Courbe plate et propre. Courbure propre. Pli croisé. Contraintes et déformations normales en flexion pure

Nous commençons par le cas le plus simple, celui dit de la flexion pure.

La flexion pure est un cas particulier de flexion, dans lequel la force transversale dans les sections de poutre est nulle. La flexion pure ne peut avoir lieu que lorsque le poids propre de la poutre est si petit que son influence peut être négligée. Pour les poutres sur deux appuis, des exemples de charges qui causent net

courbure, illustrée à la Fig. 88. Sur les sections de ces poutres, où Q \u003d 0 et, par conséquent, M \u003d const; il y a un virage pur.

Les forces dans n'importe quelle section de la poutre en flexion pure sont réduites à une paire de forces dont le plan d'action passe par l'axe de la poutre et le moment est constant.

Les contraintes peuvent être déterminées sur la base des considérations suivantes.

1. Les composantes tangentielles des efforts sur les surfaces élémentaires de la section transversale de la poutre ne peuvent être réduites à un couple d'efforts dont le plan d'action est perpendiculaire au plan de la section. Il s'ensuit que l'effort de flexion dans la section est le résultat d'une action sur des zones élémentaires

seules forces normales, et donc, avec une flexion pure, les contraintes ne sont réduites qu'aux forces normales.

2. Pour que les efforts sur les domaines élémentaires soient réduits à seulement quelques forces, il doit y avoir des forces positives et négatives parmi elles. Par conséquent, des fibres de faisceau tendues et comprimées doivent exister.

3. Du fait que les forces dans différentes sections sont les mêmes, les contraintes aux points correspondants des sections sont les mêmes.

Considérez tout élément près de la surface (Fig. 89, a). Comme aucune force n'est appliquée le long de sa face inférieure, qui coïncide avec la surface de la poutre, il n'y a pas non plus de contraintes sur celle-ci. Par conséquent, il n'y a pas de contraintes sur la face supérieure de l'élément, car sinon l'élément ne serait pas en équilibre.En considérant l'élément qui lui est adjacent en hauteur (Fig. 89, b), nous arrivons à

Même conclusion, etc. Il s'ensuit qu'il n'y a pas de contraintes le long des faces horizontales d'aucun élément. Considérant les éléments qui composent la couche horizontale, en commençant par l'élément près de la surface de la poutre (Fig. 90), nous arrivons à la conclusion qu'il n'y a pas de contraintes le long des faces verticales latérales d'aucun élément. Ainsi, l'état de contrainte de tout élément (Fig. 91, a), et à la limite de la fibre, doit être représenté comme indiqué sur la Fig. 91b, c'est-à-dire qu'il peut s'agir soit d'une traction axiale, soit d'une compression axiale.

4. En raison de la symétrie de l'application des forces externes, la section au milieu de la longueur de la poutre après déformation doit rester plate et normale à l'axe de la poutre (Fig. 92, a). Pour la même raison, les sections dans les quarts de la longueur de la poutre restent également plates et normales à l'axe de la poutre (Fig. 92, b), si seules les sections extrêmes de la poutre pendant la déformation restent plates et normales à l'axe de la poutre. Une conclusion similaire est également valable pour les sections en huitièmes de la longueur de la poutre (Fig. 92, c), etc. Par conséquent, si les sections extrêmes de la poutre restent plates pendant la flexion, alors pour toute section, il reste

il est juste de dire qu'après déformation, il reste plat et normal à l'axe de la poutre courbe. Mais dans ce cas, il est évident que le changement d'allongement des fibres du faisceau le long de sa hauteur doit se produire non seulement de manière continue, mais également de manière monotone. Si nous appelons une couche un ensemble de fibres ayant les mêmes allongements, il résulte de ce qui a été dit que les fibres étirées et comprimées du faisceau doivent être situées sur des côtés opposés de la couche dans laquelle les allongements des fibres sont égaux à zéro. Nous appellerons fibres dont les allongements sont égaux à zéro, neutres ; une couche constituée de fibres neutres - une couche neutre ; la ligne d'intersection de la couche neutre avec le plan de la section transversale du faisceau - la ligne neutre de cette section. Ensuite, sur la base des considérations précédentes, on peut affirmer qu'avec une flexion pure de la poutre dans chacune de ses sections il existe une ligne neutre qui divise cette section en deux parties (zones) : la zone des fibres tendues (zone tendue) et la zone des fibres comprimées (zone comprimée ). En conséquence, les contraintes de traction normales doivent agir aux points de la zone étirée de la section, les contraintes de compression aux points de la zone comprimée et aux points de la ligne neutre les contraintes sont égales à zéro.

Ainsi, avec une flexion pure d'une poutre de section constante :

1) seules les contraintes normales agissent dans les sections ;

2) toute la section peut être divisée en deux parties (zones) - étirées et comprimées; la limite des zones est la ligne neutre de la section, aux points de laquelle les contraintes normales sont égales à zéro ;

3) tout élément longitudinal de la poutre (à la limite, toute fibre) est soumis à une traction ou compression axiale, de sorte que les fibres voisines n'interagissent pas entre elles ;

4) si les sections extrêmes de la poutre lors de la déformation restent plates et normales à l'axe, alors toutes ses sections transversales restent plates et normales à l'axe de la poutre courbe.

Etat de contrainte d'une poutre en flexion pure

Considérons un élément de poutre soumis à une flexion pure, concluant mesurée entre les sections m-m et n-n, qui sont espacées l'une de l'autre d'une distance dx infiniment petite (Fig. 93). En raison de la disposition (4) du paragraphe précédent, les sections mm et nn, qui étaient parallèles avant déformation, après flexion, restant planes, formeront un angle dQ et se couperont le long d'une droite passant par le point C, qui est le centre de fibre neutre en courbure NN. Ensuite, la partie de la fibre AB enserrée entre elles, située à une distance z de la fibre neutre (la direction positive de l'axe z est prise vers la convexité de la poutre lors de la flexion), se transformera en un arc A "B" après déformation Un segment de la fibre neutre O1O2, se transformant en un arc O1O2, il ne changera pas de longueur, tandis que la fibre AB recevra un allongement:

avant déformation

après déformation

où p est le rayon de courbure de la fibre neutre.

Par conséquent, l'allongement absolu du segment AB est

et allongement

Puisque, selon la position (3), la fibre AB est soumise à une traction axiale, puis à une déformation élastique

On en déduit que les contraintes normales sur la hauteur de la poutre sont réparties selon une loi linéaire (Fig. 94). Puisque la force égale de tous les efforts sur toutes les sections élémentaires de la section doit être égale à zéro, alors

d'où, en substituant la valeur de (5.8), on trouve

Mais la dernière intégrale est un moment statique autour de l'axe Oy, qui est perpendiculaire au plan d'action des forces de flexion.

Du fait de son égalité à zéro, cet axe doit passer par le centre de gravité O de la section. Ainsi, la ligne neutre de la section de la poutre est une droite yy, perpendiculaire au plan d'action des efforts de flexion. On l'appelle l'axe neutre de la section de poutre. Ensuite, de (5.8), il résulte que les contraintes aux points situés à la même distance de l'axe neutre sont les mêmes.

Le cas de la flexion pure, dans lequel les forces de flexion agissent dans un seul plan, provoquant une flexion dans ce plan uniquement, est une flexion pure plane. Si le plan nommé passe par l'axe Oz, alors le moment des efforts élémentaires par rapport à cet axe doit être égal à zéro, c'est-à-dire

En substituant ici la valeur de σ de (5.8), on trouve

L'intégrale du côté gauche de cette égalité, comme on le sait, est le moment d'inertie centrifuge de la section autour des axes y et z, de sorte que

Les axes par rapport auxquels le moment d'inertie centrifuge de la section est égal à zéro sont appelés axes principaux d'inertie de cette section. Si, en plus, ils passent par le centre de gravité de la section, alors ils peuvent être appelés les principaux axes centraux d'inertie de la section. Ainsi, avec une flexion pure plane, la direction du plan d'action des efforts de flexion et l'axe neutre de la section sont les principaux axes centraux d'inertie de cette dernière. En d'autres termes, pour obtenir une flexion propre et plane d'une poutre, on ne peut lui appliquer arbitrairement une charge : il faut la réduire à des efforts agissant dans un plan passant par l'un des axes centraux principaux d'inertie des tronçons de poutre ; dans ce cas, l'autre axe d'inertie central principal sera l'axe neutre de la section.

Comme vous le savez, dans le cas d'une section symétrique par rapport à n'importe quel axe, l'axe de symétrie est l'un de ses principaux axes centraux d'inertie. Par conséquent, dans ce cas particulier, on obtiendra certainement une flexion pure en appliquant les anacharges appropriées dans un plan passant par l'axe longitudinal de la poutre et l'axe de symétrie de sa section. La droite, perpendiculaire à l'axe de symétrie et passant par le centre de gravité de la section, est l'axe neutre de cette section.

Après avoir établi la position de l'axe neutre, il n'est pas difficile de trouver l'amplitude de la contrainte en tout point de la section. En effet, puisque la somme des moments des forces élémentaires par rapport à l'axe neutre yy doit être égale au moment de flexion, alors

d'où, en substituant la valeur de σ de (5.8), on trouve

Puisque l'intégrale est moment d'inertie de la section autour de l'axe y, alors

et de l'expression (5.8) on obtient

Le produit EI Y est appelé raideur en flexion de la poutre.

Les plus grandes contraintes de traction et de compression en valeur absolue agissent aux points de la section pour lesquels la valeur absolue de z est la plus grande, c'est-à-dire aux points les plus éloignés de l'axe neutre. Avec les désignations, Fig. 95 ont

La valeur de Jy/h1 est appelée moment de résistance de la section à l'étirement et est notée Wyr ; de même, Jy/h2 est appelé moment de résistance de la section à la compression

et notons Wyc, donc

et donc

Si l'axe neutre est l'axe de symétrie de la section, alors h1 = h2 = h/2 et, par conséquent, Wyp = Wyc, il n'y a donc pas lieu de les distinguer, et ils utilisent la même désignation :

en appelant simplement le module de la section W y. Ainsi, dans le cas d'une section symétrique par rapport à l'axe neutre,

Toutes les conclusions ci-dessus sont obtenues sur la base de l'hypothèse que les sections transversales de la poutre, lorsqu'elles sont pliées, restent plates et normales à son axe (hypothèse des sections plates). Comme indiqué, cette hypothèse n'est valable que dans le cas où les sections extrêmes (d'extrémité) de la poutre restent plates pendant la flexion. D'autre part, il résulte de l'hypothèse des sections planes que les efforts élémentaires dans de telles sections doivent être répartis selon une loi linéaire. Par conséquent, pour la validité de la théorie de flexion pure obtenue à plat, il est nécessaire que les moments de flexion aux extrémités de la poutre soient appliqués sous la forme d'efforts élémentaires répartis sur la hauteur de la section selon une loi linéaire (Fig. 96), qui coïncide avec la loi de répartition des contraintes sur la hauteur des poutres de section. Cependant, sur la base du principe de Saint-Venant, on peut affirmer qu'un changement de mode d'application des moments de flexion aux extrémités de la poutre ne provoquera que des déformations locales dont l'effet n'affectera qu'à une certaine distance de celles-ci. extrémités (approximativement égales à la hauteur de la section). Les sections situées dans le reste de la longueur de la poutre resteront planes. Par conséquent, la théorie énoncée de la flexion pure à plat, quelle que soit la méthode d'application des moments de flexion, n'est valable que dans la partie médiane de la longueur de la poutre, située à des distances de ses extrémités approximativement égales à la hauteur de la section. Il en ressort clairement que cette théorie est évidemment inapplicable si la hauteur de la section dépasse la moitié de la longueur ou de la portée de la poutre.

pliez

Concepts de base sur le pliage

La déformation en flexion est caractérisée par la perte de rectitude ou de forme originale par la ligne de faisceau (son axe) lorsqu'une charge externe est appliquée. Dans ce cas, contrairement à la déformation par cisaillement, la ligne de faisceau change de forme en douceur.
Il est facile de voir que la résistance à la flexion est affectée non seulement par la section transversale de la poutre (poutre, tige, etc.), mais également Forme géométrique cette section.

Étant donné que le corps (poutre, barre, etc.) est fléchi par rapport à n'importe quel axe, la résistance à la flexion est affectée par l'amplitude du moment d'inertie axial de la section du corps par rapport à cet axe.
A titre de comparaison, lors d'une déformation en torsion, la section du corps est soumise à une torsion par rapport au pôle (pointe), par conséquent, le moment d'inertie polaire de cette section affecte la résistance à la torsion.

De nombreux éléments structurels peuvent fonctionner en flexion - essieux, arbres, poutres, dents d'engrenage, leviers, tiges, etc.

Dans la résistance des matériaux, plusieurs types de plis sont considérés :
- selon la nature de la charge extérieure appliquée à la poutre, ils distinguent virage pur Et coude transversal ;
- en fonction de l'emplacement du plan d'action de la charge de flexion par rapport à l'axe de la poutre - virage droit Et virage oblique.

Flexion pure et transversale du faisceau

Une flexion pure est un type de déformation dans lequel seul un moment de flexion se produit dans n'importe quelle section transversale de la poutre ( riz. 2).
La déformation de flexion pure aura par exemple lieu si deux couples d'efforts égaux en amplitude et opposés en signe sont appliqués à une poutre droite dans un plan passant par l'axe. Alors seuls les moments de flexion agiront dans chaque section de la poutre.

Si la courbure se produit à la suite de l'application d'une force transversale à la barre ( riz. 3), alors un tel virage est appelé transversal. Dans ce cas, l'effort transversal et le moment fléchissant agissent dans chaque section de la poutre (à l'exception de la section sur laquelle une charge externe est appliquée).

Si la poutre a au moins un axe de symétrie et que le plan d'action des charges coïncide avec lui, une flexion directe a lieu, si cette condition n'est pas remplie, une flexion oblique a lieu.

Lors de l'étude de la déformation en flexion, nous imaginerons mentalement qu'une poutre (poutre) est constituée d'un nombre innombrable de fibres longitudinales parallèles à l'axe.
Afin de visualiser la déformation d'un virage direct, nous allons mener une expérience avec une barre en caoutchouc, sur laquelle une grille de lignes longitudinales et transversales est appliquée.
En soumettant une telle barre à un virage direct, on peut remarquer que ( riz. une):

Les lignes transversales resteront droites lorsqu'elles seront déformées, mais tourneront à un angle l'une par rapport à l'autre;
- les sections de la poutre s'élargissent dans le sens transversal du côté concave et se rétrécissent du côté convexe ;
- les lignes droites longitudinales seront courbes.

De cette expérience on peut conclure que :

Pour la flexion pure, l'hypothèse des méplats est valable ;
- les fibres situées du côté convexe sont étirées, du côté concave elles sont comprimées et à la frontière entre elles se trouve une couche neutre de fibres qui ne font que se plier sans changer de longueur.

En supposant que l'hypothèse de non-pression des fibres soit juste, on peut affirmer qu'avec une flexion pure dans la section transversale de la poutre, seules des contraintes normales de traction et de compression apparaissent, qui sont inégalement réparties sur la section.
La ligne d'intersection de la couche neutre avec le plan de la section est appelée axe neutre. Il est évident que les contraintes normales sur l'axe neutre sont égales à zéro.

Moment de flexion et effort tranchant

Comme cela est connu de la mécanique théorique, les réactions d'appui des poutres sont déterminées en compilant et en résolvant les équations d'équilibre statique pour la poutre entière. Lors de la résolution des problèmes de résistance des matériaux et de la détermination des facteurs de force internes dans les barres, nous avons pris en compte les réactions des liaisons ainsi que les charges externes agissant sur les barres.
Pour déterminer les facteurs de force internes, nous utilisons la méthode de la section et nous décrirons la poutre avec une seule ligne - l'axe auquel les forces actives et réactives sont appliquées (charges et réactions des liaisons).

Considérez deux cas :

1. Deux paires de forces égales et opposées sont appliquées à la poutre.
Considérant l'équilibre de la partie de la poutre située à gauche ou à droite de la section 1-1 (Fig. 2), on voit que dans toutes les sections il n'y a qu'un moment fléchissant M et égal au moment extérieur. Il s'agit donc d'un cas de flexion pure.

Le moment fléchissant est le moment résultant autour de l'axe neutre des forces normales internes agissant dans la section transversale de la poutre.

Faisons attention au fait que le moment de flexion a une direction différente pour les parties gauche et droite de la poutre. Cela indique l'inadéquation de la règle des signes de la statique pour déterminer le signe du moment de flexion.

2. Des forces actives et réactives (charges et réactions de liaisons) perpendiculaires à l'axe sont appliquées à la poutre (riz. 3). En considérant l'équilibre des parties de la poutre situées à gauche et à droite, on voit que le moment de flexion M doit agir dans les sections transversales Et et l'effort tranchant Q.
Il en résulte que dans le cas considéré aux points des sections transversales il existe non seulement des contraintes normales correspondant au moment fléchissant, mais également des contraintes tangentielles correspondant à l'effort transversal.

L'effort transversal est la résultante des efforts tangentiels internes dans la section transversale de la poutre.

Faisons attention au fait que l'effort tranchant a la direction opposée pour les parties gauche et droite de la poutre, ce qui indique l'inadéquation de la règle des signes statiques lors de la détermination du signe de l'effort tranchant.

La flexion, dans laquelle un moment de flexion et une force transversale agissent dans la section transversale de la poutre, est dite transversale.

Pour une poutre en équilibre avec l'action d'un système plat de forces, la somme algébrique des moments de toutes les forces actives et réactives par rapport à tout point est égale à zéro ; par conséquent, la somme des moments des forces externes agissant sur la poutre à gauche de la section est numériquement égale à la somme des moments de toutes les forces externes agissant sur la poutre à droite de la section.
De cette façon, le moment de flexion dans la section de poutre est numériquement égal à la somme algébrique des moments autour du centre de gravité de la section de toutes les forces externes agissant sur la poutre à droite ou à gauche de la section.

Pour une poutre en équilibre sous l'action d'un système plan de forces perpendiculaires à l'axe (c'est-à-dire un système de forces parallèles), la somme algébrique de toutes les forces externes est nulle; par conséquent, la somme des forces externes agissant sur la poutre à gauche de la section est numériquement égale à la somme algébrique des forces agissant sur la poutre à droite de la section.
De cette façon, la force transversale dans la section de la poutre est numériquement égale à la somme algébrique de toutes les forces externes agissant à droite ou à gauche de la section.

Étant donné que les règles de signes de statique sont inacceptables pour établir les signes du moment de flexion et de la force transversale, nous établirons d'autres règles de signes pour eux, à savoir: poutre convexe vers le haut, alors le moment de flexion dans la section est considéré comme négatif ( Figure 4a).

Si la somme des forces extérieures s'exerçant sur côté gauche de la section, donne la résultante dirigée vers le haut, alors la force transversale dans la section est considérée comme positive, si la résultante est dirigée vers le bas, alors la force transversale dans la section est considérée comme négative ; pour la partie de la poutre située à droite de la section, les signes de l'effort transversal seront opposés ( riz. 4b). En utilisant ces règles, il faut imaginer mentalement la section de la poutre comme fixée de manière rigide et les connexions comme rejetées et remplacées par des réactions.

Encore une fois, on note que pour déterminer les réactions d'adhérences, on utilise les règles des signes de la statique, et pour déterminer les signes du moment fléchissant et de l'effort transversal, on utilise les règles des signes de la résistance des matériaux.
La règle des signes pour les moments de flexion est parfois appelée "règle de la pluie", ce qui signifie que dans le cas d'un renflement vers le bas, un entonnoir se forme dans lequel eau de pluie(le signe est positif), et vice versa - si sous l'action des charges la poutre se cambre vers le haut, l'eau ne s'attarde pas dessus (le signe des moments de flexion est négatif).

Matériaux de la section "Pliage":

Les forces agissant perpendiculairement à l'axe de la poutre et situées dans un plan passant par cet axe provoquent une déformation appelée coude transversal. Si le plan d'action des forces mentionnées – plan principal, il y a alors un coude transversal droit (plat). Sinon, la courbure est dite oblique transversale. Une poutre principalement soumise à la flexion est appelée faisceau 1 .

La flexion transversale est essentiellement une combinaison de flexion pure et de cisaillement. En relation avec la courbure des sections transversales due à la répartition inégale des cisaillements le long de la hauteur, la question se pose de la possibilité d'appliquer la formule de contrainte normale σ X dérivée pour la flexion pure basée sur l'hypothèse des sections plates.

1 Une poutre à une travée, ayant aux extrémités, respectivement, un support fixe cylindrique et un support cylindrique mobile dans la direction de l'axe de la poutre, est appelée Facile. Une poutre avec une extrémité fixe et l'autre extrémité libre est appelée console. Une poutre simple comportant une ou deux parties suspendues sur un support est appelée console.

Si, en outre, les sections sont éloignées des points d'application de la charge (à une distance non inférieure à la moitié de la hauteur de la section de la poutre), alors, comme dans le cas de la flexion pure, on peut supposer que le les fibres n'exercent pas de pression les unes sur les autres. Cela signifie que chaque fibre subit une tension ou une compression uniaxiale.

Sous l'action d'une charge répartie, les efforts transversaux dans deux sections adjacentes différeront d'une quantité égale à qdx. Par conséquent, la courbure des sections sera également quelque peu différente. De plus, les fibres exerceront une pression les unes sur les autres. Une étude approfondie de la question montre que si la longueur de la poutre je assez grand par rapport à sa hauteur h (je/ h> 5), alors même avec une charge répartie, ces facteurs n'ont pas d'effet significatif sur les contraintes normales dans la section et, par conséquent, peuvent ne pas être pris en compte dans les calculs pratiques.

un B C

Riz. 10.5 Fig. 10.6

Dans les sections sous charges concentrées et à proximité de celles-ci, la distribution σ X s'écarte de la loi linéaire. Cet écart, qui est de nature locale et ne s'accompagne pas d'une augmentation des contraintes les plus importantes (dans les fibres extrêmes), n'est généralement pas pris en compte dans la pratique.

Ainsi, en flexion transversale (dans le plan heu) les contraintes normales sont calculées par la formule

σ X= – [Mz(X)/Iz]y.

Si nous dessinons deux sections adjacentes sur une section de la barre qui est libre de charge, la force transversale dans les deux sections sera la même, ce qui signifie que la courbure des sections sera la même. Dans ce cas, tout morceau de fibre un B(Fig.10.5) se déplacera vers une nouvelle position un B", sans subir d'allongement supplémentaire, et donc sans modifier l'amplitude de la contrainte normale.

Déterminons les contraintes de cisaillement dans la section transversale à travers leurs contraintes appariées agissant dans la section longitudinale de la poutre.

Sélectionnez dans la barre un élément de longueur dx(Fig. 10.7a). Dessinons une section horizontale à distance à de l'axe neutre z, divisant l'élément en deux parties (Fig. 10.7) et considérons l'équilibre de la partie supérieure, qui a une base

largeur b. Conformément à la loi d'appariement des contraintes de cisaillement, les contraintes agissant dans la section longitudinale sont égales aux contraintes agissant dans la section transversale. Dans cet esprit, sous l'hypothèse que les contraintes de cisaillement dans le site b distribué uniformément, on utilise la condition ΣX = 0, on obtient :

N * - (N * +dN *)+

où: N * - résultante des forces normales σ dans la section transversale gauche de l'élément dx dans la zone de «coupure» A * (Fig. 10.7 d):

où: S \u003d - moment statique de la partie «coupée» de la section transversale (zone ombrée sur la Fig. 10.7 c). Par conséquent, nous pouvons écrire :

Ensuite, vous pouvez écrire :

Cette formule a été obtenue au XIXe siècle par le scientifique et ingénieur russe D.I. Zhuravsky et porte son nom. Et bien que cette formule soit approximative, puisqu'elle fait la moyenne de la contrainte sur la largeur de la section, les résultats de calcul obtenus en l'utilisant sont en bon accord avec les données expérimentales.

Pour déterminer les contraintes de cisaillement en un point arbitraire de la section espacé d'une distance y de l'axe z, il faut :

Déterminez à partir du diagramme l'amplitude de la force transversale Q agissant dans la section ;

Calculer le moment d'inertie I z de toute la section ;

Tracez par ce point un plan parallèle au plan xz et déterminer la largeur de section b;

Calculer le moment statique de la zone de coupure S par rapport à l'axe central principal z et substituez les valeurs trouvées dans la formule de Zhuravsky.

Définissons, à titre d'exemple, les contraintes de cisaillement dans une section rectangulaire (Fig. 10.6, c). Moment statique autour de l'axe z parties de la section au-dessus de la ligne 1-1, sur lesquelles la contrainte est déterminée, nous écrivons sous la forme :

Elle évolue selon la loi d'une parabole carrée. Largeur de section dans pour une poutre rectangulaire est constante, alors la loi d'évolution des contraintes de cisaillement dans la section sera également parabolique (Fig. 10.6, c). Pour y = et y = − les contraintes tangentielles sont nulles, et sur l'axe neutre z ils atteignent leur point culminant.

Pour une poutre de section circulaire sur l'axe neutre, on a

Flexion transversale à plat des poutres. Forces de flexion internes. Dépendances différentielles des efforts internes. Règles de vérification des diagrammes d'efforts internes en flexion. Contraintes normales et de cisaillement en flexion. Calcul de la résistance pour les contraintes normales et de cisaillement.

10. TYPES DE RÉSISTANCE SIMPLES. COUDE PLAT

10.1. Concepts généraux et définitions

La flexion est un type de chargement dans lequel la tige est chargée avec des moments dans des plans passant par l'axe longitudinal de la tige.

Une tige qui travaille en flexion s'appelle une poutre (ou poutre). À l'avenir, nous considérerons des poutres droites dont la section transversale présente au moins un axe de symétrie.

Dans la résistance des matériaux, la flexion est plate, oblique et complexe.

La flexion à plat est une flexion dans laquelle toutes les forces de flexion de la poutre se situent dans l'un des plans de symétrie de la poutre (dans l'un des plans principaux).

Les plans d'inertie principaux de la poutre sont les plans passant par les axes principaux des sections transversales et l'axe géométrique de la poutre (axe x).

Une courbe oblique est une courbe dans laquelle les charges agissent dans un plan qui ne coïncide pas avec les plans d'inertie principaux.

La flexion complexe est une flexion dans laquelle les charges agissent dans différents plans (arbitraires).

10.2. Détermination des forces de flexion internes

Considérons deux cas caractéristiques de flexion : dans le premier cas, la poutre en porte-à-faux est fléchie par un moment concentré M o ; dans le second, par la force concentrée F.

En utilisant la méthode des sections mentales et en compilant les équations d'équilibre pour les parties coupées de la poutre, nous déterminons les efforts internes dans les deux cas :

Le reste des équations d'équilibre est évidemment identiquement égal à zéro.

Ainsi, dans cas général flexion plane dans la section transversale de la poutre, sur six forces internes, deux surviennent - moment de flexion M z et effort tranchant Q y (ou en cas de flexion autour d'un autre axe principal - moment fléchissant M y et effort tranchant Q z ).

Dans ce cas, conformément aux deux cas de chargement envisagés, virage à plat peut être divisé en pur et transversal.

La flexion pure est une flexion à plat, dans laquelle seule une force interne sur six apparaît dans les sections de la tige - un moment de flexion (voir le premier cas).

coude transversal- flexion, dans laquelle, en plus du moment de flexion interne, un effort transversal apparaît également dans les sections de la tige (voir le deuxième cas).

A proprement parler, seule la flexion pure appartient aux types simples de résistance ; la flexion transversale est conditionnellement référée à des types simples de résistance, car dans la plupart des cas (pour des poutres suffisamment longues), l'action d'une force transversale peut être négligée dans les calculs de résistance.

Lors de la détermination des efforts internes, nous respecterons la règle de signes suivante :

1) l'effort transversal Q y est considéré comme positif s'il tend à faire tourner l'élément de poutre considéré dans le sens des aiguilles d'une montre ;

2) moment de flexion M z est considéré comme positif si, lorsque l'élément de poutre est plié, les fibres supérieures de l'élément sont comprimées et les fibres inférieures sont étirées (règle parapluie).

Ainsi, la solution du problème de détermination des efforts internes en flexion sera construite selon le schéma suivant : 1) dans un premier temps, en considérant les conditions d'équilibre de la structure dans son ensemble, on détermine, si nécessaire, des réactions inconnues de les appuis (notez que pour une poutre en porte-à-faux, des réactions dans l'encastrement peuvent être et ne pas être trouvées si l'on considère la poutre depuis l'extrémité libre) ; 2) à la deuxième étape, nous sélectionnons les sections caractéristiques de la poutre, en prenant comme limites des sections les points d'application des forces, les points de changement de forme ou de dimensions de la poutre, les points de fixation de la poutre ; 3) à la troisième étape, nous déterminons les efforts internes dans les sections de poutre, en tenant compte des conditions d'équilibre des éléments de poutre dans chacune des sections.

10.3. Dépendances différentielles en flexion

Établissons quelques relations entre les efforts internes et les charges de flexion externes, ainsi que les caractéristiques des diagrammes Q et M, dont la connaissance facilitera la construction des diagrammes et vous permettra de contrôler leur exactitude. Par commodité de notation, on notera : M ≡ M z , Q ≡ Q y .

Allouons un petit élément dx dans une section d'une poutre avec une charge arbitraire à un endroit où il n'y a pas de forces et de moments concentrés. Puisque toute la poutre est en équilibre, l'élément dx sera également en équilibre sous l'action des efforts transversaux qui lui sont appliqués, des moments de flexion et de la charge extérieure. Puisque Q et M changent généralement le long de l'axe de la poutre, alors dans les sections de l'élément dx il y aura des forces transversales Q et Q + dQ , ainsi que des moments de flexion M et M + dM . A partir de la condition d'équilibre de l'élément sélectionné, on obtient

∑ F y = 0 Q + q dx − (Q + dQ) = 0 ;

∑ M 0 = 0 M + Q dx + q dx dx 2 − (M + dM ) = 0.

A partir de la seconde équation, en négligeant le terme q dx (dx /2) comme quantité infinitésimale du second ordre, on trouve

Les relations (10.1), (10.2) et (10.3) sont appelées dépendances différentielles de D. I. Zhuravsky en flexion.

L'analyse des dépendances différentielles ci-dessus en flexion nous permet d'établir quelques caractéristiques (règles) pour la construction de diagrammes de moments de flexion et d'efforts tranchants :

a - dans les zones où il n'y a pas de charge répartie q, les diagrammes Q sont limités à des lignes droites parallèles à la base et les diagrammes M - des lignes droites obliques ;

b - dans les sections où une charge répartie q est appliquée à la poutre, les diagrammes Q sont limités par des droites inclinées et les diagrammes M sont limités par des paraboles quadratiques. En même temps, si on construit le diagramme M « sur une fibre étirée », alors la convexité du pa-

le travail sera dirigé dans la direction d'action q, et l'extremum sera situé dans la section où le diagramme Q coupe la ligne de base ;

c - dans les sections où une force concentrée est appliquée à la poutre, sur le diagramme Q il y aura des sauts de la valeur et dans la direction de cette force, et sur le diagramme M il y a des plis, la pointe dirigée dans la direction de cette Obliger; d - dans les sections où un moment concentré est appliqué à la poutre sur le tracé

il n'y aura pas de changement dans re Q, et sur le diagramme M il y aura des sauts de la valeur de ce moment ; e - dans les zones où Q > 0, le moment M augmente, et dans les zones où Q<0, момент М убывает (см. рисунки а–г).

10.4. Contraintes normales en flexion pure d'une poutre droite

Considérons le cas d'une flexion plane pure d'une poutre et dérivons une formule pour déterminer les contraintes normales pour ce cas. A noter qu'en théorie de l'élasticité il est possible d'obtenir une dépendance exacte pour les contraintes normales en flexion pure, mais si ce problème est résolu par les méthodes de résistance des matériaux, il faut introduire quelques hypothèses.

Il existe trois hypothèses de ce type pour la flexion :

a – hypothèse de la section plate (hypothèse de Bernoulli)

- les sections plates avant déformation restent plates après déformation, mais ne tournent que par rapport à une certaine ligne, appelée axe neutre de la section de poutre. Dans ce cas, les fibres du faisceau, situées d'un côté de l'axe neutre, seront étirées, et de l'autre, comprimées ; les fibres situées sur l'axe neutre ne changent pas de longueur;

b - l'hypothèse de la constance des contraintes normales

nii - les contraintes agissant à la même distance y de l'axe neutre sont constantes sur toute la largeur de la poutre ;

c – hypothèse sur l'absence de pressions latérales –

les fibres longitudinales grises ne s'appuient pas les unes sur les autres.

Une tâche. Construire les diagrammes Q et M pour une poutre statiquement indéterminée. Nous calculons les poutres selon la formule:

n= Σ R- O— 3 = 4 — 0 — 3 = 1

Faisceau une fois que est statiquement indéterminé, ce qui signifie une de réactions est "supplémentaire" inconnu. Pour le "supplément" inconnu on prendra la réaction du support DANS — R B.

Un faisceau statiquement déterminé, qui est obtenu à partir de celui donné en supprimant la connexion "supplémentaire" est appelé le système principal (b).

Maintenant, ce système doit être présenté équivalentétant donné. Pour ce faire, chargez le système principal étant donné charge, et au point DANS appliquer réaction "supplémentaire" R B(riz. dans).

Cependant, pour équivalence ce pas assez, puisque dans un tel faisceau le point DANS peut être se déplacer verticalement, et dans un faisceau donné (Fig. mais ) cela ne peut pas arriver. Par conséquent, nous ajoutons état, Quel déviation t. DANS dans le système principal doit être égal à 0. Déviation t. DANS consiste en déviation de la charge agissante Δ F et de déviation de la réaction "supplémentaire" Δ R

Puis on compose condition de compatibilité de déplacement:

Δ F + Δ R=0 (1)

Il reste maintenant à calculer ces mouvements (flèches).

Chargement de base système charge donnée(riz .G) et construire diagramme de cargaisonM F (riz. ré ).

DANS T DANS appliquer et construire ep. (riz. hérisson ).

Par la formule de Simpson, on définit déviation de charge.

Définissons maintenant déviation de l'action de la réaction "supplémentaire" R B , pour cela nous chargeons le système principal R B (riz. h ) et tracer les moments de son action MONSIEUR (riz. Et ).

Composer et décider équation (1):

Construisons ép. Q Et M (riz. à, je ).

Construire un diagramme Q

Construisons un complot M méthode points caractéristiques. Nous organisons des points sur le faisceau - ce sont les points de début et de fin du faisceau ( D,A ), moment concentré ( B ), et noter également comme point caractéristique le milieu d'une charge uniformément répartie ( K ) est un point supplémentaire pour construire une courbe parabolique.

Déterminer les moments de flexion aux points. Règle des signes cm. - .

L'instant dans DANS sera défini comme suit. Définissons d'abord :

indiquer POUR entrons milieu zone avec une charge uniformément répartie.

Construire un diagramme M . Parcelle UN B – courbe parabolique(règle du "parapluie"), intrigue BD – ligne oblique droite.

Pour une poutre, déterminer les réactions d'appui et tracer les diagrammes des moments fléchissants ( M) et les forces de cisaillement ( Q).

Nous désignons les soutiens des lettres MAIS Et DANS et diriger les réactions de soutien RA Et R B .

Compiler équations d'équilibre.

Examen

Notez les valeurs RA Et R B sur le schéma de calcul.

2. Traçage efforts transversaux méthode sections. Nous plaçons les sections sur zones caractéristiques(entre les changements). Selon le fil dimensionnel - 4 sections, 4 sections.

seconde. 1-1 bouge toi la gauche.

La section traverse la section avec charge uniformément répartie, notez la taille z 1 à gauche de la rubrique avant le début de la section. Longueur du terrain 2 m. Règle des signes pour Q - cm.

Nous construisons sur la valeur trouvée diagrammeQ.

seconde. 2-2 aller à droite.

La section traverse à nouveau la zone avec une charge uniformément répartie, notez la taille z 2 à droite de la section jusqu'au début de la section. Longueur du terrain 6 m.

Construire un diagramme Q.

seconde. 3-3 aller à droite.

seconde. 4-4 déplacer vers la droite.

Nous construisons diagrammeQ.

3. Construction schémas M méthode points caractéristiques.

point caractéristique- un point, tout perceptible sur le faisceau. Ce sont les points MAIS, DANS, À PARTIR DE, ré , ainsi que le point POUR , dans lequel Q=0 Et le moment de flexion a un extremum. aussi dans milieu la console met un point supplémentaire E, puisque dans cette zone sous une charge uniformément répartie le diagramme M décrit courbé ligne, et il est construit, au moins, selon 3 points.

Ainsi, les points sont placés, nous procédons à la détermination des valeurs qu'ils contiennent moments de flexion. Règle des signes - voir..

Parcelles NA, AD – courbe parabolique(la règle « parapluie » pour les spécialités mécaniques ou la « règle voile » pour la construction), les sections CC, SO – lignes obliques droites.

Moment à un point ré devrait être déterminé à gauche et à droite de ce point ré . Le moment même dans ces expressions Exclu. À ce point ré on a deux valeurs de différence par le montant m – sautà sa taille.

Maintenant, nous devons déterminer le moment au point POUR (Q=0). Cependant, nous définissons d'abord position ponctuelle POUR , désignant la distance de celui-ci au début de la section par l'inconnu X .

T POUR fait parti seconde zone caractéristique, équation de la force de cisaillement(voir au dessus)

Mais la force transversale en t. POUR est égal à 0 , mais z 2 est égal à inconnu X .

On obtient l'équation :

sachant maintenant X, déterminer le moment en un point POUR sur le côté droit.

Construire un diagramme M . La construction est faisable pour mécanique spécialités, ajournant les valeurs positives en hautà partir de la ligne zéro et en utilisant la règle "parapluie".

Pour un schéma donné d'une poutre en porte-à-faux, il est nécessaire de tracer les diagrammes de la force transversale Q et du moment de flexion M, d'effectuer un calcul de conception en sélectionnant une section circulaire.

Matériau - bois, résistance de conception du matériau R=10MPa, M=14kN m, q=8kN/m

Il existe deux manières de construire des diagrammes dans une poutre en porte-à-faux avec terminaison rigide - l'habituelle, après avoir déterminé les réactions d'appui, et sans déterminer les réactions d'appui, si l'on considère les sections, en partant de l'extrémité libre de la poutre et en écartant les partie gauche avec la terminaison. Construisons des diagrammes ordinaire façon.

1. Définir soutenir les réactions.

Charge uniformément répartie q remplacer la force conditionnelle Q= q 0,84=6,72 kN

Dans un encastrement rigide, il y a trois réactions d'appui - verticale, horizontale et moment, dans notre cas, la réaction horizontale est 0.

Allons trouver verticale soutenir la réaction RA Et moment de référence M UNEà partir des équations d'équilibre.

Dans les deux premières sections à droite, il n'y a pas de force transversale. Au début d'une section avec une charge uniformément répartie (à droite) Q=0, dans le dos - l'ampleur de la réaction R. A.
3. Pour construire, nous allons composer des expressions pour leur définition sur des sections. Nous traçons le diagramme des moments sur les fibres, c'est-à-dire vers le bas.

(l'intrigue des moments simples a déjà été construite plus tôt)

Nous résolvons l'équation (1), réduisons par EI

L'indétermination statique révélée, la valeur de la réaction "extra" est trouvée. Vous pouvez commencer à tracer les diagrammes Q et M pour un faisceau statiquement indéterminé... Nous esquissons le schéma de faisceau donné et indiquons la valeur de réaction Rb. Dans ce faisceau, les réactions dans la terminaison ne peuvent pas être déterminées si vous allez vers la droite.

Bâtiment parcelles Q pour une poutre statiquement indéterminée

Terrain Q.

Tracer M

On définit M au point d'extremum - au point POUR. Définissons d'abord sa position. Nous notons la distance à elle comme inconnue " X". Puis

Nous traçons M.

Détermination des contraintes de cisaillement dans une section en I. Considérez la rubrique Je rayonne. S x \u003d 96,9 cm 3; Yx = 2030 cm 4 ; Q=200kN

Pour déterminer la contrainte de cisaillement, on utilise formule, où Q est l'effort transversal dans la section, S x 0 est le moment statique de la partie de la section transversale située d'un côté de la couche dans laquelle les contraintes de cisaillement sont déterminées, I x est le moment d'inertie de toute la traverse section, b est la largeur de la section à l'endroit où la contrainte de cisaillement est déterminée

Calculer maximum contrainte de cisaillement :

Calculons le moment statique pour étagère supérieure:

Calculons maintenant les contraintes de cisaillement:

Nous construisons diagramme de contrainte de cisaillement :

Calculs de conception et de vérification. Pour une poutre avec des diagrammes construits des efforts internes, sélectionnez une section sous la forme de deux canaux à partir de la condition de résistance aux contraintes normales. Vérifiez la résistance de la poutre à l'aide de la condition de résistance au cisaillement et du critère de résistance énergétique. Étant donné:

Montrons une poutre avec construit tracés Q et M

D'après le diagramme des moments fléchissants, le dangereux est partie C, dans lequel M C \u003d M max \u003d 48,3 kNm.

Condition de résistance pour les contraintes normales car ce faisceau a la forme σ max \u003d M C / W X ≤σ adm . Il est nécessaire de sélectionner une section à partir de deux canaux.

Déterminer la valeur calculée requise module de section axiale :

Pour une section sous forme de deux canaux, selon accepter deux canaux №20a, le moment d'inertie de chaque voie je x =1670cm 4, ensuite moment de résistance axial de toute la section :

Surtension (sous-tension) aux points dangereux, on calcule selon la formule : Alors on obtient sous-tension:

Vérifions maintenant la force du faisceau, basée sur conditions de résistance aux contraintes de cisaillement. Selon diagramme des forces de cisaillement dangereux sont des sections dans la section BC et la section D. Comme on peut le voir sur le schéma, Q max \u003d 48,9 kN.

Condition de résistance pour les contraintes de cisaillement ressemble à:

Pour le canal n ° 20 a: moment statique de la zone S x 1 \u003d 95,9 cm 3, moment d'inertie de la section I x 1 \u003d 1670 cm 4, épaisseur de paroi d 1 \u003d 5,2 mm, épaisseur moyenne de l'étagère t 1 \u003d 9,7 mm , hauteur du canal h 1 \u003d 20 cm, largeur de l'étagère b 1 \u003d 8 cm.

Pour transversale sections de deux canaux :

S x \u003d 2S x 1 \u003d 2 95,9 \u003d 191,8 cm 3,

Je x \u003d 2I x 1 \u003d 2 1670 \u003d 3340 cm 4,

b \u003d 2d 1 \u003d 2 0,52 \u003d 1,04 cm.

Détermination de la valeur contrainte de cisaillement maximale :

τ max \u003d 48,9 10 3 191,8 10 -6 / 3340 10 -8 1,04 10 -2 \u003d 27 MPa.

Comme vu, τmax<τ adm (27MPa<75МПа).

En conséquence, condition de force est remplie.

Nous vérifions la résistance de la poutre selon le critère énergétique.

Par considération diagrammes Q et M s'ensuit que la section C est dangereuse, dans lequel M C = M max = 48,3 kNm et Q C = Q max = 48,9 kN.

Dépensons analyse de l'état de contrainte aux points de la section С

définissons contraintes normales et de cisaillementà plusieurs niveaux (marqués sur le schéma de coupe)

Niveau 1-1 : y 1-1 =h 1 /2=20/2=10cm.

Normale et tangente Tension:

Principal Tension:

Niveau 2-2 : y 2-2 \u003d h 1 / 2-t 1 \u003d 20 / 2-0,97 \u003d 9,03 cm.

Principaux stress :

Niveau 3-3 : y 3-3 \u003d h 1 / 2-t 1 \u003d 20 / 2-0,97 \u003d 9,03 cm.

Contraintes normales et de cisaillement :