Vibrations mécaniques. Paramètres de mouvement oscillatoire. Vibrations mécaniques (école de base) Le concept de mouvement vibratoire mécanique

(ou vibrations naturelles) - ce sont des vibrations du système oscillatoire, réalisées uniquement grâce à l'énergie initialement communiquée (potentielle ou cinétique) en l'absence d'influences extérieures.

L'énergie potentielle ou cinétique peut être conférée, par exemple, dans les systèmes mécaniques par le biais d'un déplacement initial ou d'une vitesse initiale.

Les corps vibrant librement interagissent toujours avec d'autres corps et forment avec eux un système de corps, appelé système oscillatoire.

Par exemple, le ressort, la bille et le montant, auxquels l'extrémité supérieure du ressort est attachée (voir figure ci-dessous), sont inclus dans le système d'oscillation. Ici, la balle glisse librement le long de la corde (les forces de frottement sont négligeables). Si vous prenez la balle vers la droite et la laissez à elle-même, elle vibrera librement autour de la position d'équilibre (points ô) du fait de l'action de la force élastique du ressort dirigée vers la position d'équilibre.

Un autre exemple classique de système oscillatoire mécanique est un pendule mathématique (voir figure ci-dessous). Dans ce cas, la balle effectue des vibrations libres sous l'action de deux forces : la force de gravité et la force d'élasticité du fil (la Terre entre également dans le système oscillatoire). Leur résultante est dirigée vers la position d'équilibre.

Les forces agissant entre les corps du système oscillatoire sont appelées Forces internes. Forces externes les forces agissant sur le système du côté des corps qui n'y sont pas inclus sont appelées. De ce point de vue, les vibrations libres peuvent être définies comme des vibrations dans le système sous l'influence de forces internes après que le système est sorti de la position d'équilibre.

Les conditions d'apparition des vibrations libres sont :

1) l'émergence d'une force en eux qui ramène le système à une position d'équilibre stable après qu'il a été sorti de cet état ;

2) manque de friction dans le système.

La dynamique des vibrations libres.

Vibrations du corps sous l'influence de forces élastiques... L'équation du mouvement vibratoire d'un corps sous l'influence de la force élastique F() peut être obtenu en tenant compte de la deuxième loi de Newton ( F = ma) et la loi de Hooke ( F ctrl = -kx), où m est la masse de la balle, et est l'accélération acquise par la balle sous l'action de la force élastique, k- coefficient de raideur du ressort, X- déplacement du corps à partir de la position d'équilibre (les deux équations sont écrites en projection sur l'axe horizontal Oh). En égalisant les membres de droite de ces équations et en tenant compte du fait que l'accélération une est la dérivée seconde de la coordonnée X(déplacement), on obtient :

.

De même, l'expression de l'accélération une on obtient, en différenciant ( v = -v m sin 0 t = -v m x m cos (ω 0 t + π / 2)):

a = -a m cos 0 t,

où un m = 2 0 x m- l'amplitude de l'accélération. Ainsi, l'amplitude de la vitesse des oscillations harmoniques est proportionnelle à la fréquence et l'amplitude de l'accélération est proportionnelle au carré de la fréquence d'oscillation.

Thèmes du codificateur USE : oscillations harmoniques ; amplitude, période, fréquence, phase des oscillations ; vibrations libres, vibrations forcées, résonance.

Fluctuations - ce sont des changements d'état du système qui se répètent dans le temps. La notion de vibrations recouvre un très large éventail de phénomènes.

Fluctuations dans les systèmes mécaniques, ou vibrations mécaniques- Il s'agit d'un mouvement mécanique d'un corps ou d'un système de corps, qui a une répétabilité dans le temps et se produit au voisinage de la position d'équilibre. Position d'équilibre est appelé un état du système dans lequel il peut rester pendant un temps arbitrairement long, sans subir d'influences extérieures.

Par exemple, si le pendule est dévié et relâché, des oscillations commenceront. La position d'équilibre est la position du pendule en l'absence de débattement. Dans cette position, le pendule, s'il n'est pas touché, peut rester indéfiniment. Lors de l'oscillation, le pendule passe plusieurs fois la position d'équilibre.

Immédiatement après le relâchement du pendule dévié, il a commencé à se déplacer, a dépassé la position d'équilibre, a atteint la position extrême opposée, s'y est arrêté un instant, s'est déplacé dans la direction opposée, a de nouveau dépassé la position d'équilibre et est revenu en arrière. Une chose s'est produite bat son plein... De plus, ce processus sera répété périodiquement.

Amplitude des vibrations corporelles est la valeur de son plus grand écart par rapport à la position d'équilibre.

Période d'oscillation - c'est le temps d'une oscillation complète. On peut dire que pendant la période le corps parcourt un trajet de quatre amplitudes.

Fréquence d'oscillation est l'inverse de la période :. La fréquence est mesurée en hertz (Hz) et indique combien d'oscillations complètes se produisent en une seconde.

Vibrations harmoniques.

Nous supposerons que la position du corps oscillant est déterminée par une seule coordonnée. La position d'équilibre correspond à la valeur. La tâche principale de la mécanique dans ce cas est de trouver une fonction qui donne les coordonnées du corps à tout moment.

Pour une description mathématique des oscillations, il est naturel d'utiliser des fonctions périodiques. Il existe de nombreuses fonctions de ce type, mais deux d'entre elles - sinus et cosinus - sont les plus importantes. Ils ont de nombreuses bonnes propriétés et sont étroitement liés à un large éventail de phénomènes physiques.

Puisque les fonctions sinus et cosinus sont obtenues l'une de l'autre en décalant l'argument de, vous pouvez vous limiter à une seule d'entre elles. Nous utiliserons le cosinus pour la précision.

Vibrations harmoniques- ce sont des oscillations dont la coordonnée dépend du temps selon la loi harmonique :

(1)

Découvrons la signification des quantités comprises dans cette formule.

Une valeur positive est la plus grande valeur de la coordonnée en valeur absolue (puisque la valeur maximale du module du cosinus est égale à un), c'est-à-dire le plus grand écart par rapport à la position d'équilibre. Par conséquent - l'amplitude des oscillations.

L'argument cosinus est appelé phase hésitation. La valeur égale à la valeur de phase à est appelée phase initiale. La phase initiale correspond à la coordonnée initiale du corps :.

La quantité est appelée fréquence cyclique... Trouvons son lien avec la période et la fréquence d'oscillation. Une oscillation complète correspond à un incrément de phase égal à des radians : d'où

(2)

(3)

La fréquence cyclique se mesure en rad/s (radians par seconde).

Conformément aux expressions (2) et (3), nous obtenons deux autres formes d'écriture de la loi harmonique (1) :

Le graphique de la fonction (1), exprimant la dépendance de la coordonnée au temps avec les oscillations harmoniques, est illustré à la Fig. un .

La loi harmonique de la forme (1) est de nature la plus générale. Il répond, par exemple, aux situations où deux actions initiales ont été effectuées simultanément avec le pendule : elles l'ont dévié d'une certaine quantité et lui ont donné une certaine vitesse initiale. Il existe deux cas particuliers importants où l'une de ces actions n'a pas été effectuée.

Laissez le pendule dévier, mais la vitesse initiale n'a pas été signalée (relâchée sans vitesse initiale). Il est clair que dans ce cas, donc, on peut mettre. On obtient la loi du cosinus :

Le graphique des oscillations harmoniques dans ce cas est illustré à la Fig. 2.

Riz. 2. Loi du cosinus

Supposons maintenant que le pendule n'a pas été dévié, mais que la vitesse initiale lui a été donnée par impact à partir de la position d'équilibre. Dans ce cas, vous pouvez donc mettre. On obtient la loi des sinus :

Le graphique des oscillations est illustré à la Fig. 3.

Riz. 3. Loi des sinus

Équation des vibrations harmoniques.

Revenons à la loi harmonique générale (1). On différencie cette égalité :

. (4)

On différencie maintenant l'égalité obtenue (4) :

. (5)

Comparons l'expression (1) pour la coordonnée et l'expression (5) pour la projection d'accélération. On voit que la projection de l'accélération ne diffère de la coordonnée que par un facteur :

. (6)

Ce rapport est appelé équation de vibration harmonique... Il peut être réécrit comme suit :

. (7)

D'un point de vue mathématique, l'équation (7) est équation différentielle... Les fonctions (pas les nombres, comme dans l'algèbre ordinaire) servent de solutions aux équations différentielles.
Ainsi, vous pouvez prouver que :

Une solution de l'équation (7) est une fonction quelconque de la forme (1) avec arbitraire ;

Aucune autre fonction n'est une solution à cette équation.

En d'autres termes, les relations (6), (7) décrivent des oscillations harmoniques avec une fréquence cyclique et seulement elles. Deux constantes sont déterminées à partir des conditions initiales - en fonction des valeurs initiales de la coordonnée et de la vitesse.

Pendule à ressort.

Pendule à ressort est un poids monté sur ressort capable de vibrer horizontalement ou verticalement.

Trouvons la période des petites oscillations horizontales du pendule à ressort (Fig. 4). Les oscillations seront faibles si la quantité de déformation du ressort est bien inférieure à sa taille. Pour les petites déformations, on peut utiliser la loi de Hooke. Cela conduira au fait que les vibrations sont harmoniques.

On néglige le frottement. La charge a une masse, la raideur du ressort est égale.

La coordonnée correspond à la position d'équilibre dans laquelle le ressort n'est pas déformé. Par conséquent, la quantité de déformation du ressort est égale au module de la coordonnée de la charge.

Riz. 4. Pendule à ressort

Dans le sens horizontal, seule la force du ressort agit sur la charge. La deuxième loi de Newton pour la cargaison en projection sur l'axe est :

. (8)

Si (la charge est déplacée vers la droite, comme sur la figure), alors la force élastique est dirigée dans la direction opposée, et. Au contraire, si, alors. Les signes et étant toujours opposés, la loi de Hooke peut s'écrire ainsi :

Alors la relation (8) prend la forme :

Nous avons obtenu une équation de vibrations harmoniques de la forme (6), dans laquelle

La fréquence d'oscillation cyclique du pendule à ressort est donc égale à :

. (9)

A partir de là et du rapport, on trouve la période des oscillations horizontales du pendule à ressort :

. (10)

Si vous suspendez un poids sur un ressort, vous obtenez un pendule à ressort qui oscille dans le sens vertical. On peut montrer que dans ce cas, la formule (10) est valable pour la période d'oscillation.

Pendule mathématique.

Pendule mathématique est un petit corps suspendu à un fil inextensible en apesanteur (fig. 5). Un pendule mathématique peut osciller dans un plan vertical dans un champ de gravité.

Riz. 5. Pendule mathématique

Trouvons la période des petites oscillations du pendule mathématique. La longueur du fil est. On néglige la résistance de l'air.

Écrivons la deuxième loi de Newton pour le pendule :

et le projeter sur un axe :

Si le pendule occupe une position comme sur la figure (c'est-à-dire), alors :

Si le pendule est de l'autre côté de la position d'équilibre (c'est-à-dire), alors :

Ainsi, pour toute position du pendule, on a :

. (11)

Lorsque le pendule est au repos dans la position d'équilibre, l'égalité est satisfaite. Pour les petites oscillations, lorsque les écarts du pendule par rapport à la position d'équilibre sont faibles (par rapport à la longueur du fil), une égalité approximative est remplie. Nous l'utiliserons dans la formule (11) :

C'est une équation de vibrations harmoniques de la forme (6), dans laquelle

Par conséquent, la fréquence cyclique des oscillations d'un pendule mathématique est égale à :

. (12)

D'où la période d'oscillation du pendule mathématique :

. (13)

Veuillez noter que la formule (13) n'inclut pas la masse de la charge. Contrairement à un pendule à ressort, la période d'oscillation d'un pendule mathématique ne dépend pas de sa masse.

Vibrations libres et forcées.

Ils disent que le système ne vibrations libres s'il est une fois sorti de la position d'équilibre puis laissé à lui-même. Pas d'externe périodique
Dans ce cas, le système ne subit aucune influence et le système n'a aucune source d'énergie interne qui supporte les oscillations.

Les oscillations du ressort et des pendules mathématiques considérés ci-dessus sont des exemples d'oscillations libres.

La fréquence à laquelle les vibrations libres se produisent est appelée fréquence naturelle système oscillatoire. Ainsi, les formules (9) et (12) donnent les fréquences naturelles (cycliques) des oscillations du ressort et des pendules mathématiques.

Dans une situation idéalisée en l'absence de frottement, les vibrations libres sont non amortissantes, c'est-à-dire qu'elles ont une amplitude constante et durent indéfiniment. Le frottement est toujours présent dans les systèmes oscillatoires réels, donc les oscillations libres amortissent progressivement (Fig. 6).

Vibrations forcées- ce sont des vibrations produites par le système sous l'influence d'une force extérieure qui change périodiquement dans le temps (dite force motrice).

Supposons que la fréquence naturelle des oscillations du système est égale et que la force motrice dépend du temps selon la loi harmonique :

Depuis quelque temps, des oscillations forcées s'établissent : le système effectue un mouvement complexe, qui est une imposition d'oscillations forcées et libres. Les oscillations libres s'amortissent progressivement et, en régime permanent, le système effectue des oscillations forcées, qui se révèlent également harmoniques. La fréquence des oscillations forcées en régime permanent coïncide avec la fréquence
une force contraignante (une force extérieure semble imposer sa fréquence au système).

L'amplitude des oscillations forcées en régime permanent dépend de la fréquence de la force motrice. Le graphique de cette dépendance est illustré à la Fig. sept.

Riz. 7. Résonance

Nous voyons que la résonance se produit près de la fréquence - le phénomène d'augmentation de l'amplitude des oscillations forcées. La fréquence de résonance est approximativement égale à la fréquence d'oscillation naturelle du système : et cette égalité est remplie d'autant plus précisément que le frottement dans le système est faible. En l'absence de frottement, la fréquence de résonance coïncide avec la fréquence de vibration naturelle, et l'amplitude de vibration augmente jusqu'à l'infini à.

Le monde physique qui nous entoure est plein de mouvement. Il est pratiquement impossible de trouver ne serait-ce qu'un seul corps physique qui puisse être considéré comme étant au repos. En plus de la translation uniformément rectiligne le long d'une trajectoire complexe, du mouvement avec accélération et autres, nous pouvons observer de nos propres yeux ou ressentir l'influence de mouvements périodiquement répétés d'objets matériels.

L'homme a depuis longtemps remarqué les propriétés et caractéristiques distinctives et a même appris à utiliser les vibrations mécaniques à ses propres fins. Tous les processus qui se répètent périodiquement dans le temps peuvent être appelés fluctuations. Les vibrations mécaniques ne sont qu'une partie de ce monde diversifié de phénomènes se produisant pratiquement selon les mêmes lois. À l'aide d'un exemple visuel de mouvements mécaniques répétitifs, vous pouvez établir des règles de base et déterminer les lois par lesquelles se produisent les processus électromagnétiques, électromécaniques et autres processus oscillatoires.

La nature de l'apparition des vibrations mécaniques réside dans la transformation périodique de l'énergie potentielle en énergie cinétique. Un exemple de la façon dont l'énergie est convertie lors des vibrations mécaniques peut être décrit en considérant une balle suspendue à un ressort. Au repos, la force de gravité est équilibrée par les ressorts. Mais dès que le système est forcé hors de l'équilibre, provoquant ainsi un mouvement du côté du point d'équilibre, il commencera sa transformation en un système cinétique. Et cela, à son tour, à partir du moment où la balle passera la position zéro, commencera à se transformer en un potentiel. Ce processus prend autant de temps que les conditions d'existence du système se rapprochent de la perfection.

Les oscillations qui se produisent selon la loi des sinus ou des cosinus sont considérées comme mathématiquement idéales. De tels processus sont généralement appelés vibrations harmoniques. Un exemple idéal de vibrations harmoniques mécaniques est le mouvement d'un pendule lorsqu'il n'y a pas d'influence des forces de frottement. Mais il s'agit d'un cas totalement irréprochable, qui est techniquement très problématique à réaliser.

Les vibrations mécaniques, malgré leur durée, s'arrêtent tôt ou tard et le système prend une position d'équilibre relatif. Cela est dû au gaspillage d'énergie pour surmonter la résistance de l'air, le frottement et d'autres facteurs qui conduisent inévitablement à un ajustement des calculs lors de la transition des conditions idéales aux conditions réelles dans lesquelles le système considéré existe.

En approchant inévitablement d'une étude et d'une analyse approfondies, nous arrivons à la nécessité de décrire mathématiquement les vibrations mécaniques. Les formules de ce processus incluent des quantités telles que l'amplitude (A), (w), la phase initiale (a). Et la fonction de la dépendance du déplacement (x) au temps (t) sous la forme classique a la forme

Il convient également de mentionner la valeur qui caractérise les vibrations mécaniques, qui a un nom - période (T), qui est définie mathématiquement comme

Les vibrations mécaniques, en plus de la clarté de la description des processus vibratoires de nature non mécanique, nous intéressent par certaines propriétés qui, si elles sont utilisées correctement, peuvent être bénéfiques et, si elles sont ignorées, conduire à des problèmes importants.

Une attention particulière doit être portée au phénomène de saut brutal d'amplitude lorsque la force de forçage influence la fréquence des vibrations naturelles du corps à mesure que la fréquence approche. C'est ce qu'on appelle la résonance. Le phénomène de résonance, largement utilisé dans les systèmes électroniques et mécaniques, est principalement destructeur ; il doit être pris en compte lors de la création d'une grande variété de structures et de systèmes mécaniques.

La prochaine manifestation des vibrations mécaniques est la vibration. Son apparition peut non seulement provoquer un certain inconfort, mais également entraîner l'apparition de résonances. Mais, en plus de l'impact négatif, les vibrations locales à faible intensité de manifestation peuvent avoir un effet bénéfique sur le corps humain dans son ensemble, améliorant l'état fonctionnel du système nerveux central, voire s'accélérant, etc.

Parmi les variantes de la manifestation des vibrations mécaniques, on peut distinguer le phénomène du son, les ultrasons. Les propriétés bénéfiques de ces ondes mécaniques et d'autres manifestations de vibrations mécaniques sont largement utilisées dans diverses branches de la vie humaine.

1. Oscillations. Fluctuations périodiques. Vibrations harmoniques.

2. Vibrations libres. Oscillations continues et amorties.

3. Vibrations forcées. Résonance.

4. Comparaison des processus oscillatoires. Énergie des vibrations harmoniques soutenues.

5. Auto-oscillations.

6. Oscillations du corps humain et leur enregistrement.

7. Concepts et formules de base.

8. Tâches.

1.1. Fluctuations. Fluctuations périodiques.

Vibrations harmoniques

Fluctuations sont appelés processus qui diffèrent par divers degrés de répétabilité.

Récurrent des processus se produisent continuellement à l'intérieur de tout organisme vivant, par exemple : contractions cardiaques, fonction pulmonaire ; nous frissonnons quand nous avons froid ; nous entendons et parlons en raison des vibrations des tympans et des cordes vocales ; en marchant, nos jambes font des mouvements oscillatoires. Les atomes dont nous sommes faits vibrent. Le monde dans lequel nous vivons est étonnamment sujet aux hésitations.

Selon la nature physique du processus répétitif, on distingue des oscillations : mécaniques, électriques, etc. Cette conférence traite vibrations mécaniques.

Fluctuations périodiques

Périodique appelé de telles fluctuations dans lesquelles toutes les caractéristiques du mouvement sont répétées après une certaine période de temps.

Pour les oscillations périodiques, les caractéristiques suivantes sont utilisées :

période d'oscillation T, égal au temps pendant lequel se produit une oscillation complète ;

fréquence de vibrationν, égal au nombre d'oscillations effectuées en une seconde (ν = 1 / T) ;

amplitude des vibrations A, égal au déplacement maximum par rapport à la position d'équilibre.

Vibrations harmoniques

Une place particulière parmi les oscillations périodiques est occupée par harmonique fluctuation. Leur importance est due aux raisons suivantes. Premièrement, les oscillations dans la nature et dans la technologie ont souvent un caractère très proche de l'harmonique et, deuxièmement, des processus périodiques de forme différente (avec une dépendance différente du temps) peuvent être représentés comme la superposition de plusieurs oscillations harmoniques.

Vibrations harmoniques- ce sont des fluctuations dans lesquelles la valeur observée évolue dans le temps selon la loi des sinus ou cosinus :

En mathématiques, les fonctions de ce type sont appelées harmonique, par conséquent, les oscillations décrites par de telles fonctions sont également appelées harmoniques.

La position du corps effectuant le mouvement oscillatoire est caractérisée par déplacement par rapport à la position d'équilibre. Dans ce cas, les quantités comprises dans la formule (1.1) ont la signification suivante :

X- biais corps à l'instant t;

UNE - amplitude fluctuations égales au déplacement maximal;

ω - fréquence circulaire vibrations (le nombre de vibrations effectuées en 2 π secondes) associée à la fréquence de vibration par le rapport

φ = ( c'est +φ 0) - phase fluctuations (au temps t); φ 0 - phase initiale oscillations (à t = 0).

Riz. 1.1. Tracés de déplacement dans le temps pour x (0) = A et x (0) = 0

1.2. Vibrations gratuites. Oscillations continues et amorties

Libérer ou propre de telles oscillations sont appelées qui se produisent dans le système, laissé à lui-même, après qu'il a été retiré de la position d'équilibre.

Un exemple est les vibrations d'une balle suspendue à un fil. Pour provoquer des vibrations, vous devez soit pousser la balle, soit, la mettre sur le côté, la relâcher. Lors de la poussée, la balle est informée cinétiqueénergie, et en cas de déviation - potentiel.

Des vibrations libres sont effectuées en raison de l'apport initial d'énergie.

Vibrations libres et non amorties

Les vibrations libres ne peuvent être continues qu'en l'absence de force de frottement. Sinon, l'approvisionnement initial en énergie sera dépensé pour le surmonter et la plage de fluctuations diminuera.

À titre d'exemple, considérons les vibrations d'un corps suspendu à un ressort en apesanteur qui se produisent après que le corps est dévié vers le bas puis relâché (Fig. 1.2).

Riz. 1.2. Vibrations du corps sur un ressort

Du côté du ressort tendu, le corps agit force élastique F proportionnel à la quantité de déplacement X:

Le facteur constant k est appelé taux du printemps et dépend de sa taille et de sa matière. Le signe "-" indique que la force élastique est toujours dirigée dans le sens opposé au sens de déplacement, c'est-à-dire à la position d'équilibre.

En l'absence de frottement, la force élastique (1.4) est la seule force agissant sur le corps. D'après la deuxième loi de Newton (ma = F) :

Après avoir transféré tous les termes du côté gauche et divisé par la masse corporelle (m), on obtient l'équation différentielle des vibrations libres en l'absence de frottement :

La valeur 0 (1,6) s'est avérée être égale à la fréquence cyclique. Cette fréquence est appelée propre.

Ainsi, les vibrations libres en l'absence de frottement sont harmoniques si, lors d'un écart par rapport à la position d'équilibre, force élastique(1.4).

Propre circulaire la fréquence est la caractéristique principale des oscillations harmoniques libres. Cette valeur ne dépend que des propriétés du système oscillatoire (dans le cas considéré, de la masse corporelle et de la raideur du ressort). Dans ce qui suit, le symbole ω 0 sera toujours utilisé pour désigner fréquence circulaire naturelle(c'est-à-dire la fréquence à laquelle les oscillations se produiraient en l'absence de force de frottement).

Amplitude de vibrations libres est déterminé par les propriétés du système oscillatoire (m, k) et l'énergie qui lui est conférée à l'instant initial.

En l'absence de frottement, des oscillations libres, proches des harmoniques, apparaissent également dans d'autres systèmes : pendules mathématiques et physiques (la théorie de ces problèmes n'est pas envisagée) (Fig. 1.3).

Pendule mathématique- un petit corps (point matériel), suspendu à un fil en apesanteur (Fig. 1.3 a). Si le fil est dévié de la position d'équilibre d'un petit angle (jusqu'à 5 °) et relâché, le corps oscillera avec une période déterminée par la formule

où L est la longueur du fil, g est l'accélération de la pesanteur.

Riz. 1.3. Pendule mathématique (a), pendule physique (b)

Pendule physique- un corps rigide vibrant sous l'action de la gravité autour d'un axe horizontal fixe. La figure 1.3 b montre schématiquement un pendule physique sous la forme d'un corps de forme arbitraire, dévié de la position d'équilibre d'un angle . La période d'oscillation d'un pendule physique est décrite par la formule

où J est le moment d'inertie du corps autour de l'axe, m est la masse, h est la distance entre le centre de gravité (point C) et l'axe de la suspension (point O).

Le moment d'inertie est une grandeur qui dépend de la masse du corps, de sa taille et de sa position par rapport à l'axe de rotation. Le moment d'inertie est calculé à l'aide de formules spéciales.

Oscillations amorties libres

Les forces de friction agissant dans les systèmes réels modifient considérablement la nature du mouvement : l'énergie du système oscillatoire diminue constamment, et les oscillations soit disparaître ou ne se posent pas du tout.

La force de résistance est dirigée dans la direction opposée au mouvement du corps, et à des vitesses pas très élevées est proportionnelle à l'amplitude de la vitesse :

Le graphique de ces fluctuations est illustré à la Fig. 1.4.

Comme caractéristique du degré d'atténuation, une quantité sans dimension appelée décrément d'amortissement logarithmiqueλ.

Riz. 1.4. Déplacement en fonction du temps pour les oscillations amorties

Décrément d'amortissement logarithmique est égal au logarithme népérien du rapport de l'amplitude de l'oscillation précédente à l'amplitude de l'oscillation suivante.

où i est le nombre ordinal de la vibration.

Il est facile de voir que le décrément d'amortissement logarithmique est trouvé par la formule

Forte atténuation.À

si la condition β ≥ ω 0 est satisfaite, le système revient à la position d'équilibre sans vibrer. Ce mouvement s'appelle apériodique. La figure 1.5 montre deux manières possibles de revenir à la position d'équilibre lors d'un mouvement apériodique.

Riz. 1.5. Mouvement apériodique

1.3. Vibrations forcées, résonance

Les vibrations libres en présence de forces de frottement sont amorties. Des oscillations continues peuvent être créées en utilisant des influences externes périodiques.

Forcé de telles oscillations sont appelées, au cours desquelles le système oscillant est exposé à une force périodique externe (on l'appelle force motrice).

Laissez la force motrice changer selon la loi harmonique

Le graphique de l'oscillation forcée est illustré à la Fig. 1.6.

Riz. 1.6. Tracé du déplacement en fonction du temps pour les oscillations forcées

On peut voir que l'amplitude des oscillations forcées atteint progressivement la valeur en régime permanent. Les vibrations forcées en régime permanent sont harmoniques et leur fréquence est égale à la fréquence de la force motrice :

L'amplitude (A) des oscillations forcées permanentes est trouvée par la formule :

Résonance est l'atteinte de l'amplitude maximale des vibrations forcées à une certaine valeur de la fréquence de la force motrice.

Si la condition (1.18) n'est pas satisfaite, alors la résonance ne se produit pas. Dans ce cas, avec une augmentation de la fréquence de la force motrice, l'amplitude des oscillations forcées diminue de façon monotone, tendant vers zéro.

La dépendance graphique de l'amplitude A des oscillations forcées sur la fréquence circulaire de la force motrice à différentes valeurs du coefficient d'amortissement (β 1> β 2> β 3) est illustrée à la Fig. 1.7. Cet ensemble de graphiques est appelé courbes de résonance.

Dans certains cas, une forte augmentation de l'amplitude vibratoire à la résonance est dangereuse pour la solidité du système. Il y a des cas où la résonance a conduit à la destruction de structures.

Riz. 1.7. Courbes de résonance

1.4. Comparaison des processus oscillatoires. Énergie des vibrations harmoniques soutenues

Le tableau 1.1 présente les caractéristiques des processus oscillatoires considérés.

Tableau 1.1. Caractéristiques des vibrations libres et forcées

Énergie des vibrations harmoniques soutenues

Un corps effectuant des vibrations harmoniques possède deux types d'énergie : l'énergie cinétique de mouvement E k = mv 2/2 et l'énergie potentielle E p associée à l'action d'une force élastique. On sait que sous l'action d'une force élastique (1.4), l'énergie potentielle d'un corps est déterminée par la formule E n = kx 2/2. Pour des vibrations soutenues X= A cos (ωt), et la vitesse du corps est déterminée par la formule v= - ωsin (ωt). Par conséquent, les expressions pour les énergies d'un corps effectuant des oscillations continues sont obtenues :

L'énergie totale du système, dans laquelle se produisent des oscillations harmoniques non amorties, est constituée de ces énergies et reste inchangée :

Ici, m est la masse corporelle, et A sont la fréquence angulaire et l'amplitude des oscillations, k est le coefficient d'élasticité.

1.5. Auto-oscillations

Il existe de tels systèmes qui régulent eux-mêmes la reconstitution périodique de l'énergie perdue et peuvent donc fluctuer pendant une longue période.

Auto-oscillations- des oscillations non amorties, soutenues par une source d'énergie externe, dont le débit est régulé par le système oscillant lui-même.

Les systèmes dans lesquels de telles oscillations se produisent sont appelés auto-oscillant. L'amplitude et la fréquence des auto-oscillations dépendent des propriétés du système auto-oscillant lui-même. Le système auto-oscillant peut être représenté par le schéma suivant :

Dans ce cas, le système oscillatoire lui-même agit comme un canal de rétroaction sur le régulateur d'énergie, l'informant de l'état du système.

Retour l'impact des résultats de tout processus sur son cours est appelé.

Si un tel impact conduit à une augmentation de l'intensité du processus, alors la rétroaction est appelée positif. Si l'impact conduit à une diminution de l'intensité du processus, alors la rétroaction est appelée négatif.

Dans un système auto-oscillant, des rétroactions positives et négatives peuvent être présentes.

Un exemple de système auto-oscillant est une horloge dans laquelle le pendule reçoit des chocs dus à l'énergie d'un poids soulevé ou d'un ressort tordu, et ces chocs se produisent aux moments où le pendule passe par la position médiane.

Un exemple de systèmes biologiques auto-oscillants sont des organes tels que le cœur et les poumons.

1.6. Vibrations du corps humain et leur enregistrement

L'analyse des vibrations créées par le corps humain ou ses différentes parties est largement utilisée dans la pratique médicale.

Mouvements oscillatoires du corps humain lors de la marche

La marche est un processus locomoteur périodique complexe résultant de l'activité coordonnée des muscles squelettiques du tronc et des membres. L'analyse du processus de marche fournit de nombreuses fonctionnalités de diagnostic.

Un trait caractéristique de la marche est la fréquence de la position d'appui avec une jambe (période d'appui simple) ou deux jambes (période d'appui double). Normalement, le rapport de ces périodes est de 4: 1. Lors de la marche, il y a un déplacement périodique du centre de masse (CM) le long de l'axe vertical (normalement de 5 cm) et une déviation sur le côté (normalement de 2,5 cm). Dans ce cas, le CM se déplace le long d'une courbe, qui peut être approximativement représentée par une fonction harmonique (Fig. 1.8).

Riz. 1.8. Déplacement vertical du CM du corps humain pendant la marche

Mouvements oscillatoires complexes tout en maintenant une position droite du corps.

Une personne debout présente des oscillations complexes du centre de masse général (MCG) et du centre de pression (CP) des pieds sur le plan d'appui. L'analyse de ces fluctuations est basée sur statokinésimétrie- une méthode d'évaluation de la capacité d'une personne à maintenir une posture droite. En gardant la projection du MCG dans les coordonnées de la limite de la zone d'appui. Cette méthode est mise en œuvre à l'aide d'un analyseur stabilométrique dont la partie principale est une plate-forme stabilométrique, sur laquelle le sujet est en position verticale. Les oscillations produites par le CP du sujet tout en maintenant une posture droite sont transmises à la plate-forme stabilo et enregistrées par des jauges de contrainte spéciales. Les signaux des capteurs de pesage sont transmis à un dispositif d'enregistrement. Dans ce cas, il est écrit statokinésigramme - trajectoire de mouvement du PC du sujet testé sur un plan horizontal dans un système de coordonnées à deux dimensions. Spectre harmonique statokinésigrammes on peut juger des particularités de la verticalisation dans la norme et en cas d'écart par rapport à celle-ci. Cette méthode vous permet d'analyser les indicateurs de stabilité statocinétique (SKU) d'une personne.

Vibrations mécaniques du cœur

Il existe différentes méthodes pour examiner le cœur, qui sont basées sur des processus périodiques mécaniques.

Ballistocardiographie(BCG) - une méthode d'étude des manifestations mécaniques de l'activité cardiaque, basée sur l'enregistrement des micromouvements pulsés du corps, provoqués par l'éjection d'une poussée de sang des ventricules cardiaques dans les gros vaisseaux. Dans ce cas, le phénomène se produit recul. Le corps humain est placé sur une plate-forme mobile spéciale située sur une table fixe massive. La plate-forme, en raison du recul, entre dans un mouvement oscillatoire complexe. La dépendance du déplacement de la plate-forme avec le corps en fonction du temps s'appelle un balistocardiogramme (Fig. 1.9), dont l'analyse permet de juger du mouvement du sang et de l'état de l'activité cardiaque.

Apexcardiographie(AKG) est une méthode d'enregistrement graphique des oscillations à basse fréquence de la poitrine dans la zone de l'impulsion apicale causée par le travail du cœur. L'enregistrement d'un apexcardiogramme est effectué, en règle générale, sur un électrocardiogramme multicanal.

Riz. 1.9. Enregistrement balistocardiogramme

graphique utilisant un capteur piézocristallin, qui est un convertisseur de vibrations mécaniques en vibrations électriques. Avant d'enregistrer sur la paroi thoracique antérieure, la palpation détermine le point de pulsation maximale (impulsion apicale), dans lequel le capteur est fixé. Selon les signaux du capteur, un apexcardiogramme est automatiquement construit. Une analyse d'amplitude de l'ACG est effectuée - les amplitudes de la courbe sont comparées à différentes phases du travail cardiaque avec l'écart maximal par rapport à la ligne zéro - le segment EO, pris à 100%. La figure 1.10 montre un apexcardiogramme.

Riz. 1.10. Enregistrement apexcardiogramme

Cinétocardiographie(KKG) - une méthode d'enregistrement des vibrations à basse fréquence de la paroi thoracique causées par l'activité cardiaque. Le kinétocardiogramme diffère de l'apexcardiogramme : le premier enregistre l'enregistrement des mouvements absolus de la paroi thoracique dans l'espace, le second enregistre les vibrations de l'espace intercostal par rapport aux côtes. Dans cette méthode, le déplacement (KKG x), la vitesse de mouvement (KKG v) et l'accélération (KKG a) pour les oscillations thoraciques sont déterminés. La figure 1.11 montre une comparaison de différents kinétocardiogrammes.

Riz. 1.11. Enregistrement des kinétocardiogrammes de déplacement (x), vitesse (v), accélération (a)

Dynamocardiographie(DCG) - une méthode pour évaluer le mouvement du centre de gravité de la poitrine. Le dynamocardiographe vous permet d'enregistrer les forces agissant du côté de la poitrine humaine. Pour enregistrer un dynamocardiogramme, le patient est placé sur une table allongée sur le dos. Sous la poitrine se trouve un dispositif de détection, composé de deux plaques métalliques rigides mesurant 30x30 cm, entre lesquelles se trouvent des éléments élastiques auxquels sont attachées des jauges de contrainte. Variant périodiquement en taille et en lieu d'application, la charge agissant sur le dispositif de détection est composée de trois composants : 1) composant constant - la masse de la poitrine ; 2) variable - l'effet mécanique des mouvements respiratoires; 3) variable - processus mécaniques accompagnant la contraction cardiaque.

Le dynamocardiogramme est enregistré en retenant la respiration du patient dans deux directions : par rapport aux axes longitudinal et transversal de l'appareil récepteur. La comparaison de divers dynamocardiogrammes est illustrée à la Fig. 1.12.

Sismocardiographie basé sur l'enregistrement des vibrations mécaniques du corps humain causées par le travail du cœur. Dans cette méthode, à l'aide de capteurs installés dans la région de la base du processus xiphoïde, une impulsion cardiaque est enregistrée en raison de l'activité mécanique du cœur pendant la période de contraction. Dans ce cas, il existe des processus associés à l'activité des mécanorécepteurs tissulaires du lit vasculaire, qui sont activés lorsque le volume de sang circulant diminue. Le signal cardiaque sismique se présente sous la forme d'oscillations du sternum.

Riz. 1.12. Enregistrement des dynamocardiogrammes normaux longitudinaux (a) et transversaux (b)

Vibration

L'introduction généralisée de diverses machines et mécanismes dans la vie humaine augmente la productivité du travail. Cependant, le travail de nombreux mécanismes est associé à l'apparition de vibrations qui sont transmises à une personne et ont un effet néfaste sur elle.

Vibration- vibrations forcées du corps, dans lesquelles soit le corps entier vibre dans son ensemble, soit ses parties séparées vibrent avec des amplitudes et des fréquences différentes.

Une personne subit constamment divers types d'influences vibratoires dans les transports, dans la production, dans la vie quotidienne. Les vibrations qui se sont produites dans n'importe quelle partie du corps (par exemple, la main d'un travailleur tenant un marteau-piqueur) se propagent dans tout le corps sous la forme d'ondes élastiques. Ces ondes provoquent des déformations variables de divers types (compression, étirement, cisaillement, flexion) dans les tissus du corps. L'effet des vibrations sur une personne est dû à de nombreux facteurs caractérisant les vibrations : fréquence (spectre de fréquences, fréquence fondamentale), amplitude, vitesse et accélération d'un point oscillant, énergie des processus oscillatoires.

Une exposition prolongée aux vibrations provoque des perturbations permanentes des fonctions physiologiques normales de l'organisme. Le mal des vibrations peut survenir. Cette maladie entraîne un certain nombre de troubles graves dans le corps humain.

L'influence qu'ont les vibrations sur le corps dépend de l'intensité, de la fréquence, de la durée des vibrations, du lieu de leur application et de leur direction par rapport au corps, de la posture, ainsi que de l'état d'une personne et de ses caractéristiques individuelles.

Les oscillations d'une fréquence de 3 à 5 Hz provoquent des réactions de l'appareil vestibulaire, des troubles vasculaires. À des fréquences de 3 à 15 Hz, des troubles associés à des vibrations de résonance d'organes individuels (foie, estomac, tête) et du corps dans son ensemble sont observés. Les fluctuations avec des fréquences de 11 à 45 Hz provoquent une déficience visuelle, des nausées et des vomissements. À des fréquences supérieures à 45 Hz, dommages aux vaisseaux cérébraux, altération de la circulation sanguine, etc. La figure 1.13 montre les zones de fréquences de vibration qui ont un effet nocif sur une personne et les systèmes de ses organes.

Riz. 1.13. Gammes de fréquences des effets nocifs des vibrations sur les humains

Parallèlement, dans un certain nombre de cas, les vibrations sont utilisées en médecine. Par exemple, à l'aide d'un vibromasseur spécial, le dentiste prépare l'amalgame. L'utilisation de dispositifs vibrants à haute fréquence permet de percer un trou de forme complexe dans la dent.

La vibration est également utilisée en massage. Lors du massage manuel, les tissus massés sont mis en mouvement vibratoire à l'aide des mains du masseur. Pendant le massage matériel, des vibrateurs sont utilisés, dans lesquels des pointes de différentes formes sont utilisées pour transmettre des mouvements vibratoires au corps. Les appareils à vibrations se subdivisent en appareils à vibrations générales qui secouent l'ensemble du corps (vibrant « chaise », « lit », « plate-forme », etc.), et appareils à vibrations locales impactant certaines parties du corps.

Mécanothérapie

Dans les exercices de physiothérapie (thérapie par l'exercice), des simulateurs sont utilisés, sur lesquels des mouvements oscillatoires de diverses parties du corps humain sont effectués. Ils sont utilisés dans mécanothérapie - forme de thérapie par l'exercice, dont l'une des tâches est la mise en œuvre d'exercices physiques dosés et rythmiquement répétitifs afin d'entraîner ou de restaurer la mobilité des articulations sur des appareils de type pendule. La base de ces dispositifs est un équilibre (de fr. balancier- swing, balance) un pendule, qui est un levier à deux bras qui effectue des mouvements oscillatoires (balançoires) autour d'un axe fixe.

1.7. Concepts et formules de base

Suite du tableau

Suite du tableau

Fin du tableau

1.8. Tâches

1. Donnez des exemples de systèmes vibrationnels humains.

2. Chez un adulte, le cœur bat 70 par minute. Déterminer : a) la fréquence des contractions ; b) le nombre de réductions en 50 ans

Réponse: a) 1,17 Hz ; b) 1,84x10 9.

3. Combien de temps un pendule mathématique doit-il avoir pour que sa période d'oscillation soit égale à 1 seconde ?

4. Une tige fine, droite et homogène de 1 m de long est suspendue par l'extrémité sur un axe. Déterminez : a) quelle est la période de ses oscillations (petites) ? b) quelle est la longueur d'un pendule mathématique avec la même période d'oscillation ?

5. Un corps pesant 1 kg vibre selon la loi x = 0,42 cos (7,40 t), où t est mesuré en secondes et x en mètres. Trouvez : a) l'amplitude ; b) fréquence ; c) pleine énergie ; d) énergies cinétique et potentielle à x = 0,16 m.

6. Estimer la vitesse à laquelle une personne marche avec une longueur de foulée je= 0,65 m Longueur de jambe L = 0,8 m; le centre de gravité est à une distance H = 0,5 m du pied. Pour le moment d'inertie de la jambe par rapport à l'articulation de la hanche, utilisez la formule I = 0,2 ml 2.

7. Comment pouvez-vous déterminer la masse d'un petit corps à bord d'une station spatiale si vous disposez d'une horloge, d'un ressort et d'un jeu de poids ?

8. L'amplitude des oscillations amorties diminue en 10 oscillations de 1/10 de sa valeur d'origine. La période d'oscillation est T = 0,4 s. Déterminer le décrément logarithmique et le facteur d'amortissement.

Fluctuations Sont des mouvements ou des processus qui se répètent exactement ou approximativement à intervalles réguliers.

Vibrations mécaniques fluctuations des valeurs mécaniques (déplacement, vitesse, accélération, pression, etc.).

Les vibrations mécaniques (selon la nature des forces) sont :

gratuit;

forcé;

auto-oscillation.

Libérer appelées vibrations qui surviennent avec une seule action d'une force externe (la communication initiale de l'énergie) et en l'absence d'influences externes sur le système oscillatoire.

Gratuit (ou propre)- ce sont des oscillations dans le système sous l'influence de forces internes, après que le système est sorti de l'état d'équilibre (en conditions réelles, les oscillations libres sont toujours amorties).

Conditions de vibrations libres

1. Le système oscillatoire doit avoir une position d'équilibre stable.

2. Lors du retrait du système de la position d'équilibre, une force résultante devrait apparaître qui ramène le système à sa position d'origine.

3. Les forces de friction (résistance) sont très faibles.

Vibrations forcées- les vibrations se produisant sous l'influence de forces extérieures qui évoluent dans le temps.

Auto-oscillations- des oscillations soutenues dans le système, soutenues par des sources d'énergie internes en l'absence d'une force variable externe.

La fréquence et l'amplitude des auto-oscillations sont déterminées par les propriétés du système oscillatoire lui-même.

Les auto-oscillations diffèrent des oscillations libres par l'indépendance de l'amplitude par rapport au temps et par rapport à l'impact initial qui excite le processus d'oscillation.

Le système auto-oscillant se compose : d'un système oscillant ; source d'énergie; dispositifs de rétroaction qui régulent le flux d'énergie d'une source d'énergie interne dans le système oscillatoire.

L'énergie reçue de la source pendant la période est égale à l'énergie perdue par le système oscillatoire pendant le même temps.

Les vibrations mécaniques sont divisées en :

décoloration;

non amorti.

Oscillations amorties- les vibrations dont l'énergie diminue avec le temps.

Caractéristiques du mouvement oscillatoire :

permanent:

amplitude (A)

période (T)

la fréquence ()

La plus grande déviation (en module) du corps oscillant par rapport à la position d'équilibre est appelée amplitude des oscillations. Habituellement, l'amplitude est indiquée par la lettre A.

La période de temps pendant laquelle le corps fait une vibration complète est appelée période de fluctuations.

La période d'oscillation est généralement désignée par la lettre T et dans SI, elle est mesurée en secondes (s).

Le nombre de vibrations par unité de temps est appelé fréquence de vibration.

La fréquence est indiquée par la lettre v (« nu »). Une vibration par seconde est prise comme unité de fréquence. Cette unité porte le nom du scientifique allemand Heinrich Hertz hertz (Hz).

la période d'oscillation T et la fréquence d'oscillation v sont liées par la relation suivante :

T = 1 / ou = 1 / T.

Fréquence cyclique (circulaire) ω- le nombre d'oscillations en 2π secondes

Vibrations harmoniques- les vibrations mécaniques qui se produisent sous l'action d'une force proportionnelle au déplacement et dirigée en regard de celui-ci. Les oscillations harmoniques sont effectuées selon la loi des sinus ou des cosinus.

Laissez le point matériel effectuer des vibrations harmoniques.

L'équation de vibration harmonique a la forme:

a - accélération V - vitesse q - charge A - amplitude t - temps