Grafovi funkcije derivacija funkcija Studija ispita. Majstorska klasa "Derivat funkcije na ispitu" materijal za pripremu ispita (GIA) iz algebre (11. razred) na temu. Derivat logaritamske funkcije

Majstorska klasa iz matematike

u 11. razredu

na ovu temu

„DERIVATNA FUNKCIJA

U ZADAĆAMA UPOTREBE"

nastavnik matematike

Martinenko E.N.

Akademska godina 2017-2018

Svrha majstorske klase: razvijati vještine učenikaprimjena teorijskih znanja na temu "Derivat funkcije" za rješavanje zadataka jedinstvenog državnog ispita.

Zadaci

Obrazovni:generalizirati i sistematizirati znanja učenika o temi

"Derivat funkcije", razmotriti prototipove USE problema na ovu temu, pružiti studentima priliku da provjere svoje znanje dok samostalno rješavaju probleme.

Razvijanje: promicati razvoj pamćenja, pažnje, samopoštovanja i vještina samokontrole; formiranje osnovnih ključnih kompetencija (usporedba, usporedba, klasifikacija objekata, određivanje adekvatnih metoda za rješavanje problema učenja na temelju zadanih algoritama, sposobnost samostalnog djelovanja u situaciji neizvjesnosti, kontrola i evaluacija vlastitih aktivnosti, pronalaženje i otklanjanje uzroci nastalih poteškoća).

Obrazovni: promovirati:

Formiranje kod učenika odgovornog odnosa prema učenju;

razvoj održivog interesa za matematiku;

stvaranje pozitivne intrinzične motivacije za učenje matematike.

Tehnologije: individualno diferencirano učenje, ICT.

Nastavne metode: verbalno, vizualno, praktično, problematično.

Oblici rada: pojedinačno, frontalno, u paru.

Oprema i materijali za nastavu:projektor, platno, računalo, simulator(Prilog br. 1), prezentacija za nastavu(Prilog br. 2), individualno - diferencirane kartice za samostalan rad u parovima(Prilog br. 3), popis internetskih stranica, individualno diferencirane domaće zadaće(Prilog br. 4).

Objašnjenje za majstorsku klasu.

Ovaj majstorski tečaj održava se u 11. razredu radi pripreme za ispit. Usmjeren na primjenu teorijskog gradiva na temu "Izvod funkcije" u rješavanju ispitnih zadataka.

Trajanje majstorske klase- 20 minuta.

Struktura majstorske klase

I. Organizacijski trenutak -1 min.

II Komunikacija teme, ciljevi majstorske nastave, motivacija za obrazovne aktivnosti-1 min.

III. Prednji rad. Trening "Zadaci br. 14 BAZA, br. 7 KORIŠTENJE PROFILA". Analiza rada sa simulatorom - 7 min.

IV.Individualno – diferencirani rad u parovima. Samostalno rješavanje zadataka br. 12. (PROFIL) Međusobna provjera - 9 min. On-line testiranje (BAZA) Analiza rezultata ispitivanja - 8 min

V. Provjera individualne domaće zadaće. -1 minuta.

VI. Individualno diferencirana domaća zadaća -1 min.

VII. KONTROLNO TESTIRANJE 20 MINUTA (4 OPCIJE)

Napredak majstorske klase

ja .Organiziranje vremena.

II .Komunikacija teme, ciljevi majstorske nastave, motivacija obrazovnih aktivnosti.

(Slajdovi 1-2, Dodatak br. 2)

Tema naše lekcije je "Izvod funkcije u zadacima ispita." Svima je poznata izreka "Kalemica je mala i skupa". Jedan od tih "spool" u matematici je derivat. Izvod se koristi u rješavanju mnogih praktičnih zadataka iz matematike, fizike, kemije, ekonomije i drugih disciplina. Omogućuje rješavanje problema jednostavno, lijepo, zanimljivo.

Tema "Izvedba" predstavljena je u zadatku broj 14 osnovne razine te u zadacima profilne razine br. 7,12, 18 i jedinstvenom državnom ispitu.

Radili ste s dokumentima koji reguliraju strukturu i sadržaj kontrolnih mjernih materijala za Jedinstveni državni ispit iz matematike 2018. Zaključite koja su vam znanja i vještine potrebna za uspješno rješavanje zadataka Jedinstvenog državnog ispita na temu „Izvodnica“.

(Slajdovi 3-4, Dodatak #2)

učio si "Kodifikator elemenata sadržaja iz MATEMATIKE za sastavljanje kontrolnih mjernih materijala za provođenje jedinstvenog državnog ispita",

„Kodifikator zahtjeva za stupanj osposobljenosti maturanata“, „Specifikacija kontrolnih mjernih materijala“, „Demonstracijska verzija kontrolnih mjernih materijala za jedinstveni državni ispit 2018.“ i shvatio koja su znanja i vještine o funkciji i njezinoj derivaciji potrebna za uspješno rješavanje zadataka na temu "Izvodnica".

