ข้างนอกอากาศร้อนอบอ้าว ต้นไม้ป็อปลาร์ปลิวไสว และสภาพอากาศเช่นนี้เอื้อต่อการพักผ่อน ในช่วงปีการศึกษา ทุกคนมีความเหนื่อยล้าสะสม แต่การรอคอยช่วงปิดเทอมฤดูร้อน/วันหยุดพักร้อนควรเป็นแรงบันดาลใจให้คุณผ่านการทดสอบและการสอบได้สำเร็จ ยังไงก็ตามช่วงนี้อาจารย์ก็น่าเบื่อเหมือนกัน ดังนั้นเร็วๆ นี้ฉันก็จะใช้เวลาว่างเพื่อปลดปล่อยสมองด้วย และตอนนี้ก็มีกาแฟ เสียงฮัมเป็นจังหวะของยูนิตระบบ ยุงตายสองสามตัวบนขอบหน้าต่าง และสภาพการทำงานที่สมบูรณ์... ...โอ้ ให้ตายเถอะ... กวีโคตรๆ

ตรงประเด็น. ใครสนใจ แต่วันนี้เป็นวันที่ 1 มิถุนายนสำหรับฉัน และเราจะดูปัญหาทั่วไปอีกประการหนึ่งของการวิเคราะห์ที่ซับซ้อน - การหาคำตอบเฉพาะของระบบสมการเชิงอนุพันธ์โดยใช้วิธีแคลคูลัสเชิงปฏิบัติการ. คุณจำเป็นต้องรู้อะไรและสามารถทำอะไรได้บ้างเพื่อเรียนรู้วิธีการแก้ปัญหา? ก่อนอื่นเลย, ขอเเนะนำอ้างถึงบทเรียน โปรดอ่านส่วนเกริ่นนำ ทำความเข้าใจข้อความทั่วไปของหัวข้อ คำศัพท์ สัญกรณ์ และตัวอย่างอย่างน้อยสองหรือสามตัวอย่าง ความจริงก็คือว่าด้วยระบบกระจายแสง ทุกอย่างจะเกือบจะเหมือนเดิมและง่ายกว่านี้อีก!

แน่นอนคุณต้องเข้าใจว่ามันคืออะไร ระบบสมการเชิงอนุพันธ์ซึ่งหมายถึงการค้นหาวิธีแก้ปัญหาทั่วไปสำหรับระบบและวิธีแก้ปัญหาเฉพาะสำหรับระบบ

ฉันขอเตือนคุณว่าระบบสมการเชิงอนุพันธ์สามารถแก้ไขได้ด้วยวิธี "ดั้งเดิม": โดยการกำจัดหรือ โดยใช้สมการคุณลักษณะ. วิธีการคำนวณการปฏิบัติงานที่จะกล่าวถึงจะใช้ได้กับระบบควบคุมระยะไกลเมื่อมีการกำหนดงานดังนี้:

ค้นหาคำตอบเฉพาะของระบบสมการเชิงอนุพันธ์ที่เป็นเนื้อเดียวกัน สอดคล้องกับเงื่อนไขเริ่มต้น .

อีกทางหนึ่ง ระบบอาจเป็นแบบต่างกัน โดยมี "น้ำหนักเสริม" ในรูปแบบของฟังก์ชันและทางด้านขวา:

แต่ในทั้งสองกรณี คุณต้องให้ความสนใจกับประเด็นพื้นฐานสองประการของเงื่อนไข:

1) มันเกี่ยวกับ เกี่ยวกับโซลูชันส่วนตัวเท่านั้น.
2) ในวงเล็บของเงื่อนไขเริ่มต้น เป็น เป็นศูนย์อย่างเคร่งครัดและไม่มีอะไรอื่นอีก

หลักสูตรและอัลกอริทึมทั่วไปจะคล้ายกันมาก การแก้สมการเชิงอนุพันธ์โดยใช้วิธีการปฏิบัติงาน. คุณจะต้องการสิ่งเดียวกันจากเอกสารอ้างอิง ตารางต้นฉบับและรูปภาพ.

ตัวอย่างที่ 1

, ,

สารละลาย:จุดเริ่มต้นเป็นเรื่องเล็กน้อย: การใช้ ตารางแปลงลาปลาซเรามาต่อจากต้นฉบับไปสู่รูปภาพที่เกี่ยวข้องกัน เมื่อเกิดปัญหากับระบบควบคุมระยะไกล การเปลี่ยนแปลงนี้มักจะทำได้ง่าย:

เมื่อใช้สูตรตารางหมายเลข 1, 2 โดยคำนึงถึงเงื่อนไขเริ่มต้นเราได้รับ:

จะทำอย่างไรกับ "เกม"? เปลี่ยน "X's" ในตารางเป็น "I's" ในใจ เมื่อใช้การแปลงหมายเลข 1, 2 แบบเดียวกันโดยคำนึงถึงเงื่อนไขเริ่มต้นเราพบว่า:

ลองแทนที่รูปภาพที่พบลงในสมการดั้งเดิม :

ตอนนี้ ในส่วนด้านซ้ายจำเป็นต้องรวบรวมสมการ ทั้งหมดข้อกำหนดที่มีหรือมีอยู่ ไปยังส่วนที่ถูกต้องสมการจะต้องมีการ "ทำให้เป็นทางการ" อื่นเงื่อนไข:

ต่อไป ทางด้านซ้ายของแต่ละสมการเราจะทำการถ่ายคร่อม:

ในกรณีนี้ ควรวางสิ่งต่อไปนี้ในตำแหน่งแรก และในตำแหน่งที่สอง:

ระบบสมการผลลัพธ์ที่ไม่ทราบค่าสองตัวมักจะได้รับการแก้ไข ตามสูตรของแครเมอร์. ให้เราคำนวณปัจจัยหลักของระบบ:

จากการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์จึงได้พหุนามมา

เทคนิคสำคัญ!พหุนามนี้ดีกว่า ในครั้งเดียวพยายามแยกตัวประกอบมัน เพื่อจุดประสงค์เหล่านี้ เราควรพยายามแก้สมการกำลังสอง แต่ผู้อ่านจำนวนมากที่มีสายตาปีสองที่ผ่านการฝึกอบรมจะสังเกตเห็นสิ่งนั้น .

ดังนั้นปัจจัยกำหนดหลักของเราของระบบคือ:

ขอบคุณ Kramer สำหรับการถอดแยกชิ้นส่วนระบบเพิ่มเติม ถือเป็นมาตรฐาน:

เป็นผลให้เราได้รับ โซลูชั่นผู้ปฏิบัติงานของระบบ:

ข้อดีของงานที่เป็นปัญหาคือเศษส่วนมักจะกลายเป็นเรื่องง่าย และการจัดการกับเศษส่วนนั้นง่ายกว่าเศษส่วนในปัญหามาก ค้นหาวิธีแก้ปัญหาเฉพาะสำหรับ DE โดยใช้วิธีการปฏิบัติงาน. ลางสังหรณ์ของคุณไม่ได้หลอกลวงคุณ - ผู้เฒ่าที่ดี วิธีสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอนด้วยความช่วยเหลือที่เราแยกเศษส่วนแต่ละส่วนออกเป็นเศษส่วนเบื้องต้น:

1) มาจัดการกับเศษส่วนแรกกัน:

ดังนั้น:

2) เราแบ่งเศษส่วนที่สองตามรูปแบบที่คล้ายกัน แต่การใช้ค่าคงที่อื่น (ค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่ได้กำหนด) นั้นถูกต้องมากกว่า:

ดังนั้น:

ฉันแนะนำให้หุ่นจำลองเขียนโซลูชันตัวดำเนินการที่สลายตัวในรูปแบบต่อไปนี้:
- สิ่งนี้จะทำให้ขั้นตอนสุดท้ายชัดเจนยิ่งขึ้น - การแปลงลาปลาซแบบผกผัน

ใช้คอลัมน์ด้านขวาของตาราง ย้ายจากรูปภาพไปยังต้นฉบับที่เกี่ยวข้องกัน:

ตามกฎของมารยาททางคณิตศาสตร์ที่ดี เราจะจัดระเบียบผลลัพธ์เล็กน้อย:

คำตอบ:

คำตอบจะถูกตรวจสอบตามโครงร่างมาตรฐานซึ่งจะกล่าวถึงโดยละเอียดในบทเรียน จะแก้ระบบสมการเชิงอนุพันธ์ได้อย่างไร?พยายามทำให้สำเร็จอยู่เสมอเพื่อเพิ่มข้อดีให้กับงาน

ตัวอย่างที่ 2

ใช้แคลคูลัสเชิงปฏิบัติการ ค้นหาคำตอบเฉพาะของระบบสมการเชิงอนุพันธ์ที่สอดคล้องกับเงื่อนไขเริ่มต้นที่กำหนด
, ,

นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง ตัวอย่างโดยประมาณของรูปแบบสุดท้ายของปัญหาและคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน

การแก้ระบบสมการเชิงอนุพันธ์ที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันนั้นไม่แตกต่างกันในอัลกอริทึม ยกเว้นว่าในทางเทคนิคแล้วจะซับซ้อนกว่าเล็กน้อย:

ตัวอย่างที่ 3

ใช้แคลคูลัสเชิงปฏิบัติการ ค้นหาคำตอบเฉพาะของระบบสมการเชิงอนุพันธ์ที่สอดคล้องกับเงื่อนไขเริ่มต้นที่กำหนด
, ,

สารละลาย:การใช้ตารางการแปลง Laplace โดยคำนึงถึงเงื่อนไขเริ่มต้น เรามาย้ายจากต้นฉบับไปยังรูปภาพที่เกี่ยวข้องกัน:

แต่นั่นไม่ใช่ทั้งหมด มีค่าคงที่โดดเดี่ยวทางด้านขวามือของสมการ จะทำอย่างไรในกรณีที่ค่าคงที่อยู่เพียงลำพังโดยลำพัง? เรื่องนี้ได้มีการพูดคุยกันแล้วในชั้นเรียน วิธีแก้ปัญหา DE โดยใช้วิธีการปฏิบัติ. ให้เราทำซ้ำ: ค่าคงที่เดี่ยวควรถูกคูณทางจิตใจด้วยหนึ่ง และควรใช้การแปลงลาปลาซต่อไปนี้กับหน่วย:

เรามาแทนที่อิมเมจที่พบลงในระบบดั้งเดิม:

ให้เราย้ายเงื่อนไขที่มี , ไปทางซ้าย และวางเงื่อนไขที่เหลือทางด้านขวา:

เราจะทำการถ่ายคร่อมทางด้านซ้ายมือ นอกจากนี้ เราจะนำด้านขวามือของสมการที่สองมาเป็นตัวส่วนร่วมด้วย:

มาคำนวณปัจจัยกำหนดหลักของระบบโดยไม่ลืมว่าแนะนำให้ลองแยกตัวประกอบผลลัพธ์ทันที:
ซึ่งหมายความว่าระบบมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะตัว

เดินหน้าต่อไป:



ดังนั้น วิธีแก้ปัญหาของผู้ปฏิบัติงานของระบบคือ:

บางครั้งเศษส่วนหนึ่งหรือทั้งสองตัวสามารถถูกลดขนาดลงได้ และบางครั้งก็ประสบความสำเร็จโดยที่คุณไม่จำเป็นต้องขยายอะไรเลยด้วยซ้ำ! และในบางกรณีคุณจะได้รับของสมนาคุณทันที อย่างไรก็ตาม ตัวอย่างบทเรียนต่อไปนี้จะเป็นตัวอย่างที่บ่งบอก

