สมการ sin x \u003d a. สูตรตรีโกณมิติฉันกลุ่ม อัตลักษณ์ที่สำคัญ
ในตรีโกณมิติสูตรจำนวนมากสามารถถอนได้ง่ายกว่าขับ Cosuine Dual Corner - สูตรที่ยอดเยี่ยม! ช่วยให้คุณได้สูตรสำหรับการลดระดับและสูตรครึ่งมุม
ดังนั้นเราต้องใช้มุมคู่มุมและหน่วยตรีโกณมิติ:
พวกเขามีความคล้ายคลึงกัน: ในสูตรโคไซน์ของมุมสอง - ความแตกต่างของสี่เหลี่ยมของโคไซน์และไซนัสและในหน่วยตรีโกณมิติ - จำนวนเงินของพวกเขา หากคุณแสดงโคไซน์จากหน่วยตรีโกณมิติ:
และเพื่อทดแทนในโคไซน์ของมุมสองเท่าเราจะได้รับ:
นี่คืออีกหนึ่งสูตรโคไซน์โคไซน์คู่:
สูตรนี้เป็นกุญแจสำคัญในการได้รับสูตรการลดระดับ:
ดังนั้นสูตรสำหรับการลดระดับของไซน์:
หากมุมอัลฟาถูกแทนที่ในครึ่งมุมของอัลฟาครึ่งและสองมุมสองอัลฟา - ที่มุมของอัลฟ่าแล้วเราจะได้สูตรครึ่งมุมสำหรับไซนัส:
ตอนนี้จากหน่วยตรีโกณมิติเราจะแสดงไซนัส:
เราจะแทนที่การแสดงออกนี้ในสูตรคู่มุม cosine:
ได้รับสูตรโคไซน์อื่นของมุมสอง:
สูตรนี้เป็นกุญแจสำคัญในการค้นหาสูตรในการลดระดับของโคไซน์และครึ่งมุมสำหรับโคไซน์
ดังนั้นสูตรสำหรับการลดระดับของโคไซน์:
หากมันถูกแทนที่ด้วยαบนα / 2 และ2α - บนαจากนั้นเราจะได้รับสูตรของอาร์กิวเมนต์ครึ่งหนึ่งสำหรับโคไซน์:
ตั้งแต่แทนเจนต์เป็นทัศนคติของไซนัสต่อโคไซน์ที่สูตรแทนเจนต์:
Kotangenes - ทัศนคติของโคไซน์ต่อไซนัส ดังนั้นสูตรสำหรับ kotangens:
แน่นอนในกระบวนการของการลดความซับซ้อนของการแสดงออกทางตรีโกณมิติของสูตรครึ่งมุมหรือการลดลงของระดับมันไม่สมเหตุสมผลทุกครั้งที่จะส่งออก มันง่ายกว่ามากที่จะวางใบด้วยสูตร และการทำให้เข้าใจง่ายจะเคลื่อนที่เร็วขึ้นและหน่วยความจำภาพจะเปิดสำหรับการท่องจำ
แต่หลายครั้งเพื่อลบสูตรเหล่านี้ยังคงมีค่าใช้จ่าย จากนั้นคุณจะแน่ใจอย่างแน่นอนว่าในการสอบเมื่อไม่มีโอกาสที่จะใช้เปลคุณสามารถรับพวกเขาได้อย่างง่ายดายหากจำเป็น
| BD - ความยาวของส่วนโค้งของวงกลมที่มีศูนย์กลางที่จุด A
α - มุมแสดงในเรเดียน
แทนเจนต์ ( tg α) - นี่เป็นฟังก์ชั่นตรีโกณมิติขึ้นอยู่กับมุมαระหว่าง hypothenooma และท้องของรูปสามเหลี่ยมสี่เหลี่ยมเท่ากับอัตราส่วนของความยาวของหมวดหมู่ตรงข้าม | BC | ถึงความยาวของหมวดหมู่ที่อยู่ติดกัน | AB | .
kotnence ( ctg α) เป็นฟังก์ชั่นตรีโกณมิติขึ้นอยู่กับมุมαระหว่าง hypothenooma และ triangle ribal triangle เท่ากับอัตราส่วนของความยาวของหมวดหมู่ที่อยู่ติดกัน | AB | ถึงความยาวของหมวดหมู่ตรงข้าม | BC | .
แทนเจนต์
ที่ไหน น. - ทั้งหมด
ในวรรณคดีตะวันตกแทนเจนต์ถูกกำหนดให้เป็น:
.
;
;
.
กราฟฟังก์ชั่นแทนเจนต์, y \u003d tg x
โคแทนเจนต์
ที่ไหน น. - ทั้งหมด
ในวรรณคดีตะวันตก Kothanns ถูกระบุดังนี้:
.
สัญลักษณ์ต่อไปนี้ยังดำเนินการ:
;
;
.
กราฟฟังก์ชั่น cotanence, y \u003d ctg x
สรรพคุณของ Tangent และ Kotnence
ระยะเวลา
ฟังก์ชั่น y \u003d. tG X และ y \u003d. cTG X. เป็นระยะกับช่วงเวลาπ
ความเท่าเทียมกัน
ฟังก์ชั่นของแทนเจนต์และ Kotangenes แปลก
ฟิลด์ของความหมายและค่าเพิ่มขึ้นลดลง
ฟังก์ชั่นของ Tangent และ Cotangenes ต่อเนื่องในเขตข้อมูลของความหมายของพวกเขา (ดูหลักฐานความต่อเนื่อง) คุณสมบัติหลักของแทนเจนต์และ Kotnence จะถูกนำเสนอในตาราง ( น. - ทั้งหมด)
| y \u003d. tG X | y \u003d. cTG X. | |
| นิยามและพื้นที่ต่อเนื่อง | ||
| ภูมิภาคของค่านิยม | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
| จากน้อยไปมาก | - | |
| การปลดอาวุธ | - | |
| สุดขั้ว | - | - |
| ศูนย์, y \u003d 0 | ||
| จุดตัดด้วยแกน ordinate, x \u003d 0 | y \u003d. 0 | - |
สูตร
นิพจน์ผ่านไซนัสและโคไซน์
;
;
;
;
;
สูตรแทนเจนต์และ cotangent จากจำนวนและความแตกต่าง
สูตรที่เหลือง่ายต่อการรับตัวอย่างเช่น
ทำงานแทนเจนต์
สูตรของผลรวมและความแตกต่างของการแทนเจนต์
ตารางนี้นำเสนอค่าของการแทนเจนต์และ catangers ในบางค่าของอาร์กิวเมนต์ 
นิพจน์ในตัว
นิพจน์ผ่านฟังก์ชั่นไฮเพอร์โบลิก
;
;
อนุพันธ์
; .
.
อนุพันธ์สั่งซื้อ N-TH โดย Variable X จากฟังก์ชั่น:
.
สูตรเอาท์พุทสำหรับแทนเจนต์ \u003e\u003e\u003e; สำหรับ Cotanza \u003e\u003e\u003e
บูรณาการ
การสลายตัวในอันดับ
เพื่อให้ได้การสลายตัวของสัมผัสแทนเจนต์ในองศา x คุณต้องใช้สมาชิกสลายตัวหลายคนในแถวพลังงานสำหรับฟังก์ชั่น บาปเอ็กซ์ และ cos x. และแบ่งพหุนามเหล่านี้ไปซึ่งกันและกัน ในกรณีนี้สูตรต่อไปนี้จะได้รับ
ที่.
ที่.
ที่ไหน b n - เบอร์นูลลี่ตัวเลข พวกเขาจะถูกกำหนดอย่างใดอย่างหนึ่งจากอัตราส่วนกำเริบ:
;
;
ที่ไหน.
ทั้งสูตร Laplace: 
ฟังก์ชั่นย้อนกลับ
ฟังก์ชั่นผกผันเพื่อแทนเจนต์และ Kotangent เป็น Arctanens และ Arkcotanence ตามลำดับ
Arctgennes, Arctg
ที่ไหน น. - ทั้งหมด
Arkkothangenes, Arcctg
ที่ไหน น. - ทั้งหมด
ข้อมูลอ้างอิง:
ใน. Bronstein, K.A. Semendyaev หนังสืออ้างอิงเกี่ยวกับคณิตศาสตร์สำหรับวิศวกรและนักเรียนของผู้เข้าร่วมงาน "LAN", 2009
Korn, Mathematics Directory สำหรับนักวิทยาศาสตร์และวิศวกร, 2012
สูตรในตรีโกณมิติมาก
จำไว้ว่าพวกเขายากมากเป็นไปไม่ได้เกือบจะเป็นไปไม่ได้ ในชั้นเรียนเด็กนักเรียนและนักเรียนจำนวนมากเพลิดเพลินไปกับการพิมพ์บนโปสเตอร์หนังสือและสมุดบันทึกโปสเตอร์บนผนังเปลในที่สุด และวิธีการสอบ?
