Mennyi egy konvex sokszög szögeinek összege. Egy háromszög szögeinek összege. Háromszög szögösszeg tétel Általánosítás szimplex elméletre

A háromszög olyan sokszög, amelynek három oldala (három sarka) van. Leggyakrabban az oldalakat kis betűkkel jelölik, amelyek megfelelnek az ellentétes csúcsokat jelölő nagybetűknek. Ebben a cikkben megismerkedünk ezeknek a geometriai alakzatoknak a típusaival, egy olyan tétellel, amely meghatározza, hogy mekkora a háromszög szögeinek összege.

Típusok a szögek mérete szerint

A következő típusú, három csúcsú sokszögek léteznek:

• hegyesszögű, amelyben minden sarok éles;
• téglalap alakú, amelynek egy derékszöge van, generátoraival, lábaknak, a derékszöggel szemközti oldalt pedig hipotenusznak nevezzük;
• tompa, ha egyedül van;
• egyenlő szárúak, amelyekben két oldal egyenlő, és ezeket oldalsónak nevezzük, a harmadik pedig a háromszög alapja;
• egyenlő oldalú, amelynek mindhárom oldala egyenlő.

Tulajdonságok

Jelölje ki az egyes háromszögtípusokra jellemző főbb tulajdonságokat:

• a nagyobb oldallal szemben mindig nagyobb a szög, és fordítva;
• az azonos méretű szemközti oldalak egyenlő szögek, és fordítva;
• minden háromszögnek két hegyesszöge van;
• a külső szög nagyobb a vele nem szomszédos belső szögekhez képest;
• bármely két szög összege mindig kisebb 180 foknál;
• Egy külső szög egyenlő a vele nem metsző másik két szög összegével.

Szögösszeg háromszög tétele

A tétel kimondja, hogy ha összeadjuk egy adott geometriai alakzat összes szögét, amely az euklideszi síkon helyezkedik el, akkor ezek összege 180 fok lesz. Próbáljuk bebizonyítani ezt a tételt.

Legyen egy tetszőleges háromszögünk a KMN csúcsaival.

Rajzoljunk egy KN-t az M csúcson keresztül (ezt az egyenest euklideszi egyenesnek is nevezik). Az A pontot úgy jelöljük meg rajta, hogy a K és A pont az MN egyenes különböző oldalán legyen. Egyenlő AMN és KNM szögeket kapunk, amelyek a belsőekhez hasonlóan keresztben fekszenek, és az MN szekáns alkotja a párhuzamos KH és MA egyenesekkel együtt. Ebből az következik, hogy az M és H csúcsokban elhelyezkedő háromszög szögeinek összege megegyezik a KMA szög nagyságával. Mindhárom szög alkotja az összeget, amely egyenlő a KMA és MKN szögek összegével. Mivel ezek a szögek belső egyoldalúak a párhuzamos KN és MA egyenesekhez képest KM metszővel, összegük 180 fok. A tétel bizonyítást nyert.

Következmény

A fent bizonyított tételből a következő következmény következik: bármely háromszögnek két hegyesszöge van. Ennek bizonyítására tegyük fel, hogy egy adott geometriai alakzatnak csak egy hegyesszöge van. Azt is feltételezhetjük, hogy egyik szög sem hegyes. Ebben az esetben legalább két 90 fokkal egyenlő vagy annál nagyobb szögnek kell lennie. De akkor a szögek összege nagyobb lesz 180 foknál. De ez nem lehet, mert a tétel szerint egy háromszög szögeinek összege 180 ° - nem több és nem kevesebb. Ezt kellett bizonyítani.

Külső sarok ingatlan

Mennyi egy háromszög külső szögeinek összege? Ezt a kérdést kétféleképpen lehet megválaszolni. Az első az, hogy meg kell találni a szögek összegét, amelyek mindegyik csúcson egyet vesznek fel, azaz három szöget. A második azt jelenti, hogy meg kell találnia mind a hat szög összegét a csúcsokban. Először is foglalkozzunk az első lehetőséggel. Tehát a háromszög hat külső sarkot tartalmaz - kettőt minden csúcsban.

