Płaska czysta krzywa. Czysty zakręt. Zakręt krzyżowy. Naprężenia normalne i odkształcenia w czystym zginaniu

Zaczynamy od najprostszego przypadku tzw. czystego gięcia.

Czyste zginanie to szczególny przypadek zginania, w którym siła poprzeczna w odcinkach belki wynosi zero. Czyste zginanie może mieć miejsce tylko wtedy, gdy ciężar własny belki jest tak mały, że jego wpływ można pominąć. W przypadku belek na dwóch podporach przykłady obciążeń powodujących siatkę

zgięcie, pokazane na ryc. 88. Na odcinkach tych belek, gdzie Q \u003d 0, a zatem M \u003d const; jest czysty zakręt.

Siły w dowolnym odcinku belki z czystym zginaniem są redukowane do pary sił, których płaszczyzna działania przechodzi przez oś belki, a moment jest stały.

Naprężenia można określić na podstawie następujących rozważań.

1. Składowych stycznych sił na elementarnych obszarach w przekroju belki nie można sprowadzić do pary sił, których płaszczyzna działania jest prostopadła do płaszczyzny przekroju. Wynika z tego, że siła zginająca w przekroju jest wynikiem oddziaływania na powierzchnie elementarne

tylko normalne siły, a zatem przy czystym zginaniu naprężenia są redukowane tylko do normalnych.

2. Aby wysiłki na elementarnych platformach sprowadzały się tylko do kilku sił, muszą być wśród nich zarówno siły pozytywne, jak i negatywne. Dlatego muszą istnieć zarówno naprężone, jak i ściśnięte włókna belki.

3. Ze względu na to, że siły w różnych przekrojach są takie same, naprężenia w odpowiednich punktach przekrojów są takie same.

Rozważ dowolny element w pobliżu powierzchni (ryc. 89, a). Ponieważ wzdłuż dolnej powierzchni, która pokrywa się z powierzchnią belki, nie działają żadne siły, nie występują również na niej naprężenia. Dlatego nie ma naprężeń na górnej powierzchni elementu, ponieważ w przeciwnym razie element nie byłby w równowadze.Rozważając element sąsiadujący z nim na wysokości (rys. 89, b), dochodzimy do

Ten sam wniosek itp. Wynika z tego, że nie ma naprężeń wzdłuż poziomych powierzchni żadnego elementu. Biorąc pod uwagę elementy tworzące warstwę poziomą, zaczynając od elementu przy powierzchni belki (rys. 90), dochodzimy do wniosku, że nie ma naprężeń wzdłuż bocznych pionowych powierzchni żadnego elementu. Tak więc stan naprężenia dowolnego elementu (ryc. 91, a) oraz w granicy włókna należy przedstawić, jak pokazano na ryc. 91b, tj. może to być rozciąganie osiowe lub ściskanie osiowe.

4. Ze względu na symetrię przyłożenia sił zewnętrznych, przekrój wzdłuż środka długości belki po odkształceniu powinien pozostać płaski i prostopadły do osi belki (rys. 92, a). Z tego samego powodu sekcje w ćwiartkach długości belki również pozostają płaskie i prostopadłe do osi belki (ryc. 92, b), jeśli tylko skrajne sekcje belki pozostają płaskie i prostopadłe do osi belki podczas deformacji. Podobny wniosek dotyczy również przekrojów w ósmych długości belki (ryc. 92, c) itp. Dlatego jeśli skrajne sekcje belki pozostają płaskie podczas zginania, to dla dowolnej sekcji pozostaje

można śmiało powiedzieć, że po odkształceniu pozostaje płaska i prostopadła do osi zakrzywionej belki. Ale w tym przypadku oczywiste jest, że zmiana wydłużenia włókien belki wzdłuż jej wysokości powinna zachodzić nie tylko w sposób ciągły, ale także monotonnie. Jeżeli warstwę nazwiemy zbiorem włókien o takich samych wydłużeniach, to z tego co zostało powiedziane wynika, że rozciągane i ściśnięte włókna belki powinny znajdować się po przeciwnych stronach warstwy, w której wydłużenia włókien są równe zeru. Włókna o wydłużeniu równym zero nazwiemy neutralnymi; warstwa składająca się z włókien neutralnych - warstwa neutralna; linia przecięcia warstwy neutralnej z płaszczyzną przekroju belki - linia neutralna tego przekroju. Następnie, na podstawie wcześniejszych rozważań, można argumentować, że przy czystym zginaniu belki w każdym z jej odcinków istnieje linia neutralna, która dzieli ten odcinek na dwie części (strefy): strefę włókien rozciągniętych (strefę naprężoną) oraz strefa sprasowanych włókien (strefa sprasowana ). W związku z tym normalne naprężenia rozciągające powinny działać w punktach rozciągniętej strefy przekroju, naprężenia ściskające w punktach strefy ściskanej, aw punktach linii neutralnej naprężenia są równe zeru.

Tak więc przy czystym zginaniu belki o stałym przekroju:

1) w przekrojach działają tylko naprężenia normalne;

2) cały odcinek można podzielić na dwie części (strefy) – rozciągniętą i ściśniętą; granica stref jest linią neutralną przekroju, w punktach, w których normalne naprężenia są równe zeru;

3) każdy podłużny element belki (w granicy, dowolne włókno) jest poddawany osiowemu rozciąganiu lub ściskaniu, tak że sąsiednie włókna nie wchodzą ze sobą w interakcje;

4) jeżeli skrajne odcinki belki podczas deformacji pozostają płaskie i prostopadłe do osi, to wszystkie jej przekroje pozostają płaskie i prostopadłe do osi zakrzywionej belki.

