ตัวอย่างของการแก้ปัญหาของสมการเชิงอนุพันธ์ที่สองตามวิธี Lagrange สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นของลำดับที่สองระบบโซลูชั่นที่ไม่เป็นทางการแก้ปัญหาสมการลำดับที่สอง

ในทฤษฎีของระบบสมการเชิงเส้นและในเรื่องอื่น ๆ ที่สะดวกในการใช้แนวคิดของการกำหนดหรือปัจจัยกำหนด

พิจารณาตัวเลขสี่ตัวที่บันทึกไว้ในรูปแบบของตารางสี่เหลี่ยม (เมทริกซ์) สำหรับสองบรรทัดและสองคอลัมน์ ตัวกำหนดหรือตัวกำหนดที่ประกอบด้วยตัวเลขของตารางนี้เรียกว่าหมายเลขที่ระบุดังนี้:

ปัจจัยดังกล่าวเรียกว่าตัวกำหนดลำดับที่สองเนื่องจากตารางของสองแถวและสองคอลัมน์ถูกนำมาใช้เพื่อรวบรวม ตัวเลขที่ได้รับการรวบรวมจะเรียกว่าองค์ประกอบของมันในขณะที่มีการกล่าวว่าองค์ประกอบเป็นเส้นทแยงมุมหลักของตัวกำหนดและองค์ประกอบคือแนวทแยงมุมด้านข้าง มันสามารถเห็นได้ว่าตัวกำหนดเท่ากับความแตกต่างในผลงานขององค์ประกอบที่ยืนอยู่บนเส้นทแยงมุมหลักและด้านข้าง

ตัวอย่างที่ 1 คำนวณปัจจัยการสั่งซื้อที่สองต่อไปนี้:

การตัดสินใจก) ตามคำจำกัดความที่เรามี

ด้วยความช่วยเหลือของปัจจัยความเสมอภาคสามารถมีความเท่าเทียมกัน (66.6), (66.7) และ (66.8) เขียนใหม่เปลี่ยนชิ้นส่วนของพวกเขาดังนั้น:

โปรดทราบว่าปัจจัยการควบคุมนั้นรวบรวมได้อย่างง่ายดายโดยค่าสัมประสิทธิ์ระบบ (66.2)

อันที่จริงตัวกำหนดประกอบด้วยสัมประสิทธิ์ที่ไม่รู้จักในระบบนี้ มันเรียกว่าปัจจัยหลักของระบบ (66.2) เราเรียกด่านที่ไม่รู้จัก X และ Y ตามลำดับ เป็นไปได้ที่จะกำหนดกฎการรวบรวมต่อไปนี้: ตัวกำหนดสำหรับแต่ละสิ่งที่ไม่ทราบจะได้รับจากปัจจัยหลักหากคอลัมน์สัมประสิทธิ์ในที่ไม่รู้จักนี้จะถูกแทนที่ด้วยคอลัมน์ของสมาชิกฟรี (นำมาจากส่วนที่ถูกต้องของ สมการระบบ)

ตัวอย่างที่ 2 ระบบ (66.12) เพื่อแก้ไขด้วยความช่วยเหลือของปัจจัยกำหนด

การตัดสินใจ เรารวบรวมและคำนวณปัจจัยหลักของระบบนี้:

ตอนนี้มันถูกแทนที่ด้วยคอลัมน์ของสัมประสิทธิ์ที่ x (คอลัมน์แรก) กับสมาชิกฟรี เราได้รับการกำหนดสำหรับ x:

ในทำนองเดียวกันเราพบ

จากที่นี่โดยสูตร (66.11) เราได้รับ

เรามาถึงทางออกที่รู้จักกันแล้ว (1, -1)

ตอนนี้เราทำการศึกษาระบบสมการเชิงเส้น (66.2) ในการทำเช่นนี้เราจะกลับไปที่ความเสมอภาค (66.9) และ (66.10) และเราจะแยกแยะความแตกต่างระหว่างสองกรณี:

ปล่อยให้เป็นไปตามที่ระบุไว้แล้วสูตร (66.11) ให้ทางออกเดียวของระบบ (66.2) ดังนั้นหากปัจจัยหลักของระบบเป็นศูนย์ระบบมีโซลูชันเดียวที่กำหนดโดยสูตร (66.11); ระบบดังกล่าวเรียกว่าแน่นอน

2) ปล่อยให้ตอนนี้ ขึ้นอยู่กับค่าที่เราจะแยกแยะระหว่างสองกรณี

a) อย่างน้อยหนึ่งปัจจัยที่แตกต่างจากศูนย์; จากนั้นระบบ (66.2) ไม่มีทางออก อันที่จริงแล้วปล่อยตัวอย่างเช่น ความเท่าเทียมกัน (66.9) ไม่สามารถพอใจกับค่าใด ๆ เนื่องจากความเสมอภาคนี้ได้รับเป็นผลมาจากระบบ (66.2) ระบบไม่มีวิธีแก้ปัญหา ระบบดังกล่าวเรียกว่าไม่สมบูรณ์

b) ปัจจัยทั้งสองเป็นศูนย์; ความเท่าเทียมกัน (66.9) และ (66.10) มีความพึงพอใจเหมือนกันและการศึกษาระบบ (66.2) ไม่ได้ใช้

เราพิสูจน์ว่าหากอย่างน้อยหนึ่งของสัมประสิทธิ์ที่ระบบที่ไม่รู้จักในระบบ (66.2) แตกต่างจากศูนย์ระบบมีชุดโซลูชั่นที่ไม่มีที่สิ้นสุด เพื่อให้แน่ใจว่าสมมุติว่ายกตัวอย่างเช่น จากความสัมพันธ์