อย่างไรก็ตามหากคุณดูสูตรเหล่านี้คุณจะพบว่าพวกเขาทั้งหมดเชื่อมต่อกันและมีความสมมาตรบางอย่าง ลองวิเคราะห์พวกเขาโดยคำนึงถึงคำจำกัดความและคุณสมบัติของฟังก์ชันตรีโกณมิติเพื่อกำหนดขั้นต่ำที่คุ้มค่ากับการเรียนรู้ด้วยหัวใจ
ฉันกลุ่ม อัตลักษณ์ที่สำคัญ
บาป 2 α + cos 2 α \u003d 1;
tgα \u003d. ____ sinαcosα; ctgα \u003d. ____ cosαsinα ;
tgα·ctgα \u003d 1;
1 + tg 2 α \u003d _____ 1 cos 2 α; 1 + ctg 2 α \u003d _____ 1 บาป 2 α
กลุ่มนี้มีสูตรที่ง่ายที่สุดและเป็นที่นิยมมากที่สุด นักเรียนส่วนใหญ่รู้จักพวกเขา แต่ถ้ายังมีความยากลำบากจากนั้นจดจำสูตรสามตัวแรกจินตนาการถึงสามเหลี่ยมรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มี hypothenuclear เท่ากับหนึ่ง จากนั้นชุดชนชั้นของมันจะเท่ากันตามลำดับSinαเพื่อกำหนดไซนัส (อัตราส่วนของ Catech ที่ตรงกันข้ามกับด้านตรงข้ามมุมฉาก) และCosαเพื่อกำหนดโคไซน์ (อัตราส่วนของ Catech ที่อยู่ติดกันสำหรับด้านตรงกลาง)
สูตรแรกคือทฤษฎีบท Pythagoras สำหรับสามเหลี่ยมดังกล่าว - ผลรวมของสี่เหลี่ยมของธัญพืชเท่ากับสี่เหลี่ยมจัตุรัสของด้านตรงข้ามมุมฉาก (1 2 \u003d 1) ที่สองและสามคือคำจำกัดความของแทนเจนต์ (อัตราส่วนของ หมวดหมู่ตรงข้ามกับที่อยู่ติดกัน) และ Catangen (อัตราส่วนของหมวดหมู่ที่อยู่ติดกันไปทางตรงกันข้าม)
งานของ Tangent on Kotangenes คือ 1 เนื่องจาก catangent ที่บันทึกไว้ในรูปแบบของเศษส่วน (สูตรที่สาม) เป็นแบบแทนเจนต์คว่ำ (สูตรที่สอง) การพิจารณาครั้งสุดท้ายโดยวิธีการทำให้สามารถยกเว้นจากสูตรที่จำเป็นต่อการจดจำสูตรยาวที่ตามมาทั้งหมดด้วย Kotangent หากคุณจะได้พบกับCTGαในงานที่ยากลำบากเพียงแค่แทนที่ด้วยเศษส่วน ___ 1 tgα และใช้สูตรสำหรับสัมผัส
สองสูตรสองสูตรไม่สามารถจดจำได้ พวกเขามีน้อยทั่วไป และถ้าคุณต้องการคุณสามารถถอนพวกเขาได้เสมอในร่างใหม่ ในการทำเช่นนี้ก็เพียงพอที่จะทดแทนแทนการสัมผัสหรือสัมผัสกับคำจำกัดความของพวกเขาหลังจากเศษเสี้ยว (สูตรที่สองและสามตามลำดับ) และนำไปสู่การแสดงออกไปยังตัวหารทั่วไป แต่เป็นสิ่งสำคัญที่ต้องจำไว้ว่าสูตรดังกล่าวที่ผูกกำลังสองของการแทนเจนต์และโคไซน์และสี่เหลี่ยมจัตุรัสและไซนัสมีอยู่ มิฉะนั้นคุณไม่สามารถเดาว่าจำเป็นต้องแปลงใดในการแก้ปัญหาเฉพาะ
กลุ่ม II นอกจากนี้
บาป (α + β) \u003d sinα·cosβ + cosα·sinβ;
sin (α - β) \u003d sinα·cosβ - cosα·sinβ;
cos (α + β) \u003d cosα·cosβ - sinα·sinβ;
cos (α - β) \u003d cosα·cosβ + sinα·sinβ;
tg (α + β) \u003d tgα + tgβ _________ 1 - tgα·tgβ;
tg (α - β) \u003d
จำความถูกต้องของความเท่าเทียมกัน / ความผิดปกติของฟังก์ชันตรีโกณมิติ:
บาป (-α) \u003d - บาป (α); cos (-α) \u003d cos (α); TG (-α) \u003d - TG (α)
ของฟังก์ชั่นตรีโกณมิติทั้งหมดเพียงโคไซน์เป็นฟังก์ชั่นแม้กระทั่งและไม่เปลี่ยนเครื่องหมายเมื่อเปลี่ยนเครื่องหมายอาร์กิวเมนต์ (มุม) ฟังก์ชั่นที่เหลืออยู่นั้นแปลก ความแม่นยำของฟังก์ชั่นในความเป็นจริงหมายความว่าสามารถทำเครื่องหมายลบได้และนำสัญญาณฟังก์ชั่นออกมา ดังนั้นหากคุณพบการแสดงออกตรีโกณมิติที่มีความแตกต่างของสองมุมคุณสามารถเข้าใจได้ว่ามันเป็นผลรวมของมุมบวกและเชิงลบ
ตัวอย่างเช่น, บาป ( เอ็กซ์ - 30º) \u003d บาป ( เอ็กซ์ + (-30º))
ต่อไปเราใช้ผลรวมสูตรของสองมุมและจัดการกับสัญญาณ:
บาป ( เอ็กซ์ + (-30º)) \u003d บาป เอ็กซ์· COS (-30º) + cos เอ็กซ์·บาป (-30º) \u003d
\u003d บาป เอ็กซ์·COS30º - COS เอ็กซ์·Sin30º
ดังนั้นสูตรทั้งหมดที่มีความแตกต่างของมุมสามารถข้ามได้ในการท่องจำครั้งแรก จากนั้นคุณควรเรียนรู้ที่จะกู้คืนโดยทั่วไปเป็นครั้งแรกในร่างและจากนั้นจิตใจ
ตัวอย่างเช่น TG (α - β) \u003d TG (α + (-β)) \u003d TGα + TG (-ins) ___________ 1 - TGα· TG (-β) = tgα - tgβ _________ 1 + tgα·tgβ
สิ่งนี้จะช่วยในการเดาได้เร็วขึ้นซึ่งการเปลี่ยนแปลงใดที่ต้องใช้ในการแก้ปัญหาตรีโกณมิติ
กลุ่ม SH สูตรของอาร์กิวเมนต์หลายข้อ
sIN2α \u003d 2 ·Sinα·cosα;
cos2α \u003d cos 2 α - Sin 2 α;
tg2α \u003d. 2tgα _______ 1 - TG 2 α;
sin3α \u003d 3sinα - 4 ซิน 3 α;
cos3α \u003d 4cos 3 α - 3cosα
จำเป็นต้องใช้สูตรสำหรับไซน์และโคไซน์ของมุมสองครั้งที่เกิดขึ้นบ่อยครั้งสำหรับสัมผัสกันเช่นกัน สูตรเหล่านี้ควรเป็นที่รู้จักของหัวใจ นอกจากนี้ยังไม่มีปัญหาในการท่องจำของพวกเขา ครั้งแรกสูตรสั้น ประการที่สองพวกเขาควบคุมได้อย่างง่ายดายโดยสูตรของกลุ่มก่อนหน้านี้ตามความจริงที่ว่า2α \u003d α + α
ตัวอย่างเช่น:
บาป (α + β) \u003d sinα·cosβ + cosα·sinβ;
SIN (α + α) \u003d sinα·cosα + cosα·sinα;
sin2α \u003d 2sinα·cosα
อย่างไรก็ตามหากคุณได้เรียนรู้สูตรเหล่านี้เร็วขึ้นและไม่ใช่คนก่อนหน้านี้คุณสามารถทำหน้าที่ในทางตรงกันข้าม: เพื่อจดจำสูตรสำหรับผลรวมของสองมุมโดยสูตรที่สอดคล้องกันสำหรับมุมคู่
ตัวอย่างเช่นหากคุณต้องการสูตร Cosine ของผลรวมของสองมุม:
1) จำได้ว่าสูตรคู่มุม cosine: cos2 เอ็กซ์ \u003d cos 2. เอ็กซ์ - บาป 2. เอ็กซ์;
2) เราวาดมันนาน: เพราะ เอ็กซ์ + เอ็กซ์) \u003d cos เอ็กซ์·เพราะ เอ็กซ์ - บาป เอ็กซ์·บาป เอ็กซ์;
3) แทนที่หนึ่ง เอช. บนα, ที่สองในβ: cos (α + β) \u003d cosα·cosβ - sinα·sinβ
