Ģeometrijas testu krājums par tēmu "Revolūcijas ķermeņi" (11. klase). Sfērisku slāni un sfērisku akciju jostu uzzīmē divas savstarpēji perpendikulāras sekcijas

GBOU SPO PT 13 nosaukts P.A.Ovčiņņikova vārdā

Testi par tēmu "Revolūcijas cietās vielas"

matemtikas skolotja Makeeva Elena Sergeevna

T E S T 1

1. variants

A1 ... Taisna apļveida cilindra sānu virsmas laukums ir 12π, un cilindra augstums ir 3. Atrodiet cilindra kopējo virsmas laukumu.

¤ 1) 24π ¤ 2) 16π ¤ 3) 22π ¤ 4) 20π

A2 ... Cilindra aksiālais šķērsgriezuma laukums ir 10 cm 2 , pamatnes laukums ir 5 cm 2

¤ 1) ¤ 2) ¤ 3) ¤ 4)
A3 ... Caur cilindra ģeneratoru tiek ievilktas divas sekcijas, no kurām viena ir aksiāla ar laukumu, kas vienāds arS... Leņķis starp griezuma plaknēm ir 30 O

¤ 1) ¤ 2) S ¤ 3) ¤ 4)

B 1. Segmenta AB gali atrodas uz cilindra pamatnes apkārtmēra. Pamatnes rādiuss ir 10 cm, attālums starp līniju AB un cilindra asi ir 8 cm, AB = 13 cm. Nosakiet cilindra augstumu.

Atbilde:

2 ... Cilindra augstums irh, pamatnes rādiuss -r... Šajā cilindrā slīpi pret asi ir ierakstīts kvadrāts, lai visas tā virsotnes atrastos uz pamatņu apkārtmēra. Atrodiet laukuma malu.

Atbilde :________________________________________________________________________

C1 ... Cilindra sānu virsmas slaucīšanas diagonāle veido leņķi β ar slaucīšanas pamatnes malu. Aprēķiniet leņķi starp cilindra aksiālās daļas diagonāli un pamatnes plakni.

Atbilde: ________________________________________________________________________

T E S T 1

Cilindrs Cilindra virsmas laukums.

2. variants

A1. Taisna apļveida cilindra sānu virsmas laukums ir 20π, un cilindra augstums ir 5. Atrodiet cilindra kopējo virsmas laukumu.

¤ 1) 24π ¤ 2) 32π ¤ 3) 28π ¤ 4) 36π

A2 ... Cilindra aksiālais šķērsgriezuma laukums ir 16 cm 2 , pamatnes laukums ir 8 cm 2 ... Aprēķiniet cilindra augstumu un sānu virsmas laukumu.

¤ 1) ¤ 2) ¤ 3) ¤ 4) A3. Caur cilindra ģeneratoru tiek ievilktas divas sekcijas, no kurām viena ir aksiāla ar laukumu, kas vienāds arS... Leņķis starp griezuma plaknēm ir 45 O ... Atrodiet otrās sadaļas laukumu.

¤ 1) ¤ 2) ¤ 3) ¤ 4) S

B 1. Segmenta AB gali atrodas uz cilindra pamatnes apkārtmēra. Pamatnes rādiuss ir 5 cm, cilindra augstums ir 6 cm, AB = 10 cm Nosakiet attālumu starp līniju AB un cilindra asi.

Atbilde: ________________________________________________________________________

2 ... Cilindra pamatnes rādiuss irr... Kvadrāts ar maluatā, ka visas tā virsotnes atrodas uz pamatņu apkārtmēra. Atrodiet cilindra augstumu.

Atbilde: ________________________________________________________________________

C1 ... Leņķis starp cilindra aksiālās daļas diagonāli un tā pamatnes plakni ir β. Aprēķiniet leņķi starp tā sānu virsmas slaucīšanas diagonāli un slaucīšanas pamatnes malu.

Atbilde: ________________________________________________________________________

T E S T 2

Taisns apļveida konuss

1. variants

A1 ... Atrodiet taisna apļveida konusa augstumu, ja tā aksiālais griezums ir 6 cm 2 , un pamatnes laukums ir 8 cm 2 .

¤ 1) 3 2) 3 ¤ 3) 6 ¤ 4) 4

A2. Nosakiet leņķi konusa aksiālās daļas virsotnē, ja tā sānu virsmas slīpums ir sektors ar loku, kas vienāds ar 90 o

¤ 1) 60 o ¤ 2) 2 arciņi ¤ 3) 2 arciņi ¤ 4) 30 o

A3. Saīsinātā konusa pamatu apkārtmērs ir 4π un 10π. Konusa augstums ir 4. Atrodiet frustuma virsmas laukumu.

¤ 1) 64 π ¤ 2) 68 π ¤ 3) 52 π ¤ 1) 74 π

B 1. Konusa augstums ir vienāds ar rādiusuRtās pamatus. Caur konusa virsotni tiek izvilkta plakne, nogriežot 60 loka o

Atbilde:

2. Konusa ģenerators ir 13 cm, augstums - 12 cm.Šo konusu šķērso taisna līnija, kas ir paralēla pamatnei. Tā attālums no pamatnes ir 6 cm, bet no augstuma - 2 cm Atrodiet šīs taisnes segmenta garumu, kas ir ievietots konusa iekšpusē.

Atbilde: ________________________________________________________________________________

C1 ... Saīsinātā konusa ģenerators irLun veido leņķi α ar pamatplakni. Tās aksiālās sekcijas diagonāle ir perpendikulāra ģeneratorai. Atrodiet konusa sānu virsmas laukumu.

Atbilde: ________________________________________________________________________________

T E S T 2

Taisns apļveida konuss

2. variants

A1 ... Atrodiet taisna apļveida konusa augstumu, ja tā aksiālais griezums ir 8 cm 2 , un pamatnes laukums ir 12 cm 2 .

