În articolul adus în atenție, vă oferim exemple de modele matematice. În plus, vom acorda atenție etapelor creării modelelor și vom analiza unele dintre problemele asociate modelării matematice.

O altă problemă a noastră este modelele matematice în economie, exemple ale cărora vom lua în considerare o definiție puțin mai târziu. Ne propunem să începem conversația cu însuși conceptul de „model”, să luăm în considerare pe scurt clasificarea lor și să trecem la întrebările noastre principale.

Conceptul de „model”

Auzim adesea cuvântul „model”. Ce este? Acest termen are multe definiții, iată doar trei dintre ele:

• un obiect specific care este creat pentru a primi și stoca informații, reflectând unele proprietăți sau caracteristici și așa mai departe, ale originalului acestui obiect (acest obiect specific poate fi exprimat în diferite forme: mental, descriere folosind semne etc.);
• un model înseamnă și o afișare a oricărei situații, viață sau management specifică;
• o copie mică a unui obiect poate servi drept model (sunt create pentru un studiu și o analiză mai detaliată, deoarece modelul reflectă structura și relațiile).

Pe baza a tot ceea ce s-a spus mai devreme, putem trage o mică concluzie: modelul vă permite să studiați în detaliu un sistem sau un obiect complex.

Toate modelele pot fi clasificate după mai multe criterii:

• după domeniul de utilizare (educațional, experimental, științific și tehnic, joc, simulare);
• după dinamică (statică și dinamică);
• pe ramură de cunoaștere (fizică, chimică, geografică, istorică, sociologică, economică, matematică);
• după modalitatea de prezentare (materială şi informaţională).

Modelele informaționale, la rândul lor, sunt împărțite în semne și verbale. Și iconic - pe computer și non-computer. Acum să trecem la o analiză detaliată a exemplelor de model matematic.

Model matematic

După cum ați putea ghici, un model matematic reflectă unele caracteristici ale unui obiect sau fenomen folosind simboluri matematice speciale. Matematica este necesară pentru a modela legile lumii în limbajul său specific.

Metoda de modelare matematică a apărut cu mult timp în urmă, cu mii de ani în urmă, odată cu apariția acestei științe. Impulsul dezvoltării acestei metode de modelare a fost însă dat de apariția calculatoarelor (calculatoare electronice).

Acum să trecem la clasificare. De asemenea, poate fi efectuată după unele semne. Ele sunt prezentate în tabelul de mai jos.

Ne propunem să ne oprim și să aruncăm o privire mai atentă asupra ultimei clasificări, deoarece reflectă tiparele generale de modelare și obiectivele modelelor create.

Modele descriptive

În acest capitol ne propunem să ne oprim mai în detaliu asupra modelelor matematice descriptive. Pentru a clarifica totul, se va da un exemplu.

Pentru început, această vedere poate fi numită descriptivă. Acest lucru se datorează faptului că pur și simplu facem calcule și prognoze, dar nu putem influența în niciun fel rezultatul evenimentului.

Un exemplu izbitor de model matematic descriptiv este calculul traiectoriei de zbor, vitezei, distanței față de Pământ a unei comete care a invadat întinderile sistemului nostru solar. Acest model este descriptiv, deoarece toate rezultatele obținute nu pot decât să ne avertizeze asupra unui fel de pericol. Din păcate, nu putem influența rezultatul evenimentului. Cu toate acestea, pe baza calculelor obținute, este posibil să se ia orice măsuri pentru a conserva viața pe Pământ.

Modele de optimizare

Acum vom vorbi puțin despre modele economice și matematice, exemple ale cărora pot fi diverse situații. În acest caz, vorbim despre modele care ajută la găsirea răspunsului potrivit în anumite condiții. Trebuie să aibă niște parametri. Pentru a fi foarte clar, luați în considerare un exemplu din partea agrară.

Avem un grânar, dar boabele se strică foarte repede. În acest caz, trebuie să alegem regimul potrivit de temperatură și să optimizăm procesul de depozitare.

Astfel, putem defini conceptul de „model de optimizare”. În sens matematic, acesta este un sistem de ecuații (atât liniare, cât și nu), a cărui soluție ajută la găsirea soluției optime într-o anumită situație economică. Am luat în considerare un exemplu de model matematic (optimizare), dar aș dori să mai adaug un lucru: acest tip aparține clasei problemelor extreme, ele ajută la descrierea funcționării sistemului economic.

Mai remarcăm o nuanță: modelele pot fi de altă natură (vezi tabelul de mai jos).

Modele multicriteriale

Acum vă invităm să vorbiți puțin despre modelul matematic al optimizării multiobiective. Înainte de asta, am dat un exemplu de model matematic pentru optimizarea unui proces în funcție de orice criteriu, dar dacă există o mulțime de ele?

Un exemplu izbitor de sarcină multicriterială este organizarea unei alimentații adecvate, sănătoase și în același timp economice a unor grupuri mari de oameni. Astfel de sarcini sunt adesea întâlnite în armată, cantine școlare, tabere de vară, spitale și așa mai departe.

Ce criterii ne sunt date în această sarcină?

1. Mâncarea ar trebui să fie sănătoasă.
2. Cheltuielile cu mâncarea ar trebui reduse la minimum.

După cum puteți vedea, aceste obiective nu coincid deloc. Aceasta înseamnă că la rezolvarea unei probleme este necesar să se caute soluția optimă, un echilibru între cele două criterii.

Modele de jocuri

Vorbind despre modelele de joc, este necesar să înțelegem conceptul de „teoria jocurilor”. Mai simplu spus, aceste modele reflectă modele matematice ale conflictelor reale. Merită doar să înțelegem că, spre deosebire de un conflict real, un model matematic de joc are propriile reguli specifice.

Acum voi oferi un minim de informații din teoria jocurilor, care vă vor ajuta să înțelegeți ce este un model de joc. Și așa, în model există neapărat petreceri (două sau mai multe), care se numesc de obicei jucători.

Toate modelele au anumite caracteristici.

Modelul de joc poate fi pereche sau multiplu. Dacă avem două subiecte, atunci conflictul este pereche, dacă mai mult - multiplu. Se poate distinge și un joc antagonist, se mai numește și joc cu sumă zero. Acesta este un model în care câștigul unuia dintre participanți este egal cu pierderea celuilalt.

modele de simulare

În această secțiune, ne vom concentra pe modele matematice de simulare. Exemple de sarcini sunt:

• modelul dinamicii numărului de microorganisme;
• modelul mișcării moleculare și așa mai departe.

În acest caz, vorbim despre modele cât mai apropiate de procesele reale. În mare, ei imită orice manifestare din natură. În primul caz, de exemplu, putem modela dinamica numărului de furnici dintr-o colonie. În acest caz, puteți observa soarta fiecărui individ. În acest caz, descrierea matematică este rar folosită, mai des există condiții scrise:

• după cinci zile, femela depune ouă;
• după douăzeci de zile furnica moare și așa mai departe.

Astfel, sunt folosite pentru a descrie un sistem mare. Concluzia matematică este prelucrarea datelor statistice primite.

Cerințe

Este foarte important de stiut ca exista cateva cerinte pentru acest tip de model, printre care se numara si cele enumerate in tabelul de mai jos.

Versatilitate	Această proprietate vă permite să utilizați același model atunci când descrieți grupuri de obiecte de același tip. Este important de menționat că modelele matematice universale sunt complet independente de natura fizică a obiectului studiat.
Adecvarea	Aici este important să înțelegem că această proprietate permite reproducerea cât mai corectă a proceselor reale. În problemele de operare, această proprietate a modelării matematice este foarte importantă. Un exemplu de model este procesul de optimizare a utilizării unui sistem de gaz. În acest caz, se compară indicatorii calculați și efectivi, ca urmare, se verifică corectitudinea modelului compilat.
Precizie	Această cerință implică coincidența valorilor pe care le obținem la calcularea modelului matematic și a parametrilor de intrare ai obiectului nostru real
economie	Cerința de economie pentru orice model matematic se caracterizează prin costuri de implementare. Dacă lucrarea cu modelul este efectuată manual, atunci este necesar să se calculeze cât timp va dura rezolvarea unei probleme folosind acest model matematic. Dacă vorbim de proiectare asistată de computer, atunci se calculează indicatorii de timp și de memorie a computerului

Etape de modelare

În total, se obișnuiește să se distingă patru etape în modelarea matematică.

1. Formularea legilor care leagă părți ale modelului.
2. Studiul problemelor matematice.
3. Aflarea coincidentei rezultatelor practice si teoretice.
4. Analiza si modernizarea modelului.

Model economic și matematic

În această secțiune, vom evidenția pe scurt problema. Exemple de sarcini pot fi:

• formarea unui program de producție pentru producerea produselor din carne, asigurând profitul maxim al producției;
• maximizarea profitului organizației prin calcularea numărului optim de mese și scaune care urmează să fie produse într-o fabrică de mobilă etc.

Modelul economico-matematic prezintă o abstractizare economică, care se exprimă folosind termeni și semne matematice.

Model matematic pe calculator

Exemple de model matematic pe calculator sunt:

• sarcini hidraulice folosind diagrame, diagrame, tabele și așa mai departe;
• probleme la mecanica solidă și așa mai departe.

Un model de calculator este o imagine a unui obiect sau sistem, prezentată ca:

• Mese;
• diagrame bloc;
• diagrame;
• grafică și așa mai departe.

În același timp, acest model reflectă structura și interconexiunile sistemului.

Construirea unui model economic și matematic

Am vorbit deja despre ce este un model economico-matematic. Un exemplu de rezolvare a problemei va fi luat în considerare chiar acum. Trebuie să analizăm programul de producție pentru a identifica rezerva pentru creșterea profiturilor cu o schimbare a sortimentului.

Nu vom analiza pe deplin problema, ci doar construim un model economic și matematic. Criteriul sarcinii noastre este maximizarea profitului. Atunci funcția are forma: Л=р1*х1+р2*х2… tinzând la maxim. În acest model, p este profitul pe unitate, x este numărul de unități produse. În plus, pe baza modelului construit, este necesar să se facă calcule și să rezumați.

Un exemplu de construire a unui model matematic simplu

Sarcină. Pescarul s-a întors cu următoarea captură:

• 8 pești - locuitori ai mărilor nordice;
• 20% din captură - locuitorii mărilor sudice;
• nu s-a găsit niciun pește din râul local.

Câți pești a cumpărat de la magazin?

Deci, un exemplu de construire a unui model matematic al acestei probleme este următorul. Notăm numărul total de pești cu x. După condiție, 0,2x este numărul de pești care trăiesc în latitudinile sudice. Acum combinăm toate informațiile disponibile și obținem un model matematic al problemei: x=0.2x+8. Rezolvăm ecuația și obținem răspunsul la întrebarea principală: a cumpărat 10 pești din magazin.

Potrivit manualului lui Sovetov și Yakovlev: „un model (lat. modul - măsură) este un obiect-substitut al obiectului original, care oferă studiul unor proprietăți ale originalului”. (p. 6) „Înlocuirea unui obiect cu altul pentru a obține informații despre cele mai importante proprietăți ale obiectului original cu ajutorul unui obiect model se numește modelare.” (p. 6) „În modelarea matematică vom înțelege procesul de stabilire a corespondenței unui obiect real dat a unui obiect matematic, numit model matematic, și studiul acestui model, care permite obținerea caracteristicilor obiectului real luat în considerare. . Tipul de model matematic depinde atât de natura obiectului real, cât și de sarcinile de studiu a obiectului și de fiabilitatea și acuratețea necesară pentru rezolvarea acestei probleme.

În cele din urmă, cea mai concisă definiție a unui model matematic: „O ecuație care exprimă ideea».

Clasificarea modelului

Clasificarea formală a modelelor

Clasificarea formală a modelelor se bazează pe clasificarea instrumentelor matematice utilizate. Adesea construită sub formă de dihotomii. De exemplu, unul dintre seturile populare de dihotomii este:

și așa mai departe. Fiecare model construit este liniar sau neliniar, determinist sau stocastic,... Desigur, sunt posibile și tipuri mixte: concentrate într-o privință (din punct de vedere al parametrilor), modele distribuite în alta etc.

Clasificarea după modul în care este reprezentat obiectul

Alături de clasificarea formală, modelele diferă prin modul în care reprezintă obiectul:

• Modele structurale sau funcționale

Modele structurale reprezintă un obiect ca un sistem cu dispozitiv și mecanism propriu de funcționare. modele funcționale nu utilizați astfel de reprezentări și reflectă doar comportamentul (funcționarea) perceput extern al obiectului. În expresia lor extremă, acestea sunt numite și modele „cutie neagră”. Sunt posibile și tipuri combinate de modele, care sunt uneori denumite „modele” cutie gri».

Conținut și modele formale

Aproape toți autorii care descriu procesul de modelare matematică indică faptul că mai întâi se construiește o construcție ideală specială, model de conținut. Nu există o terminologie stabilită aici, iar alți autori numesc acest obiect ideal model conceptual , model speculativ sau premodel. În acest caz, se numește construcția matematică finală model formal sau doar un model matematic obţinut ca urmare a formalizării acestui model de conţinut (pre-model). Un model semnificativ poate fi construit folosind un set de idealizări gata făcute, ca în mecanică, unde arcurile ideale, corpurile rigide, pendulele ideale, mediile elastice etc. oferă elemente structurale gata făcute pentru o modelare semnificativă. Cu toate acestea, în domeniile de cunoaștere în care nu există teorii formalizate complet finalizate (de vârf în fizică, biologie, economie, sociologie, psihologie și majoritatea altor domenii), crearea de modele semnificative este dramatic mai complicată.

Clasificarea semnificativă a modelelor

Nicio ipoteză în știință nu poate fi dovedită o dată pentru totdeauna. Richard Feynman a spus foarte clar:

„Avem întotdeauna capacitatea de a infirma o teorie, dar rețineți că nu putem dovedi niciodată că este corectă. Să presupunem că ați înaintat o ipoteză de succes, că calculați unde duce aceasta și că găsiți că toate consecințele ei sunt confirmate experimental. Înseamnă asta că teoria ta este corectă? Nu, înseamnă pur și simplu că nu ai reușit să o infirmi.

Dacă se construiește un model de primul tip, atunci aceasta înseamnă că este recunoscut temporar ca adevărat și se poate concentra asupra altor probleme. Totuși, acesta nu poate fi un punct în cercetare, ci doar o pauză temporară: statutul modelului de primul tip nu poate fi decât temporar.

Tip 2: Model fenomenologic (se comportă de parcă…)

Modelul fenomenologic conține un mecanism de descriere a fenomenului. Cu toate acestea, acest mecanism nu este suficient de convingător, nu poate fi suficient confirmat de datele disponibile sau nu este de acord cu teoriile disponibile și cunoștințele acumulate despre obiect. Prin urmare, modelele fenomenologice au statut de soluții temporare. Se crede că răspunsul este încă necunoscut și este necesar să se continue căutarea „mecanismelor adevărate”. Peierls referă, de exemplu, modelul caloric și modelul cuarc al particulelor elementare la al doilea tip.

Rolul modelului în cercetare se poate schimba în timp, se poate întâmpla ca noi date și teorii să confirme modelele fenomenologice și să fie promovate la statutul de ipoteză. De asemenea, noile cunoștințe pot intra treptat în conflict cu modelele-ipoteze de primul tip și pot fi transferate la al doilea. Astfel, modelul cuarcilor trece treptat în categoria ipotezelor; atomismul în fizică a apărut ca o soluție temporară, dar odată cu cursul istoriei a trecut în primul tip. Dar modelele eterice au trecut de la tipul 1 la tipul 2, iar acum sunt în afara științei.

Ideea simplificării este foarte populară atunci când construiești modele. Dar simplificarea este diferită. Peierls distinge trei tipuri de simplificări în modelare.

Tip 3: Apropiere (ceva este considerat foarte mare sau foarte mic)

Dacă este posibil să se construiască ecuații care să descrie sistemul studiat, aceasta nu înseamnă că acestea pot fi rezolvate chiar și cu ajutorul unui calculator. O tehnică comună în acest caz este utilizarea aproximărilor (modele de tip 3). Printre ei modele de răspuns liniar. Ecuațiile sunt înlocuite cu unele liniare. Exemplul standard este legea lui Ohm.

Și aici este tipul 8, care este utilizat pe scară largă în modelele matematice ale sistemelor biologice.

Tip 8: Demonstrație de posibilitate (principalul lucru este de a arăta consistența internă a posibilității)

Acestea sunt, de asemenea, experimente de gândire. cu entităţi imaginare care demonstrează că presupus fenomenîn concordanță cu principiile de bază și consecventă intern. Aceasta este principala diferență față de modelele de tip 7, care dezvăluie contradicții ascunse.

Unul dintre cele mai faimoase dintre aceste experimente este geometria lui Lobachevsky (Lobachevsky a numit-o „geometrie imaginară”). Un alt exemplu este producția în masă de modele formal cinetice de oscilații chimice și biologice, unde auto, etc. Paradoxul Einstein-Podolsky-Rosen a fost conceput ca un model de tip 7 pentru a demonstra inconsecvența mecanicii cuantice. Într-un mod complet neplanificat, s-a transformat în cele din urmă într-un model de tip 8 - o demonstrație a posibilității de teleportare cuantică a informațiilor.

Exemplu

Să considerăm un sistem mecanic format dintr-un arc fixat la un capăt și o sarcină de masă , atașată la capătul liber al arcului. Vom presupune că sarcina se poate deplasa numai în direcția axei arcului (de exemplu, mișcarea are loc de-a lungul tijei). Să construim un model matematic al acestui sistem. Vom descrie starea sistemului prin distanța de la centrul sarcinii până la poziția sa de echilibru. Să descriem interacțiunea dintre un arc și o sarcină folosind legea lui Hooke() după care folosim a doua lege a lui Newton pentru a o exprima sub forma unei ecuații diferențiale:

unde înseamnă derivata a doua a în raport cu timpul: .

Ecuația rezultată descrie modelul matematic al sistemului fizic considerat. Acest model este numit „oscilator armonic”.

Conform clasificării formale, acest model este liniar, determinist, dinamic, concentrat, continuu. În procesul construcției sale, am făcut multe ipoteze (despre absența forțelor externe, absența frecării, micimea abaterilor etc.), care în realitate ar putea să nu fie îndeplinite.

În raport cu realitatea, acesta este cel mai adesea un model de tip 4. simplificare(„omitem unele detalii pentru claritate”), deoarece unele caracteristici universale esențiale (de exemplu, disiparea) sunt omise. Într-o anumită aproximare (să zicem, în timp ce abaterea sarcinii de la echilibru este mică, cu frecare mică, pentru o perioadă nu prea lungă și supusă anumitor alte condiții), un astfel de model descrie destul de bine un sistem mecanic real, deoarece factorii eliminați au un efect neglijabil asupra comportamentului său. Cu toate acestea, modelul poate fi rafinat luând în considerare unii dintre acești factori. Acest lucru va duce la un nou model, cu un domeniu de aplicare mai larg (deși din nou limitat).

Cu toate acestea, atunci când modelul este rafinat, complexitatea studiului său matematic poate crește semnificativ și poate face modelul practic inutil. Adesea, un model mai simplu vă permite să explorați mai bine și mai profund sistemul real decât unul mai complex (și, formal, „mai corect”).

Dacă aplicăm modelul oscilatorului armonic la obiecte care sunt departe de fizică, statutul său semnificativ poate fi diferit. De exemplu, atunci când se aplică acest model la populațiile biologice, cel mai probabil ar trebui să fie atribuit tipului 6 analogie(„Să luăm în considerare doar câteva caracteristici”).

Modele dure și moi

Oscilatorul armonic este un exemplu de așa-numit model „hard”. Se obține ca urmare a unei puternice idealizări a unui sistem fizic real. Pentru a rezolva problema aplicabilității sale, este necesar să înțelegem cât de importanți sunt factorii pe care i-am neglijat. Cu alte cuvinte, este necesar să se investigheze modelul „moale”, care se obține printr-o mică perturbare a celui „dur”. Poate fi dat, de exemplu, de următoarea ecuație:

Aici - o funcție, care poate lua în considerare forța de frecare sau dependența coeficientului de rigiditate al arcului de gradul de întindere a acestuia - un parametru mic. Forma explicită a funcției nu ne interesează momentan. Dacă demonstrăm că comportamentul unui model soft nu diferă fundamental de comportamentul unui model hard (indiferent de forma explicită a factorilor perturbatori, dacă aceștia sunt suficient de mici), problema se va reduce la studierea modelului hard. În caz contrar, aplicarea rezultatelor obținute în studiul modelului rigid va necesita cercetări suplimentare. De exemplu, soluția ecuației unui oscilator armonic sunt funcții de forma , adică oscilații cu o amplitudine constantă. Rezultă de aici că un oscilator real va oscila la infinit cu o amplitudine constantă? Nu, pentru că luând în considerare un sistem cu o frecare arbitrar mică (prezentă întotdeauna într-un sistem real), vom obține oscilații amortizate. Comportamentul sistemului s-a schimbat calitativ.

Dacă un sistem își păstrează comportamentul calitativ sub o mică perturbare, se spune că este stabil din punct de vedere structural. Oscilatorul armonic este un exemplu de sistem instabil structural (negru). Cu toate acestea, acest model poate fi folosit pentru a studia procese pe intervale de timp limitate.

Universalitatea modelelor

Cele mai importante modele matematice au de obicei proprietatea importantă universalitate: fenomene reale fundamental diferite pot fi descrise de același model matematic. De exemplu, un oscilator armonic descrie nu numai comportamentul unei sarcini pe un arc, ci și alte procese oscilatorii, adesea de o natură complet diferită: mici oscilații ale unui pendul, fluctuații ale nivelului lichidului într-un vas în formă de - sau un modificarea intensității curentului într-un circuit oscilator. Astfel, studiind un model matematic, studiem deodată o întreagă clasă de fenomene descrise de acesta. Acest izomorfism al legilor exprimat de modelele matematice în diferite segmente ale cunoștințelor științifice este cel care l-a determinat pe Ludwig von Bertalanffy să creeze „Teoria generală a sistemelor”.

Probleme directe și inverse de modelare matematică

Există multe probleme asociate cu modelarea matematică. În primul rând, este necesar să se vină cu schema de bază a obiectului care se modelează, să o reproducă în cadrul idealizărilor acestei științe. Deci, un vagon de tren se transformă într-un sistem de plăci și corpuri mai complexe din materiale diferite, fiecare material este specificat ca idealizare mecanică standard (densitate, module elastice, caracteristici standard de rezistență), după care sunt compilate ecuații, unele detalii sunt aruncate. ca nesemnificativ pe parcurs. , se fac calcule, se compară cu măsurători, se perfecționează modelul și așa mai departe. Cu toate acestea, pentru dezvoltarea tehnologiilor de modelare matematică, este utilă dezasamblarea acestui proces în principalele sale elemente constitutive.

În mod tradițional, există două clase principale de probleme asociate modelelor matematice: directe și inverse.

Problemă directă: structura modelului și toți parametrii acestuia sunt considerați cunoscuți, sarcina principală este studierea modelului pentru a extrage cunoștințe utile despre obiect. Ce sarcină statică poate rezista podul? Cum va reacționa la o sarcină dinamică (de exemplu, la marșul unei companii de soldați sau la trecerea unui tren cu viteze diferite), cum va depăși avionul bariera sonoră, dacă se va destrăma de flutter - acestea sunt exemple tipice de sarcină directă. Stabilirea corectă a problemei directe (a pune întrebarea corectă) necesită abilități speciale. Dacă nu se pun întrebările potrivite, podul se poate prăbuși, chiar dacă a fost construit un model bun pentru comportamentul său. Așadar, în 1879, un pod metalic peste râul Tey s-a prăbușit în Marea Britanie, ai cărui proiectanți au construit un model al podului, l-au calculat pentru o marjă de siguranță de 20 de ori pentru sarcina utilă, dar au uitat de vânturile care suflau constant. acele locuri. Și după un an și jumătate s-a prăbușit.