Stan naprężenia belki w czystym zginaniu

Rozważmy element belki poddawany czystemu zginaniu, podsumowując mierzone między odcinkami m-m i n-n, które są oddalone od siebie w nieskończenie małej odległości dx (rys. 93). Zgodnie z przepisem (4) poprzedniego paragrafu, odcinki mm i nn, które były równoległe przed odkształceniem, po zgięciu pozostając płaskie, utworzą kąt dQ i przecinają się wzdłuż linii prostej przechodzącej przez punkt C, który jest środkiem krzywizny włókna neutralnego NN. Wtedy część włókna AB zamknięta między nimi, znajdująca się w odległości z od włókna neutralnego (dodatni kierunek osi z jest przyjmowany w kierunku wypukłości wiązki podczas zginania), zamieni się po łuku A „B” po odkształcenie Odcinek włókna neutralnego O1O2, zamieniając się w łuk O1O2, nie zmieni swojej długości, natomiast włókno AB otrzyma wydłużenie:

przed deformacją

po odkształceniu

gdzie p jest promieniem krzywizny włókna neutralnego.

Dlatego bezwzględne wydłużenie odcinka AB wynosi

i wydłużenie

Ponieważ zgodnie z pozycją (3) włókno AB jest poddawane rozciąganiu osiowemu, a następnie odkształceniu sprężystemu

Z tego widać, że naprężenia normalne wzdłuż wysokości belki rozkładają się zgodnie z prawem liniowym (ryc. 94). Ponieważ jednakowa siła wszystkich wysiłków na wszystkich elementarnych odcinkach odcinka musi być równa zeru, to

stąd, podstawiając wartość z (5.8), znajdujemy

Ale ostatnia całka jest momentem statycznym wokół osi Oy, która jest prostopadła do płaszczyzny działania sił zginających.

Ze względu na równość do zera oś ta musi przechodzić przez środek ciężkości O przekroju. Zatem linia neutralna przekroju belki jest linią prostą yy, prostopadłą do płaszczyzny działania sił zginających. Nazywa się to neutralną osią przekroju belki. Następnie z (5.8) wynika, że naprężenia w punktach leżących w tej samej odległości od osi neutralnej są takie same.

Przypadek czystego zginania, w którym siły zginające działają tylko w jednej płaszczyźnie, powodując zginanie tylko w tej płaszczyźnie, jest czystym zginaniem planarnym. Jeśli nazwana płaszczyzna przechodzi przez oś Oz, to moment elementarnych wysiłków względem tej osi musi być równy zero, tj.

Podstawiając tutaj wartość σ z (5.8), otrzymujemy

Całką po lewej stronie tej równości, jak wiadomo, jest odśrodkowy moment bezwładności przekroju wokół osi y i z, tak że

Osie, względem których odśrodkowy moment bezwładności przekroju jest równy zero, nazywane są głównymi osiami bezwładności tego przekroju. Jeżeli dodatkowo przechodzą przez środek ciężkości sekcji, można je nazwać głównymi centralnymi osiami bezwładności sekcji. Tak więc przy płaskim czystym zginaniu kierunek płaszczyzny działania sił zginających i oś neutralna przekroju są głównymi centralnymi osiami bezwładności tego ostatniego. Innymi słowy, aby uzyskać płaskie, czyste wygięcie belki, nie można do niej przyłożyć obciążenia arbitralnie: należy je zredukować do sił działających w płaszczyźnie przechodzącej przez jedną z głównych centralnych osi bezwładności odcinków belki; w tym przypadku drugą główną centralną osią bezwładności będzie oś neutralna przekroju.

Jak wiadomo, w przypadku przekroju symetrycznego względem dowolnej osi, oś symetrii jest jedną z jego głównych centralnych osi bezwładności. Dlatego w tym konkretnym przypadku z pewnością czyste zginanie uzyskamy stosując odpowiednie obciążenia w płaszczyźnie przechodzącej przez oś podłużną belki i oś symetrii jej przekroju. Linia prosta, prostopadła do osi symetrii i przechodząca przez środek ciężkości odcinka, jest osią obojętną tego odcinka.

Po ustaleniu położenia osi neutralnej nie jest trudno znaleźć wielkość naprężenia w dowolnym punkcie przekroju. Rzeczywiście, ponieważ suma momentów sił elementarnych względem osi neutralnej yy musi być równa momentowi zginającemu, to

stąd, podstawiając wartość σ z (5.8), znajdujemy

Ponieważ całka to moment bezwładności przekroju wokół osi y, to

a z wyrażenia (5.8) otrzymujemy

Iloczyn EI Y nazywamy sztywnością zginania belki.

Największe naprężenia rozciągające i ściskające w wartości bezwzględnej działają w punktach przekroju, dla których wartość bezwzględna z jest największa, tj. w punktach najbardziej oddalonych od osi neutralnej. Z oznaczeniami, ryc. 95 mieć

Wartość Jy / h1 nazywana jest momentem oporu przekroju na rozciąganie i jest oznaczona przez Wyr; podobnie Jy/h2 nazywamy momentem nośności przekroju na ściskanie

i oznaczają Wyc, więc

i dlatego

Jeżeli oś obojętna jest osią symetrii przekroju, to h1 = h2 = h/2, a co za tym idzie Wyp = Wyc, więc nie ma potrzeby ich rozróżniania, a używają tego samego oznaczenia:

nazywając W y po prostu wskaźnikiem przekroju, dlatego w przypadku przekroju symetrycznego względem osi neutralnej,

Wszystkie powyższe wnioski uzyskano przy założeniu, że przekroje belki w stanie zgięcia pozostają płaskie i prostopadłe do jej osi (hipoteza płaskich przekrojów). Jak pokazano, to założenie jest ważne tylko wtedy, gdy skrajne (końcowe) sekcje belki pozostają płaskie podczas zginania. Z drugiej strony z hipotezy płaskich przekrojów wynika, że siły elementarne w takich odcinkach powinny być rozłożone zgodnie z zasadą liniową. Dlatego dla ważności uzyskanej teorii płaskiego czystego zginania konieczne jest przyłożenie momentów zginających na końcach belki w postaci sił elementarnych rozłożonych na wysokości przekroju zgodnie z prawem liniowym (rys. 96), co jest zbieżne z prawem rozkładu naprężeń na wysokości belek przekroju. Jednak w oparciu o zasadę Saint-Venanta można argumentować, że zmiana sposobu przyłożenia momentów zginających na końcach belki spowoduje jedynie lokalne odkształcenia, których efekt będzie oddziaływał tylko w pewnej odległości od nich. końce (w przybliżeniu równe wysokości sekcji). Sekcje znajdujące się w pozostałej części belki pozostaną płaskie. W konsekwencji podana teoria płaskiego czystego zginania, przy dowolnej metodzie przykładania momentów zginających, obowiązuje tylko w środkowej części długości belki, znajdującej się w odległości od jej końców w przybliżeniu równej wysokości przekroju. Z tego jasno wynika, że teoria ta nie ma oczywiście zastosowania, jeśli wysokość przekroju przekracza połowę długości lub rozpiętości belki.