ทำซ้ำในทำนองเดียวกันเพื่อเรียกคืนสูตรสำหรับ Sine Sum และ Tangent จำนวนเงิน ในกรณีที่รับผิดชอบเช่น EGE ตรวจสอบความถูกต้องของสูตรที่ลดลงในไตรมาสแรกที่รู้จักกันดี: 0º, 30º, 45º, 60º, 90º
การตรวจสอบสูตรก่อนหน้า (ที่ได้รับจากการแทนที่ในบรรทัดที่ 3):
อนุญาต α \u003d 60 °, β \u003d 30 °, α + β \u003d 90 °,
จากนั้น cOS (α + β) \u003d cos90 ° \u003d 0, cosα \u003d cos60 ° \u003d 1/2, cosβ \u003d cos30 ° \u003d √3 _
/ 2, sinα \u003d sin60 ° \u003d √3 _
/ 2, sinβ \u003d sin30 ° \u003d 1/2;
เราแทนที่ค่าในสูตร: 0 \u003d (1/2) · ( √3_
/2) − (√3_
/ 2) · (1/2);
0 ≡ 0, ตรวจไม่พบข้อผิดพลาด
สูตรสำหรับมุมสามในความคิดของฉันไม่จำเป็นต้อง "เครื่องมือ" พวกเขาไม่ค่อยพบในการสอบของ EGE พวกเขาได้รับมาจากสูตรที่สูงขึ้นได้ง่ายเพราะ SIN3α \u003d SIN (2α + α) และนักเรียนเหล่านั้นที่มีเหตุผลบางอย่างยังต้องเรียนรู้สูตรเหล่านี้ด้วยใจฉันแนะนำให้คุณให้ความสนใจกับ "สมมาตร" ของพวกเขาและจำไว้ว่าไม่ใช่สูตรตัวเอง แต่กฎการลดลง ตัวอย่างเช่นลำดับที่ตัวเลขอยู่ในสองสูตร "33433433" ฯลฯ
กลุ่ม IV จำนวน / ความแตกต่าง -
sinα + Sinβ \u003d 2 ·บาป α + β ____ 2·เพราะ α - β ____ 2 ;
sinα - Sinβ \u003d 2 ·บาป α - β ____ 2·เพราะ α + β ____ 2 ;
cosα + cosβ \u003d 2 · cos α + β ____ 2·เพราะ α - β ____ 2 ;
cosα - cosβ \u003d -2 ·บาป α - β ____ 2·บาป α + β ____ 2 ;
tgα + tgβ \u003d บาป (α + β) ________ cosα·cosβ ;
tgα - tgβ \u003d บาป (α - β) ________ cosα·cosβ .
การใช้ความแม่นยำของฟังก์ชั่นของไซนัสและสัมผัส: บาป (-α) \u003d - บาป (α); tg (-α) \u003d - TG (α)
คุณสามารถสูตรสำหรับความแตกต่างของสองฟังก์ชั่นเพื่อลดสูตรสำหรับผลรวมของพวกเขา ตัวอย่างเช่น,
sin90º - Sin30º \u003d Sin90º + Sin (-30º) \u003d 2 ·บาป 90º + (-30º) __________ 2·เพราะ 90º - (-30º) __________ 2 =
2 ·Sin30º·COS60º \u003d 2 · (1/2) · (1/2) \u003d 1/2
ดังนั้นสูตรของความแตกต่างของไซนัสและการแทนเจนต์ไม่จำเป็นต้องจดจำทันที
ด้วยผลรวมและความแตกต่างของโคไซน์สถานการณ์มีความซับซ้อนมากขึ้น สูตรเหล่านี้ไม่สามารถใช้แทนกันได้ แต่อีกครั้งโดยใช้ความเท่าเทียมกันของโคไซน์คุณสามารถจดจำกฎต่อไปนี้
จำนวนCosα + cosβไม่สามารถเปลี่ยนเครื่องหมายสำหรับการเปลี่ยนแปลงใด ๆ ในสัญญาณของมุมดังนั้นผลิตภัณฑ์ควรประกอบด้วยฟังก์ชั่นแม้ สองโคไซน์
เครื่องหมายความแตกต่างของCOSα - cosβนั้นขึ้นอยู่กับค่าของฟังก์ชั่นของตัวเองซึ่งหมายความว่าเครื่องหมายงานควรขึ้นอยู่กับความสัมพันธ์ของมุมดังนั้นผลิตภัณฑ์ควรประกอบด้วยฟังก์ชั่นแปลก ๆ I.e สองไซน์
อย่างไรก็ตามสูตรกลุ่มนี้ไม่ใช่วิธีที่ง่ายที่สุดในการจดจำ นี่เป็นกรณีที่ดีกว่าที่จะลับคม แต่ตรวจสอบมากขึ้น เพื่อป้องกันข้อผิดพลาดในสูตรในการสอบที่กำหนดให้แน่ใจว่าได้บันทึกครั้งแรกในร่างและตรวจสอบสองวิธี การทดแทนครั้งแรกβ \u003d αและβ \u003d -αแล้วโดยค่าที่รู้จักของฟังก์ชั่นสำหรับมุมที่เรียบง่าย ในการทำเช่นนี้เป็นการดีที่สุดที่จะใช้90ºและ 30 ºตามที่ทำในตัวอย่างข้างต้นเพราะครึ่งอาหารและการตกตะกอนของค่าเหล่านี้ให้มุมที่เรียบง่ายอีกครั้งและคุณสามารถดูว่าความเสมอภาคกลายเป็นตัวตนของ ตัวเลือกที่ถูกต้อง หรือในทางตรงกันข้ามไม่ได้ดำเนินการหากคุณเข้าใจผิด
ตัวอย่างการตรวจสอบสูตรcosα - cosβ \u003d 2 ·บาป α - β ____ 2·บาป α + β ____ 2 สำหรับความแตกต่างของโคไซน์ ด้วยความผิดพลาด !
1) ให้ \u003d α, จากนั้นcosα - cosα \u003d 2 ·บาป α - α _____ 2·บาป α + α _____ 2 \u003d 2sin0 ·sinα \u003d 0 ·sinα \u003d 0. cosα - cosα≡ 0
2) ให้ \u003d - α, จากนั้นcosα - cos (- α) \u003d 2 ·บาป α - (-α) _______ 2·บาป α + (-α) _______ 2 \u003d 2sinα· SIN0 \u003d 0 ·sinα \u003d 0. cosα - cos (- α) \u003d cosα - cosα≡ 0
การตรวจสอบเหล่านี้แสดงให้เห็นว่าฟังก์ชั่นในสูตรถูกใช้อย่างถูกต้อง แต่เนื่องจากความจริงที่ว่าตัวตนได้รับประเภท 0 ≡ 0 ข้อผิดพลาดที่มีเครื่องหมายหรือค่าสัมประสิทธิ์อาจพลาดได้ เราทำการตรวจสอบครั้งที่สาม
3) ให้α \u003d 90º, β \u003d 30º, จากนั้นcos90º - cos30º \u003d 2 ·บาป 90º - 30º ________ 2·บาป 90º + 30º ________ 2 \u003d 2sin30º·Sin60º \u003d 2 · (1/2) · (√3 _ /2) = √3_ /2.
cos90 - cos30 \u003d 0 - √3 _ /2 = −√3_ /2 ≠ √3_ /2.
ข้อผิดพลาดนั้นอยู่ในเครื่องหมายและเฉพาะในเครื่องหมายก่อนการทำงาน
วง v ทำงาน - ในจำนวน / ความแตกต่าง
sinα·sinβ \u003d 1 _ 2 · (COS (α - β) - COS (α + β));
cosα·cosβ \u003d 1 _ 2 · (COS (α - β) + cos (α + β));
sinα·cosβ \u003d 1 _ 2 · (บาป (α - β) + บาป (α + β))
ชื่อของกลุ่มที่ห้าของสูตรตัวเองชี้ให้เห็นว่าสูตรเหล่านี้มีการย้อนกลับไปสู่การเคารพต่อกลุ่มก่อนหน้า เป็นที่ชัดเจนว่าในกรณีนี้มันง่ายกว่าที่จะคืนค่าสูตรในร่างมากกว่าที่จะเรียนรู้อีกครั้งเพิ่มความเสี่ยงในการสร้าง "โจ๊กในหัว" สิ่งเดียวที่เหมาะสมที่จะมุ่งเน้นไปที่การกู้คืนสูตรที่เร็วขึ้นเหล่านี้คือความเสมอภาคต่อไปนี้ (ตรวจสอบพวกเขา):
α = α + β ____ 2 + α - β ____ 2; β = α + β ____ 2 − α - β ____ 2.