În cel mai simplu caz (ecuația unui oscilator, de exemplu), problema directă este foarte simplă și se reduce la o soluție explicită a acestei ecuații.

Problemă inversă: sunt cunoscute multe modele posibile, este necesar să alegeți un model anume pe baza unor date suplimentare despre obiect. Cel mai adesea, structura modelului este cunoscută și trebuie să fie determinați niște parametri necunoscuți. Informațiile suplimentare pot consta în date empirice suplimentare sau în cerințele pentru obiect ( sarcina de proiectare). Date suplimentare pot veni indiferent de procesul de rezolvare a problemei inverse ( observație pasivă) sau să fie rezultatul unui experiment special planificat în timpul soluționării ( supraveghere activă).

Unul dintre primele exemple de soluție virtuoasă a unei probleme inverse cu cea mai deplină utilizare posibilă a datelor disponibile a fost metoda construită de I. Newton pentru reconstrucția forțelor de frecare din oscilațiile amortizate observate.

Un alt exemplu este statistica matematică. Sarcina acestei științe este dezvoltarea unor metode de înregistrare, descriere și analiză a datelor observaționale și experimentale pentru a construi modele probabilistice ale fenomenelor aleatorii de masă. Acestea. setul de modele posibile este limitat de modele probabilistice. În problemele specifice, setul de modele este mai limitat.

Sisteme de simulare pe calculator

Pentru a sprijini modelarea matematică, au fost dezvoltate sisteme de matematică pe calculator, de exemplu, Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim etc. Acestea vă permit să creați modele formale și bloc ale proceselor și dispozitivelor simple și complexe și să schimbați cu ușurință parametrii modelului în timpul simulare. Modele bloc sunt reprezentate prin blocuri (cel mai adesea grafice), ale căror seturi și conexiuni sunt specificate de diagrama modelului.

Exemple suplimentare

Modelul Malthus

Rata de creștere este proporțională cu dimensiunea actuală a populației. Este descris de ecuația diferențială

unde este un anumit parametru determinat de diferența dintre rata natalității și rata mortalității. Soluția acestei ecuații este o funcție exponențială. Dacă natalitatea depășește rata mortalității (), mărimea populației crește la nesfârșit și foarte rapid. Este clar că în realitate acest lucru nu se poate întâmpla din cauza resurselor limitate. Când este atinsă o anumită dimensiune critică a populației, modelul încetează să fie adecvat, deoarece nu ține cont de resursele limitate. O perfecționare a modelului Malthus poate fi modelul logistic, care este descris de ecuația diferențială Verhulst.

unde este dimensiunea populației „de echilibru”, la care natalitatea este exact compensată de rata mortalității. Mărimea populației într-un astfel de model tinde spre valoarea de echilibru, iar acest comportament este stabil din punct de vedere structural.

sistemul prădător-pradă

Să presupunem că într-o anumită zonă trăiesc două tipuri de animale: iepuri (care mănâncă plante) și vulpi (care mănâncă iepuri). Să fie numărul de iepuri, numărul de vulpi. Folosind modelul Malthus cu corecțiile necesare, ținând cont de mâncarea iepurilor de către vulpi, ajungem la următorul sistem, care poartă numele modele de tavi - Volterra:

Acest sistem are o stare de echilibru în care numărul de iepuri și vulpi este constant. Abaterea de la această stare duce la fluctuații ale numărului de iepuri și vulpi, similare cu fluctuațiile oscilatorului armonic. Ca și în cazul oscilatorului armonic, acest comportament nu este stabil din punct de vedere structural: o mică modificare a modelului (de exemplu, ținând cont de resursele limitate necesare iepurilor) poate duce la o schimbare calitativă a comportamentului. De exemplu, starea de echilibru poate deveni stabilă, iar fluctuațiile populației se vor estompa. Este posibilă și situația inversă, când orice mică abatere de la poziția de echilibru va duce la consecințe catastrofale, până la dispariția completă a uneia dintre specii. La întrebarea care dintre aceste scenarii se realizează, modelul Volterra-Lotka nu oferă un răspuns: aici sunt necesare cercetări suplimentare.

Note

1. „O reprezentare matematică a realității” (Encyclopaedia Britanica)
2. Novik I.B., Despre chestiuni filozofice ale modelării cibernetice. M., Cunoașterea, 1964.
3. Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Modelare sisteme: Proc. pentru universități - ed. a III-a, revizuită. si suplimentare - M.: Mai sus. şcoală, 2001. - 343 p. ISBN 5-06-003860-2
4. Samarsky A. A., Mihailov A. P. Modelare matematică. Idei. Metode. Exemple. - Ed. a II-a, corectată. - M .: Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
5. Myshkis A.D., Elemente de teoria modelelor matematice. - Ed. a 3-a, Rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 cu ISBN 978-5-484-00953-4
6. Sevostyanov, A.G. Modelarea proceselor tehnologice: manual / A.G. Sevostyanov, P.A. Sevostianov. - M.: Industria ușoară și alimentară, 1984. - 344 p.
7. Wikționar: modele matematice
8. CliffsNotes.com. Glosarul Științelor Pământului. 20 septembrie 2010
9. Model Reduction and Coarse-Graining Approaches for Multiscale Phenomena, Springer, seria Complexity, Berlin-Heidelberg-New York, 2006. XII+562 pp. ISBN 3-540-35885-4
10. „O teorie este considerată liniară sau neliniară, în funcție de ce - liniar sau neliniar - aparat matematic, de ce modele matematice - liniare sau neliniare - folosește. ... fără a nega aceasta din urmă. Un fizician modern, dacă s-ar întâmpla să redefinească o entitate atât de importantă ca neliniaritate, cel mai probabil ar acționa diferit și, preferând neliniaritatea ca fiind cea mai importantă și comună dintre cele două opuse, ar defini liniaritatea ca „non-non-liniaritate”. liniaritate”. Danilov Yu. A., Prelegeri despre dinamica neliniară. Introducere elementară. Sinergetice: de la trecut la seria viitor. Ed.2. - M.: URSS, 2006. - 208 p. ISBN 5-484-00183-8
11. „Sistemele dinamice modelate printr-un număr finit de ecuații diferențiale obișnuite se numesc sisteme concentrate sau puncte. Ele sunt descrise folosind un spațiu de fază cu dimensiuni finite și sunt caracterizate de un număr finit de grade de libertate. Unul și același sistem în condiții diferite poate fi considerat fie concentrat, fie distribuit. Modelele matematice ale sistemelor distribuite sunt ecuații diferențiale parțiale, ecuații integrale sau ecuații de întârziere obișnuite. Numărul de grade de libertate ale unui sistem distribuit este infinit și este necesar un număr infinit de date pentru a determina starea acestuia. Anishchenko V.S., Sisteme dinamice, Jurnalul Educațional Soros, 1997, nr. 11, p. 77-84.
12. „În funcție de natura proceselor studiate în sistemul S, toate tipurile de modelare pot fi împărțite în deterministă și stocastică, statică și dinamică, discretă, continuă și discret-continuă. Modelarea deterministă afișează procese deterministe, adică procese în care se presupune absența oricăror influențe aleatorii; modelarea stocastică afișează procese și evenimente probabilistice. … Modelarea statică este folosită pentru a descrie comportamentul unui obiect în orice moment în timp, în timp ce modelarea dinamică reflectă comportamentul unui obiect în timp. Modelarea discretă servește pentru a descrie procesele care se presupune că sunt discrete, respectiv, modelarea continuă vă permite să reflectați procesele continue în sisteme, iar modelarea discret-continuă este utilizată pentru cazurile în care doriți să evidențiați prezența atât a proceselor discrete, cât și a celor continue. Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A. ISBN 5-06-003860-2
13. De obicei, modelul matematic reflectă structura (aranjamentul) obiectului care se modelează, proprietățile și interconexiunile componentelor acestui obiect care sunt esențiale pentru scopurile studiului; un astfel de model se numește structural. Dacă modelul reflectă doar modul în care funcționează obiectul - de exemplu, cum reacționează la influențele externe - atunci se numește o cutie funcțională sau, la figurat, o cutie neagră. Sunt posibile și modele combinate. Myshkis A.D. ISBN 978-5-484-00953-4
14. „Cea mai evidentă, dar cea mai importantă etapă inițială a construirii sau alegerii unui model matematic este de a obține cât mai clar posibil despre obiectul modelat și de a-și rafina modelul de conținut pe baza discuțiilor informale. Timpul și eforturile nu trebuie cruțate în această etapă; succesul întregului studiu depinde în mare măsură de acesta. Nu o dată s-a întâmplat ca munca considerabilă petrecută pentru rezolvarea unei probleme matematice să se dovedească a fi ineficientă sau chiar irosită din cauza atenției insuficiente acordate acestei părți a problemei. Myshkis A.D., Elemente de teoria modelelor matematice. - Ed. a 3-a, Rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 cu ISBN 978-5-484-00953-4, p. 35.
15. « Descrierea modelului conceptual al sistemului. La această sub-etapă de construire a unui model de sistem: a) modelul conceptual M este descris în termeni și concepte abstracte; b) se face o descriere a modelului folosind scheme matematice tipice; c) ipotezele și ipotezele sunt în cele din urmă acceptate; d) este fundamentată alegerea unei proceduri de aproximare a proceselor reale la construirea unui model.” Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Modelare sisteme: Proc. pentru universități - ed. a III-a, revizuită. si suplimentare - M.: Mai sus. şcoală, 2001. - 343 p. ISBN 5-06-003860-2, p. 93.
16. Blekhman I. I., Myshkis A. D.,

Calculatoarele au intrat ferm în viața noastră și practic nu există o astfel de zonă a activității umane în care computerele să nu fie folosite. Calculatoarele sunt acum utilizate pe scară largă în procesul de creare și cercetare a noilor mașini, a noilor procese tehnologice și în căutarea opțiunilor optime ale acestora; în rezolvarea problemelor economice, în rezolvarea problemelor de planificare și conducere a producției la diferite niveluri. Crearea de obiecte mari în rachete, construcții de aeronave, construcții navale, precum și proiectarea de baraje, poduri etc., este în general imposibilă fără utilizarea computerelor.

Pentru a folosi un calculator în rezolvarea problemelor aplicate, în primul rând, problema aplicată trebuie „tradusă” într-un limbaj matematic formal, adică. pentru un obiect, proces sau sistem real, acesta model matematic.

Cuvântul „Model” provine din latinescul modus (copie, imagine, contur). Modelarea este înlocuirea unui obiect A cu un alt obiect B. Obiectul înlocuit A se numește original sau obiect de simulare, iar înlocuitorul B se numește model. Cu alte cuvinte, un model este un obiect-înlocuire a obiectului original, oferind studiul unor proprietăți ale originalului.

Scopul simulării sunt primirea, prelucrarea, prezentarea și utilizarea informațiilor despre obiecte care interacționează între ele și mediul extern; iar modelul acționează aici ca un mijloc de cunoaștere a proprietăților și modelelor comportamentului obiectului.

Modelarea este utilizată pe scară largă în diverse domenii ale activității umane, în special în domeniile proiectării și managementului, unde procesele de luare a deciziilor eficiente pe baza informațiilor primite sunt deosebite.

Un model este întotdeauna construit având în vedere un scop specific, care influențează care proprietăți ale unui fenomen obiectiv sunt semnificative și care nu. Modelul este, parcă, o proiecție a realității obiective dintr-un anumit unghi de vedere. Uneori, în funcție de obiective, puteți obține o serie de proiecții ale realității obiective care intră în conflict. Acest lucru este tipic, de regulă, pentru sistemele complexe, în care fiecare proiecție evidențiază ceea ce este esențial pentru un anumit scop dintr-un set de cele neesențiale.

Teoria modelării este o ramură a științei care studiază modalități de a studia proprietățile obiectelor originale pe baza înlocuirii lor cu alte obiecte model. Teoria asemănării stă la baza teoriei modelării. La modelare, asemănarea absolută nu are loc și se străduiește doar să se asigure că modelul reflectă suficient de bine partea studiată a funcționării obiectului. Asemănarea absolută poate avea loc numai atunci când un obiect este înlocuit cu altul exact la fel.

Toate modelele pot fi împărțite în două clase:

1. real,
2. ideal.

La rândul lor, modelele reale pot fi împărțite în:

1. natural,
2. fizic,
3. matematic.

Modele ideale poate fi împărțit în:

1. vizual,
2. simbolic,
3. matematic.

Modelele reale la scară reală sunt obiecte reale, procese și sisteme pe care sunt efectuate experimente științifice, tehnice și industriale.

Modele fizice reale- sunt modele, modele care reproduc proprietatile fizice ale originalelor (modele cinematice, dinamice, hidraulice, termice, electrice, usoare).

Matematice reale sunt modele analogice, structurale, geometrice, grafice, digitale și cibernetice.

Modelele vizuale ideale sunt diagramele, hărțile, desenele, graficele, graficele, analogii, structurale și modele geometrice.

Modelele de semne ideale sunt simbolurile, alfabetul, limbaje de programare, notația ordonată, notația topologică, reprezentarea în rețea.

Ideal modele matematice- acestea sunt modele analitice, funcționale, de simulare, combinate.

În clasificarea de mai sus, unele modele au o dublă interpretare (de exemplu, analogică). Toate modelele, cu excepția celor la scară largă, pot fi combinate într-o singură clasă de modele mentale, deoarece ele sunt produsul gândirii abstracte a omului.

Să ne oprim asupra unuia dintre cele mai universale tipuri de modelare - matematică, care pune în corespondență cu procesul fizic simulat un sistem de relații matematice, a cărui soluție vă permite să obțineți un răspuns la întrebarea despre comportamentul unui obiect fără crearea unui model fizic, care de multe ori se dovedește a fi costisitor și ineficient.

Modelare matematică este un mijloc de studiere a unui obiect, proces sau sistem real prin înlocuirea lor model matematic, mai convenabil pentru cercetarea experimentală cu ajutorul unui computer.

Model matematic este o reprezentare aproximativă a obiectelor, proceselor sau sistemelor reale, exprimată în termeni matematici și reținând trăsăturile esențiale ale originalului. Modele matematice sub formă cantitativă, cu ajutorul construcțiilor logice și matematice, ele descriu principalele proprietăți ale unui obiect, proces sau sistem, parametrii acestuia, relațiile interne și externe.

Formarea conceptelor teoretice bazate pe cercetări în domeniul științelor naturii, care au servit drept bază pentru informații pentru studiul proceselor naturale din ecosistemele acvatice și dezvoltarea modelării matematice ca direcție științifică independentă

Concepte de bază și definiții

1.2.1. Model(fr. măsură, eșantion):

– un anumit set de obiecte (celule spatio-temporale – statii, sectiuni, matrice etc.) care descrie unii parametri ai fenomenului studiat;

Un set de obiecte ale căror proprietăți și relații dintre ele satisfac un sistem dat de axiome;

Măsură, eșantion, normă - un analog (schemă, structură, sistem de semne) al unui anumit fragment de realitate naturală (sau socială).

(din dicționar lasă-i să găsească: metodă, tehnică, metodologie).

1.2.2. După clasă modelele in sine sunt:

- fizică;

- matematică;

- sociale.

La randul lui modele matematice după principiul implementării poate fi:

- determinat - care sunt construite pe baza unor regularități exprimate matematic care descriu procese fizice și chimice din obiectul de modelare. Ei permit categoric determinați valoarea variabilelor;

- statistic – sunt construite pe baza datelor experimentale și reprezintă un sistem de relații care leagă valorile parametrilor de intrare și de ieșire;

- stocastică (sau simulare) - sunt construite pe baza unor idei probabiliste despre procesele din obiectul de studiu și permit modelarea comportamentului acestuia prin calcularea funcțiilor de distribuție a probabilității variabilelor care caracterizează proprietățile studiate.

Imitaţie- imitație.

Stochastic- aleatoriu, probabilistic.

Principiu- ideea călăuzitoare, regula de bază a activității.

Datorită eforturilor clasicilor științelor naturale moderne, în cursul istoriei dezvoltării sale, s-a format un model calitativ al lumii înconjurătoare. Deci, V.I. Vernadsky a pus bazele doctrinei materiei vii și geochimiei marine, A.P. Vinogradov a început să studieze compoziția chimică a microorganismelor, N.M. Knipovich a fost un pionier în cercetarea pescuitului în mările și apele salmastre, S.V. Bruevich a dezvoltat metode analitice pentru lucrările hidrochimice marine, a formulat bazele hidrochimiei, biohidrochimiei și dinamicii chimice a mărilor, L.A. Zenkevich a studiat fauna și productivitatea apelor mării, A.B. Skopintsev a început cercetările asupra substanțelor biogene și organice (MO) în corpurile de apă și cursurile de apă, G.G. Vinberg a abordat problemele formării productivității biologice a mărilor.

Aceste lucrări au servit drept fundament metodologic și teoretic al proiectelor de cercetare la nivel mondial care au început în a doua jumătate a secolului XX. studii periodice ale stării ecologice a ecosistemelor marine, caracteristicilor hidrochimice ale formării bazei de materie primă și bioproductivitatea apelor naturale; modele de dezvoltare a proceselor chimice și biologice de transformare și degradare a materiei organice; mecanisme de regenerare a substraturilor biogene în legătură cu studiul condițiilor de rotație și circulație a substanțelor în biosferă [Leonov, 1999], precum și metode de sistematizare și analiză a informațiilor primite [Fashchuk, 1997; Fashchuk şi colab., 1997].

Potrivit celebrului matematician, academicianul I.M. Yagloma : „Nivelul de maturitate al unei anumite discipline este determinat în mare măsură de gradul de utilizare a aparatului matematic din aceasta, de conținutul „modelelor matematice” inerente disciplinei și de concluziile deductive strâns legate de acestea...”. Până în a doua jumătate a secolului al XX-lea. ecologia marina s-a „maturat” ca știință într-o asemenea măsură încât modelarea matematică a stării ecosistemelor marine a devenit o direcție științifică independentă în știința naturii. În cadrul său, Oceanul Mondial este considerat un sistem dinamic complex de procese fizice, chimice, biologice, geologice și alte procese.

Dezvoltarea tehnologiei informatice și a aparatului de matematică aplicată a condus la dezvoltarea intensivă a modelelor matematice ale ecosistemelor marine, ceea ce a făcut posibilă sistematizarea cunoștințelor dobândite în diverse domenii ale științei marine pentru a prezice și controla starea corpurilor de apă marine. . În acest sens, modelele matematice ale ecosistemelor marine, împreună cu observațiile de teren în mare, pot fi considerate ca fundament pentru o înțelegere științifică a naturii oceanului. Construirea și utilizarea modelelor matematice servește ca mijloc de analiză de sistem a condițiilor de funcționare a ecosistemelor marine.

1.4.1. Pe baza abordării metodologice a modelării proceselor și fenomenelor naturale, se disting următoarele: tipuri de modele: empiric, semiempiric și teoretic.

Modele empirice descrie prin dependenţe matematice relaţia dintre parametrii individuali ai stării mediului şi factorii externi care acţionează asupra lor.

Modele teoretice se bazează pe un material factual larg obținut ca urmare a cercetării fundamentale a elementelor individuale ale ecosistemului, a proceselor de transformare a materiei și a energiei, a modelelor de schimbare a parametrilor chimici și biologici etc.

Modele semiempirice reprezintă o sinteză a primelor două, iar majoritatea modelelor dezvoltate pot fi atribuite acestei categorii.

1.4.2. În funcție de metoda de implementare, modelele sunt împărțite în:

- determinat(folosesc dependențe funcționale pentru a lega variabile);

- stocastică (construit pe baza unor relații statistice). Primele dintre ele sunt folosite mai des, deoarece permit un număr infinit de componente și nu iau în considerare fluctuațiile aleatorii ale parametrilor mediului acvatic. Sunt convenabile din punctul de vedere al interpretării rezultatelor [Aizatullin, Lebedev, 1977].

- stocastic-determinist, în care în prima etapă se caută soluția în mod determinist, iar apoi, folosind metoda testelor statistice, se modelează variabilitatea diferiților parametri și se studiază răspunsul soluției la această variabilitate.

1.4.3. în funcţie asupra acurateței descrierii obiectului modelele pot fi împărțite în imitaţie (dedicat unor bazine sau zone specifice și dezvoltat pentru sarcini specifice de cercetare) și calitate (folosite pentru a clarifica modelele generale de dezvoltare și analiză a proceselor, acestea sunt uneori numite și teoretic). ÎN imitaţie modelele se străduiesc să țină cont de maximum de detalii, iar în calitate – minim (dar cel mai important), prin urmare, pentru cei din urmă, principala problemă este alegerea variabilelor prioritare [Smith, 1976].

După o altă clasificare imitaţie (sunt și stocastice) modelele sunt modele construite pe baza unor idei probabiliste despre procesele din obiectul cercetării și permit modelarea comportamentului acestuia.

1.4.4. În funcție de modul de reprezentare (descriere) a structurii spațiale a modelului se împart în:

- punct(sau zero-dimensionale) cu parametrii concentrați, în care valorile caracteristicilor de stare sunt luate ca medie pentru întregul volum de apă, adică corpul de apă este tratat ca un punct (de exemplu, ca o stație oceanologică medie).

Modelare matematică

1. Ce este modelarea matematică?

De la mijlocul secolului XX. în diverse domenii ale activității umane, metodele matematice și calculatoarele au început să fie utilizate pe scară largă. Au apărut noi discipline precum „economia matematică”, „chimia matematică”, „lingvistica matematică” etc., care studiază modele matematice ale obiectelor și fenomenelor corespunzătoare, precum și metode de studiere a acestor modele.

Un model matematic este o descriere aproximativă a oricărei clase de fenomene sau obiecte din lumea reală în limbajul matematicii. Scopul principal al modelării este de a explora aceste obiecte și de a prezice rezultatele observațiilor viitoare. Cu toate acestea, modelarea este și o metodă de cunoaștere a lumii înconjurătoare, ceea ce face posibilă controlul acesteia.

Modelarea matematică și experimentul computerizat asociat sunt indispensabile în cazurile în care un experiment la scară completă este imposibil sau dificil dintr-un motiv sau altul. De exemplu, este imposibil să înființați un experiment la scară completă în istorie pentru a verifica „ce s-ar întâmpla dacă...” Este imposibil să verificați corectitudinea uneia sau aceleia dintre teorii cosmologice. În principiu, este posibil, dar deloc rezonabil, să experimentezi răspândirea unui fel de boală, cum ar fi ciuma, sau să faci o explozie nucleară pentru a studia consecințele acesteia. Totuși, toate acestea se pot face pe un computer, având în prealabil construit modele matematice ale fenomenelor studiate.

2. Principalele etape ale modelării matematice

1) Construire model. În această etapă, este specificat un obiect „nematematic” - un fenomen natural, construcție, plan economic, proces de producție etc. În acest caz, de regulă, o descriere clară a situației este dificilă. În primul rând, sunt identificate principalele trăsături ale fenomenului și relația dintre ele la nivel calitativ. Apoi dependențele calitative găsite sunt formulate în limbajul matematicii, adică se construiește un model matematic. Aceasta este cea mai dificilă parte a modelării.