Neophodan

ZNATI

pravila za izračun izvedenica;

derivacije osnovnih elementarnih funkcija;

geometrijsko i fizičko značenje izvedenice;
jednadžba tangente na graf funkcije;
istraživanje funkcije uz pomoć derivacije.

BITI U MOGUĆNOSTI

izvršiti radnje s funkcijama (opisati ponašanje i svojstva funkcije prema grafu, pronaći njezine maksimalne i minimalne vrijednosti).

KORISTITI

stečena znanja i vještine u praktičnim aktivnostima i svakodnevnom životu.

Posjedujete teorijsko znanje o temi "Izvedba". Danas ćemoNAUČITI PRIMJENITI ZNANJE O FUNKCIJI IZVODICA ZA RJEŠAVANJE PROBLEMA UPOTREBE.(Slajd 4, aplikacija broj 2)

Uostalom, ne bez razloga Aristotel je to rekao“INTELIGENCIJA SE NE SASTOJI SAMO U ZNANJU, VEĆ I U SPOSOBNOSTI PRIMJENE ZNANJA U PRAKSI”(Slajd 5, aplikacija broj 2)

Na kraju lekcije vratit ćemo se cilju naše lekcije i saznati jesmo li ga postigli?

III . Prednji rad.Trening "Zadaci br. 14 BAZA br. 7 KORISTI PROFIL" ( Dodatak broj 1). Analiza rada sa simulatorom.

Odaberite točan odgovor od četiri navedena.

Koja je, po Vašem mišljenju, poteškoća u ispunjavanju zadatka broj 7?

Što mislite koje su tipične pogreške maturanti na ispitu prilikom rješavanja ovog problema?

Kada odgovarate na pitanja zadatka br. 14 BAZA I PROFIL br. 7, trebali biste znati opisati ponašanje i svojstva funkcije pomoću grafa derivacije, a ponašanje i svojstva derivacijske funkcije pomoću grafa funkcije. A za to je potrebno dobro teorijsko znanje o sljedećim temama: „Geometrijsko i mehaničko značenje derivacije. Tangenta na graf funkcije. Primjena derivacije u proučavanju funkcija.

Analizirajte koji su vam zadaci stvarali poteškoće?

Koja teorijska pitanja trebate znati?

IV. On-line testiranje prema zadacima br. 14 (BAZA)Analiza rezultata ispitivanja.

Stranica za testiranje u lekciji:http://www.mathb-ege.sdamgia.ru/

Tko nije pogriješio?

Tko je imao poteškoća u testiranju? Zašto?

Koji su zadaci pogrešni?

Zaključite koja teorijska pitanja trebate znati?

Individualno – diferencirani rad u parovima. Samostalno rješavanje zadataka br.12. (PROFIL)Međusobna provjera.(Prilog br. 3)

Prisjetimo se algoritma za rješavanje problema br. 12 USE za pronalaženje točaka ekstrema, ekstrema funkcije, najveće i najmanje vrijednosti funkcije na intervalu pomoću derivacije.

Riješite probleme pomoću izvedenice

Učenicima je postavljen sljedeći problem:

“Razmislite, je li moguće riješiti neke probleme broj 12 na drugačiji način, bez korištenja izvedenice?”

1 par

2 para

3 para

4 para

(Učenici brane svoje rješenje tako što na ploču zapisuju glavne korake za rješavanje problema. Učenici nude dva načina rješavanja problema #2.)

Rješenje problema. Zaključak koji će učenici donijeti:

"Neki zadaci br. 12 Jedinstvenog državnog ispita o pronalaženju najmanjih i najvećih vrijednosti mogu se riješiti bez korištenja derivacije, na temelju svojstava funkcija."

Analizirajte koju ste pogrešku napravili u zadatku?

Koja teorijska pitanja trebate ponoviti?

V. Provjera individualne domaće zadaće. (Slajdovi 7-8, Dodatak #2)

Vegelman V. je dobio individualnu domaću zadaću: iz priručnika za pripremu za Jedinstveni državni ispit br.18.

(Učenik daje rješenje zadatka, temeljeno na funkcionalno-grafičkoj metodi, kao jednoj od metoda rješavanja zadataka br. 18. Jedinstvenog državnog ispita i daje kratko objašnjenje ove metode).

VII. Individualno diferencirana domaća zadaća

(Slajd 9, aplikacija broj 2), (Prilog br. 4).

Pripremio sam popis internetskih stranica za pripremu ispita. Također možete pristupiti on-line testiranju na ovim stranicama. Za sljedeću lekciju trebate: 1) ponoviti teorijsko gradivo na temu "Izvod funkcije";

2) na stranici "Otvorena banka zadataka iz matematike" (http://mathege.ru/ ) pronaći prototipove zadataka br. 14 BAZA I br. 7 i 12 PROFIL i riješiti najmanje 10 PROFILNIH zadataka;

3) Vegelman V., riješiti probleme s parametrima (DODATAK 4). zadaci 1-8 (opcija 1).OSNOVNA RAZINA

VIII. Ocjene lekcije.

Koju bi ocjenu dao sebi za lekciju?

