Geometrijos testų rinkinys tema „Revoliucijos kūnai“ (11 klasė). Sferinis sluoksnis ir sferinis dalijimosi diržas nubrėžti dviem tarpusavyje statmenomis dalimis

GBOU SPO PT 13 pavadintas P. A. Ovčinnikovo vardu

Testai tema „Revoliucijos kietosios medžiagos“

matematikos mokytoja Makeeva Elena Sergeevna

T E S T 1

1 variantas

A1 ... Tiesio apskrito cilindro šoninis paviršiaus plotas yra 12π, o cilindro aukštis - 3. Raskite bendrą cilindro paviršiaus plotą.

¤ 1) 24π ¤ 2) 16π ¤ 3) 22π ¤ 4) 20π

A2 ... Cilindro ašinis skerspjūvio plotas yra 10 cm 2 , pagrindo plotas yra 5 cm 2

¤ 1) ¤ 2) ¤ 3) ¤ 4)
A3 ... Per cilindro generatūrą brėžiamos dvi sekcijos, iš kurių viena yra ašinė, jos plotas lygusS... Kampas tarp pjūvio plokštumų yra 30 O

¤ 1) ¤ 2) S ¤ 3) ¤ 4)

B 1. AB segmento galai yra ant cilindro pagrindo apskritimų. Pagrindo spindulys yra 10 cm, atstumas tarp linijos AB ir cilindro ašies yra 8 cm, AB = 13 cm Nustatykite cilindro aukštį.

Atsakymas:

2 ... Cilindro aukštis yrah, pagrindo spindulys -r... Šiame cilindre įstrižai į ašį įbrėžtas kvadratas, kad visos jo viršūnės būtų pagrindų apskritimuose. Raskite aikštės kraštą.

Atsakymas :________________________________________________________________________

C1 ... Cilindro šoninio paviršiaus šlifavimo įstrižainė sudaro kampą β su šlavimo pagrindo šonu. Apskaičiuokite kampą tarp cilindro ašinio pjūvio įstrižainės ir pagrindo plokštumos.

Atsakymas: ________________________________________________________________________

T E S T 1

Cilindras. Cilindro paviršiaus plotas.

2 variantas

A1. Tiesio apskrito cilindro šoninio paviršiaus plotas yra 20π, o cilindro aukštis - 5. Raskite bendrą cilindro paviršiaus plotą.

¤ 1) 24π ¤ 2) 32π ¤ 3) 28π ¤ 4) 36π

A2 ... Ašies cilindro skerspjūvis yra 16 cm 2 , pagrindo plotas 8 cm 2 ... Apskaičiuokite cilindro aukštį ir šoninį paviršiaus plotą.

¤ 1) ¤ 2) ¤ 3) ¤ 4) A3. Per cilindro generatūrą brėžiamos dvi sekcijos, iš kurių viena yra ašinė, jos plotas lygusS... Kampas tarp pjūvio plokštumų yra 45 O ... Raskite antrojo skyriaus sritį.

¤ 1) ¤ 2) ¤ 3) ¤ 4) S

B 1. AB segmento galai yra ant cilindro pagrindo apskritimų. Pagrindo spindulys 5 cm, cilindro aukštis 6 cm, AB = 10 cm Nustatykite atstumą tarp AB linijos ir cilindro ašies.

Atsakymas: ________________________________________________________________________

2 ... Cilindro pagrindo spindulys yrar... Kvadratas su šonuakad visos jo viršūnės būtų bazių apskritimuose. Raskite cilindro aukštį.

Atsakymas: ________________________________________________________________________

C1 ... Kampas tarp cilindro ašinio pjūvio įstrižainės ir jo pagrindo plokštumos yra β. Apskaičiuokite kampą tarp jo šoninio paviršiaus šlavimo įstrižainės ir šlavimo pagrindo šono.

Atsakymas: ________________________________________________________________________

T E S T 2

Tiesus apskritas kūgis

1 variantas

A1 ... Raskite tiesio apskrito kūgio aukštį, jei jo ašinis pjūvis yra 6 cm 2 , o pagrindo plotas - 8 cm 2 .

¤ 1) 3 2) 3 ¤ 3) 6 ¤ 4) 4

A2. Nustatykite kampą kūgio ašinio pjūvio viršūnėje, jei jo šoninio paviršiaus šlifavimas yra sektorius, kurio lankas lygus 90 o

¤ 1) 60 o ¤ 2) 2 arcin ¤ 3) 2 arcin ¤ 4) 30 o

A3. Sutrumpinto kūgio pagrindų perimetras yra 4π ir 10π. Kūgio aukštis yra 4. Raskite šlaunies paviršiaus plotą.

¤ 1) 64 π ¤ 2) 68 π ¤ 3) 52 π ¤ 1) 74 π

B 1. Kūgio aukštis yra lygus spinduliuiRjos pamatai. Per kūgio viršūnę ištraukiama plokštuma, nukirpusi 60 lanką o

Atsakymas:

2. Kūgio generatrija yra 13 cm, aukštis - 12 cm.Šį kūgį kerta tiesė, lygiagreti pagrindui. Jo atstumas nuo pagrindo yra 6 cm, o nuo aukščio - 2 cm. Raskite šios tiesios atkarpos ilgį, uždarytą kūgio viduje.

Atsakymas: ________________________________________________________________________________

C1 ... Sutrumpinto kūgio generatrija yraLir padaro kampą α su pagrindine plokštuma. Jo ašinio pjūvio įstrižainė yra statmena generacijai. Raskite kūgio šoninio paviršiaus plotą.

Atsakymas: ________________________________________________________________________________

T E S T 2

Tiesus apskritas kūgis

2 variantas

A1 ... Raskite tiesio apskrito kūgio aukštį, jei jo ašinis pjūvis yra 8 cm 2 , o pagrindo plotas - 12 cm 2 .