โดยใช้วิธีการสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอนเราจะได้ผลรวมของเศษส่วนเบื้องต้น

มาแยกเศษส่วนแรกกัน:

และเราก็บรรลุผลประการที่สอง:

ด้วยเหตุนี้ โซลูชันของผู้ปฏิบัติงานจึงอยู่ในรูปแบบที่เราต้องการ:

การใช้คอลัมน์ด้านขวา ตารางต้นฉบับและรูปภาพเราทำการแปลงลาปลาซแบบผกผัน:

ให้เราแทนที่รูปภาพผลลัพธ์ลงในโซลูชันตัวดำเนินการของระบบ:

คำตอบ:โซลูชันส่วนตัว:

อย่างที่คุณเห็นในระบบที่ต่างกันมีความจำเป็นที่จะต้องทำการคำนวณที่ต้องใช้แรงงานมากขึ้นเมื่อเปรียบเทียบกับระบบที่เป็นเนื้อเดียวกัน ลองดูตัวอย่างเพิ่มเติมเกี่ยวกับไซน์และโคไซน์ ก็พอแล้ว เนื่องจากปัญหาเกือบทุกประเภทและความแตกต่างของวิธีแก้ปัญหาส่วนใหญ่จะได้รับการพิจารณา

ตัวอย่างที่ 4

โดยใช้วิธีการแคลคูลัสเชิงปฏิบัติการ ค้นหาคำตอบเฉพาะของระบบสมการเชิงอนุพันธ์ที่มีเงื่อนไขตั้งต้นที่กำหนด

สารละลาย:ฉันจะวิเคราะห์ตัวอย่างนี้ด้วยตัวเอง แต่ความคิดเห็นจะเกี่ยวข้องกับช่วงเวลาพิเศษเท่านั้น ฉันคิดว่าคุณมีความเชี่ยวชาญในอัลกอริธึมการแก้ปัญหาอยู่แล้ว

มาดูจากต้นฉบับเป็นรูปภาพที่เกี่ยวข้องกัน:

มาแทนที่รูปภาพที่พบลงในระบบควบคุมระยะไกลดั้งเดิม:

มาแก้ระบบโดยใช้สูตรของ Cramer:
ซึ่งหมายความว่าระบบมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะตัว

ไม่สามารถแยกตัวประกอบพหุนามที่เป็นผลลัพธ์ได้ จะทำอย่างไรในกรณีเช่นนี้? ไม่มีอะไรจริงๆ. อันนี้ก็จะทำเช่นกัน

ด้วยเหตุนี้ โซลูชันผู้ปฏิบัติงานของระบบคือ:

มาแล้วตั๋วนำโชค! ไม่จำเป็นต้องใช้วิธีสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอนแต่อย่างใด! สิ่งเดียวคือ เพื่อที่จะนำการแปลงตารางไปใช้ เราจะเขียนวิธีแก้ปัญหาใหม่ในรูปแบบต่อไปนี้:

เรามาต่อจากรูปภาพไปยังต้นฉบับที่เกี่ยวข้องกัน:

ให้เราแทนที่รูปภาพผลลัพธ์ลงในโซลูชันตัวดำเนินการของระบบ:

ขนาด : px

เริ่มแสดงจากหน้า:

การถอดเสียง

1 การแก้สมการเชิงอนุพันธ์โดยใช้การแปลงลาปลาซ (วิธีดำเนินการ) แคลคูลัสเชิงปฏิบัติการเป็นหนึ่งในวิธีที่ประหยัดที่สุดในการรวมสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นด้วยค่าสัมประสิทธิ์คงที่ และเป็นที่นิยมในหมู่วิศวกร วิธีการนี้เสนอโดยวิศวกรไฟฟ้าและนักฟิสิกส์ชาวอเมริกันชื่อดัง O. Heaviside (892) เขาเสนอกฎอย่างเป็นทางการสำหรับการจัดการตัวดำเนินการ d dx และฟังก์ชันบางอย่างจากตัวดำเนินการนี้ ซึ่งเขาใช้เพื่อแก้ไขปัญหาสำคัญหลายประการในด้านพลศาสตร์ไฟฟ้า อย่างไรก็ตาม แคลคูลัสเชิงปฏิบัติการไม่ได้รับการอ้างเหตุผลทางคณิตศาสตร์ในงานของ O. Heaviside (“คณิตศาสตร์ของเขาเกิดขึ้นในบริบททางกายภาพซึ่งไม่ใช่เรื่องง่ายที่จะแยกออกจากกัน” [, หน้า 8]) ผลลัพธ์หลายรายการของเขายังคงไม่ได้รับการพิสูจน์ เฉพาะในปีที่ 2 ของศตวรรษที่ 20 วิธีการนี้ได้รับการพิสูจน์ในผลงานของ Bromwich (T. J. I A. Bromwich) และ Carson (J. R. Carson) 2.. แนวคิดของต้นฉบับและภาพตามคำจำกัดความของ Laplace ฟังก์ชันดั้งเดิมคือฟังก์ชันที่มีค่าเชิงซ้อน f(x) ของอาร์กิวเมนต์จริง x ที่ตรงตามเงื่อนไขต่อไปนี้:) f(x) ต่อเนื่องกันสำหรับ x ยกเว้นบางที สำหรับจุดความไม่ต่อเนื่องของ -th จำนวนจำกัด ใจดี; 2) สำหรับ x ทั้งหมด< f(x) = ; 3) существуют такие постоянные M >และ a > โดยที่ f(x) M e ax สำหรับ x () สมการเชิงอนุพันธ์และปริพันธ์: หนังสือเรียนสำหรับนักศึกษาคณะฟิสิกส์และเทคโนโลยี ภายใน 3 ชั่วโมง ตอนที่ 2 / คอมพ์ : N. Yu. Svetova, E. E. Semyonova Petrozavodsk: สำนักพิมพ์ PetrSU ความพยายามในการให้เหตุผลอย่างเข้มงวดและการนำเสนอแคลคูลัสที่ "ยอมรับได้ทางคณิตศาสตร์" คล้ายกับ "การโจมตีทั่วไป": Bromwich นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ (96 ปี) วิศวกรชาวอเมริกัน Carson (925) Van der Pol วิศวกรไฟฟ้าชาวดัตช์ ( ) ดึงดูดผลลัพธ์ของทฤษฎีต่างๆ โดยเชื่อมโยงแคลคูลัสของ Heaviside กับการแปลงลาปลาซเข้ากับทฤษฎีฟังก์ชันของตัวแปรที่ซับซ้อน

2 2 ค่าต่ำสุด a ของจำนวน a ทั้งหมดซึ่งมีอสมการ () อยู่ เรียกว่า เลขชี้กำลังการเติบโตของฟังก์ชัน f(x) โปรดทราบว่าสำหรับฟังก์ชันที่มีขอบเขตใดๆ ดัชนีการเติบโต a = ต้นฉบับที่ง่ายที่สุดคือฟังก์ชันเฮวิไซด์ (, x ; χ(x) =, x<. Очевидно, для любой функции ϕ(x) { ϕ(x), x, ϕ(x) χ(x) =, x <. Если при x функция ϕ(x) удовлетворяет условиям и 3 определения, то функция ϕ(x)χ(x) является оригиналом. В дальнейшем для сокращения записи будем, как правило, записывать ϕ(x) вместо ϕ(x)χ(x), считая, что рассматриваемые нами функции продолжены нулем для отрицательных значений аргумента x. Определение 2. Функция F (p) комплексного переменного p (p C), определяемая интегралом F (p) = e px f(x) dx, () называется преобразованием Лапласа, или изображением по Лапласу 3, функции f(x). Для указания соответствия между оригиналом и изображением будем использовать следующую запись 4: f(x) F (p). 3 В мемуарах П. Лапласа (782 82) современные оригинал и изображение именуются fonction determinant и fonction generatrice «определяющая функция» и «производящая». Эти названия, хотя и признанные неудачными, сохранились до XX в. Хевисайд употреблял названия «подоператорная функция» (892). Оператор он обозначал буквой p, которая употребляется в современном исчислении . 4 Названия original и image и знак предложил Ван дер Поль в статьях гг. В русской литературе термин изображение и символ, по-видимому, впервые появились в книге харьковских математиков А. М. Эфроса и А. М. Данилевского «Операционное исчисление и контурные интегралы» (937), а термин оригинал только в 953 г. . Используются и другие варианты записи соответствия между оригиналами и изображениями. Например, f(x) F (p) или L{f(x)} = F (p).

3 สำหรับ f(x ดั้งเดิมใดๆ) รูปภาพของ F (p) ถูกกำหนดไว้ในครึ่งระนาบ Re p > a (a คือดัชนีการเติบโตของฟังก์ชัน f(x)) โดยที่อินทิกรัลที่ไม่เหมาะสม () มาบรรจบกัน ตัวอย่าง. ใช้คำจำกัดความ ค้นหาภาพของฟังก์ชัน f(x) = sin 3x สารละลาย. สำหรับฟังก์ชัน f(x) = sin 3x เรามี = ดังนั้น รูปภาพ F (p) จะถูกกำหนดในครึ่งระนาบ Re p > ให้เราใช้สูตร () กับฟังก์ชันที่กำหนดโดยใช้กฎการรวมตามส่วนต่างๆ และข้อ จำกัด ในชุดของค่าของตัวแปร p เพื่อให้แน่ใจว่าการบรรจบกันของอินทิกรัล: F (p) = + e px sin 3x dx = = p e px sin 3x x= = 3 p p e px cos 3x = 3 p 2 9 p 2 เราได้ความเท่าเทียมกัน: เราจะหา + x=+ + 3 p x=+ x= + 3 p e px cos 3x dx = ได้ที่ไหน + อี px บาป 3x dx = 3 p 2 9 p 2 F (p ) ฉ (พี) = 3 พี 2 9 พี 2 เอฟ (พี) F (p) = 3 p ดังนั้น ความสอดคล้องต่อไปนี้จึงเป็นจริง: sin 3x 3 p 2, Re p > + 9 อี พิกเซล บาป 3x dx = 3

4 4 2. คุณสมบัติของการแปลงลาปลาซ ในทางปฏิบัติ เมื่อสร้างภาพ จะมีการใช้เทคนิคต่างๆ ตามคุณสมบัติของการแปลงลาปลาซ ให้เราแสดงรายการคุณสมบัติหลักซึ่งสามารถกำหนดความถูกต้องได้อย่างง่ายดายโดยใช้คำจำกัดความของรูปภาพและต้นฉบับ คุณสมบัติของเส้นตรง ถ้า f(x) F (p), g(x) G(p) ดังนั้นสำหรับ α ใดๆ , β C αf(x) + βg(x) αf (p) + βg(p), Re p > max( ก, ข) ที่นี่และด้านล่าง a และ b เป็นตัวบ่งชี้การเติบโตของฟังก์ชัน f(x) และ g(x) ตามลำดับ 2. ทฤษฎีบทความคล้ายคลึงกัน ถ้า f(x) F (p) ดังนั้นสำหรับ α > f(αx) α F (p α) ใดๆ ก็ตาม ให้ Re p > αa 3. ทฤษฎีบทการกระจัด ถ้า f(x) F (p) ดังนั้นสำหรับ แลมบ์ใดๆ C e แลมบ์ f(x) F (p แลมบ์), Re p > a + Re แลม 4. ความแตกต่างของต้นฉบับ ปล่อยให้ฟังก์ชัน f(x) สามารถหาอนุพันธ์ได้ n ครั้ง จากนั้น f (x) pf (p) f(+), f (x) p 2 F (p) pf(+) f (+), f (n) (x) p n F (p) p n f(+) .. pf (n 2) (+) f (n) (+) โดยที่ f (k) (+) = lim x + f (k) (x), k =, n ความคิดเห็น เมื่อสร้างรูปภาพอนุพันธ์ของฟังก์ชันต่อเนื่องที่ศูนย์ เครื่องหมายบวกจะถูกละไว้เมื่อเขียนอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันและอนุพันธ์ของฟังก์ชัน 5. ความแตกต่างของภาพ ถ้า f(x) F (p) ดังนั้น โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับ n = เรามี F (n) (p) (x) n f(x), Re p > ฉ(ป) xฉ(x)

