Saīsinātās reizināšanas formulas. Ātra skaitļu kvadrātā bez kalkulatora Ko nozīmē skaitlis kvadrātā
Saīsinātās reizināšanas formulas.
Saīsinātās reizināšanas formulu izpēte: summas kvadrāts un divu izteiksmju starpības kvadrāts; divu izteiksmju kvadrātu atšķirība; divu izteiksmju summas kubs un starpības kubs; divu izteiksmju kubu summas un atšķirības.
Saīsināto reizināšanas formulu pielietojums, risinot piemērus.
Lai vienkāršotu izteiksmes, faktorizētu polinomus un samazinātu polinomus līdz standarta formai, tiek izmantotas saīsinātas reizināšanas formulas. Saīsinātās reizināšanas formulas, kas jāzina no galvas.
Ļaujiet a, b R. Tad:
1. Divu izteiksmju summas kvadrāts ir pirmās izteiksmes kvadrāts plus divkāršs pirmās izteiksmes reizinājums un otrais plus otrās izteiksmes kvadrāts.
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
2. Divu izteiksmju starpības kvadrāts ir pirmās izteiksmes kvadrāts mīnus divreiz pirmās izteiksmes reizinājums un otrais plus otrās izteiksmes kvadrāts.
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
3. Kvadrātu atšķirība divas izteiksmes ir vienādas ar šo izteiksmju un to summas starpības reizinājumu.
a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b)
4. summas kubs no divām izteiksmēm ir vienāds ar pirmās izteiksmes kubu plus trīs reizes pirmās izteiksmes kvadrāts reizināts ar otro plus trīs reizes pirmās izteiksmes reizinājums ar otrās izteiksmes kvadrātu plus otrās izteiksmes kubs.
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
5. atšķirības kubs no divām izteiksmēm ir vienāds ar pirmās izteiksmes kubu, no kura atņemts trīs reizes pirmās izteiksmes kvadrāta reizinājums un otrās plus trīs reizes pirmās izteiksmes reizinājums un otrās izteiksmes kvadrāts mīnus otrās izteiksmes kubs.
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
6. Kubu summa divas izteiksmes ir vienādas ar pirmās un otrās izteiksmes summas reizinājumu ar šo izteiksmju starpības nepilno kvadrātu.
a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)
7. Kubu atšķirība no divām izteiksmēm ir vienāds ar pirmās un otrās izteiksmes starpības reizinājumu ar šo izteiksmju summas nepilno kvadrātu.
a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)
Saīsināto reizināšanas formulu pielietojums, risinot piemērus.
1. piemērs
Aprēķināt
a) Izmantojot formulu divu izteiksmju summas kvadrātam, mēs iegūstam
(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681
b) Izmantojot formulu divu izteiksmju starpības kvadrātā, iegūstam
98 2 \u003d (100 - 2) 2 \u003d 100 2 - 2 100 2 + 2 2 \u003d 10000 - 400 + 4 \u003d 9604
2. piemērs
Aprēķināt
Izmantojot formulu divu izteiksmju kvadrātu starpībai, iegūstam
3. piemērs
Vienkāršojiet izteiksmi
(x - y) 2 + (x + y) 2
Mēs izmantojam formulas summas kvadrātam un divu izteiksmju starpības kvadrātam
(x - y) 2 + (x + y) 2 \u003d x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 \u003d 2x 2 + 2y 2
Saīsinātās reizināšanas formulas vienā tabulā:
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)
Šodien mēs uzzināsim, kā ātri kvadrātveida lielas izteiksmes bez kalkulatora. Ar lielu nozīmi es domāju skaitļus no desmit līdz simtam. Reālās problēmās lielas izteiksmes ir ārkārtīgi reti sastopamas, un jūs jau zināt, kā skaitīt vērtības, kas ir mazākas par desmit, jo šī ir parasta reizināšanas tabula. Šodienas nodarbības materiāls noderēs diezgan pieredzējušiem skolēniem, jo iesācēji vienkārši nenovērtēs šīs tehnikas ātrumu un efektivitāti.
Sākumā sapratīsim kopumā, par ko mēs runājam. Piemēram, es ierosinu izveidot patvaļīgu skaitlisku izteiksmi, kā mēs parasti darām. Teiksim, 34. Mēs to paaugstinām, reizinot ar sevi ar kolonnu:
\[((34)^(2))=\times \frac(34)(\frac(34)(+\frac(136)(\frac(102)(1156))))\]
1156 ir kvadrāts 34.
