Mis on kolmnurga nimi, milles. Nürinurkne kolmnurk: külgede pikkus, nurkade summa. Kirjeldatud nürinurkne kolmnurk. Kõikide kolmnurkade ühised omadused

Kolmnurk (Eukleidese ruumi seisukohalt) on geomeetriline kujund, mis on moodustatud kolmest lõigust, mis ühendavad kolme punkti, mis ei asu ühel sirgel. Kolmnurga moodustavaid kolme punkti nimetatakse selle tippudeks ja tippe ühendavaid lõike kolmnurga külgedeks. Mis on kolmnurgad?

Võrdsed kolmnurgad

Kolmnurga võrdsuse kohta on kolm märki. Milliseid kolmnurki nimetatakse võrdseteks? Need on need, millel on:

  • kaks külge ja nende külgede vaheline nurk on võrdne;
  • võrdne ühe külje ja kahe külgneva nurgaga;
  • kõik kolm külge on võrdsed.

Täisnurksetel kolmnurkadel on järgmised võrdusmärgid:

  • teravnurk ja hüpotenuus;
  • piki teravat nurka ja jalga;
  • kahel jalal;
  • mööda hüpotenuusi ja jalga.

Mis on kolmnurgad

Võrdsete külgede arvu järgi võib kolmnurk olla:

  • Võrdkülgne. See on kolmnurk, millel on kolm võrdset külge. Võrdkülgse kolmnurga kõik nurgad on 60 kraadi. Lisaks langevad ümberringi ja ümberringi keskpunktid kokku.
  • Ühepoolne. Kolmnurk, millel pole võrdseid külgi.
  • Võrdhaarsed. See on kolmnurk, millel on kaks võrdset külge. Kaks identset külge on küljed ja kolmas külg on alus. Sellises kolmnurgas langevad poolitaja, mediaan ja kõrgus kokku, kui need on langetatud alusele.

Nurkade osas võib kolmnurk olla:

  1. Nüri - kui üks nurkadest on üle 90 kraadi, st kui see on nüri.
  2. Äge - kui kolmnurga kõik kolm nurka on teravad, see tähendab, et need on alla 90 kraadi.
  3. Millist kolmnurka nimetatakse ristkülikukujuliseks? Sellel on üks täisnurk, mis on võrdne 90 kraadiga. Selles olevaid jalgu nimetatakse kaheks küljeks, mis moodustavad selle nurga, ja hüpotenuus on täisnurga vastaskülg.

Kolmnurkade põhiomadused

  1. Väiksem nurk on alati vastu väiksemat külge ja suurem nurk on alati vastu suuremat külge.
  2. Võrdsed nurgad asuvad alati võrdsete külgede vastas ja erinevad nurgad asuvad alati erinevate külgede vastas. Eelkõige on võrdkülgse kolmnurga kõik nurgad sama väärtusega.
  3. Igas kolmnurgas on nurgad kokku 180 kraadi.
  4. Välisnurga saab saavutada, pikendades selle ühte külge kolmnurga lähedal. Välisnurga väärtus võrdub mittekülgnevate sisenurkade summaga.
  5. Kolmnurga külg on suurem kui selle kahe teise külje erinevus, kuid väiksem kui nende summa.

Lobatševski ruumigeomeetrias on kolmnurga nurkade summa alati väiksem kui 180 kraadi. Sfääril on see väärtus suurem kui 180 kraadi. Vahet 180 kraadi ja kolmnurga nurkade summa vahel nimetatakse defektiks.

Matemaatikat õppides hakkavad õpilased tutvuma erinevate geomeetriliste kujundite tüüpidega. Täna keskendume erinevat tüüpi kolmnurkadele.

Definitsioon

Geomeetrilisi kujundeid, mis koosnevad kolmest punktist, mis ei asu samal sirgel, nimetatakse kolmnurkadeks.

Punkte ühendavaid sirgeid nimetatakse külgedeks ja punkte tippudeks. Tipud on tähistatud suurte ladina tähtedega, näiteks: A, B, C.

Küljed on tähistatud nende kahe punkti nimedega, millest need koosnevad - AB, BC, AC. Ristudes moodustavad küljed nurgad. Alumist külge peetakse joonise aluseks.

Riis. 1. Kolmnurk ABC.

Kolmnurkade tüübid

Kolmnurgad liigitatakse nurkade ja külgede järgi. Igal kolmnurga tüübil on oma omadused.

Nurgakolmnurki on kolme tüüpi:

  • teravnurkne;
  • ristkülikukujuline;
  • nüri.

Kõik nurgad teravnurkne kolmnurgad on teravad, see tähendab, et igaühe kraadimõõt ei ületa 90 0.

Ristkülikukujuline kolmnurk sisaldab täisnurka. Ülejäänud kaks nurka on alati teravad, sest vastasel juhul ületab kolmnurga nurkade summa 180 kraadi, mis on võimatu. Täisnurga vastas olevat külge nimetatakse hüpotenuusiks ja kahte ülejäänud jalga. Hüpotenuus on alati suurem kui jalg.

nüri kolmnurk sisaldab nürinurka. See tähendab, et nurk on suurem kui 90 kraadi. Sellise kolmnurga ülejäänud kaks nurka on teravad.

Riis. 2. Kolmnurkade tüübid nurkades.

Pythagorase kolmnurk on ristkülik, mille küljed on võrdsed 3, 4, 5.

Pealegi on suur külg hüpotenuus.

Selliseid kolmnurki kasutatakse sageli lihtsate geomeetriaülesannete koostamiseks. Seetõttu pidage meeles: kui kolmnurga kaks külge on võrdsed 3-ga, siis kolmas on tingimata 5. See lihtsustab arvutusi.

Kolmnurkade tüübid külgedel:

  • võrdkülgne;
  • võrdhaarne;
  • mitmekülgne.

Võrdkülgne kolmnurk on kolmnurk, mille kõik küljed on võrdsed. Sellise kolmnurga kõik nurgad on võrdsed 60 0, see tähendab, et see on alati teravnurkne.

Võrdhaarsed kolmnurk - kolmnurk, mille ainult kaks külge on võrdsed. Neid külgi nimetatakse külgmiseks ja kolmandaks aluseks. Lisaks on võrdhaarse kolmnurga aluse nurgad võrdsed ja alati teravad.

Mitmekülgne või suvaline kolmnurk on kolmnurk, mille kõik pikkused ja nurgad ei ole üksteisega võrdsed.

Kui ülesandes pole joonise kohta selgitusi, siis loetakse, et jutt käib suvalisest kolmnurgast.

Riis. 3. Kolmnurkade tüübid külgedel.

Kolmnurga kõigi nurkade summa, olenemata selle tüübist, on 1800.

Suurema nurga vastas on suurem külg. Ja ka mis tahes külje pikkus on alati väiksem kui selle kahe teise külje summa. Neid omadusi kinnitab kolmnurga ebavõrdsuse teoreem.

On olemas kuldse kolmnurga kontseptsioon. See on võrdhaarne kolmnurk, mille kaks külge on võrdelised alusega ja võrdsed teatud arvuga. Sellisel joonisel on nurgad võrdelised suhtega 2: 2: 1.

Ülesanne:

Kas on kolmnurka, mille küljed on 6 cm, 3 cm, 4 cm?

Lahendus:

Selle ülesande lahendamiseks peate kasutama ebavõrdsust a

Mida me õppisime?

Sellest 5. klassi matemaatikakursuse materjalist saime teada, et kolmnurki liigitatakse külgede ja nurkade järgi. Kolmnurkadel on teatud omadused, mida saab kasutada probleemide lahendamisel.

Tavaliselt nimetatakse mõnda kolmnurka, mille kõik küljed ei ole ühepikkused mitmekülgne.

Kahe identse küljega kolmnurka tähistatakse kui võrdhaarne... On kombeks helistada samadele osapooltele külgmine, kolmas osapool - alus. See määratlus on sama tõene kolmnurga alus on võrdhaarse kolmnurga külg, mis ei võrdu kahe teise küljega.

V võrdhaarne kolmnurk aluse nurgad on võrdsed. Kõrgus, mediaan, poolitaja võrdhaarne kolmnurk, mis on tõmmatud selle alusele, on joondatud.

Kolmnurk, kõigi samade külgedega, on tähistatud kui võrdkülgsed või õige... Võrdkülgse kolmnurga kõik nurgad on 60 ° ning sissekirjutatud ja piiritletud ringide keskpunktid on joondatud.

Kolmnurkade tüübid sõltuvalt nurkade parameetritest.

Nimetatakse kolmnurka, mille ainult nurgad on alla 90 0 (äge). teravnurkne.

Nimetatakse kolmnurka, milles on kujutatud nurk 90 0 ristkülikukujuline... Tavaliselt tähistatakse täisnurga moodustavaid kolmnurga külgi jalad, ja täisnurga vastaskülg on hüpotenuus.

Täna läheme Geomeetria riiki, kus teeme tutvust erinevat tüüpi kolmnurkadega.

Mõelge geomeetrilistele kujunditele ja leidke nende hulgast "liigsed" (joonis 1).

Riis. 1. Illustratsioon näiteks

Näeme, et arvud # 1, 2, 3, 5 on nelinurgad. Igal neist on oma nimi (joon. 2).

Riis. 2. Nelinurgad

See tähendab, et "lisa" kujund on kolmnurk (joon. 3).

Riis. 3. Illustratsioon näiteks

Kolmnurk on kujund, mis koosneb kolmest punktist, mis ei asu ühel sirgel, ja kolmest segmendist, mis neid punkte paarikaupa ühendavad.

Punkte nimetatakse kolmnurga tipud, segmendid – see peod... Kolmnurga küljed moodustuvad kolmnurga tippudes on kolm nurka.

Kolmnurga peamised märgid on kolm külge ja kolm nurka. Nurga osas on kolmnurgad teravnurkne, ristkülikukujuline ja nürinurkne.

Kolmnurka nimetatakse teravnurkseks, kui kõik kolm nurka on teravad, st alla 90 ° (joonis 4).

Riis. 4. Teravnurkne kolmnurk

Kolmnurka nimetatakse ristkülikuks, kui selle üks nurk on 90 ° (joonis 5).

Riis. 5. Täisnurkne kolmnurk

Kolmnurka nimetatakse nüriks, kui selle üks nurk on nüri, see tähendab rohkem kui 90 ° (joonis 6).

Riis. 6. Nürinurkne kolmnurk

Võrdsete külgede arvu järgi on kolmnurgad võrdkülgsed, võrdhaarsed, mitmekülgsed.

Võrdhaarne kolmnurk on kolmnurk, mille kaks külge on võrdsed (joon. 7).

Riis. 7. Võrdhaarne kolmnurk

Neid pidusid nimetatakse külgmine, kolmas külg - alus. Võrdhaarses kolmnurgas on nurgad aluse juures võrdsed.

Võrdhaarsed kolmnurgad on teravnurkne ja nürinurkne(joonis 8) .

Riis. 8. Teravad ja nürid võrdhaarsed kolmnurgad

Võrdkülgne kolmnurk on kolmnurk, mille kõik kolm külge on võrdsed (joonis 9).

Riis. 9. Võrdkülgne kolmnurk

Võrdkülgses kolmnurgas kõik nurgad on võrdsed. Võrdkülgsed kolmnurgad alati teravnurkne.

Mitmekülgseks nimetatakse kolmnurka, mille kõik kolm külge on erineva pikkusega (joon. 10).

Riis. 10. Mitmekülgne kolmnurk

Täitke ülesanne. Jaga need kolmnurgad kolme rühma (joonis 11).

Riis. 11. Ülesande illustratsioon

Esiteks jagame nurkade suuruse järgi.

Teravad kolmnurgad: nr 1, nr 3.

Ristkülikukujulised kolmnurgad: nr 2, nr 6.

Nürikujulised kolmnurgad: nr 4, nr 5.

Jagame samad kolmnurgad võrdsete külgede arvu järgi rühmadesse.

Mitmekülgsed kolmnurgad: nr 4, nr 6.

Võrdhaarsed kolmnurgad: nr 2, nr 3, nr 5.

Võrdkülgne kolmnurk: nr 1.

Mõelge joonistele.

Mõelge, millise traadijupi te iga kolmnurga tegite (joonis 12).

Riis. 12. Ülesande illustratsioon

Sa võid niimoodi arutleda.

Esimene traadijupp on jagatud kolmeks võrdseks osaks, nii et sellest saab teha võrdkülgse kolmnurga. Joonisel on ta näidatud kolmandana.

Teine traadijupp on jagatud kolmeks erinevaks osaks, nii et saad sellest teha mitmekülgse kolmnurga. Teda on joonisel näidatud esimesena.

Kolmas traadijupp on jagatud kolmeks osaks, kus kaks osa on ühepikkused, mis tähendab, et sellest saab teha võrdhaarse kolmnurga. Joonisel on ta näidatud teisena.

Tänases tunnis tutvusime erinevate kolmnurkade tüüpidega.

Bibliograafia

  1. M.I. Moreau, M.A. Bantova jt. Matemaatika: Õpik. 3. klass: 2 osas, 1. osa. - M .: "Haridus", 2012.a.
  2. M.I. Moreau, M.A. Bantova jt. Matemaatika: Õpik. 3. klass: 2 osas, 2. osa. - M .: "Haridus", 2012.a.
  3. M.I. Moreau. Matemaatikatunnid: juhendid õpetajatele. 3. klass. - M .: Haridus, 2012.
  4. Normatiivne juriidiline dokument. Õpitulemuste jälgimine ja hindamine. - M .: "Haridus", 2011.
  5. "Venemaa kool": programmid põhikoolile. - M .: "Haridus", 2011.
  6. S.I. Volkova. Matemaatika: Kontrolltöö. 3. klass. - M .: Haridus, 2012.
  7. V.N. Rudnitskaja. Testid. - M .: "Eksam", 2012.
  1. Nsportal.ru ().
  2. Prosv.ru ().
  3. Do.gendocs.ru ().

Kodutöö

1. Täitke fraasid.

a) Kolmnurk on kujund, mis koosneb ..., mis ei asu ühel sirgel, ja ..., mis ühendab neid punkte paarikaupa.

b) Punkte nimetatakse … , segmendid – see … ... Kolmnurga küljed moodustuvad kolmnurga tippudes ….

c) Nurga osas on kolmnurgad …,…,….

d) Võrdsete külgede arvu järgi on kolmnurgad…,…,….

2. Joonista

a) täisnurkne kolmnurk;

b) teravnurkne kolmnurk;

c) nürinurkne kolmnurk;

d) võrdkülgne kolmnurk;

e) mitmekülgne kolmnurk;

f) võrdhaarne kolmnurk.

3. Tehke tunni teemal ülesanne oma kaaslastele.

Kolmnurk . Terav-, nüri- ja täisnurksed kolmnurgad.

Jalad ja hüpotenuus. Võrdhaarne ja võrdkülgne kolmnurk.

Kolmnurga nurkade summa.

Kolmnurga välimine nurk. Kolmnurkade võrdsuse märgid.

Imelised jooned ja punktid kolmnurgas: kõrgused, mediaanid,

poolitajad, mediaan e perpendikulaarid, ortotsenter,

raskuskese, sisse kirjutatud ringi keskpunkt, sisse kirjutatud ringi keskpunkt.

Pythagorase teoreem. Kuvasuhe suvalises kolmnurgas.

Kolmnurk On kolme küljega (või kolme nurgaga) hulknurk. Kolmnurga külgi tähistatakse sageli väikeste tähtedega, mis vastavad vastastippu tähistavatele suurtähtedele.

Kui kõik kolm nurka on teravad (joon. 20), siis see teravnurkne kolmnurk ... Kui üks nurkadest on sirge(C, joonis 21), see on täisnurkne kolmnurk; peoda, btäisnurga moodustamist nimetatakse jalad; poolcnimetatakse täisnurga vastas hüpotenuus... Kui üks neist nürinurgad (B, joonis 22), see on nüri kolmnurk.


Kolmnurk ABC (joon. 23) - võrdhaarne, kui kaks selle küljed on võrdsed (a= c); neid võrdseid külgi nimetatakse külgmine, kutsutakse kolmas osapool alus kolmnurk. Kolmnurk ABC (joonis 24) - võrdkülgsed, kui kõik selle küljed on võrdsed (a = b = c). Üldiselt ( a ≠ b ≠ c) meil on skaleen kolmnurk .

Kolmnurkade põhiomadused. Mis tahes kolmnurgas:

1. Suurema külje vastu on suurem nurk ja vastupidi.

2. Võrdsed nurgad asetsevad võrdsete külgede vastas ja vastupidi.

Eelkõige kõik nurgad sisse võrdkülgsed kolmnurk on võrdsed.

3. Kolmnurga nurgad on kokku 180 º .

Kahest viimasest omadusest järeldub, et iga nurk on võrdkülgne

kolmnurk on 60 º.

4. Jätkates ühte kolmnurga külgedest (AC, joon. 25), saame välised

nurk BCD . Kolmnurga välisnurk on võrdne sisenurkade summaga,

mitte tema kõrval : BCD = A + B.

5. Ükskõik milline kolmnurga külg on väiksem kui ülejäänud kahe külje summa ja rohkem

nende erinevused (a < b + c, a > b – c;b < a + c, b > a – c;c < a + b,c > a – b).

Kolmnurkade võrdsuse märgid.

Kolmnurgad on võrdsed, kui need on vastavalt võrdsed:

a ) kaks külge ja nendevaheline nurk;

b ) kaks nurka ja nendega külgnev külg;

c) kolm külge.

Täisnurksete kolmnurkade võrdsuse märgid.

Kaks ristkülikukujuline kolmnurgad on võrdsed, kui on tõene üks järgmistest tingimustest:

1) nende jalad on võrdsed;

2) ühe kolmnurga jalg ja hüpotenuus on võrdsed teise jala ja hüpotenuusiga;

3) ühe kolmnurga hüpotenuus ja teravnurk on võrdsed teise kolmnurga hüpotenuus ja teravnurk;

4) ühe kolmnurga jalg ja sellega külgnev teravnurk on võrdsed teise kolmnurga haruga ja sellega külgnev teravnurk;

5) ühe kolmnurga jalg ja vastassuunaline teravnurk on võrdsed jalaga ja teise vastupidine terav nurk.

Imelised jooned ja punktid kolmnurgas.

Kõrgus kolmnurk onristi,langes mis tahes tipust vastasküljele ( või selle jätk). Seda külge nimetataksekolmnurga alus . Kolmnurga kolm kõrgust lõikuvad alatiühel hetkelhelistas ortotsenter kolmnurk. Teravnurkse kolmnurga ortotsenter (punkt O , joon. 26) asub kolmnurga sees janüri kolmnurga ortotsenter (punkt O , joon. 27) – väljaspool; täisnurkse kolmnurga ortotsenter langeb kokku täisnurga tipuga.

Mediaan - see on osa mis ühendab kolmnurga mis tahes tipu vastaskülje keskpunktiga. Kolmnurga kolm mediaani (AD, BE, CF, joonis 28) ristuvad ühes punktis O lamades alati kolmnurga sees ja olla tema raskuskese. See punkt jagab iga mediaani ülevalt suhtega 2:1.

Poolitaja - see on poolitaja segment nurk tipust punktini ristmik vastasküljega. Kolmnurga kolm poolitajat (AD, BE, CF, joonis 29) ristuvad ühes punktis Oh alati kolmnurga sees lebamist ja olemine sisse kirjutatud ringi keskpunkt(vt jaotist "Sissekirjutatudja kirjeldatud hulknurgad ").

Poolitaja jagab vastaskülje osadeks, mis on proportsionaalsed külgnevate külgedega ; näiteks joonisel 29 AE: CE = AB: BC.

Keskmine risti Kas keskelt tõmmatud risti segmendi punktid (küljed). Kolmnurga ABC kolm keskristi(KO, MO, EI, joon. 30 ) lõikuvad ühes punktis O, mis on Keskus visandatud ring (punktid K, M, N - kolmnurga külgede keskpunktid ABC).

Teravnurkse kolmnurga puhul asub see punkt kolmnurga sees; nüris - väljaspool; ristkülikukujuliselt - hüpotenuusi keskel. Ortotsenter, raskuskese, piiritletud ja sisse kirjutatud ringi keskpunkt langevad kokku ainult võrdkülgses kolmnurgas.

Pythagorase teoreem. Täisnurkses kolmnurgas pikkuse ruuthüpotenuus võrdub jalgade pikkuste ruutude summaga.

Pythagorase teoreemi tõestus tuleneb selgelt jooniselt 31. Mõelge täisnurksele kolmnurgale ABC jalgadega a, b ja hüpotenuus c.

Ehitame väljaku AKMB hüpotenuusi kasutades AB küljena. Siispikendage täisnurkse kolmnurga külgi ABC nii et saada ruut CDEF mille külg on võrdnea + b.Nüüd on selge, et ruudu pindala CDEF on ( a + b) 2 ... Teisest küljest see pindala on võrdne summaga ruudud neli täisnurkset kolmnurka ja ruudukujuline AKMB, see tähendab

c 2 + 4 (ab / 2) = c 2 + 2 ab,

siit,

c 2 + 2 ab= (a + b) 2 ,

ja lõpuks on meil:

c 2 =a 2 + b 2 .

Kuvasuhe suvalises kolmnurgas.

Üldjuhul (suvalise kolmnurga jaoks) on meil:

c 2 =a 2 + b 2 – 2ab· cos C,

kus C - külgedevaheline nurka ja b .

mob_info