Príklady riešení diferenciálnych rovníc druhej objednávky podľa metód lagrange. Lineárne diferenciálne rovnice druhého poriadku. Neformálny systém riešení vyrieši systém rovníc druhej objednávky

V teórii systémov lineárnych rovníc av niektorých iných záležitostiach je vhodné použiť koncepciu determiny alebo determinantu.

Zvážte všetky štyri čísla zaznamenané vo forme štvorcovej tabuľky (matrix) pre dve v riadkoch a dvoch stĺpcoch. Determinant alebo determinant zložený z čísel tejto tabuľky sa nazýva číslo uvedené nasledovne:

Takýto determinant sa nazýva determinant druhého rádu, pretože tabuľka dvoch riadkov a dvoch stĺpcov je odobratá na kompiláciu. Čísla, z ktorých je determinant zostavený, sa nazýva jeho prvky, zatiaľ čo sa hovorí, že prvky sú hlavnou uhlopriečkou determiny a prvky sú jeho bočné uhlopriečka. Je možné vidieť, že determinant sa rovná rozdielu v dielach prvkov, ktoré stoja na jeho hlavných a bočných diagonáloch.

Príklad 1. Vypočítajte nasledujúce determinanty druhého poradia:

Rozhodnutie, a) podľa definície máme

S pomocou determinantov môže byť rovnosť (66,6), (66,7) a (66,8) prepíše, zmení ich časti, takže:

Všimnite si, že determinanty sú veľmi jednoducho zostavené systémovými koeficientmi (66.2).

Determinant sa totiž skladá z koeficientov v tomto systéme. Nazýva sa hlavný determinant systému (66.2). Nazývame determinanty pre neznámy X a Y. Je možné formulovať nasledujúce pravidlo ich zostavovania: Determinant pre každý z neznámych, sa získava z hlavného determiny, ak sa stĺpec koeficient v tomto neznáme, má byť nahradený stĺpcom voľných členov (prevzaté z pravej časti Systémové rovnice).

Príklad 2. Systém (66.12) na riešenie pomocou determinantov.

Rozhodnutie. Zostavujeme a vypočítame hlavný determinant tohto systému:

Teraz je nahradený stĺpcom koeficientov na X (prvý stĺpec) s bezplatnými členmi. Získame determinant pre X:

Podobne nájdeme

Odtiaľto podľa vzorcov (66.11) dostaneme

Prišli sme k už známemu riešeniu (1, -1).

Teraz vykonávame štúdiu systému lineárnych rovníc (66.2). Na tento účel sa vrátime k rovnosti (66,9) a (66.10) a rozlišujeme medzi dvoma prípadmi:

Nech, potom, ako už bolo uvedené, vzorce (66.11) dávajú jediné riešenie systému (66,2). Ak je hlavný determinant systému nulový, systém má jediný roztok určený vzorcami (66,11); Takýto systém sa nazýva určitá.

2) Dovoľte si teraz. V závislosti od hodnôt rozlišujeme medzi dvoma prípadmi.

a) aspoň jeden z determinantov sa líši od nuly; Potom nemá systém (66.2) žiadne riešenia. Napríklad, napr. Rovnosť (66,9) nemôže byť splnená s akýmkoľvek hodnote, pretože táto rovnosť sa získa v dôsledku systému (66.2), systém nemá žiadne riešenia. Takýto systém sa nazýva neúplný.

b) obe determinanty sú nula; Rovnosť (66,9) a (66.10) sú splnené totožné a na štúdium systému (66.2) sa nepoužívajú.

Dokážeme, že ak aspoň jeden z koeficientov v systéme neznáme v systéme (66.2) sa líši od nuly, systém má nekonečný súbor riešení. Aby sme sa uistili, že povedzme napríklad, že. Zo vzťahov

az nahrávania druhej rovnice systému (66,2), nahradenie výrazov koeficientov

zistili sme, že sa líši od prvej rovnice len multiplikátor, ktorý je v podstate zhoduje s ním (ekvivalentom mu). Systém (66.2) je znížený na jednu prvú rovnicu a definuje nespočetné množstvo riešení (takýto systém sa nazýva neistý). V zásade je možné v zásade taký extrémny prípad ako rovnosť všetkých koeficientov v neznámom (môže sa stretnúť v štúdii systémov s písmami koeficientmi). Takýto systém

všetky determinanty sú nula: Avšak, je to neúplné, keď alebo.

Sumarizujeme štúdiu systému lineárnych rovníc (66.2). Existujú tri typy takýchto systémov:

1) Ak je systém definovaný, má jeden roztok (66,11).

2) Ak je však systém nepochopiteľný, roztoky nemajú.

3) Ak je aspoň jeden z koeficientov v neznámom je nula), systém je neurčitý, má nekonečný súbor roztokov (redukuje na jednu rovnicu).

Determinant rovnosti,

znamená proporcionalitu prvkov v jej riadkoch (a späť):

Z tohto dôvodu, príznaky, ktoré rozlišujú lineárne systémy rôznych typov (definovaných, neurčitých, neúplných), môžu byť formulované z hľadiska proporcií medzi koeficientmi systému (bez prilákania determinantov).

Podmienka je nahradená tak požiadavka proporcionality (neprimeranosť) koeficientov v neznámej:

V prípade nielen koeficienty sú úmerné neznámej, ale aj bezplatným členom:

(Tieto proporcie sa získajú napríklad z (67,6)). Ak napríklad predtým, potom z (66,6) vidíme, že - slobodní členovia nie sú úmerné koeficientom v neznámom. Takže:

1) Ak koeficienty nie sú úmerné neznámeho:

tento systém je definovaný.

2) Ak sú koeficienty úmerné neznámeho a bezplatným členom im nie sú primerané:

tento systém je neúplný.

3) Ak sú koeficienty úmerné neznámym a slobodným členom:

potom je systém neistý.

Štúdium systémov lineárnych rovníc s dvoma neznámymi umožňuje jednoduchú geometrickú interpretáciu. Akákoľvek lineárna rovnica formulára (38.4) určuje priamu čiaru na rovine koordinácie. Systémové rovnice (66.2) môžu preto interpretovať ako rovnice dvoch priamych v lietadle, a úloha riešenia systému je za úlohu nájsť bod priesečníka týchto priamych.

Je zrejmé, že sú možné tri prípady: 1) Údaje sú dve rovné čiary pretínajú (obr. 61, A); Tento prípad zodpovedá konkrétnemu systému; 2) Údaje sú dve rovné paralelné (obr. 61, b); Tento prípad zodpovedá neúplného systému;

3) Priame údaje sa zhodujú (obr. 61, c); Tento prípad zodpovedá neistým systémom: Každý bod "dvakrát zadaný" priamy bude riešenie systému.

Príklad 3. Preskúmať lineárne systémy:

Rozhodnutie, a) doplňte a vypočítajte hlavný determinant tohto systému.

Definícia. Determinant druhého poriadku

(*)

; ;

Teoreticky sú možné tieto tri prípady.

1. Ak, systém (*) má jediné riešenie, ktoré možno nájsť podľa vzorcov, ktoré sa nazývajú pásové vzorce: ,.

2. Ak a (potom) nemá systém (*) žiadne riešenia.

3. Ak a (potom) má systém (*) nekonečný súbor riešení (konkrétne, každé riešenie jednej systémovej rovnice je a riešenie inej rovnice).

Komentár. Determinant sa nazýva hlavný determinant systému (*). Systém môže byť vyriešený podľa vzorcov kričiek len pod podmienkou. V opačnom prípade musíte použiť iné metódy, ako napríklad metóda Gauss.

Determinantom tretieho poriadku. Riešenie systému troch lineárnych rovníc s tromi premennými podľa Cramer Formuls

Definícia. Determinant tretej objednávky Číslo sa volá a vypočíta sa takto:

Nech je uvedený systém rovníc typu (*)

Zavádzame nasledujúce determinanty na zváženie:

- Hlavný determinant systému (*);

; ; .

Pri riešení systému sú možné tieto prípady.

1. Ak systém (*) má jedno riešenie, ktoré nájdete podľa vzorcov, ktoré sa nazývajú CRERVER formous: .

2. Ak nie je možné vyriešiť systém (1) metódu Cramer.

Poznámka 1. V prípade systému nemusí mať riešenia alebo nemajú nekonečné nastavené roztoky. Pre podrobnejšie štúdium a nájdenie všeobecného systému riešenia môžete použiť napríklad metódu Gauss.

Riešenie systému troch lineárnych rovníc s tromi premennými

Gauss

Podstatou metódy Gauss sa zváži v konkrétnom príklade.

Príklad. Riešiť systém rovníc: (*)

Priamy ťah. Tento systém je zobrazený trojuholníkovým druhom v spôsobe algebraického pridávania.

V prvej fáze vylúčujeme z druhej a tretej rovnice systému, ktorá obsahuje premennú. Je lepšie používať v oboch prípadoch rovnaká rovnica (budeme mať prvý).

Dostaneme:

Prvá rovnica systému sa prepíše nezmenené a druhá a tretia rovnica sa nahrádzajú získanými rovnicami.

Systém bude mať formu:

V druhej fáze, termín, ktorý obsahuje premennú, eliminuje z tretej rovnice. Na tento účel používame druhú rovnicu.

Prvé dve rovnice systému budú reprezentované nezmenené a tretia rovnica sa nahrádza výslednou rovnicou.

Dostaneme trojuholníkový systém:

Návrat. Dohodne nájdeme neznáme, počnúc treťou rovnicou.

Z tretej rovnice systému nájdeme hodnotu premennej: .

Subjektovanie hodnoty v druhej rovnici systému, dostaneme, kde nájdete hodnotu premennej: .

Nahradenie nájdených hodnôt a v prvej rovnici systému sa dostaneme tam, kde nájdeme hodnotu premennej: .

Odpoveď: .

22. Riešenie lineárnej nerovnosti

	Príklady
1. Ak potom.
2. Ak potom.
3. Ak potom.
4. Ak potom nerovnosť nemá riešenia.	Nerovnosti a nemajú riešenia.

23. Lineárna nerovnosť

Pri riešení nerovnosti sú možné tieto prípady možné: \\ t	Príklady
1. Ak potom.
2. Ak potom.
3. Ak, nerovnosť nemá riešenia.	Nerovnosť nie je riešenia.
4. Ak potom.

24. Riešenie lineárnych nerovností s jednou premennou

Systém nerovností - Toto sú dve alebo viac nerovností, pre ktoré sú vyhľadávané všeobecné riešenia.

Riešením systému nerovnosti Nazýva sa všeobecné riešenie všetkých nerovností v systéme.

Teoreticky možné prípady aj pre systém dvoch nerovností sú veľmi, takže hlavné prípady pre systém dvoch jednoduchých nerovností.

Príklad 1.. Riešiť systém nerovností:

Odpoveď: .

Príklad 2.. Riešiť systém nerovností:

Budem zobrazovať riešenia nerovností graficky.

Odpoveď: .

Príklad 3.. Riešiť systém nerovností:

Budem zobrazovať riešenia nerovností graficky.

Odpoveď: .

Príklad 4.Riešiť systém nerovností:

Budem zobrazovať riešenia nerovností graficky.

Odpoveď: Systém nemá žiadne riešenia.

25. Rozhodnutie neúplných štvorcových rovníc, \\ t

Štvorcová rovnica Nazývaný pohľad rovnice .

Nazýva sa štvorcová rovnica neúplnýAk je aspoň jeden z koeficientov alebo je nula.

Každá z nekompletných rovníc môže byť riešená všeobecným vzorcom. Je však vhodnejšie použiť súkromné \u200b\u200bmetódy.

Prípad 1.

Jeho ľavá časť môže byť rozložená na faktoroch :. Je známe, že práca je nula, ak je len ak aspoň jeden z multiplikátorov je nula. Dostaneme: alebo kde kvôli podmienke to vyplýva.

Výkon:rovnica má vždy dve platné korene,.

Príklad 1. Riešiť rovnicu.

Rozhodnutie: Alebo ,.

Prípad 2. Ak je rovnica zobraziť pohľad.

Potom. Odvtedy.

Ak táto rovnica nemá žiadne platné korene (ako).

Ak má rovnica dve platné korene.

Príklad 2. Riešiť rovnicu.

Rozhodnutie:. Vzhľadom k tomu, táto rovnica nemá platné korene.

Príklad 3. Riešiť rovnicu.

Rozhodnutie: .

Prípad 3. Ak je rovnica formulár.

Od tej doby, alebo preto má rovnica dve rovnaké koreň.

Príklad 4. Riešiť rovnicu.

Rozhodnutie: .

26. Riešenie zníženej štvorcovej rovnice

Zadaná štvorcová rovnica sa nazýva štvorcová rovnica , ktorého seniorský koeficient.

Ak chcete nájsť svoje korene, zvýraznite celé námestie s premennou x.. Dostaneme:

.

Číslo sa nazýva diskriminant danej štvorcovej rovnice. Počet platných koreňov rovnice závisí od diskriminačného označenia.

Ak rovnica nemá platné korene, pretože.

Ak potom , , to znamená, že rovnica má dva platné korene. a .

Komentár. Vzorec Je obzvlášť vhodné použiť, ak je koeficient P ešte číslo.

Príklad. Riešiť rovnicu .

Rozhodnutie.Od tej doby teda .

Potom , .

Odpoveď: , .

27. VieTA vzorce pre danú štvorcovú rovnicu

poskytli dve platné korene a .

Potom ,

Teda sa ukáže teorem, ktorá sa nazýva veta.

Teorem. Ak sú korene danej štvorcovej rovnice , potom je rovnosť len.

Tieto rovnosti sa nazývajú vojenské vzorce.

Komentár. VieTA vzorce sú platné a ak je rovnica Má integrované konjugátové korene.

Príklad. V predchádzajúcom odseku ukázal, že rovnica Má korene. Potom.

Odvtedy , .

28. Riešenie štvorcovej rovnice

Vzhľadom k tomu, že určením štvorcovej rovnice môže byť rozdelená do pôsobenia rovnice. Získame danú štvorcovú rovnicu , v ktorom , . Potom sa jeho korene nachádzajú vo vzore . Dostaneme:

Číslo sa nazýva diskriminantou štvorcovej rovnice (a diskriminant štvorcových troch dec). Diskriminant ukazuje, koľko platných koreňov má túto rovnicu.

Ak, potom rovnica Má dve nerovné platné root a ().

Ak, potom rovnica Má dve rovnaké platné koreň.

Ak, potom rovnica nemá žiadny platné korene.

Komentár. V tomto prípade má rovnica dva komplexné konjugované korene.

a .

Príklad 1. Riešiť rovnicu .

Rozhodnutie. Od, potom (potom), potom

Odvtedy .

Potom , .

Odpoveď: ,.

Príklad 2. Riešiť rovnicu .

Rozhodnutie. Odvtedy.

Keďže táto rovnica nemá žiadne platné korene.

29. Riešenie nerovností štvorcových

, , ,

s pozitívnym diskriminantom

vytvorenie systému dvoch lineárnych nerovností

Diskriminant štvorcových tri dec je číslo.

Korene štvorcových Tri dekréty sa nazývajú korene rovnice .

a , Okrem toho to znamená).

Potom sa dá rozložiť na lineárnych multiplikátoroch :.

Vzhľadom k tomu, že je možné rozdeliť na oboch častiach každej z nerovností, ktoré boli posudzované (ak je označenie nerovnosti (to znamená označenie\u003e alebo<) сохранится, если , то знак неравенства поменяется на противоположный). В результате получится неравенство одного из видов: , , , . Zvážte riešenie týchto nerovností.

1) Práca dvoch faktorov je pozitívne, ak sú oba multiplikátory pozitívne alebo obidva negatívny multiplikátor, \\ t ak alebo.

Riešenia oboch systémov sú rozhodnutiami tejto sempanej nerovnosti.

Ako , tak potom ).

Pretože potom (potom).

Odpoveď: nerovnosť

Má mnoho riešení, ktoré môžu byť napísané ako alebo vo forme.

3) Produkt dvoch faktorov je negatívny, ak je jeden z multiplikátorov pozitívny, a druhý je negatívny. teda ak alebo.

Odvtedy.

Tento systém nerovnosti nemá žiadne riešenia, pretože číslo X nemôže byť súčasne menší ako menej dvoch čísel a a viac ako viac.

Odpoveď: nerovnosť

2) Podobne dostaneme túto nerovnosť Má mnoho riešení, ktoré môžu byť napísané vo forme alebo vo forme.

Príklad. Riešiť nerovnosť .

Rozhodnutie. Nájdite korene štvorcových troch deliktov, to znamená, že korene rovnice : ,

, .

Rozdelenie ľavej časti tejto nerovnosti podľa vzorca, dostaneme nerovnosť .

Keďže rozdelením oboch častí poslednej nerovnosti do 3, dostaneme rovnocennú nerovnosť .

Práca dvoch faktorov je negatívny, ak je jeden z multiplikátorov pozitívny, a druhý je negatívny. Riešenia poslednej nerovnosti sú preto riešeniami každého systému nerovnosti, ak sú Or. Potom alebo

Grafické riešenie systémov je uvedené na obrázkoch (pre prvé čerpanie systému vľavo, na druhé právo). Je možné vidieť, že druhý systém riešenia nemá preto iba riešenia prvého systému riešenia tejto nerovnosti.

Odpoveď:

30. Riešenie nerovností štvorcových

, , ,

použitie tabuľky kvadratickej funkcie

Komentár.Môžeme predpokladať, že vo všetkých týchto nerovnostiach. V opačnom prípade vynásobením oboch častí nerovnosti a zmenu znamenia nerovnosti na opak, dostaneme nerovnosť jedného zo špecifikovaných štyroch druhov, čo zodpovedá tomu.

Potom graf funkcie Bude tu parabola, ktorej vetva je nasmerovaná. Umiestnenie tejto paraboly vzhľadom na osi osice závisí od znamenia diskriminačných štvorcových troch delí. 3 prípady sú možné.

Obr. 1 Obr. 2 Obr. 3.

Prípad 1. Ak má štvorcové tri zníženie dve platné korene a a . Potom Parabola prekračuje os Abscissa v bodoch s absorpciami a. Pre prísne nerovnosti a čísla a sú zobrazené unitted kruhy (ako na obr. 1). Pre neevnú nerovnosť a čísla a sú zobrazené maľované kruhy. V tomto prípade: a nemá platné korene. Potom Parabola nie je bežné body s osou osi abscou (pozri obr. 3). V tomto prípade: X zlomí os Abscisky o 3 intervaloch (pozri obr. 1). a

Diferenciálne rovnice lineárnych druhých objednávok

Druhá objednávka diferenciálna rovnica sa zobrazí.

Definícia. Všeobecným riešením druhej rovnice objednávky je taká funkcia, ktorá pre všetky hodnoty a je riešením tejto rovnice.

Definícia. Lineárna homogénna rovnica druhého poriadku sa nazýva rovnica. Ak koeficienty a konštantné, t.j. Nezáleží na tom, že táto rovnica sa nazýva rovnica s konštantnými koeficientmi a napíše to takto :.

Rovnica sa bude nazývať lineárnou nehomogénnou rovnicou.

Definícia.Rovnica, ktorá sa získava z lineárnej homogénnej rovnice nahradením funkcie jedným a zodpovedajúcimi stupňami, sa nazýva charakteristická rovnica.

Je známe, že štvorcová rovnica má riešenie v závislosti od diskriminácie :, t.j. Ak, potom korene a - platné rôzne čísla. Ak potom. Ak, t.j. , Bude to imaginárne číslo a korene a komplexné čísla. V tomto prípade súhlasíme s označením.

Príklad 4.Riešiť rovnicu.

Rozhodnutie. Diskriminant tejto štvorcovej rovnice, preto.

Ukazujeme, rovnako ako vo vzhore koreňov charakteristickej rovnice, aby sme našli všeobecné riešenie homogénnej lineárnej rovnice druhého poriadku.

Ak - platné korene charakteristickej rovnice.

Ak sú korene charakteristickej rovnice rovnaké, t.j. , Všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice je vyhľadávaná vzorcom alebo.

Ak má charakteristická rovnica integrované korene.

Príklad 5. Nájdite všeobecné riešenie rovnice.

Rozhodnutie.Zahŕňame charakteristickú rovnicu pre túto diferenciálnu rovnicu :. Jeho korene sú platné a iné. Preto všeobecné riešenie.

Základný systém riešení lineárnej homogénnej diferenciálnej rovnice. Veta na štruktúre celkového roztoku roztokov lineárnej homogénnej diferenciálnej rovnice. V tejto časti preukážeme, že základ lineárneho priestoru súkromných riešení homogénnej rovnice môže byť ľubovoľný súbor n. Jeho lineárne nezávislé riešenia.
Obj. 14.5.5.1. Základné systémové riešenia. Základné systémové riešenia Lineárna homogénna diferenciálna rovnica n. -O poradie s názvom Lineárne nezávislý systém y. 1 (x. ), y. 2 (x. ), …, y n. (x. ) jeho n. Súkromné \u200b\u200briešenia.
Veta 14.5.5.1.1 Na štruktúre všeobecného riešenia lineárnej homogénnej diferenciálnej rovnice. Spoločné rozhodnutie y. (x. ) Lineárna homogénna diferenciálna rovnica je lineárnou kombináciou funkcií zo základného systému riešení tejto rovnice:
y. (x. ) = C. 1 y. 1 (x. ) + C. 2 y. 2 (x. ) + …+ C n y n (x. ).
Prístavisko. Byť y. 1 (x. ), y. 2 (x. ), …, y n. (x. ) - Základný systém riešení lineárnej homogénnej diferenciálnej rovnice. Je potrebné preukázať, že akékoľvek konkrétne rozhodnutie y. Cho ( x. ) Táto rovnica je obsiahnutá vo vzorci y. (x. ) = C. 1 y. 1 (x. ) + C. 2 y. 2 (x. ) + …+ C n y n (x. ) S niektorým súborom trvalej C. 1 , C. 2 , …, C N. . Vezmite si akýkoľvek bod, vypočítajte číslo v tomto bode a nájdite konštantu C. 1 , C. 2 , …, C N. Ako riešenie lineárneho nehomogénneho systému algebraických rovníc
Takéto riešenie existuje a jediná, pretože determinant tohto systému je rovnaký. Zvážte lineárnu kombináciu y. (x. ) = C. 1 y. 1 (x. ) + C. 2 y. 2 (x. ) + …+ C n y n (x. ) funkcie zo systému základného riešenia s týmito hodnotami konštanty C. 1 , C. 2 , …, C N. a porovnať ho s funkciou y. Cho ( x. ). Funkcie y. (x. ) I. y. Cho ( x. ) spĺňajú jednu rovnicu a rovnaké počiatočné podmienky v bode x. 0, teda jedinečnosťou riešenia Cauchyho problému sa zhodujú: y. Cho ( x. ) = C. 1 y. 1 (x. ) + C. 2 y. 2 (x. ) + … + C n y n (x. ). Theorem sa dokáže.
Z tejto teorem z toho vyplýva, že rozmer lineárneho priestoru súkromných riešení homogénnej rovnice s kontinuálnymi koeficientmi nepresahuje n. . Zostáva preukázať, že tento rozmer nie je menej n. .
Veta 14.5.5.1.2 o existencii základného systému riešení lineárnej homogénnej diferenciálnej rovnice. Akákoľvek lineárna homogénna diferenciálna rovnica n. -Oser s nepretržitým koeficientom má systém základných riešení, t.j. systém je n. Linice nezávislé riešenia.
Prístavisko. Vezmite si číselný determinant n. -O objednávka nie je nula

Nechajte štvorcový stôl štyroch čísel A 1, A 2, B 1, B2:

Číslo A 1 B2 - A 2 B1 sa nazýva Determinant druhého poradia, ktorý zodpovedá tabuľke (1). Táto definitívna je označená symbolom, resp.

Čísla A 1, A2, B 1, B2 sa nazývajú prvky determinantu. Hovorí sa, že prvky A 1, B2 ležia na hlavnej uhlopriečke determiny a 2, b 1 - na boku. Determinant druhého rádu sa teda rovná rozdielu medzi dielami prvkov ležiacich na hlavných a bočných uhlopriečkoch. Napríklad,

Zvážte systém dvoch rovníc

s dvoma neznámymi x, y. (Koeficienty A 1, B 1, 2, B2 a voľné členy HXI H2 predpokladajú údaje.) Predstavujeme notáciu

Determinant δ, zostavený z koeficientov v neznámom systéme (3), sa nazýva determinant tohto systému. Determinant δ X sa získa nahradením prvkov prvého stĺpca determantného δ voľnými členmi systému (3); Determinant δ Y sa získa z determinantu δ nahradením prvkov jeho druhej kolóny s voľnými členmi systému (3).

Ak δ ≠ 0, potom systém (3) má jediný roztok; Je určený vzorcami

x \u003d 5 x / δ, y \u003d δ y / δ (5)

Ak δ \u003d 0 a súčasne, aspoň jeden z determinantov δ X, δ Y je odlišný od nuly, potom systém (3) nemá riešenia (ako sa hovorí, rovnice tohto systému sú nekompatibilné ).

Ak 5 \u003d 0, ale tiež δ x \u003d δ y \u003d 0, potom systém (3) má nekonečne mnohé riešenia (v tomto prípade, jedna z rovníc systému je dôsledkom inej).

Nech v rovnice systému (3) H1 \u003d H2 \u003d 0; Potom sa systém (3) pozrie na:

1 x + b1 y \u003d 0, 2 x + b2 y \u003d 0. (6)

Systém rovníc formulára (6) sa nazýva homogénny; Vždy má nulový roztok: X \u003d 0, Y \u003d 0. Ak je δ ≠ o, potom tento roztok je jediný, ak δ \u003d 0, potom systém (6), okrem nuly, má nekonečne mnoho ďalších riešení.

1204. Vypočítajte determinanty:

1205. Riešenie rovníc:

1206. Riešenie nerovností:

1207. Nájdite všetky riešenia každého z nasledujúcich systémov rovníc:

1208. Zariadenie v akých hodnotách A a B systém rovníc SK - AU \u003d 1, 6x + 4U \u003d B 1) má jeden roztok; 2) nemá žiadne riešenia; 3) má nekonečne veľa riešení.

1209. Určite s akou hodnotu Systém homogénnych rovníc 13x + 2OW \u003d 0, 5x + AU \u003d 0 má nenulové riešenie.

Tu aplikujeme metódu variácie permanentnej lagrange na riešenie lineárnych nehomogénnych diferenciálnych rovníc. Podrobný opis tejto metódy na vyriešenie rovníc náhodného poradia je uvedený na stránke.
Riešenie lineárnych nehomogénnych diferenciálnych rovníc vyšších rádov lagrange metódy \u003e\u003e\u003e.

Príklad 1.

Riešiť druhú objednávku diferenciálnu rovnicu s konštantnými koeficientmi odchýlkou \u200b\u200btrvalej lagrange:
(1)

Rozhodnutie

Spočiatku vyriešime homogénnu diferenciálnu rovnicu:
(2)

Toto je druhá rovnica objednávky.

Riešime štvorcovú rovnicu:
.
Korene násobky :. Základný systém riešení rovnice (2) má formulár:
(3) .
Odtiaľ dostaneme všeobecné riešenie homogénnej rovnice (2):
(4) .

Rôzne konštantné C. 1 a C. 2 . To znamená, že budeme nahradiť (4) trvalé a funkcie:
.
Hľadáme riešenie počiatočnej rovnice (1) vo formulári:
(5) .

Nájdite derivát:
.
Spojíme funkcie a rovnice:
(6) .
Potom
.

Nájdeme druhý derivát:
.
Nahrádzame do počiatočnej rovnice (1):
(1) ;



.
Vzhľadom k tomu, a uspokojí homogénnu rovnicu (2), súčet členov v každom stĺpci posledných troch riadkov poskytuje nulovú a predchádzajúcu rovnicu nadobúda formulár:
(7) .
Tu .

Spolu s rovnicou (6) získavame systém rovníc na určenie funkcií a:
(6) :
(7) .

Riešenie systému rovníc

Riešime systém rovníc (6-7). Vypíšeme výrazy pre funkcie a:
.
Nachádzame ich deriváty:
;
.

Riešime systém rovníc (6-7) metódou Cramer. Vypočítajte determinant systému System Matrix:

.
Pásové vzorce nájdeme:
;
.

Zistili sme preto odvodené funkcie:
;
.
Integrujeme (pozri metódy integrácie root). Náhradu
; ; ; .

.
.

;
.

Odpoveď

Príklad 2.

Riešiť diferenciálnu rovnicu rozdielmi trvalej lagrange:
(8)

Rozhodnutie

Krok 1. Riešenie homogénnej rovnice

Riešime homogénnu diferenciálnu rovnicu:

(9)
Hľadáme rozhodnutie vo forme. Zostavujeme charakteristickú rovnicu:

Táto rovnica má integrované korene:
.
Základný systém riešení zodpovedajúcich týmto koreňom má formulár:
(10) .
Všeobecné riešenie homogénnej rovnice (9):
(11) .

Krok 2. Variant trvalej - nahradenie trvalých funkcií

Teraz sa líši konštanta c 1 a C. 2 . To znamená, že nahradiť (11) trvalé funkcie:
.
Hľadáme riešenie počiatočnej rovnice (8) ako:
(12) .

Okrem toho je rozhodnutie riešenia rovnaké ako v príklade 1. Prichádzame do nasledujúceho systému rovníc na určenie funkcií a:
(13) :
(14) .
Tu .

Riešenie systému rovníc

Riešime tento systém. Opakujeme výrazy funkcií a:
.
Z tabuľky derivátov nájdeme:
;
.

Riešime systém rovníc (13-14) metódou Cramer. Determinant systému MATRIX:

.
Pásové vzorce nájdeme:
;
.

.
Pretože je možné vynechať znak modulu pod znakom logaritmu. Vynásobte čitateľa a denominátor na:
.
Potom
.

Všeobecné riešenie pôvodnej rovnice:


.