พิจารณา ตัวอย่าง: จำเป็นต้องแปลง SIN5 เอ็กซ์· COS3 เอ็กซ์ ในผลรวมของสองฟังก์ชั่นตรีโกณมิติ
เนื่องจากการทำงานรวมถึงไซนัสและโคไซน์จากนั้นเราจะรับจากกลุ่มก่อนหน้านี้สูตรสำหรับปริมาณไซนัสซึ่งได้เรียนรู้แล้วและเขียนมันลงในร่าง
sinα + Sinβ \u003d 2 ·บาป α + β ____ 2·เพราะ α - β ____ 2
ให้ 5 เอ็กซ์ = α + β ____ 2 และ 3. เอ็กซ์ = α - β ____ 2 จากนั้นα \u003d α + β ____ 2 + α - β ____ 2 = 5เอ็กซ์ + 3เอ็กซ์ = 8เอ็กซ์, β = α + β ____ 2 − α - β ____ 2 = 5เอ็กซ์ − 3เอ็กซ์ = 2เอ็กซ์.
เราแทนที่ในสูตรในร่างค่าของมุมที่แสดงผ่านตัวแปรαและβในค่าของมุมที่แสดงผ่านตัวแปร เอ็กซ์.
รับ sin8. เอ็กซ์ + SIN2 เอ็กซ์ \u003d 2 · Sin5 เอ็กซ์· COS3 เอ็กซ์
เราแบ่งทั้งสองส่วนของความยุติธรรมเป็นเวลา 2 และเขียนไปที่รอบสุดท้ายทางซ้ายขวา sin5 เอ็กซ์· COS3 เอ็กซ์ = 1 _ 2 (SIN8. เอ็กซ์ + SIN2 เอ็กซ์). คำตอบพร้อมแล้ว
เป็นการออกกำลังกาย: อธิบายว่าทำไมในสูตรตำราเรียนสำหรับการเปลี่ยนจำนวน / ความแตกต่างในการทำงานของ 6 และผกผัน (สำหรับการแปลงผลิตภัณฑ์เป็นผลรวมหรือความแตกต่าง) - เพียง 3 เท่านั้นกลุ่ม VI สูตรลดระดับ
cos 2 α \u003d 1 + cos2α _________ 2;
บาป 2 α \u003d 1 - cos2α _________ 2;
cos 3 α \u003d 3cosα + cos3α ____________ 4;
บาป 3 α \u003d 3Sinα - SIN3α ____________ 4.
สองสูตรสองประการแรกของกลุ่มนี้มีความจำเป็นมาก มันมักจะใช้ในการแก้สมการตรีโกณมิติรวมถึงระดับการสอบเดียวเช่นเดียวกับเมื่อการคำนวณอินทิกรัลที่มีฟังก์ชั่นธาตุของประเภทตรีโกณมิติ
มันอาจจะจำได้ง่ายกว่าในรูปแบบ "หนึ่งชั้น" ต่อไปนี้
2cos 2 α \u003d 1 + cos2α;
2 Sin 2 α \u003d 1 - cos2α,
และคุณสามารถแบ่งออกเป็น 2 หรือในร่างได้เสมอ
จำเป็นต้องใช้สูตรสองสูตรต่อไปนี้ (กับลูกบาศก์ของฟังก์ชั่น) ในการสอบนั้นมีน้อยมาก ในการตั้งค่าอื่นคุณจะมีเวลาใช้ร่างเสมอ ตัวเลือกต่อไปนี้เป็นไปได้:
1) หากคุณจำสองสูตรสองของกลุ่มที่สามจากนั้นใช้เพื่อแสดงความบาป 3 αและ cos 3 αโดยการแปลงอย่างง่าย
2) ถ้าในสองสูตรสุดท้ายของกลุ่มนี้คุณสังเกตเห็นองค์ประกอบของสมมาตรซึ่งนำไปสู่การท่องจำของพวกเขาจากนั้นเขียนภาพร่างของสูตรในร่างและตรวจสอบโดยค่าของมุมหลัก
3) นอกจากนี้นอกจากนี้สูตรการลดระดับดังกล่าวมีอยู่คุณไม่ทราบอะไรเกี่ยวกับพวกเขาจากนั้นแก้ปัญหาในขั้นตอนตามความจริงที่ว่าบาป 3 α \u003d Sin 2 α·Sinαและสูตรอื่น ๆ ที่เรียนรู้ สูตรลดระดับสำหรับสแควร์และสูตรสำหรับการเปลี่ยนแปลงงานในจำนวนเงิน
VII กลุ่ม ครึ่งอาร์กิวเมนต์
บาป. α _ 2 = ± √ 1 - cosα ________ 2;_____
cos. α _ 2 = ± √ 1 + cosα ________ 2;_____
tg α _ 2 = ± √ 1 - cosα ________ 1 + cosα_____
ฉันไม่เห็นประเด็นในการจดจำด้วยหัวใจของสูตรกลุ่มนี้ในรูปแบบที่พวกเขานำเสนอในตำราเรียนและหนังสืออ้างอิง ถ้าคุณเข้าใจว่า αคือครึ่งหนึ่งของ2α ว่านี่เพียงพอที่จะได้รับสูตรครึ่งหนึ่งของการโต้เถียงครึ่งที่ต้องการโดยใช้สูตรสองสูตรแรกเพื่อลดระดับ
นอกจากนี้ยังใช้กับการสัมผัสมุมครึ่งหนึ่งสูตรที่ได้รับจากการหารนิพจน์สำหรับไซนัสไปยังนิพจน์ที่สอดคล้องกันสำหรับโคไซน์
อย่าลืมเมื่อถอดรากสแควร์ออกเพื่อใส่เครื่องหมาย ± .
VIII กลุ่ม การทดแทนสากล
sinα \u003d 2TG (α / 2) _________ 1 + TG 2 (α / 2);
cosα \u003d 1 - TG 2 (α / 2) __________ 1 + TG 2 (α / 2);
tgα \u003d. 2TG (α / 2) _________ 1 - TG 2 (α / 2)
สูตรเหล่านี้อาจมีประโยชน์อย่างยิ่งสำหรับการแก้ปัญหาตรีโกณมิติทุกประเภท พวกเขาอนุญาตให้คุณตระหนักถึงหลักการของ "หนึ่งอาร์กิวเมนต์เป็นฟังก์ชั่นเดียว" ซึ่งช่วยให้คุณสามารถเปลี่ยนตัวแปรที่ช่วยลดนิพจน์ตรีโกณมิติที่ซับซ้อนไปยังพีชคณิต ไม่น่าแปลกใจที่การทดแทนนี้เรียกว่าสากล
สูตรสองสูตรแรกเรียนรู้ต้อง คนที่สามสามารถรับได้โดยการหารสองคนแรกในแต่ละอื่น ๆ ด้วยคำจำกัดความของTGα Tangent \u003d sinα ___ cosα
กลุ่ม IX สูตรการเรียกร้อง
เพื่อจัดการกับสูตรตรีโกณมิติกลุ่มนี้ FieX Group ค่าสำหรับมุมหลัก
ค่าของฟังก์ชั่นตรีโกณมิติสำหรับมุมหลักของไตรมาสแรกจะได้รับดังนั้นทำ เอาท์พุท: สูตรตรีโกณมิติจำเป็นต้องรู้ ใหญ่กว่าดีกว่า. แต่สิ่งที่ต้องใช้เวลาและความพยายามของคุณ - เพื่อจดจำสูตรหรือในการฟื้นตัวของพวกเขาในกระบวนการแก้ปัญหาทุกคนควรแก้ปัญหาอย่างอิสระ
ตัวอย่างของงานของการใช้สูตรตรีโกณมิติ
แก้สมการ sin5 เอ็กซ์· COS3 เอ็กซ์ - SIN8 เอ็กซ์· COS6 เอ็กซ์ = 0.เรามีฟังก์ชั่นสองฟังก์ชั่นที่แตกต่างกัน () และ cos () และสี่! ข้อโต้แย้งที่แตกต่างกัน 5. เอ็กซ์, 3เอ็กซ์, 8เอ็กซ์ และ 6. เอ็กซ์. หากไม่มีการเปลี่ยนแปลงเบื้องต้นก็จะเป็นไปไม่ได้ที่จะลดสมการตรีโกณมิติประเภทที่ง่ายที่สุด ดังนั้นก่อนอื่นเราจึงพยายามเปลี่ยนงานเกี่ยวกับจำนวนเงินหรือความแตกต่างของฟังก์ชั่น
เราทำเช่นเดียวกันกับตัวอย่างข้างต้น (ดูส่วน)
บาป (5. เอ็กซ์ + 3เอ็กซ์) + บาป (5) เอ็กซ์ − 3เอ็กซ์) \u003d 2 · Sin5 เอ็กซ์· COS3 เอ็กซ์
sin8. เอ็กซ์ + SIN2 เอ็กซ์ \u003d 2 · Sin5 เอ็กซ์· COS3 เอ็กซ์
บาป (8. เอ็กซ์ + 6เอ็กซ์) + บาป (8) เอ็กซ์ − 6เอ็กซ์) \u003d 2 · Sin8 เอ็กซ์· COS6 เอ็กซ์
sin14 เอ็กซ์ + SIN2 เอ็กซ์ \u003d 2 · Sin8 เอ็กซ์· COS6 เอ็กซ์
การแสดงผลงานจากความเท่าเทียมกันเหล่านี้เราก็ทดแทนพวกเขาต่อสมการ เราได้รับ:
(SIN8. เอ็กซ์ + SIN2 เอ็กซ์) / 2 - (SIN14 เอ็กซ์ + SIN2 เอ็กซ์)/2 = 0.