schylać się

Podstawowe pojęcia dotyczące gięcia

Odkształcenie zginające charakteryzuje się utratą prostoliniowości lub pierwotnego kształtu przez linię belki (jej oś) pod wpływem obciążenia zewnętrznego. W tym przypadku, w przeciwieństwie do odkształcenia ścinającego, linia belki płynnie zmienia swój kształt.
Łatwo zauważyć, że na odporność na zginanie ma wpływ nie tylko pole przekroju poprzecznego belki (belka, pręt itp.), ale także kształt geometryczny tej sekcji.

Ponieważ korpus (belka, belka itp.) jest zginany względem dowolnej osi, na nośność zginania ma wpływ wielkość osiowego momentu bezwładności sekcji korpusu względem tej osi.
Dla porównania, podczas odkształcenia skrętnego odcinek korpusu podlega skręceniu względem bieguna (punktu), dlatego biegunowy moment bezwładności tego odcinka wpływa na odporność na skręcanie.

Na gięciu może pracować wiele elementów konstrukcyjnych - osie, wały, belki, zęby kół zębatych, dźwignie, pręty itp.

W odporności materiałów rozważa się kilka rodzajów zagięć:
- w zależności od charakteru obciążenia zewnętrznego przyłożonego do belki rozróżniają czysty zakręt oraz zgięcie poprzeczne ;
- w zależności od położenia płaszczyzny działania obciążenia zginającego względem osi belki - prosty zakręt oraz skośny zakręt.

Zginanie belek czystych i poprzecznych

Zgięcie czyste to rodzaj odkształcenia, w którym w dowolnym przekroju belki występuje tylko moment zginający ( Ryż. 2).
Odkształcenie czystego zginania nastąpi na przykład, jeśli dwie pary sił o równej wielkości i przeciwnych znakach zostaną przyłożone do prostej belki w płaszczyźnie przechodzącej przez oś. Wtedy na każdą sekcję belki będą działać tylko momenty zginające.

Jeżeli zgięcie następuje w wyniku przyłożenia siły poprzecznej do pręta ( Ryż. 3), wtedy taki zakręt nazywa się poprzecznym. W tym przypadku zarówno siła poprzeczna, jak i moment zginający działają w każdym odcinku belki (z wyjątkiem odcinka, do którego przyłożone jest obciążenie zewnętrzne).

Jeżeli belka posiada co najmniej jedną oś symetrii, a płaszczyzna działania obciążeń jest z nią zbieżna, wówczas następuje zginanie bezpośrednie, jeżeli warunek ten nie jest spełniony, następuje zginanie skośne.

Badając odkształcenie zginania, wyobrazimy sobie w myślach, że belka (belka) składa się z niezliczonej liczby włókien podłużnych równoległych do osi.
W celu zobrazowania odkształcenia gięcia bezpośredniego przeprowadzimy eksperyment z gumowym prętem, na który nakładana jest siatka linii podłużnych i poprzecznych.
Poddając taki pręt bezpośredniemu zginaniu można zauważyć, że ( Ryż. jeden):

Linie poprzeczne pozostaną proste po odkształceniu, ale będą się obracać pod kątem do siebie;
- przekroje belek rozszerzają się w kierunku poprzecznym po stronie wklęsłej i zwężają się po stronie wypukłej;
- podłużne linie proste będą zakrzywione.

Z tego doświadczenia można wywnioskować, że:

W przypadku zginania czystego obowiązuje hipoteza płaskich przekrojów;
- włókna leżące po stronie wypukłej są rozciągnięte, po stronie wklęsłej są ściśnięte, a na granicy między nimi leży neutralna warstwa włókien, które tylko uginają się bez zmiany swojej długości.

Zakładając, że hipoteza o braku nacisku włókien jest słuszna, można argumentować, że przy czystym zginaniu w przekroju belki powstają tylko normalne naprężenia rozciągające i ściskające, które są nierównomiernie rozłożone na przekroju.
Nazywa się linię przecięcia warstwy neutralnej z płaszczyzną przekroju Oś neutralna. Jest oczywiste, że naprężenia normalne na osi neutralnej są równe zeru.

Moment zginający i siła ścinająca

Jak wiadomo z mechaniki teoretycznej, reakcje podporowe belek są określane przez zestawienie i rozwiązanie równań równowagi statycznej dla całej belki. Przy rozwiązywaniu problemów wytrzymałości materiałów i wyznaczaniu współczynników sił wewnętrznych w prętach uwzględniliśmy reakcje wiązań wraz z obciążeniami zewnętrznymi działającymi na pręty.
Do wyznaczenia współczynników sił wewnętrznych stosujemy metodę przekroju i belkę przedstawiamy tylko jedną linią - osią, do której przyłożone są siły czynne i bierne (obciążenia i reakcje wiązań).

Rozważ dwa przypadki:

1. Na belkę działają dwie równe i przeciwne pary sił.
Biorąc pod uwagę równowagę części belki znajdującej się po lewej lub prawej stronie sekcji 1-1 (Rys. 2), widzimy, że we wszystkich przekrojach występuje tylko moment zginający M i równy momentowi zewnętrznemu. Jest to więc przypadek czystego zginania.

Moment zginający jest momentem wypadkowym wokół osi obojętnej wewnętrznych sił normalnych działających w przekroju belki.

Zwróćmy uwagę, że moment zginający ma inny kierunek dla lewej i prawej części belki. Wskazuje to na nieprzydatność zasady znaków statyki do wyznaczania znaku momentu zginającego.