5 5 6. บูรณาการของเดิม. ถ้า f(x) F (p) แล้ว x f(ξ) dξ F (p) p, Re p > α 7. การรวมรูปภาพ หากอินทิกรัลและ F (p) f(x) ดังนั้น p F (p) dp f(x) x, Re p > α p F (p) dp มาบรรจบกัน 8. ทฤษฎีบทการคูณภาพ (ทฤษฎีบทการบิด) ถ้า f(x) F (p), g(x) G(p) แล้ว F (p)g(p) x f(t) g( x t) dt = x f(x t)g(t) dt เมื่อ Re p > max(a, b) อินทิกรัลที่อยู่ทางด้านขวาของการติดต่อเรียกว่าการบิดของฟังก์ชัน f(x) และ g(x) 9. ทฤษฎีบทความล่าช้า ถ้า f(x) F (p) ดังนั้นสำหรับใดๆ ξ > f(x ξ)χ(x ξ) e ξp F (p), Re p > α ต้นฉบับถูกเรียกคืนจากภาพด้วยวิธีที่ไม่เหมือนใครแม่นยำถึงค่าที่จุดพัก ในทางปฏิบัติมักใช้ตารางต้นฉบับและรูปภาพสำเร็จรูป 5 ตารางแสดงรายการต้นฉบับและรูปภาพหลักที่มักพบในแอปพลิเคชัน ตัวอย่างที่ 2 ใช้คุณสมบัติของการแปลงลาปลาซและตารางต้นฉบับและรูปภาพพื้นฐาน ค้นหารูปภาพของฟังก์ชันต่อไปนี้:) f(x) = e 4x sin 3x cos 2x; 3) ฉ(x) = x 2 อี 3x ; 2) ฉ(x) = อี (x 2) บาป (x 2); 4) ฉ(x) = บาป2 x x 5 Ditkin V. A. , Prudnikov A. P. คู่มือแคลคูลัสปฏิบัติการ ม., 965.

6 6 ตาราง ต้นฉบับและรูปภาพพื้นฐาน รูปภาพต้นฉบับ รูปภาพต้นฉบับ p cos ωx p p 2 + ω 2 xn n! p n+ e แลม x p + แล ล บาป ωx x cos ωx x n อี แลมบ์ n! (p + λ) n+ x sin ωx ω p 2 + ω 2 p 2 ω 2 (p 2 + ω 2) 2 2pω (p 2 + ω 2) 2 วิธีแก้) แปลงนิพจน์สำหรับฟังก์ชัน f(x) เป็น ดังนี้: f(x) = e 4x sin 3x cos 2x = 2 e 4x (sin 5x + sin x) = = 2 e 4x sin 5x + 2 e 4x sin x เนื่องจาก sin x 5 p 2 และ sin 5x + p ดังนั้นเมื่อใช้คุณสมบัติเชิงเส้นและทฤษฎีบทการกระจัด เพื่อพรรณนาฟังก์ชัน f(x) เราจะได้: F (p) = () 5 2 (p + 4) ( p + 4 )) เนื่องจาก sin x p 2 +, ex sin x (p) 2 + จากนั้นเมื่อใช้ทฤษฎีบทการหน่วงเวลา เราจะได้ f(x) = e x 2 sin (x 2) F (p) = e 2p ( p)) ดังนั้น เมื่อ x 2 2 p 3 ตามทฤษฎีบทการกระจัด เราจะได้: f(x) = x 2 e 3x F (p) = 2 (p 3) 3

7 สำหรับการเปรียบเทียบ เรานำเสนอวิธีการสร้างอิมเมจของฟังก์ชัน f(x) = x 2 e 3x โดยใช้คุณสมบัติของการสร้างความแตกต่างของรูปภาพ: เราได้ผลลัพธ์เดียวกัน 4) ตั้งแต่ อี 3x พี 3 ; xe 3x d () = dp p 3 (p 3) 2 ; x 2 e 3x d () 2 dp (p 3) 2 = (p 3) 3. sin 2 x = 2 2 cos 2x 2p 2 p p 2 + 4 จากนั้นเมื่อใช้คุณสมบัติของการรวมรูปภาพ เราจะได้: sin 2 x ( x 2p) 2 p p 2 dp = + 4 p (= 4 ln p2) 4 ln(p2 + 4) = p 4 ln p 2 p p = 4 ln p2 + 4 p คืนค่าต้นฉบับจากรูปภาพ ปล่อยให้รูปภาพ Y (p) เป็นเศษส่วนตรรกยะแท้ (เป็นฟังก์ชันตรรกยะ) หากเศษส่วนถูกแบ่งออกเป็นผลรวมของเศษส่วนอย่างง่าย (ระดับประถมศึกษา) สำหรับแต่ละเศษส่วนจะพบต้นฉบับที่เกี่ยวข้องได้โดยใช้คุณสมบัติของการแปลงลาปลาซและตารางต้นฉบับและรูปภาพ แท้จริงแล้ว A p a A eax ; ก (พี ก) n ก (น)! xn และขวาน

8 8 หลังจากแปลงเศษส่วน Ap + B A(p a) + aa + B A(p a) (p a) 2 = + b2 (p a) 2 + b 2 = (p a) 2 + b 2 + aa + B (p a) 2 + b 2 เราได้ Ap + B (p a) 2 + b 2 A eax cos bx + aa + B e ax sin bx b ในการสร้างต้นฉบับที่สอดคล้องกับเศษส่วน Ap + B ((p a) 2 + b 2) n คุณสามารถใช้ทฤษฎีบทการคูณได้ ตัวอย่างเช่น สำหรับ n = 2 เรามี Ap + B ((p a) 2 + b 2) 2 = Ap + B (p a) 2 + b 2 (p a) 2 + b 2 ตั้งแต่นั้นมา For n = 3: Ap + B (p a) 2 + b 2 A eax cos bx + aa + B e ขวาน sin bx = h (x) b (p a) 2 + b 2 b eax sin bx = g(x), Ap + B ((p a ) 2 + b 2) 2 = x Ap + B ((p a) 2 + b 2) 2 (p a) 2 + b 2 g(x t) h (t) dt = h 2 (t) x g(x t) h 2 (t) dt ในทำนองเดียวกัน เราสามารถพิจารณาการบูรณะต้นฉบับสำหรับ n > 3 ได้ ตัวส่วนของฟังก์ชันตรรกยะ Y (p) คือพหุนามของลำดับ k ถ้ามันมีศูนย์ต่างกัน k ตัว p i, i =, k แล้วขยายออก

9 ส่วนตามปัจจัย (p p i) สามารถหาต้นฉบับที่สอดคล้องกันสำหรับ Y (p) ได้จากสูตร: y(x) = k (Y (p)(p p i)e px) p=pi (2) i= ผลคูณ Y (p)(p p i) ให้ฟังก์ชันตรรกยะ ซึ่งตัวส่วนไม่มีตัวประกอบ (p p i) และคำนวณที่ p = p i จะกำหนดค่าสัมประสิทธิ์ที่เศษส่วนรวมอยู่ใน p p i การขยายฟังก์ชัน Y (p) เป็นผลรวมของเศษส่วนเบื้องต้น ตัวอย่างที่ 3 ค้นหาต้นฉบับที่สอดคล้องกับรูปภาพ: Y (p) = p 3 p สารละลาย. เมื่อขยายรูปภาพที่กำหนดเป็นผลรวมของเศษส่วนเบื้องต้น: p 3 p = p(p)(p +) = p + 2(p) + 2(p +) เราจะพบคำตอบเดิม: y(x) = + ชเอ็กซ์ y(x) = + 2 อดีต + 2 e x = + ch x ตัวอย่างที่ 4 ค้นหาต้นฉบับของรูปภาพ: Y (p) = p(p 2 +) สารละลาย. เนื่องจาก p 2 sin x ดังนั้น เมื่อนำคุณสมบัติอินทิเกรตของต้นฉบับไปใช้ เราจะได้ +: p(p 2 +) x คำตอบ: y(x) = cos x บาป t dt = cos t x = cos x ตัวอย่างที่ 5 ค้นหาต้นฉบับที่ตรงกับรูปภาพ: Y (p) = (p 2 + 4) 2. 9

10 วิธีแก้ปัญหา เมื่อใช้คุณสมบัติรูปภาพแบบบิดงอ เราจะได้: Y (p) = (p 2 + 4) 2 = p p x sin 2(x t) sin 2t dt เมื่อคำนวณอินทิกรัลแล้ว เราจะได้นิพจน์ที่ต้องการสำหรับต้นฉบับ คำตอบ: y(x) = 6 sin 2x x cos 2x 8 ตัวอย่างที่ 6 ค้นหาต้นฉบับที่ตรงกับรูปภาพ: Y (p) = p p 3 p 2 6p สารละลาย. เนื่องจาก p 3 p 2 6p = p(p 3)(p + 2) ดังนั้นตัวส่วนของเศษส่วน Y (p) มีรากง่ายๆ สามราก: p =, p 2 = 3 และ p 3 = 2 ลองสร้างสมการที่สอดคล้องกันกัน ต้นฉบับโดยใช้สูตร (2): y(x) = (p2 + 2)e px (p 3)(p + 2) + (p2 + 2)e px p= p(p + 2) + (p2 + 2 )อี พิกเซล พี =3 พี(พี 3) = พี= 2 = e3x อี 2x. ตัวอย่างที่ 7 ค้นหาต้นฉบับที่สอดคล้องกับรูปภาพ: Y (p) = e p 2 p(p +)(p 2 + 4) สารละลาย. ลองนึกภาพเศษส่วนที่รวมอยู่ในนิพจน์ในรูปแบบของเศษส่วนอย่างง่าย: p(p +)(p 2 + 4) = A p + B p + + Cp + D p เราได้รับค่าสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอนกับการขยายตัว : ภาพจะมีลักษณะดังนี้: A = 4 ; ข = ง = 5 ; C = 2. Y (p) = e p 2 4 p 5 e p 2 p + pe p 2 2 p e p 2 5 p (a)