Šīs metodes problēmu var aprakstīt divos punktos:
1) tam nepieciešama rakstiska reģistrācija;
2) ir ļoti viegli kļūdīties aprēķina procesā.
Šodien mēs iemācīsimies ātri reizināt bez kalkulatora, mutiski un praktiski bez kļūdām.
Tātad sāksim. Lai strādātu, mums ir nepieciešama summas un starpības kvadrāta formula. Pierakstīsim tos:
\[(((a+b))^(2))=((a)^(2))+2ab+((b)^(2))\]
\[(((a-b))^(2))=((a)^(2))-2ab+((b)^(2))\]
Ko tas mums dod? Fakts ir tāds, ka jebkuru vērtību no 10 līdz 100 var attēlot kā skaitli $a$, kas dalās ar 10, un skaitli $b$, kas ir dalījuma ar 10 atlikums.
Piemēram, 28 var attēlot šādi:
\[\begin(līdzināt)& ((28)^(2)) \\& 20+8 \\& 30-2 \\\end(līdzināt)\]
Līdzīgi mēs piedāvājam atlikušos piemērus:
\[\begin(līdzināt)& ((51)^(2)) \\& 50+1 \\& 60-9 \\\end(līdzināt)\]
\[\begin(līdzināt)& ((42)^(2)) \\& 40+2 \\& 50-8 \\\end(līdzināt)\]
\[\begin(līdzināt)& ((77)^(2)) \\& 70+7 \\& 80-3 \\\end(līdzināt)\]
\[\begin(līdzināt)& ((21)^(2)) \\& 20+1 \\& 30-9 \\\end(līdzināt)\]
\[\begin(līdzināt)& ((26)^(2)) \\& 20+6 \\& 30-4 \\\end(līdzināt)\]
\[\begin(līdzināt)& ((39)^(2)) \\& 30+9 \\& 40-1 \\\end(līdzināt)\]
\[\begin(līdzināt)& ((81)^(2)) \\& 80+1 \\& 90-9 \\\end(līdzināt)\]
Kas mums rada šādu priekšstatu? Fakts ir tāds, ka ar summu vai starpību mēs varam piemērot iepriekš minētos aprēķinus. Protams, lai saīsinātu aprēķinus, katram no elementiem jāizvēlas izteiksme ar mazāko otro termiņu. Piemēram, no opcijām $20+8$ un $30-2$, jums vajadzētu izvēlēties opciju $30-2$.
Līdzīgi mēs izvēlamies opcijas citiem piemēriem:
\[\begin(līdzināt)& ((28)^(2)) \\& 30-2 \\\end(līdzināt)\]
\[\begin(līdzināt)& ((51)^(2)) \\& 50+1 \\\end(līdzināt)\]
\[\begin(līdzināt)& ((42)^(2)) \\& 40+2 \\\end(līdzināt)\]
\[\begin(līdzināt)& ((77)^(2)) \\& 80-3 \\\end(līdzināt)\]
\[\begin(līdzināt)& ((21)^(2)) \\& 20+1 \\\end(līdzināt)\]
\[\begin(līdzināt)& ((26)^(2)) \\& 30-4 \\\end(līdzināt)\]
\[\begin(līdzināt)& ((39)^(2)) \\& 40-1 \\\end(līdzināt)\]
\[\begin(līdzināt)& ((81)^(2)) \\& 80+1 \\\end(līdzināt)\]
Kāpēc ātrā reizināšanā jācenšas samazināt otro vārdu? Tas viss ir par sākotnējiem summas un starpības kvadrāta aprēķiniem. Fakts ir tāds, ka, risinot reālas problēmas, visgrūtāk ir aprēķināt plus vai mīnus terminu $2ab$. Un, ja koeficients $a$, reizināts ar 10, vienmēr ir viegli reizināms, tad ar koeficientu $b$, kas ir skaitlis no viena līdz desmit, daudziem studentiem regulāri rodas grūtības.
\[{{28}^{2}}={{(30-2)}^{2}}=200-120+4=784\]
\[{{51}^{2}}={{(50+1)}^{2}}=2500+100+1=2601\]
\[{{42}^{2}}={{(40+2)}^{2}}=1600+160+4=1764\]
\[{{77}^{2}}={{(80-3)}^{2}}=6400-480+9=5929\]
\[{{21}^{2}}={{(20+1)}^{2}}=400+40+1=441\]
\[{{26}^{2}}={{(30-4)}^{2}}=900-240+16=676\]
\[{{39}^{2}}={{(40-1)}^{2}}=1600-80+1=1521\]
\[{{81}^{2}}={{(80+1)}^{2}}=6400+160+1=6561\]
Tātad trīs minūšu laikā mēs veicām astoņu piemēru reizināšanu. Tas ir mazāk nekā 25 sekundes katrai izteiksmei. Patiesībā pēc nelielas prakses jūs saskaitīsit vēl ātrāk. Jebkuras divciparu izteiksmes aprēķināšana prasīs ne vairāk kā piecas vai sešas sekundes.
