Sposób arytmetyczny. Proste arytmetyczne problemy tekstowe (ich klasyfikacja, przykłady i rozwiązania). Różne podejścia do klasyfikacji zadań tekstowych

Nauczyciel szkoły podstawowej musi tylko wiedzieć, jakie rodzaje zadań są dostępne. Dzisiaj poznasz proste problemy arytmetyki tekstu. Proste problemy arytmetyki tekstowej to problemy, które można rozwiązać za pomocą jednej operacji arytmetycznej.... Kiedy czytamy problem, automatycznie korelujemy go z jakimś rodzajem, a wtedy od razu staje się jasne, jakie działania należy rozwiązać.

Dostarczę Ci nie tylko klasyfikacji prostych zadań tekstowych, ale także podam ich przykłady, a także opowiem o rozwiązywaniu zadań tekstowych w sposób arytmetyczny. Wszystkie przykłady zaczerpnęłam z podręczników do matematyki dla klasy 2 (część 1, część 2), które są używane w szkołach na Białorusi.

Wszystkie proste zadania arytmetyczne dzielą się na dwie duże grupy:

- PIEKŁO I (+/-), czyli te, które są rozwiązywane przez operacje arytmetyczne pierwszego rzędu (dodawanie lub odejmowanie);

- PIEKŁO II (* / :), czyli te, które są rozwiązywane przez operacje arytmetyczne drugiego rzędu (mnożenie lub dzielenie).

Rozważmy pierwszą grupę prostych tekstowych problemów arytmetycznych (AD I):

1) Zadania, które ujawniają konkretne znaczenie dodawania (+)

W biegach wzięły udział 4 dziewczynki i 5 chłopców. Ilu uczniów z klasy wzięło udział w konkursie?

Po tym, jak Sasha rozwiązał 9 przykładów, pozostało mu jeszcze 3 do rozwiązania. Ile przykładów musiała rozwiązać Sasha?

Następujące zadania są rozwiązywane przez dodawanie: a + b =?

2) Zadania, które ujawniają konkretne znaczenie odejmowania (-)

Mama upiekła 15 ciast. Ile ciast pozostało po zjedzeniu 10 ciast?

W puszce było 15 szklanek soku. Wypiliśmy 5 szklanek podczas lunchu. Ile szklanek soku zostało?

Takie problemy rozwiązuje się przez odejmowanie: a-b =?

3) Zadania dotyczące relacji między składnikami a wynikiem dodawania lub odejmowania:

a) znaleźć nieznany pierwszy termin (? + a = b)

Chłopiec włożył do pudełka 4 ołówki. Tam stali się 13. Ile ołówków było początkowo w pudełku?

Aby rozwiązać ten problem, należy od wyniku działania odjąć dobrze znany drugi wyraz: b-a =?

b) znalezienie nieznanego drugiego terminu (a +? = b)

Do garnka i czajnika wlano 13 szklanek wody. Ile szklanek wody wlano do czajnika, jeśli do garnka wlano 5 szklanek?

Problemy tego typu rozwiązuje się przez odejmowanie, od wyniku działania odejmuje się dobrze znany pierwszy człon: b-a =?

c) znaleźć zmniejszenie nieznanego (? -a = b)

Olga zebrała bukiet. Włożyła do wazonu 3 kolory i zostało jej 7 kwiatów. Ile kwiatów było w bukiecie?

Tego typu zadania tekstowe rozwiązywane są arytmetycznie, dodając wynik działania i odejmując: b + a =?

d) znaleźć nieznane, odjąć (a -? = b)

Kupiliśmy 2 tuziny jajek. Po zabraniu kilku jajek do pieczenia było ich 15. Ile jajek zabrano?

Zadania te rozwiązuje się przez odejmowanie: odejmujemy wynik działania od zredukowanego: a-b =?

4) Zadania do zmniejszania / zwiększania o kilka jednostek w formie bezpośredniej, pośredniej

przykłady zadań do redukcji o kilka jednostek w formie bezpośredniej:

Jedno pudełko zawierało 20 kg bananów, a drugie 5 mniej. Ile kilogramów bananów było w drugim pudełku?

Pierwsza klasa zebrała 19 pudełek jabłek, a druga - 4 pudła mniej. Ile pudełek jabłek zebrała druga klasa?

Te problemy rozwiązuje się przez odejmowanie (a-b =?)

Nie znalazłem przykładów zadań do zmniejszania w formie pośredniej, a także do zwiększania w formie bezpośredniej lub pośredniej w podręczniku do 2 klasy matematyki. W razie potrzeby napisz w komentarzach - a artykuł uzupełnię własnymi przykładami.

5) Problemy z porównywaniem różnic

Gęś waży 7 kg, a kurczak waży 3 kg. Ile kilogramów jest kurczak mniej niż gęś?

Pierwsze pudełko zawiera 14 ołówków, a drugie 7. Ile więcej ołówków jest w pierwszym pudełku niż w drugim?

Rozwiązanie zadań tekstowych dla porównań różnic polega na odjęciu mniejszej liczby od większej.

Zakończyliśmy zajmowanie się prostymi tekstowymi problemami arytmetycznymi grupy I i przechodzimy do zadań grupy II. Jeśli nic nie zrozumiałeś, zapytaj w komentarzach.

Druga grupa prostych tekstowych problemów arytmetycznych (AD II):

1) Problemy ujawniające specyficzne znaczenie mnożenia

Ile nóg mają dwa psy? Trzy psy?

Przed domem stoją trzy samochody. Każdy samochód ma 4 koła. Ile kół mają trzy samochody?

Te problemy rozwiązuje się przez mnożenie: a * b =?

2) Zadania ujawniające specyficzne znaczenie podziału:

a) według treści

Dzieciom rozdano 10 ciastek, po dwa każdemu. Ile dzieci dostało ciastka?

Worki 2 kg zawierają 14 kg mąki. Ile jest pakietów?

W tych zadaniach dowiadujemy się, ile części okazało się jednakowej treści.

b) na równe części

Pasek o długości 10 cm pocięto na dwie równe części. Jaka jest długość każdego kawałka?

Nina podzieliła 10 ciastek równo na 2 talerze. Ile ciastek znajduje się na jednym talerzu?

I w tych zadaniach dowiadujemy się, jaka jest treść jednej równej części.

Tak czy inaczej, wszystkie te zadania rozwiązuje się, dzieląc: a: b =?

3) Zadania dotyczące relacji między składnikiem a wynikiem mnożenia i dzielenia:

a) znaleźć nieznany pierwszy czynnik:?* a = b

Własny przykład:

Kilka pudełek po 6 ołówków. W pudełkach znajdują się 24 ołówki. Ile pudełek?

Rozwiązuje się go dzieląc iloczyn przez znany drugi czynnik: b: a =?

b) znaleźć nieznany drugi czynnik: a *? = b

Kawiarnia może pomieścić 3 osoby przy jednym stole. Ile takich stolików będzie zajętych, jeśli przyjdzie tam 15 osób?

Rozwiązuje się go dzieląc iloczyn przez znany pierwszy czynnik: b: a =?

c) znaleźć nieznaną dywidendę:?: a = b

Własny przykład:

Kola przyniosła słodycze do klasy i podzieliła je równo między wszystkich uczniów. W klasie jest 16 dzieci. Każdy dostał 3 cukierki. Ile słodyczy przyniosła Kola?

Rozwiązuje się to mnożąc iloraz przez dzielnik: b * a =?

d) znaleźć nieznany dzielnik: a:? = b

Własny przykład:

Vitya przyniosła do klasy 44 słodycze i podzieliła je równo między wszystkich uczniów. Każdy dostał 2 cukierki. Ilu uczniów jest w klasie?

Rozwiązuje się to dzieląc dywidendę przez iloraz: a:b =?

4) Zadania do kilkukrotnego zwiększania / zmniejszania w formie bezpośredniej lub pośredniej

W podręczniku do II klasy nie ma przykładów takich tekstowych problemów arytmetycznych.

5) Zadania do wielokrotnego porównania

Rozwiązuje się je dzieląc więcej przez mniej.

Przyjaciele, cała powyższa klasyfikacja prostych zadań tekstowych jest tylko częścią dużej klasyfikacji wszystkich zadań tekstowych. Ponadto nadal są zadania do znalezienia procentów, o których ci nie powiedziałem. O tym wszystkim dowiesz się z tego filmu:

A moja wdzięczność zostanie z tobą!

Nauka rozwiązywania zadań tekstowych odgrywa ważną rolę w kształtowaniu wiedzy matematycznej. Zadania tekstowe dają dużo miejsca na rozwój myślenia uczniów. Nauka rozwiązywania problemów to nie tylko nauka techniki uzyskiwania poprawnych odpowiedzi w niektórych typowych sytuacjach, ale uczenie twórczego podejścia do znajdowania rozwiązania, zdobywanie doświadczenia w aktywności umysłowej i demonstrowanie przez uczniów umiejętności matematyki w rozwiązywaniu różnych problemów. Jednak przy rozwiązywaniu zadań tekstowych w klasach 5-6 najczęściej stosuje się równanie. Ale myślenie piątoklasistów nie jest jeszcze gotowe na formalne procedury rozwiązywania równań. Arytmetyczna metoda rozwiązywania problemów ma szereg zalet w stosunku do metody algebraicznej, ponieważ wynik każdego kroku w działaniu jest wyraźniejszy i bardziej konkretny, nie wykracza poza doświadczenie piątoklasistów. Uczniowie są lepsi i szybsi w rozwiązywaniu problemów związanych z działaniem niż przy użyciu równań. Myślenie dzieci jest konkretne i musi być rozwijane na konkretnych przedmiotach i ilościach, a następnie stopniowo przechodzić do operowania abstrakcyjnymi obrazami.

Praca nad zadaniem polega na uważnym przeczytaniu tekstu warunku, zrozumieniu znaczenia każdego słowa. Podam przykłady problemów, które można łatwo i prosto rozwiązać metodą arytmetyczną.