1) 4 ¤ 2) 4 ¤ 3) 6 ¤ 4) 6

A2 ... Nosakiet leņķi konusa aksiālās daļas virsotnē, ja tā sānu virsmas slīpums ir sektors ar loka vienādu ar 120 o

¤ 1) 90 o ¤ 2) 2 arciņi ¤ 3) 2 arciņi ¤ 4) 60 o

A3 ... Saīsinātā konusa pamatu apkārtmērs ir 4π un 28π. Konusa augstums ir 5. Atrodiet frustuma virsmas laukumu.

¤ 1) 420 π ¤ 2) 412 π ¤ 3) 416 π ¤ 1) 408 π

B 1. Konusa augstums ir vienāds ar rādiusuRtās pamatus. Caur konusa virsotni tiek izvilkta plakne, nogriežot 90 loka o ... Nosakiet šķērsgriezuma laukumu.

Atbilde: ________________________________________________________________________________

2. Konusa ģenerators ir 17 cm, augstums - 8 cm.Šo konusu šķērso taisna līnija, kas ir paralēla pamatnei. Tās attālums no pamatnes ir 4 cm, bet no augstuma - 6 cm Atrodiet šīs taisnes segmenta garumu, kas ir ievietots konusa iekšpusē.

Atbilde: ________________________________________________________________________________

C1 ... Saīsinātā konusa ģenerators veido leņķi α ar apakšējās pamatnes plakni. Tās aksiālās sekcijas diagonāle ir perpendikulāra konusa ģeneratoram. Apļu garumu summa ir 2 πm. Atrodiet konusa sānu virsmas laukumu.

Atbilde: ________________________________________________________________________________

T E S T 3

1. variants

A1 ... Punkti A un B atrodas uz rādiusa sfērasR... Atrodiet attālumu no sfēras centra līdz līnijai AB, ja AB = m.

¤ 1) ¤ 2) ¤ 3) ¤ 4)

A2. Atrodiet centra C un rādiusa koordinātasRsfēru, ko dod vienādojums

¤ 1) C (-3; 2; 0), R = ¤ 2) C (3; -2; 0), R = 5 ¤ 3) C (-3; 2; 0), R = 5 ¤ 4) C (3; -2; 0), R =

A3. Uzrakstiet sfēras vienādojumu, kura centrā ir punkts C (4; -1; 3), kas iet caur punktu A (-2; 3; 1)

¤ 1) ¤ 2)

¤ 3) ¤ 4)

B 1 ... Taisnstūra trīsstūra virsotnes ar kājām 25 un 5gulēt uz sfēras. Atrodiet sfēras rādiusu, ja attālums no centra līdz trijstūra plaknei ir 8.

Atbilde: ________________________________________________________________________________

B 2 avienādojums

nosaka sfēru.

Atbilde: ________________________________________________________________________________

C1. Divām savstarpēji perpendikulārām lodītes sekcijām ir kopīgs akords 12. Ir zināms, ka šo sekciju laukumi ir 100π un 64π ... Atrodiet bumbiņas rādiusu.

Atbilde: ________________________________________________________________________________

T E S T 3

Sfēra un bumba. Sfēras vienādojums.

2. variants

A1. Punkti A un B atrodas uz rādiusa sfērasR... Attālums no sfēras centra līdz līnijai AB ir vienāds ara... Atrodiet līnijas segmenta AB garumu.

¤ 1) ¤ 2) ¤ 3) ¤ 4)

A2 ... Atrodiet centra C un rādiusa koordinātasRsfēru, ko dod vienādojums

¤ 1) C (-4; 0; 3), R = ¤ 2) C (4; 0; -3), R = 7 ¤ 3) C (-4; 0; 3), R = 7 ¤ 4) C (4; 0; -3), R =

A3. Uzrakstiet sfēras vienādojumu, kura centrā ir punkts C (-3; 1; -2), kas iet caur punktu A (3; 4; -1)

¤ 1) ¤ 2)

¤ 3) ¤ 4)

B 1 ... Taisnstūraina trīsstūra virsotnes ar kājām 15 un gulēt uz sfēras. Atrodiet sfēras rādiusu, ja attālums no centra līdz trīsstūra plaknei ir 5.

Atbilde: ________________________________________________________________________________

B 2 ... Nosakiet, pie kādām parametra vērtībāmavienādojums

nosaka sfēru.

Atbilde: ________________________________________________________________________________

C1. Divām savstarpēji perpendikulārām bumbiņas sekcijām ir kopīgs akords 12. Ir zināms, ka šo sekciju laukumi ir 256π un 100π ... Atrodiet bumbiņas rādiusu.

Atbilde: ________________________________________________________________________________

T E S T 4

1. variants

A1. Lodes un plaknes 8 krustošanās līnijas attālumā no centra garums ir 12 π. Atrodiet sfēras virsmas laukumu.

¤ 1) 396 π ¤ 2) 400 π ¤ 3) 408 π ¤ 4) 362π

A2. Rādiusa sfēraRpieskaras divstūraina leņķa sejām, kuru vērtība irα ... Nosakiet attālumu no sfēras centra līdz divstūra malai.

¤ 1) ¤ 2) Rtg ¤ 3) ¤ 4) taisnstūris

A3. Atrodiet sfēras akorda garumu , kas pieder pie abscisas ass.

¤ 1) 2 ¤ 2) 4 ¤ 3) 8 ¤ 4) 2

1. Bumbas šķērsgriezums pa divām paralēlām plaknēm, starp kurām atrodas lodītes centrs, ir 144 laukumsπ un 25π ... Aprēķiniet bumbiņas virsmas laukumu, ja attālums starp paralēlajām plaknēm ir 17.

Atbilde

C1.

Atbilde: ________________________________________________________________________________

T E S T 4

Lodes un plaknes, sfēras un taisnas līnijas savstarpējs izvietojums.

2. variants

A1. Bumbu sadaļalidmašīnas 15 attālumā no centra ir 64 π laukums. Atrodiet bumbiņas virsmas laukumu.

¤ 1) 1156 π ¤ 2) 1024 π ¤ 3) 1172 π ¤ 4) 1096π

A2. Sfēra pieskaras divpusējā leņķa sejām, kuru vērtība irα ... Attālums no sfēras centra līdz divstūrainā leņķa malai irl... Nosakiet sfēras rādiusu.

¤ 1) l tg ¤ 2) es grēkoju ¤ 3) l cos ¤ 4) l ctg

A3. Atrodiet sfēras akorda garumu , kas pieder ordinātu asij.

¤ 1) 2 ¤ 2) 10 ¤ 3) 4 ¤ 4) 2

1. Bumbas šķērsgriezums pa divām paralēlām plaknēm, kas atrodas vienā lodītes centra pusē, ir 576 laukumsπ un 100π ... Aprēķiniet bumbiņas virsmas laukumu, ja attālums starp paralēlajām plaknēm ir 14.

Atbilde: ________________________________________________________________________________

2. Uzrakstiet tās plaknes vienādojumu, kurā sfēru kopīgos punktus norāda vienādojumi

Atbilde: ________________________________________________________________________________

C1. Atrodiet vienādojuma norādītās taisnes krustošanās punktu koordinātas un vienādojuma dotā sfēra

Atbilde: ________________________________________________________________________________

T E S T 5

Rotācijas formu kombinācijas.

1. variants

A1. Ap hipotenūzu griežas taisnstūrveida trīsstūris, kura kājas ir 5 cm un 12 cm. Aprēķiniet iegūtā apgriezienu ķermeņa virsmas laukumu.

¤ 1) cm 2 ¤ 2) 82π cm 2 ¤ 3) cm 2 ¤ 4) 78π cm 2

A2. Cilindrā ir ierakstīta bumba. Atrodiet cilindra kopējās virsmas un lodītes virsmas laukuma attiecību.

¤ 1) 3: 2 ¤ 2) 2: 1 ¤ 3) 4: 3 ¤ 4) 5: 2

A3. r, augstums -H

¤ 1) ¤ 2) ¤ 3) π ( ¤ 4)

B 1 ... Konusā ir ierakstīts cilindrs, kura augstums ir vienāds ar konusa pamatnes rādiusu. Atrodiet leņķi starp konusa asi un tā ģeneratoru, ja cilindra kopējā virsmas platība attiecas uz konusa pamatnes laukumu kā 3: 2 un cilindra ass sakrīt ar ass konuss.

Atbilde: ________________________________________________________________________________

C1 ... Plaknē atrodas trīs identiskas rādiusa bumbiņasRpieskaroties viens otram. Ceturtā tāda paša rādiusa bumba ir novietota virs bumbiņu veidotā cauruma. Atrodiet attālumu no ceturtās bumbas augšdaļas līdz lidmašīnai.

Atbilde :________________________________________________________________________________

T E S T 5

Rotācijas formu kombinācijas.

2. variants

A1. Ap hipotenūzu griežas taisnstūrveida trīsstūris, kura kājas ir vienādas ar 8 cm un 15 cm. Aprēķiniet iegūtā apgriezienu ķermeņa virsmas laukumu.

¤ 1) 162π cm 2 ¤ 2) cm 2 ¤ 3) 164π cm 2 ¤ 4) cm 2

A2. Cilindrā ir ierakstīta bumba. Atrodiet cilindra sānu virsmas un lodītes virsmas laukuma attiecību.

¤ 1) 2: 1 ¤ 2) 3: 2 ¤ 3) 1: 1 ¤ 4) 2: 3

A3. Lodē ir ierakstīts konuss, kura pamatnes rādiuss irr, augstums -L... Nosakiet bumbiņas virsmas laukumu.

¤ 1) π ( ¤ 2) ¤ 3) πr ¤ 4) πL

Atbilde: ________________________________________________________________________________

C1 ... Plaknē atrodas četras identiskas rādiusa bumbiņasRtā, lai katra no bumbiņām pieskaras divām blakus esošajām. Piektā tāda paša rādiusa bumba ir novietota virs bumbiņu veidotā cauruma. Atrodiet attālumu no piektās bumbas augšdaļas līdz lidmašīnai.

Atbilde :________________________________________________________________________________

T E S T 6

1. variants

A1. Cilindrs ir ierakstīts regulārā trīsstūrveida prizmā. Atrodiet tās virsmas laukumu, ja prizmas pamatnes mala ir 2un augstums ir 3.

¤ 1) 6π ¤ 2) 8π ¤ 3) 10π ¤ 4) 5π

A2. Ap regulāru trīsstūrveida piramīdu ir aprakstīts konuss. Aprēķiniet konusa sānu virsmas laukumu, ja piramīdas pamatnes mala ira, sānu ribas ir slīpas pie pamatnes 30 leņķī o .

¤ 1) ¤ 2) ¤ 3) 4)

A3. Sfēra ir ierakstīta regulārā četrstūra prizmā. Atrodiet prizmas kopējās virsmas un lodes laukuma attiecību.

¤ 1) ¤ 2) ¤ 3) ¤ 4)

1. aunb... Atrodiet piramīdas sānu virsmas laukumu.

Atbilde: ________________________________________________________________________________

2. Kubā, kura mala ir vienādaa, bumba ir ierakstīta. Aprēķiniet lodītes rādiusu, kas pieskaras dotajai bumbiņai, un trīs kuba malām, kurām ir kopīga virsotne.

Atbilde: ________________________________________________________________________________

C1. Konusa aksiālā daļa ir vienādmalu trīsstūris. Šajā konusā ir ierakstīta regulāra trīsstūrveida piramīda. Atrodiet piramīdas sānu virsmu un konusa laukumu attiecību.

Atbilde: ________________________________________________________________________________

T E S T 6

Daudzskaldņu un revolūcijas ķermeņu kombinācijas.

2. variants

A1. Ap parastu trīsstūrveida prizmu ir aprakstīts cilindrs. Atrodiet tās virsmas laukumu, ja prizmas augstums ir 4 un prizmas pamatnes augstums ir 6.

¤ 1) 64π ¤ 2) 56π ¤ 3) 68π ¤ 4) 60π

A2. Parastā trīsstūrveida piramīdā pamatnes puse ira, sānu virsmas ir slīpas pret pamatplakni 45 leņķī o ... Aprēķiniet piramīdā ierakstītā konusa sānu virsmas laukumu.

¤ 1) ¤ 2) ¤ 3) 4)

A3. Ap kubu ir aprakstīta sfēra. Atrodiet sfēras laukuma attiecību pret kuba kopējo virsmu.

¤ 1) ¤ 2) ¤ 3) ¤ 4)

1. Bumbas tuvumā ir aprakstīta regulāra trīsstūrveida saīsināta piramīda, kuras pamatnes malas ir vienādasaunb... Atrodiet bumbiņas virsmas laukumu.

Atbilde: ________________________________________________________________________________

2. Kubā ir ierakstīta bumba. Lodes rādiuss, kas pieskaras dotajai bumbiņai, un trīs kuba virsmas, kurām ir kopīga virsotne, ir vienādsR... Aprēķiniet kuba malas garumu.

Atbilde: ________________________________________________________________________________

C1. Konusa aksiālā daļa ir vienādmalu trīsstūris. Šajā konusā ir ierakstīta regulāra četrstūra piramīda. Atrodiet piramīdas un konusa sānu virsmu laukumu attiecību.

Atbilde: ________________________________________________________________________________

T E S T 7

1. variants

A1. Taisnstūris, kura malas ir vienādas ar 10 cm un 12 cm, rotē ap lielāko malu. Atrodiet apgriezienu ķermeņa kopējo virsmu.

¤ 1) 460π cm 2 ¤ 2) 420π cm 2 ¤ 3) 440 π cm 2 ¤ 4) 400π cm 2

A2 a... Aprēķiniet šķērsgriezuma laukumu, kas iet caur diviem konusa ģeneratoriem, leņķis starp kuriem ir 60 o .

¤ 1) a 2 ¤ 2) a 2 ¤ 3) a 2 ¤ 4) a 2

A3 ... Nosakiet saīsinātā konusa kopējo virsmas laukumu, ja tā pamatņu rādiuss ir 6 cm un 10 cm, augstums ir 3 cm.

¤ 1)212π cm 2 ¤ 2)224π cm 2 ¤ 3)220π cm 2 ¤ 4)216π cm 2

A4. + + +6 x-8 g+2 z-7=0

¤ 1) 132 π ¤ 2) 136 π ¤ 3) 140 π ¤ 4) 128 π

A5. Trīsstūra malas pieskaras sfērai ar rādiusu 5 cm Nosakiet attālumu no sfēras centra līdz trijstūra plaknei, ja tā malas ir 15 cm, 15 cm un 24 cm.

A6. Konusā ar leņķi rierakstīta rādiusa sfēraR... Atrodiet vērtīburja zināmsRun .

¤ 1) R tg ( - ¤ 2) R tg ( + ¤ 3) R tg ¤ 4) R ctg

1 . Caur cilindra ģeneratoru tiek ievilktas divas savstarpēji perpendikulāras plaknes. Iegūto sekciju laukumi ir vienādi cm 2 un

Atbilde: _______________________________________________________________________________

2. Vienādmalu trīsstūris griežas ap savu simetrijas asi. Atrodiet šī trijstūra malas, ja tā perimetrs ir 30 cm un apgriezienu ķermeņa kopējā platība ir 60

Atbilde: ________________________________________________________________________________

3 ... Rādiusa sfēraRpieskaras visām regulāras trīsstūrveida prizmas malām. Atrodiet prizmas sānu malas garumu un attālumu no sfēras centra līdz sānu virsmu plaknēm.

Atbilde: ________________________________________________________________________________

C1 DD: DB= 1: 2: 3. Nosakiet šķērsgriezuma rādiusu attiecību (no mazāka līdz lielākam), ja taisne, kas satur norādīto diametru, veido leņķi ar plaknēm .

Atbilde: ________________________________________________________________________________

C2. Sfēra pieskaras visām regulāras četrstūra piramīdas malām. Atrodiet šādas sfēras rādiusu, ja visas piramīdas malas ir 18 cm.

Atbilde: ________________________________________________________________________________

T E S T 7

Tēmas "Cilindrs, konuss, bumba" vispārinājums.

2. variants

A1. Ap mazāko malu griežas taisnstūris, kura malas ir vienādas ar 8 cm un 10 cm. Atrodiet apgriezienu ķermeņa kopējo virsmu.

¤ 1) 360π cm 2 ¤ 2) 354π cm 2 ¤ 3) 368 π cm 2 ¤ 4) 376π cm 2

A2 ... Konusa aksiālais griezums ir taisnleņķa trīsstūris, kura hipotenūza ir vienāda ara... Aprēķiniet šķērsgriezuma laukumu, kas iet caur diviem konusa ģeneratoriem, leņķis starp kuriem ir 45 o .

¤ 1) a 2 ¤ 2) a 2 ¤ 3) a 2 ¤ 4) a 2

A3 ... Nosakiet saīsinātā konusa kopējo virsmas laukumu, ja tā pamatņu rādiuss ir 5 cm un 8 cm, augstums ir 4 cm.

¤ 1)150π cm 2 ¤ 2)154π cm 2 ¤ 3)158π cm 2 ¤ 4)146π cm 2

A4. Atrodiet sfēras virsmas laukumu, kas dots ar vienādojumu + + -4 x+2 g+6 z-4=0

¤ 1) 68 π ¤ 2) 80 π ¤ 3) 76 π ¤ 4) 72 π

A5. Trīsstūra malas pieskaras sfērai, kuras rādiuss ir 5 cm, nosakiet attālumu no sfēras centra līdz trijstūra plaknei, ja tā malas ir 10 cm, 10 cm un 12 cm.

¤ 1) 1 cm ¤ 2) 2 cm ¤ 3) 3 cm ¤ 4) 4 cm

A6. Konusā ar leņķi aksiālās sekcijas augšdaļā un pamatnes rādiusārierakstīta rādiusa sfēraR... Atrodiet vērtībuRja zināms

Atbilde: ________________________________________________________________________________

3 ... Rādiusa sfēraRpieskaras visām regulāras trīsstūrveida prizmas malām. Atrodiet prizmas pamatnes malas garumu un attālumu no sfēras centra līdz prizmas pamatu plaknēm.