เราคูณ 2 ของทั้งสองส่วนของสมการเปิดเผยวงเล็บและให้สมาชิกดังกล่าว
sin8. เอ็กซ์ + SIN2 เอ็กซ์ - SIN14 เอ็กซ์ - SIN2 เอ็กซ์ = 0;
sin8. เอ็กซ์ - SIN14 เอ็กซ์ = 0.
สมการได้ง่ายขึ้นอย่างมีนัยสำคัญ แต่เพื่อแก้ปัญหา SIN8 เอ็กซ์ \u003d sin14 เอ็กซ์ดังนั้น 8. เอ็กซ์ = 14เอ็กซ์ + T ซึ่ง T - ช่วงเวลาไม่ถูกต้องเนื่องจากเราไม่ทราบมูลค่าของช่วงเวลานี้ ดังนั้นเราจึงใช้สิ่งที่อยู่ในส่วนที่เหมาะสมของความเสมอภาคมันมีค่า 0 ซึ่งเป็นเรื่องง่ายที่จะเปรียบเทียบตัวคูณในการแสดงออกใด ๆ
เพื่อย่อยสลาย SIN8 เอ็กซ์ - SIN14 เอ็กซ์ สำหรับตัวคูณคุณต้องไปจากความแตกต่างกับงาน เมื่อต้องการทำเช่นนี้คุณสามารถใช้สูตรความแตกต่างของไซนัสหรืออีกครั้งผลรวมของรูจมูกและความแปลกประหลาดของฟังก์ชั่นไซนัส (ดูตัวอย่างในส่วน)
sin8. เอ็กซ์ - SIN14 เอ็กซ์ \u003d sin8 เอ็กซ์ + บาป (-14 เอ็กซ์) \u003d 2 ·บาป 8เอ็กซ์ + (−14เอ็กซ์) __________ 2 ·เพราะ 8เอ็กซ์ − (−14เอ็กซ์) __________ 2 \u003d บาป (-3) เอ็กซ์) · COS11 เอ็กซ์ \u003d -sin3 เอ็กซ์· COS11 เอ็กซ์.
ดังนั้นสมการ Sin8 เอ็กซ์ - SIN14 เอ็กซ์ \u003d 0 เทียบเท่ากับสมการ SIN3 เอ็กซ์· COS11 เอ็กซ์ \u003d 0 ซึ่งในทางกลับกันเทียบเท่ากับการรวมกันของสมการ sin3 ที่เรียบง่ายสองอัน เอ็กซ์ \u003d 0 และ cos11 เอ็กซ์ \u003d 0 การแก้ปัญหาหลังเราได้รับการตอบรับสองชุด
เอ็กซ์ 1 \u003d π น./3, น.εz.
เอ็กซ์ 2 \u003d π / 22 + π เค./11, เค.εz.
หากคุณตรวจพบข้อผิดพลาดหรือแบบฉบับในข้อความโปรดแจ้งไปยังที่อยู่อีเมล [อีเมลได้รับการป้องกัน] . ฉันจะขอบคุณมาก
ความสนใจ© mathematichka. ห้ามคัดลอกโดยตรงของวัสดุในเว็บไซต์อื่น ๆ วางลิงค์
งาน.
ค้นหาค่าของ x ที่
การตัดสินใจ
ค้นหาค่าของฟังก์ชั่นของฟังก์ชั่นที่เท่ากับค่าใด ๆ หมายถึงการกำหนดที่อาร์กิวเมนต์ที่มีขนาดของไซน์จะตรงตามที่ระบุไว้ในเงื่อนไข
ในกรณีนี้เราต้องค้นหาสิ่งที่ค่าไซนัสจะเป็น 1/2 สามารถทำได้หลายวิธี
ตัวอย่างเช่นการใช้วิธีการพิจารณาว่าค่า x ฟังก์ชั่นไซนัสจะเป็น 1/2
อีกวิธีคือการใช้ ให้ฉันเตือนคุณว่าค่าไซนัสอยู่ที่แกนอู
วิธีที่พบมากที่สุดคือการดึงดูดโดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าเรากำลังพูดถึงค่าของฟังก์ชั่นมาตรฐานดังกล่าวเป็น 1/2
ในทุกกรณีคุณไม่ควรลืมหนึ่งในคุณสมบัติที่สำคัญที่สุดของไซนัส - เกี่ยวกับช่วงเวลาของเขา
ค้นหาในค่าตาราง 1/2 สำหรับไซนัสและลองดูว่าข้อโต้แย้งใดที่สอดคล้องกับมัน ข้อโต้แย้งที่คุณสนใจคือ PI / 6 และ 5P / 6
เราเขียนรากทั้งหมดที่ตอบสนองสมการที่ระบุ เมื่อต้องการทำเช่นนี้เขียนถึงเราอาร์กิวเมนต์ที่ไม่รู้จักและหนึ่งในค่าของอาร์กิวเมนต์ที่ได้จากตารางนั่นคือ PI / 6 เราเขียนถึงมันเนื่องจากระยะเวลาของไซน์ค่าทั้งหมดของ ข้อโต้แย้ง:
ใช้ค่าที่สองและเราทำขั้นตอนเดียวกับในกรณีก่อนหน้า:
โซลูชันที่สมบูรณ์ของสมการต้นทางจะเป็น: 
และ 
ถาม สามารถใช้ค่าของจำนวนเต็มใด ๆ
ในหน้านี้คุณจะพบสูตรตรีโกณมิติหลักทั้งหมดที่จะช่วยให้คุณแก้ปัญหาการออกกำลังกายได้อย่างมีนัยสำคัญการแสดงออกของตัวเอง
สูตรตรีโกณมิติ - ความเสมอภาคทางคณิตศาสตร์สำหรับฟังก์ชั่นตรีโกณมิติที่ดำเนินการด้วยค่าที่ถูกต้องทั้งหมดของอาร์กิวเมนต์
สูตรจะได้รับจากความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชั่นตรีโกณมิติหลัก - ไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์, Kotangent
ไซน์ของมุมเป็นพิกัดของจุด (บวช) บนวงกลมเดียว Cosine Angle เป็นพิกัด X Point (Abscissa)
แทนเจนต์และ Kotangenes เป็นไปตามอัตราส่วนของไซน์กับโคไซน์และในทางกลับกัน
`Sin \\ \\ \\ Alpha, \\ Cos \\ \\ Alpha`
`tg \\ \\ alpha \u003d \\ frac (sin \\ \\ alpha) (cos \\ \\ alpha),` `\\ alpha \\ ne \\ frac \\ pi2 + \\ pi n, \\ n \\ in z`
`ctg \\ \\ alpha \u003d \\ frac (cos \\ \\ alpha) (sin \\ \\ alpha),` `\\ alpha \\ ne \\ pi + \\ pi n, \\ n \\ in z`
และทั้งสองซึ่งใช้น้อยกว่า - เซสชัน Sosekans พวกเขาแสดงถึงอัตราส่วน 1 เพื่อโคไซน์และไซนัส
`วินาที \\ \\ \\ alpha \u003d \\ frac (1) (cos \\ \\ alpha),` `\\ alpha \\ ne \\ frac \\ pi2 + \\ pi n, \\ n \\ in z`
`cosec \\ \\ alpha \u003d \\ frac (1) (sin \\ \\ alpha),` `'\\ alpha \\ ne \\ pi + \\ pi n, \\ n \\ in in z`
ของคำจำกัดความของฟังก์ชั่นตรีโกณมิติคุณสามารถดูว่ามีสัญญาณใดที่พวกเขามีในทุกไตรมาส ฟังก์ชั่นของฟังก์ชั่นขึ้นอยู่กับการโต้แย้งเท่านั้นที่เป็นอาร์กิวเมนต์เท่านั้น
เมื่ออาร์กิวเมนต์เข้าสู่ระบบการเปลี่ยนแปลงด้วย "+" เป็น "-" เฉพาะฟังก์ชั่นโคไซน์เท่านั้นที่ไม่เปลี่ยนค่า มันถูกเรียกว่าแม้กระทั่ง กราฟของมันสมมาตรเกี่ยวกับแกนของการบวช
ฟังก์ชั่นที่เหลืออยู่ (Sinus, Tangent, Catangent) เป็นเลขคี่ เมื่อเปลี่ยนสัญลักษณ์ของอาร์กิวเมนต์ด้วย "+" เป็น "-" ความหมายของพวกเขาก็เปลี่ยนเป็นลบด้วย กราฟของพวกเขามีความสมมาตรในการเริ่มต้นของพิกัด
`Sin (- \\ Alpha) \u003d - Sin \\ \\ Alpha`
`cos (- \\ alpha) \u003d cos \\ \\ alpha`
`tg (- \\ alpha) \u003d - tg \\ \\ alpha`
`ctg (- \\ alpha) \u003d - ctg \\ \\ alpha`
อัตลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน
อัตลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐานเป็นสูตรที่สร้างการสื่อสารระหว่างฟังก์ชั่นตรีโกณมิติของมุมหนึ่ง (`sin \\ \\ alpha, \\ cos \\ \\ alpha, \\ tg \\ \\ alpha, \\ ctg \\ \\ alpha`) และซึ่งช่วยให้คุณค้นหาค่าของ แต่ละฟังก์ชั่นเหล่านี้ผ่านผู้มีชื่อเสียงอื่น ๆ
`บาป ^ 2 \\ alpha + cos ^ 2 \\ alpha \u003d 1`
`tg \\ \\ \\ alpha \\ cdot ctg \\ \\ alpha \u003d 1, \\ \\ alpha \\ ne \\ frac (\\ pi n) 2, \\ n \\ in z '
`1 + tg ^ 2 \\ alpha \u003d \\ frac 1 (cos ^ 2 \\ alpha) \u003d วินาที ^ 2 \\ alpha,` `\\ alpha \\ ne \\ frac \\ pi2 + \\ pi n, \\ n \\ in z`
`1 + ctg ^ 2 \\ alpha \u003d \\ frac 1 (SIN ^ 2 \\ alpha) \u003d cosec ^ 2 \\ alpha,` `\\ alpha \\ ne \\ pi n, \\ n \\ in z`
สูตรของผลรวมและความแตกต่างของมุมของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
สูตรของการบวกและการลบอาร์กิวเมนต์แสดงฟังก์ชั่นตรีโกณมิติของผลรวมหรือความแตกต่างของสองมุมผ่านฟังก์ชั่นตรีโกณมิติของมุมเหล่านี้
`บาป (\\ alpha + \\ beta) \u003d` `Sin \\ \\ Alpha \\ cos \\ \\ Beta + Cos \\ \\ Alpha \\ Sin \\ \\ Beta`
`Sin (\\ Alpha- \\ Beta) \u003d` `Sin \\ \\ Alpha \\ Cos \\ \\ Beta-cos \\ \\ Alpha \\ Sin \\ \\ Beta`
`cos (\\ alpha + \\ beta) \u003d` `cos \\ \\ alpha \\ cos \\ \\ beta-sin \\ \\ alpha \\ sin \\ \\ beta`
`cos (\\ alpha- \\ beta) \u003d` `cos \\ \\ Alpha \\ cos \\ \\ Beta + Sin \\ \\ Alpha \\ Sin \\ \\ \\ Beta`
`tg (\\ alpha + \\ beta) \u003d \\ frac (tg \\ \\ alpha + tg \\ \\ beta) (1-tg \\ \\ alpha \\ tg \\ \\ beta)`
`tg (\\ alpha- \\ beta) \u003d \\ frac (tg \\ \\ alpha-tg \\ \\ beta) (1 + tg \\ \\ alpha \\ tg \\ \\ beta)`
`CTG (\\ alpha + \\ beta) \u003d \\ frac (ctg \\ \\ alpha \\ ctg \\ \\ beta-1) (ctg \\\\ beta + ctg \\ \\ alpha)`
`ctg (\\ alpha- \\ beta) \u003d \\ frac (ctg \\ \\ alpha \\ ctg \\ \\ beta + 1) (ctg \\ \\ beta-ctg \\ \\ alpha)`
สูตรมุมคู่
`Sin \\ 2 \\ Alpha \u003d 2 \\ Sin \\ \\ Alpha \\ Cos \\ \\ Alpha \u003d` `\\ frac (2 \\ tg \\ \\ Alpha) (1 + TG ^ 2 \\ Alpha) \u003d \\ FRAC (2 \\ ctg \\ \\ Alpha ) (1 + ctg ^ 2 \\ alpha) \u003d `` \\ frac 2 (tg \\ \\ alpha + ctg \\ \\ alpha) `
`cos \\ 2 \\ alpha \u003d cos ^ 2 \\ alpha-บาป ^ 2 \\ alpha \u003d` `1-2 \\ บาป ^ 2 \\ alpha \u003d 2 \\ cos ^ 2 \\ alpha-1 \u003d` `\\ FRAC (1-TG ^ 2 \\ alpha) (1 + TG ^ 2 \\ alpha) \u003d \\ FRAC (CTG ^ 2 \\ alpha-1) (CTG ^ 2 \\ alpha + 1) \u003d `` \\ FRAC (CTG \\ \\ Alpha-TG \\ \\ อัลฟา) (CTG \\ \\ Alpha + TG \\ \\ Alpha) `
`tg \\ 2 \\ alpha \u003d \\ frac (2 \\ tg \\ \\ alpha) (1-tg ^ 2 \\ alpha) \u003d` `\\ frac (2 \\ ctg \\ \\ alpha) (ctg ^ 2 \\ alpha-1) \u003d` `\\ frac 2 (\\ ctg \\ \\ alpha-tg \\ \\ alpha)`
`ctg \\ 2 \\ alpha \u003d \\ frac (ctg ^ 2 \\ alpha-1) (2 \\ ctg \\ \\ alpha) \u003d` `\\ frac (\\ ctg \\ \\ alpha-tg \\ \\ alpha) 2`
สูตรของมุมสาม
`Sin \\ 3 \\ Alpha \u003d 3 \\ Sin \\ \\ Alpha-4Sin ^ 3 \\ Alpha`
`cos \\ 3 \\ alpha \u003d 4cos ^ 3 \\ alpha-3 \\ cos \\ \\ alpha`
`tg \\ 3 \\ alpha \u003d \\ frac (3 \\ tg \\ \\ alpha-tg ^ 3 \\ alpha) (1-3 \\ tg ^ 2 \\ alpha)`
`ctg \\ 3 \\ alpha \u003d \\ frac (ctg ^ 3 \\ alpha-3 \\ ctg \\ \\ alpha) (3 \\ ctg ^ 2 \\ alpha-1)`
สูตรครึ่งมุม
`Sin \\ \\ Frac \\ Alpha 2 \u003d \\ PM \\ SQRT (\\ FRAC (1-cos \\ \\ Alpha) 2)`
`cos \\ \\ frac \\ alpha 2 \u003d \\ pm \\ sqrt (\\ frac (1 + cos \\ \\ alpha) 2)`
`tg \\ \\ frac \\ alpha 2 \u003d \\ pm \\ sqrt (\\ frac (1-cos \\ \\ alpha) (1 + cos \\ \\ alpha)) \u003d` `\\ frac (sin \\ \\ alpha) (1 + cos \\ \\ Alpha) \u003d \\ FRAC (1-cos \\ \\ Alpha) (SIN \\ \\ Alpha) `
`ctg \\ \\ frac \\ alpha 2 \u003d \\ pm \\ sqrt (\\ frac (1 + cos \\ \\ alpha) (1-cos \\ \\ alpha)) \u003d` `\\ frac (sin \\ \\ alpha) (1-cos \\ \\ \\ Alpha) \u003d \\ FRAC (1 + cos \\ \\ Alpha) (SIN \\ \\ Alpha) `
สูตรของครึ่งหนึ่ง, ข้อโต้แย้งสองเท่าและสามอย่างแสดงถึงฟังก์ชั่น `บาป \\ cos, \\ tg, ctg` ของข้อโต้แย้งเหล่านี้ (` \\ frac (\\ alpha) 2, \\ 2 \\ Alpha, \\ 3 \\ Alpha, ... ) ผ่านฟังก์ชั่นเหล่านี้อาร์กิวเมนต์ `\\ Alpha`
ข้อสรุปสามารถรับได้จากกลุ่มก่อนหน้า (การบวกและการลบอาร์กิวเมนต์) ตัวอย่างเช่นตัวตนสองมุมเป็นเรื่องง่ายที่จะได้รับแทนที่ `\\ beta` on` \\ Alpha`
สูตรลดระดับ
สูตรสแควร์ (ก้อน ฯลฯ ) ของฟังก์ชั่นตรีโกณมิติช่วยให้คุณสามารถย้ายได้จาก 2.3, ... ระดับเป็นฟังก์ชั่นตรีโกณมิติของระดับแรก แต่หลายมุม (`\\ alpha, \\ 3 \\ Alpha, \\` หรือ ` 2 \\ alpha \\ ... 4 \\ alpha \\ ... `)