11 การใช้ความสัมพันธ์: p χ(x), p + e x χ(x), p p cos 2x χ(x), p sin 2x χ(x) 2 และเมื่อคำนึงถึงทฤษฎีบทการชะลอ เราจะได้ต้นฉบับที่ต้องการสำหรับรูปภาพ (ก) คำตอบ: y(x) = (4 5 e (x 2) cos (2x) sin (2x) 2) χ (x) คำตอบของปัญหาคอชีสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์ที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่ วิธีการแก้สมการคลาสต่างๆ โดยใช้ การแปลงลาปลาซเรียกว่าวิธีการปฏิบัติงาน คุณสมบัติของการแปลงลาปลาซซึ่งเป็นการสร้างความแตกต่างของต้นฉบับช่วยให้เราสามารถลดการแก้สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่ไปจนถึงการแก้สมการพีชคณิต พิจารณาปัญหาคอชีสำหรับสมการเอกพันธ์ที่มีเงื่อนไขตั้งต้น y (n) + a y (n) a n y + a n y = f(x) (3) y() = y, y () = y,..., y (n ) ( ) = ใช่ (4) ปล่อยให้ฟังก์ชัน f(x) และผลเฉลยที่ต้องการเป็นไปตามเงื่อนไขของการมีอยู่ของการแปลงลาปลาซ ให้เราแสดงด้วย Y (p) ภาพของฟังก์ชันที่ไม่รู้จัก (ดั้งเดิม) y(x) และโดย F (p) รูปภาพของด้านขวาของ f(x): y(x) Y (p), f (x) ฉ (น) ตามกฎการแยกความแตกต่างของต้นฉบับ เรามี y (x) py (p) y, y (x) p 2 Y (p) py y, y (n) (x) p n Y (p) p n y p n 2 y.. . ใช่

12 2 จากนั้น เนื่องจากคุณสมบัติเชิงเส้นของการแปลงลาปลาซ หลังจากนำไปใช้กับด้านซ้ายและด้านขวาของสมการ (3) เราจะได้สมการโอเปอเรเตอร์ M(p)Y (p) N(p) = F (p ), (5) โดยที่ M(p) พหุนามลักษณะเฉพาะของสมการ (3): M(p) = p n + a p n a n p + a n y, N(p) พหุนามที่มีข้อมูลเริ่มต้นของปัญหา Cauchy (หายไปเมื่อข้อมูลเริ่มต้นเป็นศูนย์ ): N(p) = y (p n + a p n a n) + + y (p n 2 + a p n a n 2) y n 2 (p + a) + y n, F (p) รูปภาพของฟังก์ชัน f(x) เมื่อแก้สมการโอเปอเรเตอร์ (5) เราจะได้อิมเมจลาปลาซ Y (p) ของสารละลายที่ต้องการ y(x) ในรูปแบบ Y (p) = F (p) + N(p) M(p) การคืนค่าต้นฉบับสำหรับ Y (p) เราจะพบวิธีแก้สมการ (3) ที่ตรงตามเงื่อนไขเริ่มต้น (4) ตัวอย่างที่ 8 ค้นหาคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์: y (x) + y(x) = e x โดยเป็นไปตามเงื่อนไข: y() = สารละลาย. ให้ y(x) Y (p) เนื่องจาก y (x) py (p) y() = py (p), e x p + จากนั้นโดยการใช้การแปลงลาปลาซกับสมการที่กำหนด โดยใช้คุณสมบัติความเป็นเส้นตรง เราจะได้สมการพีชคณิตสำหรับ Y (p): py ( พี) + ย (พี) = พี + เราจะหานิพจน์สำหรับ Y (p) ได้ที่ไหน:

13 ตั้งแต่นั้นมา เราก็มี Y (p) = p + e x, (p +) 2 + p + (p +) 2 xe x, Y (p) y(x) = e x x + e x การตรวจสอบ: ให้เราแสดงให้เห็นว่าฟังก์ชันที่พบเป็นวิธีการแก้ปัญหา Cauchy อย่างแท้จริง เราแทนที่นิพจน์สำหรับฟังก์ชัน y(x) และอนุพันธ์ของมันคือสมการที่กำหนด: y (x) = e x x + e x e x = e x x e x x + e x x + e x = e x หลังจากนำพจน์ที่คล้ายกันมาไว้ทางด้านซ้ายของสมการ เราจะได้ข้อมูลประจำตัวที่ถูกต้อง: e x e x ดังนั้นฟังก์ชันที่สร้างขึ้นจึงเป็นคำตอบของสมการ มาตรวจสอบว่าเป็นไปตามเงื่อนไขเริ่มต้นหรือไม่ y() = : y() = e + e = ดังนั้น ฟังก์ชันที่พบจึงเป็นวิธีแก้ปัญหาคอชี คำตอบ: y(x) = e x x + e x ตัวอย่างที่ 9 แก้โจทย์คอชี y + y =, y() =, y() = สารละลาย. ให้ y(x) Y (p) เนื่องจาก 3 y (x) p 2 Y (p) py() y (), /p จากนั้น ให้ใช้การแปลงลาปลาซกับสมการ โดยคำนึงถึงเงื่อนไขเริ่มต้นที่เราได้รับ (p 2 +)Y (p) = พี = Y ( พี) = พี(พี 2 +). มาแยกเศษส่วนให้เป็นเศษส่วนอย่างง่ายกันดีกว่า: Y (p) = p จากตารางเราจะพบว่า y(x) = cos x หน้า 2 +.

14 4 คุณยังสามารถคืนค่าต้นฉบับจากรูปภาพได้โดยใช้คุณสมบัติการรวมต้นฉบับ (ดูตัวอย่างที่ 4) คำตอบ: y(x) = cos x ตัวอย่าง. แก้โจทย์คอชี y +3y = e 3x, y() =, y() = สารละลาย. ให้ y(x) Y (p) เนื่องจาก y py (p) y(), y (x) p 2 Y (p) py() y () และ e 3x p + 3 จากนั้น เมื่อคำนึงถึงเงื่อนไขเริ่มต้น เราจะได้สมการของตัวดำเนินการ (p 2 + 3p) Y (p) + = p + 2 = Y (p) = p + 3 (p + 3) 2 p ลองแยกฟังก์ชันตรรกยะออกเป็นเศษส่วนอย่างง่าย: p + 2 (p + 3) 2 p = A p + B p C (p + 3) 2 = A(p2 + 6p + 9) + B(p 2 + 3p) + Cp p (p + 3) 2. มาสร้างระบบสมการเพื่อหาสัมประสิทธิ์ A, B และ C: A + B =, 6A + 3B + C =, 9A = 2 แก้โจทย์โดยหา A = 2/9 , B = 2/9, C = /3. ดังนั้น Y (p) = 2 9 p p (p + 3) 2. เราได้คำตอบโดยใช้ตาราง คำตอบ: y(x) = e 3x 3 xe 3x ตัวอย่าง. หาคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์: y (x) + 2y (x) + 5y (x) = เป็นไปตามเงื่อนไข: y() =, y () = 2, y () = สารละลาย. ให้ y(x) Y (p) เนื่องจากเมื่อคำนึงถึงเงื่อนไขที่กำหนดแล้ว เราก็จะได้ y (x) p Y (p) y() = py (p) () = py (p) +, y (x) p 2 Y (p) p y() y () = = p 2 Y (p) p () 2 = p 2 Y (p) + p 2, y (x) p 3 Y (p) p 2 y() p y () y () = = p 3 Y ( พี) พี 2 () พี 2 = พี 3 ย (พี) + พี 2 2p,

15 หลังจากใช้การแปลงลาปลาซกับสมการที่กำหนด เราจะได้สมการโอเปอเรเตอร์ต่อไปนี้: p 3 Y (p) + p 2 2p + 2p 2 Y (p) + 2p 4 + 5pY (p) + 5 = หรือหลังการแปลง: Y (p) (p 3 + 2p 2 + 5p) = p 2 เมื่อแก้สมการนี้สำหรับ Y (p) เราจะได้ Y (p) = p 2 p(p 2 + 2p + 5) ให้เราแยกนิพจน์ผลลัพธ์ออกเป็นเศษส่วนอย่างง่าย: p 2 p(p 2 + 2p + 5) = A p + Bp + C p 2 + 2p + 5 โดยใช้วิธีการสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอนเราจะพบ A, B, C ในการทำเช่นนี้ เราลดเศษส่วนให้เป็นตัวส่วนทั่วไปและเทียบสัมประสิทธิ์สำหรับกำลังเท่ากันของ p: p 2 p(p 2 + 2p + 5) = Ap2 + 2Ap + 5A + Bp 2 + Cp p(p p + 5) เราได้รับระบบสมการพีชคณิตสำหรับ A, B, C: คำตอบจะเป็น: A + B =, 2A + C =, 5A =, A = 5, B = 4 5, C = 2 5 จากนั้น Y (p) = 5p + 5 4p + 2 p 2 + 2p + 5 ในการหาค่าดั้งเดิมของเศษส่วนที่สอง เราเลือกกำลังสองที่สมบูรณ์ในตัวส่วน: p 2 + 2p + 5 = (p +) 2 + 4 จากนั้นในตัวเศษเราเลือกคำว่า p+: 4p+2 = 4(p+)+6 และแยกเศษส่วนออกเป็นผลรวมของเศษส่วนทั้งสอง : 5 4p + 2 p 2 + 2p + 5 = 4 5 p + (p +) (p +) ต่อไป โดยใช้ทฤษฎีบทการกระจัดและตารางการติดต่อระหว่างรูปภาพและต้นฉบับ เราจะได้คำตอบของสมการดั้งเดิม คำตอบ: y(x) = e x cos 2x e x sin 2x

16 6 โดยใช้วิธีการดำเนินการ สามารถสร้างคำตอบทั่วไปของสมการ (3) ได้ ในการทำเช่นนี้จำเป็นต้องแทนที่ค่าเฉพาะ y, y,..., y (n) ของเงื่อนไขเริ่มต้นด้วยค่าคงที่ตามอำเภอใจ C, C 2,..., C n บรรณานุกรม. Aleksandrova N.V. ประวัติความเป็นมาของคำศัพท์ทางคณิตศาสตร์ แนวคิด สัญกรณ์: หนังสืออ้างอิงพจนานุกรม อ.: สำนักพิมพ์ LKI, p. 2. Vasilyeva A. B. สมการเชิงอนุพันธ์และปริพันธ์, แคลคูลัสของการแปรผันในตัวอย่างและปัญหา / A. B. Vasilyeva, G. N. Medvedev, N. A. Tikhonov, T. A. Urazgildina อ.: FIZ-MATLIT, น. 3. Sidorov Yu. V. การบรรยายเรื่องทฤษฎีฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน / Yu. V. Sidorov, M. V. Fedoryuk, M. I. Shabunin M.: วิทยาศาสตร์, 989

แคลคูลัสเชิงปฏิบัติการ แคลคูลัสเชิงปฏิบัติการหมายถึงแคลคูลัสเชิงสัญลักษณ์ซึ่งมีพื้นฐานมาจากการสร้างการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ในฐานะระบบของการดำเนินการอย่างเป็นทางการกับการนำเทียมมาใช้

บทที่ 18 ต้นฉบับและรูปภาพ แคลคูลัสเชิงปฏิบัติการเป็นหนึ่งในวิธีการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ที่เราจะนำไปใช้กับการแก้สมการและระบบเชิงอนุพันธ์ สาระสำคัญของการใช้วิธีนี้

สมการของฟิสิกส์คณิตศาสตร์ การรวบรวมตัวอย่างและแบบฝึกหัด Petrozavodsk 1 Petrozavodsk State University คณะคณิตศาสตร์ สมการของฟิสิกส์คณิตศาสตร์ การรวบรวมตัวอย่างและแบบฝึกหัด

บทนำเนื้อหา. แนวคิดพื้นฐาน.... 4 1. สมการอินทิกรัลของโวลแตร์รา... 5 ตัวเลือกการบ้าน.... 8 2. ตัวละลายของสมการอินทิกรัลของโวลแตร์รา 10 ตัวเลือกการบ้าน.... 11