2) Rezolvarea problemei matematice la care duce modelul. În această etapă, se acordă multă atenție dezvoltării algoritmilor și metodelor numerice de rezolvare a problemei pe un computer, cu ajutorul cărora rezultatul poate fi găsit cu precizia necesară și într-un timp acceptabil.

3) Interpretarea consecinţelor obţinute din modelul matematic. Consecințele derivate din modelul în limbajul matematicii sunt interpretate în limbajul acceptat în acest domeniu.

4) Verificarea adecvării modelului.În această etapă, se află dacă rezultatele experimentului sunt de acord cu consecințele teoretice ale modelului într-o anumită acuratețe.

5) Modificarea modelului.În această etapă, fie modelul devine mai complex astfel încât să fie mai adecvat realității, fie se simplifică pentru a obține o soluție practic acceptabilă.

3. Clasificarea modelelor

Modelele pot fi clasificate după diferite criterii. De exemplu, în funcție de natura problemelor care se rezolvă, modelele pot fi împărțite în funcționale și structurale. În primul caz, toate mărimile care caracterizează un fenomen sau obiect sunt exprimate cantitativ. În același timp, unele dintre ele sunt considerate ca variabile independente, în timp ce altele sunt considerate ca funcții ale acestor cantități. Un model matematic este de obicei un sistem de ecuații de diferite tipuri (diferențiale, algebrice etc.) care stabilesc relații cantitative între mărimile luate în considerare. În al doilea caz, modelul caracterizează structura unui obiect complex, format din părți separate, între care există anumite conexiuni. De obicei, aceste relații nu sunt cuantificabile. Pentru a construi astfel de modele, este convenabil să folosiți teoria grafurilor. Un graf este un obiect matematic, care este un set de puncte (puncte) pe un plan sau în spațiu, dintre care unele sunt conectate prin linii (margini).

În funcție de natura datelor inițiale și a rezultatelor predicției, modelele pot fi împărțite în deterministe și probabilistic-statistice. Modelele de primul tip oferă predicții clare, fără ambiguitate. Modelele de al doilea tip se bazează pe informații statistice, iar predicțiile obținute cu ajutorul lor sunt de natură probabilistică.

4. Exemple de modele matematice

1) Probleme legate de mișcarea proiectilului.

Luați în considerare următoarea problemă în mecanică.

Proiectilul este lansat de pe Pământ cu o viteză inițială v 0 = 30 m/s la un unghi a = 45° față de suprafața sa; este necesar să se găsească traiectoria mișcării sale și distanța S dintre punctele de început și de sfârșit ale acestei traiectorii.

Apoi, după cum se știe de la cursul de fizică școlară, mișcarea proiectilului este descrisă prin formulele:

unde t - timp, g = 10 m / s 2 - accelerația de cădere liberă. Aceste formule oferă modelul matematic al sarcinii. Exprimând t în termeni de x din prima ecuație și înlocuind-o în a doua, obținem ecuația pentru traiectoria proiectilului:

Această curbă (parabola) intersectează axa x în două puncte: x 1 \u003d 0 (începutul traiectoriei) și (locul unde a căzut proiectilul). Înlocuind valorile date v0 și a în formulele obținute, obținem

răspuns: y \u003d x - 90x 2, S \u003d 90 m.

Rețineți că în construcția acestui model au fost utilizate o serie de ipoteze: de exemplu, se presupune că Pământul este plat, iar aerul și rotația Pământului nu afectează mișcarea proiectilului.

2) Problema unui rezervor cu cea mai mică suprafață.

Se cere să se afle înălțimea h 0 și raza r 0 a unui rezervor de tablă cu volumul V = 30 m 3, având forma unui cilindru circular închis, la care suprafața sa S este minimă (în acest caz, cea mai mică cantitate de cositor va intra în fabricarea sa).

Scriem următoarele formule pentru volumul și suprafața unui cilindru cu înălțimea h și raza r:

V = p r 2 h, S = 2p r(r + h).

Exprimând h în termeni de r și V din prima formulă și înlocuind expresia rezultată în a doua, obținem:

Astfel, din punct de vedere matematic, problema se reduce la determinarea valorii lui r la care functia S(r) atinge minimul ei. Să găsim acele valori ale lui r 0 pentru care derivată

dispare: Puteți verifica că derivata a doua a funcției S(r) își schimbă semnul din minus în plus când argumentul r trece prin punctul r 0 . Prin urmare, funcția S(r) are un minim în punctul r0. Valoarea corespunzătoare h 0 = 2r 0 . Înlocuind valoarea dată V în expresia pentru r 0 și h 0, obținem raza și înălțimea dorite

3) Sarcina de transport.

În oraș există două depozite de făină și două brutării. În fiecare zi, din primul depozit se exportă 50 de tone de făină, iar din al doilea către fabrici 70 de tone, cu 40 de tone către primul și 80 de tone către al doilea.

Notează prin A ij este costul transportului a 1 tonă de făină de la i-a depozit la j-a fabrică (i, j = 1,2). Lăsa

A 11 \u003d 1,2 p., A 12 \u003d 1,6 p., A 21 \u003d 0,8 p., A 22 = 1 p.

Cum ar trebui planificat transportul astfel încât costul lor să fie minim?

Să dăm problemei o formulare matematică. Notăm cu x 1 și x 2 cantitatea de făină care trebuie transportată din primul depozit la prima și a doua fabrică, iar prin x 3 și x 4 - de la al doilea depozit la prima, respectiv a doua fabrică. Apoi:

x 1 + x 2 = 50, x 3 + x 4 = 70, x 1 + x 3 = 40, x 2 + x 4 = 80. (1)

Costul total al tuturor transportului este determinat de formula

f = 1,2x1 + 1,6x2 + 0,8x3 + x4.

Din punct de vedere matematic, sarcina este de a găsi patru numere x 1 , x 2 , x 3 și x 4 care să satisfacă toate condițiile date și să dea minimul funcției f. Să rezolvăm sistemul de ecuații (1) în raport cu xi (i = 1, 2, 3, 4) prin metoda eliminării necunoscutelor. Înțelegem asta

x 1 \u003d x 4 - 30, x 2 \u003d 80 - x 4, x 3 \u003d 70 - x 4, (2)

iar x 4 nu poate fi determinat în mod unic. Deoarece x i i 0 (i = 1, 2, 3, 4), din ecuațiile (2) rezultă că 30J x 4 J 70. Înlocuind expresia pentru x 1 , x 2 , x 3 în formula pentru f, obținem

f \u003d 148 - 0,2x 4.

Este ușor de observat că minimul acestei funcții este atins la valoarea maximă posibilă a x 4, adică la x 4 = 70. Valorile corespunzătoare ale altor necunoscute sunt determinate de formulele (2): x 1 = 40, x 2 = 10, x 3 = 0.

4) Problema dezintegrarii radioactive.

Fie N(0) numărul inițial de atomi ai substanței radioactive și N(t) numărul de atomi nedezintegrați la momentul t. S-a stabilit experimental că rata de modificare a numărului acestor atomi N „(t) este proporțională cu N (t), adică N” (t) \u003d -l N (t), l > 0 este constanta de radioactivitate a unei substanțe date. În cursul școlar de analiză matematică se arată că soluția acestei ecuații diferențiale are forma N(t) = N(0)e –l t . Timpul T, în care numărul de atomi inițiali s-a redus la jumătate, se numește timp de înjumătățire și este o caracteristică importantă a radioactivității unei substanțe. Pentru a determina T, trebuie să punem în formula Atunci De exemplu, pentru radon l = 2,084 10–6 și, prin urmare, T = 3,15 zile.

5) Problema vânzătorului ambulant.

Un vânzător ambulant care locuiește în orașul A 1 trebuie să viziteze orașele A 2 , A 3 și A 4 , fiecare oraș exact o dată, apoi să se întoarcă înapoi la A 1 . Se știe că toate orașele sunt conectate în perechi prin drumuri, iar lungimile drumurilor b ij dintre orașele A i și A j (i, j = 1, 2, 3, 4) sunt următoarele:

b 12 = 30, b 14 = 20, b 23 = 50, b 24 = 40, b 13 = 70, b 34 = 60.

Este necesar să se determine ordinea orașelor vizitate, în care lungimea căii corespunzătoare este minimă.

Să înfățișăm fiecare oraș ca un punct din plan și să-l marchem cu eticheta corespunzătoare Ai (i = 1, 2, 3, 4). Să conectăm aceste puncte cu segmente de linie: ele vor reprezenta drumuri între orașe. Pentru fiecare „drum”, indicăm lungimea în kilometri (Fig. 2). Rezultatul este un grafic - un obiect matematic format dintr-un anumit set de puncte pe plan (numite vârfuri) și un anumit set de linii care leagă aceste puncte (numite muchii). Mai mult decât atât, acest grafic este etichetat, deoarece unele etichete sunt atribuite vârfurilor și muchiilor sale - numere (margini) sau simboluri (verduri). Un ciclu pe un grafic este o succesiune de vârfuri V 1 , V 2 , ..., V k , V 1 astfel încât vârfurile V 1 , ..., V k sunt diferite și orice pereche de vârfuri Vi , V i+1 (i = 1, ..., k – 1) și perechea V 1 , V k sunt legate printr-o muchie. Astfel, problema luată în considerare este de a găsi un astfel de ciclu pe graficul care trece prin toate cele patru vârfuri pentru care suma tuturor greutăților muchiilor este minimă. Să căutăm prin toate ciclurile diferite care trec prin patru vârfuri și începând cu A 1:

1) A 1, A 4, A 3, A 2, A 1;
2) A 1, A 3, A 2, A 4, A 1;
3) A 1 , A 3 , A 4 , A 2 , A 1 .

Acum să aflăm lungimile acestor cicluri (în km): L 1 = 160, L 2 = 180, L 3 = 200. Deci, traseul cu cea mai mică lungime este primul.

Rețineți că dacă există n vârfuri într-un grafic și toate vârfurile sunt conectate în perechi prin muchii (un astfel de grafic se numește complet), atunci numărul de cicluri care trec prin toate nodurile este egal. Prin urmare, în cazul nostru există exact trei cicluri .

6) Problema găsirii unei legături între structura și proprietățile substanțelor.

Luați în considerare câțiva compuși chimici numiți alcani normali. Ele constau din n atomi de carbon și n + 2 atomi de hidrogen (n = 1, 2 ...), interconectați așa cum se arată în figura 3 pentru n = 3. Fie cunoscute valorile experimentale ale punctelor de fierbere ale acestor compuși:

y e (3) = - 42°, y e (4) = 0°, y e (5) = 28°, y e (6) = 69°.

Este necesar să se găsească o relație aproximativă între punctul de fierbere și numărul n pentru acești compuși. Presupunem că această dependență are forma

y » A n+b

Unde A, b - constante de determinat. Pentru găsire Ași b înlocuim în această formulă succesiv n = 3, 4, 5, 6 și valorile corespunzătoare ale punctelor de fierbere. Avem:

– 42 » 3 A+ b, 0 » 4 A+ b, 28 » 5 A+ b, 69 » 6 A+b.

Pentru a determina cel mai bun Ași b există multe metode diferite. Să folosim cele mai simple dintre ele. Exprimăm b în termeni de A din aceste ecuații:

b" - 42 - 3 A, b » – 4 A, b » 28 – 5 A, b » 69 – 6 A.

Să luăm ca b dorită media aritmetică a acestor valori, adică punem b » 16 - 4,5 A. Să substituim această valoare b în sistemul original de ecuații și, calculând A, primim pentru A urmatoarele valori: A» 37, A» 28, A» 28, A» 36 A valoarea medie a acestor numere, adică stabilim A» 34. Deci, ecuaţia dorită are forma

y » 34n – 139.

Să verificăm acuratețea modelului pe primii patru compuși, pentru care calculăm punctele de fierbere folosind formula obținută:

y r (3) = – 37°, y r (4) = – 3°, y r (5) = 31°, y r (6) = 65°.

Astfel, eroarea de calcul a acestei proprietăți pentru acești compuși nu depășește 5°. Folosim ecuația rezultată pentru a calcula punctul de fierbere al unui compus cu n = 7, care nu este inclus în mulțimea inițială, pentru care înlocuim n = 7 în această ecuație: y р (7) = 99°. Rezultatul s-a dovedit a fi destul de precis: se știe că valoarea experimentală a punctului de fierbere y e (7) = 98°.

7) Problema determinării fiabilității circuitului electric.

Aici luăm în considerare un exemplu de model probabilistic. Mai întâi, să oferim câteva informații din teoria probabilității - o disciplină matematică care studiază tiparele fenomenelor aleatorii observate în timpul repetății repetate a unui experiment. Să numim un eveniment aleatoriu A un posibil rezultat al unei anumite experiențe. Evenimentele A 1 , ..., A k formează un grup complet dacă unul dintre ele are loc în mod necesar ca rezultat al experimentului. Evenimentele sunt numite incompatibile dacă nu pot avea loc simultan în aceeași experiență. Fie ca evenimentul A să se întâmple de m ori în timpul repetării de n ori a experimentului. Frecvența evenimentului A este numărul W = . Evident, valoarea lui W nu poate fi prezisă cu exactitate până când nu au fost efectuate o serie de n experimente. Cu toate acestea, natura evenimentelor aleatoare este de așa natură încât în ​​practică se observă uneori următorul efect: odată cu creșterea numărului de experimente, valoarea practic încetează să fie aleatoare și se stabilizează în jurul unui număr non-aleatoriu P(A), numit probabilitatea evenimentului A. Pentru un eveniment imposibil (care nu are loc niciodată în experiment) P(A)=0, iar pentru un anumit eveniment (care are loc întotdeauna în experiment) P(A)=1. Dacă evenimentele A 1 , ..., A k formează un grup complet de evenimente incompatibile, atunci P(A 1)+...+P(A k)=1.

Să fie, de exemplu, experiența constă în aruncarea unui zar și observarea numărului de puncte aruncate X. Apoi putem introduce următoarele evenimente aleatoare A i = (X = i), i = 1, ..., 6. Ele formează un grup complet de evenimente incompatibile la fel de probabile, deci P(A i) = (i = 1, ..., 6).

Suma evenimentelor A și B este evenimentul A + B, care constă în faptul că cel puțin unul dintre ele are loc în experiment. Produsul evenimentelor A și B este evenimentul AB, care constă în apariția simultană a acestor evenimente. Pentru evenimentele independente A și B, formulele sunt adevărate

P(AB) = P(A) P(B), P(A + B) = P(A) + P(B).

8) Luați în considerare acum următoarele sarcină. Să presupunem că trei elemente sunt conectate în serie într-un circuit electric, funcționând independent unul de celălalt. Probabilitățile de eșec ale elementului 1, 2 și 3 sunt respectiv P 1 = 0,1, P 2 = 0,15, P 3 = 0,2. Vom considera circuitul fiabil dacă probabilitatea ca în circuit să nu existe curent nu este mai mare de 0,4. Este necesar să se determine dacă lanțul dat este fiabil.

Deoarece elementele sunt conectate în serie, nu va exista curent în circuit (evenimentul A) dacă cel puțin unul dintre elemente se defectează. Fie A i evenimentul în care elementul i funcționează (i = 1, 2, 3). Atunci P(A1) = 0,9, P(A2) = 0,85, P(A3) = 0,8. Evident, A 1 A 2 A 3 este evenimentul că toate cele trei elemente lucrează simultan și

P(A 1 A 2 A 3) = P(A 1) P(A 2) P(A 3) = 0,612.

Atunci P(A) + P(A 1 A 2 A 3) = 1, deci P(A) = 0,388< 0,4. Следовательно, цепь является надежной.

În concluzie, remarcăm că exemplele de modele matematice de mai sus (printre care se numără cele funcționale și structurale, deterministe și probabiliste) sunt ilustrative și, evident, nu epuizează întreaga varietate de modele matematice care apar în științele naturale și umane.