Bet tas vēl nav viss. Tiem, kam parādītā tehnika nešķiet pietiekami ātra un nav pietiekami forša, iesaku vēl vairāk ātrs ceļš reizināšana, kas tomēr nedarbojas visiem uzdevumiem, bet tikai tiem, kas atšķiras ar vienu no reizinātājiem 10. Mūsu nodarbībā ir četras šādas vērtības: 51, 21, 81 un 39.
Šķiet, ka tas būtu daudz ātrāk, mēs jau tos uzskaitām burtiski pāris rindās. Bet patiesībā ir iespējams paātrināt, un tas tiek darīts šādi. Mēs pierakstām vērtību, desmitkārtīgu, kas ir vistuvāk vēlamajam. Piemēram, ņemsim 51. Tāpēc, lai sāktu, mēs paaugstināsim piecdesmit:
\[{{50}^{2}}=2500\]
Vērtības, kas reizinās ar desmit, ir daudz vieglāk kvadrātā. Un tagad sākotnējā izteiksmē mēs vienkārši pievienojam piecdesmit un 51. Atbilde būs tāda pati:
\[{{51}^{2}}=2500+50+51=2601\]
Un tā ar visiem cipariem, kas atšķiras ar vienu.
Ja meklētā vērtība ir lielāka par to, ko mēs domājam, tad iegūtajam kvadrātam pievienojam skaitļus. Ja vēlamais skaitlis ir mazāks, kā 39 gadījumā, tad, veicot darbību, vērtība ir jāatņem no kvadrāta. Trenēsimies, neizmantojot kalkulatoru:
\[{{21}^{2}}=400+20+21=441\]
\[{{39}^{2}}=1600-40-39=1521\]
\[{{81}^{2}}=6400+80+81=6561\]
Kā redzat, visos gadījumos atbildes ir vienādas. Turklāt šī metode ir piemērojama visām blakus vērtībām. Piemēram:
\[\begin(līdzināt)& ((26)^(2))=625+25+26=676 \\& 26=25+1 \\\end(līdzināt)\]
Tajā pašā laikā mums vispār nav jāatceras summas un starpības kvadrātu aprēķini un jāizmanto kalkulators. Darba ātrums ir neslavējams. Tāpēc atcerieties, praktizējiet un izmantojiet praksē.
Galvenie punkti
Izmantojot šo paņēmienu, jūs varat viegli reizināt jebkuru naturālie skaitļi svārstās no 10 līdz 100. Turklāt visi aprēķini tiek veikti mutiski, bez kalkulatora un pat bez papīra!
Pirmkārt, atcerieties vērtību kvadrātus, kas reizinās ar 10:
\[\begin(align)& ((10)^(2))=100,((20)^(2))=400,((30)^(2))=900,..., \\ & ((80)^(2))=6400,((90)^(2))=8100. \\\beigas(līdzināt)\]
\[\begin(align)& ((34)^(2))=(((30+4))^(2))=((30)^(2))+2\cdot 30\cdot 4+ ((4)^(2))= \\& =900+240+16=1156; \\\beigas(līdzināt)\]
\[\begin(align)& ((27)^(2))=(((30-3))^(2))=((30)^(2))-2\cdot 30\cdot 3+ ((3)^(2))= \\& =900-180+9=729. \\\beigas(līdzināt)\]
Kā skaitīt vēl ātrāk
Bet tas vēl nav viss! Izmantojot šīs izteiksmes, jūs varat uzreiz izveidot kvadrātā tos skaitļus, kas atrodas “blakus” atsauces skaitļiem. Piemēram, mēs zinām 152 (atsauces vērtība), bet mums ir jāatrod 142 (blakus esošais skaitlis, kas ir par vienu mazāks par atsauci). Rakstīsim:
\[\begin(align)& ((14)^(2))=((15)^(2))-14-15= \\& =225-29=196. \\\beigas(līdzināt)\]
Lūdzu, ņemiet vērā: nekādas mistikas! Skaitļu kvadrāti, kas atšķiras ar 1, patiešām tiek iegūti, reizinot atsauces skaitļus ar sevi, atņemot vai saskaitot divas vērtības:
\[\begin(līdzināt)& ((31)^(2))=((30)^(2))+30+31= \\& =900+61=961. \\\beigas(līdzināt)\]
Kāpēc tā notiek? Pierakstīsim summas (un starpības) kvadrāta formulu. Lai $n$ ir mūsu atsauces vērtība. Tad viņi tiek skaitīti šādi:
\[\begin(align)& (((n-1))^(2))=(n-1)(n-1)= \\& =(n-1)\cpunkts n-(n-1) )= \\& ==((n)^(2))-n-(n-1) \\\end(līdzināt)\]
- šī ir formula.
\[\begin(līdzināt)& (((n+1))^(2))=(n+1)(n+1)= \\& =(n+1)\cpunkts n+(n+1) = \\& =((n)^(2))+n+(n+1) \\\end(līdzināt)\]
- līdzīga formula skaitļiem, kas lielāki par 1.
Es ceru, ka šis paņēmiens ietaupīs jūsu laiku visos svarīgajos matemātikas kontroldarbos un eksāmenos. Un tas man ir viss. Uz redzēšanos!
Skaitļa kvadrāts ir matemātiskas darbības rezultāts, kas palielina šo skaitli līdz otrajai pakāpei, tas ir, tas reizina šo skaitli ar sevi vienu reizi. Ierasts šādu darbību apzīmēt šādi: Z2, kur Z ir mūsu skaitlis, 2 ir "kvadrāta" pakāpe. Mūsu raksts jums pateiks, kā aprēķināt skaitļa kvadrātu.
Aprēķiniet kvadrātu
Ja skaitlis ir vienkāršs un mazs, tad to ir viegli izdarīt vai nu prātā, vai izmantojot mums visiem labi zināmo reizināšanas tabulu. Piemēram:
42 = 4x4 = 16; 72 = 7x7 = 49; 92 = 9x9 = 81.
Ja cipars ir liels vai "milzīgs", tad var izmantot vai nu to kvadrātu tabulu, ko visi mācījās skolā, vai arī kalkulatoru. Piemēram:
122 = 12x12 = 144; 172 = 17x17 = 289; 1392 = 139x139 = 19321.
Turklāt, lai iegūtu vēlamo rezultātu diviem iepriekš minētajiem piemēriem, varat reizināt šos skaitļus kolonnā.
Lai iegūtu jebkuras daļskaitļa kvadrātu, jums ir:
- Pārvērst daļskaitli (ja tai ir vesela skaitļa daļa vai ja tā ir decimāldaļa) par nepareizu daļu. Ja daļskaitlis ir pareizs, tad nekas nav jātulko.
- Reiziniet saucēju ar saucēju un skaitītāju ar daļskaitļa skaitītāju.
Piemēram:
(3/2)2 = (3/2)x(3/2) = (3x3)/(2x2) = 9/4; (5/7)2 = (5/7)x(5/7) = (5x5)/(7x7) = 25/49; (14/17) 2 \u003d (14x14) / (17x17) \u003d 196/289.
Jebkurā no šīm opcijām vienkāršākais veids ir izmantot kalkulatoru. Šim nolūkam jums ir nepieciešams:
- Ievadiet ciparu uz tastatūras
- Noklikšķiniet uz pogas ar reizināšanas zīmi
- Nospiediet pogu ar "vienādības" zīmi
Tāpat vienmēr varat izmantot meklētājprogrammas internetā, piemēram, Google. Lai to izdarītu, jums vienkārši jāievada atbilstošais vaicājums meklētājprogrammas laukā un jāsaņem gatavs rezultāts.
Piemēram: lai aprēķinātu skaitļa 9,17 kvadrātu, meklētājprogrammā jāievada 9,17 * 9,17 vai 9,17 ^ 2 vai "9,17 kvadrātā". Jebkurā no šīm opcijām meklētājprogramma sniegs pareizo rezultātu - 84.0889.
Tagad jūs zināt, kā aprēķināt jebkura jūs interesējošā skaitļa kvadrātu, neatkarīgi no tā, vai tas ir vesels skaitlis vai daļskaitlis, liels vai mazs!