1 หัวข้อ 4. วิธีดำเนินการสำหรับการแก้สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นและระบบ 4.1 การแปลงลาปลาซ ต้นฉบับคือฟังก์ชันใดๆ f(t) ของตัวแปรจริง t ที่เป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้

องค์ประกอบของสำนักพิมพ์แคลคูลัสเชิงปฏิบัติการ TSTU กระทรวงศึกษาธิการและวิทยาศาสตร์ของสหพันธรัฐรัสเซีย GOU VPO "มหาวิทยาลัยเทคนิคแห่งรัฐ Tambov" องค์ประกอบของแคลคูลัสเชิงปฏิบัติการ

ส่วนการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์: แคลคูลัสเชิงปฏิบัติการ หัวข้อ: การแปลงลาปลาซและคุณสมบัติของมัน อาจารย์ Pakhomova E.G. 2554 11. ต้นฉบับและรูปภาพ. ทฤษฎีบทการผกผัน คำจำกัดความ 1. ให้:R C. ฟังก์ชัน

จำนวนเชิงซ้อน ฟังก์ชันและการดำเนินการกับพวกมัน y โมดูล R ส่วนจริง จำนวนจริง, ส่วนจินตภาพ yim จำนวนจริง iy รูปแบบพีชคณิตในการเขียนจำนวนเชิงซ้อน ค่าหลักของอาร์กิวเมนต์

คำตอบของตัวแปรมาตรฐานของงานทดสอบในหัวข้อ อินทิกรัลของฟังก์ชันของตัวแปรเดียว คำแนะนำเชิงระเบียบวิธี UDC 517.91 คำสั่งเชิงระเบียบวิธีประกอบด้วยคำตอบโดยละเอียดสำหรับตัวแปรทั่วไปของงานทดสอบ

บทที่ 1 แคลคูลัสเชิงปฏิบัติการ 1. คำจำกัดความของการแปลงลาปลาซ การแปลงลาปลาซเชื่อมโยงฟังก์ชัน f(t) กับตัวแปรจริง t กับฟังก์ชัน F() ของตัวแปรเชิงซ้อน = x + iy

กระทรวงคมนาคมของสหพันธรัฐรัสเซียสถาบันการศึกษาด้านงบประมาณของสหพันธรัฐรัสเซียการศึกษาระดับอุดมศึกษา "มหาวิทยาลัยการขนส่งแห่งรัสเซีย (MIIT)" ภาควิชา "อุดมศึกษาและคอมพิวเตอร์"

สถาบันการศึกษาด้านงบประมาณของรัฐบาลกลางของการศึกษาระดับอุดมศึกษา "มหาวิทยาลัยแห่งรัฐมอสโกแห่งการขนส่งจักรพรรดินิโคลัสที่ 2" ภาควิชา "คณิตศาสตร์ขั้นสูงและการคำนวณ"

82 4. ส่วนที่ 4. ซีรีย์การทำงานและกำลัง 4.2. บทที่ 3 4.2. บทที่ 3 4.2.. การขยายฟังก์ชันไปสู่อนุกรม Taylor DEFINITION 4.2.. ให้ฟังก์ชัน y = f(x) สามารถหาอนุพันธ์ได้อย่างไม่สิ้นสุดในบางย่านใกล้เคียง

การบรรยายเรื่องการบูรณาการเศษส่วนเชิงเหตุผล เศษส่วนเชิงเหตุผล การรวมเศษส่วนเชิงตรรกยะอย่างง่าย การสลายตัวของเศษส่วนเชิงตรรกยะเป็นเศษส่วนอย่างง่าย การรวมเศษส่วนเชิงตรรกยะ เหตุผล

หัวข้อที่ 5 สมการเชิงเส้นโวลแตร์ราของประเภท - คำจำกัดความและทฤษฎีบทพื้นฐาน สมการ y = แล K(,) y() d+ f(), [ หรือในรูปแบบตัวดำเนินการ y = γ By+ f เรียกว่าสมการโวลเทอร์ราชนิดนั้น อนุญาต

การบรรยายครั้งที่ 6 การแปลงแคลคูลัสเชิงปฏิบัติการ การแปลงลาปลาซ รูปภาพของฟังก์ชันอย่างง่าย คุณสมบัติพื้นฐานของการแปลงลาปลาซ รูปภาพของอนุพันธ์ของการแปลงแคลคูลัสเชิงปฏิบัติการดั้งเดิม การแปลงลาปลาซ

บทที่ 19 การแก้สมการและระบบเชิงอนุพันธ์โดยใช้วิธีดำเนินการ 19.1 การแก้สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นด้วยค่าสัมประสิทธิ์คงที่ ให้จำเป็นต้องค้นหาคำตอบเฉพาะของเส้นตรง

2.2. วิธีการดำเนินการสำหรับการคำนวณกระบวนการชั่วคราว ข้อมูลทางทฤษฎี การคำนวณกระบวนการชั่วคราวในวงจรที่ซับซ้อนโดยใช้วิธีคลาสสิกมักจะซับซ้อนมากโดยการค้นหาค่าคงที่อินทิเกรต

DOROKHOV VM GUIDE เพื่อแก้ปัญหาในแคลคูลัสเชิงปฏิบัติการของมอสโก, 4 คำนำ หนังสือเรียนเล่มนี้สรุปรากฐานทางทฤษฎีของแคลคูลัสเชิงปฏิบัติการ มีการสรุปวิธีการแก้ไขปัญหาไว้แล้ว

กระทรวงศึกษาธิการและวิทยาศาสตร์ของสหพันธรัฐรัสเซียสถาบันการศึกษางบประมาณของรัฐบาลกลางการศึกษาวิชาชีพชั้นสูง "มหาวิทยาลัยเทคโนโลยีเคมีเคมีรัสเซียตั้งชื่อตาม DI Mendeleev" สถาบัน Novomoskovsk (สาขา) ทดสอบ 8 ในวิชาคณิตศาสตร์ (ปฏิบัติการ

UDC 53.7 เกี่ยวกับวิธีการหนึ่งในการค้นหาวิธีแก้ปัญหาบางส่วนของสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นด้วยค่าสัมประสิทธิ์คงที่ Zhanybekova A.A. [ป้องกันอีเมล]มหาวิทยาลัยเทคนิคคาซัค - อังกฤษ

INTEGRAL CALCULUS INDEMNITE ฟังก์ชันแอนติเดริเวทีฟ INTEGRAL และอินทิกรัลไม่จำกัดของฟังก์ชันเลมมาต้านอนุพันธ์ F(เรียกว่าแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชัน f(บนช่วง X ถ้า F (= f(ฟังก์ชัน X,

สมการอันดับหนึ่งที่ไม่ได้รับการแก้ไขด้วยความเคารพต่ออนุพันธ์ เราจะพิจารณาสมการอันดับหนึ่งที่ไม่ได้รับการแก้ไขด้วยความเคารพต่ออนุพันธ์: F (x, y, y) = 0, (1) โดยที่ F คือฟังก์ชันที่กำหนดของ

II สมการดิฟเฟอเรนเชียล สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่ง นิยาม ความสัมพันธ์ซึ่งตัวแปรที่ไม่รู้จักและฟังก์ชันของมันอยู่ภายใต้เครื่องหมายอนุพันธ์หรือดิฟเฟอเรนเชียลเรียกว่า

องค์ประกอบของทฤษฎีฟังก์ชันของแคลคูลัสเชิงปฏิบัติการตัวแปรที่ซับซ้อน จากการศึกษาหัวข้อนี้ นักเรียนจะต้องเรียนรู้: ค้นหารูปแบบตรีโกณมิติและเลขชี้กำลังของจำนวนเชิงซ้อนตาม

กระทรวงศึกษาธิการและวิทยาศาสตร์แห่งสหพันธรัฐรัสเซีย "MATI" มหาวิทยาลัยเทคโนโลยีแห่งรัฐรัสเซียตั้งชื่อตาม เค.อี. Tsiolkovsky ภาควิชาคณิตศาสตร์ขั้นสูง ตัวเลขเชิงซ้อนและแคลคูลัสปฏิบัติการ

1 หัวข้อที่ 3. สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่ 3.1 สมการเอกพันธ์เชิงเส้น สมการเชิงอนุพันธ์ของรูปแบบ y (n) + a n 1 y (n 1) +... + a 1 y + a 0 y = 0, (3.1) โดยที่ ก

ปริพันธ์ไม่บึกบึน แอนติเดริเวทีฟและอินทิกรัลไม่จำกัด งานหลักของแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์คือการหาอนุพันธ์ (หรือดิฟเฟอเรนเชียล) ของฟังก์ชันที่กำหนด แคลคูลัสอินทิกรัล

กระทรวงศึกษาธิการและวิทยาศาสตร์ของสหพันธรัฐรัสเซีย สาขา Achinsk ของสถาบันการศึกษาอิสระของรัฐบาลกลางแห่งการศึกษาวิชาชีพชั้นสูง "มหาวิทยาลัยสหพันธ์ไซบีเรีย" คณิตศาสตร์

ขีดจำกัดของฟังก์ชัน ความเกี่ยวข้องของการศึกษาหัวข้อ ทฤษฎีขีด จำกัด มีบทบาทพื้นฐานในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์และช่วยให้เราสามารถกำหนดลักษณะของพฤติกรรมของฟังก์ชันสำหรับการเปลี่ยนแปลงข้อโต้แย้งที่กำหนดได้ โดยใช้

แอนติเดริเวทีฟและอินทิกรัลไม่จำกัด แนวคิดและสูตรพื้นฐาน 1. คำจำกัดความของอินทิกรัลแอนติเดริเวทีฟและอินทิกรัลไม่จำกัด คำนิยาม. ฟังก์ชัน F(x) เรียกว่าแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชัน f(x) ในช่วงเวลา

บทที่ 1 สมการเชิงอนุพันธ์ 1.1 แนวคิดของสมการเชิงอนุพันธ์ 1.1.1 ปัญหาที่นำไปสู่สมการเชิงอนุพันธ์ ในฟิสิกส์คลาสสิก ปริมาณทางกายภาพแต่ละปริมาณมีความเกี่ยวข้องกัน

สมการเชิงอนุพันธ์สามัญของลำดับที่หนึ่ง แนวคิดพื้นฐาน สมการเชิงอนุพันธ์ที่มีตัวแปรที่แยกออกได้ ปัญหามากมายในวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีลดลงเหลือเพียงสมการเชิงอนุพันธ์ พิจารณา

การพัฒนาระเบียบวิธี การแก้ปัญหาเกี่ยวกับ TFKP จำนวนเชิงซ้อน การดำเนินการกับจำนวนเชิงซ้อน ระนาบเชิงซ้อน จำนวนเชิงซ้อนสามารถแสดงเป็นเลขชี้กำลังพีชคณิตและตรีโกณมิติได้

การบรรยายครั้งที่ 3 ซีรีส์ Taylor และ Maclaurin การประยุกต์อนุกรมกำลัง การขยายฟังก์ชันไปสู่อนุกรมกำลัง ซีรีส์ Taylor และ Maclaurin สำหรับการใช้งาน สิ่งสำคัญคือต้องสามารถขยายฟังก์ชันที่กำหนดให้เป็นอนุกรมกำลัง ฟังก์ชันเหล่านั้นได้

