). sport jne).

Matemaatilisi võimeid ei määra mitte ainult hea mälu ja tähelepanu. Matemaatiku jaoks on oluline osata hoomata elementide järjekorda ja oskust nende andmetega opereerida. See omapärane intuitsioon on matemaatiliste võimete alus.

Sellised psühholoogiateadlased nagu A. Binet, E. Thorndike ja G. Reves ning sellised silmapaistvad matemaatikud nagu A. Poincaré ja J. Hadamard aitasid kaasa matemaatikavõimete uurimisele. Suur hulk suundi määrab ka matemaatiliste võimete uurimise väga erinevaid lähenemisviise. Muidugi tuleks matemaatiliste võimete uurimist alustada definitsioonist. Selliseid katseid on tehtud korduvalt, kuid siiani pole väljakujunenud matemaatiliste võimete määratlust, mis kõiki rahuldaks. Ainus, milles kõik teadlased nõustuvad, on võib-olla arvamus, et matemaatikateadmiste assimileerimiseks, taastootmiseks ja iseseisvaks rakendamiseks on vaja eristada tavalisi “koolilisi” võimeid ning iseseisva loominguga seotud loomingulisi matemaatilisi võimeid. millestki originaalsest ja sotsiaalse väärtusega tootest.

Veel 1918. aastal märgiti A. Rogersi teostes matemaatiliste võimete kahte külge, reproduktiivset (seotud mälufunktsiooniga) ja produktiivset (seotud mõtlemisfunktsiooniga). V. Betz defineerib matemaatilisi võimeid kui võimet selgelt mõista matemaatiliste seoste sisemist seost ja oskust täpselt mõelda matemaatilistes mõistetes.

Kodumaiste autorite töödest tuleb mainida 1918. aastal ilmunud D. Mordukhai-Boltovski originaalartiklit “Matemaatilise mõtlemise psühholoogia”. Autor, spetsialiseerunud matemaatik, kirjutas idealistlikust positsioonist, pidades näiteks erilist tähtsust "teadvustamatule mõtlemisprotsessile", väites, et "matemaatiku mõtlemine on sügavalt juurdunud teadvuseta sfääri, tõustes mõnikord selle pinnale. mõnikord sukeldub sügavustesse matemaatik ei ole teadlik oma mõtte kõigist sammudest, nagu vibu liikumise virtuoos" [tsit. kuni 13, lk. 45]. Kui teadvusesse ilmub ootamatult valmis lahendus probleemile, mida me pikka aega lahendada ei suuda, kirjutab autor, seletame teadvustamata mõtlemisega, mis jätkas ülesandega tegelemist ja tulemus kerkib üle teadvuse läve. [tsit. kuni 13, lk. 48]. Mordecai-Boltovski sõnul on meie mõistus võimeline tegema alateadvuses vaevarikast ja keerulist tööd, kus tehakse ära kogu “jäme” töö ning alateadlik mõttetöö on veelgi vähem vigadele kui teadlik.

Autor märgib matemaatilise ande ja matemaatilise mõtlemise väga spetsiifilist olemust. Ta väidab, et matemaatikaoskus ei ole alati omane isegi säravatele inimestele, et matemaatilise ja mittematemaatika vahel on oluline erinevus. Suurt huvi pakub Mordecai-Boltovsky katse eraldada matemaatiliste võimete komponendid. Ta viitab eelkõige sellistele komponentidele:

* "tugev mälu", mälu "matemaatikaga seotud ainete jaoks", mälu pigem mitte faktide, vaid ideede ja mõtete jaoks.
* vaimukus, mida mõistetakse kui võimet "omaks võtta ühe otsusega" mõisteid kahest halvasti ühendatud mõttevaldkonnast, leida sarnasusi etteantuga juba teadaolevas, leida sarnasusi kõige kaugemas, näiliselt täiesti erinevas. objektid.
* mõtlemise kiirus (mõtlemise kiirust seletatakse tööga, mida teadvustamata mõtlemine teadliku mõtlemise soodustamiseks teeb). Alateadlik mõtlemine kulgeb autori sõnul palju kiiremini kui teadlik mõtlemine.