Cel 1. Aby zrobić dżem na dwie części malin, weź trzy części cukru. Ile kilogramów cukru potrzeba na 2 kg z 600 g malin?

Rozwiązując problem w „częściach”, należy nauczyć wizualizacji stanu problemu, czyli tzw. lepiej polegać na rysunku.

  1. 2600: 2 = 1300 (g) - spada na jedną część dżemu;
  2. 1300 * 3 = 3900 (g) - musisz wziąć cukier.

Cel 2. Pierwsza półka zawierała 3 razy więcej książek niż druga. Na dwóch półkach znajdowało się łącznie 120 książek. Ile książek było na każdej półce?

1) 1 + 3 = 4 (części) - przypada na wszystkie książki;

2) 120: 4 = 30 (książki) - przypada na jedną część (książki na drugiej półce);

3) 30 * 3 = 90 (książki) - stał na pierwszej półce.

Cel 3. W klatce siedzą bażanty i króliki. W sumie jest 27 głów i 74 nogi. Sprawdź liczbę bażantów i liczbę królików w klatce.

Wyobraź sobie, że nakładamy marchewkę na wieko klatki, w której siedzą bażanty i króliki. Wtedy wszystkie króliki staną na tylnych łapach, aby do niej dotrzeć. Następnie:

  1. 27 * 2 = 54 (nogi) - stanie na podłodze;
  2. 74-54 = 20 (nogi) - będzie na górze;
  3. 20: 2 = 10 (króliki);
  4. 27-10 = 17 (bażanty).

Zadanie 4. W naszej klasie jest 30 uczniów. 23 osoby wybrały się na wycieczkę do muzeum, 21 poszło do kina, a 5 osób nie poszło ani na wycieczkę, ani do kina. Ile osób poszło na wycieczkę i do kina?

Koła Eulera można wykorzystać do analizy stanu i wyboru planu rozwiązania.

  1. 30-5 = 25 (osób) - poszedł do kina lub na wycieczkę,
  2. 25-23 = 2 (osoby) - chodziło tylko do kina;
  3. 21-2 = 19 (osób) - poszedł do kina i na wycieczkę.

Zadanie 5. Trzy kaczątka i cztery pisklęta ważą 2 kg 500 g, a cztery kaczątka i trzy pisklęta ważą 2 kg 400 g. Ile waży jedna gęś?

  1. 2500 + 2400 = 2900 (g) - zważ siedem kaczych i siedem gąsiąt;
  2. 4900: 7 = 700 (g) - waga jednego kaczątka i jednego gęsi;
  3. 700 * 3 = 2100 (g) - waga 3 kaczek i 3 piskląt gęsi;
  4. 2500-2100 = 400 (g) - waga gęsi.

Zadanie 6. Do przedszkola kupiliśmy 20 piramid: dużą i małą po 7 i 5 pierścieni. Wszystkie piramidy mają 128 pierścieni. Ile tam było wielkich piramid?

Wyobraź sobie, że usunęliśmy dwa pierścienie ze wszystkich dużych piramid. Następnie:

1) 20 * 5 = 100 (pierścienie) - po lewej;

2) 128-100-28 (pierścienie) - usunęliśmy;

3) 28: 2 = 14 (duże piramidy).

Zadanie 7. Arbuz o wadze 20 kg zawierał 99% wody. Gdy trochę wyschło, jego zawartość wody spadła do 98%. Określ masę arbuza.

Dla wygody rozwiązaniu towarzyszyć będzie ilustracja prostokątów.

99% wody 1% suchej masy
98% wody 2% suchej masy

W takim przypadku pożądane jest narysowanie równych prostokątów „suchej masy”, ponieważ masa „suchej masy” w arbuzie pozostaje niezmieniona.

1) 20: 100 = 0,2 (kg) - masa „suchej masy”;

2) 0,2: 2 = 0,1 (kg) - przypada na 1% suszonego arbuza;

3) 0,1 * 100 = 10 (kg) - masa arbuza.

Zadanie 8. Goście pytali: ile lat miała każda z trzech sióstr? Vera odpowiedziała, że ​​ona i Nadya są razem od 28 lat, Nadya i Lyuba są razem od 23 lat, a wszystkie trzy mają 38 lat. Ile lat ma każda z sióstr?

  1. 38-28 = 10 (lat) - Luba;
  2. 23-10 = 13 (lat) - Nadia;
  3. 28-13 = 15 (lat) - Vera.

Arytmetyczna metoda rozwiązywania zadań tekstowych uczy dziecko działania świadomie, logicznie poprawnego, ponieważ przy rozwiązywaniu w ten sposób zwiększa się uwagę na pytanie „dlaczego” i pojawia się duży potencjał rozwojowy. Przyczynia się to do rozwoju uczniów, kształtowania ich zainteresowania rozwiązywaniem problemów oraz samą nauką matematyczną.

Aby nauka była możliwa, ekscytująca i pouczająca, musisz być bardzo ostrożny przy wyborze zadań tekstowych, rozważać różne sposoby ich rozwiązywania, wybierać optymalne, rozwijać logiczne myślenie, które jest dalej niezbędne przy rozwiązywaniu problemów geometrycznych.

Uczniowie mogą nauczyć się rozwiązywać problemy tylko poprzez ich rozwiązywanie. „Jeśli chcesz nauczyć się pływać, odważnie wejdź do wody, a jeśli chcesz nauczyć się rozwiązywać problemy, to je rozwiąż”, pisze D. Poya w swojej książce „Odkrycie matematyczne”.

1. Ogólne uwagi dotyczące rozwiązywania zadań metodą algebraiczną.

2. Zadania dla ruchu.

3. Zadania do pracy.

4. Problemy dotyczące mieszanek i procentów.

    Wykorzystanie metody algebraicznej do znalezienia arytmetycznego sposobu rozwiązywania zadań tekstowych.

1. Przy rozwiązywaniu problemów metodą algebraiczną żądane wielkości lub inne wielkości, wiedząc, które można określić pożądane, są oznaczane literami (zwykle x, y,z). Wszystkie niezależne relacje między danymi a nieznanymi wielkościami, które są albo bezpośrednio sformułowane w warunku (w formie werbalnej), albo wynikają ze znaczenia problemu (na przykład praw fizycznych, którym podlegają rozważane wielkości), albo wynikają z warunek i pewne rozumowanie są zapisane w postaci równości nierówności. W ogólnym przypadku relacje te tworzą pewien układ mieszany. W szczególnych przypadkach układ ten może nie zawierać nierówności ani równań, albo może składać się tylko z jednego równania lub nierówności.

Rozwiązywanie problemów metodą algebraiczną nie jest zgodne z żadnym pojedynczym, wystarczająco uniwersalnym schematem. Dlatego wszelkie wskazania odnoszące się do wszystkich zadań mają charakter najbardziej ogólny. Zadania, które pojawiają się przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych, mają swoje indywidualne cechy. Dlatego ich badania i rozwiązania mają bardzo różnorodny charakter.

Zastanówmy się nad rozwiązaniem problemów, których model matematyczny jest podany przez równanie z jedną niewiadomą.

Przypomnijmy, że ćwiczenie mające na celu rozwiązanie problemu składa się z czterech etapów. Praca w pierwszym etapie (analiza treści problemu) nie jest uzależniona od wybranej metody rozwiązania i nie ma zasadniczych różnic. W drugim etapie (przy poszukiwaniu sposobu rozwiązania problemu i sporządzeniu planu jego rozwiązania), w przypadku zastosowania algebraicznej metody rozwiązywania, dokonuje się: wyboru podstawowej relacji do sporządzenia równanie; wybór nieznanego i wprowadzenie dla niego oznaczenia; wyrażenie wielkości zawartych w relacji podstawowej poprzez nieznane i dane. Trzeci etap (realizacja planu rozwiązania problemu) polega na sporządzeniu równania i jego rozwiązaniu. Czwarty etap (sprawdzenie rozwiązania problemu) realizowany jest w standardowy sposób.

Zwykle podczas pisania równań z jedną niewiadomą NS przestrzegać następujących dwóch zasad.

Zasada i . Jedna z tych wielkości jest wyrażona przez nieznane NS i inne dane (czyli sporządzane jest równanie, w którym jedna część zawiera daną wielkość, a druga zawiera tę samą wielkość, wyrażoną przez NS i inne wartości danych).

Zasada II . Dla tej samej wielkości kompilowane są dwa wyrażenia algebraiczne, które są następnie przyrównywane do siebie.

Na zewnątrz wydaje się, że pierwsza zasada jest prostsza niż druga.

W pierwszym przypadku zawsze wymagane jest skomponowanie jednego wyrażenia algebraicznego, aw drugim dwa. Często jednak pojawiają się problemy, w których wygodniej jest skomponować dwa wyrażenia algebraiczne dla tej samej wielkości, niż wybrać już znane i skomponować dla niego jedno wyrażenie.

Proces rozwiązywania zadań tekstowych w sposób algebraiczny realizowany jest według następującego algorytmu:

1. Najpierw wybierz stosunek, na podstawie którego zostanie sporządzone równanie. Jeżeli problem zawiera więcej niż dwie relacje, to za podstawę sporządzenia równania należy przyjąć relację, która ustanawia pewien związek między wszystkimi niewiadomymi.

    Następnie wybierana jest nieznana, oznaczona odpowiednią literą.

    Wszystkie nieznane wielkości zawarte w stosunku wybranym do zbudowania równania muszą być wyrażone w postaci wybranej niewiadomej, opierając się na innych relacjach zawartych w zadaniu oprócz głównej.

4. Z tych trzech operacji wynika bezpośrednio kompilacja równania jako sformułowanie notacji werbalnej za pomocą symboli matematycznych.

Centralne miejsce wśród wymienionych operacji zajmuje wybór podstawowej relacji do sporządzania równań. Rozważane przykłady pokazują, że wybór podstawowej relacji ma decydujące znaczenie przy sporządzaniu równań, wprowadza logiczną harmonię w niejasny niekiedy tekst słowny problemu, daje pewność orientacji i chroni przed niekontrolowanymi działaniami wyrażającymi wszystkie zawarte w problemie wielkości poprzez dane i te pożądane.