Mindegyik párnak egyenlő a szöge, mert függőlegesek:

∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6.

Ezenkívül ismert, hogy egy háromszög külső szöge egyenlő két olyan belső szög összegével, amelyek nem metszik egymást. Következésképpen,

∟1 = ∟A + ∟C, ∟2 = ∟A + ∟B, ∟3 = ∟B + ∟C.

Ebből kiderül, hogy az egyes csúcsok közelében egyenként vett külső szögek összege egyenlő lesz:

∟1 + ∟2 + ∟3 = ∟A + ∟C + ∟A + ∟B + ∟B + ∟C = 2 x (∟A + ∟B + ∟C).

Tekintettel arra, hogy a szögek összege 180 fokkal egyenlő, vitatható, hogy ∟A + ∟B + ∟C = 180°. Ez pedig azt jelenti, hogy ∟1 + ∟2 + ∟3 = 2 x 180° = 360°. Ha a második lehetőséget használjuk, akkor a hat szög összege kétszer akkora lesz. Vagyis a háromszög külső szögeinek összege a következő lesz:

∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 = 2 x (∟1 + ∟2 + ∟2) = 720°.

Derékszögű háromszög

Mennyi egy derékszögű háromszög hegyesszögeinek összege? A válasz erre a kérdésre ismét abból a tételből következik, amely szerint a háromszög szögei 180 fokot adnak össze. És a mi állításunk (tulajdonságunk) így hangzik: egy derékszögű háromszögben a hegyesszögek 90 fokot adnak össze. Bizonyítsuk be, hogy igaz.

Adjunk meg egy KMN háromszöget, amelyben ∟Н = 90°. Be kell bizonyítani, hogy ∟K + ∟M = 90°.

Tehát a szögösszeg tétele szerint ∟К + ∟М + ∟Н = 180°. Feltételünk szerint ∟Н = 90°. Így kiderül, ∟K + ∟M + 90° = 180°. Vagyis ∟K + ∟M = 180° - 90° = 90°. Pontosan ezt kellett bizonyítanunk.

A derékszögű háromszög fenti tulajdonságain kívül a következőket adhatja hozzá:

• a lábakkal szemben fekvő szögek élesek;
• a hipotenusz háromszögletűbb, mint bármelyik láb;
• a lábak összege nagyobb, mint a hypotenusa;
• a háromszög 30 fokos szöggel ellentétes szára a befogó fele, azaz felével egyenlő.

Ennek a geometriai alaknak egy másik tulajdonságaként megkülönböztethető a Pitagorasz-tétel. Azt állítja, hogy egy 90 fokos szögű (téglalap alakú) háromszögben a lábak négyzeteinek összege megegyezik a befogó négyzetével.

Egy egyenlő szárú háromszög szögeinek összege

Korábban azt mondtuk, hogy a három csúcsú és két egyenlő oldalú sokszöget egyenlő szárúnak nevezzük. Egy adott geometriai alakzatnak ez a tulajdonsága ismert: az alapjában lévő szögek egyenlőek. Bizonyítsuk be.

Vegyük a KMN háromszöget, amely egyenlő szárú, KN az alapja.

Be kell bizonyítanunk, hogy ∟K = ∟H. Tehát tegyük fel, hogy MA a KMN háromszögünk felezőpontja. Az MCA háromszög, figyelembe véve az egyenlőség első jelét, egyenlő az MCA háromszöggel. Ugyanis a feltétellel adott, hogy KM = NM, MA közös oldal, ∟1 = ∟2, mivel MA egy felezőszög. Abból a tényből, hogy ez a két háromszög egyenlő, kijelenthetjük, hogy ∟K = ∟Н. Tehát a tétel bebizonyosodott.