D. Mordecai-Boltovsky avaldab ka oma mõtteid erinevate matemaatikute tüüpide – “geomeetrite” ja “algebraistide” – matemaatilise kujutlusvõime tüüpide kohta. Aritmeetikud, algebraistid ja analüütikud üldiselt, kelle avastus tehakse läbimurdeliste kvantitatiivsete sümbolite ja nende suhete kõige abstraktsemas vormis, ei suuda ette kujutada "geomeetrit".

D.N. Bogoyavlensky ja N.A. Mentšinskaja, rääkides laste õppimisvõime individuaalsetest erinevustest, tutvustab psühholoogiliste omaduste kontseptsiooni, mis määravad, kui muud asjaolud on võrdsed, õppimisedu. Nad ei kasuta terminit "võime", kuid sisuliselt on vastav mõiste lähedane ülaltoodud määratlusele.

Matemaatilised võimed on keeruline struktuurne vaimne moodustis, ainulaadne omaduste süntees, mõistuse lahutamatu kvaliteet, mis hõlmab selle erinevaid aspekte ja areneb matemaatilise tegevuse käigus. See komplekt esindab ühtset, kvalitatiivselt ainulaadset tervikut, vaid analüüsi eesmärgil isoleerime üksikud komponendid, käsitlemata neid üldse isoleeritud omadustena. Need komponendid on omavahel tihedalt seotud, mõjutavad üksteist ja moodustavad koos ühtse süsteemi, mille ilminguid me tinglikult nimetame "matemaatilise andekuse sündroomiks".

Rääkides matemaatiliste võimete struktuurist, tuleb märkida panust selle probleemi arendamisse V.A. Krutetski. Tema kogutud eksperimentaalne materjal võimaldab meil rääkida komponentidest, millel on oluline koht sellise mõistuse lahutamatu kvaliteedi nagu matemaatiline talent struktuuris.

Krutetsky V.A. Kooliõpilaste matemaatiliste võimete psühholoogia. - M., 1968. - 432 lk.
Raamat võtab kokku autori aastatepikkused teoreetilised ja eksperimentaalsed uurimused koolinoorte matemaatiliste võimete probleemist. Nõukogude psühholoogilises kirjanduses on see esimene katse monograafiliselt esitada küsimusi kooliõpilaste matemaatikavõimete kohta. See esitab küsimused kooliõpilaste matemaatiliste võimete olemuse, nende arengu vanusega seotud dünaamika ja mõnede tüpoloogia küsimuste kohta. Lisaks rikkalikule katsematerjalile kasutas autor laialdaselt matemaatikavaldkonnas andekate laste arengut käsitlevaid materjale, mitmete nõukogude matemaatikute ja matemaatikaõpetajate ankeetküsitluste tulemusi ning silmapaistvate matemaatikute elulugude analüüsi.
SISUKORD
Eessõna............3
I OSA. Probleemi seis ja uurimiseesmärgid... 3
I peatükk. Matemaatiliste võimete probleemi teoreetiline ja praktiline tähendus nõukogude teaduse ja kooli praeguses arengujärgus. . . . . . .
II peatükk. Matemaatiliste võimete probleem välispsühholoogias............10
§ 1. Võimete psühholoogia uuringute arendamine välismaal................................10
§ 2. Matemaatiliste võimete uurimine välispsühholoogias.............25
III peatükk. Matemaatiliste võimete probleem vene revolutsioonieelses ja nõukogude psühholoogilises kirjanduses.................................571
IV peatükk. Probleemi püstitus ja uurimiseesmärgid. . 72
§ 1. Mõned üldise võimeteooria küsimused..... 721
§ 2. Põhimõisted............82
§ 3. Uuringu probleem ja eesmärgid........91
II JAGU. Uurimistöö metoodika ja selle korraldus..... 96
I peatükk. Uuringu üldine metoodika ja korraldus. . 96
II peatükk. Hüpotees matemaatiliste võimete komponentidest eksperimentaaluuringute alusena..... 99
III peatükk. Eksperimentaalse uurimistöö metoodika. . . 101
IV peatükk. Eksperimentaalsete ülesannete süsteem koolinoorte matemaatiliste võimete uurimiseks. . . .115
V peatükk. Eksperimentaaluuringute korraldus. . 195
III JAGU. Kooliõpilaste matemaatiliste võimete struktuuri analüüs...................201
Peatükk I. Mitteeksperimentaalsete materjalide analüüs kooliõpilaste matemaatiliste võimete struktuuri komponentide kohta................................... ...203
II peatükk. Laste matemaatilise andekuse üksikjuhtumite analüüs........ 211