1) 4 ¤ 2) 4 ¤ 3) 6 ¤ 4) 6

A2 ... Nustatykite kampą kūgio ašinio pjūvio viršūnėje, jei jo šoninio paviršiaus šlifavimas yra sektorius, kurio lankas lygus 120 o

¤ 1) 90 o ¤ 2) 2 arcin ¤ 3) 2 arcin ¤ 4) 60 o

A3 ... Sutrumpinto kūgio pagrindų perimetras yra 4π ir 28π. Kūgio aukštis yra 5. Raskite šlaunies paviršiaus plotą.

¤ 1) 420 π ¤ 2) 412 π ¤ 3) 416 π ¤ 1) 408 π

B 1. Kūgio aukštis yra lygus spinduliuiRjos pamatai. Per kūgio viršūnę nubrėžta plokštuma, nukirsdama 90 lanką o ... Nustatykite skerspjūvio plotą.

Atsakymas: ________________________________________________________________________________

2. Kūgio generatrica yra 17 cm, aukštis - 8 cm.Šį kūgį kerta tiesė, lygiagreti pagrindui. Jo atstumas nuo pagrindo yra 4 cm, o aukštis - 6 cm. Raskite šios tiesios atkarpos ilgį, uždarytą kūgio viduje.

Atsakymas: ________________________________________________________________________________

C1 ... Sutrumpinto kūgio generatrica sudaro kampą α su apatinės bazės plokštuma. Jo ašinio pjūvio įstrižainė yra statmena kūgio generatai. Apskritimų ilgių suma yra 2 πm. Raskite kūgio šoninio paviršiaus plotą.

Atsakymas: ________________________________________________________________________________

T E S T 3

1 variantas

A1 ... Taškai A ir B yra spindulio srityjeR... Raskite atstumą nuo rutulio centro iki tiesės AB, jei AB = m.

¤ 1) ¤ 2) ¤ 3) ¤ 4)

A2. Raskite centro C ir spindulio koordinatesRsferą, kurią suteikia lygtis

¤ 1) C (-3; 2; 0), R = ¤ 2) C (3; -2; 0), R = 5 ¤ 3) C (-3; 2; 0), R = 5 ¤ 4) C (3; -2; 0), R =

A3. Parašykite sferos, esančios taške C (4; -1; 3), einančios per tašką A (-2; 3; 1), lygtį

¤ 1) ¤ 2)

¤ 3) ¤ 4)

B 1 ... Stačiojo trikampio su 25 ir 5 kojelėmis viršūnėsgulėti ant sferos. Raskite rutulio spindulį, jei atstumas nuo centro iki trikampio plokštumos yra 8.

Atsakymas: ________________________________________________________________________________

B 2 alygtis

nurodo sferą.

Atsakymas: ________________________________________________________________________________

C1. Dvi tarpusavyje statmenos rutulio sekcijos turi bendrą akordo ilgį 12. Yra žinoma, kad šių sekcijų plotai yra 100π ir 64π ... Raskite rutulio spindulį.

Atsakymas: ________________________________________________________________________________

T E S T 3

Sfera ir kamuolys. Sferos lygtis.

2 variantas

A1. Taškai A ir B yra spindulio srityjeR... Atstumas nuo rutulio centro iki tiesės AB lygusa... Raskite tiesės atkarpos AB ilgį.

¤ 1) ¤ 2) ¤ 3) ¤ 4)

A2 ... Raskite centro C ir spindulio koordinatesRsferą, kurią suteikia lygtis

¤ 1) C (-4; 0; 3), R = ¤ 2) C (4; 0; -3), R = 7 ¤ 3) C (-4; 0; 3), R = 7 ¤ 4) C (4; 0; -3), R =

A3. Parašykite sferos, esančios taške C (-3; 1; -2), einančios per tašką A (3; 4; -1), lygtį

¤ 1) ¤ 2)

¤ 3) ¤ 4)

B 1 ... Stačiakampio trikampio viršūnės su kojelėmis 15 ir gulėti ant sferos. Raskite rutulio spindulį, jei atstumas nuo centro iki trikampio plokštumos yra 5.

Atsakymas: ________________________________________________________________________________

B 2 ... Nustatykite, kokiomis parametro reikšmėmisalygtis

nurodo sferą.

Atsakymas: ________________________________________________________________________________

C1. Dvi tarpusavyje statmenos rutulio sekcijos turi bendrą akordo ilgį 12. Yra žinoma, kad šių sekcijų plotai yra 256π ir 100π ... Raskite rutulio spindulį.

Atsakymas: ________________________________________________________________________________

T E S T 4

1 variantas

A1. Sferos ir 8 plokštumos nuo centro susikirtimo linijos ilgis yra 12 π. Raskite rutulio paviršiaus plotą.

¤ 1) 396 π ¤ 2) 400 π ¤ 3) 408 π ¤ 4) 362π

A2. Spindulio sferaRpaliečia dvikampo kampo veidus, kurių vertė yraα ... Nustatykite atstumą nuo sferos centro iki dviaukščio krašto.

¤ 1) ¤ 2) Rtg ¤ 3) ¤ 4) Rkt

A3. Raskite rutulio akordo ilgį , priklausantis abscisės ašiai.

¤ 1) 2 ¤ 2) 4 ¤ 3) 8 ¤ 4) 2

1. Rutulio skerspjūvis dviem lygiagrečiomis plokštumomis, tarp kurių yra rutulio centras, yra 144 plotoπ ir 25π ... Apskaičiuokite rutulio paviršiaus plotą, jei atstumas tarp lygiagrečių plokštumų yra 17.

Atsakymas

C1.

Atsakymas: ________________________________________________________________________________

T E S T 4

Sferos ir plokštumos, rutulio ir tiesios linijos tarpusavio išdėstymas.

2 variantas

A1. Rutulio sekcija15 plokštumos atstumas nuo centro yra 64 π. Raskite rutulio paviršiaus plotą.

¤ 1) 1156 π ¤ 2) 1024 π ¤ 3) 1172 π ¤ 4) 1096π

A2. Sfera liečia dvikampo kampo veidus, kurių vertė yraα ... Atstumas nuo sferos centro iki dvikamario krašto yral... Nustatykite rutulio spindulį.

