Quel est le nom du triangle dans lequel. Triangle obtus : longueur des côtés, somme des angles. Triangle obtus décrit. Propriétés communes à tous les triangles

Un triangle (du point de vue de l'espace d'Euclide) est une figure géométrique formée de trois segments reliant trois points qui ne se trouvent pas sur une ligne droite. Les trois points qui forment un triangle sont appelés ses sommets et les segments reliant les sommets sont appelés les côtés du triangle. Quels sont les triangles ?

Triangles égaux

Il y a trois signes que les triangles sont égaux. Quels triangles sont dits égaux ? Ce sont ceux avec :

deux côtés et l'angle entre ces côtés sont égaux ;
égal à un côté et deux coins adjacents;
les trois côtés sont égaux.

Les triangles rectangles ont les signes d'égalité suivants :

angle aigu et hypoténuse;
le long d'un angle aigu et d'une jambe ;
sur deux pattes;
le long de l'hypoténuse et de la jambe.

Quels sont les triangles

Par le nombre de côtés égaux, un triangle peut être :

Équilatéral. C'est un triangle à trois côtés égaux. Tous les angles d'un triangle équilatéral sont de 60 degrés. De plus, les centres du cercle circonscrit et du cercle inscrit coïncident.
Unilatéral. Un triangle qui n'a pas de côtés égaux.
Isocèle. C'est un triangle avec deux côtés égaux. Deux côtés identiques sont les côtés, et le troisième côté est la base. Dans un tel triangle, la bissectrice, la médiane et la hauteur coïncident si elles sont abaissées à la base.

En termes d'angles, un triangle peut être :

Obtus - lorsque l'un des angles est supérieur à 90 degrés, c'est-à-dire lorsqu'il est obtus.
Aigu - si les trois angles du triangle sont aigus, c'est-à-dire qu'ils sont inférieurs à 90 degrés.
Quel triangle s'appelle rectangulaire ? C'est celui qui a un angle droit égal à 90 degrés. Les jambes s'appelleront les deux côtés qui forment cet angle, et l'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit.

Propriétés de base des triangles

Un angle plus petit se trouve toujours contre le petit côté et le plus grand angle se trouve toujours contre le plus grand côté.
Des angles égaux sont toujours opposés à des côtés égaux et des angles différents sont toujours opposés à des côtés différents. En particulier, dans un triangle équilatéral, tous les angles ont la même valeur.
Dans n'importe quel triangle, les angles totalisent jusqu'à 180 degrés.
L'angle extérieur peut être obtenu en prolongeant l'un de ses côtés près du triangle. La valeur du coin extérieur sera égale à la somme des coins intérieurs non adjacents.
Le côté d'un triangle est supérieur à la différence entre ses deux autres côtés, mais inférieur à leur somme.

Dans la géométrie spatiale de Lobatchevsky, la somme des angles d'un triangle sera toujours inférieure à 180 degrés. Sur une sphère, cette valeur est supérieure à 180 degrés. La différence entre 180 degrés et la somme des angles du triangle s'appelle un défaut.

Lorsqu'ils étudient les mathématiques, les élèves commencent à se familiariser avec différents types de formes géométriques. Aujourd'hui, nous allons nous concentrer sur différents types de triangles.

Définition

Les formes géométriques composées de trois points qui ne sont pas sur la même ligne droite sont appelées triangles.

Les lignes qui relient les points sont appelées côtés et les points sont appelés sommets. Les sommets sont indiqués par des lettres latines majuscules, par exemple : A, B, C.

Les côtés sont désignés par les noms des deux points qui les composent - AB, BC, AC. Se croisant, les côtés forment des coins. Le côté inférieur est considéré comme la base de la figure.

Riz. 1. Triangle ABC.

Types de triangles

Les triangles sont classés par angles et côtés. Chaque type de triangle a ses propres propriétés.

Il existe trois types de triangles d'angle :

à angle aigu;
rectangulaire;
obtus.

Tous les angles à angle aigu les triangles sont nets, c'est-à-dire que la mesure de degré de chacun n'est pas supérieure à 90 0.

Rectangulaire un triangle contient un angle droit. Les deux autres angles seront toujours aigus, car sinon la somme des angles du triangle dépassera 180 degrés, ce qui est impossible. Le côté opposé à l'angle droit s'appelle l'hypoténuse et les deux autres jambes. L'hypoténuse est toujours plus large que la jambe.

Obtus un triangle contient un angle obtus. C'est-à-dire un angle supérieur à 90 degrés. Les deux autres coins d'un tel triangle seront aigus.

Riz. 2. Types de triangles dans les coins.

Un triangle de Pythagore est un rectangle dont les côtés sont égaux à 3, 4, 5.

De plus, le gros côté est l'hypoténuse.

De tels triangles sont souvent utilisés pour composer des problèmes simples de géométrie. Rappelons donc : si les deux côtés du triangle sont égaux à 3, alors le troisième sera forcément 5. Cela simplifiera les calculs.

Types de triangles sur les côtés :

équilatéral;
isocèle;
polyvalent.

Équilatéral un triangle est un triangle dont tous les côtés sont égaux. Tous les angles d'un tel triangle sont égaux à 60 0, c'est-à-dire qu'il est toujours à angle aigu.

Isocèle triangle - un triangle dans lequel seuls deux côtés sont égaux. Ces côtés sont appelés côté, et le troisième est appelé la base. De plus, les angles à la base d'un triangle isocèle sont égaux et toujours aigus.

Polyvalent ou un triangle arbitraire est un triangle dans lequel toutes les longueurs et tous les angles ne sont pas égaux les uns aux autres.

Si dans le problème il n'y a pas de clarifications sur la figure, alors on considère que nous parlons d'un triangle arbitraire.

Riz. 3. Types de triangles sur les côtés.

La somme de tous les angles d'un triangle, quel que soit son type, est de 1800.

En face du plus grand coin se trouve le plus grand côté. Et aussi la longueur d'un côté est toujours inférieure à la somme de ses deux autres côtés. Ces propriétés sont confirmées par le théorème d'inégalité triangulaire.

Il y a le concept du triangle d'or. Il s'agit d'un triangle isocèle dont les deux côtés sont proportionnels à la base et égaux à un certain nombre. Dans une telle figure, les angles sont proportionnels au rapport de 2: 2: 1.

Tâche:

Existe-t-il un triangle dont les côtés mesurent 6 cm, 3 cm, 4 cm ?

Solution:

Pour résoudre ce problème, vous devez utiliser l'inégalité a

Qu'avons-nous appris ?

À partir de ce matériel du cours de mathématiques de 5e année, nous avons appris que les triangles sont classés par côtés et angles. Les triangles ont certaines propriétés qui peuvent être utilisées pour résoudre des problèmes.

Un triangle, dans lequel tous les côtés n'ont pas la même longueur, est généralement appelé polyvalent.

Un triangle avec deux côtés identiques est noté isocèle... Il est d'usage d'appeler les mêmes parties latéral, tierce personne - base. Cette définition sera tout aussi vraie base d'un triangle est le côté d'un triangle isocèle qui n'est pas égal aux deux autres côtés.

V triangle isocèle les angles à la base sont égaux. Hauteur, médiane, bissectrice d'un triangle isocèle, tiré à sa base, sont alignés.

Triangle, avec tous les mêmes côtés, est noté équilatéral ou correct... Dans un triangle équilatéral, tous les angles sont de 60 ° et les centres des cercles inscrits et circonscrits sont alignés.

Types de triangles en fonction des paramètres des angles.

Un triangle dont seuls les coins sont inférieurs à 90 0 (aigu) est appelé à angle aigu.

Le triangle dans lequel l'angle 90 0 est représenté s'appelle rectangulaire... Les côtés d'un triangle formant un angle droit sont généralement notés jambes, et le côté opposé à l'angle droit est hypoténuse.

Aujourd'hui, nous allons au pays de la géométrie, où nous nous familiariserons avec différents types de triangles.

Considérez les formes géométriques et trouvez parmi elles "superflues" (Fig. 1).

Riz. 1. Illustration par exemple

On voit que les chiffres #1, 2, 3, 5 sont des quadrangles. Chacun d'eux a son propre nom (Fig. 2).

Riz. 2. Quadrilatères

Cela signifie que le chiffre "extra" est un triangle (Fig. 3).

Riz. 3. Illustration par exemple

Un triangle est une figure composée de trois points qui ne se trouvent pas sur une ligne droite et de trois segments qui relient ces points par paires.

Les points sont appelés les sommets du triangle, segmente - il des soirées... Les côtés du triangle forment il y a trois coins aux sommets du triangle.

Les principaux signes d'un triangle sont trois côtés et trois coins. En termes d'angle, les triangles sont à angle aigu, rectangulaire et à angle obtus.

Un triangle est dit à angle aigu si les trois coins sont aigus, c'est-à-dire inférieurs à 90 ° (Fig. 4).

Riz. 4. Triangle à angle aigu

Un triangle est dit rectangulaire si l'un de ses coins est à 90° (Fig. 5).

Riz. 5. Triangle rectangle

Un triangle est dit obtus si l'un de ses coins est obtus, c'est-à-dire à plus de 90° (Fig. 6).

Riz. 6. Triangle obtus

Selon le nombre de côtés égaux, les triangles sont équilatéraux, isocèles, polyvalents.

Un triangle isocèle est un triangle dont les deux côtés sont égaux (Fig. 7).

Riz. 7. Triangle isocèle

Ces partis sont appelés latéral, Troisième face - base. Dans un triangle isocèle, les angles à la base sont égaux.

Les triangles isocèles sont à angle aigu et à angle obtus(fig. 8) .

Riz. 8. Triangles isocèles aigus et obtus

Un triangle équilatéral est un triangle dont les trois côtés sont égaux (Fig. 9).

Riz. 9. Triangle équilatéral

Dans un triangle équilatéral tous les angles sont égaux. Triangles équilatéraux toujours à angle aigu.

Un triangle est appelé polyvalent, dans lequel les trois côtés ont des longueurs différentes (Fig. 10).

Riz. 10. Triangle polyvalent

Finissez la tâche. Divisez ces triangles en trois groupes (fig. 11).

Riz. 11. Illustration pour la tâche

Tout d'abord, nous distribuons par la grandeur des angles.

Triangles aigus : n° 1, n° 3.

Triangles rectangulaires : n° 2, n° 6.

Triangles obtus : n°4, n°5.

Nous allons répartir les mêmes triangles en groupes selon le nombre de côtés égaux.

Triangles polyvalents : n° 4, n° 6.

Triangles isocèles : n° 2, n° 3, n° 5.

Triangle équilatéral : n°1.

Considérez les dessins.

Pensez à quel morceau de fil vous avez fait chaque triangle (fig. 12).

Riz. 12. Illustration de la tâche

Vous pouvez raisonner ainsi.

Le premier morceau de fil est divisé en trois parties égales, ce qui permet d'en faire un triangle équilatéral. Dans la figure, il est représenté comme le troisième.

Le deuxième morceau de fil est divisé en trois parties différentes, vous pouvez donc en faire un triangle polyvalent. Il est représenté en premier sur la figure.

Le troisième morceau de fil est divisé en trois parties, où les deux parties ont la même longueur, ce qui signifie qu'un triangle isocèle peut être fabriqué à partir de celui-ci. Sur la figure, il est représenté comme le second.

Aujourd'hui, dans la leçon, nous nous sommes familiarisés avec les différents types de triangles.

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Devoirs

1. Complétez les phrases.

a) Un triangle est une figure qui consiste en ..., ne se trouvant pas sur une ligne droite, et ..., reliant ces points par paires.

b) Les points sont appelés … , segmente - il … ... Les côtés du triangle se forment aux sommets du triangle ….

c) En termes d'angle, les triangles sont…,…,….

d) Selon le nombre de côtés égaux, les triangles sont…,…,….

2. Dessiner

a) un triangle rectangle ;

b) triangle à angle aigu ;

c) triangle obtus ;

d) un triangle équilatéral ;

e) triangle polyvalent ;

f) triangle isocèle.

3. Faites un devoir sur le sujet de la leçon pour vos pairs.

Triangle . Triangles à angle aigu, à angle obtus et à angle droit.

Jambes et hypoténuse. Isocèle et triangle équilatéral.

La somme des angles d'un triangle.

Le coin extérieur du triangle. Signes d'égalité des triangles.

Merveilleuses lignes et points du triangle : hauteurs, médianes,

bissectrices, médiane e perpendiculaires, orthocentre,

centre de gravité, centre d'un cercle inscrit, centre d'un cercle inscrit.

Théorème de Pythagore. Rapport d'aspect dans un triangle arbitraire.

Triangle Est un polygone à trois côtés (ou trois coins). Les côtés d'un triangle sont souvent désignés par des lettres minuscules, qui correspondent à des lettres majuscules désignant des sommets opposés.

Si les trois coins sont nets (Fig. 20), alors ce triangle à angle aigu ... Si l'un des coins est droit(C, fig. 21), C'est triangle rectangle; des soiréesun Bformant un angle droit sont appelés jambes; côtécopposé à l'angle droit s'appelle hypoténuse... Si l'un des angles obtus (B, fig. 22), C'est triangle obtus.

Triangle ABC (fig. 23) - isocèle, si deux ses côtés sont égaux (une= c); ces côtés égaux sont appelés latéral, le tiers est appelé base Triangle. Triangle ABC (fig. 24) - équilatéral, si tous ses côtés sont égaux (une = b = c). En général ( une ≠ b ≠ c) on a scalène Triangle .

Propriétés de base des triangles. Dans n'importe quel triangle :

1. Il y a un plus grand angle contre le plus grand côté, et vice versa.

2. Des angles égaux sont opposés à des côtés égaux et vice versa.

En particulier, tous les angles de équilatéral triangle sont égaux.

3. Les angles d'un triangle font 180 º .

Des deux dernières propriétés, il résulte que chaque angle dans un équilatéral

le triangle est 60 º.

4. En continuant l'un des côtés du triangle (AC, fig. 25), on a externe

angle BCD . L'angle extérieur du triangle est égal à la somme des angles intérieurs,

pas à côté de lui : BCD = A + B.

5. Tout côté d'un triangle est inférieur à la somme des deux autres côtés et supérieur

leurs différences (une < b + c, une > b – c;b < une + c, b > une – c;c < une + b,c > une – b).

Signes d'égalité des triangles.

Les triangles sont égaux s'ils sont respectivement égaux :

une ) deux côtés et l'angle entre eux;

b ) deux coins et le côté qui leur est adjacent;

c) trois côtés.

Signes d'égalité des triangles rectangles.

Deux rectangulaire les triangles sont égaux si l'une des conditions suivantes est vraie :

1) leurs jambes sont égales;

2) la jambe et l'hypoténuse d'un triangle sont égales à la jambe et à l'hypoténuse de l'autre ;

3) l'hypoténuse et l'angle aigu d'un triangle sont égaux à l'hypoténuse et à l'angle aigu de l'autre ;

4) la branche et l'angle aigu adjacent d'un triangle sont égaux à la branche et à l'angle aigu adjacent de l'autre ;

5) la jambe et l'angle aigu opposé d'un triangle sont égaux à la jambe et le coin pointu opposé de l'autre.

Merveilleuses lignes et points dans le triangle.

Hauteur le triangle estperpendiculaire,tombé de n'importe quel sommet vers le côté opposé ( ou sa continuation). Ce côté s'appellebase du triangle . Trois hauteurs d'un triangle se coupent toujoursà un moment donnéappelé orthocentre Triangle. Orthocentre d'un triangle à angle aigu (point O , fig. 26) est situé à l'intérieur du triangle, etl'orthocentre d'un triangle obtus (point O , fig. 27) – à l'extérieur; l'orthocentre d'un triangle rectangle coïncide avec le sommet de l'angle droit.

Médian - c'est section reliant n'importe quel sommet du triangle au milieu du côté opposé. Trois médianes d'un triangle (AD, BE, CF, fig. 28) se croisent en un point O toujours couché à l'intérieur du triangle et étant son centre de gravité. Ce point divise chaque médiane par un rapport de 2 : 1 à partir du haut.

Bissecteur - c'est segment bissectrice coin du sommet à un point intersection avec le côté opposé. Trois bissectrices d'un triangle (AD, BE, CF, fig. 29) se croisent en un point Oh toujours allongé dans un triangle et étant le centre du cercle inscrit(voir la section "Inscritet les polygones décrits ").

La bissectrice divise le côté opposé en parties proportionnelles aux côtés adjacents ; par exemple, sur la figure 29 AE : CE = AB : BC.

Médiane perpendiculaire Est une perpendiculaire tirée du milieu points de segment (côtés). Trois perpendiculaires médianes du triangle ABC(KO, MO, NON, fig. 30 ) se coupent en un point O, qui est centre le cercle esquissé (points K, M, N - les milieux des côtés du triangle ABC).

Dans un triangle à angle aigu, ce point se trouve à l'intérieur du triangle ; en obtus - à l'extérieur; en rectangulaire - au milieu de l'hypoténuse. Orthocentre, centre de gravité, centre de cercle circonscrit et centre de cercle inscrit ne coïncident que dans un triangle équilatéral.

Théorème de Pythagore. Dans un triangle rectangle, le carré de la longueurl'hypoténuse est égale à la somme des carrés des longueurs des jambes.

La preuve du théorème de Pythagore découle clairement de la figure 31. Considérons un triangle rectangle ABC avec des jambes un B et hypoténuse c.

Construisons un carré AKMB en utilisant l'hypoténuse UN B comme côté. Puisprolonger les côtés du triangle rectangle abc donc pour obtenir un carré CDEF dont le côté est égal àa + b.Il est maintenant clair que l'aire d'un carré CDEF est ( a + b) 2 ... D'autre part, ce l'aire est égale à la somme carrés quatre triangles rectangles et carré AKMB, c'est-à-dire

c 2 + 4 (un B / 2) = c 2 + 2 un B,

d'ici,

c 2 + 2 un B= (a + b) 2 ,

et enfin on a :

c 2 =une 2 + b 2 .

Rapport d'aspect dans un triangle arbitraire.

Dans le cas général (pour un triangle quelconque) on a :

c 2 =une 2 + b 2 – 2un B· car C,

où C - l'angle entre les côtésune et b .