Jak nazywa się trójkąt, w którym. Trójkąt rozwarty: długość boków, suma kątów. Ograniczony trójkąt rozwarty. Własności wspólne dla wszystkich trójkątów

Trójkąt (z punktu widzenia przestrzeni Euklidesa) to taka figura geometryczna, którą tworzą trzy segmenty łączące trzy punkty, które nie leżą na jednej linii prostej. Trzy punkty tworzące trójkąt nazywane są jego wierzchołkami, a odcinki linii łączące wierzchołki nazywane są bokami trójkąta. Czym są trójkąty?

Trójkąty Równe

Istnieją trzy znaki równości trójkątów. Jakie trójkąty nazywamy równymi? To ci, którzy:

  • dwie strony i kąt między tymi bokami są równe;
  • jeden bok i dwa sąsiadujące z nim kąty są równe;
  • wszystkie trzy strony są równe.

Trójkąty prostokątne mają następujące znaki równości:

  • wzdłuż ostrego kąta i przeciwprostokątnej;
  • wzdłuż ostrego kąta i nogi;
  • na dwóch nogach;
  • wzdłuż przeciwprostokątnej i cewnika.

Czym są trójkąty

Zgodnie z liczbą równych boków trójkąt może być:

  • Równoboczny. Jest to trójkąt o trzech równych bokach. Wszystkie kąty w trójkącie równobocznym wynoszą 60 stopni. Ponadto zbiegają się środki kręgów opisanych i wpisanych.
  • Jednostronne. Trójkąt bez równych boków.
  • Równoramienny. Jest to trójkąt o dwóch równych bokach. Dwie identyczne strony to boki, a trzecia strona to podstawa. W takim trójkącie dwusieczna, mediana i wysokość pokrywają się, jeśli są opuszczone do podstawy.

W zależności od wielkości kątów trójkąt może być:

  1. Rozwarty - gdy jeden z kątów ma wartość większą niż 90 stopni, czyli jest rozwarty.
  2. Ostre kąty - jeśli wszystkie trzy kąty w trójkącie są ostre, to znaczy mają wartość mniejszą niż 90 stopni.
  3. Który trójkąt nazywa się trójkątem prostokątnym? To taki, który ma jeden kąt prosty równy 90 stopni. Nogi w nim będą nazywane dwiema stronami, które tworzą ten kąt, a przeciwprostokątna jest stroną przeciwną do kąta prostego.

Podstawowe własności trójkątów

  1. Mniejszy kąt zawsze leży naprzeciwko mniejszego boku, a większy kąt zawsze leży naprzeciwko większego boku.
  2. Równe kąty zawsze leżą naprzeciw równych boków, a przeciwne boki zawsze leżą pod różnymi kątami. W szczególności w trójkącie równobocznym wszystkie kąty mają tę samą wartość.
  3. W każdym trójkącie suma kątów wynosi 180 stopni.
  4. Kąt zewnętrzny można uzyskać, przedłużając jeden z jego boków do trójkąta. Wartość kąta zewnętrznego będzie równa sumie kątów wewnętrznych, które z nim nie sąsiadują.
  5. Bok trójkąta jest większy niż różnica jego dwóch pozostałych boków, ale mniejszy niż ich suma.

W geometrii przestrzennej Łobaczewskiego suma kątów trójkąta zawsze będzie mniejsza niż 180 stopni. Na kuli ta wartość jest większa niż 180 stopni. Różnica między 180 stopniami a sumą kątów trójkąta nazywana jest defektem.

Podczas nauki matematyki uczniowie zaczynają poznawać różne rodzaje kształtów geometrycznych. Dzisiaj porozmawiamy o różnych rodzajach trójkątów.

Definicja

Figury geometryczne składające się z trzech punktów, które nie leżą na tej samej linii prostej, nazywane są trójkątami.

Odcinki linii łączące punkty nazywane są bokami, a punkty - wierzchołkami. Wierzchołki są oznaczone wielkimi literami łacińskimi, na przykład: A, B, C.

Strony są oznaczone nazwami dwóch punktów, z których się składają - AB, BC, AC. Przecinające się boki tworzą kąty. Dolna strona jest uważana za podstawę figury.

Ryż. 1. Trójkąt ABC.