¤ 1) l tg ¤ 2) l nuodėmė ¤ 3) l cos ¤ 4) l ctg

A3. Raskite rutulio akordo ilgį , priklausanti ordinačių ašiai.

¤ 1) 2 ¤ 2) 10 ¤ 3) 4 ¤ 4) 2

1. Rutulio skerspjūvis dviem lygiagrečiomis plokštumomis, esančiomis vienoje rutulio centro pusėje, yra 576 plotoπ ir 100π ... Apskaičiuokite rutulio paviršiaus plotą, jei atstumas tarp lygiagrečių plokštumų yra 14.

Atsakymas: ________________________________________________________________________________

2. Parašykite plokštumos lygtį, kurioje sferų bendrieji taškai pateikti pagal lygtis

Atsakymas: ________________________________________________________________________________

C1. Raskite lygties pateiktos tiesios linijos susikirtimo taškų koordinates ir sferą, kurią suteikia lygtis

Atsakymas: ________________________________________________________________________________

T E S T 5

Sukimosi formų deriniai.

1 variantas

A1. Aplink hipotenziją sukasi stačiakampis trikampis, kurio kojos lygios 5 cm ir 12 cm. Apskaičiuokite gauto sukimosi kūno paviršiaus plotą.

¤ 1) cm 2 ¤ 2) 82π cm 2 ¤ 3) cm 2 ¤ 4) 78π cm 2

A2. Į cilindrą įrašytas rutulys. Raskite viso cilindro paviršiaus ir rutulio paviršiaus santykį.

¤ 1) 3: 2 ¤ 2) 2: 1 ¤ 3) 4: 3 ¤ 4) 5: 2

A3. r, aukštis -H

¤ 1) ¤ 2) ¤ 3) π ( ¤ 4)

B 1 ... Į kūgį įbrėžtas cilindras, kurio aukštis lygus kūgio pagrindo spinduliui. Raskite kampą tarp kūgio ašies ir jo generatoriaus, jei visas cilindro paviršiaus plotas atitinka kūgio pagrindo plotą kaip 3: 2, o cilindro ašis sutampa su ašies ašimi. kūgis.

Atsakymas: ________________________________________________________________________________

C1 ... Lėktuve guli trys vienodi spindulio rutuliaiRliesdami vienas kitą. Ketvirtas to paties spindulio kamuolys dedamas ant rutulių suformuotos skylės. Raskite atstumą nuo ketvirtojo rutulio viršaus iki plokštumos.

Atsakymas :________________________________________________________________________________

T E S T 5

Sukimosi formų deriniai.

2 variantas

A1. Aplink hipotenziją sukasi stačiakampis trikampis, kurio kojos lygios 8 cm ir 15 cm. Apskaičiuokite gauto sukimosi kūno paviršiaus plotą.

¤ 1) 162π cm 2 ¤ 2) cm 2 ¤ 3) 164π cm 2 ¤ 4) cm 2

A2. Į cilindrą įrašytas rutulys. Raskite cilindro šoninio paviršiaus ir rutulio paviršiaus ploto santykį.

¤ 1) 2: 1 ¤ 2) 3: 2 ¤ 3) 1: 1 ¤ 4) 2: 3

A3. Į rutulį įrašytas kūgis, kurio pagrindo spindulys yrar, aukštis -L... Nustatykite rutulio paviršiaus plotą.

¤ 1) π ( ¤ 2) ¤ 3) πr ¤ 4) πL

B 1 ... Į kūgį įbrėžtas cilindras, kurio aukštis lygus kūgio pagrindo spinduliui. Raskite kampą tarp kūgio ašies ir jo generatoriaus, jei visas cilindro paviršiaus plotas yra susijęs su kūgio pagrindo plotu kaip 8: 9, o cilindro ašis sutampa su ašies ašimi. kūgis.

Atsakymas: ________________________________________________________________________________

C1 ... Lėktuve guli keturi vienodi spindulio rutuliaiRkad kiekvienas rutuliukas liestų du gretimus. Penktasis to paties spindulio kamuolys dedamas ant rutulių suformuotos skylės. Raskite atstumą nuo penktojo rutulio viršaus iki plokštumos.

Atsakymas :________________________________________________________________________________

T E S T 6

1 variantas

A1. Cilindras įrašytas į taisyklingą trikampę prizmę. Raskite jo paviršiaus plotą, jei prizmės pagrindo kraštinė yra 2o aukštis 3.

¤ 1) 6π ¤ 2) 8π ¤ 3) 10π ¤ 4) 5π

A2. Aplink įprastą trikampę piramidę aprašytas kūgis. Apskaičiuokite kūgio šoninio paviršiaus plotą, jei piramidės pagrindo kraštinė yraa, šoniniai šonkauliai yra linkę prie pagrindo 30 kampu o .

¤ 1) ¤ 2) ¤ 3) 4)

A3. Sfera įrašyta į taisyklingą keturkampę prizmę. Raskite viso prizmės paviršiaus ir sferos ploto santykį.

¤ 1) ¤ 2) ¤ 3) ¤ 4)

1. airb... Raskite piramidės šoninio paviršiaus plotą.

Atsakymas: ________________________________________________________________________________

2. Į kubą, kurio kraštas lygusa, kamuolys užrašytas. Apskaičiuokite rutulio, liečiančio duotąjį rutulį, spindulį ir tris kubo kraštines, turinčias bendrą viršūnę.

Atsakymas: ________________________________________________________________________________

C1. Ašinis kūgio pjūvis yra lygiakraštis trikampis. Į šį kūgį įrašyta taisyklinga trikampė piramidė. Raskite piramidės ir kūgio šoninių paviršių plotų santykį.

Atsakymas: ________________________________________________________________________________

T E S T 6

Daugiakampių ir revoliucinių kūnų deriniai.

2 variantas

A1. Cilindras aprašytas aplink taisyklingą trikampę prizmę. Raskite jo paviršiaus plotą, jei prizmės aukštis yra 4, o prizmės pagrindo aukštis - 6.