และจากการบันทึกสมการที่สองของระบบ (66.2), แทนที่การแสดงออกของสัมประสิทธิ์

เราพบว่ามันแตกต่างจากสมการแรกเพียงตัวคูณที่เป็นอยู่ตรงกับมัน (เทียบเท่ากับเขา) ระบบ (66.2) จะลดลงเป็นหนึ่งเดียวโดยสมการแรกและกำหนดโซลูชันที่นับไม่ถ้วน (ระบบดังกล่าวเรียกว่าไม่แน่นอน) เป็นไปได้ในหลักการเช่นกรณีที่รุนแรงเช่นความเท่าเทียมกันเป็นศูนย์ของค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดที่ไม่ทราบ (สามารถพบกันในการศึกษาระบบที่มีค่าสัมประสิทธิ์ตัวอักษร) ระบบดังกล่าว

ปัจจัยกำหนดทั้งหมดเป็นศูนย์: อย่างไรก็ตามมันไม่สมบูรณ์เมื่อหรือ

เราจะสรุปการศึกษาระบบสมการเชิงเส้น (66.2) ระบบดังกล่าวมีสามประเภท:

1) หากระบบถูกกำหนดมีทางออกเดียว (66.11)

2) ถ้า แต่ระบบมีความเข้าใจไม่ได้วิธีแก้ปัญหาไม่มี

3) หากมีค่าสัมประสิทธิ์อย่างน้อยหนึ่งที่ไม่ทราบว่าเป็นศูนย์) ระบบจะไม่มีกำหนดชุดโซลูชั่นที่ไม่มีที่สิ้นสุด (ลดสมการหนึ่ง)

ความเท่าเทียมกันเป็นศูนย์กำหนด

หมายถึงสัดส่วนขององค์ประกอบในสาย (และหลัง):

ด้วยเหตุนี้สัญญาณที่แยกความแตกต่างของระบบเชิงเส้นของประเภทที่แตกต่างกัน (กำหนดไว้ไม่ จำกัด ไม่สมบูรณ์) สามารถกำหนดได้ในแง่ของสัดส่วนระหว่างค่าสัมประสิทธิ์ระบบ (โดยไม่ต้องดึงดูดปัจจัย)

เงื่อนไขจะถูกแทนที่ดังนั้นความต้องการของสัดส่วน (ไม่เป็นสัดส่วน) ของสัมประสิทธิ์ที่ไม่ทราบ:

ในกรณีที่ค่าสัมประสิทธิ์ไม่เพียง แต่เป็นสัดส่วนที่ไม่รู้จัก แต่ยังสมาชิกฟรี:

(สัดส่วนเหล่านี้ได้รับตัวอย่างเช่นจาก (67.6)) ตัวอย่างเช่นถ้าก่อนหน้านี้จาก (66.6) เราเห็นว่า - สมาชิกฟรีไม่ได้สัดส่วนกับสัมประสิทธิ์ที่ไม่รู้จัก ดังนั้น:

1) หากค่าสัมประสิทธิ์ไม่เป็นสัดส่วนที่ไม่รู้จัก:

ระบบนั้นถูกกำหนด

2) หากค่าสัมประสิทธิ์เป็นสัดส่วนกับที่ไม่รู้จักและสมาชิกฟรีไม่ได้สัดส่วนกับพวกเขา:

ระบบนั้นไม่สมบูรณ์

3) หากค่าสัมประสิทธิ์เป็นสัดส่วนกับสมาชิกที่ไม่รู้จักและฟรี:

ระบบนั้นไม่แน่นอน

การศึกษาระบบสมการเชิงเส้นกับสองที่ไม่รู้จักอนุญาตการตีความทางเรขาคณิตที่เรียบง่าย สมการเชิงเส้นใด ๆ ของแบบฟอร์ม (38.4) กำหนดเส้นตรงบนระนาบพิกัด สมการระบบ (66.2) สามารถตีความเป็นสมการของสองโดยตรงบนเครื่องบินและงานในการแก้ปัญหาระบบเป็นงานในการค้นหาจุดตัดของสิ่งเหล่านี้โดยตรง

เป็นที่ชัดเจนว่าเป็นไปได้สามกรณี: 1) ข้อมูลเป็นสองเส้นตรงตัดกัน (รูปที่ 61, A); กรณีนี้สอดคล้องกับระบบเฉพาะ 2) ข้อมูลเป็นสองขนานกันตรง (รูปที่ 61, b); กรณีนี้สอดคล้องกับระบบที่ไม่สมบูรณ์

3) ข้อมูลโดยตรงตรง (รูปที่ 61, c); กรณีนี้ตรงกับระบบที่ไม่แน่นอน: แต่ละจุด "สองครั้งที่ระบุ" โดยตรงจะแก้ปัญหาระบบ

ตัวอย่างที่ 3 สำรวจระบบเชิงเส้น:

การตัดสินใจ A) แต่งหน้าและคำนวณปัจจัยหลักของระบบนี้

นิยาม ปัจจัยการสั่งซื้อที่สอง

(*)

; ;

ในทางทฤษฎีสามกรณีต่อไปนี้เป็นไปได้

1. ถ้าจากนั้นระบบ (*) มีโซลูชันเดียวที่สามารถพบได้ตามสูตรซึ่งเรียกว่าสูตรตีนตะขาบ:.