Atbilde: ________________________________________________________________________________

C1 ... Divas paralēlas plaknes krustojas ar sfēras AB diametru punktos C unDsadalot to attiecībā pret AC: CD: DB= 1: 3: 4. Nosakiet šķērsgriezuma rādiusu attiecību (no mazāka līdz lielākam), ja taisne, kas satur norādīto diametru, veido leņķi ar plaknēm .

Atbilde: ________________________________________________________________________________

C2. Sfēra pieskaras visām regulāras četrstūra piramīdas malām. Atrodiet šādas sfēras rādiusu, ja visas piramīdas malas ir 22 cm.

Atbilde: ________________________________________________________________________________

676π

4x-6y + 2z + 7 = 0

(-4 ;5;2), (; )

2704π

3x-4y + 8z-12 = 0

(3;0;7), (1;2;3)

(2+ ) R

2(2+ ) R

12 cm, 9 cm, 9 cm

11 cm

3.1. Konusa pamatnes rādiuss ir R, ģenerators ir slīpi pret pamatnes plakni leņķī  ... Konusā caur virsotni leņķī  plakne tiek novilkta līdz tās augstumam. Atrodiet iegūtās sadaļas laukumu.

3.2. Saīsinātā konusa pamatnes laukums ir 81  cm 2 un 225  cm 2, ģenerators attiecas uz augstumu kā 5: 4. Atrodiet aksiālās sekcijas laukumu.

3.3. Saīsinātā konusa aksiālās daļas diagonāles ir savstarpēji perpendikulāras. Aksiālais šķērsgriezuma laukums ir 324 cm 2. Atrodiet konusa pamatu laukumus, zinot, ka vienas pamatnes rādiuss ir par 2 cm lielāks nekā otras.

3.4. Dots trapecveida ABCD, kurā AD= 15 cm, Pirms mūsu ēras= 9 cm, AB = CD= 5 cm Trapece griežas ap asi, kas iet caur virsotni A un perpendikulāri AD... Atrodiet apgriezienu ķermeņa virsmas laukumu.

3.5. Taisnstūraina trīsstūra, no kura leņķis ir 60, malām nogriež taisnu līniju, segmenti, kuru garums veido ceturtdaļu no hipotenūza garuma, skaitot no šī leņķa virsotnes. Atrodiet trīsstūra laukuma attiecību pret ķermeņa virsmas laukumu, kas iegūts, pagriežot šo trīsstūri ap taisnu līniju.

3.6. Konuss atrodas uz plaknes un ripo pa to, griezdamies ap tā fiksēto augšpusi. Konusa augstums ir hģenerēšana - b... Atrodiet virsmas laukumu, ko raksturo konusa augstums.

3.7. Abiem konusiem ir kopīga bāze. Vispārējā aksiālajā griezumā viena konusa ģenerators ir perpendikulārs otras ģeneratoram. Viena no tiem tilpums ir puse otra tilpuma. Atrodiet leņķi starp lielāka konusa ģeneratoru un konusu pamatņu plakni.

3.8. Trīsstūris ABC, kurš AB= 13 cm, Saule= 20 cm, AS= 21 cm, griežas ap asi, kas iet caur virsotni A perpendikulāri AS... Atrodiet revolūcijas ķermeņa apjomu.

3.9. Paralelograms griežas ap asi, kas iet caur akūta leņķa virsotni, kas ir perpendikulāra lielākajai diagonālei. Atrodiet apgriezienu ķermeņa tilpumu, ja paralelograma malas un tās lielā diagonāle ir attiecīgi 15 cm, 37 cm un 44 cm.

3.10. Saīsinātā konusa ģenerators, kas vienāds ar l, slīpi pret pamatnes plakni an leņķī. Konusa pamatņu laukumu attiecība ir 4. Atrodiet saīsinātā konusa tilpumu.

12.6. Bumba

Bumba un sfēra

Sfēra sauc par visu kosmosa punktu kopumu, kas atrodas vienādā attālumā no noteiktā punkta.

Šo punktu sauc centrā sfēras. Tiek saukts segments, kas savieno sfēras centru ar jebkuru tā punktu rādiuss sfēras. Chordoi sauc par segmentu, kas savieno divus sfēras punktus. Diametrs sauc par akordu, kas iet caur sfēras centru (12.40. att.).

Bumba sauc par ģeometrisku ķermeni, ko ierobežo sfēra. Attiecīgi tiek nosaukts sfēras centrs, rādiuss, akords un diametrs centrā ,rādiuss ,akords un diametrs bumba (12.40. att.).

Bumbu var uzskatīt par ķermeni, kas iegūts, rotējot pusloku ap asi, kas satur pusloka diametru.

Sfēru sauc arī par bumbiņas virsmu.

Plakni, kurai ir viens kopīgs punkts ar sfēru, sauc par tangenci lidmašīna uz sfēru (bumbu). Kopīgo punktu sauc pieskāriena punkts sfēra (bumba) un plakne.

Teorēma ... Lai plakne būtu pieskaras sfērai (lodītei), ir nepieciešams un pietiekams, lai šī plakne būtu perpendikulāra lodes (lodītes) rādiusam, kas novilkts līdz pieskares punktam.

Attiecībā uz bumbu formulas ir pareizas:

kur S- bumbiņas virsmas laukums (sfēras laukums); R- bumbas rādiuss; V Vai ir sfēras tilpums.

Bumbas segments un sfēriskais segments

Bumbas segments sauc par bumbas daļu, kuru no tās nogriež plakne. Sadaļā iegūto apli sauc pamats segments. Segmentu, kas savieno segmenta pamatnes centru ar punktu uz lodītes virsmas, perpendikulāri pamatnei, sauc. augstums sfērisks segments (12.41. att.). Sfēriskā segmenta sfēriskās daļas virsmu sauc sfērisks segments .

Sfēriskajam segmentam ir pareizas šādas formulas:

kur S- sfēriskā segmenta sfēriskās daļas laukums (sfēriskā segmenta laukums); R- bumbas rādiuss; h- segmenta augstums; S pilns Vai sfēriskā segmenta kopējā virsmas platība; r- sfēriskā segmenta pamatnes rādiuss; V Vai sfēriskā segmenta tilpums.