¤ 1) 64π ¤ 2) 56π ¤ 3) 68π ¤ 4) 60π

A2. Taisyklingoje trikampėje piramidėje pagrindo kraštas yraa, šoniniai paviršiai yra pasvirę į pagrindo plokštumą 45 kampu o ... Apskaičiuokite piramidėje įrašyto kūgio šoninio paviršiaus plotą.

¤ 1) ¤ 2) ¤ 3) 4)

A3. Aplink kubą aprašyta sfera. Raskite rutulio ploto santykį su bendru kubo paviršiaus plotu.

¤ 1) ¤ 2) ¤ 3) ¤ 4)

1. Prie rutulio aprašyta taisyklingoji trikampė sutrumpinta piramidė, kurios pagrindų kraštinės lygiosairb... Raskite rutulio paviršiaus plotą.

Atsakymas: ________________________________________________________________________________

2. Į kubą įrašytas rutulys. Rutulio spindulys, liečiantis duotąjį rutulį, ir trys kubo paviršiai, turintys bendrą viršūnę, yra lygūsR... Apskaičiuokite kubo krašto ilgį.

Atsakymas: ________________________________________________________________________________

C1. Ašinis kūgio pjūvis yra lygiakraštis trikampis. Į šį kūgį įrašyta taisyklingoji keturkampė piramidė. Raskite piramidės ir kūgio šoninių paviršių plotų santykį.

Atsakymas: ________________________________________________________________________________

T E S T 7

1 variantas

A1. Stačiakampis, kurio kraštinės lygios 10 cm ir 12 cm, sukasi aplink didesnę pusę. Raskite bendrą sukamo kūno paviršiaus plotą.

¤ 1) 460π cm 2 ¤ 2) 420π cm 2 ¤ 3) 440 π cm 2 ¤ 4) 400π cm 2

A2 a... Apskaičiuokite skerspjūvio plotą, einantį per dvi kūgio generacijas, kurių kampas yra 60 o .

¤ 1) a 2 ¤ 2) a 2 ¤ 3) a 2 ¤ 4) a 2

A3 ... Nustatykite bendrą nupjauto kūgio paviršiaus plotą, jei jo pagrindo spinduliai yra 6 cm ir 10 cm, aukštis - 3 cm.

¤ 1)212π cm 2 ¤ 2)224π cm 2 ¤ 3)220π cm 2 ¤ 4)216π cm 2

A4. + + +6 x-8 y+2 z-7=0

¤ 1) 132 π ¤ 2) 136 π ¤ 3) 140 π ¤ 4) 128 π

A5. Trikampio kraštinės liečia rutulį, kurio spindulys yra 5 cm.Nustatykite atstumą nuo rutulio centro iki trikampio plokštumos, jei jo kraštinės yra 15 cm, 15 cm ir 24 cm.

A6. Į kūgį su kampu ružrašyta spindulio sferaR... Raskite vertęrjei žinomaRir .

¤ 1) R tg ( - ¤ 2) R tg ( + ¤ 3) R tg ¤ 4) R ctg

1 . Per cilindro generatūrą nubrėžtos dvi viena kitai statmenos plokštumos. Gautų sekcijų plotai yra lygūs cm 2 ir

Atsakymas: _______________________________________________________________________________

2. Lygiašonis trikampis sukasi aplink savo simetrijos ašį. Raskite šio trikampio kraštines, jei jo perimetras yra 30 cm, o bendras sukimosi kūno paviršiaus plotas yra 60

Atsakymas: ________________________________________________________________________________

3 ... Spindulio sferaRliečia visus taisyklingos trikampės prizmės kraštus. Raskite prizmės šoninio krašto ilgį ir atstumą nuo rutulio centro iki šoninių paviršių plokštumų.

Atsakymas: ________________________________________________________________________________

C1 DD: DB= 1: 2: 3. Nustatykite skerspjūvio spindulių (mažesnio ir didesnio) santykį, jei tiesi linija, kurioje yra nurodytas skersmuo, sudaro kampą su plokštumomis .

Atsakymas: ________________________________________________________________________________

C2. Sfera liečia visus taisyklingos keturkampės piramidės kraštus. Raskite tokios sferos spindulį, jei visi piramidės kraštai yra 18 cm.

Atsakymas: ________________________________________________________________________________

T E S T 7

Temos „Cilindras, kūgis, rutulys“ apibendrinimas.

2 variantas

A1. Stačiakampis, kurio kraštinės lygios 8 cm ir 10 cm, sukasi aplink mažesnę pusę. Raskite bendrą sukamo kūno paviršiaus plotą.

¤ 1) 360π cm 2 ¤ 2) 354π cm 2 ¤ 3) 368 π cm 2 ¤ 4) 376π cm 2

A2 ... Ašinis kūgio pjūvis yra stačiakampis trikampis, kurio hipotenzija lygia... Apskaičiuokite skerspjūvio plotą, einantį per dvi kūgio generacijas, kurių kampas yra 45 o .

¤ 1) a 2 ¤ 2) a 2 ¤ 3) a 2 ¤ 4) a 2

A3 ... Nustatykite bendrą sutrumpinto kūgio paviršiaus plotą, jei jo pagrindo spinduliai yra 5 cm ir 8 cm, aukštis - 4 cm.

¤ 1)150π cm 2 ¤ 2)154π cm 2 ¤ 3)158π cm 2 ¤ 4)146π cm 2

A4. Raskite sferos paviršiaus plotą, pateiktą lygtimi + + -4 x+2 y+6 z-4=0

¤ 1) 68 π ¤ 2) 80 π ¤ 3) 76 π ¤ 4) 72 π

A5. Trikampio kraštinės liečia rutulį, kurio spindulys yra 5 cm, nustatykite atstumą nuo rutulio centro iki trikampio plokštumos, jei jo kraštinės yra 10 cm, 10 cm ir 12 cm.