De minket az érdekel, hogy mennyi egy háromszög (egyenlőszárú) szögeinek összege. Mivel ebből a szempontból ennek nincsenek sajátosságai, a korábban tárgyalt tételből indulunk ki. Vagyis azt mondhatjuk, hogy ∟K + ∟M + ∟H = 180°, vagy 2 x ∟K + ∟M = 180° (mivel ∟K = ∟H). Ezt a tulajdonságot nem fogjuk igazolni, mivel magának a háromszögnek a szögösszegére vonatkozó tételét korábban igazoltuk.

A háromszög szögeire vonatkozó figyelembe vett tulajdonságok mellett vannak olyan fontos állítások is:

• amelyben az alapra süllyesztették, egyben a medián, az egyenlő oldalak közé eső szög felezője, valamint az alapja;
• egy ilyen geometriai alakzat oldalaira húzott mediánok (felezők, magasságok) egyenlők.

Egyenlő oldalú háromszög

Jobbnak is nevezik, ez az a háromszög, amelyben minden oldal egyenlő. Ezért a szögek is egyenlőek. Mindegyik 60 fokos. Bizonyítsuk be ezt a tulajdonságot.

Tegyük fel, hogy van egy KMN-háromszögünk. Tudjuk, hogy KM = NM = KN. Ez pedig azt jelenti, hogy egy egyenlő szárú háromszög alapjában elhelyezkedő szögek tulajdonsága szerint ∟К = ∟М = ∟Н. Mivel a tétel szerint egy háromszög szögeinek összege ∟К + ∟М + ∟Н = 180°, akkor 3 x ∟К = 180° vagy ∟К = 60°, ∟М = 60°, ∟ Н = 60°. Így az állítás bizonyítást nyer.

Amint az a fenti tételen alapuló bizonyításból látható, a szögek összege, mint bármely más háromszög szögeinek összege, 180 fok. Ezt a tételt nem kell újra bizonyítani.

Az egyenlő oldalú háromszögre jellemző tulajdonságok is vannak:

• a medián, a felező, a magasság egy ilyen geometriai alakzatban megegyezik, és hosszukat a következőképpen számítjuk ki (a x √3): 2;
• ha leírsz egy kört egy adott sokszög körül, akkor a sugara egyenlő lesz (a x √3): 3;
• ha egy kört írunk egy egyenlő oldalú háromszögbe, akkor a sugara (a x √3): 6;
• ennek a geometriai alakzatnak a területét a következő képlettel számítjuk ki: (a2 x √3): 4.

tompa háromszög

Értelemszerűen az egyik szöge 90 és 180 fok között van. De tekintettel arra, hogy ennek a geometriai alaknak a másik két szöge hegyes, arra a következtetésre juthatunk, hogy nem haladják meg a 90 fokot. Ezért a háromszög szögösszegének tétele működik egy tompa háromszög szögösszegének kiszámításakor. Kiderült, hogy az előbb említett tétel alapján nyugodtan kijelenthetjük, hogy egy tompa háromszög szögeinek összege 180 fok. Ismétlem, ezt a tételt nem kell újra bizonyítani.

>>Geometria: Egy háromszög szögeinek összege. Teljes leckék

AZ ÓRA TÉMA: Egy háromszög szögeinek összege.

Az óra céljai:

• A tanulók tudásának megszilárdítása, tesztelése a következő témában: "A háromszög szögeinek összege";
• A háromszög szögei tulajdonságainak bizonyítása;
• Ennek a tulajdonságnak a használata a legegyszerűbb problémák megoldásában;
• A történelmi anyagok felhasználása a tanulók kognitív tevékenységének fejlesztésére;
• A pontosság készségének elsajátítása a rajzkészítés során.

Az óra céljai:

• Ellenőrizze a tanulók problémamegoldó képességét.

Tanterv:

1. Háromszög;
2. Tétel a háromszög szögeinek összegéről;
3. Feladat példa.

Háromszög.