Rodzaje trójkątów

Trójkąty są klasyfikowane według kątów i boków. Każdy rodzaj trójkąta ma swoje własne właściwości.

W rogach znajdują się trzy rodzaje trójkątów:

  • ostrokątny;
  • prostokątny;
  • rozwarty.

Wszystkie kąty ostry kąt trójkąty są ostre, to znaczy miara stopnia każdego z nich nie przekracza 90 0.

Prostokątny trójkąt zawiera kąt prosty. Pozostałe dwa kąty zawsze będą ostre, ponieważ w przeciwnym razie suma kątów trójkąta przekroczy 180 stopni, co jest niemożliwe. Strona przeciwna do kąta prostego nazywana jest przeciwprostokątną, a pozostałe dwie nogi. Przeciwprostokątna jest zawsze większa niż noga.

rozwarty trójkąt zawiera kąt rozwarty. To znaczy kąt większy niż 90 stopni. Pozostałe dwa kąty w takim trójkącie będą ostre.

Ryż. 2. Rodzaje trójkątów w rogach.

Trójkąt pitagorejski to prostokąt o bokach 3, 4, 5.

Co więcej, większa strona to przeciwprostokątna.

Takie trójkąty są często używane do komponowania prostych problemów geometrycznych. Dlatego pamiętaj: jeśli dwa boki trójkąta to 3, to trzeci na pewno będzie miał 5. To uprości obliczenia.

Rodzaje trójkątów po bokach:

  • równoboczny;
  • równoramienny;
  • wszechstronny.

Równoboczny trójkąt to trójkąt, w którym wszystkie boki są równe. Wszystkie kąty takiego trójkąta są równe 60 0, czyli zawsze jest ostrokątny.

Równoramienny trójkąt to trójkąt mający tylko dwa równe boki. Te boki nazywane są bocznymi, a trzecia - podstawą. Ponadto kąty u podstawy trójkąta równoramiennego są równe i zawsze ostre.

Wszechstronny lub dowolny trójkąt to trójkąt, w którym wszystkie długości i wszystkie kąty nie są sobie równe.

Jeśli nie ma wyjaśnień dotyczących figury w problemie, to ogólnie przyjmuje się, że mówimy o dowolnym trójkącie.

Ryż. 3. Rodzaje trójkątów po bokach.

Suma wszystkich kątów trójkąta, niezależnie od jego typu, wynosi 1800.

Naprzeciw większego kąta jest większy bok. A także długość każdego boku jest zawsze mniejsza niż suma jego dwóch pozostałych boków. Własności te potwierdza twierdzenie o nierówności trójkąta.

Istnieje koncepcja złotego trójkąta. Jest to trójkąt równoramienny, w którym dwa boki są proporcjonalne do podstawy i równe określonej liczbie. Na takiej figurze kąty są proporcjonalne do stosunku 2:2:1.

Zadanie:

Czy istnieje trójkąt o bokach 6 cm, 3 cm, 4 cm?

Rozwiązanie:

Aby rozwiązać to zadanie, musisz użyć nierówności a

Czego się nauczyliśmy?

Z tego materiału z piątej klasy kursu matematyki dowiedzieliśmy się, że trójkąty są klasyfikowane według boków i kątów. Trójkąty mają pewne właściwości, które można wykorzystać przy rozwiązywaniu problemów.

Trójkąt, w którym wszystkie boki nie są tej samej długości, nazywa się wszechstronny.

Trójkąt o dwóch równych bokach jest oznaczony jako równoramienny. Te same strony są nazywane boczny, strona trzecia podstawa. Poniższa definicja byłaby równie prawdziwa: podstawy trójkąta jest bokiem trójkąta równoramiennego, który nie jest równy pozostałym dwóm bokom.

V Trójkąt równoramienny kąty bazowe są równe. Wysokość, mediana, dwusieczna trójkąt równoramienny, narysowany do jego podstawy, są połączone.

Trójkąt, ze wszystkimi stronami takimi samymi, jest oznaczony jako równoboczny lub prawidłowy. W trójkącie równobocznym wszystkie kąty wynoszą 60°, a środki okręgów wpisanych i opisanych są połączone.

Rodzaje trójkątów w zależności od parametrów kątów.

Trójkąt, w którym nazywane są tylko kąty mniejsze niż 90 0 (ostre) ostry kąt.

Nazywa się trójkąt, w którym przedstawiony jest kąt 90 0 prostokątny. Boki trójkąta tworzącego kąt prosty są zwykle oznaczane nogi, a strona przeciwna do kąta prostego - przeciwprostokątna.

Dziś jedziemy do kraju Geometrii, gdzie poznamy różne rodzaje trójkątów.

Zbadaj kształty geometryczne i znajdź wśród nich „dodatki” (ryc. 1).

Ryż. 1. Ilustracja na przykład

Widzimy, że figury nr 1, 2, 3, 5 są czworokątami. Każdy z nich ma swoją nazwę (ryc. 2).

Ryż. 2. Czworokąty

Oznacza to, że figura „dodatkowa” to trójkąt (ryc. 3).

Ryż. 3. Ilustracja na przykład

Trójkąt to figura składająca się z trzech punktów, które nie leżą na tej samej linii prostej i trzech odcinków łączących te punkty parami.

Punkty nazywają się wierzchołki trójkąta, segmenty - jego imprezy. Boki trójkąta tworzą Na wierzchołkach trójkąta znajdują się trzy kąty.

Główne cechy trójkąta to trzy boki i trzy rogi. Trójkąty są klasyfikowane według kąta ostry, prostokątny i tępy.

Trójkąt nazywa się ostrym, jeśli wszystkie trzy jego kąty są ostre, to znaczy mniej niż 90 ° (ryc. 4).

Ryż. 4. Ostry trójkąt

Trójkąt nazywamy prostokątnym, jeśli jeden z jego kątów wynosi 90° (ryc. 5).

Ryż. 5. Prawy trójkąt

Trójkąt nazywamy rozwartym, jeśli jeden z jego kątów jest rozwarty, tj. większy niż 90° (ryc. 6).

Ryż. 6. Rozwarty trójkąt

Zgodnie z liczbą równych boków trójkąty są równoboczne, równoramienne, pochyłe.

Trójkąt równoramienny to trójkąt, w którym dwa boki są równe (ryc. 7).

Ryż. 7. Trójkąt równoramienny

Te strony nazywają się boczny, trzecia strona - podstawa. W trójkącie równoramiennym kąty u podstawy są równe.

Trójkąty równoramienne są ostry i tępy(rys. 8) .

Ryż. 8. Ostre i rozwarte trójkąty równoramienne

Nazywa się trójkąt równoboczny, w którym wszystkie trzy boki są równe (ryc. 9).

Ryż. 9. Trójkąt równoboczny

W trójkącie równobocznym wszystkie kąty są równe. Trójkąty równoboczne zawsze ostrokątny.

Trójkąt nazywa się uniwersalnym, w którym wszystkie trzy boki mają różne długości (ryc. 10).

Ryż. 10. Trójkąt skali

Wykonać zadanie. Podziel te trójkąty na trzy grupy (ryc. 11).

Ryż. 11. Ilustracja do zadania

Najpierw rozłóżmy zgodnie z rozmiarem kątów.

Ostre trójkąty: nr 1, nr 3.

Trójkąty prawe: #2, #6.

Trójkąty rozwarte: #4, #5.

Te trójkąty są podzielone na grupy według liczby równych boków.

Trójkąty pochyłe: nr 4, nr 6.

Trójkąty równoramienne: nr 2, nr 3, nr 5.

Trójkąt równoboczny: nr 1.

Przejrzyj rysunki.

Zastanów się, z jakiego kawałka drutu wykonany jest każdy trójkąt (rys. 12).

Ryż. 12. Ilustracja do zadania

Możesz się tak spierać.

Pierwszy kawałek drutu jest podzielony na trzy równe części, dzięki czemu można z niego zrobić trójkąt równoboczny. Jest to pokazane jako trzecie na rysunku.

Drugi kawałek drutu jest podzielony na trzy różne części, dzięki czemu można z niego zrobić trójkąt łuskowy. Jest pokazany jako pierwszy na obrazku.

Trzeci kawałek drutu jest podzielony na trzy części, z których dwie są tej samej długości, dzięki czemu można z niego zrobić trójkąt równoramienny. Jest to pokazane jako drugie na rysunku.

Dzisiaj na lekcji zapoznaliśmy się z różnymi rodzajami trójkątów.

Bibliografia

  1. MI. Moro, mgr Bantova i inni Matematyka: Podręcznik. Ocena 3: w 2 częściach, część 1. - M .: "Oświecenie", 2012.
  2. MI. Moro, mgr Bantova i inni Matematyka: Podręcznik. Klasa 3: w 2 częściach, część 2. - M .: "Oświecenie", 2012.
  3. MI. Moreau. Lekcje matematyki: Wskazówki dla nauczycieli. Ocena 3 - M.: Edukacja, 2012.
  4. Dokument prawny. Monitorowanie i ocena efektów uczenia się. - M.: "Oświecenie", 2011.
  5. „Szkoła Rosji”: Programy dla szkoły podstawowej. - M.: "Oświecenie", 2011.
  6. SI. Wołkow. Matematyka: praca testowa. Ocena 3 - M.: Edukacja, 2012.
  7. V.N. Rudnickiej. Testy. - M.: "Egzamin", 2012.
  1. Nsportal.ru ().
  2. Prosv.ru ().
  3. Do.gendocs.ru ().

Praca domowa

1. Dokończ frazy.

a) Trójkąt to figura składająca się z ..., nie leżącego na tej samej linii prostej, i ..., łączącej te punkty parami.

b) Punkty nazywane są … , segmenty - jego … . Boki trójkąta tworzą wierzchołki trójkąta ….

c) W zależności od wielkości kąta trójkąty to ..., ..., ....

d) Zgodnie z liczbą równych boków trójkąty to ..., ..., ....

2. Remis

a) trójkąt prostokątny

b) ostry trójkąt;

c) trójkąt rozwarty;

d) trójkąt równoboczny;

e) trójkąt pochyły;

e) trójkąt równoramienny.

3. Zrób zadanie na temat lekcji dla swoich towarzyszy.

Trójkąt . Trójkąty ostre, tępe i prawe.

Nogi i przeciwprostokątna. Równoramienne i trójkąt równoboczny.

Suma kątów trójkąta.

Zewnętrzny róg trójkąta. Znaki równości trójkątów.

Cudowne linie i punkty w trójkącie: wysokości, mediany,

dwusieczne, mediana mi prostopadłe, ortocentrum,

środek ciężkości, środek okręgu opisanego, środek okręgu wpisanego.

Twierdzenie Pitagorasa. Współczynnik kształtu dowolnego trójkąta.

Trójkąt jest wielokątem o trzech bokach (lub trzech rogach). Boki trójkąta są często oznaczane małymi literami, które odpowiadają dużym literom oznaczającym przeciwległe wierzchołki.

Jeśli wszystkie trzy kąty są ostre ( rys. 20), to to ostry trójkąt . Jeśli jeden z rogów ma rację(C, rys.21), to jest trójkąt prostokątny; bokia , btworzące kąt prosty są nazywane nogi; bokCprzeciwnie nazywa się kąt prosty przeciwprostokątna. Jeśli jeden z kąty rozwarte ( B, rys. 22), to jest trójkąt rozwarty.


Trójkąt ABC (ryc. 23) - równoramienny, Jeśli dwa jego boki są równea= C); te równe boki nazywają się boczny, strona trzecia nazywa się podstawa trójkąt. Trójkąt ABC (ryc. 24) - równoboczny, Jeśli Wszystko jego boki są równea = b = C). Ogólnie ( a ≠ b ≠ C) mamy różnoboczny trójkąt .

Podstawowe własności trójkątów. W dowolnym trójkącie:

1. Naprzeciwko większego boku występuje większy kąt i na odwrót.

2. Równe kąty leżą po przeciwnych równych bokach i na odwrót.

W szczególności wszystkie kąty w równoboczny trójkąty są równe.

3. Suma kątów trójkąta wynosi 180 º .

Z ostatnich dwóch własności wynika, że ​​każdy kąt w równobocznym

trójkąt to 60 º.

4. Kontynuując jeden z boków trójkąta (AC, rys. 25), dostajemy zewnętrzny

kąt BCD . Kąt zewnętrzny trójkąta jest równy sumie kątów wewnętrznych,

nie związane z tym :BCD=A+B.

5. Każdy bok trójkąta jest mniejszy niż suma pozostałych dwóch boków i więcej

ich różnice (a < b + C, a > b – C;b < a + C, b > a – C;C < a + b,C > a – b).

Znaki równości trójkątów.

Trójkąty są przystające, jeśli są odpowiednio równe:

a ) dwie strony i kąt między nimi;

b ) dwa rogi i bok do nich przylegający;

c) trzy strony.

Znaki równości trójkątów prostokątnych.

Dwa prostokątny trójkąty są przystające, jeśli spełniony jest jeden z następujących warunków:

1) ich nogi są równe;

2) noga i przeciwprostokątna jednego trójkąta są równe nodze i przeciwprostokątnej drugiego;

3) przeciwprostokątna i kąt ostry jednego trójkąta są równe przeciwprostokątnej i kątowi ostremu drugiego;

4) ramię i przyległy kąt ostry jednego trójkąta są równe ramieniu i przyległemu kątowi ostremu drugiego;

5) noga i przeciwny kąt ostry jednego trójkąta są równe nodze i naprzeciwko kąta ostrego drugiego.

Cudowne linie i kropki w trójkącie.

Wzrost trójkąt toprostopadły,spadła z dowolnego wierzchołka na przeciwną stronę ( lub jego kontynuacja). Ta strona nazywa siępodstawa trójkąta . Trzy wysokości trójkąta zawsze się przecinająw jednym punkcienazywa ortocentrum trójkąt. Ortocentrum ostrego trójkąta (punkt O , rys. 26) znajduje się wewnątrz trójkąta, aortocentrum trójkąta rozwartego (punkt O , rys.27) – poza; Ortocentrum trójkąta prostokątnego pokrywa się z wierzchołkiem pod kątem prostym.

Mediana - to Sekcja , łącząc dowolny wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwnej strony. Trzy mediany trójkąta (AD , BE , CF , rys.28) przecinają się w jednym punkcie O , który zawsze leży wewnątrz trójkąta i będąc jego Środek ciężkości. Ten punkt dzieli każdą medianę 2:1 od góry.

Dwusieczna - to segment dwusieczny róg od góry do punktu przecięcie z przeciwną stroną. Trzy dwusieczne trójkąta (AD , BE , CF , rys.29) przecinają się w jednym punkcie Och, zawsze leżę w trójkącie oraz istnienie wpisany środek okręgu(patrz rozdział „Wpisanei opisane wielokąty).

Dwusieczna dzieli przeciwną stronę na części proporcjonalne do sąsiednich boków ; na przykład na ryc.29 AE : CE = AB : BC .

Mediana prostopadła jest prostopadłą wyciągniętą ze średniej punkty segmentu (boki). Trzy prostopadłe dwusieczne trójkąta ABC(KO , MO , NIE , rys.30 ) przecinają się w jednym punkcie O, który jest środek ograniczone koło (punkty K , M , N środki boków trójkąta ABC).

W ostrym trójkącie ten punkt leży wewnątrz trójkąta; w tępym - na zewnątrz; w prostokącie - w środku przeciwprostokątnej. Ortocentrum, środek ciężkości, środek opisanego i środek wpisanego okręgu pokrywają się tylko w trójkącie równobocznym.

Twierdzenie Pitagorasa. W trójkącie prostokątnym kwadrat długościPrzeciwprostokątna jest równa sumie kwadratów długości nóg.

Dowód twierdzenia Pitagorasa wynika oczywiście z ryc. 31. Rozważ trójkąt prostokątny ABC z nogami a , b i przeciwprostokątna C.

Zbudujmy kwadrat AKMB przy użyciu przeciwprostokątnej AB jako strona. Następniewydłuż boki trójkąta prostokątnego ABC więc zdobyć kwadrat CDEF , którego bok jest równya + b .Teraz jest jasne, że powierzchnia kwadratu CDEF to ( a+b) 2 . Z drugiej strony to powierzchnia jest równa sumie obszary cztery prawe trójkąty i kwadratowy AKMB , czyli

C 2 + 4 (ab / 2) = C 2 + 2 ab,

stąd,

C 2 + 2 ab= (a+b) 2 ,

i wreszcie mamy:

C 2 =a 2 +b 2 .

Współczynnik kształtu dowolnego trójkąta.

W ogólnym przypadku (dla dowolnego trójkąta) mamy:

C 2 =a 2 +b 2 – 2ab· sałata C,

gdzie C - kąt między bokamia oraz b .

mob_info