III peatükk. Matemaatikavõimeliste kooliõpilaste probleemi kohta teabe hankimise (esmane orienteerumine selles) iseärasused.................246
IV peatükk. Matemaatikavõimeliste kooliõpilaste ülesannete lahendamise käigus saadud teabe töötlemise iseärasused......260
§ 1. Oskus üldistada matemaatilisi objekte, seoseid ja toiminguid.........260
§ 2. Oskus kärpida matemaatilise arutlemise protsessi ja vastavate toimingute süsteemi... 291
§ 3. Mõtteprotsesside paindlikkus.......304
§ 4. Lahenduse selguse, lihtsuse ja ökonoomsuse (“elegantsi”) poole püüdlemine............313
§ 5. Mõtteprotsessi pöörduvus matemaatilises arutluskäigus (oskus kiiresti ja vabalt lülituda otsesest mõttekäigust vastupidisele). . . 316
§ 6. Oletus matemaatilise tegevuse aktsepteerija kohta. . 321
V peatükk. Matemaatilise teabe (matemaatikamaterjali) säilitamise iseärasused matemaatikavõimeliste kooliõpilaste poolt.........325
VI peatükk. Mõned kooliõpilaste matemaatiliste võimete struktuuri eriküsimused......332
§ 1. Meele matemaatiline orientatsioon......332
§ 2. Äkklahenduse (“valgustus”, sissevaade) probleem matemaatiliste võimete komponentide analüüsi valguses..... 335
§ 3. Võimeka kooliõpilase vähene väsimus pika ja intensiivse matemaatilise tegevuse käigus 341
VII peatükk. Matemaatilise võimekuse komponentide omaduste tüübi-, vanuse- ja sooerinevused. 343
§ 1. Struktuuride liigid (matemaatilised mõtteviisid) .... 343
§ 2. Matemaatiliste võimete struktuuri arengu ealine dünaamika................................. 362
§ 3. Soolistest erinevustest matemaatiliste võimete tunnustes.................... 375
VIII peatükk. Matemaatilised võimed ja isiksus.... 378
IX peatükk. Matemaatiliste võimete struktuuri üldküsimused...................385
§ 1. Üldstruktuuri skeem. Komponentide seos 385
§ 2. Matemaatiliste võimete eripära.... 388
§ 3. Mõned mõtted matemaatiliste võimete olemusest...................398
Kirjandus...............401
Näib, et teie brauser ei toeta iframe.

Matemaatiliste võimete uurimisse aitasid kaasa sellised psühholoogia teatud suundade esindajad nagu A. Binet, E. Thorndike ja G. Reves ning sellised silmapaistvad matemaatikud nagu A. Poincaré ja J. Hadamard. Suur hulk suundi määrab ka matemaatiliste võimete uurimise väga erinevaid lähenemisviise. Kõik teadlased nõustuvad, et on vaja eristada tavalisi “koolilisi” võimeid matemaatiliste teadmiste assimileerimiseks, nende taasesitamiseks, iseseisvaks rakendamiseks ning loomingulisi matemaatilisi võimeid, mis on seotud originaalse ja sotsiaalselt väärtusliku toote iseseisva loomisega.

A. Rogers märgib matemaatiliste võimete kahte poolt: reproduktiivne (seotud mälufunktsiooniga) ja produktiivne (seotud mõtlemisfunktsiooniga). V. Betz defineerib matemaatilisi võimeid kui võimet selgelt mõista matemaatiliste seoste sisemist seost ja oskust täpselt mõelda matemaatilistes mõistetes.