¤ 1) 1 cm ¤ 2) 2 cm ¤ 3) 3 cm ¤ 4) 4 cm

A6. Į kūgį su kampu ašinės sekcijos viršuje ir pagrindo spindulyjeružrašyta spindulio sferaR... Raskite vertęRjei žinoma

Atsakymas: ________________________________________________________________________________

3 ... Spindulio sferaRliečia visus taisyklingos trikampės prizmės kraštus. Raskite prizmės pagrindo krašto ilgį ir atstumą nuo rutulio centro iki prizmės pagrindų plokštumų.

Atsakymas: ________________________________________________________________________________

C1 ... Dvi lygiagrečios plokštumos kerta rutulio AB skersmenį taškuose C irDdalijant jį AC atžvilgiu: CD: DB= 1: 3: 4. Nustatykite skerspjūvio spindulių (mažesnio ir didesnio) santykį, jei tiesi linija, kurioje yra nurodytas skersmuo, sudaro kampą su plokštumomis .

Atsakymas: ________________________________________________________________________________

C2. Sfera liečia visus taisyklingos keturkampės piramidės kraštus. Raskite tokios sferos spindulį, jei visi piramidės kraštai yra 22 cm.

Atsakymas: ________________________________________________________________________________

676π

4x-6y + 2z + 7 = 0

(-4 ;5;2), (; )

2704π

3x-4y + 8z-12 = 0

(3;0;7), (1;2;3)

(2+ ) R.

2(2+ ) R.

12 cm, 9 cm, 9 cm

11 cm

3.1. Kūgio pagrindo spindulys yra R, generatorius yra pasviręs į pagrindo plokštumą kampu  ... Kūgyje per viršūnę kampu  į jo aukštį nubrėžta plokštuma. Raskite gauto skyriaus plotą.

3.2. Nupjauto kūgio pagrindo plotas yra 81  cm 2 ir 225  cm 2, generatrija susijusi su aukščiu kaip 5: 4. Raskite ašinio pjūvio plotą.

3.3. Sutrumpinto kūgio ašinio pjūvio įstrižainės yra tarpusavyje statmenos. Ašinis skerspjūvio plotas yra 324 cm 2. Raskite kūgio pagrindų plotus, žinodami, kad vieno pagrindo spindulys yra 2 cm didesnis už kitą.

3.4. Duota trapecija ABCD, kuriame REKLAMA= 15 cm, Kr= 9 cm, AB = CD= 5 cm Trapecija sukasi aplink ašį, einančią per viršūnę A ir statmenai REKLAMA... Raskite gauto revoliucijos kūno paviršiaus plotą.

3.5. Tiesi linija nukirsta nuo stačiakampio trikampio, kurio kampas tarp 60, šonų, kurių ilgiai sudaro ketvirtadalį hipotenuzės ilgio, skaičiuojant nuo šio kampo viršūnės. Raskite trikampio ploto ir kūno paviršiaus ploto santykį, gautą sukant šį trikampį aplink tiesią liniją.

3.6. Kūgis guli ant plokštumos ir rieda išilgai jo, sukdamasis aplink savo fiksuotą viršūnę. Kūgio aukštis yra h generuojantis - b... Raskite paviršiaus plotą, kurį apibūdina kūgio aukštis.

3.7. Abu kūgiai turi bendrą pagrindą. Bendrame ašiniame pjūvyje vieno iš kūgių generatrica yra statmena kitos priešingai generatai. Vieno jų tūris yra pusė kito tūrio. Raskite kampą tarp didesnio kūgio generatrikos ir kūgių pagrindų plokštumos.

3.8. Trikampis ABC, kuris AB= 13 cm, Saulė= 20 cm, AS= 21 cm, sukasi aplink ašį, einančią per viršūnę A statmenas AS... Raskite gauto revoliucijos kūno tūrį.

3.9. Lygiagretainis sukasi aplink ašį, einančią per smailiojo kampo viršūnę, statmeną didesnei įstrižainei. Raskite sukimosi kūno tūrį, jei lygiagretainio kraštinės ir didžioji jo įstrižainės kraštinės yra atitinkamai 15 cm, 37 cm ir 44 cm.

3.10. Sutrumpintas kūgio generatas yra lygus l, pasviręs į pagrindo plokštumą kampu . Kūgio pagrindų plotų santykis yra 4. Raskite sutrumpinto kūgio tūrį.

12.6. Kamuolys

Kamuolys ir sfera

Sfera vadinamas visų erdvės taškų rinkiniu, esančiu vienodu atstumu nuo duoto taško.

Šis punktas vadinamas centre sferos. Vadinamas segmentas, jungiantis rutulio centrą su bet kuriuo jo tašku spinduliu sferos. Chordoi vadinamas segmentas, jungiantis du rutulio taškus. Skersmuo vadinamas akordu, einančiu per rutulio centrą (12.40 pav.).

Kamuolys vadinamas geometriniu kūnu, ribojamu rutulio. Atitinkamai įvardijamas rutulio centras, spindulys, styga ir skersmuo centre ,spinduliu ,akordas ir skersmens kamuolys (12.40 pav.).

Į rutulį galima žiūrėti kaip į kūną, gautą sukant puslankį aplink ašį, kurioje yra puslankio skersmuo.

Sfera taip pat vadinama rutulio paviršiumi.

Plokštuma, turinti vieną bendrą tašką su sfera, vadinama liestine lėktuvas į sferą (rutulį). Bendras taškas vadinamas sąlyčio taškas sfera (rutulys) ir plokštuma.

Teorema ... Kad plokštuma būtų liestinė su rutuliu (rutuliu), būtina ir pakanka, kad ši plokštuma būtų statmena rutulio (rutulio) spinduliui, nubrėžtam iki lietimosi taško.

Kamuolio formulės yra teisingos:

kur S- sferos paviršiaus plotas (sferos plotas); R- rutulio spindulys; V Ar sferos tūris.

Rutulinis segmentas ir sferinis segmentas

Kamuolio segmentas vadinama rutulio dalimi, nuo jos nupjauta lėktuvu. Skiltyje gautas apskritimas vadinamas pagrindu segmentas. Segmentas, jungiantis segmento pagrindo centrą su rutulio paviršiaus tašku, statmenu pagrindui, vadinamas aukščio sferinis segmentas (12.41 pav.). Sferinio segmento sferinės dalies paviršius vadinamas sferinis segmentas .