Bumbas slānis un sfēriska josta

Sfērisks slānis sauc par bumbas daļu, kas atrodas starp divām paralēlām griešanas plaknēm. Sadaļā iegūtie apļi tiek saukti pamatojumu slānis. Tiek saukts attālums starp griešanas plaknēm augstums slānis (12.42. att.). Sfēriskā slāņa sfēriskās daļas virsmu sauc sfēriska josta .

Bumbu, sfērisku segmentu un sfērisku slāni var uzskatīt par ģeometriskiem revolūcijas ķermeņiem. Puslokam griežoties ap asi, kas satur pusloka diametru, iegūst bumbiņu, attiecīgi, apļa daļām griežot, iegūst bumbiņas daļas: sfērisku segmentu un sfērisku slāni.

Sfēriskam slānim ir pareizas šādas formulas:

kur S 1 , S 2 - bāzu laukums; R 1 , R 2 - bāzes rādiusi; S- sfēriskā slāņa sfēriskās daļas laukums (sfēriskās jostas laukums); R- bumbas rādiuss; h- augstums; S pilns- kopējā virsmas platība; V Vai sfēriskā slāņa tilpums.

Bumbu sektors

Bumbu sektors ir ģeometrisks ķermenis, ko iegūst, rotējot apļveida sektoru (ar leņķi, kas mazāks par 90) ap asi, kas satur vienu no sānu rādiusiem. Tiek saukta arī šāda ķermeņa pievienošana bumbiņai sfēriskais sektors ... Tādējādi sfēriskais sektors sastāv no sfēriska segmenta un konusa, vai no sfēriska segmenta bez konusa (12.43. A, b att.).

Sfēriskajam sektoram ir pareizas šādas formulas:

kur S- sfēriskā sektora virsmas laukums; R- bumbas rādiuss; r- segmenta pamatnes rādiuss; h- sfēriskā segmenta augstums; V Vai sfēriskā sektora apjoms.

1. piemērs. Lodes rādiuss tika sadalīts trīs vienādās daļās. Caur dalīšanas punktiem tika novilktas divas sekcijas, kas ir perpendikulāras rādiusam. Atrodiet sfēriskās jostas laukumu, ja lodītes rādiuss ir 15 cm.

Risinājums. Izveidosim zīmējumu (12.44. Att.).

Lai aprēķinātu sfēriskās jostas laukumu, jums jāzina sfēras rādiuss un augstums. Lodes rādiuss ir zināms, un mēs atrodam augstumu, zinot, ka rādiuss ir sadalīts trīs vienādās daļās:

Tad apgabals

2. piemērs. Bumbu šķērso divas paralēlas plaknes, kas ir perpendikulāras diametram un lodītes centra pretējām pusēm. Sfērisko segmentu laukumi ir 42  cm 2 un 70  cm 2. Atrodiet bumbiņas rādiusu, ja attālums starp plaknēm ir 6 cm.

Risinājums. Apsveriet divus sfēriskus segmentus ar apgabaliem:

kur R - lodītes rādiuss (sfēra), h, H – segmenta augstumi. Mēs iegūstam vienādojumus:
un
Mums ir divi vienādojumi ar trim nezināmiem. Izveidosim vēl vienu vienādojumu. Bumbas diametrs ir
Atrisināsim sistēmu:

No pirmajiem diviem sistēmas vienādojumiem mēs izsakām:

sistēmas trešajā vienādojumā mēs aizstājam:
Mēs atrisinām iegūto vienādojumu:
mēs saņemam

Atbilstoši problēmas stāvoklim, vērtība

3. piemērs. Lodes griezums pa plakni, kas ir perpendikulāra tās diametram, sadala diametru proporcijā 1: 2. Cik reizes šķērsgriezuma laukums ir mazāks par bumbiņas virsmas laukumu?

Risinājums . Izveidosim zīmējumu (12.45. Att.).

Apsveriet bumbiņas diametrālo daļu: AD- diametrs, O- centrs, OE= R- lodītes rādiuss, BE- sekcijas rādiuss, kas ir perpendikulārs lodītes diametram,

Ļaujiet mums izteikties BE pāri R:

No  OBE izteikt BE pāri R:

Šķērsgriezuma laukums
bumbiņas virsmas laukums
Mēs iegūstam attieksmi

Līdz ar to S 1 mazāks S 2 4,5 reizes.

a) Izvelk divas paralēlas bumbas sekcijas. Pierādiet, ka bumbas centrs atrodas taisnā līnijā, kas iet caur šo sekciju centriem.
b) R rādiusa griezumu ievelk lodītī ar rādiusu R. Kāds ir attālums starp to un lielo apli, kas ir paralēls tam?
c) 3 rādiusa lodītē tiek uzzīmēti divi 1. un 2. rādiusa posmi, kuru plaknes ir paralēlas. Aprēķiniet attālumu starp tiem,
d) Izpildiet apgrieztās problēmas b) un c) problēmām.

a) Vienā bumbiņā ir doti divi apļi, kuru apļi atrodas uz sfēras un kuriem ir viens kopīgs punkts. Pierādiet, ka plakņu krustošanās līnijai, kurā atrodas šie apļi, ir viens kopīgs punkts ar bumbu,
b) Sfērā ir uzzīmēti divi apļi, kuriem ir viens kopīgs punkts. Pierādiet, ka sfēras centrs, abu apļu centri un to kopīgais punkts atrodas vienā plaknē,
c) Uz R rādiusa sfēras tika uzzīmētas divas viena un tā paša rādiusa sekcijas ar vienu kopīgu punktu. Viņu plaknes veido leņķi sk. Izveidojiet savienojumu starp R, r, φ.

III. 3. R rādiusa bumbiņā divas rādiusa r sadaļas krustojas leņķī φ. Viņu krustojums ir akorda garums d. Izveidojiet savienojumu starp R, r, d, φ.

III. 4. Šajā jomā ietilpst:

a) cilindrs;
b) konuss;
c) saīsināts konuss.

To izmēri ir zināmi. Kā atrast attālumu no sfēras centra līdz cilindra, konusa un saīsinātā konusa pamatnēm un sāniem?

III. 5. Četras vienādas bumbiņas ar rādiusu R atrodas tā, lai katra pieskartos pārējām trim. Trīs no šīm bumbiņām atrodas uz horizontālas plaknes, bet ceturtā bumba atrodas virs tām. Kāds ir šīs konstrukcijas augstums? Kā atrast ap šo struktūru aprakstītās sfēras rādiusu.

III. 6. Trīs cilindri ir izvietoti tā, lai katram diviem būtu viens kopīgs punkts. Šis kopīgais punkts atrodas katra cilindra ģeneratorā. Cilindru asis ir savstarpēji perpendikulāras, un viena no tām ir vertikāla. Katra cilindra rādiuss ir R. Atrodiet lodītes rādiusu, kas, nokrītot vertikāli, izies cauri cilindru veidotajai spraugai.

III. 7. R rādiusa lodītē ir cilindrs ar lielāko aksiālo griezumu laukumā. Kādi ir šī cilindra izmēri?

III. 8. Apsveriet visu veidu cilindrus, kuru aksiālā griezuma diagonāle ir vienāda ar d. Aprēķiniet šādā cilindrā esošās lielākās lodītes rādiusu un mazākās lodītes rādiusu, kurā ir šāds cilindrs.

III. 9. Cilindrā, kura augstums ir vienāds ar pamatnes diametru un vienāds ar d, jāievieto divas identiskas bumbiņas. Kāds ir to lielākais rādiuss?

III. 10. Diviem vienādiem konusiem ir kopīga virsotne. To sānu virsmas krustojas pa diviem ģeneratoriem. Pierādiet, ka plakne, kas iet caur šiem ģeneratoriem, ir perpendikulāra plaknei, kurā atrodas konusu asis.

III.11. Diviem vienādiem konusiem ir paralēlas asis. Vai tiem ir kopīga atskaites plakne caur virsmām, kas tos veido?

III.12. Pierādiet, ka aplis ir krustošanās līnija (ja tāda pastāv):

a) konusa un cilindra sānu virsmas, kuru asis atrodas vienā taisnā līnijā);
b) divu konusu sānu virsmas, kuru asis atrodas vienā taisnā līnijā.

III.13. Sfēras centrs atrodas konusa virsotnē. Lodes rādiuss ir mazāks par konusa sānu virsmas ģeneratoru. Pierādiet, ka sfēra krustojas ar konusa sānu virsmu aplī.

a) Uz reālas sfēras ir uzzīmēts aplis. Kā aprēķināt tā rādiusu?
b) Kā aprēķināt reālas sfēras (lodītes) rādiusu?

Mēs izmantojam datoru

III.15. Jums tiek dota taisne p un segments AB taisnā līnijā, kas ir paralēla taisnei p. Atrodiet taisnē p šādu punktu X, lai leņķis AXB būtu vislielākais.

III.16. Atrodiet mazākā laukuma trīsstūri starp visiem vienādsānu trijstūriem ABC, kas apzīmēti ap konkrētu apli, kas pieskaras maiņstrāvas pamatnei.

III.17. Vai noteiktā taisnē ir punkts, no kura vienādos leņķos ir redzami divi vienādi apļi?

III.18. Iekļaujiet taisnstūri ar lielāko laukumu dotajā aplī.

III.19. Tiek dots aplis ar centru O. Tajā ir uzzīmēts akords AB, kas atšķiras no diametra, un OC rādiuss, perpendikulārs šim akordam. D ir šī rādiusa un šī akorda krustošanās punkts. Punkts X pārvietojas pa lielāku apļveida loku. No tā tiek uzzīmēti divi akordi: XK, kas iet caur punktu D, un XC. Ļaujiet L būt akordu XC un AB krustošanās punktam. Kurš no segmentiem ir garāks: KD vai LC?

III nodaļas kopsavilkums

16.-19.nodaļā ir pierādītas tikai trīs teorēmas:

17. teorēma par bumbas krustošanos ar plakni (16.2. Apakšiedaļa),
18. teorēma par lodes un plaknes pieskārienu (16.3.apakšnodaļa) un
19. teorēma par konusa griezumu (19.1. Apakšiedaļa).

III nodaļā sākas diskusija par svarīgo jautājumu par telpisko figūru simetriju.

20. nodaļā aplūkoti sarežģītāki apļa ģeometrijas jautājumi nekā pamatskolā.

Sfērisks slānis sauc par bumbas daļu, kas atrodas starp divām paralēlām griešanas plaknēm. Sadaļā iegūtie apļi tiek saukti pamatojumu slānis. Tiek saukts attālums starp griešanas plaknēm augstums slānis (42. att.). Sfēriskā slāņa sfēriskās daļas virsmu sauc sfēriska josta .

Sfēriskam slānim ir pareizas šādas formulas:

kur R- bumbas rādiuss;

R 1, R 2- pamatnes rādiusi;

h- augstums;

S 1, S 2- bāzu platība;

S- sfēriskā slāņa sfēriskās daļas laukums (sfēriskās jostas laukums);

S pilns- kopējā virsmas platība;

V Vai sfēriskā slāņa tilpums.

Bumbu sektors

Bumbu sektors sauc par ģeometrisku ķermeni, ko iegūst, rotējot apļveida sektoru (ar mazāku leņķi) ap asi, kas satur vienu no sānu rādiusiem. Tiek saukta arī šāda ķermeņa pievienošana bumbiņai sfēriskais sektors ... Tādējādi sfēriskais sektors sastāv no sfēriska segmenta un konusa vai no sfēriska segmenta bez konusa (43.a, 43.b att.).

Rīsi. 43a. Rīsi. 43.b.

Sfēriskajam sektoram ir pareizas šādas formulas:

kur R- bumbas rādiuss;

r- segmenta pamatnes rādiuss;

h- sfēriskā segmenta augstums;

S- sfēriskā sektora virsmas laukums;

V Vai sfēriskā sektora apjoms.

Risinājums. Izveidosim zīmējumu (44. att.).

Lai aprēķinātu sfēriskās jostas laukumu, jums jāzina sfēras rādiuss un augstums. Lodes rādiuss ir zināms, un mēs atrodam augstumu, zinot, ka rādiuss ir sadalīts trīs vienādās daļās:

Tad apgabals

Atbilde:

2. piemērs. Bumbu šķērso divas paralēlas plaknes, kas ir perpendikulāras diametram un lodītes centra pretējām pusēm. Sfērisko segmentu laukumi ir 42p cm 2 un 70p cm 2. Atrodiet bumbiņas rādiusu, ja attālums starp plaknēm ir 6 cm.

Risinājums. Apsveriet divus sfēriskus segmentus ar apgabaliem: kur R - lodītes rādiuss (sfēra), h, H - segmenta augstumi. Mēs iegūstam vienādojumus: un mums ir divi vienādojumi ar trim nezināmiem. Izveidosim vēl vienu vienādojumu. Bumbas diametrs ir vienāds.Risinot sistēmu, atrodam bumbiņas rādiusu.

Û Þ Û

Atbilstoši problēmas stāvoklim, vērtība

Atbilde: 7 cm.

3. piemērs. Lodes griezums pa plakni, kas ir perpendikulāra tās diametram, sadala diametru proporcijā 1: 2. Cik reizes šķērsgriezuma laukums ir mazāks par lodītes virsmas laukumu?

Risinājums. Izveidosim zīmējumu (45. att.).

Apsveriet bumbiņas diametrālo daļu: AD- diametrs, O- centrs, OE = R- lodītes rādiuss, BE- sekcijas rādiuss, kas ir perpendikulārs lodītes diametram,

Ļaujiet mums izteikties BE pāri R:

No DOBE izteikt BE pāri R:

Bumbas šķērsgriezuma virsmas laukums Mēs iegūstam attiecību. Līdzekļi, S 1 mazāks S 2 4,5 reizes.

Atbilde: 4,5 reizes.

4. piemērs. Lodē, kuras rādiuss ir 13 cm, 4 cm un 12 cm attālumā no centra tiek novilktas divas savstarpēji perpendikulāras sekcijas. Atrodiet viņu kopējā akorda garumu.

Risinājums. Izveidosim zīmējumu (46. att.).

Sadaļas ir perpendikulāras, jo OO 2- attālums un OO 1 - attālums. Tādējādi, un OC- taisnstūra diagonāle OO 2 CO 1 un ir vienāds

1. Līnijas a un b ir paralēlas, un līnijas a un c krustojas. Kāda ir b un c relatīvā pozīcija? (Gatavs)
2. Plakne tiek izvilkta caur trim punktiem, kas atrodas uz trim krustojošām kuba malām. Atrodiet sadaļā iegūtā daudzstūra iekšējo leņķu summu. (Gatavs)
3. Visas piramīdas sānu malas ir 13. Piramīdas pamatnē ierakstītā apļa rādiuss ir 5, un apļa rādiuss ap piramīdas pamatni ir 12. Atrodiet piramīdas augstumu. instruēts
4. Visi divstūraini leņķi četrstūra piramīdas pamatnes malās ir 45. Piramīdas pamatnē ierakstītā apļa rādiuss ir 8, un apļa rādiuss ap piramīdas pamatni ir 52. Atrodiet piramīdas augstums. (izgatavots)
5. Trīsstūrveida piramīdas trīs sānu virsmu plaknes veido 60 leņķi ar tās pamatnes plakni. Piramīdas pamatnē ierakstītā apļa rādiuss ir 8, bet ap pamatni apvilktais apļa rādiuss. piramīdas ir 52. Atrodiet piramīdas augstumu. (Gatavs)
6. Attālums starp divu 4. un 7. rādiusa sfēru centriem ir 2. Aprakstiet šo sfēru kopīgo punktu kopumu. (izgatavots)
7. Abi konusa ģeneratori ir savstarpēji perpendikulāri. Vai konusa slaucīšanas leņķis var būt vienāds ar 252. (darīts)
8. ABCD ir cilindra aksiālā daļa. B un C ir augšējās pamatnes punkti, un A un D ir apakšējās daļas punkti. Punkts K sadala loku AD proporcijā AK: KD = 1: 2. Atrodiet AKC leņķi. (izgatavots)
9. Sekcija, kas iet caur piramīdas sānu malas vidu un ir paralēla pamatnei, sadalīja piramīdu divos ķermeņos, no kuriem viena tilpums ir par 6 m ^ 3 mazāks nekā otra. Atrodiet piramīdas tilpumu. (izgatavots)
10. MABC ir tetraedrs. Cik daudz ir dažādu plakņu, no kurām visas šī tetraedra virsotnes atrodas vienādā attālumā?
11. Ar kādu x vērtību vektora garums ar koordinātām (1-x; 4 + x; x) ir mazākais? (izgatavots)
12. Kādu paralēlskaldņa ABCDA1B1C1D1 tilpuma daļu aizņem tetraedra A1C1BD tilpums? (izgatavots)
13. Vai četrstūra piramīdas divas blakus esošo sānu virsmu plaknes var būt perpendikulāras pamatnes plaknei?
14. Attālums no lodītes diametra galiem līdz plaknei, kas tai pieskaras, ir 3 un 7 cm Atrodiet bumbiņas rādiusu. (izgatavots)

Astotajā dienā es varēju uzzīmēt tikai attēlu un atcerēties, ka leņķis ACB ir vienāds ar leņķi BAC kā šķērsšķērsojums. Tad es nezinu, ko darīt.

13 tie var pēc 3 perpendikulāras teorēmas. Jā?

10., varbūt 4. Es pieņemu, jo tetraedram ir 4 sejas, bet es neredzu loģiku.

Devītajā izrādījās 8.

Tā kā jūs rakstījāt melnu šādi:
Es argumentēju tāpat.
Vienas šādas nogrieztas piramīdas tilpums ir vienāds ar 1/6 no paralēlskaldņa tilpuma (1/3 * puse no pamatnes * tāds pats augstums)
Sl-but, nogrieztās daļas tilpums ir 4/6 = 2/3
Tad piramīdas A1C1BD tilpums ir 1/3 no pāra tilpuma

Es nevaru saprast, kāpēc vispirms jūsu apjomi tiek apzīmēti kā 1/6 un pēc tam kā 1/3