2. Na belkę działają siły czynne i bierne (obciążenia i reakcje wiązań) prostopadłe do osi (Ryż. 3). Biorąc pod uwagę równowagę części belek znajdujących się po lewej i prawej stronie widzimy, że moment zginający M powinien działać w przekrojach oraz i siła ścinająca Q.
Wynika z tego, że w rozpatrywanym przypadku w punktach przekroje istnieją nie tylko naprężenia normalne odpowiadające momentowi zginającemu, ale także naprężenia styczne odpowiadające sile poprzecznej.

Siła poprzeczna jest wypadkową wewnętrznych sił stycznych w przekroju belki.

Zwróćmy uwagę, że siła ścinająca ma przeciwny kierunek dla lewej i prawej części belki, co wskazuje na nieprzydatność zasady znaków statycznych przy wyznaczaniu znaku siły ścinającej.

Zginanie, w którym w przekroju belki działa moment zginający i siła poprzeczna, nazywa się poprzecznym.

Dla belki w równowadze z działaniem płaskiego układu sił suma algebraiczna momentów wszystkich sił aktywnych i reaktywnych względem dowolnego punktu jest równa zeru; dlatego suma momentów sił zewnętrznych działających na belkę po lewej stronie przekroju jest liczbowo równa sumie momentów wszystkich sił zewnętrznych działających na belkę po prawej stronie przekroju.
W ten sposób, moment zginający w przekroju belki jest liczbowo równy sumie algebraicznej momentów wokół środka ciężkości przekroju wszystkich sił zewnętrznych działających na belkę po prawej lub lewej stronie przekroju.

Dla belki w równowadze pod działaniem płaskiego układu sił prostopadłych do osi (tj. układu sił równoległych) suma algebraiczna wszystkich sił zewnętrznych wynosi zero; dlatego suma sił zewnętrznych działających na belkę po lewej stronie przekroju jest liczbowo równa sumie algebraicznej sił działających na belkę po prawej stronie przekroju.
W ten sposób, siła poprzeczna w przekroju belki jest liczbowo równa sumie algebraicznej wszystkich sił zewnętrznych działających po prawej lub lewej stronie przekroju.

Ponieważ zasady znaków statyki są niedopuszczalne przy ustalaniu znaków momentu zginającego i siły poprzecznej, ustalimy dla nich inne zasady znaków, a mianowicie: belka wypukła do góry, wówczas moment zginający w przekroju jest uważany za ujemny ( Rysunek 4a).

Jeżeli suma sił zewnętrznych leżących na lewa strona z przekroju daje wypadkową skierowaną w górę, wówczas siła poprzeczna w przekroju jest uważana za dodatnią, jeśli wypadkowa jest skierowana w dół, wówczas siła poprzeczna w przekroju jest uważana za ujemną; dla części belki znajdującej się po prawej stronie przekroju znaki siły poprzecznej będą przeciwne ( Ryż. 4b). Stosując te zasady, należy sobie w myślach wyobrazić przekrój belki jako sztywno zaciśnięty, a połączenia jako odrzucone i zastąpione reakcjami.

Ponownie zauważamy, że do określenia reakcji wiązań stosuje się zasady znaków statycznych, a do wyznaczenia znaków momentu zginającego i siły poprzecznej stosuje się zasady znaków wytrzymałości materiałów.
Reguła znaków momentów zginających jest czasami nazywana „regułą deszczu”, co oznacza, że w przypadku wypukłości skierowanej w dół tworzy się lejek, w którym woda deszczowa(znak jest dodatni) i odwrotnie - jeśli pod działaniem obciążeń belka wygina się w górę, woda nie pozostaje na niej (znak momentów zginających jest ujemny).

Materiały sekcji „Gięcie”:

Siły działające prostopadle do osi belki i znajdujące się w płaszczyźnie przechodzącej przez tę oś powodują odkształcenie zwane zgięcie poprzeczne. Jeżeli płaszczyzna działania wspomnianych sił – płaszczyzna główna, to jest proste (płaskie) wygięcie poprzeczne. W przeciwnym razie zakręt nazywa się ukośnym poprzecznym. Nazywamy belkę, która jest głównie poddawana zginaniu Belka 1 .

Zasadniczo zginanie poprzeczne to połączenie czystego zginania i ścinania. W związku z krzywizną przekrojów na skutek nierównomiernego rozmieszczenia nożyc na wysokości pojawia się pytanie o możliwość zastosowania wzoru naprężenia normalnego σ x wyprowadzony dla czystego zginania w oparciu o hipotezę płaskich przekrojów.

1 Nazywa się belkę jednoprzęsłową, mającą na końcach odpowiednio jedną cylindryczną stałą podporę i jedną cylindryczną ruchomą w kierunku osi belki prosty. Nazywa się belkę z jednym stałym końcem i drugim wolnym końcem konsola. Prosta belka mająca jedną lub dwie części zwisające nad podporą nazywa się konsola.

Jeżeli dodatkowo przekroje są brane daleko od punktów przyłożenia obciążenia (w odległości nie mniejszej niż połowa wysokości przekroju belki), to podobnie jak w przypadku zginania czystego można przyjąć, że włókna nie wywierają na siebie nacisku. Oznacza to, że każde włókno podlega jednoosiowemu naprężeniu lub ściskaniu.

Pod działaniem obciążenia rozłożonego siły poprzeczne w dwóch sąsiednich sekcjach będą się różnić o wielkość równą qdx. Dlatego też krzywizna przekrojów będzie nieco inna. Ponadto włókna będą wywierać na siebie nacisk. Dokładna analiza problemu pokazuje, że jeśli długość belki ja dość duży w porównaniu do jego wysokości h (ja/ h> 5), to nawet przy obciążeniu rozłożonym czynniki te nie mają istotnego wpływu na naprężenia normalne w przekroju i dlatego nie mogą być uwzględniane w obliczeniach praktycznych.

a B C

Ryż. 10.5 Ryc. 10,6

W przekrojach pod obciążeniami skupionymi i w ich pobliżu rozkład σ x odbiega od prawa liniowego. To odchylenie, które ma charakter lokalny i nie towarzyszy mu wzrost największych naprężeń (w skrajnych włóknach), zwykle nie jest brane pod uwagę w praktyce.