Artiklis “Matemaatilise mõtlemise psühholoogid” omistas D. Morduchai-Boltovsky erilist tähtsust “teadvustamata mõtlemisprotsessile”, väites, et “matemaatiku mõtlemine tungib sügavale teadvuseta sfääri, tõustes vahel selle pinnale, vahel sukeldes sügavused. Matemaatik pole oma mõtte igast sammust teadlik, nagu vibuliigutuste virtuoos. Selgitame valmislahenduse ootamatut teadvusesse ilmumist probleemile, mida me ei suuda pikka aega lahendada alateadliku mõtlemisega, mis jätkas ülesandega tegelemist ja tulemus ilmneb üle teadvuse läve. D. Mordecai-Boltovsky järgi on meie mõistus võimeline tegema vaevarikast ja keerulist tööd alateadvuses, kus tehakse ära kogu “jäme” töö ning alateadlik mõttetöö on veelgi vähem vigadele kui teadlik.

D. Morduchai-Boltovsky märgib matemaatilise ande ja matemaatilise mõtlemise väga spetsiifilist olemust. Ta väidab, et matemaatikaoskus ei ole alati omane isegi säravatele inimestele, et matemaatilise ja mittematemaatika vahel on oluline erinevus.

Eristatakse järgmisi matemaatiliste võimete komponente:

- "tugev mälu" (mälu pigem mitte faktide, vaid ideede ja mõtete jaoks);
- "vaimukas" kui võime "omaks võtta ühe otsusega" mõisteid kahest halvasti ühendatud mõttevaldkonnast, leida sarnasusi etteantuga juba teadaolevas, leida sarnasusi kõige kaugemates, täiesti erinevais objektides;
- "mõtlemise kiirus" (mõtlemise kiirust seletatakse tööga, mida alateadlik mõtlemine teadliku mõtlemise soodustamiseks teeb).

D. Mordecai-Boltovsky eristab matemaatilise kujutlusvõime tüüpe, mis on erinevate matemaatikute tüüpide aluseks – “algebraistid” ja “geomeetrid”. Aritmeetikud, algebraistid ja analüütikud üldiselt, kelle avastus on tehtud läbimurdeliste kvantitatiivsete sümbolite ja nende seoste kõige abstraktsemas vormis, ei suuda ette kujutada "geomeetrit".

Kodumaine võimeteooria loodi silmapaistvamate psühholoogide ühistöö kaudu, kellest ennekõike tuleb nimetada B.M. Teplova, samuti L.S. Vygotsky, A.N. Leontyeva, S.L. Rubinstein ja B.G. Ananjeva. Lisaks matemaatiliste võimete probleemi üldistele teoreetilistele uuringutele, V.A. Krutetsky pani oma monograafiaga “Koolilaste matemaatiliste võimete psühholoogia” aluse matemaatiliste võimete struktuuri eksperimentaalsele analüüsile. Matemaatika õppimisvõime kaudu mõistab ta individuaalseid psühholoogilisi omadusi (eelkõige vaimse tegevuse tunnuseid), mis vastavad kasvatusliku matemaatilise tegevuse nõuetele ja määravad, kui muud asjaolud on võrdsed, matemaatika kui akadeemilise õppeaine loomingulise valdamise edukuse, eriti kiire, lihtne ja sügav teadmiste ja oskuste valdamine, matemaatikaoskused.

Matemaatilised võimed on keeruline struktuurne vaimne moodustis, ainulaadne omaduste süntees, mõistuse lahutamatu kvaliteet, mis hõlmab selle erinevaid aspekte ja areneb matemaatilise tegevuse käigus. See komplekt esindab ühtset, kvalitatiivselt ainulaadset tervikut, ainult analüüsi eesmärgil isoleerime üksikud komponendid, arvestamata neid isoleeritud omadustena. Need komponendid on omavahel tihedalt seotud, mõjutavad üksteist ja moodustavad ühtse süsteemi, mille avaldumist nimetatakse "matemaatilise andekuse sündroomiks".

Selle probleemi arengusse andis suure panuse V.A. Krutetski. Tema kogutud eksperimentaalne materjal võimaldab meil rääkida komponentidest, millel on oluline koht sellise mõistuse lahutamatu kvaliteedi nagu matemaatiline talent struktuuris. V.A. Krutetsky esitas diagrammi matemaatiliste võimete struktuurist koolieas:

· Matemaatilise teabe saamine (oskus matemaatilist materjali formaalselt tajuda, hoomata ülesande formaalset struktuuri).
· Matemaatilise teabe töötlemine
A) Loogilise mõtlemise võime kvantitatiivsete ja ruumiliste suhete, numbrilise ja sümboolse sümboolika vallas. Oskus mõelda matemaatilistes sümbolites.
B) Oskus kiiresti ja laialdaselt üldistada matemaatilisi objekte, seoseid ja tegevusi.
C) oskus piirata matemaatilise arutlemise protsessi ja vastavate toimingute süsteemi. Oskus mõelda kokkuvarisenud struktuurides.
D) Mõtteprotsesside paindlikkus matemaatilises tegevuses.
D) Otsuste selguse, lihtsuse, ökonoomsuse ja ratsionaalsuse poole püüdlemine.
E) Oskus kiiresti ja vabalt ümber korraldada mõtteprotsessi suunda, lülituda otsesest mõttekäigust vastupidisele (mõtlemisprotsessi pöörduvus matemaatilises arutluskäigus).
· Matemaatilise teabe säilitamine.

Matemaatiline mälu (üldmälu matemaatiliste seoste, tüüpiliste tunnuste, arutlusmallide, tõestuste, probleemide lahendamise meetodite ja nendele lähenemise põhimõtete jaoks).

· Üldine sünteetiline komponent. Meele matemaatiline orientatsioon.

Matemaatilise andekuse struktuur ei hõlma neid komponente, mille olemasolu selles struktuuris ei ole vajalik. Nad on matemaatilise andekuse suhtes neutraalsed. Nende olemasolu või puudumine struktuuris (täpsemalt arenguaste) aga määrab ära matemaatilise mõtteviisi tüübid. Mõtteprotsesside kiirus kui ajutine omadus ja individuaalne töötempo ei ole määrava tähtsusega. Matemaatik võib mõelda rahulikult, isegi aeglaselt, kuid väga põhjalikult ja sügavalt. Neutraalsed komponendid hõlmavad ka arvutusvõimet (võime teha kiireid ja täpseid arvutusi, sageli meeles). Teatavasti on inimesi, kes suudavad mõttes reprodutseerida keerulisi matemaatilisi arvutusi (peaaegu hetkeline kolmekohaliste arvude ruut ja kuup), kuid kes ei suuda lahendada ühtegi keerulist ülesannet. Teada on ka see, et eksisteerisid ja on fenomenaalsed “loendurid”, mis matemaatikale midagi ei andnud, ning silmapaistev matemaatik A. Poincret kirjutas enda kohta, et ta ei oska isegi liita ilma viga tegemata.

Arvude, valemite ja arvude mälu on matemaatilise ande suhtes neutraalne. Nagu märkis akadeemik A.N. Kolomogorovi sõnul ei olnud paljudel silmapaistvatel matemaatikutel sellist silmapaistvat mälu.

Neutraalse komponendi moodustavad ka ruumilise esituse võime, abstraktsete matemaatikasuhete ja sõltuvuste visuaalse kujutamise võime.

Oluline on märkida, et matemaatiliste võimete struktuuri diagramm viitab õpilase matemaatilistele võimetele. On võimatu öelda, mil määral võib seda pidada matemaatiliste võimete struktuuri üldiseks diagrammiks, mil määral saab seda omistada täielikult arenenud andekatele matemaatikutele.

Teatavasti on igas teadusvaldkonnas andekus kui võimete kvalitatiivne kombinatsioon alati mitmekesine ja igal üksikjuhul kordumatu. Arvestades aga andekuse kvalitatiivset mitmekesisust, on alati võimalik visandada andekuse struktuuri erinevuste põhilised tüpoloogilised tunnused, tuvastada teatud tüübid, mis erinevad üksteisest oluliselt ja mis tulevad erineval viisil samaväärselt kõrgete saavutustega vastavas valdkonnas. valdkonnas.

Analüütilisi ja geomeetrilisi tüüpe on mainitud A. Poincre'i, J. Hadamardi, D. Mordecai-Boltovsky töödes, kuid nad seostavad neid termineid matemaatikas üsna loogiliste, intuitiivsete loovusviisidega.