2. ถ้าและ (จากนั้น) ระบบ (*) ไม่มีทางออก

3. ถ้าและ (จากนั้น) ระบบ (*) มีชุดโซลูชั่นที่ไม่มีที่สิ้นสุด (คือการแก้ปัญหาแต่ละอย่างของสมการหนึ่งระบบคือการแก้สมการอื่น)

แสดงความคิดเห็น. ตัวกำหนดเรียกว่าตัวกำหนดหลักของระบบ (*) ระบบสามารถแก้ไขได้ตามสูตร Crimera ภายใต้เงื่อนไขเท่านั้น มิฉะนั้นคุณต้องใช้วิธีการอื่นเช่นวิธีเกาส์

ปัจจัยการสั่งซื้อที่สาม การแก้ปัญหาของระบบสามสมการเชิงเส้นที่มีสามตัวแปรตามสูตรแครมเมอร์

นิยาม ตัวกำหนดลำดับที่สาม หมายเลขถูกเรียกและคำนวณดังต่อไปนี้:

ให้ระบบสมการของประเภทได้รับ (*)

เราแนะนำปัจจัยการพิจารณาต่อไปนี้เพื่อพิจารณา:

- ปัจจัยหลักของระบบ (*);

; ; .

เมื่อแก้ปัญหาระบบกรณีต่อไปนี้เป็นไปได้

1. ถ้าระบบ (*) มีโซลูชันเดียวที่สามารถพบได้โดยสูตรซึ่งเรียกว่าสูตร Craver: .

2. ถ้าเป็นไปไม่ได้ที่จะแก้ปัญหาระบบ (1) โดยวิธีการแคลเคอร์

หมายเหตุ 1. ในกรณีของระบบอาจไม่มีโซลูชันหรือมีโซลูชันที่ไม่มีที่สิ้นสุด สำหรับการศึกษาที่มีรายละเอียดมากขึ้นและค้นหาระบบโซลูชันทั่วไปคุณสามารถใช้เช่นวิธี Gauss

การแก้ปัญหาของระบบสามสมการเชิงเส้นที่มีสามตัวแปร

โดยเกาส์

สาระสำคัญของวิธี Gauss จะพิจารณาในตัวอย่างเฉพาะ

ตัวอย่าง. แก้ไขระบบของสมการ: (*)

ย้ายโดยตรง ระบบนี้แสดงต่อสายพันธุ์สามเหลี่ยมในวิธีการเพิ่มเติมเกี่ยวกับพีชคณิต

ในขั้นตอนแรกเรายกเว้นจากสมการที่สองและสามของระบบที่มีตัวแปร มันจะดีกว่าที่จะใช้ในทั้งสองกรณีสมการเดียวกัน (เราจะใช้เวลาก่อน)

เราได้รับ:

สมการแรกของระบบจะเขียนใหม่ไม่เปลี่ยนแปลงและสมการที่สองและสามจะถูกแทนที่ด้วยสมการที่ได้รับ

ระบบจะใช้แบบฟอร์ม:

ในขั้นตอนที่สองคำที่มีตัวแปรกำจัดจากสมการที่สาม เราใช้สมการที่สองสำหรับสิ่งนี้

ทั้งสองสมการแรกของระบบจะถูกนำไปใช้ไม่เปลี่ยนแปลงและสมการที่สามจะถูกแทนที่ด้วยสมการที่เกิดขึ้น

เราได้รับระบบประเภทสามเหลี่ยม:

กลับ. เราพบว่าไม่รู้จักอย่างต่อเนื่องเริ่มต้นจากสมการที่สาม

จากสมการที่สามของระบบเราพบค่าของตัวแปร: .

ทดแทนค่าในสมการที่สองของระบบเราจะได้รับค่าของตัวแปร: .

การแทนที่ค่าที่พบและในสมการแรกของระบบเราจะได้รับค่าของตัวแปร: .

ตอบ: .

22. การแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมเชิงเส้น

	ตัวอย่าง
1. ถ้าแล้ว
2. ถ้าแล้ว
3. ถ้าแล้ว
4. ถ้าจากนั้นความไม่เท่าเทียมจะไม่มีทางออก	ความไม่เท่าเทียมและไม่มีวิธีแก้ปัญหา

23. ความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้น

เมื่อแก้ความไม่เท่าเทียมกันกรณีต่อไปนี้เป็นไปได้:	ตัวอย่าง
1. ถ้าแล้ว
2. ถ้าแล้ว
3. ถ้า, ความไม่เท่าเทียมนี้ไม่มีโซลูชั่น	ความไม่เท่าเทียมกันไม่ได้แก้ปัญหา
4. ถ้าแล้ว

24. การแก้ปัญหาของความไม่เท่าเทียมเชิงเส้นด้วยตัวแปรหนึ่งตัว

ระบบความไม่เท่าเทียม - เหล่านี้มีความไม่เท่ากันสองอย่างหรือมากกว่านั้นที่ค้นหาโซลูชันทั่วไป

โดยการแก้ระบบความไม่เท่าเทียมกัน มันเรียกว่าโซลูชันทั่วไปของความไม่เท่าเทียมทั้งหมดในระบบ

กรณีที่เป็นไปได้ในทางทฤษฎีแม้สำหรับระบบของสองความไม่เท่าเทียมกันเป็นอย่างมากดังนั้นให้พิจารณากรณีหลักสำหรับระบบของความไม่เท่าเทียมกันที่เรียบง่ายสองอย่าง

ตัวอย่างที่ 1. แก้ปัญหาระบบของความไม่เท่าเทียม:

ตอบ: .

ตัวอย่างที่ 2. แก้ปัญหาระบบของความไม่เท่าเทียม:

ฉันจะแสดงให้เห็นถึงการแก้ปัญหาของความไม่เท่าเทียมกันกราฟิก

ตอบ: .