Metoda algebraiczna rozwiązywania problemów ma duże znaczenie praktyczne. Z jego pomocą rozwiązują różnorodne problemy z dziedziny techniki, rolnictwa i życia codziennego. Już w liceum uczniowie wykorzystują równania w nauce fizyki, chemii, astronomii. Tam, gdzie arytmetyka okazuje się bezsilna lub w najlepszym razie wymaga wyjątkowo kłopotliwego rozumowania, tam metoda algebraiczna łatwo i szybko prowadzi do odpowiedzi. I nawet w tak zwanych „typowych” problemach arytmetycznych, które stosunkowo łatwo rozwiązać arytmetycznie, rozwiązanie algebraiczne jest z reguły zarówno krótsze, jak i bardziej naturalne.

Algebraiczna metoda rozwiązywania problemów ułatwia wykazanie, że niektóre problemy, różniące się od siebie tylko wykresem, mają nie tylko takie same relacje między danymi a wymaganymi wielkościami, ale prowadzą również do typowego rozumowania, za pomocą którego te relacje są ustanowione. Takie problemy dają tylko różne konkretne interpretacje tego samego rozumowania matematycznego, tych samych relacji, to znaczy mają ten sam model matematyczny.

2. Grupa zadań dla ruchu obejmuje zadania, które mówią o trzech wymiarach: ścieżkach (s), prędkość ( v) i czas ( T). Z reguły dotyczą jednostajnego ruchu prostoliniowego, gdy prędkość jest stała co do wielkości i kierunku. W tym przypadku wszystkie trzy wielkości są powiązane następującą zależnością: S = vt. Na przykład, jeśli rowerzysta porusza się z prędkością 12 km/h, to za 1,5 godziny przejedzie 12 km/h  1,5 h = 18 km. Istnieją problemy, w których rozważany jest ruch prostoliniowy jednostajnie przyspieszony, czyli ruch ze stałym przyspieszeniem (ale). Przebyty dystans s w tym przypadku oblicza się ją według wzoru: S = v 0 T + w 2 /2, gdzie v 0 – początkowa prędkość ruchu. Tak więc w ciągu 10 s spadając z prędkością początkową 5 m / s i przyspieszeniem grawitacyjnym 9,8 m 2 / s ciało przeleci na odległość równą 5 m / s  10 s + 9,8 m 2 / s  10 2 s 2/2 = 50 m + 490 m = 540 m.

Jak już wspomniano, w trakcie rozwiązywania zadań tekstowych, a przede wszystkim w zadaniach związanych z ruchem, bardzo przydatne jest wykonanie rysunku poglądowego (budowa pomocniczego modelu graficznego zadania). Rysunek powinien być wykonany w taki sposób, aby widoczna była dynamika ruchu ze wszystkimi spotkaniami, przystankami i zwrotami. Dobrze zaprojektowany rysunek pozwala nie tylko na głębsze zrozumienie treści problemu, ale także ułatwia konstruowanie równań i nierówności. Przykłady takich rysunków zostaną podane poniżej.

Zazwyczaj w problemach z ruchem drogowym akceptowane są następujące konwencje.

    O ile nie zaznaczono inaczej w zadaniu, ruch w pewnych obszarach jest uważany za jednostajny (czy jest to ruch po linii prostej, czy po okręgu).

    Obroty poruszających się ciał są uważane za natychmiastowe, to znaczy zachodzą bez straty czasu; prędkość również zmienia się natychmiast.

Tę grupę zadań z kolei można podzielić na zadania, w których uwzględnia się ruchy ciał: 1) względem siebie; 2) w jednym kierunku („w pogoni”); 3) w przeciwnych kierunkach; 4) po zamkniętej trajektorii; 5) wzdłuż rzeki.

    Jeśli odległość między ciałami wynosi S, a prędkości ciał są równe v 1 oraz v 2 (rys. 16 ale), wtedy, gdy ciała zbliżają się do siebie, czas, po którym się spotkają, jest równy S/(v 1 + v 2).

2. Jeśli odległość między ciałami wynosi S, a prędkości ciał są równe v 1 i v 2 (rys. 16 b), wtedy, gdy ciała poruszają się w jednym kierunku ( v 1 > v 2) czas, po którym pierwsze ciało dogoni drugie, jest równy S/(v 1 – v 2).

3. Jeśli odległość między ciałami wynosi S, a prędkości ciał są równe v 1 i v 2 (rys. 16 w), wtedy, idąc jednocześnie w przeciwnych kierunkach, ciała przejdą przez czas T być na odległość S 1 = S + (v 1 + v 2 ) T.

Ryż. szesnaście

4. Jeśli ciała poruszają się w jednym kierunku po zamkniętej ścieżce o długości s z prędkościami v 1 i v 2, czas, po którym ciała spotkają się ponownie (jedno ciało dogoni drugie), oddalając się jednocześnie od jednego punktu, określa wzór T = S/(v 1 – v 2) pod warunkiem, że: v 1 > v 2 .

Wynika to z faktu, że przy jednoczesnym starcie po zamkniętej trajektorii w jednym kierunku ciało, którego prędkość jest większa, zaczyna doganiać ciało, którego prędkość jest mniejsza. Po raz pierwszy dogania go, pokonując dystans S więcej niż inne ciało. Jeśli wyprzedza go po raz drugi, trzeci itd., oznacza to, że pokonuje dystans 2 S, o 3 S i tak dalej niż inne ciało.

Jeśli ciała poruszają się w różnych kierunkach po zamkniętej trajektorii długości S z prędkościami v 1 i v 2, czas, po którym się spotkają, odchodząc jednocześnie z jednego punktu, określa formuła T = v(v 1 + v 2). W takim przypadku zaraz po rozpoczęciu ruchu powstaje sytuacja, w której ciała zaczynają zbliżać się do siebie.

5. Jeśli ciało porusza się wzdłuż rzeki, to jego prędkość względem brzegu oraz składa się z prędkości ciała w stojącej wodzie v i prędkość rzeki w: i =v + w. Jeśli ciało porusza się pod prąd rzeki, to jego prędkość i =v – w. Na przykład, jeśli prędkość łodzi wynosi v= 12 km/h, a prędkość rzeki w = 3 km/h, następnie za 3 godziny łódź popłynie wzdłuż rzeki (12 km/h + 3 km/h)  3 godziny = 45 km, a pod prąd – (12 km/h – 3 km/h ) 3 godziny = 27 km. Uważa się, że prędkość obiektów o zerowej prędkości ruchu w stojącej wodzie (tratwa, kłoda itp.) Jest równa prędkości rzeki.

Spójrzmy na kilka przykładów.

Przykład.Od jednego punktu w jednym kierunku co 20 min. samochody odjeżdżają. Drugi samochód jedzie z prędkością 60 km/h, a prędkość pierwszego jest o 50% większa od prędkości drugiego. Znajdź prędkość trzeciego samochodu, jeśli wiadomo, że wyprzedził pierwszy samochód 5,5 godziny później niż drugi.

Rozwiązanie... Niech x km/h będzie prędkością trzeciego samochodu. Prędkość pierwszego samochodu jest o 50% większa od prędkości drugiego, co oznacza, że ​​jest równa

Podczas poruszania się w jednym kierunku czas spotkania jest określany jako stosunek odległości między obiektami do różnicy ich prędkości. Pierwszy samochód za 40 minut. (2/3 h) przejedzie 90  (2/3) = 60 km. W konsekwencji trzeci go dogoni (spotkają się) za 60 / ( NS- 90) godzin. Drugi za 20 minut. (1/3 h) przejedzie 60  (1/3) = 20 km. Oznacza to, że trzeci go dogoni (spotkają się) za 20/( NS- 60) godzin (ryc. 17).

NS
o stanie problemu

Ryż. 17

Po prostych przekształceniach otrzymujemy równanie kwadratowe 11x 2 - 1730x + 63000 = 0, rozwiązując które znajdujemy

Kontrola pokazuje, że drugi korzeń nie spełnia warunku problemu, ponieważ w tym przypadku trzeci samochód nie dogoni innych samochodów. Odpowiedź: prędkość trzeciego samochodu to 100 km/h.

Przykład Statek cieplny przepłynął 96 km wzdłuż rzeki, wrócił i stał przez jakiś czas pod obciążeniem, spędzając wszystkie godziny 32. Prędkość przepływu rzeki wynosi 2 km / h. Określ prędkość statku na wodzie stojącej, jeśli czas załadunku wynosi 37,5% czasu spędzonego na całej podróży w obie strony.

Rozwiązanie... Niech x km/h będzie prędkością statku na wodzie stojącej. Następnie ( NS+ 2) km / h - jego prędkość z prądem; (NS - 2) km / h - pod prąd; 96 / ( NS+ 2) h - czas ruchu wzdłuż prądu; 96 / ( NS- 2) h - czas ruchu pod prąd. Ponieważ 37,5% łącznego czasu statku był pod załadunkiem, czas podróży netto wynosi 62,5%  32/100% = 20 (godzin). Dlatego według stanu problemu mamy równanie:

Przekształcając to, otrzymujemy: 24 ( NS – 2 + NS + 2) = 5(NS + 2)(NS – 2) => 5NS 2 – 4NS- 20 = 0. Rozwiązując równanie kwadratowe, znajdujemy: NS 1 = 10; NS 2 = -0,4. Drugi korzeń nie spełnia warunku problemu.

Odpowiedź: 10 km/h - prędkość statku na wodzie stojącej.

Przykład. Samochód wyjechał z miasta ALE do miasta C przez miasto W Bez przystanków. Dystans AB, równy 120 km, jechał ze stałą prędkością o 1 godzinę szybciej niż dystans Słońce, równy 90 km. Określ średnią prędkość pojazdu z miasta ALE do miasta C, jeśli wiadomo, że prędkość na odcinku AB 30 km/h większa prędkość na odcinku Słońce.