Sferiniam segmentui teisingos šios formulės:

kur S- sferinio segmento sferinės dalies plotas (sferinio segmento plotas); R- rutulio spindulys; h- segmento aukštis; S pilnas Ar bendras sferinio segmento paviršiaus plotas; r- sferinio segmento pagrindo spindulys; V Ar sferinio segmento tūris.

Rutulinis sluoksnis ir sferinis diržas

Sferinis sluoksnis vadinama rutulio dalimi, uždaryta tarp dviejų lygiagrečių pjovimo plokštumų. Skiltyje gauti apskritimai vadinami pagrindus sluoksnis. Atstumas tarp pjovimo plokštumų vadinamas aukščio sluoksnis (12.42 pav.). Sferinio sluoksnio sferinės dalies paviršius vadinamas sferinis diržas .

Rutulys, sferinis segmentas ir sferinis sluoksnis gali būti laikomi geometriniais revoliucijos kūnais. Kai puslankis sukasi aplink ašį, kurioje yra puslankio skersmuo, atitinkamai gaunamas rutulys, sukant apskritimo dalis, gaunamos rutulio dalys: sferinis segmentas ir sferinis sluoksnis.

Sferiniam sluoksniui teisingos šios formulės:

kur S 1 , S 2 - bazių plotas; R 1 , R 2 - bazių spinduliai; S- sferinio sluoksnio sferinės dalies plotas (sferinio diržo plotas); R- rutulio spindulys; h- aukštis; S pilnas- bendras paviršiaus plotas; V Ar sferinio sluoksnio tūris.

Rutulių sektorius

Rutulių sektorius yra geometrinis kūnas, gautas sukant apskritą sektorių (kurio kampas mažesnis nei 90 °) aplink ašį, kurioje yra vienas iš šoninių spindulių. Taip pat vadinamas tokio kūno pridėjimas prie rutulio rutulio sektorius ... Taigi sferinį sektorių sudaro sferinis segmentas ir kūgis arba sferinis segmentas be kūgio (12.43 pav. A, b).

Sferiniam sektoriui teisingos šios formulės:

kur S- sferinio sektoriaus paviršiaus plotas; R- rutulio spindulys; r- segmento pagrindo spindulys; h- sferinio segmento aukštis; V Ar sferinio sektoriaus apimtis.

1 pavyzdys. Rutulio spindulys buvo padalintas į tris lygias dalis. Du padalijimai, statmeni spinduliui, buvo nubrėžti per padalijimo taškus. Raskite sferinio diržo plotą, jei rutulio spindulys yra 15 cm.

Sprendimas. Padarykime piešinį (12.44 pav.).

Norėdami apskaičiuoti sferinio diržo plotą, turite žinoti sferos spindulį ir aukštį. Rutulio spindulys yra žinomas, ir mes randame aukštį, žinodami, kad spindulys yra padalintas į tris lygias dalis:

Tada sritis

2 pavyzdys. Rutulį kerta dvi lygiagrečios plokštumos, statmenos skersmeniui ir priešingose rutulio centro pusėse. Sferinių segmentų plotai yra 42  cm 2 ir 70  cm 2. Raskite rutulio spindulį, jei atstumas tarp plokštumų yra 6 cm.

Sprendimas. Apsvarstykite du sferinius segmentus su sritimis:

kur R - rutulio spindulys (sfera), h, H – segmento aukštis. Mes gauname lygtis:
ir
Turime dvi lygtis su trimis nežinomaisiais. Padarykime kitą lygtį. Rutulio skersmuo yra
Išspręskime sistemą:

Iš pirmųjų dviejų sistemos lygčių išreiškiame:

trečioje sistemos lygtyje pakeičiame:
Mes išsprendžiame gautą lygtį:
mes gauname

Atsižvelgiant į problemos būklę, vertė

3 pavyzdys. Rutulio pjūvis pagal jo skersmeniui statmeną plokštumą padalija skersmenį santykiu 1: 2. Kiek kartų pjūvio plotas yra mažesnis už rutulio paviršiaus plotą?

Sprendimas . Padarykime piešinį (12.45 pav.).

Apsvarstykite rutulio skersmenį: REKLAMA- skersmuo, O- centras, OE= R- rutulio spindulys, BŪTI- pjūvio spindulys, statmenas rutulio skersmeniui,

Leiskite mums išreikšti BŪTI skersai R:

Nuo  OBE išreikšti BŪTI skersai R:

Skerspjūvio plotas
rutulio paviršiaus plotas
Mes gauname požiūrį

Vadinasi, S 1 mažesnis S 2 4,5 karto.

a) Nubrėžtos dvi lygiagrečios rutulio sekcijos. Įrodykite, kad rutulio centras yra tiesioje linijoje, einančioje per šių sekcijų centrus.
b) R spindulio atkarpa nubrėžta R spindulio rutuliu. Koks atstumas tarp jo ir lygiagretaus didelio apskritimo?
c) 3 spindulio rutuliu nubrėžtos dvi atkarpos, kurių spindulys 1 ir 2, kurių plokštumos lygiagrečios. Apskaičiuokite atstumą tarp jų,
d) Sudarykite atvirkštines problemas b) ir c).

a) Skiriami du apskritimai viename rutulyje, kurių apskritimai guli ant rutulio ir turi vieną bendrą tašką. Įrodykite, kad plokštumų, kuriose yra šie apskritimai, susikirtimo linija turi vieną bendrą tašką su kamuoliu,
b) Sferoje nubrėžti du apskritimai, turintys vieną bendrą tašką. Įrodykite, kad sferos centras, abiejų apskritimų centrai ir jų bendras taškas yra toje pačioje plokštumoje,
c) R spindulio sferoje buvo nubrėžtos dvi to paties spindulio r sekcijos, turinčios vieną bendrą tašką. Jų plokštumos sudaro kampą, žr. Užmegzkite ryšį tarp R, r, φ.