ตัวอย่างที่ 3. แก้ปัญหาระบบของความไม่เท่าเทียม:

ฉันจะแสดงให้เห็นถึงการแก้ปัญหาของความไม่เท่าเทียมกันกราฟิก

ตอบ: .

ตัวอย่างที่ 4แก้ปัญหาระบบของความไม่เท่าเทียม:

ฉันจะแสดงให้เห็นถึงการแก้ปัญหาของความไม่เท่าเทียมกันกราฟิก

ตอบ: ระบบไม่มีวิธีแก้ปัญหา

25. การตัดสินใจของสมการตารางที่ไม่สมบูรณ์

สมการสแควร์ เรียกว่าสมการมุมมอง .

สมการสแควร์เรียกว่า ไม่สมบูรณ์หากอย่างน้อยหนึ่งสัมประสิทธิ์หรือเป็นศูนย์

สมการที่ไม่สมบูรณ์แต่ละอันสามารถแก้ไขได้โดยสูตรทั่วไป แต่มันสะดวกกว่าที่จะใช้วิธีการส่วนตัว

กรณีที่ 1.

ส่วนที่เหลือสามารถย่อยสลายได้ในปัจจัย:. เป็นที่ทราบกันว่าการทำงานเป็นศูนย์ถ้าหากอย่างน้อยหนึ่งในตัวคูณนั้นเป็นศูนย์ เราได้รับ: หรือที่ไหนเนื่องจากเงื่อนไขมันตามมา

เอาท์พุท:สมการมีสองรากที่ถูกต้องเสมอ

ตัวอย่างที่ 1 แก้สมการ

การตัดสินใจ: หรือ , .

กรณีที่ 2. หากสมการใช้มุมมอง

จากนั้น ตั้งแต่นั้นมา

หากสมการนี้ไม่มีรากที่ถูกต้อง (เป็น)

หากสมการมีรากสองอันที่ถูกต้อง

ตัวอย่างที่ 2 แก้สมการ

การตัดสินใจ. เนื่องจากสมการนี้ไม่มีรากที่ถูกต้อง

ตัวอย่างที่ 3 แก้สมการ

การตัดสินใจ: .

กรณีที่ 3. หากสมการใช้รูปแบบ

ตั้งแต่นั้นมาหรือดังนั้นสมการจึงมี สองเท่ากัน ราก.

ตัวอย่างที่ 4 แก้สมการ

การตัดสินใจ: .

26. การแก้ปัญหาของสมการสแควร์ที่ลดลง

สมการสแควร์ที่ระบุเรียกว่าสมการสแควร์ ค่าสัมประสิทธิ์อาวุโส

เพื่อค้นหารากของเขาเน้นสี่เหลี่ยมเต็มรูปแบบด้วยตัวแปร เอ็กซ์. เราได้รับ:

.

จำนวนเรียกว่าการจำแนกของสมการสแควร์ที่กำหนด จำนวนรากฐานที่ถูกต้องของสมการขึ้นอยู่กับเครื่องหมายแยกแยะ

หากสมการไม่มีรากที่ถูกต้องตั้งแต่

ถ้าแล้ว , , นั่นคือสมการมีสองรากที่ถูกต้อง และ .

ความคิดเห็น. สูตร สะดวกในการใช้งานโดยเฉพาะหากค่าสัมประสิทธิ์ P เป็นจำนวนคู่

ตัวอย่าง. แก้สมการ .

การตัดสินใจตั้งแต่นั้นมา .

จากนั้น , .

ตอบ: , .

27. สูตร Vieta สำหรับสมการตารางที่กำหนด

ให้สองรากที่ถูกต้องและ .

จากนั้น ,

ดังนั้นทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์ซึ่งเรียกว่าทฤษฎีบทเวียกา

ทฤษฎีบท. หากรากของสมการตารางที่กำหนด จากนั้นความเท่าเทียมกันก็เป็นเพียง

ความเสมอภาคเหล่านี้เรียกว่าสูตร Vieta

ความคิดเห็น. สูตร Vieta นั้นถูกต้องและถ้าสมการ มันมีรากรวมผัน

ตัวอย่าง. ในย่อหน้าก่อนหน้าแสดงให้เห็นว่าสมการ มันมีราก จากนั้น

ตั้งแต่นั้นมา , .

28. สารละลายของสมการสแควร์

เนื่องจากการกำหนดสมการสแควร์จึงสามารถแบ่งออกเป็นแอ็คชั่นของสมการได้ เราได้รับสมการตารางที่กำหนด , ซึ่งใน , . จากนั้นสูตรของเขาสามารถพบได้โดยสูตร . เราได้รับ:

จำนวนเรียกว่าการจำแนกของสมการตาราง (และการจำแนกของตารางสาม Decar) Discriminant แสดงให้เห็นว่ารากที่ถูกต้องมีจำนวนมากมีสมการนี้

ถ้าแล้วสมการ มันมี สองไม่เท่าที่ไม่เท่ากัน ราก และ ().

ถ้าแล้วสมการ มันมี สองที่มีค่าใช้จ่ายเท่ากัน ราก.

ถ้าแล้วสมการ ไม่มี รากที่ถูกต้อง

ความคิดเห็น. ในกรณีนี้สมการมีรากคอนจูเกตที่ซับซ้อนสอง

และ .

ตัวอย่างที่ 1 แก้สมการ .

การตัดสินใจ ตั้งแต่นั้นมา (จากนั้น) แล้ว

ตั้งแต่นั้นมา .

จากนั้น , .

คำตอบ:,.

ตัวอย่างที่ 2 แก้สมการ .