เวอร์ชันทั่วไป “จำนวนเชิงซ้อน พหุนามและเศษส่วนเชิงตรรกยะ” งาน กำหนดจำนวนเชิงซ้อนสองตัวและ cos sn ค้นหาและเขียนผลลัพธ์ในรูปแบบพีชคณิต เขียนผลลัพธ์ในรูปแบบตรีโกณมิติ

หน่วยงานกลางเพื่อการศึกษาสถาบันการศึกษาระดับรัฐของการศึกษาวิชาชีพชั้นสูง SOUTH FEDERAL UNIVERSITY R. M. Gavrilova, G. S. Kostetskaya Methodological

S P PREOBRAZHENSKY, SR TIKHOMIROV การบูรณาการสมการเชิงอนุพันธ์โดยใช้ POWER SERIES 987 สารบัญ คำนำการกำหนดภารกิจ 3 ตัวเลือกสำหรับงาน 3 ตัวอย่างงานและความคิดเห็น

ส่วนการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์: หัวข้ออินทิกรัลไม่จำกัด: การบูรณาการเศษส่วนตรรกยะ อาจารย์ E.G. Pakhomova 0 ก. 5. ปริพันธ์ของเศษส่วนตรรกยะ คำนิยาม เศษส่วนตรรกยะเรียกว่า

กระทรวงคมนาคมแห่งสหพันธรัฐรัสเซีย สถาบันการศึกษาด้านงบประมาณของรัฐบาลกลางแห่งการศึกษาระดับสูง "มหาวิทยาลัยการขนส่งแห่งรัสเซีย (MIIT)" สถาบันเศรษฐศาสตร์และการเงิน

แคลคูลัสเชิงปฏิบัติการ การแปลงลาปลาซและสูตรผกผัน อนุญาตในช่วงดิริชเลต์ กล่าวคือ: อินทิกรัลฟูริเยร์ (l l) a) ถูกจำกัดขอบเขตในช่วงเวลานี้ ฟังก์ชั่นเป็นไปตามเงื่อนไข b) ต่อเนื่องเป็นชิ้น ๆ

กระทรวงศึกษาธิการของสหพันธรัฐรัสเซียมหาวิทยาลัยน้ำมันและก๊าซแห่งรัฐรัสเซียตั้งชื่อตาม IM Gubkin VI Ivanov แนวทางการศึกษาหัวข้อ "สมการเชิงอนุพันธ์" (สำหรับนักเรียน

57 ลองพิจารณาการรวมเศษส่วนเหตุผลที่ง่ายที่สุดของประเภทที่สี่ (M N) d () p q p ลองทำการเปลี่ยนแปลงตัวแปรโดยการตั้งค่า d ที่ไหน p q จากนั้นอินทิกรัล M N d p p p q q a, M p N Mp q d M (p q) p

สมการเชิงอนุพันธ์ของลำดับที่ n เรียกว่าเชิงเส้นหากอยู่ในระดับแรกเทียบกับฟังก์ชัน y และอนุพันธ์ของมัน y..., y (n) นั่นคือมีรูปแบบ 0 y (n) + a 1 ปี (n 1) +. .. + a ny = f (x) โดยที่

ส่วนการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์: หัวข้ออินทิกรัลไม่ จำกัด: การบูรณาการเศษส่วนตรรกยะ อาจารย์ Rozhkova S.V. 0 ก. 5. ปริพันธ์ของเศษส่วนตรรกยะ คำนิยาม เศษส่วนตรรกยะเรียกว่า

กระทรวงโทรคมนาคมและการสื่อสารมวลชนของสหพันธรัฐรัสเซีย สถาบันการศึกษาของรัฐที่มีการศึกษาวิชาชีพชั้นสูง VOLGA STATE UNIVERSITY OF TELECOMMUNICATIONS

สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งที่แก้ไขโดยคำนึงถึงทฤษฎีบทอนุพันธ์ของการดำรงอยู่และความเป็นเอกลักษณ์ของการแก้ปัญหา ในกรณีทั่วไป สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งจะมีรูปแบบ F ()

T A Matveeva V B Vetlichnaya D K Agisheva บทพิเศษของ Zotova คณิตศาสตร์: การศึกษาเชิงปฏิบัติการหน่วยงานของรัฐบาลกลางเพื่อการศึกษา VOLZHKY POLYTECHNIC INSTITUTE สาขาการศึกษาของรัฐ

INTEGRAL CALCULUS INDEMNITE ฟังก์ชันแอนติเดริเวทีฟ INTEGRAL และอินทิกรัลไม่จำกัดของฟังก์ชันแอนติเดริเวทีฟ F() เรียกว่า แอนติเดริเวทีฟ สำหรับฟังก์ชัน f() ในช่วงเวลา X ถ้า F / () = f() X

5. 4 วิธีการพื้นฐานในการบูรณาการ การบูรณาการโดยตรง การคำนวณปริพันธ์โดยอาศัยการลดปริพันธ์ให้อยู่ในรูปแบบตาราง และใช้คุณสมบัติของค่าไม่แน่นอน

การบรรยายครั้งที่ 3 คำอธิบายทางคณิตศาสตร์ของระบบควบคุม ในทฤษฎีการควบคุม เมื่อวิเคราะห์และสังเคราะห์ระบบควบคุม เราจะจัดการกับแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของมัน แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของระบบควบคุมอัตโนมัติคือสมการ

การบูรณาการระบบสมการเชิงอนุพันธ์โดยการกำจัดตัวแปรวิธีหลักวิธีหนึ่งในการบูรณาการระบบสมการเชิงอนุพันธ์มีดังนี้จากสมการของเส้นปกติ

สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยของลำดับที่ 1 ปัญหาบางประการของกลศาสตร์คลาสสิก กลศาสตร์ต่อเนื่อง อะคูสติก เลนส์ อุทกพลศาสตร์ การถ่ายโอนรังสีจะลดลงเหลือเพียงสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยบางส่วน

อินทิกรัลไม่จำกัดที่ง่ายที่สุด ตัวอย่างของการแก้ปัญหา อินทิกรัลต่อไปนี้จะถูกลดขนาดให้เป็นอินทิกรัลแบบตารางโดยการแปลงอินทิแกรนด์เหมือนกัน 1. dx = dx = 2x 2/3 /3 + 2x 1/2 + C. >2.

บทเรียนเชิงปฏิบัติ การบูรณาการเศษส่วนตรรกยะ เศษส่วนตรรกยะ คือเศษส่วนของรูปแบบ P Q โดยที่ P และ Q เป็นพหุนาม เศษส่วนตรรกยะจะถูกเรียกว่าเหมาะสมหากดีกรีของพหุนาม P ต่ำกว่าดีกรี

[F] Filippov AV การรวบรวมปัญหาเกี่ยวกับสมการเชิงอนุพันธ์ Moscow-Izhevsk: ศูนย์วิจัยวิทยาศาสตร์ "พลศาสตร์ปกติและวุ่นวาย" 00 URL: http://librarbsaz/kitablar/846pf [M] Matveev NM คอลเลกชันของปัญหาและแบบฝึกหัดเกี่ยวกับ

อาชีพอี. เทย์เลอร์ซีรีส์. ผลรวมของอนุกรมกำลัง Mat การวิเคราะห์ประยุกต์ คณิตศาสตร์ ภาคเรียนที่ 3 จงหาการขยายตัวของฟังก์ชันเป็นอนุกรมกำลังในหน่วยกำลัง คำนวณรัศมีการบรรจบกันของอนุกรมกำลัง: A f()

งาน 1.1 ค้นหาคำตอบในพื้นที่ที่ระบุซึ่งไม่เป็นศูนย์เหมือนกัน y = y(x) ของสมการเชิงอนุพันธ์ที่ตรงตามเงื่อนไขขอบเขตที่กำหนด (ปัญหาสตอร์ม-ลิอูวิลล์) วิธีแก้ไข: พิจารณา

9. แอนติเดริเวทีฟและอินทิกรัลไม่จำกัด 9.. ให้ฟังก์ชัน f() กำหนดไว้บนช่วง I R ฟังก์ชัน F () เรียกว่าแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน f () ในช่วงเวลา I ถ้า F () = f () สำหรับ I ใด ๆ และแอนติเดริเวทีฟ

~~ อินทิกรัลไม่แน่นอนและอินทิกรัลแน่นอน แนวคิดของอินทิกรัลต้านอนุพันธ์และอินทิกรัลไม่แน่นอน คำจำกัดความ: ฟังก์ชัน F เรียกว่าแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน f หากฟังก์ชันเหล่านี้เกี่ยวข้องกันดังต่อไปนี้

การบรรยายครั้งที่ 5 7 ทฤษฎีบทของฮิลเบิร์ต-ชมิดต์ เราจะพิจารณาตัวดำเนินการอินทิกรัล A ซึ่งเคอร์เนล K (ตรงตามเงื่อนไขต่อไปนี้: K(s) มีความสมมาตรและต่อเนื่องในชุดของตัวแปรบน [, ]

กระทรวงศึกษาธิการแห่งสาธารณรัฐเบลารุส มหาวิทยาลัยแห่งรัฐเบลารุส คณะฟิสิกส์ ภาควิชาคณิตศาสตร์และฟิสิกส์คณิตศาสตร์ขั้นสูง O A Kononova, N I Ilyinkova, N K Filippova Linear

หัวข้อที่ 9 อนุกรมกำลัง อนุกรมกำลังคืออนุกรมฟังก์ชันที่มีรูปแบบโดยที่ตัวเลข... คือสัมประสิทธิ์ของอนุกรม และจุดขยายของอนุกรม,...,... R... เรียกว่า center Power series คำทั่วไปของอนุกรมกำลัง

ระบบสมการดิฟเฟอเรนเชียลเชิงเส้นที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่ การลดเหลือหนึ่งสมการของลำดับที่ 2 จากมุมมองเชิงปฏิบัติ ระบบเชิงเส้นที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่มีความสำคัญมาก

อินทิกรัลและสมการเชิงอนุพันธ์ หน่วยที่ 1 อินทิกรัลไม่จำกัด การบรรยาย 1.2 บทคัดย่อ เศษส่วนตรรกยะ การสลายตัวของเศษส่วนตรรกยะแท้ให้เป็นผลรวมที่ง่ายที่สุด บูรณาการที่ง่ายที่สุด

สูตรการขยายตัวแบบเฮฟไซด์

ให้ภาพของฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันเศษส่วนเชิงตรรกยะ

ทฤษฎีบท.อนุญาต ที่ไหน และ เป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ ให้เราแนะนำทั้งสองขั้วของฟังก์ชันนั่นคือ ราก (ศูนย์) ของตัวส่วน จากนั้นถ้าเราได้สูตรเฮวิไซด์:

เราดำเนินการพิสูจน์ในกรณีที่ และ เป็นพหุนามขององศา ตและ ปในขณะนั้น ต ป. แล้วมันเป็นเศษส่วนตรรกยะแท้. ลองนำเสนอเป็นผลรวมของเศษส่วนอย่างง่าย:

จากที่นี่เราจะพบค่าสัมประสิทธิ์จากเอกลักษณ์ (17.2) โดยเขียนใหม่ในรูปแบบ

ลองคูณทั้งสองข้างของความเสมอภาคสุดท้ายด้วยแล้วไปให้ถึงขีดจำกัดที่ เมื่อพิจารณาแล้วเราก็จะได้