III. 3. R spindulio rutuliuke dvi spindulio r atkarpos susikerta kampu φ. Jų sankirta yra d ilgio akordas. Užmegzkite ryšį tarp R, r, d, φ.

III. 4. Ši sritis apima:

a) cilindras;
b) kūgis;
c) sutrumpintas kūgis.

Jų dydžiai žinomi. Kaip rasti atstumą nuo rutulio centro iki cilindro, kūgio ir sutrumpinto kūgio pagrindų ir šonų?

III. 5. Keturi vienodi R spindulio rutuliai yra išdėstyti taip, kad kiekvienas liestų kitus tris. Trys iš šių rutulių yra horizontalioje plokštumoje, o ketvirtasis - virš jų. Koks yra šios konstrukcijos aukštis? Kaip rasti aplink šią struktūrą aprašytos sferos spindulį.

III. 6. Trys cilindrai yra išdėstyti taip, kad kas du turi vieną bendrą tašką. Šis bendras taškas yra kiekvieno cilindro generatoriaus viduje. Cilindrų ašys yra tarpusavyje statmenos, o viena iš jų yra vertikali. Kiekvieno cilindro spindulys yra R. Raskite rutulio spindulį, kuris, krisdamas vertikaliai, praeis pro cilindrų suformuotą tarpą.

III. 7. R spindulio rutulyje yra cilindras, kurio plotas yra didžiausias. Kokie yra šio cilindro matmenys?

III. 8. Apsvarstykite visų rūšių cilindrus, kurių ašies pjūvio įstrižainė lygi d. Apskaičiuokite didžiausio tokio cilindro rutulio spindulį ir mažiausio tokio cilindro rutulio spindulį.

III. 9. Cilindre, kurio aukštis lygus pagrindo skersmeniui ir lygus d, turi būti dedami du vienodi rutuliai. Koks yra didžiausias jų spindulys?

III. 10. Du lygūs kūgiai turi bendrą viršūnę. Jų šoniniai paviršiai susikerta išilgai dviejų generatyvų. Įrodykite, kad plokštuma, einanti per šiuos generatorius, yra statmena plokštumai, kurioje yra kūgių ašys.

III.11. Du lygūs kūgiai turi lygiagrečias ašis. Ar jie turi bendrą atskaitos plokštumą per juos sudarančius paviršius?

III.12. Įrodykite, kad apskritimas yra susikirtimo linija (jei ji yra):

a) kūgio ir cilindro šoniniai paviršiai, kurių ašys yra tiesioje tiesėje);
b) dviejų kūgių, kurių ašys yra tiesioje tiesėje, šoniniai paviršiai.

III.13. Sferos centras yra kūgio viršūnėje. Sferos spindulys yra mažesnis už kūgio šoninio paviršiaus generatriką. Įrodykite, kad rutulys apskritime kerta kūgio šoninį paviršių.

a) Ant tikros sferos nubrėžtas apskritimas. Kaip apskaičiuoti jo spindulį?
b) Kaip apskaičiuoti tikrosios sferos (rutulio) spindulį?

Mes naudojame kompiuterį

III.15. Jums duota tiesė p ir segmentas AB tiesia linija, lygiagrečia tiesei p. Raskite tiesėje p tokį tašką X, kad kampas AXB būtų didžiausias.

III.16. Raskite trikampį su mažiausiu plotu tarp visų lygiašonių trikampių ABC, apibrėžtų apie tam tikrą apskritimą, liečiantį AC pagrindą.

III.17. Ar tam tikroje tiesėje yra taškas, iš kurio matomi du lygūs apskritimai vienodais kampais?

III.18. Įtraukite stačiakampį su didžiausiu plotu duotame apskritime.

III.19. Pateiktas apskritimas su centru O. Jame nubrėžtas styga AB, kuri skiriasi nuo skersmens, ir OC spindulys, statmenas šiam akordui. Tegul D yra šio spindulio ir šio stygos susikirtimo taškas. Taškas X juda išilgai didesnio apskrito lanko. Iš jo nupiešti du akordai: XK, einantis per tašką D, ir XC. Tegul L yra stygų XC ir AB susikirtimo taškas. Kuris segmentas ilgesnis: KD ar LC?

III skyriaus santrauka

16–19 skyriuose įrodomos tik trys teoremos:

17 teorema dėl rutulio ir plokštumos susikirtimo (16.2 poskirsnis),
18 teorema dėl rutulio ir plokštumos liesties (16.3 poskirsnis) ir
19 teorema dėl kūgio pjūvio (19.1 poskyris).

III skyriuje pradedama diskusija apie svarbų erdvinių figūrų simetrijos klausimą.

20 skyriuje nagrinėjami sudėtingesni apskritimo geometrijos klausimai nei pagrindinėje mokykloje.

Sferinis sluoksnis vadinama rutulio dalimi, uždaryta tarp dviejų lygiagrečių pjovimo plokštumų. Skiltyje gauti apskritimai vadinami pagrindus sluoksnis. Atstumas tarp pjovimo plokštumų vadinamas aukščio sluoksnis (42 pav.). Sferinio sluoksnio sferinės dalies paviršius vadinamas sferinis diržas .

Sferiniam sluoksniui teisingos šios formulės:

kur R- rutulio spindulys;

R1, R2- pagrindo spinduliai;

h- aukštis;

S 1, S 2- bazių plotas;

S- sferinio sluoksnio sferinės dalies plotas (sferinio diržo plotas);

S pilnas- bendras paviršiaus plotas;

V Ar sferinio sluoksnio tūris.

Rutulių sektorius

Rutulių sektorius vadinamas geometriniu kūnu, gautu sukant apskritą sektorių (mažesniu kampu) aplink ašį, kurioje yra vienas iš šoninių spindulių. Taip pat vadinamas tokio kūno pridėjimas prie rutulio rutulio sektorius ... Taigi sferinį sektorių sudaro sferinis segmentas ir kūgis arba sferinis segmentas be kūgio (43a, 43b pav.).

Ryžiai. 43a. Ryžiai. 43b.