`Sin ^ 2 \\ Alpha \u003d \\ Frac (1-cos \\ 2 \\ Alpha) 2,` `(SIN ^ 2 \\ Frac \\ Alpha 2 \u003d \\ Frac (1-cos \\ \\ Alpha) 2)`
`cos ^ 2 \\ alpha \u003d \\ frac (1 + cos \\ 2 \\ alpha) 2,` `(cos ^ 2 \\ frac \\ alpha 2 \u003d \\ frac (1 + cos \\ \\ alpha) 2)`
`SIN ^ 3 \\ Alpha \u003d \\ Frac (3sin \\ \\ Alpha-Sin \\ 3 \\ Alpha) 4`
`cos ^ 3 \\ alpha \u003d \\ frac (3cos \\ \\ alpha + cos \\ 3 \\ alpha) 4`
`Sin ^ 4 \\ Alpha \u003d \\ Frac (3-4cos \\ 2 \\ Alpha + Cos \\ 4 \\ Alpha) 8`
`cos ^ 4 \\ alpha \u003d \\ frac (3 + 4cos \\ 2 \\ alpha + cos \\ 4 \\ alpha) 8`
สูตรของผลรวมและความแตกต่างของฟังก์ชั่นตรีโกณมิติ
สูตรคือการเปลี่ยนแปลงจำนวนและความแตกต่างของฟังก์ชั่นตรีโกณมิติของอาร์กิวเมนต์ที่แตกต่างกันในการทำงาน
`Sin \\ \\ \\ Alpha + Sin \\ \\ \\ Bata \u003d` `2 \\ Sin \\ Frac (\\ alpha + \\ beta) 2 \\ cos \\ frac (\\ alpha- \\ beta) 2`
`SIN \\ \\ \\ \\ Alpha-Sin \\ \\ Bata \u003d` `2 \\ cos \\ frac (\\ alpha + \\ \\ beta) 2 \\ Sin \\ Frac (\\ alpha- \\ beta) 2`
`cos \\ \\ \\ \\ alpha + cos \\ \\ \\ bata \u003d` `2 \\ cos \\ frac (\\ alpha + \\ beta) 2 \\ cos \\ frac (\\ alpha- \\ beta) 2`
`cos \\ \\ \\ alpa-cos \\ \\ beta \u003d` `-2 \\ sin \\ frac (\\ alpha + \\ beta) 2 \\ sin \\ frac (\\ alpha- \\ beta) 2 \u003d` `2 \\ sin \\ frac (\\ อัลฟา + \\ Beta) 2 \\ บาป \\ FRAC (\\ Beta- \\ alpha) 2`
`tg \\ \\ alpha \\ pm tg \\ \\ beta \u003d \\ frac (sin (\\ alpha \\ pm \\ beta)) (cos \\ \\ alpha \\ cos \\ \\ beta)`
`ctg \\ \\ alpha \\ pm ctg \\ \\ beta \u003d \\ frac (sin (\\ beta \\ pm \\ alpha)) (SIN \\ \\ Alpha \\ Sin \\ \\ Beta)`
`tg \\ \\ alpha \\ pm ctg \\ \\ beta \u003d` `\\ pm \\ frac (cos (\\ alpha \\ mp \\ beta)) (cos \\ \\ alpha \\ sin \\ \\ beta)`
นี่คือการแปลงของการเพิ่มและลบฟังก์ชั่นของหนึ่งอาร์กิวเมนต์ในการทำงาน
`cos \\ \\ \\ alpha + sin \\ \\ alpha \u003d \\ sqrt (2) \\ cos (\\ frac (\\ pi) 4- \\ alpha)`
`cos \\ \\ \\ alpha-sin \\ \\ alpha \u003d \\ sqrt (2) \\ sin (\\ frac (\\ pi) 4- \\ alpha)`
`tg \\ \\ alpha + ctg \\ \\ alpha \u003d 2 \\ cosec \\ 2 \\ alpha;` `tg \\ \\ alpha-ctg \\ \\ alpha \u003d -2 \\ ctg \\ 2 \\ alpha`
สูตรต่อไปนี้แปลงจำนวนและความแตกต่างของหน่วยและฟังก์ชั่นตรีโกณมิติเป็นงาน
`1 + cos \\ \\ alpha \u003d 2 \\ cos ^ 2 \\ frac (\\ alpha) 2`
`1-cos \\ \\ alpha \u003d 2 \\ sin ^ 2 \\ frac (\\ alpha) 2`
`1 + sin \\ \\ alpha \u003d 2 \\ cos ^ 2 (\\ frac (\\ pi) 4- \\ frac (\\ alpha) 2)`
`1-sin \\ \\ alpha \u003d 2 \\ sin ^ 2 (\\ frac (\\ pi) 4- \\ frac (\\ alpha) 2)`
`1 \\ น TG \\ \\ alpha \u003d \\ FRAC (SIN (\\ FRAC (\\ PI) 4 \\ PM \\ alpha) (COS \\ FRAC (\\ PI) 4 \\ COS \\ \\ alpha) \u003d` `\\ FRAC (\\ SQRT ( 2) บาป (\\ frac (\\ pi) 4 \\ pm \\ alpha)) (cos \\ \\ alpha) `
`1 \\ น tg \\ \\ alpha \\ tg \\ \\ เบต้า \u003d \\ frac (cos (\\ alpha \\ MP \\ เบต้า)) (cos \\ \\ alpha \\ cos \\ \\ Beta);` `\\ CTG \\ \\ alpha \\ CTG \\ \\ เบต้า \\ pm 1 \u003d \\ frac (cos (\\ alpha \\ mp \\ beta)) (SIN \\ \\ Alpha \\ Sin \\ \\ Beta) `
สูตรสำหรับการแปลงงานของฟังก์ชั่น
สูตรสำหรับการแปลงผลิตภัณฑ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติด้วยอาร์กิวเมนต์ `\\ alpha` และ` \\ beta` ในจำนวน (ความแตกต่าง) ของข้อโต้แย้งเหล่านี้
`Sin \\ \\ \\ Alpha \\ Sin \\ \\ \\ Beta \u003d` `\\ FRAC (cos (\\ alpha - \\ beta) -cos (\\ alpha + \\ beta)) (2)`
`Sin \\ Alpha \\ cos \\ Beta \u003d` `\\ FRAC (SIN (\\ Alpha - \\ Beta) + Sin (\\ Alpha + \\ Beta)) (2)`
`cos \\ \\ \\ alpha \\ cos \\ \\ \\ beta \u003d` `\\ frac (cos (\\ alpha - \\ beta) + cos (\\ alpha + \\ beta)) (2)`
`tg \\ \\ alpha \\ tg \\ \\ beta \u003d` `\\ frac (cos (\\ alpha - \\ beta) -cos (\\ alpha + \\ beta)) (cos (\\ alpha - \\ beta) + cos (\\ alpha + \\ เบต้า)) \u003d `` \\ frac (tg \\ \\ alpha + tg \\ beta) (ctg \\ \\ alpha + ctg \\ \\ beta) `
`ctg \\ \\ alpha \\ ctg \\ \\ beta \u003d` `\\ frac (cos (\\ alpha - \\ beta) + cos (\\ alpha + \\ beta)) (cos (\\ alpha - \\ beta) -cos (\\ alpha + \\ เบต้า)) \u003d `` \\ frac (ctg \\ \\ alpha + ctg \\ beta) (tg \\ \\ alpha + tg \\ \\ beta) `
`tg \\ \\ alpha \\ ctg \\ \\ beta \u003d` `\\ FRAC (SIN (\\ alpha - \\ beta) + SIN (\\ alpha + \\ beta)) (SIN (\\ alpha + \\ beta) -sin (\\ alpha - \\ เบต้า)) `
การทดแทนตรีโกณมิติสากล
สูตรเหล่านี้แสดงฟังก์ชันตรีโกณมิติผ่านมุมครึ่งมุม
`Sin \\ \\ \\ Alpha \u003d \\ Frac (2TG \\ FRAC (\\ Alpha) (2)) (1 + tg ^ (2) \\ frac (\\ alpha) (2)),` `\\ alpha \\ ne \\ pi +2 \\ PI N, N \\ ใน Z`
`cos \\ \\ \\ alpha \u003d \\ frac (1 - tg ^ (2) \\ frac (\\ alpha) (2)) (1 + tg ^ (2) \\ frac (\\ alpha) (2)),` `) \\ NE \\ ปี่ 2 \\ ปี่ n, n \\ ใน z`
`tg \\ \\ alpha \u003d \\ frac (2tg \\ frac (\\ alpha) (2)) (1 - tg ^ (2) \\ frac (\\ alpha) (2)),` `\\ alpha \\ ne \\ pi +2 \\ pi n, n \\ in z, `` '\\ Alpha \\ NE \\ Frac (\\ pi) (2) + \\ pi n, n \\ in z`
`Ctg \\ \\ alpha \u003d \\ FRAC (1 - TG ^ (2) \\ FRAC (\\ อัลฟา) (2)) (2TG \\ FRAC (\\ อัลฟา) (2))` `\\ alpha \\ NE \\ ปี่ N, N \\ ใน z, `` \\ alpha \\ ne \\ pi + 2 \\ pi n, n \\ in z`
สูตรของนักแสดง
สูตรที่เกิดขึ้นสามารถรับได้โดยใช้คุณสมบัติดังกล่าวของฟังก์ชั่นตรีโกณมิติเป็นความถี่สมมาตรการเปลี่ยนคุณสมบัติสำหรับมุม พวกเขาอนุญาตให้ฟังก์ชั่นของมุมตามอำเภอใจที่จะแปลงเป็นฟังก์ชั่นมุมที่อยู่ในขีด จำกัด ระหว่าง 0 ถึง 90 องศา
สำหรับมุม (`\\ frac (\\ pi) 2 \\ pm \\ alpha`) หรือ (` 90 ^ \\ circ \\ pm \\ alpha`):
`บาป (\\ frac (\\ pi) 2 - \\ alpha) \u003d cos \\ \\ alpha;` `sin (\\ frac (\\ pi) 2 + \\ alpha) \u003d cos \\ \\ alpha`
`cos (\\ frac (\\ pi) 2 - \\ alpha) \u003d sin \\ \\ alpha;` `cos (\\ frac (\\ pi) 2 + \\ alpha) \u003d - Sin \\ \\ Alpha`
`tg (\\ frac (\\ pi) 2 - \\ alpha) \u003d ctg \\ \\ alpha;` `tg (\\ frac (\\ pi) 2 + \\ alpha) \u003d - ctg \\ \\ alpha`
`ctg (\\ frac (\\ pi) 2 - \\ alpha) \u003d tg \\ \\ alpha;` `ctg (\\ frac (\\ pi) 2 + \\ alpha) \u003d - tg \\ \\ alpha`
สำหรับมุม (`\\ pi \\ pm \\ alpha`) หรือ (` 180 ^ \\ circ \\ pm \\ alpha`):
`Sin (\\ pi - \\ Alpha) \u003d SIN \\ \\ Alpha;` `Sin (\\ Pi + \\ Alpha) \u003d - Sin \\ \\ Alpha`
`cos (\\ pi - \\ alpha) \u003d - cos \\ \\ alpha;` `cos (\\ pi + \\ alpha) \u003d - cos \\ \\ alpha`
`tg (\\ pi - \\ alpha) \u003d - tg \\ \\ alpha;` `tg (\\ pi + \\ alpha) \u003d tg \\ \\ alpha '
`ctg (\\ pi - \\ alpha) \u003d - ctg \\ \\ alpha;` `ctg (\\ pi + \\ alpha) \u003d ctg \\ \\ alpha`
สำหรับมุม (`\\ frac (3 \\ pi) 2 \\ pm \\ alpha`) หรือ (` 270 ^ \\ circ \\ pm \\ alpha`):
`บาป (\\ frac (3 \\ pi) 2 - \\ alpha) \u003d - cos \\ \\ alpha;` `sin (\\ frac (3 \\ pi) 2 + \\ alpha) \u003d - cos \\ \\ alpha '
`cos (\\ frac (3 \\ pi) 2 - \\ alpha) \u003d - sin \\ \\ \\ alpha;` `cos (\\ frac (3 \\ pi) 2 + \\ alpha) \u003d sin \\ \\ alpha '
`tg (\\ frac (3 \\ pi) 2 - \\ alpha) \u003d ctg \\ \\ alpha;` `tg (\\ frac (3 \\ pi) 2 + \\ alpha) \u003d - ctg \\ \\ alpha '
`ctg (\\ frac (3 \\ pi) 2 - \\ alpha) \u003d tg \\ \\ alpha;` `` ctg (\\ frac (3 \\ pi) 2 + \\ alpha) \u003d - tg \\ \\ alpha '
สำหรับมุม (`2 \\ pi \\ pm \\ alpha`) หรือ (` 360 ^ \\ circ \\ pm \\ alpha`):
`Sin (2 \\ Pi - \\ Alpha) \u003d - Sin \\ \\ \\ Alpha;` `บาป (2 \\ pi + \\ Alpha) \u003d SIN \\ \\ Alpha`
`cos (2 \\ pi - \\ alpha) \u003d cos \\ \\ alpha;` `cos (2 \\ pi + \\ alpha) \u003d cos \\ \\ alpha`
`tg (2 \\ pi - \\ alpha) \u003d - tg \\ \\ alpha;` `tg (2 \\ pi + \\ alpha) \u003d tg \\ \\ alpha`
`CTG (2 \\ pi - \\ Alpha) \u003d - CTG \\ \\ Alpha;` `` CTG (2 \\ pi + \\ Alpha) \u003d CTG \\ \\ Alpha`
การแสดงออกของฟังก์ชั่นตรีโกณมิติหนึ่งรายการผ่านคนอื่น ๆ
`sin \\ \\ \\ alpha \u003d \\ pm \\ sqrt (1-cos ^ 2 \\ alpha) \u003d` `\\ frac (tg \\ \\ alpha) (\\ pm \\ sqrt (1 + tg ^ 2 \\ alpha)) \u003d \\ frac 1 (\\ PM \\ SQRT (1 + CTG ^ 2 \\ alpha)) `
`cos \\ \\ \\ alpha \u003d \\ pm \\ sqrt (1-sin ^ 2 \\ alpha) \u003d` `\\ frac 1 (\\ pm \\ sqrt (1 + tg ^ 2 \\ alpha)) \u003d \\ frac (ctg \\ \\ alpha) (\\ PM \\ SQRT (1 + CTG ^ 2 \\ alpha)) `
`TG \\ \\ \\ alpha \u003d \\ FRAC (บาป \\ \\ alpha) (\\ น \\ sqrt (1-บาป ^ 2 \\ alpha)) \u003d` `\\ FRAC (\\ น \\ sqrt (1-COS ^ 2 \\ alpha)) (COS \\ \\ alpha) \u003d \\ FRAC 1 (CTG \\ \\ alpha) `
`CTG \\ \\ alpha \u003d \\ FRAC (\\ น \\ sqrt (1-บาป ^ 2 \\ alpha)) (บาป \\ \\ \\ alpha) \u003d` `\\ FRAC (COS \\ \\ alpha) (\\ PM \\ SQRT (1-COS ^ 2 \\ alpha)) \u003d \\ FRAC 1 (TG \\ \\ alpha) `
ตรีโกณมิติแปลว่า "การวัดสามเหลี่ยม" อย่างแท้จริง เธอเริ่มเรียนในโรงเรียนและดำเนินการต่อในระดับมากขึ้นในมหาวิทยาลัย ดังนั้นจึงจำเป็นต้องมีสูตรพื้นฐานเกี่ยวกับตรีโกณมิติเริ่มต้นจากเกรด 10 เช่นเดียวกับการผ่านการใช้งาน พวกเขาแสดงถึงการเชื่อมโยงระหว่างฟังก์ชั่นและเนื่องจากการเชื่อมต่อเหล่านี้มีอยู่มากมายแล้วสูตรส่วนใหญ่จะเป็นจำนวนมาก มันไม่ใช่เรื่องง่ายที่จะจำได้และไม่จำเป็น - หากจำเป็นทุกอย่างสามารถอธิบายได้
สูตรตรีโกณมิติถูกนำไปใช้ในเงื่อนไขที่สำคัญรวมถึงการลดความซับซ้อนของตรีโกณมิติการคำนวณการเปลี่ยนแปลง