Fájl: O.gif Háromszög- a legegyszerűbb sokszög, amelynek 3 csúcsa (sarok) és 3 oldala van; három pont által határolt sík része és három, ezeket a pontokat páronként összekötő szakasz.
A tér három olyan pontja, amely nem egy egyenesen fekszik, egy és csak egy síknak felel meg.
Bármely sokszög háromszögekre osztható - ezt a folyamatot nevezik háromszögelés.
A matematikának van egy része, amely teljes egészében a háromszögek mintáinak tanulmányozásával foglalkozik - Trigonometria.

Tétel a háromszög szögeinek összegéről.

Fájl:T.gif A háromszög szögösszegének tétele az euklideszi geometria klasszikus tétele, amely kimondja, hogy egy háromszög szögeinek összege 180°.

Bizonyíték" :

Legyen adott Δ ABC. Rajzoljunk (AC)-vel párhuzamos egyenest a B csúcson keresztül, és jelöljük meg rajta a D pontot úgy, hogy az A és D pontok a BC egyenes ellentétes oldalain legyenek. Ekkor a szög (DBC) és a szög (ACB) megegyezik a BD és AC párhuzamos egyeneseken elhelyezkedő belső keresztekkel és a szekánssal (BC). Ekkor a háromszög B és C csúcsokban lévő szögeinek összege egyenlő a szöggel (ABD). De az ABC háromszög A csúcsánál lévő szög (ABD) és szög (BAC) belső egyoldalúak a BD és AC párhuzamos egyenesekkel és a szekánssal (AB), és ezek összege 180°. Ezért egy háromszög szögeinek összege 180°. A tétel bizonyítást nyert.

Következmények.

A háromszög külső szöge megegyezik a háromszög azon két szögének összegével, amelyek nem szomszédosak vele.

Bizonyíték:

Legyen adott Δ ABC. A D pont az AC egyenesen van úgy, hogy A C és D között van. Ekkor BAD kívül esik a háromszög A csúcsánál bezárt szögén, és A + BAD = 180°. De A + B + C = 180°, és így B + C = 180° – A. Ezért ROSSZ = B + C. A következmény bizonyított.

Következmények.

A háromszög külső szöge nagyobb, mint a háromszög bármely szöge, amely nem szomszédos vele.

Egy feladat.

A háromszög külső szöge a háromszög bármely szögével szomszédos szög. Bizonyítsuk be, hogy egy háromszög külső szöge egyenlő a háromszög két olyan szögének összegével, amelyek nem szomszédosak vele.
(1. ábra)

Megoldás:

Legyen Δ ABC ∠DAC külső (1. ábra). Ekkor ∠DAC=180°-∠BAC (a szomszédos szögek tulajdonsága szerint), a háromszög szögösszegére vonatkozó tétel szerint ∠B+∠C =180°-∠BAC. Ezekből az egyenlőségekből ∠DAC=∠B+∠C kapjuk

Érdekes tény:

Egy háromszög szögeinek összege :

Lobacsevszkij geometriájában a háromszög szögeinek összege mindig kisebb, mint 180. Euklidész geometriájában mindig egyenlő 180-al. A Riemann geometriában a háromszög szögeinek összege mindig nagyobb, mint 180.

A matematika történetéből:

Eukleidész (Kr. e. III. század) a „Kezdetek” című művében a következő definíciót adja: „Párhuzamosak azok az egyenesek, amelyek ugyanabban a síkban vannak, és mivel mindkét oldalon korlátlanul meghosszabbodnak, egyik oldalon sem találkoznak egymással”.
Posidonius (Kr. e. 1. század) "Két egyenes, egy síkban, egyenlő távolságra egymástól"
Az ókori görög tudós Pappus (Kr. e. III. század) bevezette a párhuzamos vonalak szimbólumát - jel =. Ezt követően Ricardo (1720-1823) angol közgazdász egyenlőségjelként használta ezt a szimbólumot.
Csak a 18. században kezdték el használni a párhuzamos vonalak szimbólumát - a || jelet.
A generációk közötti élő kapcsolat egy pillanatra sem szakad meg, nap mint nap tanuljuk az őseink által felhalmozott tapasztalatokat. Az ókori görögök megfigyelések és gyakorlati tapasztalatok alapján következtetéseket vontak le, hipotéziseket fogalmaztak meg, majd tudóstalálkozókon - szimpóziumokon (szó szerint "lakoma") - megpróbálták ezeket a hipotéziseket alátámasztani, bizonyítani. Ekkor alakult ki a kijelentés: "Az igazság a vitában születik."

Kérdések:

1. Mi az a háromszög?
2. Mit mond a háromszögösszeg tétel?
3. Mekkora a háromszög külső szöge?

Bizonyíték:

• Az ABC háromszög adott.
• Húzzon egy DK egyenest a B csúcson keresztül párhuzamosan az AC alappal.
• \angle CBK= \angle C mint belső keresztben fekvő párhuzamos DK és AC, és szekáns BC.
• \angle DBA = \angle Egy belső keresztben fekvő DK \párhuzamos AC és AB szekáns. A DBK szög egyenes és egyenlő
• \angle DBK = \angle DBA + \angle B + \angle CBK
• Mivel az egyenes szög 180 ^\circ , és \angle CBK = \angle C és \angle DBA = \angle A , kapjuk 180 ^\circ = \angle A + \angle B + \angle C.

Tétel bizonyított

A háromszög szögösszegére vonatkozó tétel következményei:

1. Egy derékszögű háromszög hegyesszögeinek összege a 90°.
2. Egy egyenlő szárú derékszögű háromszögben minden hegyesszög az 45°.
3. Egy egyenlő oldalú háromszögben minden szög az 60°.
4. Bármely háromszögben vagy minden szög hegyesszögű, vagy két szög hegyesszög, a harmadik pedig tompa vagy derékszögű.
5. Egy háromszög külső szöge egyenlő két olyan belső szög összegével, amelyek nem szomszédosak vele.

Háromszög külső szög tétel

Egy háromszög külső szöge megegyezik a háromszög két fennmaradó szögének összegével, amelyek nem szomszédosak a külső szöggel.

Bizonyíték:

• Adott az ABC háromszög, ahol a BCD a külső szög.
• \angle BAC + \angle ABC +\angle BCA = 180^0
• Az egyenlőségekből a szög \angle BCD + \angle BCA = 180^0
• Kapunk \angle BCD = \angle BAC+\angle ABC.

(alap absztrakt)

Vizuális geometria 7. évfolyam. Referencia absztrakt 4. sz. Egy háromszög szögeinek összege.

A 17. század nagy francia tudósa Blaise Pascal gyerekként szeretett geometrikus formákkal bütykölni. Ismerte a szögmérőt, és tudta, hogyan kell szögeket mérni. A fiatal kutató észrevette, hogy minden háromszög esetében a három szög összege azonos - 180 °. „Hogy tudod bebizonyítani? gondolta Pascal. "Végül is nem tudod ellenőrizni az összes háromszög szögeinek összegét - végtelen sok van." Ezután ollóval levágta a háromszög két sarkát, és a harmadik sarokhoz rögzítette. Kiderült egy fejlett szög, amely, mint tudod, 180 °. Ez volt az első saját felfedezése. A fiú további sorsa már előre el volt döntve.

Ebben a témakörben megismerheti a derékszögű háromszög egyenlőség öt jellemzőjét és a 30°-os derékszögű háromszög talán legnépszerűbb tulajdonságát. Ez így hangzik: a 30 ° -os szöggel szemben fekvő láb egyenlő a hipotenusz felével. Ha egy egyenlő oldalú háromszöget elosztunk egy magassággal, azonnal bizonyítást kapunk erre a tulajdonságra.

TÉTEL. Egy háromszög szögeinek összege 180°. Ennek bizonyítására az alappal párhuzamosan húzunk egy egyenest a csúcson keresztül. A sötét szögek egyenlőek és a szürke szögek egyenlőek, mivel párhuzamos vonalakon fekszenek. A sötét sarok, a szürke sarok és a csúcsi sarok egyenes sarkot alkot, ezek összege 180°. A tételből következik, hogy egy egyenlő oldalú háromszög szögei egyenként 60°-osak, és egy derékszögű háromszög hegyesszögeinek összege 90°.

külső sarok háromszöget a háromszög szögével szomszédos szögnek nevezzük. Ezért néha magának a háromszögnek a szögeit belső szögeknek nevezik.

TÉTEL a háromszög külső szögéről. Egy háromszög külső szöge egyenlő két olyan belső szög összegével, amelyek nem szomszédosak vele. Valójában egy külső sarok és két belső, nem szomszédos sarok teszi teljessé a kitöltött sarkot 180°-ig. A tételből az következik, hogy egy külső szög nagyobb, mint bármely vele nem szomszédos belső szög.

TÉTEL a háromszög oldalai és szögei közötti összefüggésekről. Egy háromszögben a nagyobb oldal a nagyobb szöggel, a nagyobb oldal pedig a nagyobb szöggel ellentétes. Ebből következik: 1) A láb kisebb, mint a hypotenusa. 2) A merőleges kisebb, mint a lejtő.

Távolság ponttól vonalig . Mivel a merőleges kisebb, mint bármely, ugyanabból a pontból húzott ferde, a hosszát a pont és az egyenes távolságának tekintjük.

háromszög egyenlőtlenség . A háromszög bármely oldalának hossza kisebb, mint a másik két oldalának az összege, azaz. a< b + с , b< а + с , Val vel< а + b . Következmény. A vonallánc hossza nagyobb, mint a végeit összekötő szakasz.

AZ EGYENLŐSÉG JELEI
TÉGYSZÖGŰ HÁROMSZÖGEK

Két lábon. Ha egy derékszögű háromszög két szára egy másik háromszög két szárával egyenlő, akkor az ilyen háromszögek egybevágóak.

A lábszár és a szomszédos hegyesszög mentén. Ha egy derékszögű háromszög szára és a vele szomszédos hegyesszög rendre megegyezik egy másik háromszög szárával és a vele szomszédos hegyesszögével, akkor az ilyen háromszögek egybevágóak.

A lábszár mentén és az ellenkező hegyesszögben. Ha egy derékszögű háromszög szára és szemközti hegyesszöge rendre megegyezik egy másik háromszög szárával és szemközti hegyesszögével, akkor az ilyen háromszögek egybevágóak.

Hipotenúza és hegyesszög szerint. Ha egy derékszögű háromszög befogója és hegyesszöge rendre megegyezik egy másik háromszög befogójával és hegyesszögével, akkor az ilyen háromszögek egybevágóak.

Ezen kritériumok bizonyítása azonnal redukálódik a háromszögek egyenlőségének egyik kritériumává.

Lábon és hypotenuson keresztül. Ha egy derékszögű háromszög szára és befogója rendre megegyezik egy másik derékszögű háromszög szárával és befogójával, akkor az ilyen háromszögek egybevágóak.

Bizonyíték. Egyenlő lábú háromszögeket alkalmazunk. Egyenlőszárú háromszöget kapunk. Felülről húzott magassága is a medián lesz. Ekkor a háromszögek második szárai egyenlőek, és a háromszögek három oldalán egyenlők.

TÉTEL 30°-os szöggel szemben fekvő láb tulajdonságán. A 30°-os szöggel szemközti láb egyenlő a hipotenusz felével. Ezt úgy bizonyítjuk, hogy a háromszöget egyenlő oldalúra egészítjük ki.

TÉTEL a szögfelező pontok tulajdonságáról. Egy szög felezőjének bármely pontja egyenlő távolságra van az oldalaitól. Ha egy pont egyenlő távolságra van egy szög oldalaitól, akkor a szög felezőjén fekszik. A szög oldalaira két merőleges rajzolásával és derékszögű háromszögek figyelembevételével bizonyított.

Második nagyszerű pont . A háromszög felezői egy pontban metszik egymást.

Párhuzamos vonalak közötti távolság. TÉTEL. Két párhuzamos egyenes mindegyik pontja azonos távolságra van a másik egyenestől. A párhuzamos egyenesek távolságának meghatározása a tételből következik.

Meghatározás. A két párhuzamos egyenes távolsága az egyik párhuzamos egyenes bármely pontjától a másik egyenesig mért távolság.

Tételek részletes bizonyítása

Ez a 7. évfolyam geometria 4. számú referenciakivonata. Válassza ki a következő lépéseket:

Tétel. Egy háromszög belső szögeinek összege két derékszöggel egyenlő.

Vegyünk egy ABC háromszöget (208. ábra). Jelöljük belső szögeit 1-gyel, 2-vel és 3-mal. Bizonyítsuk be

∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°.

Húzzuk át a háromszög valamelyik csúcsán, például B-n az AC-vel párhuzamos MN egyenest.

A B csúcsban három szöget kaptunk: ∠4, ∠2 és ∠5. Összegük egyenes szög, ezért egyenlő 180 °:-kal:

∠4 + ∠2 + ∠5 = 180°.

De ∠4 \u003d ∠1 belső keresztirányú szögek MN és AC párhuzamos egyenesekkel és AB szekánssal.

∠5 = ∠3 belső keresztfekvési szögek MN és AC párhuzamos egyenesekkel és BC szekánssal.

Ezért ∠4 és ∠5 helyettesíthető ∠1 és ∠3 értékekkel.

Ezért ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°. A tétel bizonyítást nyert.

2. Háromszög külső szögének tulajdonsága.

Tétel. Egy háromszög külső szöge egyenlő két olyan belső szög összegével, amelyek nem szomszédosak vele.

Valójában az ABC háromszögben (209. ábra) ∠1 + ∠2 = 180° - ∠3, de ∠BCD is ennek a háromszögnek a külső szöge, amely nem szomszédos ∠1 és ∠2, szintén 180° - ∠3.

Ilyen módon:

∠1 + ∠2 = 180° - ∠3;

∠BCD = 180° - ∠3.

Ezért ∠1 + ∠2= ∠BCD.

A háromszög külső szögének származtatott tulajdonsága finomítja a háromszög külső szögére vonatkozó, korábban bizonyított tétel tartalmát, amelyben csak azt állítottuk, hogy a háromszög külső szöge nagyobb, mint a háromszög minden belső szöge nem szomszédos vele; most megállapítottuk, hogy a külső szög egyenlő a vele nem szomszédos két belső szög összegével.

3. 30°-os szögű derékszögű háromszög tulajdonsága.

Tétel. Egy derékszögű háromszög 30°-os szöggel szemközti szára egyenlő a befogó felével.

Legyen a B szög egyenlő 30°-kal egy ACB derékszögű háromszögben (210. ábra). Ekkor a másik hegyesszöge 60° lesz.

Bizonyítsuk be, hogy az AC láb egyenlő az AB hipotenusz felével. Folytatjuk az AC szakaszt a C derékszög csúcsán túl, és félretesszük a CM szakaszt, amely megegyezik az AC szakasszal. Az M pontot összekötjük a B ponttal. A kapott BCM háromszög egyenlő a DIA háromszöggel. Látjuk, hogy az AVM háromszög minden szöge 60°, ezért ez a háromszög egyenlő oldalú.

Az AC láb egyenlő az AM felével, és mivel AM egyenlő AB-vel, az AC láb egyenlő lesz az AB hipotenúza felével.