Kodumaistest uurijatest on N.A palju tegelenud õpilaste individuaalsete erinevuste küsimustega probleemide lahendamisel mõtlemise abstraktsete ja kujundlike komponentide vahekorra seisukohalt. Mentšinskaja. Ta tõi välja õpilased, kellel on suhteline ülekaalus: a) kujundlik mõtlemine abstraktse mõtlemise ees c) mõlema mõtteviisi harmooniline areng;

Ei saa arvata, et analüütiline tüüp avaldub ainult algebras ja geomeetriline geomeetrias. Analüütiline mõtteviis võib avalduda geomeetrias ja geomeetriline algebras. V.A. Krutetsky kirjeldas üksikasjalikult iga tüüpi.

Analüütiline tüüp. Seda tüüpi mõtlemist iseloomustab väga hästi arenenud verbaalse-loogilise komponendi ülekaal nõrga visuaal-kujundliku komponendi ees. Nad töötavad kergesti abstraktsete skeemidega. Nad ei vaja visuaalset tuge, sisulise või skemaatilise visualiseerimise kasutamist probleemide lahendamisel, isegi neid, kui ülesandes antud matemaatilised seosed ja sõltuvused „tõukuvad” visuaalsete esituste poole.

Selle tüübi esindajad ei eristu visuaal-kujundliku esitusvõimega ning seetõttu kasutavad nad raskemat ja keerukamat loogilis-analüütilist lahendusteed, kus pildile tuginemine annab palju lihtsama lahenduse. Nad on väga edukad abstraktses vormis väljendatud probleemide lahendamisel, samas kui konkreetses visuaalses vormis väljendatud ülesanded püüavad neid võimalusel abstraktseks plaaniks tõlkida. Kontseptsioonide analüüsiga seotud toiminguid teostavad nad kergemini kui geomeetrilise diagrammi või joonise analüsaatoriga seotud toiminguid.

- geomeetriline tüüp. Seda tüüpi esindajate mõtlemist iseloomustab väga hästi arenenud visuaal-kujundlik komponent. Sellega seoses võime rääkida ülekaalust hästi arenenud verbaalse-loogilise komponendi ees. Need õpilased tunnevad vajadust abstraktse materjali väljendust visuaalselt tõlgendada ja näidata selles osas suuremat selektiivsust. Aga kui nad ei suuda luua visuaalseid tugesid, kasutada probleemide lahendamisel sisulist või skemaatiliselt visualiseerimist, siis on neil raskusi abstraktsete diagrammidega opereerimisel. Nad püüavad visalt opereerida visuaalsete diagrammide, piltide, ideedega ka seal, kus probleem on arutledes kergesti lahendatav ning visuaalsete tugede kasutamine on tarbetu või keeruline.
- Harmooniline tüüp. Seda tüüpi iseloomustab hästi arenenud verbaalsete loogiliste ja visuaal-kujundlike komponentide tasakaal esimese juhtiva rolliga. Seda tüüpi esindajate ruumilised mõisted on hästi arenenud. Nad on abstraktsete suhete ja sõltuvuste visuaalsel tõlgendamisel selektiivsed, kuid nende visuaalsed kujundid ja diagrammid alluvad verbaalsele ja loogilisele analüüsile. Visuaalsete piltidega töötades mõistavad need õpilased selgelt, et üldistuse sisu ei piirdu konkreetsete juhtumitega. Seda tüüpi esindajad rakendavad paljude probleemide lahendamisel edukalt kujund-geomeetrilist lähenemist.

Väljakujunenud tüüpidel on üldine tähendus. Nende olemasolu kinnitavad paljud uuringud.

Välismaises psühholoogias on J. Piaget' uurimustel põhinevad arusaamad koolilapse matemaatilise arengu ealistest iseärasustest endiselt laialt levinud. Piaget uskus, et laps saab abstraktse mõtlemise võimeliseks alles 12-aastaselt. Analüüsides teismelise matemaatilise arutlusvõime arenguetappe, jõudis L. Shoann järeldusele, et visuaalses ja konkreetses mõttes mõtleb koolilaps kuni 12-13. eluaastani ning mõtleb formaalse algebra mõistes, mis on seotud arutlusvõime valdamisega. toimingud ja sümbolid, kujuneb välja 17. eluaastaks.

Kodumaiste psühholoogide uuringud annavad erinevaid tulemusi. P.P. Blonsky kirjutas üldistava ja abstraktse mõtlemise, tõendite tõestamise ja mõistmise võime intensiivsest arengust teismelises. Uurimistöö I.V. Dubrovina annab põhjust väita, et algkooliõpilaste vanusega seoses ei saa me väita, et matemaatiliste võimete struktuur ise on kuidagi kujunenud, välistades muidugi erilise andekuse juhud. Seetõttu on "matemaatikavõimete kontseptsioon" tingimuslik, kui seda rakendatakse noorematele koolilastele - lastele vanuses 7–10 aastat, kui selles vanuses matemaatiliste võimete komponente uuritakse, saame rääkida ainult selliste komponentide elementaarsetest vormidest. Kuid matemaatiliste võimete üksikud komponendid kujunevad juba algklassides.

Eksperimentaalne koolitus, mis viidi läbi paljudes psühholoogiainstituudi koolides (D.B. Elkonin, V.V. Davõdov), näitab, et spetsiaalse õpetamismeetodi abil omandavad algkoolilapsed suurema tähelepanu hajutamise ja arutlemise võime, kui tavaliselt arvatakse. Kuigi õpilase ealised iseärasused sõltuvad suuremal määral õppimise tingimustest, oleks vale eeldada, et need tekivad täielikult õppimisega. Seetõttu on äärmuslik seisukoht selles küsimuses vale, kui arvatakse, et loomuliku vaimse arengu muster puudub. Tõhusam treeningsüsteem võib “saada” kogu protsessi, kuid teatud määral võib arengu järjekord küll mõnevõrra muutuda, kuid ei saa anda arendusliinile täiesti teistsugust iseloomu. Siin ei saa olla omavoli. Näiteks keeruliste matemaatiliste seoste ja meetodite üldistamise oskus ei saa kujuneda varem kui oskus üldistada lihtsaid matemaatilisi seoseid. Seega on vanuseomadused mõnevõrra meelevaldne mõiste. Seetõttu on kõik uuringud keskendunud üldisele suundumusele, matemaatiliste võimete struktuuri põhikomponentide arengu üldisele suunale treeningu mõjul.

Välispsühholoogias on töid, kus on püütud tuvastada poiste ja tüdrukute matemaatilise mõtlemise individuaalseid kvalitatiivseid tunnuseid. V. Stern räägib oma mittenõustumisest seisukohaga, mille kohaselt on meeste ja naiste vaimse sfääri erinevused ebavõrdse kasvatuse tagajärg. Tema arvates peituvad põhjused erinevates sisemistes kalduvustes. Seetõttu on naised vähem altid abstraktsele mõtlemisele ja selles osas vähem võimekad.

C. Spearman ja E. Thorndike jõudsid oma uuringutes järeldusele, et "võimete osas pole suurt erinevust", kuid samas märgivad nad tüdrukute suuremat kalduvust detailidele ja meelde jätta.

Asjakohased uuringud vene psühholoogias viidi läbi I. V. Dubrovina ja S. I. Shapiro juhtimisel. Nad ei leidnud poiste ja tüdrukute matemaatilises mõtlemises kvalitatiivseid eripärasid. Ka nende küsitletud õpetajad ei toonud neid erinevusi välja.

Muidugi, tegelikult näitavad poisid tõenäolisemalt matemaatilisi võimeid. Poistel on suurem tõenäosus matemaatikavõistlustel võita kui tüdrukutel. Kuid seda tegelikku eristamist tuleb seostada erinevustega traditsioonides, poiste ja tüdrukute kasvatuses ning meeste ja naiste elukutsete laialt levinud käsitluses. See toob kaasa asjaolu, et matemaatika jääb sageli tüdrukute huvide keskpunktist välja.

V. A. Krutetsky kogutud materjal võimaldas tal koostada kooliealiste matemaatiliste võimete struktuuri üldise diagrammi.

Matemaatilise teabe hankimine.
Matemaatilise teabe töötlemine.
Võimalus kiiresti ja vabalt ümber korraldada mõtteprotsessi suunda, lülituda otsesest mõttekäigust vastupidisele (mõtlemisprotsessi pöörduvus matemaatilises arutluskäigus).
Matemaatiline mälu (üldmälu matemaatiliste seoste jaoks, tüüpilised omadused, arutlus- ja tõestusmustrid, probleemide lahendamise meetodid ja nendele lähenemise põhimõtted).