Misliš li da bi mogao biti bolji u nastavi?

IX. Sažetak lekcije. Odraz

Sumirajmo naš rad. Koja je bila svrha lekcije? Mislite li da je to postignuto?

Pogledajte ploču i u jednoj rečenici, birajući početak fraze, nastavite rečenicu koja vam najviše odgovara.

Osjetio sam…

Naučio sam…

Uspio sam …

Mogao sam...

Pokušat ću …

Iznenadilo me to …

Htio sam…

Možete li reći da je tijekom lekcije došlo do obogaćivanja vaše zalihe znanja?

Dakle, ponovili ste teorijska pitanja o derivaciji funkcije, primijenili svoja znanja u rješavanju prototipova zadataka UPOTREBE (br. 14 OSNOVNA RAZINA br. 7.12 PROFILNA RAZINA), a učenik Vegelman V. završio je zadatak br. 18 sa parametar, što je zadatak povećanog stupnja poteškoća.

Bilo mi je zadovoljstvo raditi s vama, a nadam se da ćete stečeno znanje na nastavi matematike uspjeti uspješno primijeniti ne samo na polaganju ispita, već iu daljnjem studiranju.

Htio bih završiti lekciju riječima jednog talijanskog filozofaToma Akvinski"Znanje je toliko dragocjena stvar da ga nije sramotno dobiti iz bilo kojeg izvora"(Slajd 10, Dodatak br. 2).

Želim ti uspjeh u pripremama za ispit!

Pregled:

Za korištenje pregleda prezentacija stvorite Google račun (račun) i prijavite se: https://accounts.google.com

Naslovi slajdova:

Priprema za ispit SIMULATOR na temu "Izvod" Zadatak br. 14 osnovna razina, br. 7, 12 profilna razina

f(x) f / (x) x Istražujemo svojstva grafa i moći ćemo odgovoriti na mnoga pitanja o svojstvima funkcije, iako graf same funkcije nije prikazan! y = f / (x) 1 2 3 4 5 6 7 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 yx 6 3 0 -5 Pronađite točke , gdje je f / (x) =0 (ovo su nule funkcije). + – – + +

ZADATAK № 14 Matematika osnovna razina

Na slici je prikazan graf funkcije y=f(x) i označene točke A, B, C i D na osi Ox. Koristeći graf, spojite svaku točku s karakteristikama funkcije i njezine derivacije. ABCD 1) vrijednost funkcije u točki je negativna, a vrijednost derivacije funkcije u točki pozitivna 2) vrijednost funkcije u točki je pozitivna, a vrijednost derivacije funkcije u točki je negativna 3) vrijednost funkcije u točki je negativna, a vrijednost derivacije funkcije u točki negativna 4) vrijednost funkcije u točki je pozitivna, a vrijednost derivacija funkcije u točki je pozitivna

Broj 1 Na slici je prikazan graf funkcije y=f(x) i označene točke A, B, C i D na osi Ox. Koristeći graf, spojite svaku točku s karakteristikama funkcije i njezine derivacije. 1) vrijednost funkcije u točki je pozitivna, a vrijednost derivacije funkcije u točki negativna 2) vrijednost funkcije u točki je negativna, a vrijednost derivacije funkcije u točki točka je negativna 3) vrijednost funkcije u točki je pozitivna, a vrijednost derivacije funkcije u točki je pozitivna 4) vrijednost funkcije u točki je negativna, a vrijednost derivacije funkcija u točki je pozitivna ABCD

Na slici je prikazan graf funkcije y=f(x). Točke a, b, c, d i e definiraju intervale na osi Ox. Koristeći graf, uparite svaki interval s karakteristikom funkcije ili njezine derivacije. A) (a; b) B) (b; c) C) (c; d) D) (d; e) 1) vrijednosti funkcije su pozitivne u svakoj točki intervala 2) vrijednosti derivacije funkcije su negativne u svakoj točki intervala 3) vrijednosti derivacije funkcije su pozitivne u svakoj točki intervala 4) vrijednosti funkcije su negativne u svakoj točki intervala

Na slici je prikazan graf funkcije y=f(x). Brojevi a, b, c, d i e definiraju intervale na osi Ox. Koristeći graf, uparite svaki interval s karakteristikom funkcije ili njezine derivacije. A) (a;b) B) (b;c) C) (c;d) D) (d;e) 1) vrijednosti funkcije su pozitivne u svakoj točki intervala 2) vrijednosti funkcije su negativne u svakoj točki intervala 3) vrijednosti derivacijskih funkcija su negativne u svakoj točki intervala 4) vrijednosti derivacije funkcije su pozitivne u svakoj točki intervala

Slika prikazuje graf funkcije i na njega povučene tangente u točkama s apscisama A, B, C i D. A B C D 1) - 1,5 2) 0,5 3) 2 4) - 0,3