Tak więc przy zginaniu poprzecznym (w płaszczyźnie tak) naprężenia normalne są obliczane według wzoru

σ x= – [Mz(x)/Iz]tak.

Jeżeli na nieobciążonym odcinku pręta narysujemy dwa sąsiednie odcinki, to siła poprzeczna w obu odcinkach będzie taka sama, co oznacza, że krzywizna przekrojów będzie taka sama. W tym przypadku dowolny kawałek błonnika ab(Rys.10.5) przesunie się do nowej pozycji a"b", bez poddawania się dodatkowemu wydłużeniu, a zatem bez zmiany wielkości naprężenia normalnego.

Określmy naprężenia styczne w przekroju poprzez ich sparowane naprężenia działające w przekroju podłużnym belki.

Wybierz z paska element o długości dx(Rys. 10.7a). Narysujmy przekrój poziomy na odległość w od osi neutralnej z, dzieląc element na dwie części (ryc. 10.7) i rozważ równowagę górnej części, która ma podstawę

szerokość b. Zgodnie z prawem parowania naprężeń ścinających naprężenia działające w przekroju podłużnym są równe naprężeniom działającym w przekroju. Mając to na uwadze, przy założeniu, że naprężenia ścinające w terenie b rozłożone równomiernie, używamy warunku ΣX = 0, otrzymujemy:

N * - (N * +dN *)+

gdzie: N * - wypadkowa sił normalnych σ w lewym przekroju elementu dx w obszarze „odcięcia” A * (rys. 10.7 d):

gdzie: S \u003d - moment statyczny „odciętej” części przekroju (obszar zacieniony na ryc. 10,7 c). Dlatego możemy napisać:

Następnie możesz napisać:

Ta formuła została uzyskana w XIX wieku przez rosyjskiego naukowca i inżyniera D.I. Żurawskiego i nosi jego imię. I chociaż ten wzór jest przybliżony, ponieważ uśrednia naprężenia na szerokości przekroju, wyniki obliczeń uzyskane za jego pomocą są zgodne z danymi eksperymentalnymi.

W celu wyznaczenia naprężeń stycznych w dowolnym punkcie przekroju w odległości y od osi z należy:

Określ na podstawie wykresu wielkość siły poprzecznej Q działającej w przekroju;

Oblicz moment bezwładności I z całego przekroju;

Narysuj przez ten punkt płaszczyznę równoległą do płaszczyzny xz i określ szerokość przekroju b;

Oblicz moment statyczny obszaru odcięcia S względem głównej osi środkowej z i zastąp znalezione wartości formułą Żurawskiego.

Jako przykład zdefiniujmy naprężenia ścinające w przekroju prostokątnym (ryc. 10.6, c). Moment statyczny wokół osi z części sekcji nad linią 1-1, na których określa się naprężenie, piszemy w formie:

Zmienia się zgodnie z prawem kwadratowej paraboli. Szerokość przekroju v dla belki prostokątnej jest stałe, wówczas prawo zmiany naprężeń ścinających w przekroju będzie również paraboliczne (ryc. 10.6, c). Dla y = i y = − naprężenia styczne są równe zeru, a na osi neutralnej z osiągają swój najwyższy punkt.

Dla belki o przekroju kołowym na osi neutralnej mamy

Płaskie poprzeczne gięcie belek. Wewnętrzne siły zginające. Zależności różniczkowe sił wewnętrznych. Zasady sprawdzania wykresów sił wewnętrznych przy zginaniu. Naprężenia normalne i ścinające przy zginaniu. Obliczanie wytrzymałości na naprężenia normalne i ścinające.

10. PROSTE RODZAJE ODPORNOŚCI. ZGINANIE PŁASKIE

10.1. Ogólne pojęcia i definicje

Zginanie to rodzaj obciążenia, w którym pręt obciążany jest momentami w płaszczyznach przechodzących przez oś podłużną pręta.

Pręt, który działa podczas gięcia, nazywa się belką (lub belką). W przyszłości rozważymy belki proste, których przekrój ma co najmniej jedną oś symetrii.

W odporności materiałów zginanie jest płaskie, ukośne i złożone.

Zginanie płaskie to zginanie, w którym wszystkie siły zginające belkę leżą w jednej z płaszczyzn symetrii belki (w jednej z głównych płaszczyzn).

Głównymi płaszczyznami bezwładności belki są płaszczyzny przechodzące przez główne osie przekrojów oraz oś geometryczną belki (oś x).

Zgięcie skośne to zgięcie, w którym obciążenia działają w jednej płaszczyźnie, która nie pokrywa się z głównymi płaszczyznami bezwładności.

Zginanie złożone to zginanie, w którym obciążenia działają w różnych (dowolnych) płaszczyznach.

10.2. Wyznaczanie wewnętrznych sił zginających

Rozważmy dwa charakterystyczne przypadki zginania: w pierwszym przypadku belka wspornikowa jest zginana momentem skupionym M o ; w drugim przez siłę skupioną F.

Stosując metodę przekrojów mentalnych i zestawiając równania równowagi dla odciętych części belki, wyznaczamy siły wewnętrzne w obu przypadkach:

Pozostałe równania równowagi są oczywiście identycznie równe zeru.

Tak więc, w przypadek ogólny zginanie płaskie w przekroju belki, na sześć sił wewnętrznych powstają dwie - moment zginający M z i siła ścinająca Q y (lub przy zginaniu wokół innej osi głównej - moment zginający M y i siła ścinająca Q z ).

W tym przypadku zgodnie z dwoma rozpatrywanymi przypadkami obciążenia, płaskie zgięcie można podzielić na czyste i poprzeczne.

Czyste zginanie to zginanie płaskie, w którym tylko jedna z sześciu sił wewnętrznych powstaje na odcinkach pręta - moment zginający (patrz pierwszy przypadek).

zgięcie poprzeczne- zginanie, w którym oprócz wewnętrznego momentu zginającego, na odcinkach pręta powstaje również siła poprzeczna (patrz przypadek drugi).

