Aritmetička metoda. Jednostavni tekstualni aritmetički zadaci (njihova klasifikacija, primjeri i rješenja). Različiti pristupi klasifikaciji tekstualnih zadataka
U nastavnicima osnovne škole samo trebaju znati koje su vrste zadataka. Danas ćete naučiti o jednostavnim tekstualnim aritmetičkim zadacima. Jednostavni tekstualni aritmetički zadaci su zadaci koji se rješavaju jedna aritmetička akcija., Kada čitamo zadatak, automatski ga povezujemo s bilo kojom vrstom, i ovdje je već lako lako postati jasno što se potrebno.
Dat ću vam ne samo klasifikaciju jednostavnih tekstualnih zadataka, nego ću dati njihove primjere, a ja ću vam također reći o rješavanju tekstualnih zadataka s aritmetičkom metodom. Uzeo sam sve primjere matematičkih udžbenika za ocjenu 2 (dio 1, dio 2), za koji su obučeni u školama Bjelorusija.
Svi jednostavni aritmetički zadaci podijeljeni su u dvije velike skupine:
- pakao i (+/-), to jest, oni koji su riješeni aritmetičkim učincima prvog reda (dodavanje ili oduzimanje);
- pakao II (* / :), to jest, oni koji su riješeni aritmetičkim akcijama drugog reda (umnožavanje ili divizija).
Razmotrite prvu skupinu jednostavnih tekstualnih aritmetičkih zadataka (pakao i):
1) zadaci koji otkrivaju specifično značenje dodavanja (+)
U natjecanjima u bijegu sudjelovalo je 4 djevojčice i 5 dječaka. Koliko je studenata iz razreda sudjelovao na natjecanjima?
Nakon što je Sasha odlučila 9 primjera, ostao je u rješavanju drugog primjera. Koliko je primjera potrebnih za rješavanje sashe?
Takvi se zadaci rješavaju dodavanjem: a + b \u003d?
2) zadatke koji otkrivaju specifično značenje oduzimanja (-)
Mama je pekao 15 pite. Koliko je pite ostalo nakon što je pojeo 10 pite?
U banci je bilo 15 čaša soka. Za večeru pila 5 čaša. Koliko ostaje čaša soka?
Ti se zadaci rješavaju oduzimanje: a-b \u003d?
3) zadatke za odnos između komponenti i rezultat dodavanja ili oduzimanja:
a) pronaći nepoznate 1. pojmove (? + A \u003d B)
Dječak je stavio kutiju od 4 olovke. Tamo su postali 13. Koliko je olovaka u početku bilo u kutiji?
Da biste riješili ovaj problem, potrebno je uzeti poznati drugi pojam od rezultata akcije: b-a \u003d?
b) pronaći nepoznato 2. uvjete (A +? \u003d b)
13 čaše vode izlije u tavu i čajnik. Koliko se čaša vode izlije u čajnik, ako se 5 čaša izlije u tavu?
Zadaci ovog tipa rješavaju oduzimanje, od rezultata akcije odvijaju se poznati prvi uvjeti: b-a \u003d?
c) pronaći nepoznatu dimitinu (? -a \u003d b)
Olga je okupila buket. Stavila je 3 boje u vazu, a imala je 7 boja. Koliko je boja bilo u buketu?
Aritmetički način rješavanja tekstualnih ciljeva ovog tipa donosi se dodavanjem rezultata akcije i podnesen: B + A \u003d?
d) pronaći nepoznato oduzimanje (a -? \u003d b)
Kupio 2 desetak jaja. Nakon nekoliko jaja za pečenje ostalo je 15. Koliko je jaja uzela?
Ovi zadaci rješavaju oduzimanje: od smanjenja rezultata postupka: a-b \u003d?
4) zadatke za smanjenje / povećanje za nekoliko jedinica u ravnoj, neizravnom obliku
primjeri zadataka za smanjenje nekoliko jedinica u izravnom obliku:
U jednom kutiji bilo je 20 kg banana, au drugoj - 5 manje. Koliko kilograma banana bilo je u drugoj kutiji?
Prvi razred okupio je kutije od 19 jabuka, a drugi je manji od 4 kutije. Koliko je kutija od jabuka ripped drugi razred?
Ti se zadaci rješavaju oduzimanjem (A-B \u003d?)
Primjeri zadataka za smanjenje neizravnog oblika, kao i povećanje izravnog ili neizravnog oblika u udžbeniku 2. razreda u matematici, nisam pronašao. Ako postoji potreba za pisanjem u komentarima - i dodat ću članak vlastitim primjerima.
5) Zadaci za razlike usporedbe
Težina guske je 7 kg, a piletina - 3 kg. Koliko kilograma masa piletine je manja od mase guske?
U prvoj kutiji 14 olovke, au drugom - 7. Koliko je više olovaka u prvom okviru nego u drugom?
Rješavanje tekstualnih zadataka za razlike usporedbe se vrši oduzimanjem od većeg broja.
Završili smo rješavanje jednostavnih tekstualnih aritmetičkih ciljeva 1 skupina i nastaviti do zadataka 2 skupine. Ako niste bili jasni, pitajte u komentarima.
Druga skupina jednostavnih tekstualnih aritmetičkih zadataka (krvni tlak II):
1) zadatke koji otkrivaju specifično značenje umnožavanja
Koliko nogu ima dva psa? U tri psa?
Tri automobila stoje u blizini kuće. Svaki stroj ima 4 kotača. Koliko kotača u tri automobila?
Ovi zadaci su riješeni množenjem: a * b \u003d?
2) zadatke koji otkrivaju specifično značenje podjele:
a) po sadržaju
10 kolača distribuiranih djeci, dva svaki. Koliko djece ima kolača?
U paketima od 2 kg ima 14 kg brašna. Koliko takvih paketa?
U tim zadacima, učimo koliko se dijelova ispostavilo s jednakim sadržajem.
b) na jednakim dijelovima
10 cm dugačak traka je izrezana na dva jednaka dijela. Koju dužinu svaki dio?
Nina je podjednako položila 10 kolača na 2 tanjure. Koliko kolača na jednoj ploči?
I u tim zadacima učimo što je sadržaj jedne jednake.
Bilo da se to svibanj, svi ti zadaci rješavaju podjelu: a: b \u003d?
3) zadatke za odnos između komponente i rezultat multiplikacije i djelovanja podjele:
a) Da biste pronašli nepoznati prvi faktor:? * A \u003d B
Vlastiti primjer:
Nekoliko kutija od 6 olovaka. Ukupno u 24 kutije za olovke. Koliko kutija?
Odlučujući podjelom rada na poznatom drugom faktoru: b: a \u003d?
b) pronaći nepoznat drugi multiplikator: a *? \u003d b
U kafiću za jedan stol može se zasaditi 3 osobe. Koliko takvih tablica će biti zauzeto ako 15 ljudi dođe tamo?
Odlučujući podjelom rada na poznatom prvom faktoru: B: a \u003d?
c) pronaći nepoznatu podjelu:: a \u003d b
Vlastiti primjer:
Kohl je donio u klasu slatkiša i podjednako ih dijeli između svih učenika. U klasi 16 djece. Svi su primili 3 bombona. Koliko slatkiša donijelo je Kohl?
Je riješen množenjem privatnog na razdjelniku: b * a \u003d?
d) na pronalaženju nepoznatog razdjelnika: a :? \u003d b
Vlastiti primjer:
Vitya je donijela 44 bombona u razredu i podijelila ih jednako između svih učenika. Svi su primili 2 bombona. Koliko studenata u učionici?
Odlučuje se podijeljeno s privatnim: a: \u200b\u200bb \u003d?
4) zadatke za povećanje / smanjenje nekoliko puta u izravnom ili neizravnom obliku
U udžbeniku 2 u razredu primjera takvih tekstualnih aritmetičkih zadataka nisu pronađeni primjeri takvih tekstualnih zadataka.
5) Zadaci na višestrukim usporedbama
Odlučio dijeljenjem više na manji.
Prijatelji, cjelokupna klasifikacija jednostavnih tekstualnih zadataka samo je dio velike klasifikacije svih tekstualnih zadataka. Osim toga, još uvijek postoje zadaci za pronalaženje interesa, što vam nisam rekao. Možete naučiti sve ovo iz ovog videozapisa:
I moja zahvalnost će ostati s vama!
Trening za rješavanje ciljeva teksta igra važnu ulogu u formiranju matematičkog znanja. Tekstualni zadaci daju veliki prostor za razvoj mišljenja studenata. Učenje rješavanja problema nije samo tehnika treninga za prave odgovore u nekim tipičnim situacijama, koliko učenje kreativnom pristupu potrazi za rješenjem, akumulacijom iskustva iskustva i demonstracije matematičkih mogućnosti u rješavanju raznih zadataka. Međutim, pri rješavanju tekstualnih problema u 5-6 razreda, jednadžba se najčešće koristi. Međutim, razmišljanje o petim razredima još nije spreman za formalne postupke u rješavanju jednadžbi. Aritmetička metoda za rješavanje problema ima niz prednosti u usporedbi s algebarskim jer je rezultat svakog koraka u akcijama vizualno i specifičnije, ne nadilazi okvire iskustva s pet razreda. Školci bolji i brži rješavati probleme u djelima nego s jednadžbama. Dijete razmišljaju posebno, a potrebno je razviti na specifičnim temama i vrijednostima, a zatim se postupno premjestiti na operativne apstraktne slike.
Rad na zadatku pruža pažljivo čitanje tekstualnog stanja, razumijevanje u značenju svake riječi. Dat ću primjere zadataka koji su jednostavni i jednostavno mogu riješiti aritmetički način.
Zadatak 1.Za pripremu džema u dva dijela maline uzeti tri dijela šećera. Koliko kilograma šećera treba uzeti 2 kg od 600 g malina?
Prilikom rješavanja zadatka o "dijelovima" potrebno je prikriti da vizualno predstavlja stanje problema, tj. Bolje se osloniti na crtež.
- 2600: 2 \u003d 1300 (g) - pada na jedan dio zastoja;
- 1300 * 3 \u003d 3900 (d) - potrebno je uzeti šećer.
Zadatak 2. Na prvoj polici bilo je 3 puta više knjiga nego na drugoj. Na dvije police zajedno je bilo 120 knjiga. Koliko je knjiga stajala na svakoj polici?
1) 1 + 3 \u003d 4 (dijelovi) - činili su sve knjige;
2) 120: 4 \u003d 30 (knjige) - pada na jedan dio (knjige na drugoj polici);
3) 30 * 3 \u003d 90 (knjige) - stajali su na prvoj polici.
Zadatak 3. Fazani i zečevi sjede u kavezu. Ukupno ima 27 glava i 74 noge. Saznajte broj fazana i broj kunića u kavezu.
Zamislite da na poklopcu kaveza u kojem sjede fazani i zečevi, stavljamo mrkvu. Tada će svi zečevi stajati na stražnjim nogama do njega. Zatim:
- 27 * 2 \u003d 54 (noge) - stajati na podu;
- 74-54 \u003d 20 (noge) - bit će na katu;
- 20: 2 \u003d 10 (zečevi);
- 27-10 \u003d 17 (fazani).
Zadatak 4.U našoj klasi, 30 učenika. Na izletu u muzej bilo je 23 osobe, au kinu - 21, a 5 ljudi nije išlo na turneju ili filmove. Koliko je ljudi otišlo na izlet i u kinu?
Da biste analizirali stanje i odabir plana rješenja, možete koristiti "EULER krugove".
- 30-5 \u003d 25 (čovjek) - otišao ili u filmovima ili na turneji,
- 25-23 \u003d 2 (osoba) - otišao je samo u filmove;
- 21-2 \u003d 19 (čovjek) - otišao u kino i na turneji.
Zadatak 5.Tri pače i četiri odvaže 2 kg 500 g, a četiri pače i tri odvaže 2kg 400g. Koliko teži jedan goon?
- 2500 + 2400 \u003d 2900 (d) - težiti sedam pačića i sedam gusaka;
- 4900: 7 \u003d 700 (g) - težina jednog pačanja i jedne goveda;
- 700 * 3 \u003d 2100 (g) - težina 3 pačići i 3 gesyat;
- 2500-2100 \u003d 400 (g) - težina gopisa.
Zadatak 6.Za vrtić kupljeno je 20 piramida: veliki i mali - 7 i 5 prstenova. Sve piramide su 128 prstena. Koliko ima velikih piramida?
Zamislite da smo iz svih velikih piramida pucali dva prstena. Zatim:
1) 20 * 5 \u003d 100 (prstenovi) - ostaje;
2) 128-100-28 (prstenovi) - uklonili smo;
3) 28: 2 \u003d 14 (velike piramide).
Zadatak 7.Lubenica težina 20 kg sadržavala je 99% vode. Kada je malo oralno, sadržaj vode u njemu se smanjio na 98%. Odrediti masu lubenice.
Za praktičnost, rješenje će biti popraćeno ilustracijom pravokutnika.
| 99% vode | 1% suhe tvari |
| 98% vode | 2% suhe tvari |
U isto vrijeme, poželjno je nacrtati pravokutnike "suhe tvari" jednake, jer masa "suhe tvari" u lubenici ostaje nepromijenjena.
1) 20: 100 \u003d 0,2 (kg) - masa "suhe tvari";
2) 0,2: 2 \u003d 0,1 (kg) - činilo je 1% skraćene lubenice;
3) 0,1 * 100 \u003d 10 (kg) - masa lubenice.
Zadatak 8.Gosti su pitali: Koliko je stara bila svaka od tri sestara? Vjera je odgovorila da ona i Nada zajedno 2 godine, NAE i bilo koga zajedno zajedno, a sva tri 38 godina. Koliko godina svake od sestara?
- 38-28 \u003d 10 (godina) - bilo koji;
- 23-10 \u003d 13 (godina) - NAD;
- 28-13 \u003d 15 (godina) - vjera.
Aritmetički način rješavanja tekstualnih ciljeva uči djetetu da djeluje svjesno, logično ispravno, jer prilikom rješavanja na ovaj način, pozornost na pitanje "zašto" intenzivira i postoji veliki potencijal razvoja. To doprinosi razvoju učenika, formiranju njihovog interesa za rješavanje problema i znanosti o matematici.
Kako bi se upoznali, fascinantni i poučni, moramo pažljivo razmotriti izbor tekstualnih zadataka, razmotriti različite načine rješavanja, odabirom optimalnog od njih, razvijaju logičko razmišljanje, što je dalje potrebno pri rješavanju geometrijskih zadataka.
Učenje za rješavanje zadataka učenika moći će se samo rješavati. "Ako želite naučiti plivati, a onda hrabro ući u vodu, a ako želite naučiti riješiti zadatke, onda ih odlučite", piše d.poya u knjizi "matematičkog otvaranja".
1. Opći komentari na rješavanje problema algebarskim metodom.
2. Pomicanje problema.
3. Radni zadaci.
4. zadatke za mješavine i interes.
Korištenje algebarskog metoda za pronalaženje aritmetičkog rješenja za rješavanje tekstualnih zadataka.
1. Pri rješavanju problema s algebarskim metodom, željene vrijednosti ili druge vrijednosti, znajući koje možete definirati željene označene su slovima (obično x, y,z). Svi neovisni odnosi između podataka između podataka i nepoznatih vrijednosti, koji su ili izravno formulirani u stanju (u verbalnom obliku) ili teče iz značenja problema (na primjer, fizički zakoni, koji podliježu vrijednostima S obzirom na), ili slijediti iz stanja i određeno rasuđivanje, zabilježeni su u obliku jednakosti nejednakosti. Općenito, ovi odnosi čine neki mješoviti sustav. U pojedinim slučajevima, ovaj sustav ne smije sadržavati nejednakosti ili jednadžbe ili se može sastojati samo od jedne jednadžbe ili nejednakosti.
Rješenje zadataka od algebarskih metoda ne sluša nikakvu pojedinačnu, prilično univerzalnu shemu. Stoga je sve naznake koja se odnosi na sve zadatke najčešći. Zadaci koje proizlaze u rješavanju praktičnih i teorijskih pitanja imaju vlastite individualne karakteristike. Stoga su njihovo istraživanje i rješenje najrazličitije.
Neka nas živimo na rješavanju problema, čiji je matematički model dao jednadžbu s jednim nepoznatom.
Sjetite se da se rješenje zadatka sastoji od četiri faze. Rad u prvoj fazi (analiza sadržaja problema) ne ovisi o odabranoj metodi odlučivanja i nema temeljne razlike. U drugoj fazi (prilikom traženja rješenja problema i izrade plan za njegovo rješenje), u slučaju uporabe algebarskog metode rješenja: izbor glavnog odnosa za pripravu jednadžbe; Odabirom nepoznatog i uvođenje oznake za to; Izraz vrijednosti uključeni u glavni odnos kroz nepoznate i podatke. Treća faza (implementacija problema rješavanja problema) podrazumijeva prikupljanje jednadžbe i njezinu odluku. Četvrta faza (provjera problema problema) provodi se standard.
Obično, pri izradi jednadžbi s jednim nepoznatim h.pridržavati sljedećih dva pravila.
Pravilo I. . Jedna od tih vrijednosti izražava se nepoznatom h.i ostali podaci (to jest, prikuplja se jednadžba u kojoj jedan dio sadrži određenu vrijednost, a druga je ista vrijednost izražena h.i druge vrijednosti).
Pravilo Ii. . Za istu veličinu sastavljene su dva algebarska izraza, koji su zatim jednaki jedna s drugom.
Izvana, čini se da je prvo pravilo lakše nego drugi.
U prvom slučaju, jedan algebarski izraz je uvijek potreban, au drugoj - dva. Međutim, često postoje zadaci u kojima je prikladnije napraviti dva algebarska izraza za istu vrijednost nego da odaberete već poznate i napravite jedan izraz za to.
Proces rješavanja tekstualnih ciljeva algebarskim metodom provodi se prema sljedećem algoritmu:
1. Prvo odaberite omjer, na temelju kojih će biti sastavljena jednadžba. Ako problem sadrži više od dva omjera, tada treba poduzeti osnovu za pripravu jednadžbe s odnosom koji postavlja neku vezu između svih nepoznanica.
Zatim odaberite nepoznato, što je označeno odgovarajućim slovom.
Sve nepoznate vrijednosti uključene u omjer odabran za sastavljanje jednadžbe mora se izraziti odabranom nepoznatom, oslanjajući se na preostale odnose uključene u zadatak inače.
4. Iz navedenih tri operacija izravno podrazumijeva kompilaciju jednadžbe kao dizajn verbalnog snimanja uz pomoć matematičkih simbola.
Središnje mjesto među navedenim operacijama zauzima izbor glavnog odnosa za pripremu jednadžbi. Razmatrani primjeri pokazuju da je izbor glavnog odnosa određen u kompilaciji jednadžbi, čini logičku neznatnost u pragu nejasnog verbalnog teksta zadatka, daje povjerenje u orijentaciju i štiti od neurednih akcija kako bi se izrazile sve vrijednosti Uključeno u zadatak putem podataka i željenih.
Algebarski način rješavanja problema je od velike praktične važnosti. S tim, oni rješavaju širok raspon zadataka iz područja tehnologije, poljoprivrede, života. Već u srednjoj školi, učenici primjenjuju jednadžbe prilikom studiranja fizike, kemije, astronomije. Gdje je aritmetika nemoćna ili, u najboljem slučaju, zahtijeva iznimno glomazno razmišljanje, lako postoji algebarska metoda i brzo dovodi do odgovora. Čak iu takozvanim "tipičnim" aritmetičkim zadacima, relativno lako riješeni aritmetičkim putem, algebarsko rješenje je obično također kraće i prirodnije.
Algebarska metoda rješavanja problema olakšava pokazati da se neki zadaci koji se razlikuju samo od strane Fabalus imaju ne samo isti odnos između podataka i željenih vrijednosti, već i do toga do toga da se osnivaju tim odnosima. Takvi problemi daju samo različita specifična interpretacije istog matematičkog razmišljanja, istih odnosa, to jest, imaju isti matematički model.
2. Problem zadataka kretanja uključuje zadatke u kojima se upisuju tri vrijednosti: (s.), brzine ( vlan) i vrijeme ( t.). U pravilu, u njima govorimo o jedinstvenom pravocrtnom pokretu, kada je brzina konstantna po modulu i smjeru. U tom slučaju sve tri vrijednosti odnose se na sljedeći omjer: S. = vt. Na primjer, ako je brzina bicikliste 12 km / h, zatim u 1,5 sati. Vozit će 12 km / h 1,5 h \u003d 18 km. Postoje zadaci u kojima se razmatra kretanje ravnoteže ravnoteže, to jest, stalni pokret ubrzanja (ali).Putovala je udaljenost s. u tom slučaju izračunate formulom: S. = vlan 0 t. + nA. 2 /2, gdje vlan 0 – Početna brzina. Dakle, za 10 od jeseni na početnoj brzini od 5 m / s i ubrzanje slobodnog pada od 9,8 m 2 / s tijelom, udaljenost jednaka 5 m / s 10 10 ° C + 9,8 m 2 / s 10 2 2S 2/2 \u003d 50 m + 490 m \u003d 540 m.
Kao što je već navedeno, tijekom rješavanja tekstualnih zadataka i, prije svega, u zadacima povezanim s pokretom, vrlo je korisno napraviti ilustrativni crtež (izgraditi podršku grafički model zadatka). Crtež treba izvesti tako da je vidljiva dinamika kretanja sa svim sastancima, zaustavljanjem i okretima. Nadležni crtež crtež omogućuje ne samo da dublje sadržaj problema, već također olakšava kompilaciju jednadžbi i nejednakosti. Primjeri takvih crteža bit će prikazani u nastavku.
Tipično, u zadacima kretanja uzimaju se sljedeći sporazumi.
Ako nije posebno propisano u zadatku, kretanje u zasebnim područjima smatra se da je ujednačen (biti pokret u izravnoj ili oko opsega).
Okret pokretnih tijela smatra se trenutnim, a to se događa bez vremena; Brzina se također odmah mijenja.
Ova skupina zadataka, pak, može se podijeliti na zadatke u kojima se kretanje tel: 1) međusobno susreću; 2) u jednom smjeru ("poslije"); 3) u suprotnim smjerovima; 4) na zatvorenoj putanji; 5) protokom rijeke.
Ako je udaljenost između tijela S., i brzine tijela su jednake vlan 1 i vlan 2 (sl. 16 ali), zatim kada se kreće tijela prema drugima, kroz koje će se susresti, jednaki S./(vlan 1 + vlan 2).
2. Ako je udaljenost između tijela jednaka S., i brzine tijela su jednake vlan 1 I. vlan 2 (sl. 16 b.), zatim kada se kreće tijela u jednom smjeru ( vlan 1 > vlan 2) vrijeme kroz koje će prvo tijelo nadoknaditi drugi, jednak S./(vlan 1 – vlan 2).
3. Ako je udaljenost između tijela S., i brzine tijela su jednake vlan 1 I. vlan 2 (sl. 16 u), zatim ide u isto vrijeme u suprotnim smjerovima, tijela će biti kroz vrijeme t. biti na daljini S. 1 = S. + (vlan 1 + vlan 2 ) t..
Sl. šesnaest
4. Ako se tijela kreću u jednom smjeru na zatvorenoj duljini putanja s. s brzinama vlan 1 I. vlan 2, vrijeme kroz koje će se tijela ponovno susresti (jedno tijelo će nadoknaditi s drugom), u isto vrijeme s jednom točkom, je na formuli t. = S./(vlan 1 – vlan 2) pod uvjetom da vlan 1 > vlan 2 .
To proizlazi iz činjenice da s istodobnim početkom na zatvorenoj putanji u jednom smjeru tijelo čija je brzina veća, počinje uhvatiti korak s tijelom čija je brzina manja. Prvi put ga je uhvatio s njim prolaskom na udaljenost S. više od drugog tijela. Ako ga prestigne u drugom, po treći put, i tako dalje, to znači da prolazi udaljenost do 2 S., 3. S. i tako na više od drugog tijela.
Ako se tijela kreću u različitim smjerovima na zatvorenoj duljini putanja S. s brzinama vlan 1 I. vlan 2, vrijeme kroz koje će se susresti, u isto vrijeme s jedne točke, nalazi se na formuli t. = vlan(vlan 1 + vlan 2). U ovom slučaju, odmah nakon početka pokreta, situacija se pojavljuje kada se tijela počnu kretati jedni prema drugima.
5. Ako se tijelo kreće duž protoka rijeke, onda je brzina u odnosu na obalu iu skladu je od brzine tijela u stalnoj vodi vlan i brzine protoka rijeke w.: i \u003d.vlan + w.. Ako se tijelo pomiče na protok rijeke, onda je brzina i \u003d.vlan – w.. Na primjer, ako je brzina broda vlan \u003d 12 km / h, i brzina protoka rijeke w. 1 \u003d 3 km / h, zatim 3 sata. Uz rijeku, brod štedi (12 km / h + 3 km / h) 3 h. \u003d 45 km i protiv struje - (12 km / h - 3 km / H) 3 h. \u003d 27 km. Vjeruje se da je brzina objekata koji imaju nultu brzinu kretanja u stajaćoj vodi (splav, dnevnik, itd.) Jednaka brzini protoka rijeke.
Razmotrite nekoliko primjera.
Primjer, Jedna je točka u jednom smjeru svakih 20 minuta. Automobili odlaze. Drugi automobil vozi brzinom od 60 km / h, a brzina prvih 50% je veća od brzine drugog. Pronađite brzinu trećeg automobila, ako je poznato da je preuzeo prvi automobil 5,5 sati kasnije od drugog.
Odluka, Neka X km / h bude brzina trećeg automobila. Brzina prvog automobila je 50% duži od brzine drugog, to znači da je jednaka
Kada vozite u jednom smjeru, vrijeme susreta je poput omjera između objekata na razliku njihovih brzina. Prvi automobil je 40 minuta. (2/3 h) izbijte 90 ° (2/3) \u003d 60 km. Prema tome, treći će ga uhvatiti (sastat će se) nakon 60 / ( h. - 90) sati. Drugi u 20 minuta. (1/3 h) izbijte 60 ° (1/3) \u003d 20 km. Dakle, treći će ga uhvatiti (sastat će se) nakon 20 / ( h. - 60) h. (Sl. 17).
P 
o stanju zadatka 
Sl. 17.
Nakon jednostavnih transformacija dobivamo kvadratnu jednadžbu 11x 2 - 1730x + 63000 \u003d 0, rješavanje koje nalazimo 
Provjerite pokazuje da drugi korijen ne zadovoljava stanje zadatka, jer u ovom slučaju treći automobil neće nadoknaditi drugim automobilima. Odgovor: Brzina trećeg automobila je 100 km / h.
PrimjerLiječenje prođe rijekom 96 km, vratio se natrag i proveo neko vrijeme pod učitavanjem, trošeći na stalno 32 sata. Stopa protoka rijeke je 2 km / h. Odredite brzinu broda u stalnoj vodi ako je vrijeme učitavanja 37,5% vremena provedenog na cijelom putu i natrag.
Odluka, Neka x km / h bude brzina broda u stalnoj vodi. Zatim ( h.+ 2) km / h - brzina protokom; (x -2) km / h - protiv protoka; 96 / ( h. + 2) h. - vrijeme kretanja protokom; 96 / ( h. - 2) h. - vrijeme kretanja prema protoku. Od 37,5% ukupnog vremena, brod je bio pod učitavanjem, zatim čisto vrijeme kretanja je 62,5%, 32/100% \u003d 20 (h.). Prema tome, pod uvjetom problema imamo jednadžbu:
Pretvorio ga, dobivamo: 24 ( h. – 2 + h. + 2) = 5(h. + 2)(h. – 2) => 5h. 2 – 4h. - 20 \u003d 0. Odlučivanje kvadratne jednadžbe, nalazimo: h. 1 = 10; h. 2 \u003d -0,4. Drugi korijen ne zadovoljava stanje problema.
Odgovor: 10 km / h - brzina kretanja broda u stalnoj vodi.
Primjer. Automobil je vozio put iz grada ALIu gradu s gradom Ubez zaustavljanja. Udaljenost Abjednako 120 km, vozio se konstantnom brzinom od 1 h. brže od udaljenosti Sunce,jednak 90 km. Odredite prosječnu brzinu vozila iz grada ALIu grad s, ako je poznato da je brzina na parceli Au30 km / h više brzine na parceli Sunce.
Odluka, Neka biti h. KM / h - brzina automobila na parceli Sunce.
Zatim ( h. + 30) KM / h - Brzina na parceli Ab120/(h. + 30) H, 90 / h. H - vrijeme, trkač za zglavci vozi put Au i Sunceodnosno.
Prema tome, pod uvjetom problema imamo jednadžbu:
.
Pretvorimo ga:
120h.+ 1(h. + 30)h. = 90(h. + 30) => h. 2 + 60h. – 2700 = 0.
Odlučujući kvadratnu jednadžbu, nalazimo: h. 1 = 30, h. 2 \u003d -90. Drugi korijen ne zadovoljava stanje problema. To znači brzinu na parceli Suncejednak 30 km / h, na parceli Ab 60 km / h. Slijedi tu udaljenost Auautomobil je vozio 2 sata (120 km: 60 km / h \u003d 2 h) i udaljenost Sunce - 3 sata (90 km: 30 km / h \u003d 3 h), tako da je sva udaljenost Acvozio je 5 sati (3 sata + 2 h \u003d 5 h.). Zatim prosječnu brzinu kretanja na parceli Acduljina od 210 km, je 210 km: 5 h. \u003d 42 km / h.
Odgovor: 42 km / h - prosječna brzina vozila na mjestu Au.
Grupa zadataka uključuje zadatke u kojima se tri količine odnose na: rad ALI, vrijeme t.tijekom kojeg se obavlja rad, izvedba R -rad proizveden po jedinici vremena. Ove tri vrijednosti povezane su s jednadžbom ALI = Rt., Zadaci se odnose na zadatke povezane s punjenjem i pražnjenje spremnika (posuda, spremnika, bazena, itd.) S cijevima, crpkama i drugim uređajima. Kao rad u ovom slučaju razmatra se količina crpne vode.
Zadaci rada, općenito govoreći, mogu se pripisati skupini zadataka u pokretu, budući da u zadacima ove vrste možemo pretpostaviti da svi radovi ili puni volumen spremnika igraju ulogu udaljenosti i izvedbu radnih objekata, slično brzinama kretanja. Međutim, od strane Fabule, ovi se zadaci razlikuju na prirodan način, a dio zadataka na posao ima svoje specifične odluke rješenja. Dakle, u tim zadacima u kojima se ne određuje količina obavljanja posla, sve rad se uzima po jedinici.
Primjer.Dvije brigade su morale ispuniti red 12 dana. Nakon 8 dana suradnje, prva brigata primila je još jedan zadatak, tako da je druga brigada završila narudžbu još 7 dana. Koliko dana može biti ispunjena svaka od brigada, radeći odvojeno?
Odluka, Neka prva brigada obavlja zadatak h.dana, druga brigada - za yor dana. Uzet ćemo svu rad po jedinici. Zatim 1 / x - Izvedba prve brigade, 1 / yor – drugi. Budući da dvije brigade moraju ispuniti narudžbu za 12 dana, dobivamo prvu jednadžbu 12 (1 / h. + 1/w.) = 1.
Iz drugog stanja slijedi da je druga brigada radila 15 dana, a prvi je samo 8 dana. To znači da druga jednadžba ima oblik:
8/h.+ 15/w.= 1.
Dakle, imamo sustav:
Prvi će biti oduzet od druge jednadžbe, dobivamo:
21/yor = 1 \u003d\u003e y \u003d21.
Zatim 12 / h. + 12/21 = 1 => 12/ H. – = 3/7 => x \u003d28.
Odgovor: 28 dana ću izvršiti prvu brigadu naredbu, 21 dan - drugi.
Primjer, Rad ALI i radnici U može obavljati posao za 12 dana, radeći ALIi radnici IZ - 9 dana, radnik Ui rad C - 12 dana. Koliko dana rade, radeći u troje?
Odluka, Neka radnik ALImože obavljati posao h.dana, radnik U - po w.dana, radnik IZ - po z dana. Uzet ćemo svu rad po jedinici. Zatim 1 / x, 1 /yor i 1 / z – Radnici izvedbe A, B.i IZ odnosno. Koristeći stanje problema dolazimo do sljedećeg sustava iz jednadžbi prikazanih u tablici.
stol 1
Pretvaranje jednadžbi imamo sustav od tri jednadžbe s tri nepoznanice:
Nakon sklapanja jednadžbe sustava, dobivamo:
ili 
Iznos je zajednički rad radnika, tako da će vrijeme za koje će obaviti sve radove biti jednake
Odgovor: 7,2 dana.
Primjer, Dvije cijevi su održane u bazenu - hranjenje i pražnjenje, a kroz prvu cijev, bazen je napunjen 2 sata duže nego kroz drugu vodu iz bazena se izlije. Kada se napuni trećinom, obje cijevice su otvorene, a bazen se ispostavilo da je prazan nakon 8 sati. Koliko sati kroz jednu prvu cijev može biti ispunjena s bazenom i koliko sati kroz drugu cijev može puni plivati Bazen se može piti?
Odluka, Neka biti Vlan m 3 - volumen bazena, h.m 3 / h - produktivnost dovodne cijevi, w.m 3 / h - iscjedak. Zatim Vlan/ x. h. - Vrijeme potrebno za punjenje cijevi za popunjavanje bazena, Vlan/ yor h. - Vrijeme potrebno za ispusnu cijev za odvod bazena. Pod uvjetom zadatka Vlan/ x. – Vlan/ yor = 2.
Budući da je izvedba ispusne cijevi više produktivnost punjenja, onda kada su obje cijevice uključene, bazen će se pojaviti i jedna trećina bazena će se isušiti tijekom vremena (Vlan/3)/(yor – x.), koji je, po uvjetima problema, 8 sati. Dakle, stanje zadatka može se zabilježiti kao sustav dviju jednadžbi s tri nepoznanice:
U zadatku koji trebate pronaći Vlan/ x. i Vlan/ yor. Istaknuti u jednadžbama kombinacija nepoznatog Vlan/ x. i Vlan/ yor, oporavak sustava:
Uvođenje novih nepoznanica Vlan/ x. \u003d A.i Vlan/ yor = b., dobivamo sljedeći sustav:
Zamjena u drugoj jednadžbi ali= b. + 2, imaju jednadžbu u vezi b.:
rješavanje koje nalazimo b. 1 = 6, b. 2 = -osam. Stanje zadatka zadovoljava prvi korijen 6, \u003d 6 (h.). Iz prve jednadžbe zadnjeg sustava nalazimo ali\u003d 8 (h), to jest, prva cijev ispunjava bazen 8 sati.
Odgovor: Kroz prvu cijev, bazen će biti napunjen nakon 8 sati, kroz drugu cijev, bazen se suši nakon 6 sati.
Primjer, Jedna traktorska brigada trebala bi orati 240 hektara, a drugi je 35% više od prvog. Prva brigada, oranje dnevno za 3 hektara manje od drugog, gotovog rada 2 dana ranije od druge brigade. Koliko je hektara svakodnevno preorušilo svaku brigadu?
Odluka, Nalazimo 35% od 240 hektara: 240 hektara 35% / 100% \u003d 84 hektara.
Prema tome, druga brigada morala je oranje 240 hektara + 84 hektara \u003d 324 hektara. Neka prva brigada svakodnevno h.ha. Tada se druga brigada svakodnevno orala ( h. + 3) ha; 240 / h. - vrijeme rada prve brigade; 324 / ( h. + 3) - vrijeme rada druge brigade. U skladu sa stanjem zadatka, prva brigada završila je rad 2 dana ranije od drugog, tako da imamo jednadžbu
koji nakon transformacije mogu biti napisan na sljedeći način:
324h. – 240x -720 \u003d 2x 2 + 6x\u003d\u003e 2x 2 - 78x + 720 \u003d 0 \u003d\u003e x 2 - 39x + 360 \u003d 0.
Odlučujući kvadratnu jednadžbu, nalazimo X 1 \u003d 24, x 2 \u003d 15. To je norma prve brigade.
Slijedom toga, druga brigada orala na 27 hektara i 18 hektara, respektivno. Oba rješenja zadovoljavaju stanje zadatka.
ODGOVOR: 24 hektara po danu orao prva brigada, 27 hektara - drugi; 15 hektara dnevno je orao prva brigada, 18 hektara - drugi.
Primjer, U svibnju su dvije radionice proizvele 1080 detalja. U lipnju je prva radionica povećala proizvodnju detalja za 15%, a drugi je povećao proizvodnju dijelova za 12%, tako da su obje radionice napravile 1224 dijela. Koliko je dijelova učinilo svaku radionicu u lipnju?
Odluka, Neka biti h. detalji napravljeni u svibnju prvu radionicu, w.detalji - drugi. Od 1080 dijelova u svibnju, tada stanjem zadatka imamo jednadžbu x. + yor = 1080.
Nalazimo 15% h.:
Tako, 0,15 h. Detalji Povećana proizvodnja proizvoda Prva trgovina, dakle, u lipnju je izdao x +.0,15 h. = 1,15 x. Detalji. Slično tome, smatramo da je druga radionica u lipnju napravila 1.12 yor Detalji. Dakle, druga jednadžba će izgledati: 1.15 x. + 1,12 w. \u003d 1224. Dakle, imamo sustav:
iz kojeg smo pronašli x \u003d480, y \u003d600. Prema tome, u lipnju je 552 dijela i 672 dijela napravljeno.
Odgovor: Prva radionica napravila je 552 detalja, drugi - 672 dijela.
4. Skupina zadataka na mješavini i kamatu odnose se na zadatke u kojima se odnosi na različite tvari u određenim omjerima, kao i zadacima kamata.
Zadatke za koncentraciju i postotak
Razjasnili smo neke koncepte. Neka bude smjesa prazne tvari (komponente) ALI 1 ALI 2 , ..., ALI n. prema tome, čije su količine jednake Vlan 1 , Vlan 2 , ..., Vlan n. . Volumen mješavine Vlan 0 sastoji se od čistih komponenti: Vlan 0 = Vlan 1 + Vlan 2 + ... + Vlan n. .
Masovna koncentracijatvari ALI i. (i. = 1, 2, ..., ptiju smjesi se naziva vrijednost s i. izračunate formulom:
Postotak volumena tvari a i. (i. = 1, 2, ..., ptiju smjesi se naziva veličina p. i. , Izračunate formulom r i. = iz i. , 100%. Koncentracija iz 1, iz 2 , ..., iz n. koji su bezdimenzijske vrijednosti povezane su s jednakošću. iz 1 + S. 2 + ... + s n. \u003d 1 i omjeri
prikaži koji dio ukupnog volumena smjese je volumen pojedinačnih komponenti.
Ako je postotak poznat i.- Komponenta, njegova koncentracija se nalazi po formuli:
i.e P- – ovo je koncentracija i.-HO tvari u smjesi iskazane kao postotak. Na primjer, ako je postotak tvari 70%, njegova odgovarajuća koncentracija je 0,7. Nasuprot tome, ako je koncentracija jednaka 0,33, tada je postotak 33%. Dakle, iznos r 1 + R. 2 + ... + str n. \u003d 100%. Ako je poznata koncentracija iz 1 , iz 2 , ..., iz n. komponente koje čine ovu glasnoću Vlan 0 , tada su odgovarajuće komponente glasnoće u formulama:
Koncepti su slični na isti način. težina (masa) concentrikomponente smjese i odgovarajući postotci. Oni su definirani kao omjer težine (mase) čiste tvari ALI i. , u leguri na težini (masa) cijele legure. Koja je koncentracija, volumen ili težina, u pitanju u određenom zadatku, uvijek je jasno iz njegovog stanja.
Postoje zadaci u kojima se treba ponovno izračunati koncentraciju glasnoće na težini ili obrnuto. Da bi to učinili, potrebno je znati gustoću (specifične težine) komponenti koje čine otopinu ili leguru. Razmotrite, primjerice, dvokomponentna smjesa s koncentracijama glasnoće komponenti iz 1 i iz 2 (iz 1 + S. 2 = 1) i specifične skale komponenti d. 1 i d. 2 . Masa smjese može se naći u formuli:
u čemu Vlan 1 i Vlan 2 – Komponente glasnoće mješavine komponenti. Koncentracije težine komponenti su iz jednakosti:
koji određuju povezanost tih vrijednosti s koncentracijama volumena.
U pravilu, u tekstovima takvih zadataka nalazi se isto ponovljeno stanje: od dvije ili više smjesa koje sadrže komponente A. 1 , A. 2 , Ali 3 , ..., ALI n. , nova smjesa je sastavljena miješanjem početnih smjesa uzetih u određenom omjeru. U isto vrijeme, potrebno je pronaći u komponentama ALI 1, ALI 2 , Ali 3 , ..., ALI n. unesite dobivenu smjesu. Da bi se riješio ovaj problem, prikladno je uvesti količinu ili broj težine svake smjese, kao i koncentraciju komponenti komponenti. ALI 1, ALI 2 , Ali 3 , ..., ALI n. . Uz pomoć koncentracija, potrebno je "podijeliti" svaku smjesu u pojedinačne komponente, a zatim metodu navedenu u metodi uvjeta za izradu nove smjese. Lako je izračunati koliko svake komponente ulazi u dobivenu smjesu, kao i ukupnu količinu ove smjese. Nakon toga se određuju koncentracije komponenti. ALI 1, ALI 2 , Ali 3 , ..., ali n. u novoj smjesi.
Primjer, Postoje dva komada bakar i cink legure s postotkom bakra 80% i 30%, respektivno. Što je stvar ovih legura, sjetite se komada uzeti zajedno, dobiti leguru koja sadrži 60% bakra?
Odluka, Neka uzela prva legura h. kg, i drugi - w.kg. Pod uvjetom, koncentracija bakra u prvoj leguri je 80/100 \u003d 0,8, u drugom - 30/100 \u003d 0,3 (jasno je da govorimo o koncentracijama težine), to znači da je u prvoj leguri 0,8 h. CG bakar i (1 - 0,8) h. = 0,2h. kg cink, u drugom - 0,3 w.cG bakar i (1 - 0,3) yor = 0,7w. kg cink. Količina bakra u rezultirajućoj leguri je jednaka (0,8 h. + 0,3 y)kg, a masa ove legure će biti (x + y)kg. Stoga je nova koncentracija bakra u leguri, prema definiciji jednaka
Prema problemu problema, ta koncentracija treba biti 0,6. Stoga dobivamo jednadžbu:
Ova jednadžba sadrži dvije nepoznate h.i yMeđutim, pod uvjetom zadatka, potrebno je odrediti same vrijednosti h.i y,ali samo njihov stav. Nakon jednostavnih transformacija dobivamo
Odgovor: Legure se moraju uzeti u odnosu na 3: 2.
Primjer, Postoje dvije otopine sumporne kiseline u vodi: prvi je 40%, drugi je 60%. Ova dva rješenja su pomiješana, nakon čega se doda 5 kg čiste vode i dobiveno je 20% otopine. Ako se umjesto 5 kg čiste vode doda 5 kg 80% otopine, zatim će se dobiti 70% otopina. Koliko je 40% i 60% rješenja?
Odluka, Neka biti h.kg - masa prvog rješenja, w.kg - drugi. Zatim masu 20% otopine ( h. + w.+ 5) kg. Kao B. h.kG 40% rješenje sadrži 0,4 h. kg kiselina, u w.kG 60% Rješenje sadrži 0,6 yor kg kiselina iu (x + y +5) kg 20% \u200b\u200botopine sadrži 0,2 ( h. + u +.5) kg kiseline, a zatim pod uvjetom imamo prvu jednadžbu 0,4 h. + 0,6yor = 0,2(h. + U +.5).
Ako umjesto 5 kg vode doda 5 kg 80% otopine, tada će se otopina riješiti (x + y+ 5) kg u kojem će biti (0,4 h. + 0,6w. + 0,8 5) kg kiseline, koji će biti 70% od (x + u+ 5) kg.
Analizirajući podatke o zadatku, promatrajući to zajedničko u zadacima sa stajališta matematike, što je razlika, pronaći izvanredan način rješavanja problema, stvaranje prase banke rješavanja zadataka, naučite riješiti jedan problem u Različiti načini. Porezi zadataka grupirani jednim predmetom "aritmetičke metode rješavaju probleme", zadatke za rad u grupi i za pojedini rad.
"Zadaci za tehniku \u200b\u200bsimulatora"
Simulator: "Aritmetički načini rješavanja problema"
"Usporedba brojeva u sumu i različitosti."
U dvije košare 80 Borovikov. U prvoj košari na 10 borovika manje nego u drugom. Koliko boroviki u svakoj košari?
Šivaći studio dobio je 480 m traper i drape. Dem tkivo je bilo 140 m više od drape. Koliko je metara trapera ušlo u studio?
Televizijski model sastoji se od dva bloka. Donja jedinica je 130 cm kraća od vrha. Koja je visina gornjeg i donjeg bloka, ako je visina kule je 4 m 70 cm?
Dvije kutije od 16 kg kolačića. Pronađite mnogo kolačića u svakoj kutiji ako je u jednom od njih keksi na 4 kg više.
Zadatak "aritmetičke" L. N. Tolstoy.
a) Dvojica muškaraca imaju 35 ovaca. Jedan za 9 ovca je veći od druge. Koliko ovaca ima svi?
b) Dvojica muškaraca imaju 40 ovca, a jedan je manje za još 6 ovaca. Koliko ovaca ima svakog čovjeka?
Bilo je 23 osobne automobile i motocikle s prijevozom u garaži. Stroj i motocikli 87 kotača. Koliko garaža motocikla, ako je rezervni kotač stavio rezervni kotač u svakom prijevozu?
"Euler krugovi."
U kući ima 120 stanovnika, neki od njih imaju pse i mačke. U krugu slika IZ slike stanari s psima, krugom DO – stanovnici s mačkama. Koliko stanara ima pse i mačke? Koliko stanara ima samo pse? Koliko stanara ima samo mačke? Koliko stanara nema pasa ili mačke?
Od 52 školske djece 23 angažira se u odbojci i 35 košarke i 16 - i odbojku i košarku. Ostatak se ne upuštaju u bilo koji od ovih sportova. Koliko se učenika ne bave niti jedan od ovih sportova?
U krugu slika ALI opisuje sve zaposlenike na sveučilištima koji znaju engleski, krug N. - obrazovan njemački i krug F. - Francuski. Koliko zaposlenika sveučilišta zna: a) 3 jezika; b) engleski i njemački; c) francuski? Koliko sveučilišnog osoblja? Koliko njih ne govori francuski?
Na međunarodnoj konferenciji sudjelovalo je 120 osoba. Od toga, 60 su u vlasništvu ruskog jezika, 48 - engleski, 32 - njemački, 21 - ruski i njemački, 19 - engleski i njemački, 15 - ruski i engleski, a 10 osoba u vlasništvu sva tri jezika. Koliko sudionika konferencije ne posjeduje niti jedan od tih jezika?
Oni pjevaju u zboru i bave se plesom 82 učenika, bave se plesom i ritmičkom gimnastikom 32 studenta, a pjevaju u zboru i bave se ritmičkom gimnastikom od 78 učenika. Koliko studenata pjeva u zboru se bave plesom i ritmičkom gimnastikom odvojeno, ako je poznato da svaki učenik radi samo nešto same?
Svaka obitelj živi u našem kućnom ispuštanju ili novinama ili časopisu ili oboje. 75 obitelji ispuštaju novine, a 27 obitelji ispuštaju časopis, a samo 13 obitelji ispuštaju časopis i novine. Koliko obitelji živi u našoj kući?
"Metoda izjednačavanja podataka".
U 3 mala i 4 velika buketa od 29 cvijeća, te u 5 malih i 4 velikih buketa od 35 cvijeća. Koliko cvijeća u svakom buketu odvojeno?
Masa 2 čokoladne pločice je velika i mala - 120 g, i 3 velika i 2 mala - 320 Koja je masa svake pločice?
5 jabuka i 3 kruška teže 810 g i 3 jabuke i 5 krušaka teži 870 g. Koliko teži jedna jabuka? Jedna kruška?
Četiri pače i pet Geussy tegava 4kg 100g, pet pačića i četiri ide težiti 4 kg. Koliko teži jedno pače?
Za jednog konja i dvije krave dnevno proizvode 34 kg sijena, a za dva konja i jedna krava - 35 kg sijena. Koliko sijena daje jedan konj i koliko jedan krava?
3 crvene kocke i 6 plavih kocki stajati 165tg trljati. I pet crveno je skuplje od dvije plave na 95 tg. Koliko je svaka kocka?
2 Albuma za crtanje i 3 albuma za marake vrijedi 160 rubalja zajedno, a 3 crtanje albuma su 45 rubalja. Skuplji su dva albuma za brandove.
"Grafovi".
Seryozha je odlučio dati mami za rođendanski buket cvijeća (ruže, tulipane ili karanfila) i staviti ih ili u vazu, ili u posudu. Koliko načina može to učiniti?
Koliko trostrukih brojeva može biti izrađen od brojeva 0, 1, 3, 5, ako se brojevi u broju zapisi ne ponavljaju?
U srijedu u 5. razredu, pet lekcija: matematika, tjelesno obrazovanje, povijest, ruski jezik i prirodna znanost. Koliko različitih varijanti rasporeda u srijedu može biti sastavljeno?
"Stari način rješavanja problema za miješanje tvari."
Kako miješati ulja? Neka osoba je imala na prodaju ulja od dvije sorte: jedna cijena je 10 grivna po kantici, a ne 6 grivna po kantici. Htjela sam to učiniti iz ova dva ulja, miješajući ih, ulje po cijeni od 7 grivna po kantici. Koji dijelovi ova dva ulja trebaju uzeti kako bi dobili kantu ulja vrijedan 7 grivna?
Koliko trebate uzeti karamele po cijeni od 260 Tg na 1 kg i po cijeni od 190 Tg po 1 kg napraviti 21 kg smjese po cijeni od 210 Tg po kilogramu?
Netko ima tri sorte čaj - Cejlon 5 grivna po kilogramu, indijski 8 grivna za funta i kineski 12 grivna po kilogramu. U kojim frakcijama trebate miješati ove tri vrste da biste dobili čaj vrijedan 6 grivna po kilogramu?
Netko ima srebrne uzorke: jedan - 12 - OH uzorak, drugi - 10 uzorak, treći - 6 - OH uzorak. Koliko srebra treba uzeti u obzir da dobije 1 kilogram srebra 9 - oh uzorak?
Trgovac je kupio 138 arshin crne i plave Sukne za 540 rubalja. Pita se koliko je arshina kupilo oboje, ako je bilo plave 5 rubalja. Za arshin i crne - 3 rubalja.
Različite zadatke.
Za novogodišnje darove bilo je 87 kg voća, a jabuke su bile 17 kg više od narančaka. Koliko jabuka i koliko naranče kupilo?
Na božićnom drvcu djece u karnevalskim odijelima pahuljica 3 puta više nego u kostimima peršina. Koliko je djece bilo u pahuljicama, ako su bili 12 manje?
Masha je primila 2 puta manje od novogodišnjih čestitki od Kohla. Koliko je čestitala svima, ako su svi bili 27? (9 i 18).
Za novogodišnje nagrade kupljeno je 28 kg slatkiša. Candy "Prokletstvo" iznosio je 2 dijela, "Muse" - 3 dijela, "kamilica" - 2 dijela. Koliko je bombona svakog razreda kupilo? (8, 8, 12).
Skladište ima 2004 kg brašna. Je li moguće razgraditi u vrećima težine 9 kg i težine 18 kg?
U trgovini "sve za čaj", ima 5 različitih šalica i 3 različita tanjurića. Koliko načina mogu kupiti šalicu s tanjurom?
Konj jede stog sijena 2 dana, krava - za 3, ovce - za 6. Koliko će dana jesti snop ako postoji zajedno?
Pogledajte sadržaj dokumenta
"Apstraktna lekcija Arif Sp"
"Aritmetički načini rješavanja tekstualnih zadataka."
Osoba koja proučava matematiku često je korisnije za rješavanje istog zadatka na tri različita načina nego riješiti tri - četiri različita zadatka. Rješavanje jednog zadatka na različite načine, moguće je usporedbom saznati koji je kraći i učinkovitiji. Tako da se iskustvo proizvodi.
U.u.soyer
Svrha lekcije: Koristite znanje dobivene u prethodnim lekcijama, pokazuju fantaziju, intuiciju, maštu, mixTalk za rješavanje problema ispitivanja na različite načine.
Zadaci Lekcija: Obrazovanje: Analiziranje tih zadataka, promatrajući da je zajedničko u zadacima u smislu matematike, što je razlika, pronađite izvanredan način rješavanja problema, stvaranje piggyback of task rješenja, naučiti riješiti jedan problem na različite načine.
Razvoj: Osjetite potrebu za samospoznajem, biti u određenoj situaciji u ulozi.
Obrazovanje:razviti osobne kvalitete, formirati komunikacijsku kulturu.
Sredstva obrazovanja: Simulator zadataka grupiranih jednim temom "aritmetički načini rješavanja problema", zadataka za rad u grupi i za pojedini rad.
Tijekom nastave.
I. Organizacijski trenutak
Bok dečki. Sjedni. Danas imamo lekciju na temu "aritmetičke metode za rješavanje tekstualnih zadataka."
Ii. Aktualizacija znanja.
Matematika je jedna od drevnih i važnih znanosti. Mnogi matematički znanje ljudi koji se koriste u antičko doba - tisućama godina prije. Bili su potrebni trgovci i graditelji, vojnici i poljoprivrednici, svećenici i putnici.
A danas, nitko ne može učiniti u životu bez dobrog znanja o matematici. Osnova dobrog razumijevanja matematike je sposobnost računanja, razmišljanja, razuma, pronalaženja uspješnih rješenja za zadatke.
Danas smatramo aritmetičkim načinima rješavanja tekstualnih ciljeva, analizirat ćemo zadatke starog, koji su se spustili iz različitih zemalja i vremena, zadatke na izjednačavanje, o usporedbi iznosa i razlike i drugih.
Svrha lekcije je uključiti vas u nevjerojatan svijet ljepote, bogatstva i raznolikosti - svijet zanimljivih zadataka. I to znači uvesti neke aritmetičke metode, što dovodi do vrlo elegantnih i poučnih rješenja.
Zadatak je gotovo uvijek pretraživanje, otkrivanje nekih svojstava i odnosa, te sredstva za rješavanje je intuicija i pogodak, erudicija i posjedovanje metoda matematike.
Kao što su glavne matematike, aritmetičke i algebarske metode rješavanja problema se razlikuju.
Riješite aritmetičku metodu zadatka - to znači pronaći odgovor na zahtjev problema obavljanjem aritmetičkih akcija na brojevima.
Uz algebarsku metodu, odgovor na pitanje problema je rezultat kompilacije i rješavanja jednadžbe.
Nije tajna da osoba koja posjeduje razne alate i primjenjuje ih ovisno o prirodi obavljenog posla, postiže značajno bolje rezultate od osobe koja posjeduje samo jedan univerzalni alat.
Postoje mnoge aritmetičke metode i nedržavne tehnike za rješavanje problema. Uz neke od njih, želim vas predstaviti danas.
1. Način rješavanja tekstualnih zadataka "Usporedba brojeva u zbroju i razlici".
Zadatak : Baka u jesen iz područja zemlje prikupljala je 51 kg mrkve i kupusa. Kupus je bio 15 kg više od mrkve. Koliko kilograma mrkve i koliko kilograma kupusa okupilo je baku?
Pitanja koja odgovaraju stavcima algoritma za rješavanje zadataka ovog razreda.
1. Saznajte koje su vrijednosti u pitanju
Na broju mrkve i kupusa, koji je okupio baku, zajedno i odvojeno.
2. Navedite, koje vrijednosti moraju biti pronađene u zadatku.
Koliko kilograma mrkve i koliko kilograma kupusa okupilo je baku?
3. Nazovite odnos između vrijednosti u zadatku.
Zadatak se odnosi na količinu i razliku količina.
4. Navedite količinu i razliku vrijednosti vrijednosti.
Iznos je 51 kg, razlika je 15 kg.
5. Izjednačavanje veličina da biste pronašli dvostruku vrijednost manje vrijednosti (od količine vrijednosti za oduzimanje razlike u količinama).
51 - 15 \u003d 36 (kg) - dvostruko veći broj mrkve.
6. Znanje udvostručiti, pronalaženje manje vrijednosti (udvostručeno da se podijeli na dva).
36: 2 \u003d 18 (kg) - mrkva.
7. Koristeći razliku između vrijednosti i vrijednosti manje vrijednosti, pronađite vrijednost veće vrijednosti.
18 + 15 \u003d 33 (kg) - kupus. Odgovor: 18 kg, 33 kg. Zadatak.Postoje fazani i zečevi u kavezu. Ukupno 6 golova i 20 nogu. Koliko kunića i koliko fazana u kavezu
?
Metoda 1. Način odabira:
2 fazan, 4 kunića.
Provjerite: 2 + 4 \u003d 6 (glave); 4 4 + 2 2 \u003d 20 (noge).
Ovo je metoda odabira (od riječi "pokupiti"). Prednosti i nedostaci ove metode otopine (teško je odabrati, ako su brojevi veliki) na ovaj način, pojavljuje se poticaj za traženje praktičnih rješenja.
Rezultati rasprave: metoda odabira je prikladna kada se akcije s malim brojem, uz povećanje vrijednosti postaje iracionalno i dugotrajno.
Metoda 2. Puna poprsje mogućnosti.
Prikupljena tablica:
Odgovor: 4 kunića, 2 fazana.
Ime ove metode je "puna". Rezultati rasprave: Metoda potpunog izuzeća je prikladna, ali u velikim količinama dovoljno dugotrajnog.
Metoda 3. Metoda pretpostavke.
Uzmi stari kineski zadatak:
Cell sadrži nepoznati broj fazana i zečeva. Poznato je da cijela stanica sadrži 35 glava i 94 noge. Saznajte broj fazana i broj kunića. (Izazov iz kineske matematičke knjige "Kiu-Chang", sastavljen u 2600 godina prije Krista. E.).
Dajemo dijalog koji se nalazi iz starih matematičkih majstora. - Zamislite da kavez u kojem sjede faza i zečevi, stavljamo mrkvu. Svi kunići će stajati na stražnjim nogama do mrkve. Koliko nogu u ovom trenutku će stajati na zemlji?
Ali u stanju zadatka daje se 94 noge, gdje su ostali?
Ostatak nogu se ne računa - to su prednje noge zečeva.
Koliko njih?
24 (94 – 70 = 24)
Koliko kunića?
12 (24: 2 = 12)
I fazani?
23 (35- 12 = 23)
Ime ove metode je "metoda pretpostavke za nedostatak". Pokušajte objasniti ovo ime (u staničnoj sjedenju 2 ili 4 noge, i predložili smo da su svi najmanji od tih brojeva - 2 noge).
Drugi način rješavanja istog zadatka. - Pokušajmo riješiti ovaj zadatak - "metodom viška": mi ćemo zamisliti da se fazani pojavili još dvije noge, onda će sve noge 35 × 4 \u003d 140.
Ali pod uvjetom problema, samo 94 noge, tj. 140 - 94 \u003d 46 stopa dodatno, čije? To su stopala fazana, imaju dodatnih nekoliko stopa. To znači fazanov bit će 46: 2 = 23,
zatim zečevi 35 -23 = 12.
Rezultati rasprave: metoda pretpostavke ima dvije opcije - nedostatak i višak; U usporedbi s prethodnim metodama, to je prikladnije, kao manje dugotrajno.
Zadatak. U pustinji, karavan deve, svi oni, polako hodaju. Ako ponovno izračunate sve grbe od ovih deva, onda je 57 veće će biti. Koliko je aloškim kamilama u ovom karavanu? 1 način. Riješite pomoću jednadžbe.
Broj grba od jednog broja kamila svih grba
2 x 2
1 40 - h. 40 - h. 57
2 x +. 40 - h. = 57
x +. 40 = 57
h. = 57 -40
h. = 17
2 način.
- Koliko grba može imati deve?
(može postojati dva ili jedan)
Napravimo svaku kamilu jednom grbom. Pričvrstit ću cvijet.
- Koliko će cvijeća trebati? (40 deva - 40 boja)
- Koliko će grba ostati bez cvijeća?
(Takva će biti 57-40=17 , to druga klisura Dugorble deve).
koliko dugorby deve? (17)
koliko jednokratne deve? (40-17 \u003d 23)
Što je zadatak odgovora? ( 17 i 23 deva).
Zadatak.U garaži su bili putnički automobili i motocikli s kolicama, svi zajedno 18. stroj i motocikli - 65 kotača. Koliko je motocikala s invalidskim kolicima stajala u garaži, ako automobili imaju 4 kotača, a na motociklu - 3 kotača?
1 način. Uz pomoć jednadžbe:
Kol- kotači u 1 kaputu
Kaša. četirix 4 x
Ilo. 3 18 -h. 3(18 - h. ) 65
4 x +. 3(18 - h. ) = 65
4 x + 5. 4 -3 h. =65
h. = 65 - 54
h. = 11, 18 – 11 = 7.
Preformuliramo zadatak : Razbojnici koji su došli u garažu, gdje je 18 automobila i motocikala stajali s invalidskim kolicima, uklonjene iz svakog stroja i svaki motocikl tri kotača i uzeo. Koliko kotača ostaje u garaži ako je bilo 65? Pripadaju li automobilu ili motociklu?
3 × 18 \u003d 54 - koliko je kotača uzeti pljačkaši,
65-54 \u003d 11 - toliko kotača (automobili u garaži),
18 - 11 \u003d 7-motocikli.
Odgovor: 7 motocikala.
Sam:
Bilo je 23 osobne automobile i motocikle s prijevozom u garaži. Stroj i motocikli 87 kotača. Koliko garaža motocikla, ako je rezervni kotač stavio rezervni kotač u svakom prijevozu?
- Koliko kotača ima strojeve i motocikle zajedno? (4 × 23 \u003d 92)
- Koliko rezervnih kotača stavlja u svaku kolica? (92 - 87 \u003d 5)
- Koliko automobila u garaži? (23 - 5 \u003d 18).
Zadatak.U našoj klasi možete naučiti engleski ili francuski (opcionalno). Poznato je da engleski studira 20 učenika, a francuski - 17. Ukupno u studentu klase 32. Koliko studenata uče oba jezika i engleski i francuski?
Pokažite dva kruga. U jednom ćemo popraviti broj učenika koji studiraju engleski, u drugim studijama o učenju koji studiraju francuski. Kao pod uvjetom problema postoje učenici učenicii jezici: engleski i francuski, Krugovi će imati zajednički dio. U stanju ovog zadatka nije lako shvatiti. Ako se spustite 20 i 17, to će se pojaviti više od 32. godine. To je objašnjeno činjenicom da su neki učenici uzeli u obzir dvaput - naime oni koji proučavaju oba jezika: i engleski i francuski. Dakle, (20 + 17) - 32 \u003d 5 učenici uče oba jezika: i engleski i francuski.
Engleski Fran.
20 UCH. 17 UCH.
(20 + 17) - 32 \u003d 5 (studenti).
Sheme poput one koju smo iskoristili zadatak u rješavanju problema u matematici krugovi (ili dijagrami) euler. Leonard Euler (1736) Rođen u Švicarskoj. Ali dugi niz godina živio sam u Rusiji.
Zadatak. Svaka obitelj živi u našem kućnom ispuštanju ili novinama ili časopisu ili oboje. 75 obitelji ispuštaju novine, a 27 obitelji ispuštaju časopis, a samo 13 obitelji ispuštaju časopis i novine. Koliko obitelji živi u našoj kući?
Časopisi novina
Slika pokazuje da u kući žive 89 obitelji.
Zadatak.Na međunarodnoj konferenciji sudjelovalo je 120 osoba. Od toga, 60 su u vlasništvu ruskog jezika, 48 - engleski, 32 - njemački, 21 - ruski i njemački, 19 - engleski i njemački, 15 - ruski i engleski, a 10 osoba u vlasništvu sva tri jezika. Koliko sudionika konferencije ne posjeduje niti jedan od tih jezika?
Engleski 15 Engleski
21 10 19
njemački
Rješenje: 120 - (60 + 48 + 32 -21 - 19 - 15 + 10) \u003d 25 (ljudi).
Zadatak. Tri mačića i dva štenca teže 2 kg 600 g, a dva mačića i tri štenca teže 2 kg 900 g. Koliko je štene?
3 mačića i 2 štenaca - 2kg 600 g
2 mačka i 3chenchenka - 2kg 900 g
Iz ovog stanja slijedi da 5 mačića i 5 štenaca teži 5 kg 500 g. Dakle, 1 mačić i 1 štene teži 1 kg 100 g
2 mačka i 2 pueps. Težiti 2 kg 200 g
Usporedite uvjete -
2 mačića + 3 raspored \u003d 2kg 900 g
2 mačići + 2 štenci \u003d 2 kg 200 g, vidimo da štene teži 700 g.
Zadatak.Za jednog konja i dvije krave dnevno proizvode 34 kg sijena, a za dva konja i jedna krava - 35 kg sijena. Koliko sijena daje jedan konj i koliko jedan krava?
Pišemo kratko stanje zadatka:
1 konja i 2 krava -344kg.
2 konja i 1 krave -35 kg.
Je li moguće saznati koliko će sijena trebati za 3 konja i 3 krava?
(za 3 konja i 3 krava - 34 + 35 \u003d 69 kg)
Je li moguće saznati koliko će sijena trebati za jedan konja i jednu kravu? (69: 3 - 23 kg)
Koliko će sijena trebati za jednog konja? (35-23 \u003d 12kg)
Koliko će sijena trebati za jednu kravu? (23 -13 \u003d 11kg)
Odgovor: 12kg i 11 kg.
Zadatak.Madina je odlučila doručkovati u školskom biferu. Saznajte izbornik i odgovor, koliko načina može odabrati piće i slastice?
| Konditorski |
|
| Kolač od sira |
|
Pretpostavimo da će Madina pića izabrati čaj. Kakvu slast može pokupiti za čaj? (čaj - sir, čaj - kolačići, čaj - bun)
Koliko načina? (3)
I ako kompate? (također 3)
Kako saznati koliko načina može koristiti Madinu za odabir ručka? (3 + 3 + 3 \u003d 9)
Da, u pravu si. Ali nam je lakše riješiti takav zadatak, koristit ćemo grafikone. Riječ "grafikon" matematike znači sliku u kojoj se nacrtaju nekoliko bodova, od kojih su neke povezane linije. Označite piće i slastičke točkice i spojite parove tih jela koje će Madina izabrati.
kompone
vatrushka keksi
Sada brojite broj redaka. Postoji 9. Stoga postoji 9 načina za odabir jela.
Zadatak.Seryozha je odlučio dati mami za rođendanski buket cvijeća (ruže, tulipane ili karanfila) i staviti ih ili u vazu, ili u posudu. Koliko načina može to učiniti?
Što mislite, koliko načina? (3)
Zašto? (boje 3)
Da. Ali još uvijek postoje različita jela: ili vaza ili posuda. Pokušajmo grafički zadatak.
vaza kuvshin
roses Tulips karanfile
Broj linija. Koliko njih? (6)
Koliko načina možete izabrati iz Sergea? (6)
Ishod lekcije.
Danas smo riješili niz zadataka. Ali rad nije dovršen, postoji želja za nastavkom, i nadam se da će vam to pomoći uspješno riješiti tekstualne zadatke.
Poznato je da je rješenje zadataka praktična umjetnost, slična plivanju ili igri za klavir. Možete naučiti samo oponašanjem dobrih uzoraka, neprestano vježbati.
Ovo je samo najjednostavniji zadaci, složeni, ali ostaju subjekt za buduću studiju. Ali oni su još mnogo više nego što smo ih mogli riješiti. A ako na kraju lekcije možete riješiti zadatke "iza stranica obrazovnog materijala", onda možemo pretpostaviti da sam izveo svoj zadatak.
Poznavanje matematike pomaže u rješavanju određenog vitalnog problema. U životu ćete morati redovito rješavati određena pitanja, za to je potrebno razviti intelektualne sposobnosti, zahvaljujući kojem se unutarnji potencijal razvija, razvija sposobnost predviđanja situacije, predvidjeti, usvojiti nedržavno rješenje.
Želim dovršiti lekciju riječima: "Bilo koji dobro riješen matematički zadatak donosi mentalno zadovoljstvo." (Gesse).
Slažete li se s ovim?
Domaća zadaća.
Bit će takav zadatak kući: Korištenje tekstova riješenih problema, kao uzorak, riješiti zadatke br. 8, 17, 26 po metodama koje smo studirali.
Rješavanje problema algebarskim (korištenje jednadžbi) Prema udžbeniku i.i. Zubareva, a.G. Mordkovich
matematički učitelj Mou "Lsos №2"
likhoslavl tver regija
Ciljevi: - pokazati problem rješavanja problema algebarskim metodom; - formirati sposobnost rješavanja problema s aritmetičkim i algebarskim metodama.
Metode
rješenja zadataka
Aritmetička (rješenje zadatka djelovanja)
Algebarski (rješavanje problema s jednadžbom)
Broj zadatka 509.
Pročitajte zadatak.
Pokušajte pronaći različite načine rješavanja.
Dvije kutije od 16 kg kolačića. Pronađite mnogo kolačića u svakoj kutiji ako u jednom od njih kolačići na 4 kg više nego u drugom.
1 način rješenja
(izgled)
3 način rješenja
(izgled)
2 načina rješenja
4 smjernica
1 metoda (aritmetička)
- 16 - 4 \u003d 12 (kg) - kolačići će ostati u dvije kutije, ako dobijete 4 kg kolačića iz prve kutije.
- 12: 2 \u003d 6 (kg) - kolačići su bili u drugoj kutiji.
- 6 + 4 \u003d 10 (kg) - kolačići su bili u prvom okviru.
Odgovor
Rješenje se koristi metoda izjednačavanja .
Pitanje : Zašto je dobio takvo ime?
leđa)
2 metoda (aritmetička)
- 16 + 4 \u003d 20 (kg) - kolačići će biti u dvije kutije, ako dodate 4 kg kolačića u drugu kutiju.
- 20: 2 \u003d 10 (kg) - kolačići su u prvoj kutiji.
- 10 - 4 \u003d 6 (kg) - kolačići su bili u drugoj kutiji.
Odgovor : Masa kolačića u prvoj kutiji je 10 kg, au drugom 6 kg.
Rješenje se koristi metoda izjednačavanja .
leđa)
3 metoda (algebarski)
Označiti mnogo kolačića u drugom Pismo h. kg. Tada će masa kolačića u prvoj kutiji biti jednaka ( h. +4) kg, i masa kolačića u dvije kutije - (( h. +4)+ h.) kg.
(h. +4)+ h. =16
h. +4+ h. =16
2 h. +4=16
2 h. =16-4
2 h. =12
h. =12:2
U drugom okviru bilo je 6 kg kolačića.
6 + 4 \u003d 10 (kg) - kolačići su bili u prvom okviru.
Rješenje se koristi algebarska metoda.
Zadatak : Objasnite što je razlika između aritmetičke metode iz algebarskih?
leđa)
4 metoda (algebarski)
Označiti mnogo kolačića u prvom Pismo h. kg. Tada će masa kolačića u drugoj kutiji biti jednaka ( h. -4) kg, i masa kolačića u dvije kutije - ( h. +(h. -4)) kg.
U skladu sa stanjem zadatka bilo je 16 kg kolačića u dvije kutije. Dobivamo jednadžbu:
h. +(h. -4)=16
h. + h. -4=16
2 h. -4=16
2 h. =16+4
2 h. =20
h. =20:2
Prva kutija imala je 10 kg kolačića.
10-4 \u003d 6 (kg) - kolačići su bili u drugoj kutiji.
Rješenje se koristi algebarska metoda.
leđa)
- Koje su korištene dva načina rješavanja problema?
- Koja je metoda prilagodbe?
- Kako se prvi način podešavanja razlikuje od sekunde?
- U jednom džepu za 10 rubalja više nego u drugom. Kako možete izjednačiti iznos novca u oba džepovima?
- Koji je algebarski način rješavanja problema?
- Koja je razlika između 3 načina za rješavanje zadatka 4.?
- U jednom džepu za 10 rubalja više nego u drugom. Poznato je da je manje novca odredio varijablu h. , Kako će se izraziti h.
- Ako za h. identificirati više novca u džepu, dok će se izraziti h. iznos novca u drugom džepu?
- U časopisu šampona košta 25 rubalja skuplje nego u supermarketu. Ukazuju na jedno promjenjivo pismo w. I izraziti još jedan trošak kroz ovu varijablu.
Broj zadatka 510
Odlučite zadatak aritmetičkih i algebarskih metoda.
Od tri parcele prikupljene 156 c krumpira. Od prvog i drugog dijela krumpira prikupljali su robus, a od trećeg - na 12 C više od svake od prva dva. Koliko krumpira prikupljeno sa svake web-lokacije.
Algebarska metoda
(izgled)
Aritmetička metoda
(izgled)
izlaz)
Aritmetička metoda
- 156 - 12 \u003d 144 (c) - Krumpir bi se skupljao s tri mjesta ako bi prinosi svih web-lokacija bili isti.
- 144: 3 \u003d 48 (c) - krumpir prikupljeni od prvog i prikupljeni iz drugog dijela.
- 48 + 12 \u003d 60 (c) - krumpir prikupljeni s trećeg mjesta.
Odgovor
leđa)
Algebarska metoda
Dopustiti od prikupljenog prvog zemljišta h. C krumpir. Zatim s drugog mjesta prikupljenog h. C krumpir, a od treće prikupljene parcele ( h. +12) C krumpir.
Stanje na sva tri mjesta, 156 s krumpira prikupljeno je.
Dobivamo jednadžbu:
x + x + (x +12) =156
x + x + x + 12 = 156
3 h. +12 = 156
3 h. = 156 – 12
3 h. = 144
h. = 144: 3
Od prvog i drugog dijela prikupili su 48 c krumpira.
48 +12 \u003d 60 (c) - krumpir prikupljeni s trećeg mjesta.
Odgovor : Od prvog i drugog dijela prikupljali su 48 C krumpira, a s trećeg mjesta prikupljeni 60 c krumpir.
leđa