การตัดสินใจ ตั้งแต่นั้นมาจากนั้น

เนื่องจากสมการนี้ไม่มีรากที่ถูกต้อง

29. สารละลายของความไม่เท่าเทียมกันของตาราง

, , ,

ด้วยการจำแนกเชิงบวก

จัดตั้งระบบความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นสองอัน

Discriminant of Square Three Decar เป็นตัวเลข

รากของสแควร์สามพระราชกฤษฎีกาเรียกว่ารากฐานของสมการ .

และ ยิ่งกว่านั้นมันหมายถึง)

จากนั้นก็สามารถย่อยสลายได้บนตัวคูณเชิงเส้น:.

เนื่องจากเป็นไปได้ที่จะหารบนทั้งสองส่วนของความไม่เท่าเทียมกันแต่ละส่วนภายใต้การพิจารณา (ถ้าเป็นสัญญาณของความไม่เท่าเทียมกัน (นั่นคือเครื่องหมาย\u003e หรือ<) сохранится, если , то знак неравенства поменяется на противоположный). В результате получится неравенство одного из видов: , , , . พิจารณาการแก้ปัญหาของความไม่เท่าเทียมนี้

1) การทำงานของสองปัจจัยมีความเป็นบวกหากทั้งตัวคูณเป็นบวกหรือทั้งตัวคูณเชิงลบดังนั้น เพื่อ.

การแก้ปัญหาของทั้งสองระบบคือการตัดสินใจของความไม่เท่าเทียมกันของตารางนี้

เช่น , ดังนั้น)

ตั้งแต่นั้นมา (จากนั้น)

ตอบ: ความไม่เท่าเทียมกัน

มันมีวิธีการแก้ปัญหามากมายที่สามารถเขียนเป็นหรือหรือในรูปแบบ

3) ผลิตภัณฑ์ของสองปัจจัยเป็นลบหากหนึ่งในตัวคูณเป็นบวกและอื่น ๆ เป็นลบ ดังนั้น เพื่อ.

ตั้งแต่นั้นมา

ระบบความไม่เท่าเทียมนี้ไม่มีวิธีแก้ปัญหาเนื่องจากหมายเลข X ไม่สามารถใช้งานได้น้อยกว่าสองหมายเลขและมากกว่านั้น

ตอบ: ความไม่เท่าเทียมกัน

2) ในทำนองเดียวกันเราได้รับความไม่เท่าเทียมนั้น มีหลายวิธีที่สามารถเขียนในแบบฟอร์มหรือในรูปแบบ

ตัวอย่าง. แก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน .

การตัดสินใจ ค้นหารากของ Square Three Decrections นั่นคือรากฐานของสมการ : ,

, .

การคัดสรรส่วนซ้ายของความไม่เท่าเทียมนี้โดยสูตรเราได้รับความไม่เท่าเทียมกัน .

ตั้งแต่โดยการหารทั้งสองส่วนของความไม่เท่าเทียมกันครั้งสุดท้าย 3 เราได้รับความไม่เท่าเทียมกันเทียบเท่า .

การทำงานของสองปัจจัยเป็นลบหากตัวคูณหนึ่งเป็นบวกและอื่น ๆ เป็นลบ ดังนั้นการแก้ปัญหาของความไม่เท่าเทียมกันครั้งสุดท้ายคือการแก้ปัญหาของแต่ละระบบความไม่เท่าเทียมกันหากหรือ จากนั้นหรือ

โซลูชันแบบกราฟิกของระบบจะถูกนำเสนอในตัวเลข (สำหรับการวาดระบบแรกทางด้านซ้ายสำหรับขวาที่สอง) มันสามารถเห็นได้ว่าระบบโซลูชันที่สองไม่มีดังนั้นโซลูชั่นเฉพาะของระบบแรกคือการแก้ปัญหาในความไม่เท่าเทียมนี้

ตอบ:

30. การแก้ปัญหาของความไม่เท่าเทียมกันของตาราง

, , ,

ใช้กราฟของฟังก์ชั่นกำลังสอง

ความคิดเห็น.เราสามารถสมมติว่าในความไม่เท่าเทียมเหล่านี้ทั้งหมด มิฉะนั้นการคูณทั้งสองส่วนของความไม่เท่าเทียมกันและการเปลี่ยนสัญญาณของความไม่เท่าเทียมกับสิ่งที่ตรงกันข้ามเราได้รับความไม่เท่าเทียมกันของหนึ่งในสี่สปีชีส์ที่ระบุเทียบเท่ากับสิ่งนี้

จากนั้นกราฟของฟังก์ชั่น จะมีพาราโบลาซึ่งมีสาขาที่กำกับ ที่ตั้งของพาราโบลานี้สัมพันธ์กับ Abscissa Axis ขึ้นอยู่กับสัญลักษณ์ของสแควร์สแควร์ที่แยกจากกันสาม 3 กรณีเป็นไปได้

รูปที่. 1 รูป 2 รูป 3.

กรณีที่ 1. ถ้าสแควร์สามลดลงมีสองรากที่ถูกต้อง และ และ . จากนั้นพาราโบลาข้ามแกน abscissa ที่จุดที่มีแผลและ สำหรับความไม่เท่าเทียมที่เข้มงวด และ ตัวเลขและมีการอธิบายในวงกลมที่ไม่ได้รับ (เช่นในรูปที่ 1) สำหรับความไม่เท่าเทียมที่ไม่แน่นอน และ ตัวเลขและมีการวาดภาพด้วยแวดวงทาสี ในกรณีนี้: และไม่มีรากที่ถูกต้อง จากนั้นพาราโบลาไม่ใช่ประเด็นทั่วไปด้วยแกน abscissa (ดูรูปที่ 3) ในกรณีนี้: X ทำลายแกนของ Abscissa โดย 3 ช่วงเวลา (ดูรูปที่ 1) และ

สมการเชิงอนุพันธ์เชิงอนุพันธ์เชิงเส้น

มีการดูสมการเชิงอนุพันธ์ที่สอง

นิยาม โซลูชันทั่วไปของสมการลำดับที่สองเป็นฟังก์ชั่นดังกล่าวสำหรับค่าใด ๆ และเป็นวิธีการแก้ปัญหาของสมการนี้

นิยาม สมการเชิงเส้นที่เป็นเนื้อเดียวกันของลำดับที่สองเรียกว่าสมการ หากสัมประสิทธิ์และค่าคงที่ I.e. มันไม่ได้ขึ้นอยู่กับสมการนี้เรียกว่าสมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์อย่างต่อเนื่องและเขียนแบบนี้:.

สมการจะเรียกสมการเชิงเส้นที่เป็นเชิงเส้น

นิยามสมการที่ได้รับจากสมการเชิงเส้นที่เป็นเนื้อเดียวกันโดยการแทนที่ฟังก์ชั่นโดยหนึ่งและองศาที่สอดคล้องกันเรียกว่าสมการลักษณะ

เป็นที่ทราบกันดีว่าสมการสแควร์มีวิธีแก้ปัญหาขึ้นอยู่กับการแยกแยะ:, I. ถ้าจากนั้นรากและ - หมายเลขต่างกันที่ถูกต้อง ถ้าแล้ว ถ้า, i.e. มันจะเป็นหมายเลขจินตภาพและรากและ - ตัวเลขที่ซับซ้อน ในกรณีนี้เราตกลงที่จะแสดงความหมาย

ตัวอย่างที่ 4แก้สมการ

การตัดสินใจ การจำแนกของสมการสแควร์นี้

เราแสดงเช่นเดียวกับในลักษณะของรากของสมการลักษณะเพื่อค้นหาสารละลายทั่วไปของสมการเชิงเส้นที่เป็นเนื้อเดียวกันของการสั่งซื้อครั้งที่สอง

ถ้า - รากที่ถูกต้องของสมการลักษณะนั้น

หากรากฐานของสมการลักษณะเหมือนกันฉัน โซลูชันทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์ถูกค้นหาโดยสูตรหรือ

หากสมการลักษณะมีรากรวมแล้ว

ตัวอย่างที่ 5 ค้นหาโซลูชันทั่วไปของสมการ

การตัดสินใจเราประกอบด้วยสมการลักษณะเฉพาะสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์นี้:. รากของเขานั้นถูกต้องและแตกต่างกัน ดังนั้นโซลูชันทั่วไป

ระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้น ทฤษฎีเกี่ยวกับโครงสร้างของการแก้ปัญหาโดยรวมของการแก้ปัญหาของสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นที่เป็นเนื้อเดียวกัน ในส่วนนี้เราจะพิสูจน์ว่าพื้นฐานของพื้นที่เชิงเส้นของโซลูชั่นส่วนตัวของสมการที่เป็นเนื้อเดียวกันสามารถเป็นชุดใด ๆ ของ น. โซลูชั่นอิสระเชิงเส้นของเขา
. 14.5.5.1 โซลูชั่นระบบพื้นฐาน. โซลูชั่นระบบพื้นฐาน สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นเชิงเส้น น. - สั่งซื้อที่เรียกว่าระบบอิสระเป็นเชิงเส้นใด ๆ y. 1 (เอ็กซ์ ), y. 2 (เอ็กซ์ ), …, y n (เอ็กซ์ ) ของเขา น. โซลูชั่นส่วนตัว
ทฤษฎีบท 14.5.5.1.1.1.1 บนโครงสร้างของการแก้ปัญหาทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นเชิงเส้น. การตัดสินใจร่วมกัน y. (เอ็กซ์ ) สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นเชิงเส้นเป็นส่วนผสมของฟังก์ชั่นเชิงเส้นจากระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาของสมการนี้:
y. (เอ็กซ์ ) = ค. 1 y. 1 (เอ็กซ์ ) + ค. 2 Y. 2 (เอ็กซ์ ) + …+ c n y n (เอ็กซ์ ).
ท่าเรือ. อนุญาต y. 1 (เอ็กซ์ ), y. 2 (เอ็กซ์ ), …, y n (เอ็กซ์ ) - ระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาของสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นที่เป็นเนื้อเดียวกัน จำเป็นต้องพิสูจน์ว่าการตัดสินใจใด ๆ y. cho ( เอ็กซ์ ) สมการนี้มีอยู่ในสูตร y. (เอ็กซ์ ) = ค. 1 y. 1 (เอ็กซ์ ) + ค. 2 Y. 2 (เอ็กซ์ ) + …+ c n y n (เอ็กซ์ ) กับชุดถาวรบางชุด ค. 1 , ค. 2 , …, c n . รับจุดใด ๆ ให้คำนวณตัวเลข ณ จุดนี้และค้นหาค่าคงที่ ค. 1 , ค. 2 , …, c n เป็นวิธีการแก้ปัญหาของระบบที่เป็นเชิงเส้นของสมการพีชคณิต
การแก้ปัญหาดังกล่าวมีอยู่จริงและเพียงอย่างเดียวเนื่องจากปัจจัยที่กำหนดของระบบนี้เท่ากัน พิจารณาการรวมกันเชิงเส้น y. (เอ็กซ์ ) = ค. 1 y. 1 (เอ็กซ์ ) + ค. 2 Y. 2 (เอ็กซ์ ) + …+ c n y n (เอ็กซ์ ) ฟังก์ชั่นจากระบบโซลูชันพื้นฐานที่มีค่าคงที่เหล่านี้ ค. 1 , ค. 2 , …, c n และเปรียบเทียบกับฟังก์ชั่น y. cho ( เอ็กซ์ . ฟังก์ชั่น y. (เอ็กซ์ ) ผม. y. cho ( เอ็กซ์ ) ตอบสนองสมการหนึ่งและเงื่อนไขเริ่มต้นเดียวกัน ณ จุด เอ็กซ์ 0 ดังนั้นโดยความเป็นเอกลักษณ์ของการแก้ปัญหาของ Cauchy พวกเขาก็สอดคล้องกัน: y. cho ( เอ็กซ์ ) = ค. 1 y. 1 (เอ็กซ์ ) + ค. 2 Y. 2 (เอ็กซ์ ) + … + c n y n (เอ็กซ์ . ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว
จากทฤษฎีนี้มันเป็นไปตามมิติของพื้นที่เชิงเส้นของโซลูชั่นส่วนตัวของสมการที่เป็นเนื้อเดียวกันกับค่าสัมประสิทธิ์อย่างต่อเนื่องไม่เกิน น. . มันยังคงพิสูจน์ได้ว่ามิตินี้ไม่น้อย น. .
ทฤษฎีบท 14.5.5.1.2 การดำรงอยู่ของระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้น สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นที่เป็นเนื้อเดียวกันใด ๆ น. - การสั่งซื้อที่มีค่าสัมประสิทธิ์อย่างต่อเนื่องมีระบบโซลูชั่นพื้นฐาน I. ระบบคือ น. โซลูชันอิสระล้วน
ท่าเรือ. ใช้ตัวกำหนดตัวเลขใด ๆ น. - สั่งไม่เท่ากับศูนย์

ให้ตารางสี่เหลี่ยมสี่ตัวเลข A 1, A 2, B 1, B 2:

หมายเลข A 1 B 2 - 2 B 1 เรียกว่าตัวกำหนดลำดับที่สองที่สอดคล้องกับตาราง (1) ที่ชัดเจนนี้ถูกระบุด้วยสัญลักษณ์ตามลำดับเรามี:

ตัวเลข 1, 2, B 1, B 2 เรียกว่าองค์ประกอบของปัจจัย มีการกล่าวว่าองค์ประกอบ A 1, B 2 อยู่ที่เส้นทแยงมุมหลักของตัวกำหนดและ 2, B 1 - ด้านข้าง ดังนั้นปัจจัยการสั่งซื้อที่สองจึงเท่ากับความแตกต่างระหว่างผลงานขององค์ประกอบที่อยู่บนเส้นทแยงมุมหลักและด้านข้าง ตัวอย่างเช่น,

พิจารณาระบบของสมการสองสมการ

ด้วยสองไม่ทราบ x, y (สัมประสิทธิ์ 1, B 1, 2, B 2 และสมาชิกฟรีของ HXI H2 สมมติ) เราแนะนำสัญกรณ์

ตัวกำหนดδรวบรวมจากค่าสัมประสิทธิ์ที่ระบบที่ไม่รู้จัก (3) เรียกว่าตัวกำหนดของระบบนี้ ตัวกำหนดδ x ได้รับจากการแทนที่องค์ประกอบของคอลัมน์แรกของตัวกำหนดδโดยสมาชิกฟรีของระบบ (3); ตัวกำหนดδ y ได้รับจากตัวกำหนดδโดยแทนที่องค์ประกอบของคอลัมน์ที่สองกับสมาชิกฟรีของระบบ (3)

ถ้าδδ 0 จากนั้นระบบ (3) มีทางออกเดียว มันถูกกำหนดโดยสูตร

x \u003d δ x / δ, y \u003d δ y / δ (5)

ถ้าδ \u003d 0 และในเวลาเดียวกันอย่างน้อยหนึ่งในตัวกำหนดδ x, δ y แตกต่างจากศูนย์จากนั้นระบบ (3) ไม่มีวิธีแก้ปัญหาเลย (ตามที่พวกเขาพูดสมการของระบบนี้เข้ากันไม่ได้ .

ถ้าδ \u003d 0 แต่ยังδ x \u003d δ y \u003d 0 จากนั้นระบบ (3) มีการแก้ปัญหามากมาย (ในกรณีนี้หนึ่งในสมการของระบบเป็นผลมาจากอีกอันหนึ่ง)

ปล่อยให้ในสมการของระบบ (3) h 1 \u003d h 2 \u003d 0; จากนั้นระบบ (3) จะดู:

a 1 x + b 1 y \u003d 0, a 2 x + b 2 y \u003d 0. (6)

ระบบสมการของแบบฟอร์ม (6) เรียกว่าเป็นเนื้อเดียวกัน มันมีการแก้ปัญหาเป็นศูนย์: x \u003d 0, y \u003d 0 ถ้าδ≠ o โซลูชันนี้เป็นเพียงหนึ่งเดียวถ้าδ \u003d 0 จากนั้นระบบ (6) นอกเหนือจากศูนย์มีโซลูชั่นอื่น ๆ อีกมากมาย

1204. คำนวณปัจจัย:

1205. แก้สมการ:

1206. แก้ปัญหาความไม่เท่าเทียม:

1207 ค้นหาโซลูชันทั้งหมดของแต่ละระบบของสมการต่อไปนี้:

1208 เพื่อตรวจสอบสิ่งที่ค่า A และ B ของสมการของสมการของ SK - AU \u003d 1, 6X + 4U \u003d B 1) มีทางออกเดียว 2) ไม่มีวิธีแก้ไข; 3) มีวิธีแก้ปัญหามากมาย

1209. กำหนดค่าสิ่งที่เป็นระบบของสมการที่เป็นเนื้อเดียวกัน 13x + 2OW \u003d 0, 5X + AU \u003d 0 มีโซลูชันที่ไม่ใช่ศูนย์

ที่นี่เราใช้วิธีการของการเปลี่ยนแปลงของ lagrange ถาวรเพื่อแก้สมการเชิงอนุพันธ์เชิงอนุพันธ์เชิงเส้นตรงเชิงเส้น คำอธิบายโดยละเอียดของวิธีนี้ในการแก้สมการลำดับสุ่มจะถูกกำหนดไว้ในหน้า
วิธีการแก้ปัญหาของสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นเชิงเส้นของคำสั่งซื้อที่สูงขึ้นของวิธี lagrange \u003e\u003e\u003e

ตัวอย่างที่ 1

แก้สมการเชิงอนุพันธ์ที่สองด้วยสัมประสิทธิ์คงที่โดยการเปลี่ยนแปลงของ lagrange ถาวร:
(1)

การตัดสินใจ

เริ่มแรกเราแก้สมการเชิงอนุพันธ์ที่เป็นเนื้อเดียวกัน:
(2)

นี่คือสมการลำดับที่สอง

เราแก้สมการสแควร์:
.
รากทวีคูณ:. ระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาของสมการ (2) มีรูปแบบ:
(3) .
จากที่นี่เราได้รับสารละลายทั่วไปของสมการที่เป็นเนื้อเดียวกัน (2):
(4) .

Constant ต่างๆ C. 1 และค. 2 . นั่นคือเราจะแทนที่ใน (4) ถาวรและฟังก์ชั่น:
.
เรากำลังมองหาวิธีแก้ปัญหาของสมการเริ่มต้น (1) ในแบบฟอร์ม:
(5) .

ค้นหาอนุพันธ์:
.
เราเชื่อมต่อฟังก์ชั่นและสมการ:
(6) .
จากนั้น
.

เราพบอนุพันธ์ที่สอง:
.
เราทดแทนในสมการเริ่มต้น (1):
(1) ;



.
ตั้งแต่และตอบสนองสมการที่เป็นเนื้อเดียวกัน (2) ผลรวมของสมาชิกในแต่ละคอลัมน์ของสามบรรทัดสุดท้ายให้ศูนย์และสมการก่อนหน้าได้รับแบบฟอร์ม:
(7) .
ที่นี่

ร่วมกับสมการ (6) เราได้รับระบบสมการสำหรับการกำหนดฟังก์ชั่นและ:
(6) :
(7) .

การแก้ระบบสมการ

เราแก้ระบบของสมการ (6-7) เราเขียนการแสดงออกสำหรับฟังก์ชั่นและ:
.
เราพบอนุพันธ์ของพวกเขา:
;
.

เราแก้ปัญหาระบบของสมการ (6-7) โดยวิธีการแครมเมอร์ คำนวณการกำหนดเมทริกซ์ของระบบ:

.
โดยสูตรตีนตะขาบเราพบว่า:
;
.

ดังนั้นเราพบฟังก์ชั่นที่ได้รับ:
;
.
เรารวมเข้าด้วยกัน (ดูวิธีการรวมรูท) ทำให้การทดแทน
; ; ; .

.
.

;
.

ตอบ

ตัวอย่างที่ 2

แก้สมการเชิงอนุพันธ์โดยการเปลี่ยนแปลงของ lagrange ถาวร:
(8)

การตัดสินใจ

ขั้นตอนที่ 1 การแก้สมการที่เป็นเนื้อเดียวกัน

เราแก้สมการเชิงอนุพันธ์ที่เป็นเนื้อเดียวกัน:

(9)
เรากำลังมองหาการตัดสินใจในแบบฟอร์ม เรารวบรวมสมการลักษณะ:

สมการนี้มีรากรวม:
.
ระบบพื้นฐานของโซลูชั่นที่สอดคล้องกับรากเหล่านี้มีรูปแบบ:
(10) .
โซลูชันทั่วไปของสมการที่เป็นเนื้อเดียวกัน (9):
(11) .

ขั้นตอนที่ 2 การเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชั่นถาวรแทนถาวร

ตอนนี้มีค่าคงที่ c 1 และค. 2 . นั่นคือแทนที่ (11) ฟังก์ชั่นถาวร:
.
เรากำลังมองหาวิธีแก้สมการเริ่มต้น (8) เป็น:
(12) .

นอกจากนี้การตัดสินใจของโซลูชันเช่นเดียวกับตัวอย่างที่ 1 เรามาถึงระบบสมการต่อไปนี้สำหรับการกำหนดฟังก์ชั่นและ:
(13) :
(14) .
ที่นี่

การแก้ระบบสมการ

เราแก้ปัญหาระบบนี้ เราขับไล่การแสดงออกของฟังก์ชั่นและ:
.
จากตารางอนุพันธ์ที่เราพบ:
;
.

เราแก้ปัญหาระบบของสมการ (13-14) โดยวิธีการแครมเมอร์ เมทริกซ์ของระบบกำหนด:

.
โดยสูตรตีนตะขาบเราพบว่า:
;
.

.
เพราะสัญญาณโมดูลภายใต้เครื่องหมายลอการิทึมสามารถละเว้นได้ ทวีคูณตัวเศษและตัวหารบน:
.
จากนั้น
.

โซลูชันทั่วไปของสมการดั้งเดิม:


.