ดังนั้นจึงเป็นไปตาม (17.1) ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

หมายเหตุ 1.ถ้าสัมประสิทธิ์ของพหุนามเป็นจริง รากเชิงซ้อนของพหุนามจะเป็นคอนจูเกตแบบคู่ ดังนั้น ในสูตร (17.1) ปริมาณคอนจูเกตที่ซับซ้อนจะเป็นเงื่อนไขที่สอดคล้องกับรากคอนจูเกตเชิงซ้อนของพหุนาม และสูตรเฮวิไซด์จะอยู่ในรูปแบบ

โดยที่ผลรวมแรกถูกขยายไปยังรากจริงทั้งหมดของพหุนาม ผลที่สอง - ไปยังรากที่ซับซ้อนทั้งหมดที่มีส่วนจินตภาพเชิงบวก

โน้ต 2.แต่ละเทอมของสูตร (17.1) แสดงถึงการสั่นที่เขียนในรูปแบบที่ซับซ้อน โดยที่ ดังนั้น รากจริง () สอดคล้องกับการแกว่งแบบเป็นระยะ รากเชิงซ้อนที่มีส่วนจริงเป็นลบสอดคล้องกับการแกว่งแบบหน่วง และรากจินตภาพล้วนๆ สอดคล้องกับการแกว่งแบบฮาร์มอนิกที่ไม่มีการหน่วง

หากตัวส่วนไม่มีรากที่มีส่วนจริงที่เป็นบวก ดังนั้นสำหรับค่าที่มากเพียงพอเราจะได้สถานะคงที่:

รากจินตภาพล้วนๆ ของพหุนามที่มีส่วนจินตภาพบวก

การแกว่งที่สอดคล้องกับรากที่มีส่วนจริงที่เป็นลบจะสลายตัวแบบทวีคูณที่ และด้วยเหตุนี้จึงไม่เข้าสู่สภาวะคงตัว

ตัวอย่างที่ 1ค้นหาภาพต้นฉบับ

สารละลาย. เรามี. ลองเขียนรากของพหุนาม: .

ตามสูตร (17.1)

ในที่นี้เนื่องจากตัวเลขคือรากของสมการ เพราะฉะนั้น,

ตัวอย่างที่ 2ค้นหาภาพต้นฉบับ

ที่ไหน ก 0; .

สารละลาย. ตรงนี้ ฟังก์ชันนี้ นอกเหนือจากรากที่ชัดเจนแล้ว ยังมีรากอีกมากมายนับไม่ถ้วน ซึ่งเป็นศูนย์ของฟังก์ชัน การแก้สมการเราจะได้ที่ไหน

ดังนั้นรากของตัวส่วนจึงมีรูปแบบและโดยที่

ใช้สูตร (17.3) เราค้นหาต้นฉบับ

วิธีดำเนินการสำหรับการแก้สมการเชิงอนุพันธ์

สมการเชิงอนุพันธ์.พิจารณาปัญหาคอชีสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้น

(ในที่นี้) โดยมีเงื่อนไขตั้งต้น

ผ่านไปยังรูปภาพใน (18.1) เราจะได้เนื่องจากความเป็นเส้นตรงของการแปลงลาปลาซ

การใช้ทฤษฎีบท 3 ของ§ 16 และเงื่อนไขเริ่มต้น (18.2) เราเขียนภาพของอนุพันธ์ในรูปแบบ

การแทนที่ (18.4) เป็น (18.3) หลังจากการแปลงอย่างง่าย เราจะได้สมการของตัวดำเนินการ

ที่ไหน (พหุนามลักษณะเฉพาะ); .

จากสมการ (18.5) เราพบคำตอบของตัวดำเนินการ

วิธีแก้ไขปัญหา Cauchy (18.1), (18.2) คือวิธีแก้ปัญหาตัวดำเนินการดั้งเดิม (18.6):

สำหรับปัญหาคอชี เราสามารถเขียนในรูปแบบที่ยอมรับได้

สมการของตัวดำเนินการมีรูปแบบ

ให้เราแยกสารละลายตัวดำเนินการออกเป็นเศษส่วนอย่างง่าย:

เมื่อใช้สูตรที่ได้รับในมาตรา 15 เราได้รับต้นฉบับ:

ดังนั้นการแก้ปัญหาคอชีจะมีรูปแบบดังนี้

ตัวอย่างที่ 1แก้โจทย์คอชี่ของสมการเชิงอนุพันธ์ที่มีเงื่อนไขตั้งต้น โดยที่

สารละลาย.

สารละลายมีรูปแบบ

เมื่อใช้ทฤษฎีบท 2 ของ § 16 เราพบอย่างต่อเนื่อง:

ตัวอย่างที่ 2แก้ปัญหาคอชีสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์ที่มีเงื่อนไขเริ่มต้นเป็นศูนย์ โดยที่ฟังก์ชันแรงกระตุ้นขั้นตอนคือ

สารละลาย. ให้เราเขียนสมการโอเปอเรเตอร์

และการตัดสินใจของเขา

จากทฤษฎีบท 2 ของมาตรา 16 เป็นไปตามนั้น

ตามทฤษฎีบทการหน่วงเวลา (§ 15)

ในที่สุด,

ตัวอย่างที่ 3มวลต่อจุด ตแนบไปกับสปริงด้วยความแข็ง กับและตั้งอยู่บนระนาบแนวนอนเรียบ จะมีแรงที่เปลี่ยนแปลงเป็นระยะๆ ในช่วงเวลาหนึ่ง จุดนั้นถูกกระแทกด้วยแรงกระตุ้น หากละเลยการต่อต้านให้ค้นหากฎการเคลื่อนที่ของจุดหาก ณ เวลาเริ่มต้นจุดนั้นอยู่นิ่งที่จุดกำเนิดของพิกัด

สารละลาย. เราเขียนสมการการเคลื่อนที่ในรูป

แรงยืดหยุ่นอยู่ที่ไหน - ฟังก์ชั่นดิแรก มาแก้สมการโอเปอเรเตอร์กัน

ถ้า (กรณีของการสั่นพ้อง) แล้ว

โดยทฤษฎีบทความล่าช้า

ในที่สุด,

อินทิกรัลของดูฮาเมล (สูตร) ให้เราพิจารณาปัญหาคอชีสำหรับสมการ (18.1) ภายใต้เงื่อนไขเริ่มต้น วิธีแก้ปัญหาของตัวดำเนินการในกรณีนี้มีรูปแบบ

ให้ฟังก์ชันน้ำหนักเป็นต้นฉบับสำหรับ จากนั้นตามทฤษฎีบท 1 ของมาตรา 16 ที่เราได้รับ

ความสัมพันธ์ (18.7) เรียกว่าอินทิกรัลของดูฮาเมล (สูตร)

ความคิดเห็นสำหรับเงื่อนไขเริ่มต้นที่ไม่ใช่ศูนย์ สูตรของดูฮาเมลจะใช้ไม่ได้โดยตรง ในกรณีนี้ จำเป็นต้องเปลี่ยนปัญหาเดิมให้เป็นปัญหาที่มีเงื่อนไขเริ่มต้นที่เป็นเนื้อเดียวกัน (ศูนย์) ก่อน เพื่อทำเช่นนี้ เราจะแนะนำฟังก์ชันใหม่

ค่าเริ่มต้นของโซลูชันที่ต้องการอยู่ที่ไหน

มองเห็นได้ง่ายแค่ไหน และด้วยเหตุนี้ .

ดังนั้น ฟังก์ชันนี้จึงเป็นคำตอบของสมการ (18.1) ด้วยทางด้านขวามือที่ได้จากการแทนที่ (18.8) ลงใน (18.1) ด้วยข้อมูลเริ่มต้นเป็นศูนย์

การใช้ (18.7) เราค้นหาและ

ตัวอย่างที่ 4ใช้อินทิกรัลดูฮาเมล หาวิธีแก้ปัญหาคอชี

โดยมีเงื่อนไขเบื้องต้น

สารละลาย. ข้อมูลเริ่มต้นไม่เป็นศูนย์ เราถือว่าตาม (18.8) จากนั้น สำหรับคำจำกัดความ เราจะได้สมการที่มีเงื่อนไขเริ่มต้นที่เป็นเนื้อเดียวกัน

สำหรับปัญหาที่กำลังพิจารณา พหุนามลักษณะเฉพาะ ฟังก์ชันน้ำหนัก ตามสูตรของดูฮาเมล

ในที่สุด,

ระบบสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่ปัญหาคอชีสำหรับระบบสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นในรูปแบบเมทริกซ์มีรูปแบบ

เวกเตอร์ของฟังก์ชันที่ต้องการอยู่ที่ไหน - เวกเตอร์ของด้านขวา; - เมทริกซ์สัมประสิทธิ์ - เวกเตอร์ของข้อมูลเริ่มต้น

แคลคูลัสเชิงปฏิบัติการได้กลายเป็นหนึ่งในบทที่สำคัญที่สุดของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์เชิงปฏิบัติ วิธีการปฏิบัติงานใช้โดยตรงในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์สามัญและระบบสมการดังกล่าว มันยังสามารถใช้เพื่อแก้สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยได้ด้วย

ผู้ก่อตั้งแคลคูลัสเชิงสัญลักษณ์ (เชิงปฏิบัติ) ถือเป็นนักวิทยาศาสตร์ชาวรัสเซีย M.E. Vashchenko - Zakharchenko และ A.V. Letnikov

แคลคูลัสเชิงปฏิบัติการดึงดูดความสนใจหลังจากที่วิศวกรไฟฟ้าชาวอังกฤษ Heaviside ซึ่งใช้แคลคูลัสเชิงสัญลักษณ์ได้รับผลลัพธ์ที่สำคัญหลายประการ แต่ความไม่ไว้วางใจแคลคูลัสเชิงสัญลักษณ์ยังคงมีอยู่จนกระทั่ง Georgi, Bromwich, Carson, A. M. Efros, A. I. Lurie, V. A. Ditkin และคนอื่นๆ ได้สร้างความเชื่อมโยงระหว่างแคลคูลัสเชิงปฏิบัติการและการแปลงอินทิกรัล

แนวคิดในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์โดยใช้วิธีการปฏิบัติงานคือจากสมการเชิงอนุพันธ์เทียบกับฟังก์ชันดั้งเดิมที่ต้องการ ฉ ( ที ) ไปยังสมการของฟังก์ชันอื่น เอฟ ( พี ), เรียกว่ารูปภาพ ฉ ( ที ) . สมการ (เชิงปฏิบัติ) ที่ได้ผลลัพธ์มักจะเป็นแบบพีชคณิตอยู่แล้ว (ซึ่งหมายความว่าง่ายกว่าสมการดั้งเดิม) แก้สัมพันธ์กับภาพ เอฟ ( พี ) จากนั้นจึงย้ายไปยังต้นฉบับที่เกี่ยวข้อง พวกเขาพบคำตอบที่ต้องการสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์นี้

วิธีการปฏิบัติงานสำหรับการแก้สมการเชิงอนุพันธ์สามารถเปรียบเทียบได้กับการคำนวณนิพจน์ต่างๆ โดยใช้ลอการิทึม ตัวอย่างเช่น เมื่อทำการคูณ การคำนวณไม่ได้ดำเนินการกับตัวเลข แต่ใช้ลอการิทึมซึ่งนำไปสู่การแทนที่การคูณด้วย การดำเนินการที่ง่ายกว่า - นอกจากนี้

เช่นเดียวกับลอการิทึม เมื่อใช้วิธีการดำเนินการที่คุณต้องการ:

1) ตารางต้นฉบับและรูปภาพที่เกี่ยวข้อง

2) ความรู้เกี่ยวกับกฎสำหรับการดำเนินการกับภาพที่สอดคล้องกับการกระทำที่ทำกับต้นฉบับ

§1. ต้นฉบับและรูปภาพของฟังก์ชัน Laplace

คำจำกัดความ 1.เราจะเป็นฟังก์ชันที่แท้จริงของการโต้แย้งที่แท้จริง ฉ (ที) เรียก ต้นฉบับ, หากเป็นไปตามข้อกำหนดสามประการ:

1) ฉ (ที) 0 , ที่ ที 0

2) ฉ ( ที ) เพิ่มขึ้นไม่เร็วกว่าฟังก์ชันเอ็กซ์โปเนนเชียลบางตัว

, ที่ ที0 ที่ไหน ม 0, ส 00 - ค่าคงที่จริงบางส่วน ส 0 เรียกว่า ตัวบ่งชี้การเติบโตของฟังก์ชัน f(t) .

