ในบทความนี้ เรานำเสนอตัวอย่างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ นอกจากนี้เราจะให้ความสนใจกับขั้นตอนของการสร้างแบบจำลองและวิเคราะห์ปัญหาบางอย่างที่เกี่ยวข้องกับการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

คำถามอีกข้อที่เรามีคือแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ในเศรษฐศาสตร์ ตัวอย่างที่เราจะมาดูคำจำกัดความในภายหลัง เราเสนอให้เริ่มการสนทนาด้วยแนวคิดของ "แบบจำลอง" พิจารณาการจำแนกประเภทโดยสังเขปและไปยังคำถามหลักของเรา

แนวคิดของ "แบบจำลอง"

เรามักจะได้ยินคำว่า “รุ่น” มันคืออะไร? คำนี้มีคำจำกัดความมากมาย นี่เป็นเพียง 3 คำเท่านั้น:

• วัตถุเฉพาะที่สร้างขึ้นเพื่อรับและจัดเก็บข้อมูลสะท้อนถึงคุณสมบัติหรือลักษณะบางอย่างและอื่น ๆ ของต้นฉบับของวัตถุนี้ (วัตถุเฉพาะนี้สามารถแสดงออกมาในรูปแบบต่าง ๆ : จิต คำอธิบายโดยใช้เครื่องหมาย ฯลฯ );
• แบบจำลองยังหมายถึงการนำเสนอสถานการณ์ ชีวิต หรือการจัดการที่เฉพาะเจาะจง
• แบบจำลองอาจเป็นสำเนาของวัตถุแบบย่อ (สร้างขึ้นเพื่อการศึกษาและการวิเคราะห์ที่มีรายละเอียดมากขึ้น เนื่องจากแบบจำลองสะท้อนถึงโครงสร้างและความสัมพันธ์)

จากทุกสิ่งที่กล่าวไว้ก่อนหน้านี้เราสามารถสรุปได้เล็กน้อย: แบบจำลองนี้ช่วยให้คุณศึกษาระบบหรือวัตถุที่ซับซ้อนในรายละเอียด

ทุกรุ่นสามารถจำแนกได้ตามลักษณะหลายประการ:

• ตามพื้นที่การใช้งาน (การศึกษา การทดลอง วิทยาศาสตร์และเทคนิค การเล่นเกม การจำลอง)
• โดยพลศาสตร์ (คงที่และไดนามิก);
• ตามสาขาวิชาความรู้ (กายภาพ เคมี ภูมิศาสตร์ ประวัติศาสตร์ สังคมวิทยา เศรษฐกิจ คณิตศาสตร์)
• โดยวิธีการนำเสนอ (สื่อและข้อมูล)

ในทางกลับกัน แบบจำลองข้อมูลจะแบ่งออกเป็นเชิงสัญลักษณ์และวาจา และสัญลักษณ์ - ลงในคอมพิวเตอร์และไม่ใช่คอมพิวเตอร์ ตอนนี้เรามาดูการพิจารณาตัวอย่างของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์โดยละเอียดกัน

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์

ดังที่คุณอาจเดาได้ แบบจำลองทางคณิตศาสตร์สะท้อนคุณลักษณะใดๆ ของวัตถุหรือปรากฏการณ์โดยใช้สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์พิเศษ คณิตศาสตร์เป็นสิ่งจำเป็นในการสร้างแบบจำลองรูปแบบของโลกโดยรอบในภาษาเฉพาะของตัวเอง

วิธีการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์มีต้นกำเนิดเมื่อนานมาแล้วหลายพันปีก่อนพร้อมกับการกำเนิดของวิทยาศาสตร์นี้ อย่างไรก็ตาม แรงผลักดันในการพัฒนาวิธีการสร้างแบบจำลองนี้เกิดจากการเกิดขึ้นของคอมพิวเตอร์ (คอมพิวเตอร์อิเล็กทรอนิกส์)

ตอนนี้เรามาดูการจำแนกประเภทกันดีกว่า ก็สามารถดำเนินการตามสัญญาณบางอย่างได้เช่นกัน แสดงไว้ในตารางด้านล่าง

เราเสนอให้หยุดและดูการจำแนกประเภทล่าสุดให้ละเอียดยิ่งขึ้น เนื่องจากเป็นการสะท้อนถึงรูปแบบทั่วไปของการสร้างแบบจำลองและเป้าหมายของแบบจำลองที่ถูกสร้างขึ้น

แบบจำลองเชิงพรรณนา

ในบทนี้ เราขอเสนอให้เจาะลึกรายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับแบบจำลองทางคณิตศาสตร์เชิงพรรณนา เพื่อให้ทุกอย่างชัดเจน จะมีการยกตัวอย่าง

เริ่มจากข้อเท็จจริงที่ว่าประเภทนี้สามารถเรียกได้ว่าเป็นคำอธิบาย นี่เป็นเพราะว่าเราเพียงแค่ทำการคำนวณและการคาดการณ์ แต่ไม่สามารถมีอิทธิพลต่อผลลัพธ์ของเหตุการณ์ได้ในทางใดทางหนึ่ง

ตัวอย่างที่ชัดเจนของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์เชิงพรรณนาคือการคำนวณเส้นทางการบิน ความเร็ว และระยะห่างจากโลกของดาวหางที่บุกรุกพื้นที่อันกว้างใหญ่ของระบบสุริยะของเรา โมเดลนี้มีคำอธิบายเนื่องจากผลลัพธ์ทั้งหมดที่ได้รับสามารถเตือนเราถึงอันตรายเท่านั้น ขออภัย เราไม่สามารถมีอิทธิพลต่อผลลัพธ์ของกิจกรรมได้ อย่างไรก็ตาม จากการคำนวณที่ได้รับ สามารถใช้มาตรการใดๆ เพื่อรักษาชีวิตบนโลกได้

โมเดลการเพิ่มประสิทธิภาพ

ตอนนี้เราจะพูดถึงแบบจำลองทางเศรษฐศาสตร์และคณิตศาสตร์เล็กน้อย ตัวอย่างที่สามารถใช้เป็นสถานการณ์ปัจจุบันที่แตกต่างกัน ในกรณีนี้ เรากำลังพูดถึงแบบจำลองที่ช่วยค้นหาคำตอบที่ถูกต้องภายใต้เงื่อนไขบางประการ พวกมันมีพารามิเตอร์บางอย่างแน่นอน เพื่อให้ชัดเจนยิ่งขึ้นเรามาดูตัวอย่างจากภาคเกษตรกันดีกว่า

เรามียุ้งฉาง แต่เมล็ดข้าวเน่าเร็วมาก ในกรณีนี้ เราจำเป็นต้องเลือกสภาวะอุณหภูมิที่เหมาะสมและปรับกระบวนการจัดเก็บให้เหมาะสม

ดังนั้นเราจึงสามารถกำหนดแนวคิดของ "โมเดลการเพิ่มประสิทธิภาพ" ได้ ในแง่คณิตศาสตร์ มันเป็นระบบสมการ (ทั้งเชิงเส้นและไม่ใช่) วิธีแก้ปัญหาที่ช่วยในการค้นหาวิธีแก้ปัญหาที่เหมาะสมที่สุดในสถานการณ์ทางเศรษฐกิจที่เฉพาะเจาะจง เราดูตัวอย่างของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ (การเพิ่มประสิทธิภาพ) แต่ฉันอยากจะเพิ่ม: ประเภทนี้อยู่ในกลุ่มของปัญหาร้ายแรง ซึ่งช่วยอธิบายการทำงานของระบบเศรษฐกิจ

ให้เราสังเกตความแตกต่างกันนิดหน่อย: โมเดลสามารถมีลักษณะที่แตกต่างกันได้ (ดูตารางด้านล่าง)

แบบจำลองหลายเกณฑ์

ตอนนี้เราขอเชิญคุณมาพูดคุยกันเล็กน้อยเกี่ยวกับแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของการเพิ่มประสิทธิภาพหลายเกณฑ์ ก่อนหน้านี้ เราได้ยกตัวอย่างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์สำหรับการปรับกระบวนการให้เหมาะสมตามเกณฑ์ใดเกณฑ์หนึ่ง แต่จะเกิดอะไรขึ้นถ้ามีหลายเกณฑ์?

ตัวอย่างที่เด่นชัดของงานที่มีหลายเกณฑ์คือการจัดโภชนาการที่เหมาะสม ดีต่อสุขภาพ และในขณะเดียวกันก็ประหยัดสำหรับคนกลุ่มใหญ่ งานดังกล่าวมักพบในกองทัพ โรงอาหารของโรงเรียน ค่ายฤดูร้อน โรงพยาบาล และอื่นๆ

งานนี้เกณฑ์อะไรให้เราบ้าง?

1. โภชนาการควรมีสุขภาพที่ดี
2. ค่าอาหารควรน้อยที่สุด

อย่างที่คุณเห็นเป้าหมายเหล่านี้ไม่ตรงกันเลย ซึ่งหมายความว่าเมื่อแก้ไขปัญหา จำเป็นต้องมองหาวิธีแก้ปัญหาที่ดีที่สุด โดยมีความสมดุลระหว่างสองเกณฑ์

โมเดลเกม

เมื่อพูดถึงโมเดลเกมจำเป็นต้องเข้าใจแนวคิดของ “ทฤษฎีเกม” ก่อน พูดง่ายๆ ก็คือ แบบจำลองเหล่านี้สะท้อนแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของความขัดแย้งที่แท้จริง คุณเพียงแค่ต้องเข้าใจว่าแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของเกมนั้นมีกฎเฉพาะของตัวเองไม่เหมือนกับความขัดแย้งที่แท้จริง

ตอนนี้เราจะให้ข้อมูลขั้นต่ำจากทฤษฎีเกมที่จะช่วยให้คุณเข้าใจว่าโมเดลเกมคืออะไร ดังนั้นโมเดลจึงจำเป็นต้องมีฝ่าย (สองคนขึ้นไป) ซึ่งมักเรียกว่าผู้เล่น

ทุกรุ่นมีคุณสมบัติบางอย่าง

รูปแบบเกมสามารถจับคู่หรือหลายรายการได้ หากเรามีสองเรื่อง ข้อขัดแย้งก็จะถูกจับคู่ หากมีมากกว่านั้นก็มีหลายเรื่อง คุณยังสามารถแยกแยะเกมที่เป็นปฏิปักษ์ได้ ซึ่งเรียกอีกอย่างว่าเกมผลรวมเป็นศูนย์ นี่คือรูปแบบที่กำไรของผู้เข้าร่วมคนหนึ่งเท่ากับการสูญเสียของอีกคนหนึ่ง

โมเดลจำลอง

ในส่วนนี้เราจะให้ความสนใจกับการจำลองแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ ตัวอย่างของงานได้แก่:

• แบบจำลองพลวัตของประชากรจุลินทรีย์
• แบบจำลองการเคลื่อนที่ของโมเลกุล เป็นต้น

ในกรณีนี้ เรากำลังพูดถึงโมเดลที่ใกล้เคียงกับกระบวนการจริงมากที่สุด โดยทั่วไปแล้ว พวกมันเลียนแบบการสำแดงบางอย่างในธรรมชาติ ในกรณีแรก เราสามารถจำลองพลวัตของจำนวนมดในอาณานิคมเดียวได้ ในขณะเดียวกันก็สามารถสังเกตชะตากรรมของแต่ละคนได้ ในกรณีนี้คำอธิบายทางคณิตศาสตร์ไม่ค่อยได้ใช้และมีเงื่อนไขที่เป็นลายลักษณ์อักษรบ่อยกว่า:

• หลังจากผ่านไปห้าวันตัวเมียจะวางไข่
• หลังจากผ่านไปยี่สิบวัน มดก็ตาย และอื่นๆ

ดังนั้นจึงใช้เพื่ออธิบายระบบขนาดใหญ่ ข้อสรุปทางคณิตศาสตร์คือการประมวลผลข้อมูลทางสถิติที่ได้รับ

ความต้องการ

สิ่งสำคัญมากคือต้องทราบว่ารุ่นประเภทนี้มีข้อกำหนดบางประการ รวมถึงข้อกำหนดที่ระบุไว้ในตารางด้านล่าง

ความเก่งกาจ	คุณสมบัตินี้ช่วยให้คุณใช้โมเดลเดียวกันเมื่ออธิบายกลุ่มของออบเจ็กต์ที่คล้ายกัน สิ่งสำคัญคือต้องทราบว่าแบบจำลองทางคณิตศาสตร์สากลนั้นไม่ขึ้นอยู่กับลักษณะทางกายภาพของวัตถุที่กำลังศึกษาโดยสมบูรณ์
ความเพียงพอ	สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจในที่นี้ว่าคุณสมบัตินี้ช่วยให้คุณสร้างกระบวนการจริงได้อย่างแม่นยำที่สุด ในการปฏิบัติงาน คุณสมบัติของการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์นี้มีความสำคัญมาก ตัวอย่างของแบบจำลองคือกระบวนการเพิ่มประสิทธิภาพการใช้ระบบแก๊ส ในกรณีนี้ จะมีการเปรียบเทียบตัวบ่งชี้ที่คำนวณได้และตามจริง ส่งผลให้มีการตรวจสอบความถูกต้องของแบบจำลองที่คอมไพล์แล้ว
ความแม่นยำ	ข้อกำหนดนี้แสดงถึงความบังเอิญของค่าที่เราได้รับเมื่อคำนวณแบบจำลองทางคณิตศาสตร์และพารามิเตอร์อินพุตของวัตถุจริงของเรา
ประหยัด	ข้อกำหนดด้านความคุ้มทุนสำหรับแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ใดๆ มีลักษณะเฉพาะด้วยต้นทุนการดำเนินการ หากคุณทำงานกับแบบจำลองด้วยตนเอง คุณจะต้องคำนวณว่าจะใช้เวลาเท่าใดในการแก้ปัญหาหนึ่งโดยใช้แบบจำลองทางคณิตศาสตร์นี้ หากเรากำลังพูดถึงการออกแบบโดยใช้คอมพิวเตอร์ช่วย ตัวบ่งชี้เวลาและต้นทุนหน่วยความจำคอมพิวเตอร์จะถูกคำนวณ

ขั้นตอนการสร้างแบบจำลอง

โดยรวมแล้ว การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์มักแบ่งออกเป็นสี่ขั้นตอน

1. การกำหนดกฎหมายเชื่อมโยงส่วนต่าง ๆ ของแบบจำลอง
2. การศึกษาปัญหาทางคณิตศาสตร์
3. การกำหนดความบังเอิญของผลลัพธ์เชิงปฏิบัติและเชิงทฤษฎี
4. การวิเคราะห์และการปรับปรุงแบบจำลองให้ทันสมัย

แบบจำลองทางเศรษฐศาสตร์และคณิตศาสตร์

ในส่วนนี้เราจะเน้นประเด็นนี้โดยย่อ ตัวอย่างของงาน ได้แก่:

• การจัดทำโปรแกรมการผลิตสำหรับการผลิตผลิตภัณฑ์เนื้อสัตว์ที่ให้ผลกำไรการผลิตสูงสุด
• เพิ่มผลกำไรขององค์กรโดยการคำนวณปริมาณโต๊ะและเก้าอี้ที่เหมาะสมที่สุดที่ผลิตในโรงงานเฟอร์นิเจอร์และอื่นๆ

แบบจำลองเศรษฐศาสตร์-คณิตศาสตร์แสดงนามธรรมทางเศรษฐกิจ ซึ่งแสดงโดยใช้คำศัพท์และสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์คอมพิวเตอร์

ตัวอย่างของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของคอมพิวเตอร์ ได้แก่

• ปัญหาไฮดรอลิกโดยใช้ผังงาน แผนภาพ ตาราง ฯลฯ
• ปัญหาเกี่ยวกับกลศาสตร์ที่เป็นของแข็ง และอื่นๆ

แบบจำลองคอมพิวเตอร์คือภาพของวัตถุหรือระบบที่นำเสนอในรูปแบบ:

• ตาราง;
• บล็อกไดอะแกรม
• ไดอะแกรม;
• กราฟิก และอื่นๆ

นอกจากนี้โมเดลนี้ยังสะท้อนถึงโครงสร้างและความเชื่อมโยงของระบบอีกด้วย

การสร้างแบบจำลองทางเศรษฐศาสตร์และคณิตศาสตร์

เราได้พูดคุยกันแล้วว่าแบบจำลองทางเศรษฐศาสตร์-คณิตศาสตร์คืออะไร ตัวอย่างของการแก้ปัญหาจะได้รับการพิจารณาในขณะนี้ เราจำเป็นต้องวิเคราะห์โปรแกรมการผลิตเพื่อระบุปริมาณสำรองเพื่อเพิ่มผลกำไรด้วยการเปลี่ยนประเภท

เราจะไม่พิจารณาปัญหาอย่างเต็มที่ แต่จะสร้างแบบจำลองทางเศรษฐศาสตร์และคณิตศาสตร์เท่านั้น เกณฑ์ของงานของเราคือการเพิ่มผลกำไรสูงสุด จากนั้นฟังก์ชันจะมีรูปแบบ: А=р1*х1+р2*х2... โดยพุ่งไปที่ค่าสูงสุด ในแบบจำลองนี้ p คือกำไรต่อหน่วย และ x คือจำนวนหน่วยที่ผลิต ถัดไป จำเป็นต้องคำนวณและสรุปตามแบบจำลองที่สร้างขึ้น

ตัวอย่างการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์อย่างง่าย

งาน.ชาวประมงกลับมาพร้อมกับสิ่งที่จับได้ดังต่อไปนี้:

• ปลา 8 ตัว - ชาวทะเลทางเหนือ
• 20% ของสิ่งที่จับได้นั้นเป็นชาวทะเลทางใต้
• ไม่พบปลาจากแม่น้ำในท้องถิ่นสักตัวเดียว

เขาซื้อปลาที่ร้านได้กี่ตัว?

ดังนั้น ตัวอย่างของการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของปัญหานี้ จะเป็นเช่นนี้ เราแสดงจำนวนปลาทั้งหมดด้วย x ตามเงื่อนไขดังกล่าว 0.2x คือจำนวนปลาที่อาศัยอยู่ในละติจูดใต้ ตอนนี้เรารวมข้อมูลที่มีอยู่ทั้งหมดและรับแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของปัญหา: x=0.2x+8 เราแก้สมการและรับคำตอบสำหรับคำถามหลัก: เขาซื้อปลา 10 ตัวในร้าน

ตามตำราเรียนของ Sovetov และ Yakovlev: "แบบจำลอง (lat. modulus - การวัด) เป็นวัตถุทดแทนสำหรับวัตถุดั้งเดิมซึ่งช่วยให้มั่นใจในการศึกษาคุณสมบัติบางอย่างของต้นฉบับ" (หน้า 6) “การแทนที่วัตถุหนึ่งด้วยอีกวัตถุหนึ่งเพื่อให้ได้ข้อมูลเกี่ยวกับคุณสมบัติที่สำคัญที่สุดของวัตถุดั้งเดิมโดยใช้วัตถุแบบจำลองเรียกว่าการสร้างแบบจำลอง” (หน้า 6) “โดยการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ เราเข้าใจกระบวนการสร้างความสอดคล้องกับวัตถุจริงที่กำหนดกับวัตถุทางคณิตศาสตร์บางอย่างที่เรียกว่าแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ และการศึกษาแบบจำลองนี้ซึ่งทำให้เราได้รับคุณลักษณะของวัตถุจริงที่แท้จริง วัตถุที่อยู่ระหว่างการพิจารณา ประเภทของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ขึ้นอยู่กับลักษณะของวัตถุจริงและงานศึกษาวัตถุ ตลอดจนความน่าเชื่อถือและความแม่นยำที่ต้องการในการแก้ปัญหานี้”

สุดท้ายนี้ คำจำกัดความที่กระชับที่สุดของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์: “สมการที่แสดงความคิด».

การจำแนกรุ่น

การจำแนกแบบจำลองอย่างเป็นทางการ

การจำแนกแบบจำลองอย่างเป็นทางการขึ้นอยู่กับการจำแนกเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่ใช้ มักสร้างเป็นรูปขั้วคู่ ตัวอย่างเช่น หนึ่งในชุดไดโคโทมียอดนิยม:

และอื่น ๆ โมเดลที่สร้างขึ้นแต่ละแบบเป็นแบบเชิงเส้นหรือไม่เชิงเส้น กำหนดไว้หรือสุ่ม ... โดยธรรมชาติแล้ว ประเภทผสมก็เป็นไปได้เช่นกัน: มีความเข้มข้นในแง่หนึ่ง (ในแง่ของพารามิเตอร์) กระจายในอีกประการหนึ่ง ฯลฯ

จำแนกตามวิธีการนำเสนอวัตถุ

นอกจากการจำแนกประเภทอย่างเป็นทางการแล้ว โมเดลยังแตกต่างกันในลักษณะที่เป็นตัวแทนของวัตถุ:

• แบบจำลองโครงสร้างหรือฟังก์ชัน

แบบจำลองโครงสร้างเป็นตัวแทนของวัตถุเป็นระบบที่มีโครงสร้างและกลไกการทำงานของตัวเอง โมเดลการทำงานอย่าใช้การนำเสนอดังกล่าวและสะท้อนเฉพาะพฤติกรรมการรับรู้ภายนอก (การทำงาน) ของวัตถุ ในการแสดงออกถึงขีดสุด พวกเขาเรียกอีกอย่างว่ารุ่น "กล่องดำ" ประเภทของโมเดลแบบรวมก็เป็นไปได้เช่นกัน ซึ่งบางครั้งเรียกว่า “ กล่องสีเทา».

เนื้อหาและรูปแบบที่เป็นทางการ

ผู้เขียนเกือบทั้งหมดที่อธิบายกระบวนการของการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ระบุว่าโครงสร้างในอุดมคติพิเศษจะถูกสร้างขึ้นก่อน โมเดลเนื้อหา. ไม่มีคำศัพท์เฉพาะที่นี่ และผู้เขียนคนอื่นๆ เรียกสิ่งนี้ว่าวัตถุในอุดมคติ รูปแบบความคิด , โมเดลเก็งกำไรหรือ รุ่นก่อน. ในกรณีนี้จะเรียกว่าโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ขั้นสุดท้าย โมเดลที่เป็นทางการหรือเพียงแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่ได้รับอันเป็นผลมาจากการทำให้แบบจำลองมีความหมายที่กำหนดอย่างเป็นทางการ (แบบจำลองก่อน) การสร้างแบบจำลองที่มีความหมายสามารถทำได้โดยใช้ชุดอุดมคติสำเร็จรูป เช่นเดียวกับในกลไก โดยที่สปริงในอุดมคติ วัตถุแข็ง ลูกตุ้มในอุดมคติ ตัวกลางที่ยืดหยุ่น ฯลฯ จัดเตรียมองค์ประกอบโครงสร้างสำเร็จรูปสำหรับการสร้างแบบจำลองที่มีความหมาย อย่างไรก็ตาม ในสาขาความรู้ที่ไม่มีทฤษฎีอย่างเป็นทางการที่สมบูรณ์ (สาขาฟิสิกส์ ชีววิทยา เศรษฐศาสตร์ สังคมวิทยา จิตวิทยา และสาขาอื่นๆ ส่วนใหญ่) การสร้างแบบจำลองที่มีความหมายจะยากขึ้นอย่างมาก

การจำแนกเนื้อหาของแบบจำลอง

ไม่มีสมมติฐานทางวิทยาศาสตร์ใดที่สามารถพิสูจน์ได้เพียงครั้งเดียวและตลอดไป Richard Feynman กำหนดสิ่งนี้ไว้อย่างชัดเจน:

“เรามีโอกาสที่จะหักล้างทฤษฎีอยู่เสมอ แต่โปรดทราบว่าเราไม่สามารถพิสูจน์ได้ว่าทฤษฎีนั้นถูกต้อง สมมติว่าคุณได้ตั้งสมมติฐานที่ประสบความสำเร็จ โดยคำนวณว่าสมมติฐานนั้นนำไปสู่จุดใด และพบว่าผลที่ตามมาทั้งหมดได้รับการยืนยันจากการทดลอง นี่หมายความว่าทฤษฎีของคุณถูกต้องหรือไม่? ไม่ มันเพียงหมายความว่าคุณล้มเหลวในการปฏิเสธมัน”

ถ้าแบบจำลองแบบแรกถูกสร้างขึ้นก็หมายความว่าแบบจำลองนั้นเป็นที่ยอมรับชั่วคราวว่าเป็นความจริงและสามารถมุ่งความสนใจไปที่ปัญหาอื่นได้ อย่างไรก็ตาม นี่ไม่สามารถเป็นจุดในการวิจัยได้ แต่เป็นเพียงการหยุดชั่วคราวเท่านั้น: สถานะของแบบจำลองประเภทแรกสามารถเป็นเพียงชั่วคราวเท่านั้น

ประเภทที่ 2: แบบจำลองปรากฏการณ์วิทยา (เราประพฤติตนราวกับว่า…)

แบบจำลองปรากฏการณ์วิทยาประกอบด้วยกลไกในการอธิบายปรากฏการณ์ อย่างไรก็ตาม กลไกนี้ไม่น่าเชื่อถือเพียงพอ ไม่สามารถยืนยันได้อย่างเพียงพอด้วยข้อมูลที่มีอยู่ หรือไม่สอดคล้องกับทฤษฎีที่มีอยู่และความรู้ที่สะสมเกี่ยวกับวัตถุนั้น ดังนั้นแบบจำลองปรากฏการณ์วิทยาจึงมีสถานะเป็นวิธีแก้ปัญหาชั่วคราว เชื่อว่ายังไม่ทราบคำตอบ และการค้นหา “กลไกที่แท้จริง” จะต้องดำเนินต่อไป ตัวอย่างเช่น Peierls รวมถึงแบบจำลองแคลอรี่และแบบจำลองควาร์กของอนุภาคมูลฐานเป็นประเภทที่สอง

บทบาทของแบบจำลองในการวิจัยอาจเปลี่ยนแปลงไปตามกาลเวลา และอาจเกิดขึ้นได้ว่าข้อมูลและทฤษฎีใหม่ ๆ ยืนยันแบบจำลองเชิงปรากฏการณ์วิทยา และพวกเขาได้รับการส่งเสริมให้เป็นสถานะของสมมติฐาน ในทำนองเดียวกัน ความรู้ใหม่อาจค่อยๆ ขัดแย้งกับแบบจำลอง-สมมติฐานประเภทแรก และสามารถแปลเป็นความรู้ประเภทที่สองได้ ดังนั้นแบบจำลองควาร์กจึงค่อย ๆ เคลื่อนเข้าสู่หมวดหมู่ของสมมติฐาน อะตอมนิยมในฟิสิกส์เกิดขึ้นเป็นวิธีการแก้ปัญหาชั่วคราว แต่ด้วยประวัติศาสตร์มันจึงกลายเป็นประเภทแรก แต่แบบจำลองอีเทอร์ได้เดินทางจากประเภท 1 ไปเป็นประเภท 2 และขณะนี้อยู่นอกเหนือวิทยาศาสตร์แล้ว

แนวคิดเรื่องการทำให้เข้าใจง่ายเป็นที่นิยมอย่างมากเมื่อสร้างโมเดล แต่การทำให้เข้าใจง่ายมาในรูปแบบที่แตกต่างกัน Peierls ระบุการลดความซับซ้อนสามประเภทในการสร้างแบบจำลอง

ประเภทที่ 3: การประมาณ (เราพิจารณาบางสิ่งที่ใหญ่หรือเล็กมาก)

หากเป็นไปได้ที่จะสร้างสมการที่อธิบายระบบที่กำลังศึกษาอยู่ ไม่ได้หมายความว่าจะสามารถแก้ไขได้แม้จะใช้คอมพิวเตอร์ช่วยก็ตาม เทคนิคทั่วไปในกรณีนี้คือการใช้การประมาณ (แบบจำลองประเภท 3) ในหมู่พวกเขา โมเดลการตอบสนองเชิงเส้น. สมการจะถูกแทนที่ด้วยสมการเชิงเส้น ตัวอย่างมาตรฐานคือกฎของโอห์ม

มาแล้วประเภทที่ 8 ซึ่งแพร่หลายในแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของระบบชีววิทยา

ประเภทที่ 8: การสาธิตคุณสมบัติ (สิ่งสำคัญคือการแสดงความสอดคล้องภายในของความเป็นไปได้)

สิ่งเหล่านี้เป็นการทดลองทางความคิดด้วยโดยมีตัวตนในจินตนาการแสดงให้เห็นสิ่งนั้น น่าจะเป็นปรากฏการณ์สอดคล้องกับหลักการพื้นฐานและสอดคล้องกันภายใน นี่คือความแตกต่างที่สำคัญจากรุ่นประเภท 7 ซึ่งเผยให้เห็นความขัดแย้งที่ซ่อนอยู่

การทดลองที่มีชื่อเสียงที่สุดอย่างหนึ่งคือเรขาคณิตของ Lobachevsky (Lobachevsky เรียกมันว่า "เรขาคณิตในจินตนาการ") อีกตัวอย่างหนึ่งคือการผลิตจำนวนมากของแบบจำลองจลน์ศาสตร์อย่างเป็นทางการของการสั่นสะเทือนทางเคมีและชีวภาพ คลื่นอัตโนมัติ ฯลฯ ความขัดแย้งของไอน์สไตน์-โพโดลสกี-โรเซนถูกมองว่าเป็นแบบจำลองประเภท 7 เพื่อแสดงให้เห็นถึงความไม่สอดคล้องกันของกลศาสตร์ควอนตัม ด้วยวิธีที่ไม่ได้วางแผนไว้โดยสิ้นเชิง ในที่สุดมันก็กลายเป็นแบบจำลองประเภท 8 ซึ่งเป็นการสาธิตความเป็นไปได้ของการเคลื่อนย้ายข้อมูลควอนตัม

ตัวอย่าง

พิจารณาระบบกลไกที่ประกอบด้วยสปริงซึ่งจับจ้องอยู่ที่ปลายด้านหนึ่งและมีมวลของมวลติดอยู่ที่ปลายอิสระของสปริง เราจะถือว่าโหลดสามารถเคลื่อนที่ได้ในทิศทางของแกนสปริงเท่านั้น (เช่น การเคลื่อนที่เกิดขึ้นตามแนวแกน) เรามาสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของระบบนี้กัน เราจะอธิบายสถานะของระบบตามระยะห่างจากจุดศูนย์กลางของโหลดไปยังตำแหน่งสมดุล ให้เราอธิบายปฏิสัมพันธ์ของสปริงและโหลดที่ใช้ กฎของฮุค() จากนั้นใช้กฎข้อที่สองของนิวตันเพื่อแสดงในรูปของสมการเชิงอนุพันธ์:

โดยที่ หมายถึงอนุพันธ์อันดับสองของเทียบกับเวลา: .

สมการที่ได้จะอธิบายแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของระบบฟิสิคัลที่พิจารณา รุ่นนี้เรียกว่า "ฮาร์มอนิกออสซิลเลเตอร์"

ตามการจำแนกอย่างเป็นทางการ โมเดลนี้เป็นแบบเชิงเส้น กำหนดได้ ไดนามิก มีความเข้มข้น ต่อเนื่อง ในกระบวนการก่อสร้าง เราได้ตั้งสมมติฐานหลายประการ (เกี่ยวกับการไม่มีแรงภายนอก การไม่มีแรงเสียดทาน การเบี่ยงเบนเล็กน้อย ฯลฯ) ซึ่งในความเป็นจริงอาจไม่เป็นไปตามนั้น

เมื่อเทียบกับความเป็นจริง ส่วนใหญ่มักเป็นโมเดลประเภทที่ 4 ลดความซับซ้อน(“เราจะละรายละเอียดบางส่วนเพื่อความชัดเจน”) เนื่องจากคุณสมบัติสากลที่สำคัญบางประการ (เช่น การกระจาย) จะถูกละเว้น ในการประมาณค่าบางอย่าง (เช่น แม้ว่าความเบี่ยงเบนของโหลดจากสมดุลจะมีน้อย โดยมีแรงเสียดทานต่ำ โดยใช้เวลาไม่นานเกินไปและขึ้นอยู่กับเงื่อนไขอื่นๆ บางประการ) แบบจำลองดังกล่าวอธิบายระบบกลไกที่แท้จริงได้ค่อนข้างดี เนื่องจากปัจจัยที่ละทิ้งมี ผลกระทบเล็กน้อยต่อพฤติกรรมของมัน อย่างไรก็ตาม แบบจำลองนี้สามารถปรับแต่งได้โดยคำนึงถึงปัจจัยบางประการเหล่านี้ สิ่งนี้จะนำไปสู่รูปแบบใหม่ที่มีขอบเขตการบังคับใช้ที่กว้างขึ้น (แม้ว่าจะถูกจำกัดอีกครั้ง)

อย่างไรก็ตาม เมื่อปรับแต่งแบบจำลอง ความซับซ้อนของการวิจัยทางคณิตศาสตร์อาจเพิ่มขึ้นอย่างมาก และทำให้แบบจำลองนั้นไร้ประโยชน์อย่างแท้จริง บ่อยครั้งที่แบบจำลองที่เรียบง่ายกว่าช่วยให้สามารถสำรวจระบบจริงได้ดีขึ้นและลึกกว่าแบบจำลองที่ซับซ้อนกว่า (และอย่างเป็นทางการ "ถูกต้องมากกว่า")

หากเราใช้แบบจำลองฮาร์มอนิกออสซิลเลเตอร์กับวัตถุที่อยู่ห่างไกลจากฟิสิกส์ สถานะที่สำคัญของมันอาจจะแตกต่างออกไป ตัวอย่างเช่น เมื่อใช้แบบจำลองนี้กับประชากรทางชีววิทยา แบบจำลองนี้น่าจะจัดอยู่ในประเภท 6 การเปรียบเทียบ(“มาพิจารณาเฉพาะคุณสมบัติบางอย่างเท่านั้น”)

รุ่นที่แข็งและอ่อน

ออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกเป็นตัวอย่างหนึ่งของโมเดลที่เรียกว่า "ฮาร์ด" ได้มาจากการมีอุดมคติอันแข็งแกร่งของระบบทางกายภาพที่แท้จริง เพื่อแก้ไขปัญหาการบังคับใช้ จำเป็นต้องเข้าใจว่าปัจจัยที่เราละเลยมีความสำคัญเพียงใด กล่าวอีกนัยหนึ่งคือจำเป็นต้องศึกษาแบบจำลอง "อ่อน" ซึ่งได้มาจากการรบกวนเล็กน้อยของแบบจำลอง "แข็ง" สามารถกำหนดได้โดยใช้สมการต่อไปนี้:

ต่อไปนี้เป็นฟังก์ชันบางอย่างที่สามารถคำนึงถึงแรงเสียดทานหรือการขึ้นต่อกันของค่าสัมประสิทธิ์ความแข็งของสปริงกับระดับการยืดตัวของสปริง - พารามิเตอร์เล็กๆ น้อยๆ เราไม่สนใจรูปแบบที่ชัดเจนของฟังก์ชันในขณะนี้ หากเราพิสูจน์ได้ว่าพฤติกรรมของแบบจำลองแบบอ่อนไม่ได้แตกต่างโดยพื้นฐานจากพฤติกรรมของแบบจำลองแบบแข็ง (โดยไม่คำนึงถึงปัจจัยก่อกวนที่ชัดเจน หากมีขนาดเล็กเพียงพอ) ปัญหาก็จะลดลงเหลือเพียงการศึกษาแบบจำลองแบบยากเท่านั้น มิฉะนั้นการประยุกต์ใช้ผลลัพธ์ที่ได้จากการศึกษาแบบจำลองที่เข้มงวดจะต้องมีการวิจัยเพิ่มเติม ตัวอย่างเช่น การแก้สมการของออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกคือฟังก์ชันในรูปแบบ ซึ่งก็คือการออสซิลเลเตอร์ที่มีแอมพลิจูดคงที่ ต่อจากนั้นออสซิลเลเตอร์จริงจะแกว่งอย่างไม่มีกำหนดด้วยแอมพลิจูดคงที่หรือไม่? ไม่ เนื่องจากเมื่อพิจารณาถึงระบบที่มีแรงเสียดทานน้อยตามอำเภอใจ (จะมีอยู่ในระบบจริงเสมอ) เราจึงได้รับการสั่นสะเทือนแบบหน่วง พฤติกรรมของระบบมีการเปลี่ยนแปลงในเชิงคุณภาพ

หากระบบรักษาพฤติกรรมเชิงคุณภาพไว้ภายใต้การรบกวนเล็กน้อย ระบบจะถือว่ามีความเสถียรทางโครงสร้าง ออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกเป็นตัวอย่างของระบบที่มีโครงสร้างไม่เสถียร (ไม่หยาบ) อย่างไรก็ตาม โมเดลนี้สามารถใช้เพื่อศึกษากระบวนการในระยะเวลาที่จำกัดได้

ความเก่งกาจของรุ่น

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญที่สุดมักจะมีคุณสมบัติที่สำคัญ ความเก่งกาจ: ปรากฏการณ์จริงที่แตกต่างกันโดยพื้นฐานสามารถอธิบายได้ด้วยแบบจำลองทางคณิตศาสตร์เดียวกัน ตัวอย่างเช่น ออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกไม่เพียงอธิบายพฤติกรรมของโหลดบนสปริงเท่านั้น แต่ยังอธิบายกระบวนการออสซิลเลเตอร์อื่นๆ ด้วย ซึ่งมักจะมีลักษณะที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง: การสั่นเล็กน้อยของลูกตุ้ม ความผันผวนของระดับของเหลวในภาชนะรูปตัว A หรือการเปลี่ยนแปลงความแรงของกระแสในวงจรออสซิลเลเตอร์ ดังนั้น โดยการศึกษาแบบจำลองทางคณิตศาสตร์หนึ่งแบบจำลอง เราจะศึกษาปรากฏการณ์ทั้งกลุ่มที่อธิบายโดยแบบจำลองนั้นได้ทันที มันเป็นมอร์ฟิสซึ่มของกฎที่แสดงโดยแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ในส่วนต่างๆ ของความรู้ทางวิทยาศาสตร์ ที่เป็นแรงบันดาลใจให้ลุดวิก ฟอน แบร์ทาลันฟฟี่สร้าง "ทฤษฎีทั่วไปของระบบ"

ปัญหาทางตรงและทางผกผันของการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

มีปัญหามากมายที่เกี่ยวข้องกับการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ ขั้นแรก คุณต้องสร้างไดอะแกรมพื้นฐานของวัตถุแบบจำลองขึ้นมา และทำซ้ำภายในกรอบของอุดมคติของวิทยาศาสตร์นี้ ดังนั้นตู้รถไฟจึงกลายเป็นระบบของเพลทและตัวถังที่ซับซ้อนมากขึ้นจากวัสดุที่แตกต่างกัน แต่ละวัสดุจะถูกระบุให้เป็นอุดมคติเชิงกลมาตรฐาน (ความหนาแน่น โมดูลัสยืดหยุ่น ลักษณะความแข็งแรงมาตรฐาน) หลังจากนั้นจึงร่างสมการขึ้นมาและตลอดทาง รายละเอียดบางส่วนถูกละทิ้งเนื่องจากไม่สำคัญ มีการคำนวณ เมื่อเปรียบเทียบกับการวัด โมเดลจะได้รับการปรับปรุง และอื่นๆ อย่างไรก็ตาม ในการพัฒนาเทคโนโลยีการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ จะมีประโยชน์ที่จะแยกกระบวนการนี้ออกเป็นส่วนประกอบหลัก

ตามเนื้อผ้า มีปัญหาสองประเภทหลักที่เกี่ยวข้องกับแบบจำลองทางคณิตศาสตร์: ทางตรงและทางผกผัน

งานตรง: ถือว่าทราบโครงสร้างของแบบจำลองและพารามิเตอร์ทั้งหมดแล้ว ภารกิจหลักคือดำเนินการศึกษาแบบจำลองเพื่อดึงความรู้ที่เป็นประโยชน์เกี่ยวกับวัตถุ สะพานจะรับน้ำหนักคงที่ได้เท่าใด มันจะตอบสนองต่อภาระแบบไดนามิกอย่างไร (เช่น การเดินทัพของกองทหาร หรือต่อเส้นทางของรถไฟด้วยความเร็วที่แตกต่างกัน) วิธีที่เครื่องบินจะเอาชนะกำแพงกั้นเสียง ไม่ว่ามันจะพังทลายจากการกระพือปีกก็ตาม - นี่เป็นตัวอย่างทั่วไปของปัญหาโดยตรง การตั้งค่าปัญหาโดยตรงที่ถูกต้อง (การถามคำถามที่ถูกต้อง) ต้องใช้ทักษะพิเศษ หากไม่ได้ถามคำถามที่ถูกต้อง สะพานก็อาจพังทลายลงได้ แม้ว่าจะได้สร้างแบบจำลองที่ดีสำหรับพฤติกรรมของมันแล้วก็ตาม ดังนั้นในปี พ.ศ. 2422 สะพานโลหะข้ามแม่น้ำเทย์พังทลายลงในบริเตนใหญ่ นักออกแบบได้สร้างแบบจำลองของสะพานโดยคำนวณว่าจะมีปัจจัยด้านความปลอดภัย 20 เท่าสำหรับการกระทำของน้ำหนักบรรทุก แต่ลืมเรื่องลมไป พัดอยู่ในสถานที่เหล่านั้นอย่างต่อเนื่อง และผ่านไปหนึ่งปีครึ่งมันก็พังทลายลง

ในกรณีที่ง่ายที่สุด (เช่น สมการออสซิลเลเตอร์ตัวหนึ่ง) ปัญหาโดยตรงนั้นง่ายมากและลดลงเหลือเพียงคำตอบที่ชัดเจนของสมการนี้

ปัญหาผกผัน: ทราบแบบจำลองที่เป็นไปได้หลายแบบ ต้องเลือกแบบจำลองเฉพาะตามข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับวัตถุ บ่อยครั้งที่ทราบโครงสร้างของแบบจำลอง และจำเป็นต้องกำหนดพารามิเตอร์ที่ไม่รู้จักบางตัว ข้อมูลเพิ่มเติมอาจประกอบด้วยข้อมูลเชิงประจักษ์เพิ่มเติม หรือข้อกำหนดสำหรับวัตถุ ( ปัญหาการออกแบบ). ข้อมูลเพิ่มเติมสามารถมาถึงได้โดยไม่คำนึงถึงกระบวนการแก้ไขปัญหาผกผัน ( การสังเกตแบบพาสซีฟ) หรือเป็นผลจากการทดลองที่วางแผนไว้เป็นพิเศษระหว่างการแก้ปัญหา ( การเฝ้าระวังอย่างแข็งขัน).

หนึ่งในตัวอย่างแรกๆ ของการแก้ปัญหาผกผันอย่างเชี่ยวชาญโดยใช้ข้อมูลที่มีอยู่อย่างเต็มที่คือวิธีการที่สร้างขึ้นโดย I. Newton เพื่อสร้างแรงเสียดทานขึ้นใหม่จากการสั่นแบบหน่วงที่สังเกตได้

อีกตัวอย่างหนึ่งคือสถิติทางคณิตศาสตร์ หน้าที่ของวิทยาศาสตร์นี้คือการพัฒนาวิธีการบันทึก อธิบาย และวิเคราะห์ข้อมูลเชิงสังเกตและการทดลอง เพื่อสร้างแบบจำลองความน่าจะเป็นของปรากฏการณ์สุ่มมวล เหล่านั้น. ชุดของแบบจำลองที่เป็นไปได้นั้นจำกัดอยู่เพียงแบบจำลองความน่าจะเป็น ในงานเฉพาะ ชุดโมเดลจะถูกจำกัดมากขึ้น

ระบบจำลองคอมพิวเตอร์

เพื่อรองรับการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ ระบบคณิตศาสตร์คอมพิวเตอร์ได้รับการพัฒนา เช่น Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim เป็นต้น ซึ่งช่วยให้คุณสร้างแบบจำลองที่เป็นทางการและแบบบล็อกของกระบวนการและอุปกรณ์ทั้งแบบง่ายและซับซ้อน และเปลี่ยนพารามิเตอร์ของโมเดลได้อย่างง่ายดายระหว่าง การสร้างแบบจำลอง บล็อกโมเดลแสดงด้วยบล็อก (ส่วนใหญ่มักเป็นกราฟิก) ชุดและการเชื่อมต่อที่ระบุโดยไดอะแกรมแบบจำลอง

ตัวอย่างเพิ่มเติม

แบบจำลองของมัลธัส

อัตราการเติบโตเป็นสัดส่วนกับขนาดประชากรในปัจจุบัน มันถูกอธิบายโดยสมการเชิงอนุพันธ์

โดยที่พารามิเตอร์บางอย่างถูกกำหนดโดยความแตกต่างระหว่างอัตราการเกิดและอัตราการตาย การแก้สมการนี้คือฟังก์ชันเลขชี้กำลัง หากอัตราการเกิดเกินอัตราการเสียชีวิต () ขนาดประชากรจะเพิ่มขึ้นอย่างไม่มีกำหนดและรวดเร็วมาก เป็นที่ชัดเจนว่าในความเป็นจริงสิ่งนี้ไม่สามารถเกิดขึ้นได้เนื่องจากมีทรัพยากรที่จำกัด เมื่อถึงขนาดประชากรวิกฤติ แบบจำลองจะไม่เพียงพอ เนื่องจากไม่ได้คำนึงถึงทรัพยากรที่จำกัด การปรับแต่งแบบจำลอง Malthus อาจเป็นแบบจำลองลอจิสติกส์ ซึ่งอธิบายโดยสมการเชิงอนุพันธ์ Verhulst

ขนาดประชากร "สมดุล" อยู่ที่ไหน ซึ่งอัตราการเกิดจะได้รับการชดเชยด้วยอัตราการเสียชีวิตอย่างแน่นอน ขนาดประชากรในแบบจำลองดังกล่าวมีแนวโน้มที่จะมีค่าสมดุล และพฤติกรรมนี้มีความเสถียรทางโครงสร้าง

ระบบล่าเหยื่อ

สมมติว่ามีสัตว์สองประเภทอาศัยอยู่ในพื้นที่หนึ่ง: กระต่าย (กินพืช) และสุนัขจิ้งจอก (กินกระต่าย) ให้จำนวนกระต่ายจำนวนสุนัขจิ้งจอก การใช้แบบจำลอง Malthus พร้อมการแก้ไขที่จำเป็นเพื่อคำนึงถึงการกินกระต่ายโดยสุนัขจิ้งจอก เรามาถึงระบบต่อไปนี้ชื่อ ถาดรุ่น - Volterra:

ระบบนี้มีสถานะสมดุลเมื่อจำนวนกระต่ายและสุนัขจิ้งจอกคงที่ การเบี่ยงเบนจากสถานะนี้ส่งผลให้เกิดความผันผวนของจำนวนกระต่ายและสุนัขจิ้งจอก คล้ายกับความผันผวนของฮาร์มอนิกออสซิลเลเตอร์ เช่นเดียวกับฮาร์มอนิกออสซิลเลเตอร์ พฤติกรรมนี้ไม่เสถียรทางโครงสร้าง: การเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยในแบบจำลอง (เช่น โดยคำนึงถึงทรัพยากรที่จำกัดซึ่งกระต่ายต้องการ) สามารถนำไปสู่การเปลี่ยนแปลงเชิงคุณภาพในพฤติกรรมได้ ตัวอย่างเช่น สภาวะสมดุลอาจคงที่ และความผันผวนของตัวเลขจะหายไป สถานการณ์ตรงกันข้ามก็เป็นไปได้เช่นกัน เมื่อการเบี่ยงเบนเล็กน้อยจากตำแหน่งสมดุลจะนำไปสู่ผลที่ตามมาที่เป็นหายนะ จนถึงการสูญพันธุ์อย่างสมบูรณ์ของสายพันธุ์ใดสายพันธุ์หนึ่ง แบบจำลอง Volterra-Lotka ไม่ได้ตอบคำถามว่าสถานการณ์ใดที่เกิดขึ้นเหล่านี้: จำเป็นต้องมีการวิจัยเพิ่มเติมที่นี่

หมายเหตุ

1. “การเป็นตัวแทนทางคณิตศาสตร์ของความเป็นจริง” (สารานุกรมบริตานิกา)
2. โนวิก ไอ.บี., ในประเด็นทางปรัชญาของการสร้างแบบจำลองไซเบอร์เนติกส์ ม., ความรู้, 2507.
3. Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., การสร้างแบบจำลองระบบ: Proc. สำหรับมหาวิทยาลัย - ฉบับที่ 3 แก้ไขใหม่ และเพิ่มเติม - ม.: สูงกว่า. โรงเรียน พ.ศ. 2544 - 343 น. ไอ 5-06-003860-2
4. Samarsky A.A. , มิคาอิลอฟ A.P.การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ ไอเดีย วิธีการ ตัวอย่าง. - ฉบับที่ 2, ฉบับที่. - อ.: Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
5. มิชคิส เอ.ดี.,องค์ประกอบของทฤษฎีแบบจำลองทางคณิตศาสตร์. - ฉบับที่ 3, ฉบับที่. - อ.: คมคนิกา, 2550 - 192 กับ ISBN 978-5-484-00953-4
6. Sevostyanov, A.G. การสร้างแบบจำลองกระบวนการทางเทคโนโลยี: หนังสือเรียน / A.G. Sevostyanov, P.A. เซโวสยานอฟ – อ.: อุตสาหกรรมเบาและอาหาร พ.ศ. 2527 - 344 หน้า
7. วิกิพจนานุกรม: แบบจำลองทางคณิตศาสตร์
8. CliffsNotes.com อภิธานศัพท์วิทยาศาสตร์โลก 20 กันยายน 2553
9. แนวทางการลดแบบจำลองและการทำให้หยาบหยาบสำหรับปรากฏการณ์หลายระดับ, สปริงเกอร์, ซีรีส์ความซับซ้อน, เบอร์ลิน-ไฮเดลเบิร์ก-นิวยอร์ก, 2549. XII+562 หน้า ไอ 3-540-35885-4
10. “ทฤษฎีถือเป็นเชิงเส้นหรือไม่เชิงเส้น ขึ้นอยู่กับประเภทของเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ - เชิงเส้นหรือไม่เชิงเส้น - และแบบจำลองทางคณิตศาสตร์เชิงเส้นหรือไม่เชิงเส้นชนิดใดที่ใช้ ...โดยไม่ปฏิเสธอย่างหลัง หากเขาต้องสร้างคำจำกัดความของเอนทิตีที่สำคัญดังกล่าวขึ้นมาใหม่ นักฟิสิกส์ยุคใหม่ก็คือความไม่เชิงเส้น ก็มีแนวโน้มว่าจะกระทำการที่แตกต่างออกไป และหากให้ความสำคัญกับความไม่เชิงเส้นมากกว่าสิ่งที่ตรงกันข้ามสองประการจะมีความสำคัญและแพร่หลายมากกว่า จะนิยามความเป็นเชิงเส้นว่า “ไม่ ความไม่เชิงเส้น” ดานิลอฟ ยู.เอ.,บรรยายเรื่องพลศาสตร์ไม่เชิงเส้น. การแนะนำเบื้องต้น ซีรีส์ “Synergetics: จากอดีตสู่อนาคต” ฉบับที่ 2 - อ.: URSS, 2549 - 208 หน้า ไอ 5-484-00183-8
11. “ระบบไดนามิกที่สร้างแบบจำลองโดยสมการเชิงอนุพันธ์สามัญจำนวนจำกัดเรียกว่าระบบเข้มข้นหรือระบบจุด พวกมันถูกอธิบายโดยใช้สเปซเฟสที่มีขอบเขตจำกัด และมีลักษณะเฉพาะด้วยระดับความอิสระจำนวนจำกัด ระบบเดียวกันภายใต้เงื่อนไขที่ต่างกันสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นแบบรวมศูนย์หรือแบบกระจาย แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของระบบแบบกระจาย ได้แก่ สมการเชิงอนุพันธ์ย่อย สมการอินทิกรัล หรือสมการหน่วงเวลาธรรมดา จำนวนระดับความเป็นอิสระของระบบแบบกระจายนั้นไม่มีที่สิ้นสุด และจำเป็นต้องมีข้อมูลจำนวนอนันต์เพื่อกำหนดสถานะของระบบ” อนิชเชนโก้ วี.เอส., ระบบไดนามิก, วารสารการศึกษาของโซรอส, 1997, ฉบับที่ 11, หน้า. 77-84.
12. “ขึ้นอยู่กับลักษณะของกระบวนการที่กำลังศึกษาในระบบ S การสร้างแบบจำลองทุกประเภทสามารถแบ่งออกเป็นแบบกำหนดและสุ่ม คงที่และไดนามิก ไม่ต่อเนื่อง ต่อเนื่อง และต่อเนื่องแบบไม่ต่อเนื่อง การสร้างแบบจำลองเชิงกำหนดสะท้อนถึงกระบวนการที่กำหนดขึ้น กล่าวคือ กระบวนการที่ถือว่าไม่มีอิทธิพลแบบสุ่มใดๆ การสร้างแบบจำลองสุ่มแสดงให้เห็นกระบวนการและเหตุการณ์ความน่าจะเป็น ... การสร้างแบบจำลองแบบคงที่ทำหน้าที่อธิบายพฤติกรรมของวัตถุ ณ เวลาใดก็ได้ และการสร้างแบบจำลองแบบไดนามิกสะท้อนถึงพฤติกรรมของวัตถุในช่วงเวลาหนึ่ง การสร้างแบบจำลองแบบแยกส่วนใช้เพื่ออธิบายกระบวนการที่ถือว่าแยกส่วน ตามลำดับ การสร้างแบบจำลองแบบต่อเนื่องช่วยให้เราสามารถสะท้อนกระบวนการที่ต่อเนื่องในระบบได้ และการสร้างแบบจำลองแบบต่อเนื่องแบบแยกส่วนใช้สำหรับกรณีที่ต้องการเน้นการมีอยู่ของกระบวนการทั้งแบบแยกส่วนและแบบต่อเนื่อง ” Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A.ไอ 5-06-003860-2
13. โดยทั่วไปแล้ว แบบจำลองทางคณิตศาสตร์จะสะท้อนถึงโครงสร้าง (อุปกรณ์) ของวัตถุแบบจำลอง คุณสมบัติและความสัมพันธ์ของส่วนประกอบของวัตถุนี้ซึ่งจำเป็นสำหรับวัตถุประสงค์ของการวิจัย แบบจำลองดังกล่าวเรียกว่าโครงสร้าง หากแบบจำลองสะท้อนเฉพาะวิธีที่วัตถุทำงาน - ตัวอย่างเช่นวิธีที่วัตถุตอบสนองต่ออิทธิพลภายนอก - สิ่งนั้นเรียกว่าการทำงานหรือในเชิงเปรียบเทียบว่าเป็นกล่องดำ สามารถรวมโมเดลเข้าด้วยกันได้ มิชคิส เอ.ดี.ไอ 978-5-484-00953-4
14. “ขั้นตอนเริ่มต้นที่ชัดเจน แต่สำคัญที่สุดของการสร้างหรือเลือกแบบจำลองทางคณิตศาสตร์คือการได้ภาพที่ชัดเจนที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้เกี่ยวกับวัตถุที่กำลังสร้างแบบจำลองและปรับปรุงแบบจำลองที่มีความหมายของมัน โดยอาศัยการอภิปรายอย่างไม่เป็นทางการ คุณไม่ควรสละเวลาและความพยายามในขั้นตอนนี้ความสำเร็จของการศึกษาทั้งหมดขึ้นอยู่กับมันเป็นหลัก มันเกิดขึ้นมากกว่าหนึ่งครั้งที่งานสำคัญที่ใช้ไปในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์กลับกลายเป็นว่าไม่ได้ผลหรือสูญเปล่าเนื่องจากความสนใจในด้านนี้ไม่เพียงพอ” มิชคิส เอ.ดี.,องค์ประกอบของทฤษฎีแบบจำลองทางคณิตศาสตร์. - ฉบับที่ 3, ฉบับที่. - M.: KomKniga, 2007. - 192 กับ ISBN 978-5-484-00953-4, p. 35.
15. « คำอธิบายของแบบจำลองแนวคิดของระบบในขั้นตอนย่อยของการสร้างแบบจำลองระบบนี้: ก) โมเดลเชิงแนวคิด M ได้รับการอธิบายด้วยคำศัพท์และแนวคิดเชิงนามธรรม; b) คำอธิบายของแบบจำลองถูกกำหนดโดยใช้โครงร่างทางคณิตศาสตร์มาตรฐาน c) สมมติฐานและสมมติฐานได้รับการยอมรับในที่สุด d) การเลือกขั้นตอนสำหรับการประมาณกระบวนการจริงเมื่อสร้างแบบจำลองนั้นสมเหตุสมผล” Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., การสร้างแบบจำลองระบบ: Proc. สำหรับมหาวิทยาลัย - ฉบับที่ 3 แก้ไขใหม่ และเพิ่มเติม - ม.: สูงกว่า. โรงเรียน พ.ศ. 2544 - 343 น. ไอ 5-06-003860-2, น. 93.
16. เบลคมัน ไอ.ไอ., มิชคิส เอ.ดี.,

คอมพิวเตอร์เข้ามาในชีวิตของเราอย่างมั่นคงและในทางปฏิบัติไม่มีกิจกรรมของมนุษย์ที่ไม่ได้ใช้คอมพิวเตอร์ ขณะนี้คอมพิวเตอร์มีการใช้กันอย่างแพร่หลายในกระบวนการสร้างและค้นคว้าเครื่องจักรใหม่ กระบวนการทางเทคโนโลยีใหม่และการค้นหาตัวเลือกที่เหมาะสมที่สุด เมื่อแก้ไขปัญหาเศรษฐกิจเมื่อแก้ไขปัญหาการวางแผนและการจัดการการผลิตในระดับต่างๆ การสร้างวัตถุขนาดใหญ่ในเทคโนโลยีจรวด การผลิตเครื่องบิน การต่อเรือ รวมถึงการออกแบบเขื่อน สะพาน ฯลฯ โดยทั่วไปแล้วจะเป็นไปไม่ได้หากไม่ใช้คอมพิวเตอร์

การใช้คอมพิวเตอร์ในการแก้ปัญหาประยุกต์ ประการแรกปัญหาที่ใช้ต้องได้รับการ “แปล” เป็นภาษาคณิตศาสตร์ที่เป็นทางการ กล่าวคือ สำหรับวัตถุ กระบวนการ หรือระบบที่แท้จริงนั้นจะต้องถูกสร้างขึ้น แบบจำลองทางคณิตศาสตร์.

คำว่า "Model" มาจากรูปแบบภาษาละติน (copy, image, outline) การสร้างแบบจำลองคือการแทนที่วัตถุ A บางตัวด้วยวัตถุ B อีกชิ้นหนึ่ง วัตถุ A ที่ถูกแทนที่เรียกว่าวัตถุดั้งเดิมหรือวัตถุการสร้างแบบจำลอง และการแทนที่ B เรียกว่าแบบจำลอง กล่าวอีกนัยหนึ่ง แบบจำลองคือวัตถุที่ใช้แทนวัตถุต้นฉบับ ซึ่งเป็นการศึกษาคุณสมบัติบางประการของวัตถุดั้งเดิม

วัตถุประสงค์ของการจำลองคือการรับ การประมวลผล การนำเสนอ และการใช้ข้อมูลเกี่ยวกับวัตถุที่มีปฏิสัมพันธ์ระหว่างกันและสภาพแวดล้อมภายนอก และแบบจำลองนี้ทำหน้าที่เป็นเครื่องมือในการทำความเข้าใจคุณสมบัติและรูปแบบของพฤติกรรมของวัตถุ

การสร้างแบบจำลองถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในกิจกรรมของมนุษย์ในด้านต่างๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในด้านการออกแบบและการจัดการ ซึ่งกระบวนการตัดสินใจที่มีประสิทธิผลตามข้อมูลที่ได้รับนั้นมีความพิเศษ

แบบจำลองถูกสร้างขึ้นโดยมีวัตถุประสงค์เฉพาะเสมอ ซึ่งมีอิทธิพลต่อคุณสมบัติของปรากฏการณ์วัตถุประสงค์ที่มีนัยสำคัญและสิ่งใดไม่มีนัยสำคัญ แบบจำลองนี้เปรียบเสมือนการฉายภาพความเป็นจริงตามวัตถุประสงค์จากมุมหนึ่ง บางครั้งอาจเป็นไปได้ที่จะได้รับการคาดการณ์ความเป็นจริงตามวัตถุประสงค์จำนวนหนึ่งซึ่งเกิดความขัดแย้งทั้งนี้ขึ้นอยู่กับเป้าหมาย ตามกฎแล้ว นี่เป็นเรื่องปกติสำหรับระบบที่ซับซ้อน ซึ่งการฉายภาพแต่ละครั้งจะเลือกสิ่งที่จำเป็นสำหรับจุดประสงค์เฉพาะจากชุดของสิ่งที่ไม่จำเป็น

ทฤษฎีการสร้างแบบจำลองเป็นสาขาวิชาวิทยาศาสตร์ที่ศึกษาวิธีศึกษาคุณสมบัติของวัตถุดั้งเดิมโดยอาศัยการแทนที่วัตถุเหล่านั้นด้วยวัตถุแบบจำลองอื่นๆ ทฤษฎีการสร้างแบบจำลองมีพื้นฐานอยู่บนทฤษฎีความคล้ายคลึงกัน เมื่อสร้างแบบจำลอง ความคล้ายคลึงกันโดยสิ้นเชิงจะไม่เกิดขึ้นและเพียงแต่พยายามให้แน่ใจว่าแบบจำลองนั้นสะท้อนแง่มุมของการทำงานของวัตถุที่กำลังศึกษาได้ดีเพียงพอ ความคล้ายคลึงกันโดยสิ้นเชิงสามารถเกิดขึ้นได้เฉพาะเมื่อวัตถุหนึ่งถูกแทนที่ด้วยวัตถุอื่นที่เหมือนกันทุกประการเท่านั้น

ทุกรุ่นสามารถแบ่งออกเป็นสองคลาส:

1. จริง,
2. สมบูรณ์แบบ.

ในทางกลับกัน โมเดลจริงสามารถแบ่งออกเป็น:

1. เต็มรูปแบบ
2. ทางกายภาพ,
3. ทางคณิตศาสตร์

โมเดลในอุดมคติสามารถแบ่งออกเป็น:

1. ภาพ,
2. สัญลักษณ์,
3. ทางคณิตศาสตร์

แบบจำลองขนาดเต็มจริงคือวัตถุ กระบวนการ และระบบจริงที่ทำการทดลองทางวิทยาศาสตร์ เทคนิค และอุตสาหกรรม

แบบจำลองทางกายภาพจริง- สิ่งเหล่านี้คือแบบจำลอง หุ่นจำลองที่สร้างคุณสมบัติทางกายภาพของต้นฉบับ (แบบจำลองจลนศาสตร์ ไดนามิก ไฮดรอลิก ความร้อน ไฟฟ้า แสง)

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่แท้จริงคือแบบจำลองแอนะล็อก โครงสร้าง เรขาคณิต กราฟิก ดิจิทัล และไซเบอร์เนติกส์

แบบจำลองภาพในอุดมคติคือ ไดอะแกรม แผนที่ ภาพวาด กราฟ กราฟ แอนะล็อก โครงสร้าง และ แบบจำลองทางเรขาคณิต.

แบบจำลองที่มีลายเซ็นในอุดมคติคือสัญลักษณ์ ตัวอักษร ภาษาการเขียนโปรแกรม สัญลักษณ์เรียงลำดับ สัญลักษณ์ทอพอโลยี การแสดงเครือข่าย

ในอุดมคติ แบบจำลองทางคณิตศาสตร์- เหล่านี้เป็นแบบจำลองเชิงวิเคราะห์ เชิงฟังก์ชัน แบบจำลอง และแบบรวม

ในการจำแนกประเภทข้างต้น บางรุ่นมีการตีความซ้ำซ้อน (เช่น แอนะล็อก) โมเดลทั้งหมด ยกเว้นโมเดลขนาดเต็ม สามารถรวมเป็นโมเดลทางจิตประเภทเดียวได้ เพราะ มันเป็นผลผลิตของการคิดเชิงนามธรรมของมนุษย์

ให้เราอาศัยอยู่ในการสร้างแบบจำลองที่เป็นสากลที่สุดประเภทหนึ่ง - คณิตศาสตร์ซึ่งจับคู่กระบวนการทางกายภาพจำลองกับระบบความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์ซึ่งวิธีแก้ปัญหาช่วยให้เราได้รับคำตอบสำหรับคำถามเกี่ยวกับพฤติกรรมของวัตถุโดยไม่ต้องสร้าง แบบจำลองทางกายภาพซึ่งมักจะมีราคาแพงและไม่มีประสิทธิภาพ

การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์- เป็นวิธีการศึกษาวัตถุ กระบวนการ หรือระบบที่แท้จริงโดยการแทนที่สิ่งเหล่านั้น แบบจำลองทางคณิตศาสตร์สะดวกกว่าในการวิจัยเชิงทดลองโดยใช้คอมพิวเตอร์

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์คือการนำเสนอโดยประมาณของวัตถุ กระบวนการ หรือระบบจริง ซึ่งแสดงออกมาในรูปแบบทางคณิตศาสตร์และคงคุณลักษณะที่สำคัญของต้นฉบับไว้ แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ในรูปแบบเชิงปริมาณโดยใช้โครงสร้างเชิงตรรกะและคณิตศาสตร์จะอธิบายคุณสมบัติพื้นฐานของวัตถุ กระบวนการหรือระบบ พารามิเตอร์ การเชื่อมต่อภายในและภายนอก

การก่อตัวของแนวคิดทางทฤษฎีจากการวิจัยในสาขาวิทยาศาสตร์ธรรมชาติซึ่งทำหน้าที่เป็นพื้นฐานสำหรับข้อมูลในการศึกษากระบวนการทางธรรมชาติในระบบนิเวศทางน้ำและการพัฒนาแบบจำลองทางคณิตศาสตร์เป็นทิศทางทางวิทยาศาสตร์ที่เป็นอิสระ

แนวคิดพื้นฐานและคำจำกัดความ

1.2.1. แบบอย่าง(หน่วยวัดภาษาฝรั่งเศส ตัวอย่าง):

– ชุดของวัตถุบางชุด (เซลล์อวกาศชั่วคราว - สถานี ส่วน เมทริกซ์ ฯลฯ ) อธิบายพารามิเตอร์ใด ๆ ของปรากฏการณ์ที่กำลังศึกษา

ชุดของวัตถุบางชุดที่มีคุณสมบัติและความสัมพันธ์ระหว่างวัตถุเหล่านั้นเป็นไปตามระบบสัจพจน์ที่กำหนด

การวัด ตัวอย่าง บรรทัดฐานคืออะนาล็อก (โครงร่าง โครงสร้าง ระบบสัญญาณ) ของส่วนหนึ่งของความเป็นจริงทางธรรมชาติ (หรือทางสังคม)

(ให้พวกเขาค้นหาจากพจนานุกรม: วิธีการ เทคนิค วิธีการ).

1.2.2. ตามชั้นเรียนตัวแบบได้แก่:

- ทางกายภาพ;

- คณิตศาสตร์

- ทางสังคม.

ในทางกลับกัน แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ตามหลักการดำเนินการเป็นไปได้:

- กำหนดไว้ – ซึ่งสร้างขึ้นบนพื้นฐานของกฎที่แสดงทางคณิตศาสตร์ซึ่งอธิบายกระบวนการทางกายภาพและเคมีในวัตถุการสร้างแบบจำลอง พวกเขาอนุญาต อย่างแน่นอนกำหนดค่าของตัวแปร

- เชิงสถิติ – สร้างขึ้นบนพื้นฐานของข้อมูลการทดลองและเป็นตัวแทนของระบบความสัมพันธ์ที่เชื่อมต่อค่าของพารามิเตอร์อินพุตและเอาต์พุต

- สุ่ม (หรือการจำลอง) - สร้างขึ้นบนพื้นฐานของแนวคิดความน่าจะเป็นเกี่ยวกับกระบวนการในวัตถุประสงค์ของการวิจัยและช่วยให้คุณสามารถจำลองพฤติกรรมของมันโดยการคำนวณฟังก์ชันการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรที่กำหนดคุณลักษณะภายใต้การศึกษา

การเลียนแบบ- การเลียนแบบ.

สุ่ม– สุ่ม, ความน่าจะเป็น.

หลักการ- แนวคิดที่เป็นแนวทาง กฎพื้นฐานของกิจกรรม

ต้องขอบคุณความพยายามของคลาสสิกของวิทยาศาสตร์ธรรมชาติสมัยใหม่ ในช่วงประวัติศาสตร์ของการพัฒนา แบบจำลองคุณภาพสูงของโลกโดยรอบจึงถูกสร้างขึ้น ดังนั้น วี.ไอ. Vernadsky วางรากฐานของหลักคำสอนเรื่องสิ่งมีชีวิตและธรณีเคมีทางทะเล, A.P. Vinogradov เริ่มศึกษาองค์ประกอบทางเคมีของจุลินทรีย์ N.M. Knipovich เป็นผู้บุกเบิกการวิจัยการประมงในทะเลและน้ำกร่อย S.V. Bruevich พัฒนาวิธีการวิเคราะห์สำหรับงานอุทกเคมีทางทะเลโดยกำหนดพื้นฐานของอุทกเคมี ชีวอุทกเคมี และพลวัตทางเคมีของทะเล L.A. Zenkevich ศึกษาสัตว์และผลผลิตของน้ำทะเล, A.B. Skopintsev เริ่มค้นคว้าสารชีวภาพและสารอินทรีย์ (OM) ในอ่างเก็บน้ำและแหล่งน้ำ G.G. Vinberg กล่าวถึงประเด็นการสร้างผลผลิตทางชีวภาพของท้องทะเล

งานเหล่านี้เป็นรากฐานด้านระเบียบวิธีและทฤษฎีสำหรับการวิจัยที่เริ่มขึ้นทั่วโลกในช่วงครึ่งหลังของศตวรรษที่ 20 การศึกษาสถานะทางนิเวศน์ของระบบนิเวศทางทะเลเป็นประจำคุณสมบัติทางอุทกเคมีของการก่อตัวของฐานวัตถุดิบและผลผลิตทางชีวภาพของน้ำธรรมชาติ รูปแบบของการพัฒนากระบวนการทางเคมีและชีวภาพของการเปลี่ยนแปลงและการสลายตัวของอินทรียวัตถุ กลไกของการฟื้นฟูสารตั้งต้นทางชีวภาพที่เกี่ยวข้องกับการศึกษาเงื่อนไขการหมุนเวียนและการไหลเวียนของสารในชีวมณฑล [Leonov, 1999] รวมถึงวิธีการจัดระบบและวิเคราะห์ข้อมูลที่ได้รับ [Fashchuk, 1997; ฟาชชุก และคณะ 1997]

ตามที่นักคณิตศาสตร์ชื่อดังนักวิชาการ I.M. ยาโกลมา : “ระดับวุฒิภาวะของวินัยนั้นส่วนใหญ่จะถูกกำหนดโดยระดับของการใช้เครื่องมือทางคณิตศาสตร์ในนั้น เนื้อหาของ “แบบจำลองทางคณิตศาสตร์” ที่มีอยู่ในวินัยนั้น และข้อสรุปแบบนิรนัยที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับสิ่งเหล่านั้น...”. ภายในครึ่งหลังของศตวรรษที่ยี่สิบ นิเวศวิทยาทางทะเลได้ "เติบโตเต็มที่" ในฐานะวิทยาศาสตร์จนถึงระดับที่การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของสถานะของระบบนิเวศทางทะเลได้กลายเป็นทิศทางทางวิทยาศาสตร์ที่เป็นอิสระในวิทยาศาสตร์ธรรมชาติ ภายในกรอบการทำงาน มหาสมุทรโลกถือเป็นระบบไดนามิกที่ซับซ้อนของกระบวนการทางกายภาพ เคมี ชีวภาพ ธรณีวิทยา และกระบวนการอื่น ๆ

การพัฒนาเทคโนโลยีคอมพิวเตอร์และคณิตศาสตร์ประยุกต์ได้นำไปสู่การพัฒนาแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของระบบนิเวศทางทะเลอย่างเข้มข้นซึ่งทำให้สามารถจัดระบบความรู้ที่ได้รับในสาขาวิทยาศาสตร์ทางทะเลต่าง ๆ เพื่อจุดประสงค์ในการพยากรณ์และจัดการสถานะของวัตถุทางทะเลของ น้ำ. ในเรื่องนี้ แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของระบบนิเวศทางทะเล รวมถึงการสังเกตการณ์ภาคสนามในทะเล ถือได้ว่าเป็นรากฐานของความเข้าใจทางวิทยาศาสตร์เกี่ยวกับธรรมชาติของมหาสมุทร การสร้างและการใช้แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ทำหน้าที่เป็นวิธีการวิเคราะห์อย่างเป็นระบบเกี่ยวกับสภาพการทำงานของระบบนิเวศทางทะเล

1.4.1. ตามวิธีการเชิงระเบียบวิธีในการสร้างแบบจำลองกระบวนการและปรากฏการณ์ทางธรรมชาติมีความโดดเด่นดังต่อไปนี้: ประเภทของรุ่น: เชิงประจักษ์ กึ่งเชิงประจักษ์ และเชิงทฤษฎี

แบบจำลองเชิงประจักษ์อธิบายโดยการพึ่งพาทางคณิตศาสตร์ถึงความเชื่อมโยงระหว่างพารามิเตอร์แต่ละตัวของสถานะของสภาพแวดล้อมและปัจจัยภายนอกที่กระทำต่อพารามิเตอร์เหล่านั้น

แบบจำลองเชิงทฤษฎีขึ้นอยู่กับเนื้อหาข้อเท็จจริงอย่างกว้างๆ ที่ได้รับจากการศึกษาพื้นฐานขององค์ประกอบแต่ละส่วนของระบบนิเวศ กระบวนการเปลี่ยนแปลงของสสารและพลังงาน รูปแบบของการเปลี่ยนแปลงพารามิเตอร์ทางเคมีและชีวภาพ เป็นต้น

แบบจำลองกึ่งเชิงประจักษ์เป็นตัวแทนของการสังเคราะห์สองรุ่นแรก และแบบจำลองที่พัฒนาแล้วส่วนใหญ่สามารถจัดอยู่ในหมวดหมู่นี้ได้

1.4.2. ตามวิธีการนำไปใช้ แบบจำลองแบ่งออกเป็น:

- กำหนดไว้(พวกเขาใช้การพึ่งพาการทำงานเพื่อเชื่อมโยงตัวแปร)

- สุ่ม (สร้างขึ้นบนพื้นฐานของความสัมพันธ์ทางสถิติ) อันแรกถูกใช้บ่อยกว่าเนื่องจากอนุญาตให้มีส่วนประกอบจำนวนไม่ จำกัด และไม่คำนึงถึงความผันผวนแบบสุ่มในพารามิเตอร์ของสภาพแวดล้อมทางน้ำ สะดวกในแง่ของการตีความผลลัพธ์ [Aizatullin, Lebedev, 1977]

- สุ่มกำหนดโดยในขั้นตอนแรก จะมีการหาวิธีแก้ปัญหาด้วยวิธีที่กำหนด จากนั้นใช้วิธีการทดสอบทางสถิติ โดยจะจำลองความแปรปรวนของพารามิเตอร์ต่างๆ และศึกษาการตอบสนองของสารละลายต่อความแปรปรวนนี้

1.4.3. ขึ้นอยู่กับ เกี่ยวกับความถูกต้องของคำอธิบายวัตถุสามารถแบ่งรุ่นได้เป็น การเลียนแบบ (เฉพาะลุ่มน้ำหรือพื้นที่เฉพาะ และพัฒนาเพื่อวัตถุประสงค์การวิจัยเฉพาะ) และ คุณภาพ (ใช้เพื่อชี้แจงรูปแบบทั่วไปของการพัฒนาและการวิเคราะห์กระบวนการบางครั้งเรียกว่า ตามทฤษฎี). ใน การเลียนแบบ โมเดลมุ่งมั่นที่จะคำนึงถึงรายละเอียดสูงสุดและเข้า คุณภาพ - ขั้นต่ำ (แต่สำคัญที่สุด) ดังนั้นสำหรับอย่างหลัง ปัญหาหลักคือการเลือกตัวแปรลำดับความสำคัญ [Smith, 1976]

ตามการจำแนกประเภทอื่น การเลียนแบบ (aka stochastic) แบบจำลองเป็นแบบจำลองที่สร้างขึ้นบนพื้นฐานของแนวคิดความน่าจะเป็นเกี่ยวกับกระบวนการในวัตถุประสงค์ของการวิจัย และอนุญาตให้บุคคลหนึ่งจำลองพฤติกรรมของมันได้

1.4.4. ตามวิธีการแสดง (อธิบาย) โครงสร้างเชิงพื้นที่ แบบจำลองแบ่งออกเป็น:

- จุด(หรือศูนย์มิติ) ด้วยพารามิเตอร์แบบก้อนโดยค่าของลักษณะสถานะจะถูกนำมาเป็นค่าเฉลี่ยสำหรับปริมาตรน้ำทั้งหมดนั่นคือ แหล่งน้ำถือเป็นจุด (เช่น เป็นสถานีสมุทรศาสตร์โดยเฉลี่ย)

การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

1. การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์คืออะไร?

ตั้งแต่กลางศตวรรษที่ 20 วิธีการทางคณิตศาสตร์และคอมพิวเตอร์เริ่มมีการใช้กันอย่างแพร่หลายในด้านต่างๆ ของกิจกรรมของมนุษย์ สาขาวิชาใหม่ๆ เกิดขึ้น เช่น “เศรษฐศาสตร์คณิตศาสตร์” “เคมีคณิตศาสตร์” “ภาษาศาสตร์คณิตศาสตร์” ฯลฯ ศึกษาแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของวัตถุและปรากฏการณ์ที่เกี่ยวข้อง ตลอดจนวิธีการศึกษาแบบจำลองเหล่านี้

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์เป็นคำอธิบายโดยประมาณของปรากฏการณ์หรือวัตถุในโลกแห่งความเป็นจริงในภาษาคณิตศาสตร์ วัตถุประสงค์หลักของการสร้างแบบจำลองคือเพื่อสำรวจวัตถุเหล่านี้และทำนายผลลัพธ์ของการสังเกตในอนาคต อย่างไรก็ตาม การสร้างแบบจำลองยังเป็นวิธีการหนึ่งในการทำความเข้าใจโลกรอบตัวเรา ทำให้สามารถควบคุมโลกได้

การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์และการทดลองทางคอมพิวเตอร์ที่เกี่ยวข้องเป็นสิ่งที่ขาดไม่ได้ในกรณีที่การทดลองเต็มรูปแบบเป็นไปไม่ได้หรือยากด้วยเหตุผลใดก็ตาม ตัวอย่างเช่น เป็นไปไม่ได้เลยที่จะสร้างการทดลองทางธรรมชาติในประวัติศาสตร์เพื่อตรวจสอบ "จะเกิดอะไรขึ้นถ้า..." เป็นไปไม่ได้ที่จะตรวจสอบความถูกต้องของทฤษฎีทางจักรวาลวิทยาอย่างใดอย่างหนึ่ง เป็นไปได้แต่ไม่น่าจะสมเหตุสมผลในการทดลองกับการแพร่กระจายของโรค เช่น โรคระบาด หรือทำการระเบิดนิวเคลียร์เพื่อศึกษาผลที่ตามมา อย่างไรก็ตาม ทั้งหมดนี้สามารถทำได้บนคอมพิวเตอร์โดยการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของปรากฏการณ์ที่กำลังศึกษาอยู่ก่อน

2. ขั้นตอนหลักของการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

1) การสร้างแบบจำลอง. ในขั้นตอนนี้ มีการระบุวัตถุที่ "ไม่ใช่ทางคณิตศาสตร์" บางอย่าง เช่น ปรากฏการณ์ทางธรรมชาติ การออกแบบ แผนเศรษฐกิจ กระบวนการผลิต ฯลฯ ในกรณีนี้ ตามกฎแล้ว การอธิบายสถานการณ์ที่ชัดเจนเป็นเรื่องยาก ขั้นแรก มีการระบุคุณสมบัติหลักของปรากฏการณ์และความเชื่อมโยงระหว่างสิ่งเหล่านั้นในระดับคุณภาพ จากนั้นการพึ่งพาเชิงคุณภาพที่พบจะถูกกำหนดในภาษาคณิตศาสตร์นั่นคือแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ถูกสร้างขึ้น นี่เป็นขั้นตอนที่ยากที่สุดในการสร้างแบบจำลอง

2) การแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่แบบจำลองนำไปสู่. ในขั้นตอนนี้ให้ความสนใจอย่างมากกับการพัฒนาอัลกอริธึมและวิธีการเชิงตัวเลขสำหรับการแก้ปัญหาบนคอมพิวเตอร์ด้วยความช่วยเหลือซึ่งสามารถหาผลลัพธ์ได้อย่างแม่นยำและภายในระยะเวลาที่ยอมรับได้

3) การตีความผลที่ตามมาจากแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ผลที่ตามมาที่ได้รับจากแบบจำลองในภาษาคณิตศาสตร์จะถูกตีความในภาษาที่ยอมรับในสาขานั้น

4) การตรวจสอบความเพียงพอของแบบจำลองในขั้นตอนนี้ จะมีการพิจารณาว่าผลการทดลองสอดคล้องกับผลที่ตามมาทางทฤษฎีของแบบจำลองด้วยความแม่นยำระดับหนึ่งหรือไม่

5) การปรับเปลี่ยนแบบจำลองในขั้นตอนนี้ แบบจำลองนั้นมีความซับซ้อนเพื่อให้เหมาะสมกับความเป็นจริงมากขึ้น หรือแบบจำลองนั้นถูกทำให้ง่ายขึ้นเพื่อให้ได้วิธีแก้ปัญหาที่ยอมรับได้ในทางปฏิบัติ

3. การจำแนกประเภทของแบบจำลอง

โมเดลสามารถจำแนกตามเกณฑ์ต่างๆ ตัวอย่างเช่น ตามลักษณะของปัญหาที่กำลังแก้ไข แบบจำลองสามารถแบ่งออกเป็นเชิงฟังก์ชันและเชิงโครงสร้าง ในกรณีแรก ปริมาณทั้งหมดที่แสดงถึงปรากฏการณ์หรือวัตถุจะแสดงออกมาในเชิงปริมาณ ยิ่งไปกว่านั้น บางส่วนยังถือเป็นตัวแปรอิสระ ในขณะที่บางตัวถือเป็นฟังก์ชันของปริมาณเหล่านี้ แบบจำลองทางคณิตศาสตร์มักเป็นระบบสมการประเภทต่างๆ (ดิฟเฟอเรนเชียล พีชคณิต ฯลฯ) ที่สร้างความสัมพันธ์เชิงปริมาณระหว่างปริมาณที่พิจารณา ในกรณีที่สอง โมเดลจะกำหนดลักษณะโครงสร้างของวัตถุที่ซับซ้อนซึ่งประกอบด้วยแต่ละส่วน ซึ่งมีการเชื่อมต่อบางอย่างระหว่างนั้น โดยทั่วไปแล้ว การเชื่อมต่อเหล่านี้ไม่สามารถวัดปริมาณได้ การสร้างแบบจำลองดังกล่าวจะสะดวกที่จะใช้ทฤษฎีกราฟ กราฟเป็นวัตถุทางคณิตศาสตร์ที่แสดงถึงชุดของจุด (จุดยอด) บนระนาบหรือในอวกาศ ซึ่งบางจุดเชื่อมต่อกันด้วยเส้น (ขอบ)

ขึ้นอยู่กับลักษณะของข้อมูลและผลลัพธ์เบื้องต้น แบบจำลองการทำนายสามารถแบ่งออกเป็นแบบกำหนดและแบบความน่าจะเป็น-สถิติ แบบจำลองประเภทแรกให้คำทำนายที่แน่นอนและไม่คลุมเครือ แบบจำลองประเภทที่สองนั้นขึ้นอยู่กับข้อมูลทางสถิติ และการคาดการณ์ที่ได้รับด้วยความช่วยเหลือนั้นมีความน่าจะเป็นโดยธรรมชาติ

4. ตัวอย่างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

1) ปัญหาการเคลื่อนที่ของกระสุนปืน

พิจารณาปัญหาทางกลไกต่อไปนี้

กระสุนปืนถูกปล่อยจากโลกด้วยความเร็วเริ่มต้น v 0 = 30 m/s ที่มุม a = 45° ถึงพื้นผิว; จำเป็นต้องค้นหาวิถีการเคลื่อนที่และระยะทาง S ระหว่างจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของวิถีนี้

ดังที่ทราบจากหลักสูตรฟิสิกส์ของโรงเรียน การเคลื่อนที่ของกระสุนปืนถูกอธิบายโดยสูตร:

โดยที่ t คือเวลา g = 10 m/s 2 คือความเร่งของแรงโน้มถ่วง สูตรเหล่านี้เป็นแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของปัญหา การแสดง t ถึง x จากสมการแรกและแทนที่เป็นสมการที่สอง เราได้สมการสำหรับวิถีการเคลื่อนที่ของกระสุนปืน:

เส้นโค้งนี้ (พาราโบลา) ตัดแกน x ที่จุดสองจุด: x 1 = 0 (จุดเริ่มต้นของวิถี) และ (จุดที่กระสุนปืนตกลงมา) เราได้รับค่าแทนค่าที่กำหนดของ v0 และ a ลงในสูตรผลลัพธ์

คำตอบ: y = x – 90x 2, S = 90 ม.

โปรดทราบว่าเมื่อสร้างแบบจำลองนี้ มีการใช้สมมติฐานหลายประการ เช่น สันนิษฐานว่าโลกแบน และอากาศและการหมุนของโลกไม่ส่งผลต่อการเคลื่อนที่ของกระสุนปืน

2) ปัญหาเกี่ยวกับถังที่มีพื้นที่ผิวน้อยที่สุด

จำเป็นต้องค้นหาความสูง h 0 และรัศมี r 0 ของถังดีบุกที่มีปริมาตร V = 30 m 3 โดยมีรูปร่างเป็นทรงกระบอกกลมปิด ซึ่งพื้นที่ผิว S น้อยที่สุด (ในกรณีนี้ น้อยที่สุด จะใช้ปริมาณดีบุกในการผลิต)

ให้เราเขียนสูตรต่อไปนี้สำหรับปริมาตรและพื้นที่ผิวของทรงกระบอกสูง h และรัศมี r:

V = p r 2 ชม., S = 2p r(r + h)

เมื่อแสดง h ถึง r และ V จากสูตรแรกและแทนที่นิพจน์ผลลัพธ์ลงในสูตรที่สอง เราจะได้:

ดังนั้น จากมุมมองทางคณิตศาสตร์ ปัญหาจึงอยู่ที่การกำหนดค่าของ r ซึ่งฟังก์ชัน S(r) ถึงค่าต่ำสุด ให้เราค้นหาค่าเหล่านั้นของ r 0 ซึ่งเป็นอนุพันธ์

ไปที่ศูนย์: คุณสามารถตรวจสอบว่าอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชัน S(r) เปลี่ยนเครื่องหมายจากลบเป็นบวกเมื่ออาร์กิวเมนต์ r ผ่านจุด r 0 ดังนั้น ณ จุด r0 ฟังก์ชัน S(r) จึงมีค่าต่ำสุด ค่าที่สอดคล้องกันคือ h 0 = 2r 0 แทนที่ค่าที่กำหนด V ลงในนิพจน์สำหรับ r 0 และ h 0 เราจะได้รัศมีและความสูงที่ต้องการ

3) ปัญหาด้านการขนส่ง

เมืองนี้มีโกดังแป้งสองแห่งและร้านเบเกอรี่สองแห่ง ในแต่ละวัน มีการขนส่งแป้ง 50 ตันจากคลังสินค้าแห่งแรก และ 70 ตันจากคลังสินค้าแห่งที่สองไปยังโรงงาน โดย 40 ตันไปยังคลังสินค้าแห่งแรก และ 80 ตันไปยังคลังสินค้าที่สอง

ให้เราแสดงโดย ก ij คือต้นทุนการขนส่งแป้ง 1 ตันจากคลังสินค้าที่ i ไปยังโรงงานที่ j (i, j = 1.2) อนุญาต

ก 11 = 1.2 รูเบิล ก 12 = 1.6 รูเบิล ก 21 = 0.8 ถู. ก 22 = 1 ถู

ควรวางแผนการขนส่งอย่างไรให้ต้นทุนน้อยที่สุด?

เรามาลองกำหนดสูตรทางคณิตศาสตร์ให้กับโจทย์กันดีกว่า ให้เราแสดงด้วย x 1 และ x 2 ปริมาณแป้งที่ต้องขนส่งจากคลังสินค้าแห่งแรกไปยังโรงงานที่หนึ่งและที่สองและโดย x 3 และ x 4 - จากคลังสินค้าแห่งที่สองไปยังโรงงานที่หนึ่งและสองตามลำดับ แล้ว:

x 1 + x 2 = 50, x 3 + x 4 = 70, x 1 + x 3 = 40, x 2 + x 4 = 80 (1)

ต้นทุนรวมของการขนส่งทั้งหมดถูกกำหนดโดยสูตร

ฉ = 1.2x 1 + 1.6x 2 + 0.8x 3 + x 4

จากมุมมองทางคณิตศาสตร์ ปัญหาคือการหาตัวเลขสี่จำนวน x 1, x 2, x 3 และ x 4 ที่ตรงตามเงื่อนไขที่กำหนดทั้งหมดและให้ค่าต่ำสุดของฟังก์ชัน f ให้เราแก้ระบบสมการ (1) สำหรับ xi (i = 1, 2, 3, 4) โดยกำจัดสิ่งที่ไม่รู้ออกไป เราเข้าใจแล้ว

x 1 = x 4 – 30, x 2 = 80 – x 4, x 3 = 70 – x 4, (2)

และ x 4 ไม่สามารถกำหนดได้โดยเฉพาะ เนื่องจาก x i і 0 (i = 1, 2, 3, 4) จึงตามมาจากสมการ (2) ที่30Ј x 4 Ј 70 แทนที่นิพจน์สำหรับ x 1, x 2, x 3 ลงในสูตรสำหรับ f เราจะได้

ฉ = 148 – 0.2x 4.

ง่ายที่จะเห็นว่าค่าต่ำสุดของฟังก์ชันนี้บรรลุได้ที่ค่าสูงสุดที่เป็นไปได้ของ x 4 นั่นคือที่ x 4 = 70 ค่าที่สอดคล้องกันของค่าที่ไม่รู้จักอื่น ๆ จะถูกกำหนดโดยสูตร (2): x 1 = 40, x 2 = 10, x 3 = 0

4) ปัญหาการสลายตัวของกัมมันตภาพรังสี

ให้ N(0) เป็นจำนวนอะตอมตั้งต้นของสารกัมมันตภาพรังสี และ N(t) เป็นจำนวนอะตอมที่ไม่สลายตัว ณ เวลา t มีการทดลองพบว่าอัตราการเปลี่ยนแปลงของจำนวนอะตอมเหล่านี้ N"(t) เป็นสัดส่วนกับ N(t) นั่นคือ N"(t)=–l N(t) l >0 คือ ค่าคงที่กัมมันตภาพรังสีของสารที่กำหนด ในหลักสูตรการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ของโรงเรียน แสดงให้เห็นว่าการแก้สมการเชิงอนุพันธ์นี้มีรูปแบบ N(t) = N(0)e –l t เวลา T ในระหว่างที่จำนวนอะตอมเริ่มต้นลดลงครึ่งหนึ่งเรียกว่าครึ่งชีวิต และเป็นลักษณะสำคัญของกัมมันตภาพรังสีของสาร ในการหาค่า T เราต้องใส่สูตร จากนั้น ตัวอย่างเช่น สำหรับเรดอน l = 2.084 · 10 –6 ดังนั้น T = 3.15 วัน

5) ปัญหาพนักงานขายเดินทาง

พนักงานขายที่เดินทางซึ่งอาศัยอยู่ในเมือง A 1 จำเป็นต้องไปเยือนเมือง A 2 , A 3 และ A 4 เมืองละครั้งเท่านั้น จากนั้นจึงกลับมาที่ A 1 เป็นที่ทราบกันว่าเมืองทุกเมืองเชื่อมต่อกันเป็นคู่ด้วยถนน และความยาวของถนน b ij ระหว่างเมือง A i และ A j (i, j = 1, 2, 3, 4) มีดังนี้:

ข 12 = 30, ข 14 = 20, ข 23 = 50, ข 24 = 40, ข 13 = 70, ข 34 = 60

มีความจำเป็นต้องกำหนดลำดับการเยี่ยมชมเมืองโดยที่ความยาวของเส้นทางที่สอดคล้องกันนั้นน้อยที่สุด

ให้เราวาดภาพแต่ละเมืองเป็นจุดบนเครื่องบินและทำเครื่องหมายด้วยป้ายกำกับ Ai (i = 1, 2, 3, 4) มาเชื่อมโยงจุดเหล่านี้ด้วยเส้นตรง: พวกมันจะเป็นตัวแทนของถนนระหว่างเมืองต่างๆ สำหรับ “ถนน” แต่ละเส้น เราจะระบุความยาวเป็นกิโลเมตร (รูปที่ 2) ผลลัพธ์ที่ได้คือกราฟ - วัตถุทางคณิตศาสตร์ที่ประกอบด้วยชุดของจุดจำนวนหนึ่งบนระนาบ (เรียกว่าจุดยอด) และชุดของเส้นบางชุดที่เชื่อมต่อจุดเหล่านี้ (เรียกว่าขอบ) นอกจากนี้ กราฟนี้ยังมีป้ายกำกับ เนื่องจากจุดยอดและขอบของกราฟถูกกำหนดป้ายกำกับบางอัน - ตัวเลข (ขอบ) หรือสัญลักษณ์ (จุดยอด) วงจรบนกราฟคือลำดับของจุดยอด V 1 , V 2 , ..., V k , V 1 โดยที่จุดยอด V 1 , ..., V k ต่างกัน และจุดยอดคู่ใดๆ V i , V i+1 (i = 1, ..., k – 1) และคู่ V 1, V k เชื่อมต่อกันด้วยขอบ ดังนั้น ปัญหาที่กำลังพิจารณาคือการหาวงจรบนกราฟที่ผ่านจุดยอดทั้งสี่ซึ่งผลรวมของน้ำหนักขอบทั้งหมดจะน้อยที่สุด ให้เราค้นหารอบต่างๆ ทั้งหมดที่ผ่านจุดยอดสี่จุดและเริ่มต้นที่ A 1:

1) ก 1, 4, 3, 2, 1;
2) เอ 1, เอ 3, เอ 2, เอ 4, เอ 1;
3) ก 1, 3, 4, 2, 1

ให้เราหาความยาวของวัฏจักรเหล่านี้ (เป็นกิโลเมตร): L 1 = 160, L 2 = 180, L 3 = 200 ดังนั้น เส้นทางที่สั้นที่สุดจะเป็นเส้นทางแรก

โปรดทราบว่าหากมีจุดยอด n จุดในกราฟและจุดยอดทั้งหมดเชื่อมต่อกันเป็นคู่ด้วยขอบ (กราฟดังกล่าวเรียกว่าสมบูรณ์) ดังนั้นจำนวนรอบที่ผ่านจุดยอดทั้งหมดจึงเท่ากับ ดังนั้น ในกรณีของเรา จะมีสามรอบพอดี

6) ปัญหาการหาความเชื่อมโยงระหว่างโครงสร้างและคุณสมบัติของสาร

ลองดูสารประกอบเคมีหลายชนิดที่เรียกว่าอัลเคนปกติ ประกอบด้วยคาร์บอน n อะตอมและไฮโดรเจน n + 2 อะตอม (n = 1, 2 ... ) เชื่อมต่อกันดังแสดงในรูปที่ 3 สำหรับ n = 3 ให้ทราบค่าการทดลองของจุดเดือดของสารประกอบเหล่านี้:

ใช่ (3) = – 42° ใช่ (4) = 0° ใช่ (5) = 28° ใช่ (6) = 69°

จำเป็นต้องค้นหาความสัมพันธ์โดยประมาณระหว่างจุดเดือดกับจำนวน n ของสารประกอบเหล่านี้ ให้เราสมมติว่าการพึ่งพานี้มีรูปแบบ

คุณ" กไม่มี+ข

ที่ไหน ก, b - ค่าคงที่ที่จะถูกกำหนด การค้นหา กและ b เราแทนที่สูตรนี้ตามลำดับ n = 3, 4, 5, 6 และค่าที่สอดคล้องกันของจุดเดือด เรามี:

– 42 » 3 ก+ ข, 0 » 4 ก+ ข, 28 » 5 ก+ ข, 69 » 6 ก+ข.

เพื่อกำหนดสิ่งที่ดีที่สุด กและ b มีวิธีการที่แตกต่างกันมากมาย ลองใช้สิ่งที่ง่ายที่สุดกันดีกว่า ลองเขียน b ผ่านดูสิ กจากสมการเหล่านี้:

ข » – 42 – 3 ก, ข " – 4 ก, ข » 28 – 5 ก, ข » 69 – 6 ก.

ให้เราหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าเหล่านี้ตามที่ต้องการ b นั่นคือเราใส่ b » 16 – 4.5 ก. ให้เราแทนค่า b นี้ลงในระบบสมการดั้งเดิมและคำนวณ กเราได้รับเพื่อ กค่าต่อไปนี้: ก» 37, ก» 28, ก» 28, ก 36. เอาตามความจำเป็นเถอะ กค่าเฉลี่ยของตัวเลขเหล่านี้คือสมมุติ ก 34. ดังนั้น สมการที่ต้องการจึงมีรูปแบบ

ป » 34น – 139.

เรามาตรวจสอบความถูกต้องของแบบจำลองบนสารประกอบสี่ตัวดั้งเดิมซึ่งเราคำนวณจุดเดือดโดยใช้สูตรผลลัพธ์:

y р (3) = – 37°, y р (4) = – 3°, y р (5) = 31°, y р (6) = 65°

ดังนั้น ข้อผิดพลาดในการคำนวณคุณสมบัตินี้สำหรับสารประกอบเหล่านี้จะต้องไม่เกิน 5° เราใช้สมการผลลัพธ์ในการคำนวณจุดเดือดของสารประกอบที่มี n = 7 ซึ่งไม่รวมอยู่ในเซตดั้งเดิม ซึ่งเราแทน n = 7 ลงในสมการนี้: y р (7) = 99° ผลลัพธ์ค่อนข้างแม่นยำ โดยทราบกันว่าค่าการทดลองของจุดเดือด y e (7) = 98°

7) ปัญหาการกำหนดความน่าเชื่อถือของวงจรไฟฟ้า

ที่นี่เราจะดูตัวอย่างของแบบจำลองความน่าจะเป็น อันดับแรก เรานำเสนอข้อมูลบางส่วนจากทฤษฎีความน่าจะเป็น ซึ่งเป็นสาขาวิชาทางคณิตศาสตร์ที่ศึกษารูปแบบของปรากฏการณ์สุ่มที่สังเกตได้ระหว่างการทดลองซ้ำหลายครั้ง ให้เราเรียกเหตุการณ์สุ่ม A ว่าเป็นผลที่เป็นไปได้ของการทดลองบางอย่าง เหตุการณ์ A 1, ..., A k จะสร้างกลุ่มที่สมบูรณ์หากเหตุการณ์ใดเหตุการณ์หนึ่งจำเป็นต้องเกิดขึ้นอันเป็นผลมาจากการทดลอง เหตุการณ์จะเรียกว่าเข้ากันไม่ได้หากไม่สามารถเกิดขึ้นพร้อมกันในประสบการณ์เดียว ปล่อยให้เหตุการณ์ A เกิดขึ้น m ครั้งระหว่างการทดสอบซ้ำ n เท่า ความถี่ของเหตุการณ์ A คือตัวเลข W = แน่นอนว่าค่าของ W ไม่สามารถทำนายได้อย่างแม่นยำจนกว่าจะทำการทดลองจำนวน n ชุด อย่างไรก็ตาม ธรรมชาติของเหตุการณ์สุ่มเป็นเช่นนั้นในทางปฏิบัติ บางครั้งอาจสังเกตเห็นผลกระทบต่อไปนี้: เมื่อจำนวนการทดลองเพิ่มขึ้น ค่าในทางปฏิบัติก็จะไม่กลายเป็นแบบสุ่มและจะคงที่รอบๆ จำนวน P(A ที่ไม่ใช่จำนวนสุ่ม) ซึ่งเรียกว่าความน่าจะเป็นของ เหตุการณ์ A สำหรับเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้ (ซึ่งไม่เคยเกิดขึ้นในการทดลอง) P(A)=0 และสำหรับเหตุการณ์ที่เชื่อถือได้ (ซึ่งมักจะเกิดขึ้นในประสบการณ์) P(A)=1 หากเหตุการณ์ A 1 , ..., A k รวมกลุ่มของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ ดังนั้น P(A 1)+...+P(A k)=1

ตัวอย่างเช่น การทดลองประกอบด้วยการทอยลูกเต๋าและสังเกตจำนวนคะแนน X ที่กลิ้งออกมา จากนั้น เราจะแนะนำเหตุการณ์สุ่มต่อไปนี้ A i = (X = i), i = 1, ..., 6 รวมกันเป็นกลุ่มเหตุการณ์ที่มีความน่าจะเป็นที่เข้ากันไม่ได้และมีความน่าจะเป็นเท่ากัน ดังนั้น P(A i) = (i = 1, ..., 6)

ผลรวมของเหตุการณ์ A และ B คือเหตุการณ์ A + B ซึ่งประกอบด้วยข้อเท็จจริงที่ว่ามีอย่างน้อยหนึ่งเหตุการณ์เกิดขึ้นในประสบการณ์ ผลคูณของเหตุการณ์ A และ B คือเหตุการณ์ AB ซึ่งประกอบด้วยเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นพร้อมกัน สำหรับเหตุการณ์อิสระ A และ B สูตรต่อไปนี้เป็นจริง:

P(AB) = P(A) P(B), P(A + B) = P(A) + P(B)

8) ตอนนี้ให้เราพิจารณาสิ่งต่อไปนี้ งาน. สมมติว่าองค์ประกอบทั้งสามเชื่อมต่อแบบอนุกรมกับวงจรไฟฟ้าและทำงานแยกจากกัน ความน่าจะเป็นที่จะล้มเหลวขององค์ประกอบที่ 1, 2 และ 3 ตามลำดับเท่ากับ P1 = 0.1, P2 = 0.15, P3 = 0.2 เราจะพิจารณาวงจรที่เชื่อถือได้หากความน่าจะเป็นที่ไม่มีกระแสในวงจรมีค่าไม่เกิน 0.4 มีความจำเป็นต้องพิจารณาว่าวงจรที่กำหนดมีความน่าเชื่อถือหรือไม่

เนื่องจากองค์ประกอบต่างๆ เชื่อมต่อกันแบบอนุกรม จะไม่มีกระแสไฟฟ้าในวงจร (เหตุการณ์ A) หากองค์ประกอบอย่างน้อยหนึ่งตัวล้มเหลว ให้ A i เป็นเหตุการณ์ที่สมาชิก i-th ทำงาน (i = 1, 2, 3) จากนั้น P(A1) = 0.9, P(A2) = 0.85, P(A3) = 0.8 แน่นอนว่า A 1 A 2 A 3 เป็นเหตุการณ์ที่องค์ประกอบทั้งสามทำงานพร้อมกัน และ

P(A 1 A 2 A 3) = P(A 1) P(A 2) P(A 3) = 0.612

จากนั้น P(A) + P(A 1 A 2 A 3) = 1 ดังนั้น P(A) = 0.388< 0,4. Следовательно, цепь является надежной.

โดยสรุป เราสังเกตว่าตัวอย่างที่ให้มาของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ (รวมถึงเชิงฟังก์ชันและโครงสร้าง เชิงกำหนด และความน่าจะเป็น) เป็นเพียงตัวอย่างในธรรมชาติ และเห็นได้ชัดว่า ไม่ได้ทำให้แบบจำลองทางคณิตศาสตร์อันหลากหลายที่เกิดขึ้นในวิทยาศาสตร์ธรรมชาติและมนุษยศาสตร์หมดไป