Rozwiązanie... Zostawiać NS km/h - prędkość pojazdu na budowie Słońce.

Następnie ( NS+ 30) km/h - prędkość na odcinku AB, 120/(NS+ 30) godz., 90 / NS h - czas, w którym samochód przejeżdża ścieżką AB oraz Słońce odpowiednio.

Dlatego według stanu problemu mamy równanie:

.

Przekształćmy to:

120NS+ 1(NS + 30)NS = 90(NS + 30) => NS 2 + 60NS – 2700 = 0.

Po rozwiązaniu równania kwadratowego znajdujemy: NS 1 = 30, NS 2 = -90. Drugi korzeń nie spełnia warunku problemu. Oznacza to, że prędkość na stronie Słońce równa się 30 km/h, na odcinku AB - 60 km/h Stąd wynika, że ​​odległość AB samochód przejechał w 2 godziny (120 km: 60 km/h = 2 godziny), a odległość Słońce - w 3 godziny (90 km: 30 km/h = 3 godziny), czyli cały dystans NS podróżował w ciągu 5 godzin (3 godziny + 2 godziny = 5 godzin). Następnie średnia prędkość ruchu na stronie AC, którego długość wynosi 210 km równa się 210 km: 5 godzin = 42 km/h.

Odpowiedź: 42 km/h – średnia prędkość pojazdu na terenie Klimatyzacja.

    Grupa zadań do pracy obejmuje zadania, które mówią o trzech wymiarach: praca ALE, czas T, podczas której wykonywana jest praca, produktywność R - praca wykonana na jednostkę czasu. Te trzy wielkości są powiązane równaniem ALE = rT... Zadania do pracy obejmują zadania związane z napełnianiem i opróżnianiem zbiorników (statków, zbiorników, basenów itp.) za pomocą rur, pomp i innych urządzeń. W takim przypadku za wykonaną pracę uważa się objętość pompowanej wody.

Najogólniej mówiąc zadania do pracy można zaliczyć do grupy zadań do ruchu, gdyż w zadaniach tego typu można przyjąć, że rolę odległości odgrywa cała praca lub całkowita objętość zbiornika, a produktywność obiektów wykonywanie pracy jest analogiczne do prędkości ruchu. Jednak zgodnie z fabułą zadania te naturalnie się różnią, a niektóre zadania do pracy mają swoje specyficzne metody rozwiązywania. Tak więc w tych zadaniach, w których ilość pracy do wykonania nie jest określona, ​​cała praca jest traktowana jako jednostka.

Przykład. Dwie drużyny musiały zrealizować zamówienie w 12 dni. Po 8 dniach pracy zespołowej pierwszy zespół otrzymał kolejne zlecenie, więc drugi zespół wykonał zamówienie przez kolejne 7 dni. Ile dni każdy z zespołów mógłby zrealizować zamówienie, pracując osobno?

Rozwiązanie... Niech pierwsza brygada wykona zadanie w NS dni, drugi zespół - za tak dni. Weźmy całą pracę jako całość. Wtedy 1 / NS - wydajność pierwszej brygady, 1/ tak – druga. Ponieważ dwie drużyny muszą zrealizować zamówienie w ciągu 12 dni, otrzymujemy pierwsze równanie 12 (1 / NS + 1/w) = 1.

Z drugiego warunku wynika, że ​​druga drużyna pracowała 15 dni, a pierwsza tylko 8 dni. Stąd drugie równanie ma postać:

8/NS+ 15/w= 1.

Mamy więc system:

Odejmując pierwsze od drugiego równania, otrzymujemy:

21/tak = 1 => y = 21.

Wtedy 12 / NS + 12/21 = 1 => 12/NS – = 3/7 => x = 28.

Odpowiedź: pierwszy zespół zrealizuje zamówienie za 28 dni, drugi za 21 dni.

Przykład... Pracownik ALE i pracownik W może wykonać pracę w 12 dni, pracownik ALE i pracownik Z- w 9 dni, działa W a pracownik C - za 12 dni. Ile dni zajmie im wykonanie pracy we trójkę?

Rozwiązanie... Niech pracownik ALE może wykonać pracę dla NS dni, praca W- per w dni, praca Z- per z dni. Weźmy całą pracę jako całość. Wtedy 1 / x, 1 /tak i 1 / z – wydajność pracowników A, B oraz Z odpowiednio. Wykorzystując warunek problemu, dochodzimy do następującego układu równań przedstawionego w tabeli.

Tabela 1

Przekształcając równania, mamy układ trzech równań z trzema niewiadomymi:

Dodając równania układu wyraz po wyrazie otrzymujemy:

lub

Suma to łączna produktywność pracowników, więc czas potrzebny na wykonanie całej pracy będzie równy

Odpowiedź: 7,2 dnia.

Przykład... W basenie znajdują się dwie rury - dopływowa i odpływowa, a przez pierwszą rurę basen jest napełniany o 2 godziny dłużej niż przez drugą wylewa się woda z basenu. Gdy basen był napełniony w jednej trzeciej, obie rury zostały otwarte i basen okazał się pusty po 8 godzinach.Ile godzin może napełnić basen jedną pierwszą rurą i ile godzin przez drugą rurę może być pełny basen osuszony?

Rozwiązanie... Zostawiać V m 3 - objętość basenu, NS m3/h - wydajność rury zasilającej, w m 3 / h - wylot. Następnie V/ x h - czas potrzebny na napełnienie basenu przez rurę zasilającą, V/ tak h - czas potrzebny do opróżnienia basenu przez rurę spustową. Według stanu problemu V/ x – V/ tak = 2.

Ponieważ pojemność rury wylotowej jest większa niż pojemność rury napełniającej, gdy obie rury są włączone, basen zostanie opróżniony, a jedna trzecia basenu zostanie opróżniona podczas (V/3)/(tak – x), co w zależności od stanu zadania wynosi 8 godzin, więc warunek zadania można zapisać w postaci układu dwóch równań z trzema niewiadomymi:

W zadaniu, które musisz znaleźć V/ x oraz V/ tak. Wyróżnijmy w równaniach kombinację niewiadomych V/ x oraz V/ tak, napisanie systemu w postaci:

Przedstawiamy nowe niewiadome V/ x= a oraz V/ tak = b, otrzymujemy następujący system:

Podstawiając do drugiego równania wyrażenie ale= b + 2, mamy równanie na b:

decydując, które znajdziemy b 1 = 6, b 2 = -osiem. Warunek zadania jest spełniony przez pierwiastek pierwszy 6, = 6 (h.). Z pierwszego równania ostatniego układu znajdujemy ale= 8 (h), czyli pierwsza rura wypełnia basen w 8 godzin.

Odpowiedź: pierwszą rurą basen zostanie napełniony w ciągu 8 godzin, drugą rurą basen zostanie opróżniony po 6 godzinach.

Przykład... Jeden zespół ciągników musi zaorać 240 hektarów, a drugi to o 35% więcej niż pierwszy. Pierwsza brygada, orka 3 ha mniej niż druga dziennie, zakończyła pracę 2 dni wcześniej niż druga brygada. Ile hektarów orali dziennie każda drużyna?

Rozwiązanie... Znajdź 35% z 240 ha: 240 ha  35% / 100% = 84 ha.

W związku z tym druga brygada musiała orać 240 ha + 84 ha = 324 ha. Niech pierwsza brygada orka codziennie NS ha. Następnie druga brygada orała codziennie ( NS+ 3) ha; 240 / NS- godziny pracy pierwszej brygady; 324 / ( NS+ 3) - czas pracy drugiej brygady. Zgodnie ze stanem problemu pierwszy zespół zakończył pracę 2 dni wcześniej niż drugi, więc mamy równanie

które po przekształceniach można zapisać w następujący sposób:

324NS – 240NS - 720 = 2x 2 + 6x=> 2x 2 - 78x + 720 = 0 => x 2 - 39x + 360 = 0.

Po rozwiązaniu równania kwadratowego znajdujemy x 1 = 24, x 2 = 15. To jest norma pierwszej brygady.

W rezultacie druga brygada orała odpowiednio 27 ha i 18 ha dziennie. Oba rozwiązania spełniają warunek problemu.

Odpowiedź: 24 ha dziennie orała pierwsza brygada, 27 ha - druga; Pierwszy zespół orał 15 hektarów dziennie, drugi 18 hektarów.

Przykład... W maju dwa warsztaty wyprodukowały 1080 części. W czerwcu pierwszy zakład zwiększył produkcję części o 15%, a drugi o 12%, więc oba zakłady wyprodukowały 1224 części. Ile części wyprodukował każdy sklep w czerwcu?

Rozwiązanie... Zostawiać NS części zostały wyprodukowane w pierwszym zakładzie w maju, w szczegóły - drugi. Ponieważ w maju wyprodukowano 1080 części, to w zależności od stanu problemu mamy równanie x + tak = 1080.

Znajdź 15% z NS:

Więc przy 0,15 NS części zwiększyły produkcję pierwszego warsztatu, dlatego w czerwcu wyprodukował x + 0,15 NS = 1,15 x Detale. Podobnie stwierdzamy, że drugi warsztat w czerwcu wyprodukował 1,12 tak Detale. Stąd drugie równanie będzie miało postać: 1,15 x + 1,12 w= 1224. Mamy więc system:

z którego znajdujemy x = 480, y = 600. W konsekwencji w czerwcu warsztaty wyprodukowały odpowiednio 552 części i 672 części.

Odpowiedź: pierwszy warsztat wyprodukował 552 części, drugi - 672 części.

4. Grupa zadań dla mieszanin i procentów obejmuje zadania, w których chodzi o mieszanie różnych substancji w określonych proporcjach, a także zadania dla procentów.

Zadania koncentracyjne i procentowe

Wyjaśnijmy kilka pojęć. Niech będzie mieszanka NS różne substancje (składniki) ALE 1 ALE 2 , ..., ALE n odpowiednio, których objętości są równe V 1 , V 2 , ..., V n . Wymieszaj objętość V 0 składa się z objętości czystych składników: V 0 = V 1 + V 2 + ... + V n .

Stężenie wolumetryczne Substancje ALE i (i = 1, 2, ..., NS) w mieszaninie nazywana jest ilością z i obliczona według wzoru:

Procent objętościowy substancji A i (i = 1, 2, ..., NS) w mieszaninie nazywana jest ilością P i , obliczone według wzoru r i = z i , 100%. Stężenie z 1, z 2 , ..., z n, które są wielkościami bezwymiarowymi, są powiązane równością z 1 + z 2 + ... + s n = 1, a relacje

pokaż, jaką część całkowitej objętości mieszaniny stanowią objętości poszczególnych składników.

Jeśli procent jest znany i-tego składnika, to jego stężenie określa wzór:

tj Liczba Pi – to koncentracja i substancja w mieszaninie, wyrażona w procentach. Na przykład, jeśli procent substancji wynosi 70%, to odpowiadające jej stężenie wynosi 0,7. I odwrotnie, jeśli stężenie wynosi 0,33, to odsetek ten wynosi 33%. Zatem suma r 1 + p 2 + ... + p n = 100%. Jeżeli znane są stężenia z 1 , z 2 , ..., z n składniki, które tworzą tę mieszankę objętości V 0 , następnie odpowiednie objętości składników znajdują się za pomocą wzorów:

W podobny sposób wprowadza się pojęcia waga (masa) concentralizacja składniki mieszaniny i odpowiadające im wartości procentowe. Są one definiowane jako stosunek masy (masy) czystej substancji ALE i , w stopie do masy (masy) całego stopu. O tym, jakie stężenie, objętościowe czy wagowe, omawia się w konkretnym zadaniu, zawsze wynika z jego stanu.

Są problemy, w których trzeba przeliczyć stężenie objętościowe na wagę lub odwrotnie. Aby to zrobić, konieczne jest poznanie gęstości (ciężaru właściwego) składników tworzących roztwór lub stop. Rozważmy na przykład dwuskładnikową mieszankę o objętościowych stężeniach składników z 1 oraz z 2 (z 1 + z 2 = 1) i ciężar właściwy składników D 1 oraz D 2 . Masę mieszanki można określić według wzoru:

w którym V 1 oraz V 2 – objętości składników tworzących mieszaninę. Stężenia wagowe składników znajdują się z równań:

które określają związek tych wartości ze stężeniami wolumetrycznymi.

Z reguły w tekstach takich problemów występuje ten sam powtarzający się warunek: z dwóch lub więcej mieszanin zawierających składniki A 1 , A 2 , ALE 3 , ..., ALE n , nowa mieszanina jest kompilowana przez zmieszanie oryginalnych mieszanin pobranych w określonej proporcji. W takim przypadku wymagane jest ustalenie, w jakim stosunku składniki ALE 1, ALE 2 , ALE 3 , ..., ALE n zostanie uwzględniona w powstałej mieszaninie. Aby rozwiązać ten problem, wygodnie jest uwzględnić objętość lub wagę każdej mieszaniny, a także stężenia jej składników składowych ALE 1, ALE 2 , ALE 3 , ..., ALE n . Za pomocą stężeń konieczne jest „podzielenie” każdej mieszaniny na osobne składniki, a następnie, metodą określoną w opisie problemu, skomponowanie nowej mieszaniny. Jednocześnie łatwo jest obliczyć, ile każdego składnika znajduje się w powstałej mieszaninie, a także całkowitą ilość tej mieszaniny. Następnie określa się stężenia składników ALE 1, ALE 2 , ALE 3 , ..., ALE n w nowej mieszance.

Przykład.Istnieją dwa kawałki stopu miedzi i cynku o zawartości procentowej miedzi odpowiednio 80% i 30%. W jakim stosunku należy brać te stopy, aby stopić zebrane kawałki, aby uzyskać stop zawierający 60% miedzi?

Rozwiązanie... Niech pierwszy stop zostanie wzięty NS kg, a drugi - w kg. Zgodnie z warunkiem stężenie miedzi w pierwszym stopie wynosi 80/100 = 0,8, w drugim – 30/100 = 0,3 (wyraźnie mówimy o stężeniach wagowych), co oznacza, że ​​w pierwszym stopie 0,8 NS kg miedzi i (1 - 0,8) NS = 0,2NS kg cynku, w drugim - 0,3 w kg miedzi i (1 - 0,3) tak = 0,7w kg cynku. Ilość miedzi w powstałym stopie wynosi (0,8  NS + 0,3  y) kg, a masa tego stopu będzie (x + y) kg. Dlatego nowe stężenie miedzi w stopie, zgodnie z definicją, wynosi

W zależności od stanu problemu stężenie to powinno wynosić 0,6. Dlatego otrzymujemy równanie:

To równanie zawiera dwie niewiadome NS oraz w. Jednak w zależności od stanu problemu nie jest konieczne samodzielne określanie ilości NS oraz tak, ale tylko ich postawa. Po prostych przekształceniach otrzymujemy

Odpowiedź: stopy powinny być brane w stosunku 3: 2.

Przykład W wodzie występują dwa roztwory kwasu siarkowego: pierwszy to 40%, drugi to 60%. Te dwa roztwory zmieszano, po czym dodano 5 kg czystej wody i otrzymano 20% roztwór. Gdyby zamiast 5 kg czystej wody dodać 5 kg 80% roztworu, to uzyskano by 70% roztwór. Ile było rozwiązań 40% i 60%?

Rozwiązanie... Zostawiać NS kg - masa pierwszego roztworu, w kg - drugi. Następnie masa 20% roztworu ( NS + w+ 5) kg. Ponieważ w NS kg 40% roztworu zawiera 0,4 NS kg kwasu, w w kg 60% roztworu zawiera 0,6 tak kg kwasu i w (x + y + 5) kg 20% ​​roztworu zawiera 0,2 ( NS + y + 5) kg kwasu, to według warunku mamy pierwsze równanie 0,4 NS + 0,6tak = 0,2(NS + y + 5).

Jeśli dodasz 5 kg 80% roztworu zamiast 5 kg wody, otrzymasz roztwór ważący (x + y+ 5) kg, który będzie zawierał (0,4 NS + 0,6w+ 0,8  5) kg kwasu, czyli 70% (x + y+ 5) kg.

Analizując te problemy, obserwując co jest wspólne w problemach z punktu widzenia matematyki, na czym polega różnica, znaleźć niezwykły sposób rozwiązywania problemów, stworzyć skarbonkę metod rozwiązywania problemów, nauczyć się rozwiązywać jeden problem na różne sposoby , zadania do pracy w grupie i do pracy indywidualnej.


„Zadania do podręcznika szkoleniowego symulatora”

Symulator: „Arytmetyczne sposoby rozwiązywania problemów”

„Porównanie liczb według sumy i różnicy”.

    W dwóch koszach znajduje się 80 borowików. Pierwszy koszyk zawiera o 10 borowików mniej niż drugi. Ile borowików znajduje się w każdym koszyku?

    Do szwalni trafiło 480 m dżinsu i draperii. Otrzymaliśmy 140 m więcej dżinsu niż drapowania. Ile metrów dżinsu otrzymała pracownia?

    Model wieży telewizyjnej składa się z dwóch bloków. Dolny blok jest o 130 cm krótszy niż górny. Jakie są wysokości górnych i dolnych bloków, jeśli wieża ma 4 m 70 cm wysokości?

    W dwóch pudełkach znajduje się 16 kg ciastek. Znajdź masę ciastek w każdym pudełku, jeśli jedno z nich zawiera o 4 kg więcej ciastek.

Zadanie z „Arytmetyki” L.N. Tołstoja.

    a) Dwóch mężczyzn ma 35 owiec. Jedna ma o 9 owiec więcej niż druga. Ile owiec ma każda?

b) Dwóch mężczyzn ma 40 owiec, a jeden ma mniej o 6 owiec. Ile owiec ma każdy mężczyzna?

    W garażu znajdowały się 23 samochody i motocykle z bocznym wózkiem. Samochody i motocykle mają 87 kół. Ile motocykli jest w garażu z kołem zapasowym w każdym wózku bocznym?

Kręgi Eulera.

    Dom ma 120 mieszkańców, z których część ma psy i koty. Rysunek przedstawia okrąg Z przedstawia lokatorów z psami, koło DO – lokatorzy z kotami. Ilu mieszkańców mają zarówno psy, jak i koty? Ilu mieszkańców ma tylko psy? Ilu mieszkańców ma tylko koty? Ilu mieszkańców nie ma psów ani kotów?

    Spośród 52 uczniów 23 jest zaangażowanych w siatkówkę, 35 w koszykówkę, a 16 w siatkówkę i koszykówkę. Reszta nie jest zaangażowana w żaden z tych sportów. Ile dzieci w wieku szkolnym nie uprawia żadnego z tych sportów?

    Rysunek przedstawia okrąg ALE przedstawia wszystkich pracowników uczelni znających język angielski, okrąg h - znających język niemiecki i kółko F - Francuski. Ilu pracowników uczelni zna: a) 3 języki; b) angielski i niemiecki; c) francuski? Ilu jest pracowników uczelni? Ilu z nich nie mówi po francusku?

    W międzynarodowej konferencji wzięło udział 120 osób. Spośród nich 60 osób mówi po rosyjsku, 48 po angielsku, 32 po niemiecku, 21 po rosyjsku i niemiecku, 19 po angielsku i niemiecku, 15 po rosyjsku i angielsku, a 10 osób mówi we wszystkich trzech językach. Ilu uczestników konferencji nie zna żadnego z tych języków?

    W chórze śpiewa i tańczy 82 uczniów, 32 uczniów ćwiczy taniec i gimnastykę artystyczną, a 78 uczniów śpiewa i ćwiczy gimnastykę artystyczną. Ilu uczniów śpiewa w chórze, ćwiczy osobno taniec i gimnastykę artystyczną, jeśli wiadomo, że każdy uczeń robi tylko jedną rzecz?

    Każda rodzina mieszkająca w naszym domu prenumeruje albo gazetę, albo magazyn, albo jedno i drugie. 75 rodzin prenumeruje gazetę, 27 rodzin prenumeruje czasopismo, a tylko 13 rodzin prenumeruje zarówno czasopismo, jak i gazetę. Ile rodzin mieszka w naszym domu?

„Metoda korekty danych”.

    Jest 29 kwiatów w 3 małych i 4 dużych bukietach oraz 35 kwiatów w 5 małych i 4 dużych bukietach. Ile kwiatów znajduje się w każdym bukiecie osobno?

    Waga 2 tabliczek czekolady - dużego i małego - 120 g oraz 3 dużych i 2 małych - 320 g. Ile waży każdy baton?

    5 jabłek i 3 gruszki ważą 810 g, a 3 jabłka i 5 gruszek ważą 870 g. Ile waży jedno jabłko? Jedna gruszka?

    Cztery kaczątka i pięć piskląt ważą 4kg 100g, pięć kaczątek i cztery pisklęta ważą 4kg. Ile waży jedno kaczątko?

    Na jednego konia i dwie krowy dziennie podaje się 34 kg siana, a na dwa konie i jedną krowę - 35 kg siana. Ile siana daje jeden koń, a ile krowie?

    3 czerwone kostki i 6 niebieskich kostek kosztują 165tg rubli. Co więcej, pięć czerwonych jest droższych od dwóch niebieskich o 95 tenge. Ile jest warta każda kostka?

    2 albumy do rysowania i 3 albumy na znaczki kosztują razem 160 rubli, a 3 albumy do rysowania kosztują 45 rubli. droższe niż dwa albumy na znaczki.

„Wykresy”.

    Seryozha postanowił podarować matce bukiet kwiatów (róż, tulipanów lub goździków) na urodziny i umieścić je w wazonie lub w dzbanku. Na ile sposobów może to zrobić?

    Ile liczb trzycyfrowych można utworzyć z cyfr 0, 1, 3, 5, jeśli liczby w liczbie się nie powtarzają?

    W środę 5 klasa ma pięć lekcji: matematyki, wychowania fizycznego, historii, języka rosyjskiego i nauk ścisłych. Ile różnych opcji planowania na środę możesz stworzyć?

„Stary sposób rozwiązywania problemów mieszania substancji”.

    Jak mieszać olejki? Pewna osoba miała na sprzedaż dwa rodzaje masła: jedno po 10 hrywien za wiadro, drugie po 6 hrywien za wiadro. Chciał zrobić z tych dwóch olejów, mieszając je, masło w cenie 7 hrywien za wiadro. Jakie części tych dwóch olejków trzeba zabrać, aby uzyskać wiadro oleju o wartości 7 hrywien?

    Ile należy brać karmelu w cenie 260 tenge za 1 kg i 190 tenge za 1 kg, aby otrzymać 21 kg mieszanki w cenie 210 tenge za kilogram?

    Ktoś ma trzy odmiany herbaty - herbatę cejlońską po 5 hrywien za funt, indyjską za 8 hrywien za funt i chińską za 12 hrywien za funt. W jakich proporcjach te trzy odmiany należy mieszać, aby uzyskać herbatę o wartości 6 hrywien za funt?

    Ktoś ma srebro różnych klas: jedno jest dwunastej klasy, drugie dziesiątej, trzecie szóstej. Ile jakiego srebra potrzebujesz, aby otrzymać 1 funt 9-karatowego srebra?

    Kupiec kupił za 540 rubli 138 jardów czarnego i niebieskiego sukna. Pytanie brzmi, ile kupił arshinów dla obu, jeśli niebieski kosztował 5 rubli. za arshin i czarny - 3 ruble?

Różne zadania.

    Kupiliśmy 87 kg owoców na prezenty sylwestrowe, a jabłek było o 17 kg więcej niż pomarańczy. Ile jabłek i ile pomarańczy kupiłeś?

    Na drzewie noworocznym było 3 razy więcej płatków śniegu w strojach karnawałowych niż w strojach Pietruszków. Ile dzieci było w strojach Pietruszki, skoro było ich o 12 mniej?

    Masza otrzymała 2 razy mniej życzeń noworocznych niż Kola. Ile gratulacji otrzymali wszyscy, jeśli było ich 27 (9 i 18).

    Na nagrody noworoczne zakupiono 28 kg słodyczy. Słodycze „Swallow” składały się z 2 części, „Muse” - 3 części, „Camomile” - 2 części. Ile cukierków każdego rodzaju kupiłeś (8, 8, 12).

    W magazynie jest 2004 kg mąki. Czy można go zapakować w worki o wadze 9 kg i wadze 18 kg?

    W All for Tea jest 5 różnych filiżanek i 3 różne spodki „Na ile sposobów można kupić filiżankę i spodek?

    Koń zjada stóg siana w 2 dni, krowa w 3, owca w 6. Ile dni zjedzą stóg siana, jeśli zjedzą go razem?

Wyświetl zawartość dokumentu
„Zarys lekcji arif cn”

„Arytmetyczne sposoby rozwiązywania problemów Word”.

Często bardziej przydatne dla ucznia matematyki jest rozwiązanie tego samego problemu na trzy różne sposoby niż rozwiązanie trzech lub czterech różnych problemów. Rozwiązując jeden problem na różne sposoby, możesz przez porównanie dowiedzieć się, który z nich jest krótszy i bardziej wydajny. Tak rozwija się doświadczenie.

Sawyer

Cel lekcji: wykorzystać wiedzę zdobytą na poprzednich lekcjach, wykazać się wyobraźnią, intuicją, wyobraźnią, pomysłowością do rozwiązywania problemów testowych na różne sposoby.

Cele lekcji: edukacyjne: analizując te problemy, obserwując, co jest wspólne w problemach z punktu widzenia matematyka, na czym polega różnica, znaleźć niezwykły sposób rozwiązywania problemów, stworzyć skarbonkę metod rozwiązywania problemów, nauczyć się rozwiązywać jeden problem w różne sposoby.

Rozwijanie: poczuj potrzebę samorealizacji, odnalezienia się w określonej sytuacji odgrywania ról.

Edukacyjny: rozwijać cechy osobiste, tworzyć kulturę komunikacyjną.

Środki edukacji: symulator zadań pogrupowanych według jednego tematu „Arytmetyczne metody rozwiązywania problemów”, zadania do pracy w grupie i do pracy indywidualnej.

PODCZAS ZAJĘĆ.

I. Moment organizacyjny

Cześć chłopaki. Usiądź. Dzisiaj mamy lekcję na temat „Arytmetyczne sposoby rozwiązywania problemów tekstowych”.

II. Aktualizacja wiedzy.

Matematyka jest jedną z najstarszych i najważniejszych nauk. W czasach starożytnych – tysiące lat temu – ludzie korzystali z ogromnej wiedzy matematycznej. Były niezbędne kupcom i budowniczym, wojownikom i geodetom, kapłanom i podróżnikom.

A w dzisiejszych czasach żadna osoba nie poradzi sobie w życiu bez dobrej znajomości matematyki. Podstawą dobrego zrozumienia matematyki jest umiejętność liczenia, myślenia, rozumowania i znajdowania skutecznych rozwiązań problemów.

Dzisiaj rozważymy metody arytmetyczne rozwiązywania zadań tekstowych, przeanalizujemy stare problemy, które przyszły do ​​​​nas z różnych krajów i czasów, problemy z wyrównaniem, porównaniem przez sumę i różnicę i inne.

Celem lekcji jest wciągnięcie Cię we wspaniały świat piękna, bogactwa i różnorodności - świat ciekawych wyzwań. A zatem zapoznanie się z niektórymi metodami arytmetycznymi prowadzącymi do bardzo eleganckich i pouczających rozwiązań.

Zadanie jest prawie zawsze poszukiwaniem, ujawnieniem jakichś własności i relacji, a środkami jego rozwiązania są intuicja i domysły, erudycja i opanowanie metod matematycznych.

Jako podstawowe w matematyce wyróżnia się arytmetyczne i algebraiczne metody rozwiązywania problemów.

Rozwiązanie problemu metodą arytmetyczną oznacza znalezienie odpowiedzi na wymaganie problemu poprzez wykonanie operacji arytmetycznych na liczbach.

Metodą algebraiczną odpowiedź na pytanie problemowe uzyskuje się w wyniku sporządzenia i rozwiązania równania.

Nie jest tajemnicą, że osoba posiadająca różne narzędzia i korzystająca z nich w zależności od charakteru wykonywanej pracy osiąga znacznie lepsze wyniki niż osoba posiadająca tylko jedno uniwersalne narzędzie.

Istnieje wiele arytmetycznych i niestandardowych technik rozwiązywania problemów. Kilka z nich chciałbym Wam dzisiaj przedstawić.

1. Metoda rozwiązywania zadań tekstowych „Porównanie liczb przez sumę i różnicę”.

Zadanie : Babcia jesienią z jej letniego domku zebrała 51 kg marchewki i kapusty. Kapusta była o 15 kg większa niż marchewka. Ile kilogramów marchewki i ile kilogramów kapusty zebrała twoja babcia?

Pytania odpowiadające punktom algorytmu rozwiązywania problemów tej klasy.

1. Dowiedz się, o jakie wartości chodzi w zadaniu

O ilości marchewek i kapusty, które moja babcia zebrała razem i osobno.

2. Wskaż wartości, których ilości znajdują się w zadaniu.

Ile kilogramów marchewki i ile kilogramów kapusty zebrała twoja babcia?

3. Nazwij relację między wielkościami w zadaniu.

Problem mówi o sumie i różnicy wartości.

4. Wymień sumę i różnicę wartości ilości.

Ilość wynosi 51 kg, różnica to 15 kg.

5. Wyrównując wartości, znajdź podwójną wartość mniejszej wartości (odejmij różnicę wartości od sumy wartości).

51 - 15 = 36 (kg) - podwój ilość marchewki.

6. Znając podwojoną wartość, znajdź wartość mniejszej wartości (podwojona wartość podzielona przez dwa).

36: 2 = 18 (kg) - marchewki.

7. Korzystając z różnicy między wartościami a wartością mniejszej wartości, znajdź wartość większej wartości.

18 + 15 = 33 (kg) - kapusta. Odpowiedź: 18 kg, 33 kg. Zadanie.W klatce są bażanty i króliki. Łącznie 6 głów i 20 nóg. Ile królików i ile bażantów jest w klatce ?
Metoda 1. Metoda selekcji:
2 bażanty, 4 króliki.
Sprawdź: 2 + 4 = 6 (goli); 4 4 + 2 2 = 20 (stopy).
Jest to metoda selekcji (od słowa „zboże”). Zalety i wady tej metody rozwiązania (trudno jest wybrać, jeśli liczby są duże) Dlatego istnieje zachęta do szukania wygodniejszych metod rozwiązania.
Wyniki dyskusji: metoda selekcji jest wygodna dla operacji z małymi liczbami, przy wzroście wartości staje się irracjonalna i pracochłonna.
Metoda 2. Pełne wyliczenie opcji.

Tabela jest kompilowana:


Odpowiedź: 4 króliki, 2 bażanty.
Nazwa tej metody to „kompletna”. Wyniki dyskusji: wyczerpująca metoda wyszukiwania jest wygodna, ale przy dużych wartościach jest dość pracochłonna.
Metoda 3. Metoda założeń.

Weźmy stary chiński problem:

W klatce znajduje się nieznana liczba bażantów i królików. Wiadomo, że cała klatka zawiera 35 głów i 94 nogi. Sprawdź liczbę bażantów i liczbę królików.(Problem z chińskiej książki matematycznej „Kiu-Chang”, opracowanej w 2600 pne).

Oto dialog znaleziony przez dawnych mistrzów matematyki. - Wyobraźmy sobie, że kładziemy marchewki na klatce, w której siedzą bażanty i króliki. Wszystkie króliki staną na tylnych łapach, aby dosięgnąć marchewki. Ile stóp będzie teraz na ziemi?

Ale w opisie problemu podano 94 nogi, gdzie jest reszta?

Reszta nóg nie jest liczona - są to przednie nogi królików.

Ile tu tego jest?

24 (94 – 70 = 24)

Ile jest królików?

12 (24: 2 = 12)

A bażanty?

23 (35- 12 = 23)

Nazwa tej metody to „metoda zgadywania niedoborów”. Spróbuj sam wyjaśnić tę nazwę (osoby siedzące w klatce mają 2 lub 4 nogi, ale założyliśmy, że każdy ma najmniejszą z tych liczb - 2 nogi).

Inny sposób na rozwiązanie tego samego problemu. - Spróbujmy rozwiązać ten problem - „metodą zgadywania nadwyżki”: Wyobraźmy sobie, że bażanty mają jeszcze dwie nogi, wtedy wszystkie nogi będą 35 × 4 = 140.

Ale w zależności od stanu problemu tylko 94 nogi, tj. 140 - 94 = 46 dodatkowych nóg, czyje one są? To są nogi bażantów, mają dodatkową parę nóg. Znaczy, bażanty będzie 46: 2 = 23, potem króliki 35 -23 = 12.
Podsumowanie dyskusji: metoda zgadywania ma dwie opcje- na brak i nadmiar; w porównaniu z poprzednimi metodami jest to wygodniejsze, ponieważ jest mniej pracochłonne.
Zadanie. Karawana wielbłądów powoli przemierza pustynię, jest ich w sumie 40. Jeśli policzysz wszystkie garby tych wielbłądów, otrzymasz 57 garbów. Ile jednogarbnych wielbłądów jest w tej przyczepie kempingowej?1 sposób. Rozwiąż za pomocą równania.

Liczba garbów na jeden Liczba wielbłądów Razem garby

2 x 2 x

1 40 - NS 40 - NS 57

2 x + 40 - NS = 57

x + 40 = 57

NS = 57 -40

NS = 17

Metoda 2.

- Ile garbów mogą mieć wielbłądy?

(mogą być dwa lub jeden)

Niech każdy wielbłąd przywiąże kwiatek do jednego garbu.

- Ile kwiatów potrzebujesz? (40 wielbłądów - 40 kolorów)

- Ile garbów pozostanie bez kwiatów?

(Tam będzie 57-40=17 ... To jest drugie garby wielbłądy dwugarbne).

Ile wielbłądy dwugarbne? (17)

Ile jeden garbaty wielbłąd? (40-17 = 23)

Jaka jest odpowiedź na problem? ( 17 i 23 wielbłądy).

Zadanie.W garażu znajdowały się samochody i motocykle z przyczepami bocznymi, razem 18. Samochody i motocykle mają 65 kół. Ile wózków bocznych i motocykli znajdowało się w garażu, jeśli samochody miały 4 koła, a motocykl 3 koła?

1 sposób. Korzystając z równania:

Liczba kół na 1 Liczba kół ogółem

Zacier. 4x 4 x

Mot. 3 18 -NS 3(18 - NS ) 65

4 x + 3(18 - NS ) = 65

4 x + 5 4 -3 NS =65

NS = 65 - 54

NS = 11, 18 – 11 = 7.

Przeformułujmy problem : Rabusie, którzy przybyli do garażu, w którym znajdowało się 18 samochodów i motocykli z przyczepami bocznymi, wyjęli z każdego samochodu i każdego motocykla trzy koła i wywieźli je. Ile kół pozostało w garażu, gdyby było ich 65? Czy należą do samochodu lub motocykla?

3 × 18 = 54 - tyle kół zostało porwanych przez rabusiów,

65- 54 = 11 - ile kół zostało (samochody w garażu),

18 - 11 = 7 - motocykle.

Odpowiedź: 7 motocykli.

Na własną rękę:

W garażu znajdowały się 23 samochody i motocykle z bocznym wózkiem. Samochody i motocykle mają 87 kół. Ile motocykli jest w garażu z kołem zapasowym w każdym wózku bocznym?

- Ile kół mają razem samochody i motocykle? (4 × 23 = 92)

- Ile kół zapasowych włożyłeś do każdego wózka? (92 - 87 = 5)

- Ile samochodów jest w garażu? (23 - 5 = 18).

Zadanie.W naszej klasie możesz uczyć się angielskiego lub francuskiego (opcjonalnie). Wiadomo, że języka angielskiego uczy się 20 uczniów, francuskiego 17. W klasie jest 32 uczniów. Ilu uczniów uczy się zarówno angielskiego, jak i francuskiego?

Narysujmy dwa koła. W jednym odnotujemy liczbę uczniów uczących się języka angielskiego, w drugim - uczniów uczących się języka francuskiego. Ponieważ według stanu problemu studiują studencioba języki: angielski i francuski, wtedy kręgi będą miały wspólną część. Nie jest łatwo zrozumieć stan tego problemu. Jeśli dodasz 20 i 17, otrzymasz więcej niż 32. Wynika to z tego, że naliczyliśmy tu dwukrotnie uczniów - a mianowicie tych, którzy uczą się obu języków: angielskiego i francuskiego. Stąd (20 + 17) - 32 = 5 uczniowie uczą się obu języków: angielskiego i francuskiego.

Język angielski. Fran.

20 kont. 17 konto.

(20 + 17) - 32 = 5 (studenci).

Schematy podobne do tego, którego użyliśmy do rozwiązania problemu, nazywamy w matematyce okręgi (lub diagramy) Eulera. Leonard Euler (1736) urodził się w Szwajcarii. Ale przez wiele lat mieszkał i pracował w Rosji.

Zadanie.Każda rodzina mieszkająca w naszym domu prenumeruje albo gazetę, albo magazyn, albo jedno i drugie. 75 rodzin prenumeruje gazetę, 27 rodzin prenumeruje czasopismo, a tylko 13 rodzin prenumeruje zarówno czasopismo, jak i gazetę. Ile rodzin mieszka w naszym domu?

Gazety, czasopisma

Na zdjęciu widać, że w domu mieszka 89 rodzin.

Zadanie.W międzynarodowej konferencji wzięło udział 120 osób. Spośród nich 60 osób mówi po rosyjsku, 48 po angielsku, 32 po niemiecku, 21 po rosyjsku i niemiecku, 19 po angielsku i niemiecku, 15 po rosyjsku i angielsku, a 10 osób mówi we wszystkich trzech językach. Ilu uczestników konferencji nie zna żadnego z tych języków?

rosyjski 15 angielski

21 10 19

Niemiecki

Rozwiązanie: 120 - (60 + 48 + 32 -21 - 19 - 15 + 10) = 25 (osób).

Zadanie. Trzy kocięta i dwa szczenięta ważą 2 kg 600 g, a dwa kocięta i trzy szczenięta ważą 2 kg 900 g. Ile waży szczeniak?

3 kocięta i 2 szczenięta - 2kg 600g

2 kocięta i 3 szczenięta - 2kg 900 g.

Wynika to z warunku, że 5 kociąt i 5 szczeniąt waży 5 kg 500 g. Stąd 1 kociak i 1 szczeniak ważą 1 kg 100 g

2 koty i 2 szczenięta. ważą 2 kg 200 g

Porównajmy warunki -

2 kocięta + 3 szczenięta = 2kg 900 g

2 kocięta + 2 szczenięta = 2 kg 200 g, widzimy, że szczeniak waży 700 g.

Zadanie.Na jednego konia i dwie krowy dziennie podaje się 34 kg siana, a na dwa konie i jedną krowę - 35 kg siana. Ile siana daje jeden koń, a ile krowie?

Zapiszmy krótkie przedstawienie problemu:

1 koń i 2 krowy -34kg.

2 konie i 1 krowa -35kg.

Czy możesz powiedzieć, ile siana będzie potrzebne dla 3 koni i 3 krów?

(na 3 konie i 3 krowy - 34 + 35 = 69 kg)

Ile siana potrzeba na jednego konia i jedną krowę? (69:3 - 23kg)

Ile siana potrzebuje jeden koń? (35-23 = 12kg)

Ile siana potrzebuje jedna krowa? (23 -13 = 11 kg)

Odpowiedź: 12kg i 11kg.

Zadanie.Madina postanowiła zjeść śniadanie w szkolnym bufecie. Przejrzyj menu i odpowiedz, na ile sposobów może wybrać napój i ciasto?

Cukiernia

sernik

Załóżmy, że Madina wybiera herbatę z napojów. Jakie słodycze może wybrać na herbatę? (herbata - sernik, herbata - ciasteczka, herbata - bułka)

Na ile sposobów? (3)

A jeśli kompot? (także 3)

Skąd wiesz, na ile sposobów Madina może wybrać swój lunch? (3 + 3 + 3 = 9)

Tak masz rację. Aby jednak ułatwić nam rozwiązanie takiego problemu, posłużymy się wykresami. Słowo „wykres” w matematyce oznacza obraz, na którym narysowanych jest kilka punktów, z których niektóre są połączone liniami. Oznaczmy kropkami napoje i wypieki i połączmy pary potraw, które wybiera Madina.

kompot z mleka herbacianego

ciasteczka sernikowe

Policzmy teraz liczbę linii. Jest 9. Istnieje 9 sposobów wyboru potraw.

Zadanie.Seryozha postanowił podarować matce bukiet kwiatów (róż, tulipanów lub goździków) na urodziny i umieścić je w wazonie lub w dzbanku. Na ile sposobów może to zrobić?

Jak myślisz, na ile sposobów? (3)

Czemu? (3 kolory)

TAk. Ale są też inne naczynia: albo wazon, albo dzban. Spróbujmy wykonać zadanie graficznie.

wazon

róże tulipany goździki

Policz linie. Ile tu tego jest? (6)

A więc, na ile sposobów Seryozha może wybrać? (6)

Podsumowanie lekcji.

Dziś rozwiązaliśmy szereg problemów. Ale praca nie została zakończona, istnieje chęć jej kontynuowania i mam nadzieję, że pomoże ci to skutecznie rozwiązać problemy tekstowe.

Wiadomo, że rozwiązywanie problemów jest praktyczną sztuką, taką jak pływanie lub gra na pianinie. Można się tego nauczyć tylko naśladując dobre przykłady, stale ćwicząc.

To tylko najprostsze z zadań, a te złożone pozostają przedmiotem dalszych badań. Ale wciąż jest ich o wiele więcej, niż moglibyśmy rozwiązać. A jeśli pod koniec lekcji jesteś w stanie rozwiązać problemy „za stronami materiałów edukacyjnych”, to możemy założyć, że wykonałem swoje zadanie.

Znajomość matematyki pomaga rozwiązać pewien problem życiowy. W życiu będziesz musiał regularnie rozwiązywać pewne problemy, do tego musisz rozwijać zdolności intelektualne, dzięki którym rozwija się twój wewnętrzny potencjał, zdolność przewidywania sytuacji, przewidywania i podejmowania niestandardowych decyzji.

Chciałbym zakończyć lekcję słowami: „Każdy dobrze rozwiązany problem matematyczny sprawia przyjemność psychiczną”. (G. Hesse).

Czy zgadzasz się z tym?

Praca domowa.

Będzie takie zadanie w domu: korzystając z tekstów rozwiązanych problemów, jako próbki, rozwiąż zadania nr 8, 17, 26 w taki sam sposób, w jaki studiowaliśmy.

Rozwiązywanie problemów w sposób algebraiczny (za pomocą równań) Według podręcznika I.I. Zubareva, AG Mordkovich

nauczyciel matematyki, MOU „LSOSH №2”

Lichosław, region Twerski


Cele:- pokazać zasady rozwiązywania zadań w sposób algebraiczny; - kształtowanie umiejętności rozwiązywania problemów metodami arytmetycznymi i algebraicznymi.


Drogi

rozwiązywanie problemów

Arytmetyka (rozwiązywanie problemu przez działania)

Algebraiczny (rozwiązywanie zadania za pomocą równania)


Numer problemu 509

Przeczytaj problem.

Spróbuj znaleźć różne rozwiązania.

W dwóch pudełkach znajduje się 16 kg ciastek. Znajdź masę ciastek w każdym pudełku, jeśli jedno z nich zawiera o 4 kg więcej ciastek niż drugie.

1 rozwiązanie

(obserwować)

3 sposoby rozwiązania

(obserwować)

2 rozwiązanie

4 rozwiązania


1-drożny (arytmetyczny)

  • 16 - 4 = 12 (kg) - ciasteczka pozostają w dwóch pudełkach, jeśli 4 kg ciasteczek zostanie wyjęte z pierwszego pudełka.
  • 12:2 = 6 (kg) - w drugim pudełku były ciasteczka.
  • 6 + 4 = 10 (kg) - w pierwszym pudełku były ciasteczka.

Odpowiadać

Zastosowane rozwiązanie metoda wyrównywania .

Pytanie: dlaczego dostał taką nazwę?

Z powrotem)


Metoda 2 (arytmetyczna)

  • 16 + 4 = 20 (kg) - ciastka będą w dwóch pudełkach, jeśli do drugiego pudełka dodasz 4 kg ciastek.
  • 20:2 = 10 (kg) - w pierwszym pudełku były ciasteczka.
  • 10 - 4 = 6 (kg) - w drugim pudełku były ciasteczka.

Odpowiadać: masa ciastek w pierwszym pudełku to 10 kg, aw drugim 6 kg.

Zastosowane rozwiązanie metoda wyrównywania .

Z powrotem)


Metoda 3 (algebraiczna)

Oznaczmy masę ciasteczka w sekundę list pudełkowy NS kg. Wtedy masa ciasteczek w pierwszym polu będzie ( NS+4) kg, a masa ciastek w dwóch pudełkach to (( NS +4)+ NS) kg.

(NS +4)+ NS =16

NS +4+ NS =16

2 NS +4=16

2 NS =16-4

2 NS =12

NS =12:2

Drugie pudełko zawierało 6 kg ciastek.

6 + 4 = 10 (kg) - w pierwszym pudełku były ciasteczka.

Zastosowane rozwiązanie sposób algebraiczny.

Zadanie: Wyjaśnij, jaka jest różnica między metodą arytmetyczną a algebraiczną?

Z powrotem)


4-drożny (algebraiczny)

Oznaczmy masę ciasteczka na początku list pudełkowy NS kg. Wtedy masa ciasteczek w drugim polu będzie ( NS-4) kg, a masa ciastek w dwóch pudełkach to ( NS +(NS-4)) kg.

Zgodnie z problemem w dwóch pudełkach znajdowało się 16 kg ciastek. Otrzymujemy równanie:

NS +(NS -4)=16

NS + NS -4=16

2 NS -4=16

2 NS =16+4

2 NS =20

NS =20:2

Pierwsze pudełko zawierało 10 kg ciastek.

10-4 = 6 (kg) - w drugim pudełku były ciasteczka.

Zastosowane rozwiązanie sposób algebraiczny.

Z powrotem)


  • Jakie dwie metody rozwiązania problemu zastosowano?
  • Jaka jest metoda wyrównywania?
  • Czym różni się pierwsza metoda regulacji od drugiej?
  • Jedna kieszeń ma o 10 rubli więcej niż druga. Jak wyrównać ilość pieniędzy w obu kieszeniach?
  • Jaki jest algebraiczny sposób rozwiązania problemu?
  • Jaka jest różnica między trzecią metodą rozwiązania problemu a czwartą?
  • Jedna kieszeń ma o 10 rubli więcej niż druga. Wiadomo, że zmienna wyznaczyła mniej pieniędzy NS... Jak to zostanie wyrażone poprzez NS
  • Jeśli dla NS wyznacz więcej pieniędzy w kieszeni, podczas gdy będzie to wyrażone w kategoriach NS ilość pieniędzy w drugiej kieszeni?
  • W sklepie szampon kosztuje o 25 rubli więcej niż w supermarkecie. Oznacz jedną zmienną literą with w i wyrazić inną wartość za pomocą tej zmiennej.

Numer problemu 510

Rozwiąż problem za pomocą metod arytmetycznych i algebraicznych.

Z trzech działek zebrano 156 kwintali ziemniaków. Ziemniaki zebrano równo z poletka pierwszego i drugiego, az trzeciego o 12 centów więcej niż z każdego z pierwszych dwóch. Ile ziemniaków zebrano z każdego miejsca.

Sposób algebraiczny

(obserwować)

Sposób arytmetyczny

(obserwować)

Wyjście)


Sposób arytmetyczny

  • 156 - 12 = 144 (q) - ziemniaki zostałyby zebrane z trzech poletek, gdyby plony wszystkich poletek były takie same.
  • 144: 3 = 48 (q) - ziemniaki zostały zebrane z pierwszego i zebrane z drugiego poletka.
  • 48 + 12 = 60 (q) - ziemniaki zebrano z trzeciego stanowiska.

Odpowiadać

Z powrotem)


Sposób algebraiczny

Niech zbierają z pierwszej strony NS c ziemniaki. Następnie z drugiej strony również zebrali NS c ziemniaków, a z trzeciego miejsca zebrali ( NS+12) q ziemniaków.

Warunkiem było zebranie 156 kwintali ziemniaków ze wszystkich trzech poletek.

Otrzymujemy równanie:

x + x + (x +12) =156

x + x + x + 12 = 156

3 NS +12 = 156

3 NS = 156 – 12

3 NS = 144

NS = 144: 3

Z poletka pierwszego i drugiego zebrano 48 kwintali ziemniaków.

48 +12 = 60 (q) - ziemniaki zebrano z trzeciego stanowiska.

Odpowiadać: zebrano 48 kwintali ziemniaków z pierwszego i drugiego poletka, a 60 kwintali ziemniaków z trzeciego poletka.

Z powrotem


mob_info