Ściśle mówiąc, tylko czyste zginanie należy do prostych rodzajów oporu; zginanie poprzeczne jest warunkowo określane jako proste typy nośności, ponieważ w większości przypadków (dla wystarczająco długich belek) działanie siły poprzecznej można pominąć w obliczeniach wytrzymałościowych.

Przy określaniu sił wewnętrznych będziemy kierować się następującą zasadą znaków:

1) siła poprzeczna Q y jest uważana za dodatnią, jeśli ma tendencję do obracania rozpatrywanego elementu belki zgodnie z ruchem wskazówek zegara;

2) moment zginający M z jest uważane za dodatnie, jeśli podczas wyginania elementu belkowego górne włókna elementu są ściskane, a dolne włókna rozciągane (zasada parasola).

Zatem rozwiązanie problemu wyznaczania sił wewnętrznych podczas zginania zostanie zbudowane według następującego planu: 1) w pierwszym etapie, biorąc pod uwagę warunki równowagi konstrukcji jako całości, określamy w razie potrzeby nieznane reakcje podpór (zauważ, że w przypadku belki wspornikowej reakcje w osadzeniu można i nie można znaleźć, jeśli weźmiemy pod uwagę belkę ze swobodnego końca); 2) w drugim etapie dobieramy charakterystyczne odcinki belki, przyjmując jako granice przekrojów punkty przyłożenia sił, punkty zmiany kształtu lub wymiarów belki, punkty mocowania belki; 3) w trzecim etapie wyznaczamy siły wewnętrzne w przekrojach belki, uwzględniając warunki równowagi dla elementów belki w każdym z przekrojów.

10.3. Zależności różniczkowe w zginaniu

Ustalmy pewne zależności między siłami wewnętrznymi a zewnętrznymi obciążeniami zginającymi, a także charakterystyczne cechy wykresów Q i M, których znajomość ułatwi konstruowanie wykresów i pozwoli kontrolować ich poprawność. Dla wygody zapisu oznaczymy: M ≡ M z , Q ≡ Q y .

Przydzielmy mały element dx w przekroju belki z dowolnym obciążeniem w miejscu, w którym nie występują siły i momenty skupione. Ponieważ cała belka jest w równowadze, element dx będzie również w równowadze pod działaniem przyłożonych do niego sił poprzecznych, momentów zginających i obciążenia zewnętrznego. Ponieważ Q i M generalnie zmieniają się wzdłuż osi belki, to w przekrojach elementu dx wystąpią siły poprzeczne Q i Q + dQ , a także momenty zginające M i M + dM . Z warunku równowagi wybranego pierwiastka otrzymujemy

∑ F y = 0 Q + q dx − (Q + dQ) = 0;

∑ M 0 = 0 M + Q dx + q dx dx 2 − (M + dM ) = 0.

Z drugiego równania, pomijając wyraz q dx (dx /2) jako nieskończenie małą ilość drugiego rzędu, znajdujemy

Relacje (10.1), (10.2) i (10.3) nazywane są różniczkowe zależności D. I. Żurawskiego w zginaniu.

Analiza powyższych różnicowych zależności zginania pozwala na ustalenie pewnych cech (zasad) konstruowania wykresów momentów zginających i sił ścinających:

a - w miejscach, gdzie nie występuje obciążenie rozłożone q, wykresy Q ograniczają się do linii prostych równoległych do podstawy, a wykresy M - do linii prostych ukośnych;

b - w obszarach, w których obciążenie rozłożone q jest przyłożone do belki, wykresy Q są ograniczone nachylonymi liniami prostymi, a wykresy M są ograniczone parabolami kwadratowymi. Jednocześnie, jeśli zbudujemy diagram M „na rozciągniętym włóknie”, to wypukłość pa-

praca będzie skierowana w kierunku działania q, a ekstremum będzie zlokalizowane na odcinku, na którym działka Q przecina linię bazową;

c - w odcinkach, w których na belkę działa siła skupiona, na wykresie Q będą przeskoki o wartość i w kierunku tej siły, a na wykresie M są załamania, końcówka skierowana w tym kierunku zmuszać; d - w odcinkach, w których na belkę na działce przykładany jest moment skupiony

nie będzie zmian w re Q, a na wykresie M pojawią się skoki o wartość tego momentu; e - na obszarach, gdzie Q > 0 moment M rośnie, a na obszarach, gdzie Q<0, момент М убывает (см. рисунки а–г).

10.4. Naprężenia normalne w czystym zginaniu prostej belki

Rozważmy przypadek czystego płaskiego zginania belki i wyprowadźmy wzór na określenie naprężeń normalnych dla tego przypadku. Należy zauważyć, że w teorii sprężystości można uzyskać dokładną zależność dla naprężeń normalnych w czystym zginaniu, ale jeśli problem ten zostanie rozwiązany metodami odporności materiałów, konieczne jest wprowadzenie pewnych założeń.

Istnieją trzy takie hipotezy dotyczące zginania:

a – hipoteza płaskiego przekroju (hipoteza Bernoulliego)

- płaskie sekcje przed deformacją pozostają płaskie po deformacji, ale obracają się tylko względem pewnej linii, która nazywana jest osią obojętną przekroju belki. W tym przypadku włókna belki leżące po jednej stronie osi neutralnej zostaną rozciągnięte, a po drugiej ściśnięte; włókna leżące na osi obojętnej nie zmieniają swojej długości;

b - hipoteza stałości normalnych naprężeń

nii - naprężenia działające w tej samej odległości y od osi neutralnej są stałe na całej szerokości belki;

c – hipoteza o braku nacisków bocznych –

szare włókna podłużne nie ściskają się nawzajem.

Zadanie. Zbuduj diagramy Q i M dla belki statycznie niewyznaczalnej. Belki obliczamy według wzoru:

n= Σ r- W— 3 = 4 — 0 — 3 = 1

Belka pewnego razu jest statycznie nieokreślony, co oznacza jeden reakcji jest „dodatkowe” nieznane. Za „dodatkowe” nieznane przyjmiemy reakcję wsparcia V — R B.

Belka statycznie wyznaczalna, którą uzyskuje się z danej poprzez usunięcie „dodatkowego” połączenia nazywamy układem głównym. (b).

Teraz ten system powinien zostać zaprezentowany równowartość dany. Aby to zrobić, załaduj główny system dany obciążenie i w punkcie V zastosować "dodatkowa" reakcja R B(Ryż. v).

Jednak dla równorzędność ten niewystarczająco, skoro w takiej belce punkt V może poruszaj się w pionie i w danej belce (ryc. a ), to nie może się zdarzyć. Dlatego dodajemy stan: schorzenie, Co ugięcie t. V w systemie głównym musi być równa 0. Ugięcie t. V składać się z odchylenie od działającego obciążenia Δ F i od odchylenie od „dodatkowej” reakcji Δ R.

Potem komponujemy warunek zgodności przemieszczeń:

Δ F + Δ r=0 (1)

Teraz pozostaje je obliczyć ruchy (ugięcia)).

Ładowanie podstawowy system podany ładunek(Ryż .G) i buduj schemat ładunkuM F (Ryż. D ).

V T. V zastosuj i zbuduj ep. (Ryż. jeż ).

Za pomocą wzoru Simpsona definiujemy ugięcie ładunku.

Teraz zdefiniujmy odchylenie od działania „dodatkowej” reakcji R B , w tym celu ładujemy główny system R B (Ryż. h ) i wykreśl momenty z jego akcji PAN (Ryż. oraz ).

Komponuj i decyduj równanie (1):

Zbudujmy odc. Q oraz m (Ryż. do, ja ).

Budowanie diagramu Q.

Zbudujmy działkę m metoda punkty charakterystyczne. Rozmieszczamy punkty na belce - są to punkty początku i końca belki ( D, A ), moment skupiony ( b ), a także odnotować jako punkt charakterystyczny środek równomiernie rozłożonego obciążenia ( K ) jest dodatkowym punktem do konstruowania krzywej parabolicznej.

Wyznacz momenty zginające w punktach. Zasada znaków cm. - .

Chwila w V zostaną zdefiniowane w następujący sposób. Najpierw zdefiniujmy:

punkt DO weźmy się środek obszar z równomiernie rozłożonym obciążeniem.

Budowanie diagramu m . Wątek AB – krzywa paraboliczna(zasada „parasol”), fabuła BD – prosta ukośna linia.

Dla belki określ reakcje podporowe i wykreśl wykresy momentu zginającego ( m) i siły ścinające ( Q).

Wyznaczamy obsługuje listy A oraz V i kieruj reakcjami podporowymi R A oraz R B .

Kompilacja równania równowagi.

Badanie

Zapisz wartości R A oraz R B na schemat obliczeniowy.

2. Wykreślanie siły poprzeczne metoda Sekcje. Sekcje umieszczamy na charakterystyczne obszary(między zmianami). Zgodnie z wymiarowym gwintem - 4 sekcje, 4 sekcje.

ust. 1-1 ruszaj się lewo.

Sekcja przechodzi przez sekcję z równomiernie rozłożony ładunek, zwróć uwagę na rozmiar! z 1 po lewej stronie sekcji przed początkiem sekcji. Długość działki 2m. Zasada znaków dla Q - cm.

Budujemy na znalezionej wartości diagramQ.

ust. 2-2 ruch w prawo.

Sekcja ponownie przechodzi przez obszar z równomiernie rozłożonym obciążeniem, zwróć uwagę na rozmiar z 2 z prawej strony sekcji na początek sekcji. Długość działki 6m.

Budowanie diagramu Q.

ust. 3-3 ruch w prawo.

ust. 4-4 przesuń się w prawo.

Budujemy diagramQ.

3. Budowa diagramy M metoda punkty charakterystyczne.

punkt charakterystyczny- punkt, dowolny zauważalny na belce. To są kropki A, V, Z, D , a także punkt DO , w którym Q=0 oraz moment zginający ma ekstremum. także w środek konsola postawiła dodatkowy punkt mi, ponieważ w tym obszarze pod równomiernie rozłożonym obciążeniem wykres m opisane krzywy linia i jest zbudowana przynajmniej według 3 zwrotnica.

Tak więc punkty są umieszczone, przystępujemy do określenia w nich wartości momenty zginające. Zasada znaków – zob..

Działki NA, AD – krzywa paraboliczna(zasada „parasol” dla specjalności mechanicznych lub „zasada żagla” dla budownictwa), sekcje DC, SW – proste ukośne linie.

Chwila w punkcie D należy określić zarówno lewy, jak i prawy Z punktu D . Sam moment w tych wyrażeniach Wyłączony. W punkcie D dostajemy dwa wartości od różnica według kwoty m – skok do jego rozmiaru.

Teraz musimy określić moment w punkcie DO (Q=0). Jednak najpierw definiujemy pozycja punktowa DO , oznaczający odległość od niego do początku odcinka przez niewiadomą x .

T. DO należy druga charakterystyczny obszar, równanie siły ścinającej(patrz wyżej)

Ale siła poprzeczna w t. DO jest równe 0 , a z 2 równa się nieznany x .

Otrzymujemy równanie:

Teraz wiedząc x, określić moment w punkcie DO po prawej stronie.

Budowanie diagramu m . Budowa jest możliwa do wykonania mechaniczny specjalności, odkładanie pozytywnych wartości w górę od linii zerowej i stosując zasadę „parasol”.

Dla danego schematu belki wspornikowej należy wykreślić wykresy siły poprzecznej Q i momentu zginającego M, wykonać obliczenia projektowe wybierając przekrój kołowy.

Materiał - drewno, wytrzymałość obliczeniowa materiału R=10MPa, M=14kN m, q=8kN/m

Istnieją dwa sposoby budowania wykresów w belce wspornikowej ze sztywnym zakończeniem - zwykłym, po wcześniejszym określeniu reakcji podporowych i bez określania reakcji podporowych, jeśli weźmiemy pod uwagę przekroje, wychodząc od wolnego końca belki i odrzucając lewa część z zakończeniem. Zbudujmy diagramy zwyczajny sposób.

1. Zdefiniuj wspierać reakcje.

Obciążenie równomiernie rozłożone Q zastąpić siłę warunkową Q= q 0,84=6,72 kN

W osadzeniu sztywnym występują trzy reakcje podporowe - pionowa, pozioma i moment, w naszym przypadku reakcja pozioma wynosi 0.

Znajdźmy pionowy wsparcie reakcji R A oraz moment odniesienia m A z równań równowagi.

W pierwszych dwóch sekcjach po prawej stronie nie ma siły poprzecznej. Na początku odcinka z równomiernie rozłożonym obciążeniem (po prawej) Q=0, z tyłu - wielkość reakcji RA
3. Aby zbudować, skomponujemy wyrażenia dla ich definicji na sekcjach. Wykreślamy wykres momentu na włóknach, tj. w dół.

(fabuła pojedynczych momentów została już zbudowana wcześniej)

Rozwiązujemy równanie (1), pomniejszamy o EI

Ujawniono statyczną nieoznaczoność, zostaje znaleziona wartość „dodatkowej” reakcji. Możesz zacząć kreślić wykresy Q i M dla belki statycznie niewyznaczalnej... Szkicujemy dany schemat belki i wskazujemy wartość reakcji Rb. W tej wiązce nie można określić reakcji na zakończenie, jeśli pójdziesz w prawo.

Budynek działki Q dla belki statycznie niewyznaczalnej

Działka Q.

kreślenie M

Definiujemy M w punkcie ekstremum - w punkcie DO. Najpierw określmy jego pozycję. Odległość do niego oznaczamy jako nieznaną ” x”. Następnie

Planujemy M.

Wyznaczanie naprężeń ścinających w dwuteowniku. Rozważ sekcję Promiennie się uśmiecham. S x \u003d 96,9 cm 3; Yx=2030 cm 4; Q=200 kN

Do określenia naprężenia ścinającego służy formuła, gdzie Q jest siłą poprzeczną w przekroju, S x 0 jest momentem statycznym części przekroju znajdującej się po jednej stronie warstwy, w której wyznaczane są naprężenia ścinające, I x jest momentem bezwładności całego krzyża przekrój, b szerokość przekroju w miejscu wyznaczania naprężenia ścinającego

Obliczać maksymalny naprężenie ścinające:

Obliczmy moment statyczny dla Górna półka:

Teraz policzmy naprężenia ścinające:

Budujemy wykres naprężeń ścinających:

Obliczenia projektowe i weryfikacyjne. Dla belki ze skonstruowanymi wykresami sił wewnętrznych z warunku wytrzymałości dla naprężeń normalnych wybierz przekrój w postaci dwóch kanałów. Sprawdź wytrzymałość belki za pomocą warunku wytrzymałości na ścinanie i kryterium wytrzymałości energetycznej. Dany:

Pokażmy belkę z konstrukcją działki Q i M

Zgodnie z wykresem momentów zginających niebezpieczne jest sekcja C, w którym M C \u003d M max \u003d 48,3 kNm.

Stan wytrzymałości dla normalnych naprężeń bo ta belka ma formę σ max \u003d M C / W X ≤σ adm . Konieczne jest wybranie sekcji z dwóch kanałów.

Określ wymaganą obliczoną wartość wskaźnik przekroju osiowego:

Dla odcinka w postaci dwóch kanałów, zgodnie z akceptacją dwa kanały №20, moment bezwładności każdego kanału I x = 1670 cm 4, następnie moment osiowy nośności całego przekroju:

Nadnapięcie (podnapięcie) w niebezpiecznych punktach obliczamy według wzoru: Wtedy otrzymujemy pod napięciem:

Sprawdźmy teraz siłę wiązki na podstawie warunki wytrzymałościowe dla naprężeń ścinających. Według wykres sił ścinających niebezpieczny są sekcje w sekcji BC i sekcji D. Jak widać na schemacie, Q max \u003d 48,9 kN.

Warunek wytrzymałości na naprężenia ścinające wygląda jak:

Dla kanału nr 20 a: statyczny moment powierzchni S x 1 \u003d 95,9 cm 3, moment bezwładności przekroju I x 1 \u003d 1670 cm 4, grubość ścianki d 1 \u003d 5,2 mm, średnia grubość półki t 1 \u003d 9,7 mm , wysokość kanału h 1 \u003d 20 cm, szerokość półki b 1 \u003d 8 cm.

do poprzecznych sekcje dwóch kanałów:

S x \u003d 2S x 1 \u003d 2 95,9 \u003d 191,8 cm 3,

I x \u003d 2I x 1 \u003d 2 1670 \u003d 3340 cm 4,

b \u003d 2d 1 \u003d 2 0,52 \u003d 1,04 cm.

Ustalenie wartości maksymalne naprężenie ścinające:

τ max \u003d 48,9 10 3 191,8 10 -6 / 3340 10 -8 1,04 10 -2 \u003d 27 MPa.

Jak widać, τmaks<τ adm (27 MPa<75МПа).

W związku z tym, warunek wytrzymałości jest spełniony.

Sprawdzamy wytrzymałość belki według kryterium energetycznego.

Z uwagi na diagramy Q i M wynika z tego sekcja C jest niebezpieczna, w którym M C =M max =48,3 kNm i Q C =Q max =48,9 kN.

Wydajmy analiza stanu naprężeń w punktach przekroju С

Zdefiniujmy naprężenia normalne i ścinające na kilku poziomach (oznaczonych na schemacie przekroju)

Poziom 1-1: r 1-1 =h 1/2=20/2=10cm.

Normalna i styczna Napięcie:

Główny Napięcie:

Poziom 2-2: y 2-2 \u003d h 1/2-t 1 \u003d 20/2-0,97 \u003d 9,03 cm.

Główne naprężenia:

Poziom 3-3: y 3-3 \u003d h 1/2-t 1 \u003d 20/2-0,97 \u003d 9,03 cm.

Naprężenia normalne i ścinające: