Ringi keskpunkt kompassi ja sirgjoonega. Kompassi ja joonlauaga konstruktsioonid. Segmendi keskosa ehitus

See tund on pühendatud ringi ja ringi uurimisele. Samuti õpetab õpetaja eristama suletud ja avatud ridu. Tutvutakse ringi põhiomadustega: keskpunkt, raadius ja diameeter. Õppige nende määratlusi. Õppige raadiust määrama, kui läbimõõt on teada, ja vastupidi.

Kui täidad ringi sees oleva ruumi, näiteks joonistad kompassiga paberile või papile ring ja lõikad selle välja, siis saamegi ringi (joon. 10).

Riis. 10. Ring

Ring on ringiga piiratud tasapinna osa.

Seisukord: Vitya Verhogljadkin tõmbas oma ringis 11 diameetrit (joonis 11). Ja kui ta raadiusi luges, sai ta 21. Kas ta luges õigesti?

Riis. 11. Probleemi illustratsioon

Lahendus: raadiused peaksid olema kaks korda suuremad kui diameetrid, seega:

Vitya luges valesti.

Bibliograafia

Matemaatika. 3. klass Proc. üldhariduse jaoks institutsioonid koos adj. elektronile. vedaja. Kell 2 h. 1. osa / [M.I. Moro, M.A. Bantova, G.V. Beltjukova ja teised] – 2. väljaanne. - M.: Haridus, 2012. - 112 lk.: ill. - (Venemaa kool).
Rudnitskaja V.N., Yudacheva T.V. Matemaatika, 3. klass. - M.: VENTANA-GRAF.
Peterson L.G. Matemaatika, 3. klass. - M.: Juventa.

Mypresentation.ru ().
Sernam.ru ().
School-assistant.ru ().

Kodutöö

1. Matemaatika. 3. klass Proc. üldhariduse jaoks institutsioonid koos adj. elektronile. vedaja. Kell 2 h. 1. osa / [M.I. Moro, M.A. Bantova, G.V. Beltjukova ja teised] – 2. väljaanne. - M.: Valgustus, 2012., Art. 94 nr 1, art. 95 nr 3.

2. Lahenda mõistatus.

Elame koos mu vennaga,

Meil on koos nii lõbus

Paneme lehele kruusi (joonis 12),

Teeme selle pliiatsiga ringi.

Hankige, mida vajate -

Seda nimetatakse...

3. Vajalik on määrata ringi läbimõõt, kui on teada, et raadius on 5 m.

4. * Joonista kompassi abil kaks raadiusega ringi: a) 2 cm ja 5 cm; b) 10 mm ja 15 mm.

Puitdetailide valmistamisel või töötlemisel tuleb mõnel juhul määrata, kus asub nende geomeetriline keskpunkt. Kui osa on ruudu- või ristkülikukujuline, pole seda keeruline teha. Piisab, kui ühendada vastasnurgad diagonaalidega, mis samal ajal ristuvad täpselt meie figuuri keskel.
Toodete puhul, mis on ringikujulised, see lahendus ei tööta, kuna neil pole nurki ja seega ka diagonaale. Sel juhul on vaja teistsugust lähenemist, mis põhineb teistel põhimõtetel.

Ja need on olemas ja paljudes variatsioonides. Mõned neist on üsna keerulised ja nõuavad mitmeid tööriistu, teisi on lihtne rakendada ja nende rakendamiseks pole vaja tervet komplekti seadmeid.
Nüüd vaatleme üht lihtsamaid viise ringi keskpunkti leidmiseks tavalise joonlaua ja pliiatsiga.

Ringi keskpunkti leidmise järjekord:

1. Esiteks peame meeles pidama, et kõõl on sirgjoon, mis ühendab kahte ringi punkti, kuid ei läbi ringi keskpunkti. Selle reprodutseerimine pole üldse keeruline: tuleb lihtsalt asetada joonlaud ringile suvalisse kohta, nii et see lõikub ringiga kahes kohas, ja tõmmata pliiatsiga sirgjoon. Ringi sees olev segment on akord.
Põhimõtteliselt võib ühest akordist loobuda, kuid ringi keskpunkti määramise täpsuse suurendamiseks tõmbame vähemalt paari või veelgi parem - 3, 4 või 5 erineva pikkusega akordi. See võimaldab meil tasandada oma konstruktsioonide vigu ja ülesandega täpsemalt toime tulla.

2. Järgmiseks leiame sama joonlaua abil reprodutseeritud akordide keskpunktid. Näiteks kui ühe kõõlu kogupikkus on 28 cm, on selle keskpunkt punktis, mis asub kõõlu ja ringi lõikepunktist sirgjooneliselt 14 cm kaugusel.
Olles sel viisil määranud kõigi kõõlude keskpunktid, tõmbame nende kaudu risti jooned, kasutades näiteks täisnurkset kolmnurka.

3. Kui nüüd jätkata neid sirgeid kõõludega risti ringi keskpunkti suunas, siis nad ristuvad ligikaudu ühes punktis, mis on ringjoone soovitud keskpunkt.

4. Olles kindlaks teinud oma konkreetse ringi keskpunkti asukoha, saame seda fakti kasutada erinevatel eesmärkidel. Seega, kui asetate sellesse punkti puusepa kompassi jala, saate joonistada ideaalse ringi ja seejärel sobiva lõikeriista ja meie poolt määratud ringi keskpunkti abil ringi välja lõigata.

Lause, mis selgitab konkreetse väljendi või nime tähendust, nimetatakse määratlus. Oleme juba kohtunud definitsioonidega, näiteks nurga, külgnevate nurkade, võrdhaarse kolmnurga jne määratlusega. Anname veel ühe geomeetrilise kujundi - ringi - definitsiooni.

Definitsioon

Seda punkti nimetatakse ringi keskpunkt, ja segment, mis ühendab keskpunkti ringi mis tahes punktiga, on ringi raadius(joonis 77). Ringjoone definitsioonist järeldub, et kõik raadiused on ühepikkused.

Riis. 77

Ringjoone kahte punkti ühendavat lõiku nimetatakse selle kõõluks. Ringjoone keskpunkti läbivat kõõlu nimetatakse selleks läbimõõt.

Joonisel 78 on lõigud AB ja EF ringi kõõlused, segment CD on ringi läbimõõt. Ilmselgelt on ringi läbimõõt kaks korda suurem selle raadiusest. Ringjoone keskpunkt on mis tahes läbimõõdu keskpunkt.

Riis. 78

Ringi kaks punkti jagavad selle kaheks osaks. Kõiki neid osi nimetatakse ringikaareks. Joonisel 79 on ALB ja AMB kaared, mis on piiratud punktidega A ja B.

Riis. 79

Ringi kujutamiseks joonisel kasutage kompass(joonis 80).

Riis. 80

Maapinnale ringi joonistamiseks võite kasutada köit (joonis 81).

Riis. 81

Ringjoonega piiratud tasandi osa nimetatakse ringiks (joon. 82).

Riis. 82

Kompassi ja joonlauaga konstruktsioonid

Geomeetriliste konstruktsioonidega oleme juba tegelenud: tõmmasime sirgeid, jätsime kõrvale etteantutega võrdsed lõigud, joonistasime nurki, kolmnurki ja muid kujundeid. Samal ajal kasutasime mõõtkava joonlauda, sirklit, kraadiklaasi, joonistusruutu.

Selgub, et paljusid konstruktsioone saab teha ainult kompassi ja sirgjoonega ilma skaalajaotisteta. Seetõttu eristatakse geomeetrias spetsiaalselt neid ehitusülesandeid, mida lahendatakse ainult nende kahe tööriista abil.

Mida nendega teha saab? On selge, et joonlaud võimaldab tõmmata meelevaldset sirget, samuti konstrueerida kahte etteantud punkti läbivat sirget. Kompassi abil saate joonistada suvalise raadiusega ringi, samuti ringi, mille keskpunkt on antud punktis ja raadius on võrdne antud lõiguga. Neid lihtsaid toiminguid tehes saame lahendada palju huvitavaid ehitusprobleeme:

konstrueerida etteantud nurgaga võrdne nurk;
läbi etteantud punkti tõmmake antud sirgega risti olev sirge;
jaga see segment pooleks ja muud ülesanded.

Alustame lihtsa ülesandega.

Ülesanne

Antud kiirel selle algusest peale kõrvale lõik, mis on võrdne antud kiiruga.

Lahendus

Kujutame ülesande tingimuses antud jooniseid: kiirt OS ja segmenti AB (joon. 83, a). Seejärel konstrueerime kompassiga ringi raadiusega AB, mille keskpunkt on O (joon. 83, b). See ring lõikub kiirga OS mingis punktis D. Vajalik on segment OD.

Riis. 83

Näited ehitusülesannetest

Antud nurgaga võrdse nurga konstrueerimine

Ülesanne

Määrake antud kiirest kõrvale nurk, mis on võrdne etteantud kiirega.

Lahendus

See nurk tipuga A ja kiir OM on näidatud joonisel 84. On vaja konstrueerida nurk, mis on võrdne nurgaga A, nii et selle üks külg langeb kokku kiirega OM.

Riis. 84

Joonistame suvalise raadiusega ringi, mille keskpunkt on antud nurga tipus A. See ring lõikab nurga külgi punktides B ja C (joonis 85, a). Seejärel joonistame sama raadiusega ringi, mille keskpunkt on antud kiire OM alguses. See lõikub tala punktis D (joonis 85, b). Pärast seda konstrueerime ringjoone keskpunktiga D, mille raadius on võrdne BC-ga. Ringid tsentritega O ja D lõikuvad kahes punktis. Tähistame üht neist punktidest tähega E. Tõestame, et nurk MOE on nõutav.

Riis. 85

Vaatleme kolmnurki ABC ja ODE. Lõigud AB ja AC on ringjoone raadiused keskpunktiga A ning lõigud OD ja OE on ringi raadiused, mille keskpunkt on O (vt joonis 85, b). Kuna konstruktsiooni järgi on neil ringidel võrdsed raadiused, siis AB = OD, AC = OE. Samuti ehituse järgi BC = DE.

Seetõttu on Δ ABC = Δ ODE kolmel küljel. Seetõttu ∠DOE = ∠BAC, st konstrueeritud nurk MOE on võrdne antud nurgaga A.

Sama konstruktsiooni saab teostada ka maapinnal, kui kasutame kompassi asemel köit.

Nurgapoolitaja konstrueerimine

Ülesanne

Koostage antud nurga poolitaja.

Lahendus

See nurk BAC on näidatud joonisel 86. Joonistame suvalise raadiusega ringi, mille keskpunkt on tipus A. See lõikab nurga külgi punktides B ja C.

Riis. 86

Seejärel joonistame kaks sama raadiusega BC ringi, mille keskpunktid on punktides B ja C (joonisel on näidatud ainult osad neist ringidest). Need ristuvad kahes punktis, millest vähemalt üks asub nurga sees. Tähistame seda tähega E. Tõestame, et kiir AE on antud nurga BAC poolitaja.

Vaatleme kolmnurki ACE ja ABE. Need on kolmest küljest võrdsed. Tõepoolest, AE on ühine pool; AC ja AB on võrdsed sama ringi raadiusega; CE = BE ehituse järgi.

Kolmnurkade ACE ja ABE võrdsusest järeldub, et ∠CAE = ∠BAE, st kiir AE on antud nurga BAC poolitaja.

kommenteerida

Kas antud nurga saab jagada kaheks võrdseks nurgaks, kasutades kompassi ja sirgjoont? On selge, et see on võimalik - selleks peate joonistama selle nurga poolitaja.

Selle nurga saab jagada ka neljaks võrdseks nurgaks. Selleks peate selle pooleks jagama ja seejärel jagama mõlemad pooled uuesti pooleks.

Kas etteantud nurka on võimalik kompassi ja sirge abil jagada kolmeks võrdseks nurgaks? See ülesanne, nn nurga trisektsiooni probleemid, on matemaatikute tähelepanu köitnud juba mitu sajandit. Alles 19. sajandil tõestati, et selline konstruktsioon on suvalise nurga all võimatu.

Perpendikulaarsete joonte ehitamine

Ülesanne

Antud joon ja punkt sellel. Ehitage sirge, mis läbib antud punkti ja on antud sirgega risti.

Lahendus

Antud sirge a ja sellele sirgele kuuluv antud punkt M on näidatud joonisel 87.

Riis. 87

Punktist M lähtuva sirge a kiirtel eraldame võrdsed lõigud MA ja MB. Seejärel konstrueerime kaks ringi keskpunktidega A ja B raadiusega AB. Need ristuvad kahes punktis: P ja Q.

Tõestame läbi punkti M ja ühe nendest punktidest sirge, näiteks sirge MP (vt joonis 87), ja tõestame, et see sirge on soovitud, st et see on risti antud sirgega a .

Tõepoolest, kuna võrdhaarse kolmnurga PAB mediaan PM on ka kõrgus merepinnast, siis PM ⊥ a.

Segmendi keskosa ehitus

Ülesanne

Koostage selle lõigu keskpunkt.

Lahendus

Olgu AB antud lõik. Ehitame kaks ringi keskpunktidega A ja B raadiusega AB. Need ristuvad punktides P ja Q. Joonistage joon PQ. Selle sirge ja lõigu AB lõikepunkti punkt O on lõigu AB soovitud keskpunkt.

Tõepoolest, kolmnurgad APQ ja BPQ on kolmest küljest võrdsed, seega ∠1 = ∠2 (joonis 89).

Riis. 89

Järelikult on lõik RO võrdhaarse kolmnurga ARV poolitaja ja seega ka mediaan, st punkt O on lõigu AB keskpunkt.

Ülesanded

143. Millised joonisel 90 kujutatud lõikudest on: a) ringi akordid; b) ringi läbimõõdud; c) ringi raadiused?

Riis. 90

144. Lõigud AB ja CD on ringi läbimõõdud. Tõesta, et: a) akordid BD ja AC on võrdsed; b) akordid AD ja BC on võrdsed; c) ∠BAD = ∠BCD.

145. Lõik MK on ringi läbimõõt, mille keskpunkt on O, ning MR ja RK on selle ringi võrdsed kõõlused. Otsige üles ∠POM.

146. Lõiked AB ja CD on O keskpunktiga ringi läbimõõdud. Leidke kolmnurga AOD ümbermõõt, kui on teada, et CB = 13 cm, AB = 16 cm.

147. Ringjoonele, mille keskpunkt on O, märgitakse punktid A ja B nii, et nurk AOB on õige. Lõik BC on ringi läbimõõt. Tõesta, et akordid AB ja AC on võrdsed.

148. Sirgele on antud kaks punkti A ja B. Tala BA jätkumisel jätke lõik BC kõrvale nii, et BC \u003d 2AB.

149. Antud sirge a, sellel mitteasuv punkt B ja lõik PQ. Ehitage sirgel a punkt M nii, et BM = PQ. Kas probleemil on alati lahendus?

150. Antud ringjoon, sellel mitteasuv punkt A ja lõik PQ. Koostage ringjoonele punkt M nii, et AM = PQ. Kas probleemil on alati lahendus?

151. Teranurk BAC ja kiir XY on antud. Konstrueerige nurk YXZ nii, et ∠YXZ = 2∠BAC.

152. Nürinurk AOB on antud. Koostage kiir OX nii, et nurgad XOA ja XOB on võrdsed nürinurgad.

153. Antud sirge a ja sellel mitte asuv punkt M. Ehitage sirge, mis läbib punkti M ja on risti sirgega a.

Lahendus

Ehitame ringjoone, mille keskpunkt on antud punktis M, lõikates antud sirget a kahes punktis, mida tähistame tähtedega A ja B (joonis 91). Seejärel konstrueerime kaks ringi keskpunktidega A ja B, mis läbivad punkti M. Need ringid lõikuvad punktis M ja veel ühes punktis, mida tähistame tähega N. Joonistame sirge MN ja tõestame, et see sirge on soovitud sirge üks, st see on risti sirgega a.

Riis. 91

Tõepoolest, kolmnurgad AMN ja BMN on kolmest küljest võrdsed, seega ∠1 = ∠2. Sellest järeldub, et lõik MC (C on sirgete a ja MN lõikepunkt) on võrdhaarse kolmnurga AMB poolitaja ja seega ka kõrgus. Seega MN ⊥ AB, st MN ⊥ a.

154. Kolmnurk ABC on antud. Konstrueerida: a) poolitaja AK; b) VM mediaan; c) kolmnurga kõrgus CH. 155. Konstrueeri kompassi ja joonlaua abil nurk, mis on võrdne: a) 45°; b) 22°30".

Vastused ülesannetele

152. Juhend. Esiteks konstrueerige nurga AOB poolitaja.

Eesmärgid:

kinnistada õpilaste seas mõisteid “ring”, “ring”; tuletada mõiste "ringi raadius"; õppida ehitama etteantud raadiusega ringe; arendada mõtlemis-, analüüsivõimet.

Isiklik UUD:
kujundada positiivset suhtumist matemaatikatundi;
huvi aine-uurimusliku tegevuse vastu;

Metaainete ülesanded

Regulatiivne UUD:
võta vastu ja salvesta õpiülesanne;
leida koostöös õpetaja ja klassiga mitmeid lahendusi;

Kognitiivne UUD:
probleemide püstitamine ja lahendamine:
probleemi iseseisvalt tuvastada ja sõnastada;
Üldharidus:
leida õpikust vajalik teave;
ehitada etteantud raadiusega ring kompassi abil;
ajurünnak:
moodustada mõiste "raadius";
liigitada, võrrelda;
tehke oma järeldused;

Kommunikatiivne UUD:
osaleda aktiivselt meeskonnatöös, kasutades kõnevahendeid;
argumenteerige oma seisukoht;

Üksuse oskused:
tuvastada mõistete "ringi raadius" olulised tunnused;
ehitada erineva raadiusega ringe;
tuvastada joonisel raadiused.

Tundide ajal

Motivatsioon õppetegevuseks

- Kontrollime, kas kõik on tunniks valmis?

"Emotsionaalne sisenemine õppetundi":

Naerata nagu päike.

Kortsud kulmu nagu pilved

Nuta nagu vihm

Üllatunud, nagu oleks näinud vikerkaart

Nüüd korrake minu järel

Mäng "Sõbralik kaja"

2.Teadmiste uuendamine

Sõnaline loendamine

a) 60-40 36+12 10+20 58-12 90-50 31+13

Harutage muster lahti. Jätkake rida.

Vastus: 20, 48,30,46,40,44 50,42

b) Lahendage probleem:

1. Esimesel päeval müüdi poes 42 kg puuvilju ja teisel päeval 2 kg rohkem. Mitu kilogrammi müüdi teisel päeval?

Mida on vaja muuta, et ülesanne oleks lahendatud 2 sammuga.

Pallid - 16 tk.

Hüppenöörid - 28 tk.

Leidke sellele probleemile lahendus.

28-16 28+16

Muutke küsimust nii, et probleemi saaks lahutamise teel lahendada.

3. Õppeülesande avaldus

1. Nimeta geomeetrilised kujundid

Ringi ümbermõõduga ovaalne pall

Milline kujund on puudu?

Mis on figuuridel ühist? (Ring, ümbermõõt, pall on sama kujuga)

Mis vahet sellel on?

2. Sisse

Millised punktid on ringil? Mis on punktid väljaspool ringi?

Mida tähendab punkt O? (ringi keskel)

Mis on segmendi OB nimi?

Mitu raadiust saab ringile tõmmata?

Milline segment ei ole raadius? Miks?

Mis võib olla järeldus?

Järeldus: kõik raadiused on ühepikkused .

3. Mitu ringi on pildil?

Mille poolest ringid erinevad? (suurus)

Mis määrab ringi suuruse?

Mis võib olla järeldus?

Järeldus: mida suurem on ring, seda suurem on selle raadius.

Määrake tunni teema.

Teema: Etteantud raadiusega ringi konstrueerimine kompassi abil.

Milliseid ülesandeid saame endale selle tunni jaoks seada?

4. Töötage teemaga

a) Ringi ehitamine.

Mida on vaja teada etteantud suurusega ringi joonistamiseks?

Joonistage ring raadiusega 3 cm.

b) Ettevalmistus projekti tegevusteks

1) Mõelge joonisele

Millistest kujunditest liblikas koosneb? Sama raadiusega ringid?

2) Töötage paaris.

Taastage projekti kohal olevate etappide järjekord.

Projekti esitlus või demonstratsioon

Kavatsus (teha visand)

Plaani elluviimiseks koostage arvud

Mõelge, milline peaks olema kujundite raadius

c) Töötage projekti kallal.

Töötage rühmades koostatud algoritmi järgi