3) บนส่วนที่จำกัดใดๆ  ก , ขครึ่งแกนบวก โอทีการทำงาน ฉ (ที) เป็นไปตามเงื่อนไขของ Dirichlet เช่น

ก) จำกัด

b) มีความต่อเนื่องหรือมีจำนวนจุดไม่ต่อเนื่องของประเภทแรกเพียงจำนวนจำกัด

c) มีจำนวน extrema ที่จำกัด

ฟังก์ชันที่ตรงตามข้อกำหนดทั้งสามนี้เรียกว่าฟังก์ชันแคลคูลัสเชิงปฏิบัติการ นำเสนอโดยลาปลาซ หรือ ต้นฉบับ .

ต้นฉบับที่ง่ายที่สุดคือฟังก์ชันหน่วย Heaviside

ถ้าฟังก์ชั่น

เป็นไปตามเงื่อนไขที่ 2 และไม่เป็นไปตามเงื่อนไขที่ 1 จากนั้นผลิตภัณฑ์ก็จะเป็นไปตามเงื่อนไขที่ 1 ด้วย กล่าวคือ จะเป็นต้นฉบับ เพื่อให้สัญลักษณ์ง่ายขึ้น ตามกฎแล้วเราจะใช้ตัวคูณ ชม (ที) ละเว้น โดยพิจารณาว่าฟังก์ชันทั้งหมดที่อยู่ระหว่างการพิจารณามีค่าเท่ากับศูนย์สำหรับค่าลบ ที .

อินทิกรัลลาปลาซ สำหรับต้นฉบับ ฉ (ที) เรียกว่าอินทิกรัลไม่เหมาะสมของรูปแบบ

เป็นพารามิเตอร์ที่ซับซ้อน

ทฤษฎีบท.

อินทิกรัลลาปลาซมาบรรจบกันในระนาบครึ่งระนาบอย่างสมบูรณ์

(นั่นคือภาพ เอฟ (พี) ถูกกำหนดไว้อย่างชัดเจนที่ ) โดยที่ ส 0 - อัตราการเจริญเติบโต ฉ (ที). เราได้รับ: แต่ตามคุณสมบัติของโมดูล .

โปรดทราบว่าตามคำจำกัดความของต้นฉบับ

.

มาคำนวณอินทิกรัลนี้กัน:

นั่นคือเราเข้าใจแล้ว เอฟ (พี) มีอยู่เมื่อ

ความคิดเห็น . จากการพิสูจน์ทฤษฎีบทการประมาณดังต่อไปนี้:

คำจำกัดความ 2 . รูปภาพตามลาปลาซ ฟังก์ชั่น ฉ (ที) เรียกว่าฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน พี = ส + ฉันσ กำหนดโดยความสัมพันธ์

(1)

ความจริงที่ว่าฟังก์ชั่น เอฟ (ที) เป็นภาพต้นฉบับ ฉ (ที) โดยเชิงสัญลักษณ์จะเขียนดังนี้:

หรือ (2)

§2 ทฤษฎีบทพื้นฐานของแคลคูลัสเชิงปฏิบัติการ

2.1 ต้นฉบับที่กลิ้ง

ม้วนต้นฉบับ

และฟังก์ชันนี้เรียกว่า .

ฟังก์ชั่น ฉ (ที) และ ก (ที) ถูกเรียก ส่วนประกอบของการบิด .

ให้เราค้นหาการบิดของต้นฉบับตามอำเภอใจ

และฟังก์ชั่นหน่วยที่เรามี . ในขณะที่ . (2.1.1)

ทฤษฎีบท 1ถ้า

ลองพิจารณาวิธีดำเนินการในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์โดยใช้ตัวอย่างสมการลำดับที่สาม

สมมติว่าเราจำเป็นต้องค้นหาคำตอบเฉพาะของสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับสามที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่

เป็นไปตามเงื่อนไขเริ่มต้น:

c 0, c 1, c 2 - ตัวเลขที่กำหนด

เราเขียนโดยใช้คุณสมบัติของการสร้างความแตกต่างของต้นฉบับ:

ในสมการ (6.4.1) เราจะย้ายจากต้นฉบับไปเป็นรูปภาพกัน

สมการผลลัพธ์เรียกว่า ตัวดำเนินการหรือสมการในภาพ แก้ไขมันสัมพันธ์กับ Y

พหุนามพีชคณิตในตัวแปร ร.

ความเท่าเทียมกันเรียกว่าคำตอบของตัวดำเนินการของสมการเชิงอนุพันธ์ (6.4.1)

ตามหาต้นฉบับ. ใช่(t)ซึ่งสอดคล้องกับภาพที่พบ เราได้คำตอบเฉพาะของสมการเชิงอนุพันธ์

ตัวอย่าง: ใช้วิธีแคลคูลัสเชิงปฏิบัติการ ค้นหาคำตอบเฉพาะของสมการเชิงอนุพันธ์ที่ตรงตามเงื่อนไขเริ่มต้นที่กำหนด

เรามาเปลี่ยนจากต้นฉบับไปสู่รูปภาพกัน

ลองเขียนสมการดั้งเดิมลงในรูปภาพแล้วแก้หา ย

ในการค้นหาต้นฉบับของภาพที่ได้ เราจะแยกตัวประกอบของเศษส่วนและเขียนเศษส่วนที่ได้เป็นผลรวมของเศษส่วนอย่างง่าย

ลองหาสัมประสิทธิ์ ก, บี,และ กับ.

เมื่อใช้ตารางเราจะบันทึกต้นฉบับของภาพที่ได้

ผลเฉลยเฉพาะของสมการดั้งเดิม

วิธีดำเนินการใช้ในการแก้ระบบสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่ในทำนองเดียวกัน

ฟังก์ชันที่ไม่รู้จัก

มาดูภาพกันดีกว่า

เราได้รับระบบการแทนสมการ

เราแก้ระบบโดยใช้วิธีของแครมเมอร์ เราพบปัจจัยกำหนด:

การหาแนวทางแก้ไขระบบภาพ X(p), Y(p) , Z(p)

เราได้รับโซลูชันที่จำเป็นของระบบแล้ว

เมื่อใช้แคลคูลัสเชิงปฏิบัติการ คุณสามารถค้นหาคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นด้วยสัมประสิทธิ์ตัวแปรและสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยได้ คำนวณอินทิกรัล ในขณะเดียวกัน การแก้ปัญหาก็ง่ายขึ้นอย่างมาก ใช้ในการแก้โจทย์สมการฟิสิกส์คณิตศาสตร์

คำถามเพื่อการควบคุมตนเอง

1. ฟังก์ชั่นใดเรียกว่าต้นฉบับ?

2. ฟังก์ชั่นใดที่เรียกว่ารูปภาพต้นฉบับ?

3. ฟังก์ชั่น Heaviside และรูปภาพ

4. รับภาพสำหรับการทำงานของต้นฉบับโดยใช้คำจำกัดความของภาพ: ฉ(เสื้อ) =เสื้อ , .

5. รับรูปภาพสำหรับฟังก์ชันโดยใช้คุณสมบัติของการแปลง Laplace

6. ค้นหาฟังก์ชันของต้นฉบับโดยใช้ตารางรูปภาพ: ;

7. ค้นหาคำตอบเฉพาะของสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นโดยใช้วิธีแคลคูลัสเชิงปฏิบัติการ

วรรณกรรม: หน้า 411-439, หน้า 572-594.

ตัวอย่าง: หน้า 305-316

วรรณกรรม

1. ดังโกะ พี.อี. คณิตศาสตร์ขั้นสูงในแบบฝึกหัดและปัญหา มี 2 ​​ส่วน ส่วนที่ 1: หนังสือเรียน คู่มือวิทยาลัย/พ.ศ. ดันโก เอ.จี. โปปอฟ, ที.ยา. Kozhevnikova - M.: สูงกว่า โรงเรียน พ.ศ. 2540 – 304 น.

2. ดังโกะ พี.อี. คณิตศาสตร์ขั้นสูงในแบบฝึกหัดและปัญหา เป็น 2 ส่วน ส่วนที่ 2: หนังสือเรียน คู่มือสำหรับวิทยาลัย/พ.ศ. ดันโก เอ.จี. โปปอฟ, ที.ยา. Kozhevnikova - M.: สูงกว่า โรงเรียน พ.ศ. 2540 – 416 น.

3. แคปแลน ไอ.เอ. ชั้นเรียนภาคปฏิบัติในวิชาคณิตศาสตร์ชั้นสูง ส่วนที่ 4/IA Kaplan - สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยแห่งรัฐคาร์คอฟ, 2509, 236 หน้า

4. พิสคูนอฟ เอ็น.เอส. แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และอินทิกรัล ใน 2 เล่ม เล่ม 1: หนังสือเรียน. คู่มือสำหรับวิทยาลัย/น.ส. Piskunov - M.: เอ็ด “วิทยาศาสตร์”, 2515. – 456 น.

5. พิสคูนอฟ เอ็น.เอส. แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และอินทิกรัลสำหรับวิทยาลัย ใน 2 เล่ม เล่ม 2: หนังสือเรียน. คู่มือวิทยาลัย../น.ส. Piskunov – M.: เอ็ด “วิทยาศาสตร์”, 2515. – 456 น.

6. เขียนโดย D.T. บันทึกการบรรยายเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ชั้นสูง: จบหลักสูตร–4th ed./ D.T. เขียน – ม.: Iris-press, 2006.–608 หน้า - (การศึกษาระดับอุดมศึกษา).

7. สโลโบดสกายา วี.เอ. หลักสูตรระยะสั้นของคณิตศาสตร์ขั้นสูง เอ็ด ประการที่ 2 ทำใหม่ และเพิ่มเติม หนังสือเรียน คู่มือสำหรับวิทยาลัย/V.A. Slobodskaya - M.: สูงกว่า โรงเรียน พ.ศ. 2512 – 544 น.

© Irina Aleksandrovna Dracheva

บันทึกการบรรยายคณิตศาสตร์ชั้นสูง

สำหรับนักศึกษาทิศทาง 6.070104 “การขนส่งทางทะเลและทางน้ำ”

พิเศษ "การดำเนินงานโรงไฟฟ้าเรือ"

หลักสูตรเต็มเวลาและนอกเวลาปีที่ 2

การหมุนเวียน______สำเนา ลงนามเพื่อเผยแพร่ ______________

หมายเลขคำสั่งซื้อ__________ เล่ม__2.78__p.l.

สำนักพิมพ์ "มหาวิทยาลัยเทคโนโลยีทางทะเลแห่งรัฐเคิร์ช"

98309 เคิร์ช ออร์ดโซนิคิดเซ 82