Sferiniam sektoriui teisingos šios formulės:

kur R- rutulio spindulys;

r- segmento pagrindo spindulys;

h- sferinio segmento aukštis;

S- sferinio sektoriaus paviršiaus plotas;

V Ar sferinio sektoriaus apimtis.

Sprendimas. Padarykime piešinį (44 pav.).

Tada sritis

Atsakymas:

2 pavyzdys. Rutulį kerta dvi lygiagrečios plokštumos, statmenos skersmeniui ir priešingose rutulio centro pusėse. Sferinių segmentų plotai yra 42p cm 2 ir 70p cm 2. Raskite rutulio spindulį, jei atstumas tarp plokštumų yra 6 cm.

Sprendimas. Apsvarstykite du sferinius segmentus su sritimis: kur R - rutulio spindulys (sfera), h, H - segmento aukštis. Mes gauname lygtis: ir Mes turime dvi lygtis su trimis nežinomaisiais. Padarykime kitą lygtį. Rutulio skersmuo lygus.Sprendžiant sistemą randame rutulio spindulį.

Û Þ Û

Atsižvelgiant į problemos būklę, vertė

Atsakymas: 7 cm.

3 pavyzdys. Rutulio pjūvis pagal jo skersmeniui statmeną plokštumą padalija skersmenį santykiu 1: 2. Kiek kartų skerspjūvio plotas yra mažesnis už rutulio paviršiaus plotą?

Sprendimas. Padarykime piešinį (45 pav.).

Apsvarstykite rutulio skersmenį: REKLAMA- skersmuo, O- centras, OE = R- rutulio spindulys, BŪTI- rutulio skersmeniui statmenos sekcijos spindulys,

Leiskite mums išreikšti BŪTI skersai R:

Nuo DOBE išreikšti BŪTI skersai R:

Rutulio skerspjūvio paviršiaus plotas Gauname santykį. Reiškia, S 1 mažesnis S 2 4,5 karto.

Atsakymas: 4,5 karto.

4 pavyzdys. Rutulyje, kurio spindulys yra 13 cm, 4 cm ir 12 cm atstumu nuo centro nubrėžtos dvi viena kitai statmenos sekcijos. Raskite jų bendro akordo ilgį.

Sprendimas. Padarykime piešinį (46 pav.).

Skyriai statmeni, nes OO 2- atstumas ir OO 1 - atstumas. Taigi, ir OC- stačiakampio įstrižainė OO 2 CO 1 ir yra lygus

1. Tiesės a ir b yra lygiagrečios, o tiesės a ir c susikerta. Kokia yra santykinė b ir c padėtis? (Atlikta)
2. Plokštuma brėžiama per tris taškus, esančius ant trijų susikertančių kubo kraštų. Raskite skyriuje gauto daugiakampio vidinių kampų sumą. (Atlikta)
3. Visi šoniniai piramidės kraštai yra 13. Piramidės pagrindu įbrėžto apskritimo spindulys yra 5, o apskritimo spindulys aplink piramidės pagrindą - 12. Raskite piramidės aukštį. nurodė
4. Keturkampės piramidės pagrindo kraštuose visi dviakampiai kampai yra 45. Piramidės pagrinde įrašyto apskritimo spindulys yra 8, o apskritimo spindulys aplink piramidės pagrindą - 52. Raskite piramidės aukščio. (pagamintas)
5. Trikampės piramidės trijų šoninių paviršių plokštumos sudaro 60 kampą su jos pagrindo plokštuma. Piramidės pagrinde įrašyto apskritimo spindulys yra 8, o apskritimo spindulys, apribotas apie pagrindą piramidės yra 52. Raskite piramidės aukštį. (Atlikta)
6. Atstumas tarp dviejų 4 ir 7 spindulių sferų centrų yra 2. Apibūdinkite šių sferų bendrųjų taškų aibę. (pagamintas)
7. Du kūgio generatoriai yra tarpusavyje statmeni. Ar kūgio šlavimo kampas gali būti lygus 252. (padaryta)
8. ABCD yra ašinė cilindro dalis. B ir C yra viršutinės bazės taškai, o A ir D - apatinės. Taškas K padalija lanką AD santykiu AK: KD = 1: 2. Raskite AKC kampą. (pagamintas)
9. Pjūvis, einantis per piramidės šoninio krašto vidurį ir lygiagretus pagrindui, padalijo piramidę į du kūnus, kurių vieno tūris yra 6 m ^ 3 mažesnis už kitą. Raskite piramidės tūrį. (pagamintas)
10. MABC yra tetraedras. Kiek yra skirtingų plokštumų, nuo kurių visos šio tetraedro viršūnės yra vienodu atstumu?
11. Kokia x reikšme yra mažiausias vektoriaus su koordinatėmis (1-x; 4 + x; x) ilgis? (pagamintas)
12. Kokią gretasienio ABCDA1B1C1D1 tūrio dalį užima tetraedro A1C1BD tūris? (pagamintas)
13. Ar dvi gretimų keturkampės piramidės šoninių paviršių plokštumos gali būti statmenos pagrindo plokštumai?
14. Atstumas nuo rutulio skersmens galų iki jį liečiančios plokštumos yra 3 ir 7 cm.Suraskite rutulio spindulį. (pagamintas)

8-ame aš galėjau tik nupiešti paveikslėlį ir atsiminti, kad kampas ACB yra lygus kampui BAC kaip kryžminis. Tada aš nežinau, ką daryti.

13 jie gali pagal 3 statmeną teoremą. Taip?

10 -ame, galbūt 4. Manau, nes tetraedras turi 4 veidus, bet nematau logikos.

9 -ame pasirodė 8.

Nes juodai parašei taip:
Samprotavau lygiai taip pat.
Vienos tokios nupjautos piramidės tūris yra lygus 1/6 lygiagretainio tūrio (1/3 * pusės pagrindo * to paties aukščio)
Sl-bet, nupjautos dalies tūris yra 4/6 = 2/3
Tuomet piramidės A1C1BD tūris yra 1/3 poros tūrio

Aš negaliu suprasti, kodėl pirmiausia turite 1/6, o paskui 1/3