Slika prikazuje graf funkcije i na njega povučene tangente u točkama s apscisama A, B, C i D. A B C D 1) 23 2) - 12 3) - 113 4) 123

ZADATAK № 7 Razina matematičkog profila

Zadaci o geometrijskom značenju izvedenice

1) Slika prikazuje graf funkcije y \u003d f (x) i tangentu na nju u točki s apscisom x 0. Pronađite vrijednost derivacije u točki x 0. -2 -0,5 2 0,5 Razmisli! Razmišljati! Pravo! Razmišljati! x 0 Geometrijsko značenje derivacije: k \u003d tg α Kut nagiba tangente na os Ox je tup, što znači k

5 11 8 2) Kontinuirana funkcija y = f(x) definirana je na intervalu (-6; 7). Slika prikazuje njegov graf. Nađi broj točaka u kojima je tangenta na graf funkcije paralelna s pravcem y = 6. Provjera y = f(x) y x 3 Razmisli! Razmišljati! Razmišljati! Pravo! - 6 7 y = 6 . Prijelomna točka. U ovom trenutku, izvedenica NE postoji! O -4 3 5 1.5

Zadaci za određivanje karakteristika funkcije iz grafa njezine derivacije

3) Slika prikazuje graf derivacije funkcije y \u003d f / (x), dane na intervalu (- 6; 8). Ispitajte funkciju y = f (x) za ekstrem i navedite broj njezinih točaka ekstrema. 2 1 4 5 Pogrešno! Nije istina! Pravo! Nije istina! Provjerite (2) f(x) f / (x) -2 + – y = f / (x) 1 2 3 4 5 6 7 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 4 3 2 1 - 1 -2 -3 -4 -5 yx -5 + min max O

4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x 5) Slika prikazuje graf derivacije funkcije definirane na intervalu [-5;5] . Ispitajte monotonost funkcije i označite najveću točku maksimuma. 3 2 4 5 Razmisli! Razmišljati! Pravo! Razmišljati! y = f / (x) + + + - - O - f / (x) - + - + - + f(x) -4 -2 0 3 4 Od dvije maksimalne točke, najveći x max = 3 max max y

7) Slika prikazuje graf derivacije funkcije. Pronađite duljinu intervala povećanja ove funkcije. Provjerite O -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 7 6 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 4 2 3 5 RAZMISLITE! + RAZMISLITE! PRAVO! RAZMIŠLJATI! y x 3 y = f / (x)

4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x 6) Slika prikazuje graf derivacije funkcije definirane na intervalu [-5;5] . Ispitajte monotonost funkcije y \u003d f (x) i navedite broj intervala smanjenja. 3 2 4 1 Razmisli! Razmišljati! Pravo! Razmišljati! y = f / (x) f(x) -4 -2 0 4 f / (x) - + - + - + + O - - - y

Zadaci za određivanje karakteristika derivacije prema grafu funkcije.

Na slici je prikazan graf diferencijabilne funkcije y = f (x). Na osi x označeno je devet točaka: x 1 , x 2 , ..., x 9 . Pronađite sve označene točke u kojima je derivacija funkcije f(x) negativna. Unesite broj ovih bodova u svoj odgovor.

Slika prikazuje graf funkcije y = f (x) definirane na intervalu (a; b). Odredite broj cjelobrojnih točaka u kojima je derivacija funkcije pozitivna. a) b) Odlučite sami! Riješenje. ako se poveća. Cjelokupna rješenja za: x=-2; x=-1; x=5; x=6. Njihov broj je 4. Cijela rješenja za: x=2; x=3; x=4; x=10; x=11. Njihov broj je 5. Odgovor: 4. Odgovor: 5.

Problemi o fizičkom značenju izvedenice

Odgovor: 3 Odgovor: 14

ZADATAK № 12 Razina matematičkog profila

Samostalni rad u paru Zadatak broj 12 Razina profila

Pregled:

Prijava 3 pojedinačne kartice br.12

1. Pronađite maksimalnu točku funkcije1 Pronađite minimalnu točku funkcije

2. Pronađite maksimalnu točku funkcije2 Pronađite minimalnu točku funkcije

Linnik D. Vovnenko I

1. Pronađite najmanju vrijednost funkcije1. Pronađite najveću vrijednost funkcije na segmentu

na segmentu

Wegelman V.

Logvinyuk A.

1. Pronađite maksimalnu točku funkcije1. Pronađite minimalnu točku funkcije

2. Pronađite najmanju vrijednost funkcije2. Pronađite najveću vrijednost funkcije na segmentu

Na segmentu

Leontieva A. Isaenko K.

Derivat funkcije $y = f(x)$ u danoj točki $h_0$ je granica omjera prirasta funkcije i odgovarajućeg prirasta njenog argumenta, pod uvjetom da potonji teži nuli:

$f"(x_0)=(lim)↙(△x→0)(△f(x_0))/(△x)$

Diferencijacija je operacija pronalaženja derivacije.

Tablica derivacija nekih elementarnih funkcija

Funkcija	Derivat
$c$	$0$
$x$	$1$
$x^n$	$nx^(n-1)$
$(1)/(x)$	$-(1)/(x^2)$
$√x$	$(1)/(2√x)$
$e^x$	$e^x$
$lnx$	$(1)/(x)$
$sinx$	$cosx$
$cosx$	$-sinx$
$tgx$	$(1)/(cos^2x)$
$ctgx$	$-(1)/(sin^2x)$

Osnovna pravila diferencijacije

1. Derivat zbroja (razlike) jednak je zbroju (razlici) derivacija

$(f(x) ± g(x))"= f"(x)±g"(x)$

Pronađite derivaciju funkcije $f(x)=3x^5-cosx+(1)/(x)$

Derivat zbroja (razlike) jednak je zbroju (razlici) derivacija.

$f"(x) = (3x^5)"-(cos x)" + ((1)/(x))" = 15x^4 + sinx - (1)/(x^2)$

2. Derivat proizvoda

$(f(x) g(x))"= f"(x) g(x)+ f(x) g(x)"$

Pronađite izvod $f(x)=4x cosx$

$f"(x)=(4x)" cosx+4x (cosx)"=4 cosx-4x sinx$

3. Derivat kvocijenta

$((f(x))/(g(x)))"=(f"(x) g(x)-f(x) g(x)")/(g^2(x)) $

Pronađite izvod $f(x)=(5x^5)/(e^x)$

$f"(x)=((5x^5)" e^x-5x^5 (e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4 e^x- 5x^5 e^x)/((e^x)^2)$

4. Izvod složene funkcije jednak je umnošku derivacije vanjske funkcije i derivacije unutarnje funkcije

$f(g(x))"=f"(g(x)) g"(x)$

$f"(x)=cos"(5x) (5x)"=-sin(5x) 5= -5sin(5x)$

Fizičko značenje izvedenice

Ako se materijalna točka kreće pravocrtno i njezina se koordinata mijenja ovisno o vremenu prema zakonu $x(t)$, tada je trenutna brzina te točke jednaka derivaciji funkcije.

Točka se kreće duž koordinatne linije prema zakonu $x(t)= 1,5t^2-3t + 7$, gdje je $x(t)$ koordinata u trenutku $t$. U kojem trenutku će brzina točke biti jednaka 12$?

1. Brzina je derivacija od $x(t)$, pa pronađimo derivaciju zadane funkcije

$v(t) = x"(t) = 1,5 2t -3 = 3t -3$

2. Da bismo pronašli u kojem trenutku u vremenu $t$ brzina je bila jednaka $12$, sastavljamo i rješavamo jednadžbu:

Geometrijsko značenje izvedenice

Podsjetimo da se jednadžba ravne linije koja nije paralelna s koordinatnim osi može napisati kao $y = kx + b$, gdje je $k$ nagib ravne linije. Koeficijent $k$ jednak je tangenti nagiba između ravne crte i pozitivnog smjera osi $Ox$.

Derivat funkcije $f(x)$ u točki $x_0$ jednak je nagibu $k$ tangente na graf u danoj točki:

Stoga možemo napraviti opću jednakost:

$f"(x_0) = k = tgα$

Na slici je tangenta funkcije $f(x)$ u porastu, stoga je koeficijent $k > 0$. Budući da je $k > 0$, onda je $f"(x_0) = tgα > 0$. Kut $α$ između tangente i pozitivnog smjera $Ox$ je oštar.

Na slici je tangenta funkcije $f(x)$ opadajuća, stoga koeficijent $k< 0$, следовательно, $f"(x_0) = tgα < 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением оси $Ох$ тупой.

Na slici je tangenta funkcije $f(x)$ paralelna s $Oh$ osi, stoga je koeficijent $k = 0$, dakle $f"(x_0) = tg α = 0$. Točka $ x_0$ pri čemu je $f "(x_0) = 0$, pozvan ekstremu.

Na slici je prikazan graf funkcije $y=f(x)$ i tangenta na ovaj graf nacrtana u točki s apscisom $x_0$. Pronađite vrijednost derivacije funkcije $f(x)$ u točki $x_0$.

Tangenta na graf raste, dakle, $f"(x_0) = tg α > 0$

Da bismo pronašli $f"(x_0)$, nalazimo tangentu nagiba između tangente i pozitivnog smjera osi $Ox$. Da bismo to učinili, dopunimo tangentu na trokut $ABC$.

Pronađite tangentu kuta $BAC$. (Tangens oštrog kuta u pravokutnom trokutu je omjer suprotnog kraka i susjednog kraka.)

$tg BAC = (BC)/(AC) = (3)/(12)= (1)/(4)=0,25 $

$f"(x_0) = tg VI = 0,25 USD

Odgovor: 0,25 dolara

Izvod se također koristi za pronalaženje intervala rastućih i opadajućih funkcija:

Ako je $f"(x) > 0$ na intervalu, tada funkcija $f(x)$ raste na tom intervalu.

Ako $f"(x)< 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ убывает на этом промежутке.

Slika prikazuje graf funkcije $y = f(x)$. Pronađite među točkama $h_1,h_2,h_3…h_7$ one točke u kojima je derivacija funkcije negativna.

Kao odgovor, zapišite broj točaka podataka.

Slika prikazuje graf funkcije y \u003d f (x) i tangentu na nju u točki s apscisom x 0. Pronađite vrijednost derivacije funkcije f (x) u točki x 0. K 0 K = -0,5 K = 0,5 0 K = -0,5 K = 0,5"> 0 K = -0,5 K = 0,5"> 0 K = -0,5 K = 0,5" title="(!LANG: Na slici je graf funkcije y \u003d f (x ) i prikazana je tangenta na nju u točki s apscisom x 0. Pronađite vrijednost derivacije funkcije f (x) u točki x 0. K 0 K = -0,5 K = 0,5"> title="Slika prikazuje graf funkcije y \u003d f (x) i tangentu na nju u točki s apscisom x 0. Pronađite vrijednost derivacije funkcije f (x) u točki x 0. K 0 K = -0,5 K = 0,5"> !}

Na slici je prikazan graf derivacije funkcije f (x), definirane na intervalu (-1; 17). Pronađite intervale opadajuće funkcije f(x). U svom odgovoru napišite duljinu najvećeg od njih. f(x)

0 na intervalu, zatim funkcija f (x) "title=" (!LANG: Slika prikazuje graf funkcije y = f (x). Pronađite među točkama x 1, x 2, x 3, x 4 , x 5, x 6 i x 7 su točke u kojima je derivacija funkcije f (x) pozitivna. Kao odgovor, zapišite broj pronađenih točaka. Ako je f (x) > 0 na intervalu, tada funkcija f (x)" class="link_thumb"> 8 !} Na slici je prikazan graf funkcije y = f(x). Pronađite među točkama x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 i x 7 one točke u kojima je derivacija funkcije f (x) pozitivna. Kao odgovor, zapišite broj pronađenih bodova. Ako je f (x) > 0 na intervalu, tada funkcija f(x) raste na tom intervalu. Odgovor: 2 0 na intervalu, zatim funkcija f(x)"> 0 na intervalu, zatim funkcija f(x) raste na ovom intervalu. Odgovor: 2"> 0 na intervalu, zatim funkcija f(x)" title= "(!LANG: Na grafu funkcije y = f (x) prikazan je na slici. Pronađite među točkama x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 i x 7 te točke u kojoj je derivacija funkcije f (x) pozitivna. U odgovoru zapišite broj pronađenih točaka Ako je f (x) > 0 na intervalu, tada funkcija f(x)"> title="Na slici je prikazan graf funkcije y = f(x). Pronađite među točkama x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 i x 7 one točke u kojima je derivacija funkcije f (x) pozitivna. Kao odgovor, zapišite broj pronađenih bodova. Ako je f (x) > 0 na intervalu, tada funkcija f(x)"> !}

Na slici je prikazan graf derivacije funkcije f (x), definirane na intervalu (-9; 2). U kojoj točki segmenta -8; -4 funkcija f(x) uzima najveću vrijednost? Na segmentu -8; -4f(x)

Funkcija y = f(x) definirana je na intervalu (-5; 6). Na slici je prikazan graf funkcije y = f(x). Pronađite među točkama x 1, x 2, ..., x 7 one točke u kojima je derivacija funkcije f (x) jednaka nuli. Kao odgovor, zapišite broj pronađenih bodova. Odgovor: 3 točke x 1, x 4, x 6 i x 7 su ekstremne točke. U točki x 4 nema f(x)

Literatura 4 Algebra i početak sata analize. Udžbenik za obrazovne ustanove osnovne razine / Sh. A. Alimov i drugi, - M .: Obrazovanje, Semenov A. L. Jedinstveni državni ispit: 3000 zadataka iz matematike. - M .: Izdavačka kuća "Ispit", Gendenshtein L. E., Ershova A. P., Ershova A. S. Vizualni vodič za algebru i počeci analize s primjerima za razrede 7-11. - M .: Ileksa, Elektronički izvor Otvorena banka USE zadataka.

Pravac y=3x+2 tangenta je na graf funkcije y=-12x^2+bx-10. Nađi b , s obzirom da je apscisa dodirne točke manja od nule.

Prikaži rješenje

Riješenje

Neka je x_0 apscisa točke na grafu funkcije y=-12x^2+bx-10 kroz koju prolazi tangenta na ovaj graf.

Vrijednost derivacije u točki x_0 jednaka je nagibu tangente, tj. y"(x_0)=-24x_0+b=3. S druge strane, tangentna točka pripada i grafu funkcije i tangenta, tj. -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. Dobivamo sustav jednadžbi \begin(slučajevi) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end (slučajevi)

Rješavajući ovaj sustav, dobivamo x_0^2=1, što znači ili x_0=-1 ili x_0=1. Prema uvjetu apscise dodirne točke su manje od nule, dakle x_0=-1, zatim b=3+24x_0=-21.

Odgovor

Stanje

Na slici je prikazan graf funkcije y=f(x) (koja je izlomljena linija sastavljena od tri ravna segmenta). Koristeći sliku, izračunajte F(9)-F(5), gdje je F(x) jedan od antiderivata f(x).

Prikaži rješenje

Riješenje

Prema Newton-Leibnizovoj formuli, razlika F(9)-F(5), gdje je F(x) jedan od antiderivata funkcije f(x), jednaka je površini omeđenog krivuljastog trapeza grafom funkcije y=f(x), ravnim linijama y=0 , x=9 i x=5. Prema grafu utvrđujemo da je navedeni krivocrtni trapez trapez s bazama jednakim 4 i 3 i visinom 3.

Njegova površina je jednaka \frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.

Odgovor

Izvor: „Matematika. Priprema za ispit-2017. razini profila. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Stanje

Slika prikazuje graf y \u003d f "(x) - derivaciju funkcije f (x), definiranu na intervalu (-4; 10). Pronađite intervale opadajuće funkcije f (x). U svom odgovoru , označavaju duljinu najvećeg od njih.

Prikaži rješenje

Riješenje

Kao što znate, funkcija f (x) opada na tim intervalima, u čijoj je točki derivacija f "(x) manja od nule. S obzirom da je potrebno pronaći duljinu najvećeg od njih, tri takva intervala prirodno se razlikuju od slike: (-4; -2) ;(0;3);(5;9).

Duljina najvećeg od njih - (5; 9) jednaka je 4.

Odgovor

Izvor: „Matematika. Priprema za ispit-2017. razini profila. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Stanje

Slika prikazuje graf y \u003d f "(x) - derivaciju funkcije f (x), definiranu na intervalu (-8; 7). Pronađite broj maksimalnih točaka funkcije f (x) koja pripada na interval [-6; -2].

Prikaži rješenje

Riješenje

Grafikon pokazuje da derivacija f "(x) funkcije f (x) mijenja predznak s plusa na minus (u takvim će točkama biti maksimum) u točno jednoj točki (između -5 i -4) iz intervala [ -6; -2 Dakle, postoji točno jedna maksimalna točka na intervalu [-6;-2].

Odgovor

Izvor: „Matematika. Priprema za ispit-2017. razini profila. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Stanje

Slika prikazuje graf funkcije y=f(x) definirane na intervalu (-2; 8). Odredite broj točaka u kojima je derivacija funkcije f(x) jednaka 0 .

Prikaži rješenje

Riješenje

Ako je derivacija u točki jednaka nuli, tada je tangenta na graf funkcije nacrtane u ovoj točki paralelna s osi Ox. Stoga nalazimo takve točke u kojima je tangenta na graf funkcije paralelna s osi Ox. Na ovom grafikonu takve točke su točke ekstrema (maksimalne ili minimalne točke). Kao što vidite, postoji 5 točaka ekstrema.

Odgovor

Izvor: „Matematika. Priprema za ispit-2017. razini profila. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Stanje

Pravac y=-3x+4 paralelan je s tangentom na graf funkcije y=-x^2+5x-7. Pronađite apscisu dodirne točke.

Prikaži rješenje

Riješenje

Nagib pravca prema grafu funkcije y=-x^2+5x-7 u proizvoljnoj točki x_0 je y"(x_0). Ali y"=-2x+5, dakle y"(x_0)=- 2x_0+5. Kutni koeficijent pravca y=-3x+4 specificiran u uvjetu je -3.Paralelni pravci imaju iste koeficijente nagiba.Zbog toga nalazimo takvu vrijednost x_0 da je =-2x_0 +5=-3.

Dobivamo: x_0 = 4.

Odgovor

Izvor: „Matematika. Priprema za ispit-2017. razini profila. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Stanje

Slika prikazuje graf funkcije y=f(x) i označene točke -6, -1, 1, 4 na osi x. U kojoj je od ovih točaka vrijednost izvedenice najmanja? Molimo navedite ovu točku u svom odgovoru.

Vrsta lekcije: ponavljanje i generalizacija.

Obrazac lekcije: savjetodavna lekcija.

Ciljevi lekcije:

obrazovne: ponoviti i generalizirati teorijska znanja o temama: “Geometrijsko značenje derivacije” i “Primjena derivacije u proučavanju funkcija”; razmotriti sve vrste zadataka B8 s kojima se susreću na ispitu iz matematike; studentima pružiti mogućnost provjere znanja samostalnim rješavanjem zadataka; naučiti kako ispuniti ispitni obrazac odgovora;
razvijanje: promicati razvoj komunikacije kao metode znanstvenog saznanja, semantičkog pamćenja i dobrovoljne pažnje; formiranje ključnih kompetencija kao što su usporedba, usporedba, klasifikacija objekata, određivanje adekvatnih načina rješavanja problema učenja na temelju zadanih algoritama, sposobnost samostalnog djelovanja u situaciji nesigurnosti, kontroliranja i evaluacije vlastitih aktivnosti, pronalaženja i uklanjanja uzroci nastalih poteškoća;
obrazovne: razvijati komunikacijske kompetencije učenika (kultura komunikacije, sposobnost grupnog rada); pridonijeti razvoju potrebe za samoobrazovanjem.

Tehnologije: razvojno obrazovanje, ICT.

Nastavne metode: verbalno, vizualno, praktično, problematično.

Oblici rada: individualni, frontalni, grupni.

Edukativno-metodička podrška:

1. Algebra i početak matematičke analize 11. razred: udžbenik. Za opće obrazovanje Institucije: osnovne i profilne. razine / (Yu. M. Kolyagin, M.V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin); uredio A. B. Zhizhchenko. - 4. izd. - M .: Obrazovanje, 2011.

2. UPOTREBA: 3000 zadataka s odgovorima iz matematike. Svi zadaci grupe B / A.L. Semjonov, I.V. Jaščenko i drugi; uredio A.L. Semjonova, I.V. Jaščenko. - M .: Izdavačka kuća "Ispit", 2011.

3. Otvorite banku poslova.

Oprema i materijali za nastavu: projektor, platno, računalo za svakog učenika s instaliranom prezentacijom, ispis dopisa za sve učenike (Prilog 1) i bodovni list Dodatak 2) .

Preliminarna priprema za nastavu: kao domaću zadaću učenici se pozivaju da ponove teorijsko gradivo udžbenika na teme: “Geometrijsko značenje derivacije”, “Primjena derivacije u proučavanju funkcija”; razred je podijeljen u grupe (po 4 osobe), od kojih svaka ima učenike različitih razina.

Objašnjenje za lekciju: Ovaj se sat održava u 11. razredu u fazi ponavljanja i pripreme za ispit. Nastava je usmjerena na ponavljanje i generalizaciju teorijskog gradiva, njegovu primjenu u rješavanju ispitnih zadataka. Trajanje lekcije - 1,5 sati .

Ova lekcija nije u prilogu udžbenika, pa se može izvoditi tijekom rada na bilo kojem nastavnom materijalu. Također, ova lekcija se može podijeliti u dvije zasebne i održati kao završne lekcije o temama koje se razmatraju.

Tijekom nastave

I. Organizacijski trenutak.

II. Lekcija o postavljanju ciljeva.

III. Ponavljanje na temu “Geometrijsko značenje izvedenice”.

Usmeni frontalni rad na projektoru (slajdovi br. 3-7)

Grupni rad: rješavanje problema uz savjete, odgovore, uz savjet učitelja (slajdovi br. 8-17)

IV. Samostalni rad 1.

Učenici samostalno rade na osobnom računalu (slajdovi br. 18-26), njihovi se odgovori upisuju u evaluacijski list. Ako je potrebno, možete poslušati savjet učitelja, ali u tom slučaju učenik će izgubiti 0,5 bodova. Ako se učenik ranije nosi s radom, tada se može odlučiti za rješavanje dodatnih zadataka iz zbirke, str. 242, 306-324 (dodatni zadaci se posebno vrednuju).

V. Međusobna provjera.

Učenici razmjenjuju evaluacijske listove, provjeravaju rad prijatelja, daju bodove (slajd br. 27)

VI. Korekcija znanja.

VII. Ponavljanje na temu "Primjena derivacije u proučavanju funkcija"

Usmeni frontalni rad na projektoru (slajdovi br. 28-30)

Grupni rad: rješavanje zadataka uz upute, odgovore, uz savjet učitelja (slajdovi br. 31-33)

VIII. Samostalni rad 2.

Učenici samostalno rade na računalu (slajdovi br. 34-46), svoje odgovore upisuju u list za odgovore. Ako je potrebno, možete poslušati savjet učitelja, ali u tom slučaju učenik će izgubiti 0,5 bodova. Ako se učenik ranije nosi s radom, tada se može odlučiti za rješavanje dodatnih zadataka iz zbirke, str. 243-305 (dodatni zadaci se posebno vrednuju).

IX. Međusobna provjera.

Učenici razmjenjuju evaluacijske listove, provjeravaju rad prijatelja, daju bodove (slajd br. 47).

X. Korekcija znanja.

Učenici ponovno rade u svojim skupinama, raspravljaju o rješenju, ispravljaju pogreške.

XI. Rezimirajući.

Svaki učenik izračunava svoje bodove i stavlja ocjenu na evaluacijski list.

Učenici predaju učitelju evaluacijski listić i rješenje dodatnih zadataka.

Svaki učenik dobiva dopis (slajd br. 53-54).

XII. Odraz.

Od učenika se traži da procijene svoje znanje odabirom jednog od izraza: