การหมุนรอบแกน AU วิธีการคำนวณขอบเขตการหมุนโดยใช้อินทิกรัลเฉพาะหรือไม่ การคำนวณปริมาณร่างกายที่เกิดขึ้นโดยการหมุนของรูปร่างแบนรอบแกน

C มีอยู่ในช่วงเวลา ดังนั้นเราจึงมีรูปแบบ Langundree ของสมาชิกเพิ่มเติมอีกครั้ง 5. สรุป. ในการทำงานหลักสูตรคำจำกัดความของอินทิกรัลที่แน่นอนและไม่เข้ากันได้รับปัญหาของการใช้งานบางอย่างของอินทิกรัลโดยเฉพาะ โดยเฉพาะอย่างยิ่งสูตร Valles ซึ่งมีความสำคัญทางประวัติศาสตร์เป็นตัวแทนแรกของหมายเลข P ในรูปแบบของการ จำกัด การคำนวณได้ง่าย ...

การรั่วไหลของประเภทของฟังก์ชั่นเป็นตัวเลขแสดงถึงพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู curvilinear ของเส้นโค้งที่ จำกัด x \u003d 0, y \u003d a, y \u003d b และ y \u003d (รูปที่ 1) มีสองวิธีในการคำนวณพื้นที่นี้หรือวิธีการที่เฉพาะเจาะจง - วิธีการของสี่เหลี่ยมคางหมู (รูปที่ 2) และวิธีการสี่เหลี่ยมผืนผ้ากลาง (รูปที่ 3) รูปที่. 1. สี่เหลี่ยมคางหมู curvilinear รูปที่. 2. วิธีการของสี่เหลี่ยมคางหมู รูปที่. 3. วิธีการสี่เหลี่ยมกลาง ตามวิธีการที่ ...

N (การเพิ่มจำนวนการรวม) เพิ่มความถูกต้องของการคำนวณโดยประมาณของงาน Integrals ที่ทำงานต่อการทำงานในห้องปฏิบัติการ 1) เขียนโปรแกรมสำหรับการคำนวณวิธีการที่เฉพาะเจาะจง: สื่อกลางขวาสี่เหลี่ยมคางหมูและวิธี Simpson ดำเนินการรวมฟังก์ชั่นต่อไปนี้: 1. F (x) \u003d xf (x) \u003d x2 f (x) \u003d x3 f (x) \u003d x4 บนส่วนที่มีระดับเสียง, 2. f (x) \u003d f (x ) \u003d f (x) \u003d ...

... (ขั้นตอนการทำงาน) และอินทิกรัล 4. บทสรุปและข้อสรุป ดังนั้นจึงเห็นได้ชัดว่าเมื่อคำนวณอินทิกรัลบางอย่างด้วยความช่วยเหลือของสูตรสี่เหลี่ยมจัตุรัสและโดยเฉพาะอย่างยิ่งสูตร Chebyshev ไม่ได้ให้ค่าที่แน่นอนแก่เรา แต่โดยประมาณเท่านั้น ในการปิดให้มากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ในมูลค่าที่เชื่อถือได้ของอินทิกรัลคุณต้องสามารถเลือกวิธีที่เหมาะสมและสูตรที่จะคำนวณ เหมือนกัน...

รูปร่างแบนรอบแกน

ตัวอย่างที่ 3

Dana Flat รูปที่ จำกัด โดยเส้น ,,

1) ค้นหาพื้นที่ของรูปทรงแบนที่ จำกัด โดยเส้นเหล่านี้

2) ค้นหาปริมาณของร่างกายที่ได้รับจากการหมุนของรูปทรงแบนที่ จำกัด โดยเส้นเหล่านี้รอบแกน

ความสนใจ! แม้ว่าคุณต้องการทำความคุ้นเคยกับรายการที่สองเท่านั้นก่อน ก่อน อ่านครั้งแรก!

การตัดสินใจ: งานประกอบด้วยสองส่วน เริ่มขึ้นกับสแควร์กัน

1) ดำเนินการวาดภาพ:

เป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าฟังก์ชั่นตั้งค่าสาขาบนของพาราโบลาและฟังก์ชั่นเป็นสาขาล่างของพาราโบลา ก่อนที่เราจะเป็นพาราโบลาเล็กน้อยที่ "อยู่ที่ด้านข้าง"

ตัวเลขที่ต้องการพื้นที่ที่จะพบเงาในสีน้ำเงิน

วิธีการหาพื้นที่ของรูป? มันสามารถพบวิธี "ธรรมดา" นอกจากนี้พื้นที่ของรูปเป็นเหมือนจำนวนพื้นที่:

- ในส่วน;

- ในกลุ่ม

ดังนั้น:

มีเส้นทางการแก้ปัญหาที่มีเหตุผลมากขึ้น: มันประกอบด้วยในการเปลี่ยนไปใช้ฟังก์ชั่นย้อนกลับและบูรณาการตามแนวแกน

วิธีการไปที่ฟังก์ชั่นย้อนกลับ? พูดประมาณคุณต้องแสดง "x" ผ่าน "IREK" ครั้งแรกที่เราจะจัดการกับพาราโบลา:

นี่ก็เพียงพอแล้ว แต่ตรวจสอบให้แน่ใจว่าสามารถลบฟังก์ชั่นเดียวกันจากกิ่งด้านล่าง:

ด้วยตรงทุกอย่างง่ายขึ้น:

ตอนนี้เราดูที่แกน: โปรดเอียงศีรษะของคุณเป็นระยะทางด้านขวาของ 90 องศาตามแนวทางของคำอธิบาย (นี่ไม่ใช่เรื่องตลก!) รูปที่เราต้องการอยู่ในกลุ่มซึ่งทำเครื่องหมายด้วยเส้นประสีแดง ในเวลาเดียวกันเส้นตรงตั้งอยู่เหนือพาราโบลาและดังนั้นควรพบพื้นที่ของรูปในสูตรที่คุ้นเคยกับคุณแล้ว: มีการเปลี่ยนแปลงอะไรในสูตร? มีเพียงจดหมายเท่านั้นและไม่มีอะไรเพิ่มเติม

! บันทึก : ข้อ จำกัด การรวมเอเชีย มันควรจะจัดจากล่างขึ้นล่างอย่างเคร่งครัด !

ค้นหาพื้นที่:

ในกลุ่มดังนั้น:

โปรดทราบว่าฉันดำเนินการรวมอย่างไรเป็นวิธีที่มีเหตุผลมากที่สุดและในจุดต่อไปของงานจะชัดเจน - ทำไม

สำหรับผู้อ่านที่สงสัยความถูกต้องบูรณาการฉันจะหาอนุพันธ์:

ได้รับ Integrand เริ่มต้นหมายความว่าการรวมนั้นถูกต้องอย่างถูกต้อง

ตอบ:

2) คำนวณปริมาณของร่างกายที่เกิดขึ้นจากการหมุนของตัวเลขนี้รอบแกน

redrawing การวาดภาพเล็กน้อยในการออกแบบอื่น:

ดังนั้นรูปที่แรเงาสีน้ำเงินหมุนรอบแกน เป็นผลให้มันกลายเป็น "ผีเสื้อแขวน" ที่หมุนรอบแกน

เพื่อค้นหาปริมาตรของร่างกายของการหมุนเราจะรวมเข้ากับแกน ก่อนอื่นคุณต้องไปที่ฟังก์ชั่นย้อนกลับ สิ่งนี้ได้ทำไปแล้วและอธิบายรายละเอียดในย่อหน้าก่อนหน้านี้

ตอนนี้เราไปที่ขวาอีกครั้งและเราศึกษาตัวเลขของเรา เห็นได้ชัดว่าปริมาณของร่างกายของการหมุนควรพบว่าเป็นความแตกต่างในโวลุ่ม

หมุนตัวเลขวงกลมสีแดงรอบแกนส่งผลให้กรวยที่ถูกตัดทอน แสดงถึงโวลุ่มนี้ผ่าน

หมุนตัวเลขวงกลมด้วยสีเขียวรอบแกนและแสดงถึงปริมาณของร่างกายของการหมุน

ปริมาณของผีเสื้อของเราเท่ากับความแตกต่างในปริมาณ

เราใช้สูตรสำหรับการค้นหาปริมาตรของร่างกายของการหมุน:

อะไรคือความแตกต่างจากสูตรของย่อหน้าก่อนหน้า? เฉพาะในจดหมาย

แต่ข้อได้เปรียบของการบูรณาการซึ่งฉันเพิ่งพูดง่ายต่อการค้นหามากกว่าที่จะสร้างฟังก์ชั่น Reintroduct ในระดับที่ 4

ตอบ:

โปรดทราบว่าหากรูปแบนชนิดเดียวกันหมุนรอบแกนแล้วมันจะกลายเป็นรูปแบบการหมุนที่แตกต่างกันอย่างสมบูรณ์ของอื่น ๆ ตามธรรมชาติปริมาณ

ตัวอย่างที่ 7

คำนวณปริมาณของร่างกายที่เกิดขึ้นโดยการหมุนรอบแกนของรูปที่ถูก จำกัด ด้วยเส้นโค้งและ

การตัดสินใจ: ทำการวาดภาพ:

ระหว่างทางที่ฉันคุ้นเคยกับกราฟของฟังก์ชั่นอื่น ๆ ดังกล่าวกำหนดการที่น่าสนใจของฟังก์ชั่นจำนวนเต็ม ....

เพื่อจุดประสงค์ในการค้นหาปริมาตรของร่างกายของการหมุนมันก็เพียงพอที่จะใช้ครึ่งขวาของรูปซึ่งฉันแบ่งปันสีน้ำเงิน ฟังก์ชั่นทั้งสองคือกราฟของพวกเขามีความสมมาตรเกี่ยวกับแกน, สมมาตรและรูปร่างของเรา ดังนั้นส่วนที่ถูกร่มเงาจึงหมุนรอบแกนจะตรงกับส่วนซ้ายมือ หรือ . ในความเป็นจริงฉันเองฉันมั่นใจเสมอแทนที่สองจุดของตารางในฟังก์ชั่นที่พบที่พบ

ตอนนี้เราคืบหัวของคุณและสังเกตเห็นสิ่งต่อไป:

- ในส่วนของแกนที่มีกราฟของฟังก์ชั่น

มันเป็นตรรกะที่จะสมมติว่าปริมาณของร่างกายของการหมุนจะต้องมีการค้นหาเป็นจำนวนของปริมาณของร่างกายของการหมุน!

เราใช้สูตร:

ในกรณีนี้.

ปริมาตรของร่างกายการหมุนสามารถคำนวณได้โดยสูตร:

ในสูตรจำเป็นต้องมีส่วนสำคัญ มันจำเป็นมาก - ทุกอย่างที่สปินในชีวิตมีความเกี่ยวข้องกับค่าคงที่นี้

วิธีการจัดให้มีข้อ จำกัด ของการรวม "A" และ "เป็น" ฉันคิดว่ามันง่ายที่จะคาดเดาจากรูปวาดที่ทำ

ฟังก์ชั่น ... ฟังก์ชั่นนี้คืออะไร? ลองดูที่รูปวาด รูปทรงแบน จำกัด อยู่ที่กำหนดการ Parabolys นี่คือฟังก์ชั่นที่มีความหมายในสูตร

ในงานปฏิบัติรูปแบนบางครั้งสามารถอยู่ใต้แกนได้ สิ่งนี้ไม่เปลี่ยนแปลงอะไรเลย - ฟังก์ชั่นรวมในสูตรถูกสร้างขึ้นในสแควร์: ดังนั้น อินทิกรัลมักไม่พอใจเสมอ นั่นเป็นตรรกะมาก

คำนวณขอบเขตการหมุนโดยใช้สูตรนี้:

ในขณะที่ฉันได้รับการระบุไว้แล้วว่าอินทิกรัลนั้นง่ายเกือบตลอดเวลาสิ่งสำคัญคือการเอาใจใส่

ตอบ:

ในการตอบสนองคุณต้องกำหนดมิติ - ลูกบาศก์หน่วย นั่นคือในร่างกายของการหมุนประมาณ 3.35 ลูกบาศก์ " ทำไมมันเป็นลูกบาศก์ หน่วย? เพราะถ้อยคำสากลที่สุด Cubic Centimeters สามารถเป็นลูกบาศก์เมตรอาจมีลูกบาศก์กิโลเมตรเป็นต้นนี่คือจำนวนคนสีเขียวจินตนาการของคุณจะถูกวางไว้ในจานบิน

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหาปริมาตรของร่างกายที่เกิดขึ้นจากการหมุนรอบแกนรูปร่างที่ถูก จำกัด ด้วยเส้น ,,

นี่เป็นตัวอย่างสำหรับโซลูชันที่เป็นอิสระ โซลูชันที่สมบูรณ์และคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน

พิจารณางานที่ซับซ้อนอีกสองงานที่ยังเป็นเรื่องธรรมดาในการปฏิบัติ

ตัวอย่างที่ 3

คำนวณปริมาณของร่างกายที่ได้รับเมื่อหมุนรอบแกน Abscissa ของรูปที่ จำกัด ของเส้นและ

การตัดสินใจ: แสดงรูปทรงแบนในรูปวาดที่ถูก จำกัด โดยเส้น ,,,, ไม่ลืมสมการนั้นเป็นแกน:

ตัวเลขที่ต้องการได้รับการแรเงาเป็นสีน้ำเงิน เมื่อมันหมุนรอบแกนเช่นเบเกิลเซอร์เรียลที่มีสี่มุมจะได้รับ

ปริมาตรของร่างกายของการหมุนคำนวณเป็น ความแตกต่างในโวลุ่ม.

ก่อนอื่นให้พิจารณาตัวเลขซึ่งเป็นวงกลมเป็นสีแดง ด้วยการหมุนรอบแกนกรวยที่ถูกตัดทอนจะได้รับ แสดงถึงปริมาตรของกรวยที่ถูกตัดทอนนี้ผ่าน

พิจารณาตัวเลขที่ล้อมรอบด้วยสีเขียว หากคุณหมุนตัวเลขนี้รอบ ๆ แกนคุณจะได้กรวยที่ถูกตัดทอนเพียงเล็กน้อยเท่านั้น แสดงปริมาณของมันผ่าน

และเห็นได้ชัดว่าความแตกต่างของวอลุ่มเป็นปริมาณของ "Bagel" ของเรา

เราใช้สูตรมาตรฐานสำหรับการค้นหาปริมาตรของร่างกายของการหมุน:

1) รูปที่ล้อมรอบเป็นสีแดงถูก จำกัด จากด้านบนตรงดังนั้น:

2) รูปที่เข้าชมสีเขียวมี จำกัด จากด้านบนตรงดังนั้น:

3) ปริมาตรของร่างกายต้นฉบับของการหมุน:

ตอบ:

เป็นเรื่องแปลกที่ในกรณีนี้สามารถตรวจสอบวิธีการแก้ปัญหาโดยใช้สูตรโรงเรียนเพื่อคำนวณปริมาณของกรวยที่ถูกตัดทอน

การตัดสินใจของตัวเองมักจะจัดเรียงสั้นกว่าโดยประมาณในจิตวิญญาณดังกล่าว:

ตอนนี้พักผ่อนเล็กน้อยและบอกเกี่ยวกับภาพลวงตาทางเรขาคณิต

คนมักจะมีภาพลวงตาที่เกี่ยวข้องกับปริมาณซึ่งสังเกตเห็นโดย Perelman (อีก) ในหนังสือ เรขาคณิตความบันเทิง. ดูที่รูปทรงแบนในงานที่พยายาม - ดูเหมือนว่าจะมีขนาดเล็กในพื้นที่และปริมาณของร่างกายของการหมุนมีน้อยกว่า 50 ลูกบาศก์หน่วยซึ่งดูเหมือนมากเกินไป โดยวิธีการที่คนทั่วไปในชีวิตของเขาดื่มของเหลวที่มีห้องที่มีพื้นที่ 18 ตารางเมตรซึ่งในทางตรงกันข้ามดูเหมือนว่าเล็กเกินไป

โดยทั่วไประบบการศึกษาในสหภาพโซเวียตนั้นดีที่สุด หนังสือเล่มเดียวกันของ Perelman ตีพิมพ์ในปี 1950 พัฒนาได้ดีมากในฐานะนักอารมณ์ขันกล่าวว่ารวมและสอนให้มองหาวิธีแก้ปัญหาที่ไม่ได้มาตรฐานดั้งเดิม เมื่อเร็ว ๆ นี้บางบทอ่านด้วยความสนใจที่ดีแนะนำให้เข้าถึงได้แม้เพื่อมนุษยธรรม ไม่คุณไม่จำเป็นต้องยิ้มให้ฉันเสนองานอดิเรกที่มีผลกระทบการเรียนรู้และการสื่อสารที่หลากหลาย - เป็นสิ่งที่ยอดเยี่ยม

หลังจากการล่าถอยเนื้อเพลงมันเกี่ยวข้องกับการแก้ปัญหาความคิดสร้างสรรค์:

ตัวอย่างที่ 4

คำนวณปริมาณของร่างกายที่เกิดจากการหมุนที่สัมพันธ์กับแกนของรูปทรงแบนที่ จำกัด โดยเส้นที่

นี่เป็นตัวอย่างสำหรับโซลูชันที่เป็นอิสระ โปรดทราบว่าทุกเรื่องเกิดขึ้นในแถบกล่าวอีกนัยหนึ่งขีด จำกัด การรวมเสร็จแล้วจะได้รับจริง วาดกราฟของฟังก์ชั่นตรีโกณมิติอย่างเหมาะสมเตือนวัสดุของบทเรียนเกี่ยวกับ การแปลงแผนภูมิทางเรขาคณิต : หากอาร์กิวเมนต์ถูกแบ่งออกเป็นสอง: จากนั้นกราฟจะถูกยืดออกโดยนำไปวางสองครั้ง ขอแนะนำให้ค้นหาอย่างน้อย 3-4 คะแนน ตามตารางตรีโกณมิติ เพื่อที่จะทำการวาดภาพได้แม่นยำยิ่งขึ้น โซลูชันที่สมบูรณ์และคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน โดยวิธีการที่งานสามารถแก้ไขได้อย่างมีเหตุผลและไม่มีเหตุผลมาก

การใช้อินทิกรัลเพื่อค้นหาปริมาตรของร่างของการหมุน

ยูทิลิตี้การปฏิบัติของคณิตศาสตร์เกิดจากความจริงที่ว่าไม่มี

ความรู้ทางคณิตศาสตร์ที่เฉพาะเจาะจงถูกขัดขวางโดยความเข้าใจเกี่ยวกับหลักการของอุปกรณ์และการใช้เทคโนโลยีที่ทันสมัย แต่ละคนในชีวิตของเขาต้องทำการคำนวณที่ซับซ้อนมากเพื่อใช้เทคนิคทั่วไปเพื่อค้นหาหนังสืออ้างอิงเพื่อใช้สูตรที่จำเป็นเพื่อให้อัลกอริทึมง่าย ๆ สำหรับการแก้ปัญหา ในสังคมสมัยใหม่มีความเชี่ยวชาญมากขึ้นที่ต้องมีการศึกษาระดับสูงที่เกี่ยวข้องกับการใช้คณิตศาสตร์โดยตรง ดังนั้นสำหรับเด็กนักเรียนคณิตศาสตร์กลายเป็นวิชาชีพที่มีความหมาย บทบาทนำเป็นของคณิตศาสตร์ในการก่อตัวของการคิดอัลกอริทึมนำความสามารถในการกระทำตามอัลกอริทึมที่กำหนดและการออกแบบอัลกอริทึมใหม่

การศึกษาหัวข้อของการใช้งานของอินทิกรัลเพื่อคำนวณปริมาณของร่างของการหมุนฉันเสนอนักเรียนที่ชั้นเรียนที่เป็นตัวเลือกเพื่อพิจารณาหัวข้อ: "วอลุ่มของวัตถุการหมุนที่มีการใช้อินทิกรัล" ด้านล่างเราให้คำแนะนำที่มีระเบียบเพื่อพิจารณาหัวข้อนี้:

1. ตำแหน่งรูปร่างแบน

จากหลักสูตรของพีชคณิตเรารู้ว่าแนวคิดของอินทิกรัลบางอย่างนำไปสู่งานจริง ... "กว้าง \u003d" 88 "ความสูง \u003d" 51 "\u003e JPG" กว้าง \u003d "526" ความสูง \u003d "262 SRC \u003d "\u003e

https://pandia.ru/text/77/502/images/image006_95.gif "width \u003d" 127 "สูง \u003d" 25 src \u003d "\u003e

เพื่อค้นหาปริมาตรของร่างกายของการหมุนที่เกิดขึ้นจากการหมุนของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งรอบแกนวัวล้อมรอบด้วยสายขัดจังหวะ y \u003d f (x), แกนวัว, x \u003d a และ x \u003d b คำนวณโดยสูตร

https://pandia.ru/text/77/502/images/image008_26.jpg "width \u003d" 352 "สูง \u003d" 283 src \u003d "\u003e y

3. ปริมาณกระบอกสูบ

https://pandia.ru/text/77/502/images/image011_58.gif "width \u003d" 85 "สูง \u003d" 51 "\u003e .. gif" width \u003d "13" ความสูง \u003d "25"\u003e .. JPG " ความกว้าง \u003d "401" สูง \u003d "355"\u003e กรวยได้รับจากการหมุนรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าสามเหลี่ยม abc (c \u003d 90) รอบแกนวัวที่ลำโพงกำลังโกหก

ตัด av lies บนเส้นตรง y \u003d kx + c, ที่ https://pandia.ru/text/77/502/images/image019_33.gif "width \u003d" 59 "สูง \u003d" 41 SRC \u003d "\u003e

ให้ a \u003d 0, b \u003d h (ความสูงของกรวย) จากนั้น vhttps: //pandia.ru/text/77/502/images/image021_27.gif "width \u003d" 13 "ความสูง \u003d" 23 src \u003d "\u003e .

5. ลงหางกรวยที่ถูกตัดทอน

กรวยที่ถูกตัดทอนสามารถรับได้โดยการหมุนสี่เหลี่ยมคางหมูสี่เหลี่ยมของ AVD (CDOX) รอบแกนวัว

ตัด ab leies บนเส้นตรง y \u003d kx + c ที่ไหน , c \u003d r

เนื่องจากเส้นตรงผ่านจุด A (0; R)

ดังนั้นบรรทัดมีลักษณะของ https://pandia.ru/text/77/502/images/image027_17.gif "width \u003d" 303 "ความสูง \u003d" 291 src \u003d "\u003e

ให้ a \u003d 0, b \u003d h (n- ความสูงของกรวยที่ถูกตัดทอน) จากนั้น https://pandia.ru/text/77/502/images/image030_16.gif "width \u003d" 36 "ความสูง \u003d" 17 src \u003d "\u003e \u003d. .

6. ชาม

ลูกสามารถรับได้โดยการหมุนวงกลมด้วยศูนย์กลาง (0; 0) รอบแกนวัว ครึ่งวงกลมตั้งอยู่เหนือแกนวัวจะได้รับจากสมการ

https://pandia.ru/text/77/502/images/image034_13.gif "width \u003d" 13 "ความสูง \u003d" 16 src \u003d "\u003e x r

นิยาม 3. ร่างกายของการหมุนเป็นร่างกายที่ได้รับจากการหมุนร่างแบนรอบแกนที่ไม่ข้ามร่างและนอนอยู่ในระนาบเดียวกัน

แกนของการหมุนสามารถและข้ามร่างได้ถ้าเป็นแกนของสมมาตรของรูป

ทฤษฎีบท 2.
, แกน
และบาดแผลตรง
และ

หมุนรอบแกน
. จากนั้นปริมาตรของร่างกายการหมุนที่เกิดขึ้นสามารถคำนวณได้โดยสูตร

(2)

หลักฐาน. สำหรับร่างกายดังกล่าวข้ามส่วนกับ abscissa - นี่เป็นวงกลมของรัศมี
ดังนั้น
และสูตร (1) ให้ผลลัพธ์ที่จำเป็น

หากตัวเลขถูก จำกัด ไว้ที่กราฟของสองฟังก์ชั่นต่อเนื่อง
และ
และตัดตรง
และ
ยิ่งไปกว่านั้น
และ
เมื่อหมุนไปรอบ ๆ แกน abscissa เราได้รับร่างกายปริมาณที่

ตัวอย่างที่ 3 คำนวณปริมาณของ Torus ที่ได้จากการหมุนของวงกลมที่ จำกัด โดยวงกลม

รอบแกน abscissa

r วัด. ก้นวงกลมที่ระบุถูก จำกัด ด้วยกราฟ
และจากด้านบน -
. ความแตกต่างของการทำงานของฟังก์ชั่นเหล่านี้:

ปริมาณที่ต้องการ

(กราฟของ Integrand เป็นส่วนบนที่เป็นมิตรกับส่วนบนดังนั้นการเขียนที่สำคัญด้านบนคือพื้นที่ครึ่งวงกลม)

ตัวอย่างที่ 4 กลุ่มพาราโบลา
และสูง หมุนรอบฐาน คำนวณปริมาตรของร่างกายที่เกิดขึ้น ("มะนาว" Cavalieri)

r วัด. พาราโบลาถูกวางตามที่แสดงในรูป จากนั้นสมการของมัน
และ
. ค้นหาค่าของพารามิเตอร์ :
. ดังนั้นปริมาณที่ต้องการ:

ทฤษฎีบท 3. ให้ trapeze curvilinear ถูก จำกัด ด้วยแผนภูมิของฟังก์ชั่นที่ไม่เป็นลบอย่างต่อเนื่อง
, แกน
และบาดแผลตรง
และ
ยิ่งไปกว่านั้น
หมุนรอบแกน
. จากนั้นปริมาณการรับการหมุนของการหมุนสามารถพบได้โดยสูตร

(3)

ความคิดของการพิสูจน์ ตัดขนาดเล็ก
คะแนน

ส่วนและใช้จ่ายโดยตรง
. ราวบันไดทั้งหมดจะสลายตัวในแถบซึ่งถือได้ว่าเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีฐาน
และความสูง
.

ได้รับทรงกระบอกเมื่อหมุนสี่เหลี่ยมดังกล่าวเราจะตัดผ่านการขึ้นรูปและแฉ เราได้รับ "เกือบ" ขนานกับมิติ:
,
และ
. ปริมาณของมัน
. ดังนั้นสำหรับปริมาณของร่างกายของการหมุนเราจะมีความเสมอภาคโดยประมาณ

เพื่อให้ได้ความเท่าเทียมกันที่ถูกต้องคุณต้องไปที่ขีด จำกัด เมื่อ
. จำนวนเงินที่เขียนข้างต้นเป็นจำนวนเงินที่สำคัญสำหรับฟังก์ชั่น
ดังนั้นในวงเงินเราได้รับส่วนสำคัญจากสูตร (3) ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

หมายเหตุ 1. ในทฤษฎีบท 2 และ 3 เงื่อนไข
คุณสามารถละเว้น: สูตร (2) โดยทั่วไปจะไม่ไวต่อสัญญาณ
และในสูตร (3) เพียงพอ
แทนที่ด้วย
.

ตัวอย่างที่ 5 ส่วนพาราโบลา (ฐาน
ความสูง ) ราคารอบความสูง ค้นหาปริมาตรของร่างกายที่เกิดขึ้น

การตัดสินใจ วางพาราโบลาตามที่แสดงในรูป และถึงแม้ว่าแกนของการหมุนจะข้ามร่างมันเป็นแกน - เป็นแกนของสมมาตร ดังนั้นจึงจำเป็นต้องพิจารณาเพียงครึ่งขวาของส่วน สมการ Parabolla
และ
ดังนั้น
. เรามีปริมาณ:

โน้ต 2. หากขอบเขต Curvilinear ของสี่เหลี่ยมคางหมู Curvilinear ถูกกำหนดโดยสมการพารามิเตอร์
,
,
และ
,
คุณสามารถใช้สูตร (2) และ (3) พร้อมการเปลี่ยน บน
และ
บน
เมื่อมีการเปลี่ยนแปลง ต. จาก
ก่อน .

ตัวอย่างที่ 6 รูปถูก จำกัด ไว้ที่ Cycloids โค้งแรก
,
,
และแกน abscissa ค้นหาปริมาตรของร่างกายที่ได้รับจากการหมุนของตัวเลขนี้ประมาณ: 1) แกน
; 2) แกน
.

การตัดสินใจ 1) สูตรทั่วไป
ในกรณีของเรา:

2) สูตรทั่วไป
สำหรับรูปของเรา:

เราเสนอให้นักเรียนดำเนินการคำนวณทั้งหมดอย่างอิสระ

หมายเหตุ 3 ให้ภาค Curvilinear จำกัด อยู่ที่ Neur-Rive
และรังสี
,

หมุนรอบแกนขั้วโลก ปริมาณของร่างกายผลลัพธ์สามารถคำนวณได้โดยสูตร

ตัวอย่างที่ 7 ส่วนหนึ่งของ cardioid รูปร่าง จำกัด
เส้นรอบวง
หมุนรอบแกนขั้วโลก ค้นหาปริมาตรของร่างกายที่ปรากฎ

การตัดสินใจ ทั้งสองบรรทัดและดังนั้นตัวเลขที่พวกเขา จำกัด นั้นสมมาตรที่เกี่ยวข้องกับแกนขั้วโลก ดังนั้นจึงจำเป็นต้องพิจารณาเฉพาะส่วนที่
. เส้นโค้งตัดกัน
และ