Sutrumpintos daugybos formulės. Greitai kvadratuokite skaičius be skaičiuotuvo Ką reiškia skaičius kvadratu

Sutrumpintos daugybos formulės.

Sutrumpintų daugybos formulių tyrimas: sumos kvadratas ir dviejų išraiškų skirtumo kvadratas; dviejų išraiškų kvadratų skirtumas; sumos kubas ir dviejų išraiškų skirtumo kubas; dviejų išraiškų kubų suma ir skirtumas.

Sutrumpintų daugybos formulių taikymas sprendžiant pavyzdžius.

Norint supaprastinti išraiškas, suskirstyti daugybinius polinomus ir perkelti daugianario į standartinę formą, naudojamos sutrumpintos daugybos formulės. Sutrumpintas daugybos formules reikia žinoti mintinai.

Tegu a, b R. Tada:

1. Dviejų išraiškų sumos kvadratas yra pirmosios išraiškos kvadratas plius du kartus pirmosios išraiškos sandauga su antruoju ir antrosios išraiškos kvadratas.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

2. Dviejų išraiškų skirtumas kvadratu yra pirmosios išraiškos kvadratas atėmus du kartus pirmosios išraiškos sandaugą iš antrosios plius antrosios išraiškos kvadratas.

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

3. Kvadratų skirtumas dvi išraiškos yra lygios šių išraiškų ir jų sumos skirtumo sandaugai.

a 2 - b 2 = (a -b) (a + b)

4. Sumos kubas iš dviejų išraiškų yra lygus pirmosios išraiškos kubui, pridėjus tris kartus pirmosios išraiškos kvadratą, o antrąjį plius tris kartus pirmosios išraiškos sandaugai ir antrosios išraiškos kvadratui plius antrosios išraiškos kubui.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

5. Skirtumo kubas dvi išraiškos yra lygios pirmosios išraiškos kubui, atėmus tris kartus pirmosios išraiškos kvadratą, o antrąjį plius tris kartus pirmosios išraiškos sandaugą ir antrosios išraiškos kvadratą, atėmus antrosios išraiškos kubą.

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

6. Kubų suma dvi išraiškos yra lygios pirmosios ir antrosios išraiškų sumos sandaugai iš šių išraiškų skirtumo nepilno kvadrato.

a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)

7. Kubelių skirtumas dvi išraiškos yra lygios pirmosios ir antrosios išraiškų skirtumo sandaugai iš šių išraiškų sumos nepilno kvadrato.

a 3 – b 3 = (a – b) (a 2 + ab + b 2)

Sutrumpintų daugybos formulių taikymas sprendžiant pavyzdžius.

1 pavyzdys.

Apskaičiuoti

a) Naudodami dviejų išraiškų sumos kvadrato formulę, turime

(40 + 1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681

b) Naudodami dviejų išraiškų skirtumo kvadrato formulę, gauname

98 2 = (100 - 2) 2 = 100 2 - 2 100 2 + 2 2 = 10 000 - 400 + 4 = 9604

2 pavyzdys.

Apskaičiuoti

Naudodami dviejų išraiškų kvadratų skirtumo formulę, gauname

3 pavyzdys.

Supaprastinkite išraišką

(x - y) 2 + (x + y) 2

Naudojame sumos kvadrato ir dviejų išraiškų skirtumo kvadrato formules

(x - y) 2 + (x + y) 2 = x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 = 2x 2 + 2y 2

Sutrumpintos daugybos formulės vienoje lentelėje:

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 – b 2 = (a – b) (a + b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 – b 3 = (a – b) (a 2 + ab + b 2)

Šiandien mes išmoksime, kaip greitai kvadratuoti dideles išraiškas be skaičiuoklės. Iš esmės turiu omenyje skaičius nuo dešimties iki šimto. Didelės išraiškos realiose problemose yra labai retos, ir bet kuriuo atveju galite suskaičiuoti reikšmes, mažesnes nei dešimt, nes tai yra įprasta daugybos lentelė. Šios pamokos medžiaga bus naudinga gana patyrusiems mokiniams, nes pradedantieji tiesiog neįvertins šios technikos greičio ir efektyvumo.

Pirmiausia išsiaiškinkime, kas tai yra. Pavyzdžiui, aš siūlau sudaryti savavališką skaitinę išraišką, kaip mes paprastai darome. Tarkime 34. Pakeliame, padaugindami iš savęs iš stulpelio:

\ [((34) ^ (2)) = \ kartus \ frac (34) (\ frac (34) (+ \ frac (136) (\ frac (102) (1156)))) \]

1156 yra 34 kvadratas.

Šio metodo problemą galima apibūdinti dviem punktais:

1) tam reikalinga rašytinė registracija;

2) labai lengva suklysti skaičiavimo procese.

Šiandien mokysimės greito daugybos be skaičiuoklės, žodžiu ir praktiškai be klaidų.

Taigi pradėkime. Norėdami dirbti, mums reikia sumos ir skirtumo kvadrato formulės. Užsirašykime juos:

\ [(((a + b)) ^ (2)) = ((a) ^ (2)) + 2ab + ((b) ^ (2)) \]

\ [(((a-b)) ^ (2)) = ((a) ^ (2)) - 2ab + ((b) ^ (2)) \]

Ką tai mums duoda? Faktas yra tas, kad bet kokia reikšmė nuo 10 iki 100 gali būti pavaizduota kaip skaičius $ a $, kuris dalijasi iš 10, ir skaičius $ b $, kuris yra dalybos iš 10 likutis.

Pavyzdžiui, 28 gali būti pavaizduotas taip:

\ [\ pradėti (lygiuoti) & ((28) ^ (2)) \\ & 20 + 8 \\ & 30-2 \\\ pabaiga (lygiuoti) \]

Likusius pavyzdžius pateikiame panašiai:

\ [\ pradėti (lygiuoti) & ((51) ^ (2)) \\ & 50 + 1 \\ & 60-9 \\\ pabaiga (lygiuoti) \]

\ [\ pradėti (lygiuoti) & ((42) ^ (2)) \\ & 40 + 2 \\ & 50-8 \\\ pabaiga (lygiuoti) \]

\ [\ pradėti (lygiuoti) & ((77) ^ (2)) \\ & 70 + 7 \\ & 80-3 \\\ pabaiga (lygiuoti) \]

\ [\ pradėti (lygiuoti) & ((21) ^ (2)) \\ & 20 + 1 \\ & 30-9 \\\ pabaiga (lygiuoti) \]

\ [\ pradėti (lygiuoti) & ((26) ^ (2)) \\ & 20 + 6 \\ & 30-4 \\\ pabaiga (lygiuoti) \]

\ [\ pradėti (lygiuoti) & ((39) ^ (2)) \\ & 30 + 9 \\ & 40-1 \\\ pabaiga (lygiuoti) \]

\ [\ pradėti (lygiuoti) & ((81) ^ (2)) \\ & 80 + 1 \\ & 90-9 \\\ pabaiga (lygiuoti) \]

Kas mums duoda tokią idėją? Faktas yra tas, kad su suma arba skirtumu galime taikyti aukščiau pateiktus skaičiavimus. Žinoma, norint sutrumpinti skaičiavimus, kiekvienam iš elementų reikėtų pasirinkti išraišką su mažiausiu antruoju nariu. Pavyzdžiui, iš 20 USD + 8 USD ir 30–2 USD parinkčių turėtumėte pasirinkti 30–2 USD parinktį.

Panašiai pasirenkame likusių pavyzdžių parinktis:

\ [\ pradėti (lygiuoti) & ((28) ^ (2)) \\ & 30-2 \\\ pabaiga (lygiuoti) \]

\ [\ pradėti (lygiuoti) & ((51) ^ (2)) \\ & 50 + 1 \\\ pabaiga (lygiuoti) \]

\ [\ pradėti (lygiuoti) & ((42) ^ (2)) \\ & 40 + 2 \\\ pabaiga (lygiuoti) \]

\ [\ pradėti (lygiuoti) & ((77) ^ (2)) \\ & 80-3 \\\ pabaiga (lygiuoti) \]

\ [\ pradėti (lygiuoti) & ((21) ^ (2)) \\ & 20 + 1 \\\ pabaiga (lygiuoti) \]

\ [\ pradėti (lygiuoti) & ((26) ^ (2)) \\ & 30-4 \\\ pabaiga (lygiuoti) \]

\ [\ pradėti (lygiuoti) & ((39) ^ (2)) \\ & 40-1 \\\ pabaiga (lygiuoti) \]

\ [\ pradėti (lygiuoti) & ((81) ^ (2)) \\ & 80 + 1 \\\ pabaiga (lygiuoti) \]

Kodėl greito dauginimo metu reikia stengtis sumažinti antrąjį terminą? Tai viskas apie pradinius sumos ir skirtumo kvadrato skaičiavimus. Esmė ta, kad pliuso ar minuso terminą $ 2ab $ yra sunkiausia apskaičiuoti sprendžiant tikras problemas. Ir jei daugiklis $ a $, 10 kartotinis, visada lengvai padauginamas, tai naudojant daugiklį $ b $, kuris yra skaičius nuo vieno iki dešimties, daugelis studentų nuolat susiduria su sunkumais.

\[{{28}^{2}}={{(30-2)}^{2}}=200-120+4=784\]

\[{{51}^{2}}={{(50+1)}^{2}}=2500+100+1=2601\]

\[{{42}^{2}}={{(40+2)}^{2}}=1600+160+4=1764\]

\[{{77}^{2}}={{(80-3)}^{2}}=6400-480+9=5929\]

\[{{21}^{2}}={{(20+1)}^{2}}=400+40+1=441\]

\[{{26}^{2}}={{(30-4)}^{2}}=900-240+16=676\]

\[{{39}^{2}}={{(40-1)}^{2}}=1600-80+1=1521\]

\[{{81}^{2}}={{(80+1)}^{2}}=6400+160+1=6561\]

Taigi per tris minutes atlikome aštuonių pavyzdžių dauginimą. Tai yra mažiau nei 25 sekundės kiekvienai išraiškai. Realiai, šiek tiek pasitreniruoję, suskaičiuosite dar greičiau. Bet kuriai dviženklei išraiškai apskaičiuoti prireiks ne daugiau nei penkių–šešių sekundžių.

Bet tai dar ne viskas. Tiems, kuriems parodyta technika atrodo nepakankamai greita ir nepakankamai šauni, siūlau dar greitesnį daugybos metodą, kuris tinka ne visoms užduotims, o tik toms, kurios skiriasi nuo 10 kartotinių. mūsų pamokoje yra keturios tokios reikšmės: 51, 21, 81 ir 39.

Atrodytų, kad daug greičiau, mes jau skaičiuojame juos tiesiogine prasme poroje eilučių. Bet iš tikrųjų galite pagreitinti, ir tai daroma taip. Užrašome reikšmę, dešimties kartotinį, kuri yra artimiausia norimam. Pavyzdžiui, paimkime 51. Taigi, norėdami pradėti, sukurkime penkiasdešimt:

\[{{50}^{2}}=2500\]

Dešimties kartotiniai yra daug lengviau kvadratu. Dabar prie pradinės išraiškos pridedame penkiasdešimt ir 51. Atsakymas yra tas pats:

\[{{51}^{2}}=2500+50+51=2601\]

Ir taip su visais skaičiais, kurie skiriasi vienu.

Jei mūsų ieškoma reikšmė yra didesnė už tą, kurią skaičiuojame, tada į gautą kvadratą pridedame skaičius. Jei norimas skaičius yra mažesnis, kaip 39 atveju, tada atliekant veiksmą reikia atimti reikšmę iš kvadrato. Praktikuokime nenaudodami skaičiuotuvo:

\[{{21}^{2}}=400+20+21=441\]

\[{{39}^{2}}=1600-40-39=1521\]

\[{{81}^{2}}=6400+80+81=6561\]

Kaip matote, visais atvejais atsakymai yra vienodi. Be to, šis metodas taikomas visoms gretimoms vertėms. Pavyzdžiui:

\ [\ pradėti (lygiuoti) & ((26) ^ (2)) = 625 + 25 + 26 = 676 \\ & 26 = 25 + 1 \\\ pabaiga (lygiuoti) \]

Tuo pačiu metu mums nereikia atsiminti sumos ir skirtumo kvadratų skaičiavimų ir apskritai naudoti skaičiuotuvą. Darbo greitis negirtinas. Todėl įsiminkite, praktikuokite ir naudokite praktiškai.

Pagrindiniai klausimai

Naudodami šią techniką galite nesunkiai padauginti bet kokius natūraliuosius skaičius nuo 10 iki 100. Be to, visi skaičiavimai atliekami žodžiu, be skaičiuotuvo ir net be popieriaus!

Pirmiausia atsiminkite verčių kvadratus, kurie yra 10 kartotiniai:

\ [\ pradėti (lygiuoti) & ((10) ^ (2)) = 100, ((20) ^ (2)) = 400, ((30) ^ (2)) = 900, ..., \\ & ((80) ^ (2)) = 6400, ((90) ^ (2)) = 8100. \\\ pabaiga (lygiuoti) \]

\ [\ pradėti (lygiuoti) & ((34) ^ (2)) = (((30 + 4)) ^ (2)) = ((30) ^ (2)) + 2 \ cdot 30 \ cdot 4+ ((4) ^ (2)) = \\ & = 900 + 240 + 16 = 1156; \\\ pabaiga (lygiuoti) \]

\ [\ pradėti (lygiuoti) & ((27) ^ (2)) = (((30-3)) ^ (2)) = ((30) ^ (2)) - 2 \ cdot 30 \ cdot 3+ ((3) ^ (2)) = \\ & = 900–180 + 9 = 729. \\\ pabaiga (lygiuoti) \]

Kaip suskaičiuoti dar greičiau

Bet tai dar ne viskas! Šių posakių pagalba galite akimirksniu paversti kvadratu „greta esančius“ su atskaitos skaičiais. Pavyzdžiui, mes žinome 152 (pamatinė vertė), bet turime rasti 142 (greta esantį skaičių, kuris yra vienu mažesnis už pamatinę vertę). Parašykime:

\ [\ pradėti (lygiuoti) & ((14) ^ (2)) = ((15) ^ (2)) - 14-15 = \\ & = 225-29 = 196. \\\ pabaiga (lygiuoti) \]

Atkreipkite dėmesį: jokios mistikos! Skaičių kvadratai, besiskiriantys 1, iš tikrųjų gaunami padauginus sukimosi skaičius iš savęs, atimant arba pridedant dvi reikšmes:

\ [\ pradėti (lygiuoti) & ((31) ^ (2)) = ((30) ^ (2)) + 30 + 31 = \\ & = 900 + 61 = 961. \\\ pabaiga (lygiuoti) \]

Kodėl tai vyksta? Parašykime sumos (ir skirtumo) kvadrato formulę. Tegul $ n $ yra mūsų pamatinė vertė. Tada jie laikomi taip:

\ [\ pradėti (lygiuoti) & (((n-1)) ^ (2)) = (n-1) (n-1) = \\ & = (n-1) \ cdot n- (n-1) ) = \\ & == ((n) ^ (2)) - n- (n-1) \\\ pabaiga (lygiuoti) \]

– tokia formulė.

\ [\ pradėti (sulygiuoti) & (((n + 1)) ^ (2)) = (n + 1) (n + 1) = \\ & = (n + 1) \ cdot n + (n + 1) ) = \\ & = ((n) ^ (2)) + n + (n + 1) \\\ pabaiga (lygiuoti) \]

- panaši formulė skaičiams, didesniems nei 1.

Tikiuosi, kad šis triukas sutaupys laiko atliekant visus sudėtingus matematikos testus ir egzaminus. Ir tai viskas man. Iki!

Skaičiaus kvadratas yra matematinės operacijos, kuri padidina šį skaičių iki antrosios laipsnio, rezultatas, tai yra, jis padaugina šį skaičių vieną kartą iš savęs. Įprasta tokį veiksmą žymėti taip: Z2, kur Z yra mūsų skaičius, 2 yra „kvadratinis“ laipsnis. Mūsų straipsnis jums pasakys, kaip apskaičiuoti skaičiaus kvadratą.

Apskaičiuokite kvadratą

Jei skaičius yra paprastas ir mažas, tai galima padaryti tiesiog mintyse arba naudojant mums visiems gerai žinomą daugybos lentelę. Pavyzdžiui:

42 = 4x4 = 16; 72 = 7x7 = 49; 92 = 9x9 = 81.

Jei skaičius yra didelis arba „didžiulis“, galite naudoti arba kvadratų lentelę, kurią visi išmoko mokykloje, arba skaičiuotuvą. Pavyzdžiui:

122 = 12x12 = 144; 172 = 17x17 = 289; 1392 = 139x139 = 19321.

Be to, norėdami gauti norimą dviejų aukščiau pateiktų pavyzdžių rezultatą, galite padauginti šiuos skaičius stulpelyje.

Norėdami gauti bet kurios trupmenos kvadratą, turite:

Paverskite trupmeną (jei trupmena turi sveikąjį skaičių arba ji yra dešimtainė) į netinkamą trupmeną. Jei trupmena teisinga, nieko versti nereikia.
Vardiklį padauginkite iš vardiklio, o skaitiklį iš trupmenos skaitiklio.

Pavyzdžiui:

(3/2) 2 = (3/2) x (3/2) = (3x3) / (2x2) = 9/4; (5/7) 2 = (5/7) x (5/7) = (5x5) / (7x7) = 25/49; (14/17) 2 = (14x14) / (17x17) = 196/289.

Lengviausias būdas naudoti bet kurią iš šių parinkčių yra naudoti skaičiuotuvą. Tam jums reikia:

Surinkite numerį klaviatūra
Paspauskite mygtuką su ženklu "daugyba"
Paspauskite mygtuką su „lygybės“ ženklu

Taip pat visada galite naudotis paieškos sistemomis internete, tokiomis kaip, pavyzdžiui, Google. Norėdami tai padaryti, tereikia įvesti atitinkamą užklausą paieškos variklio lauke ir gauti paruoštą rezultatą.

Pavyzdžiui: norėdami apskaičiuoti skaičiaus 9,17 kvadratą, paieškos sistemoje turite įvesti 9,17 * 9,17 arba 9,17 ^ 2 arba "9,17 kvadratas". Bet kurioje iš šių parinkčių paieškos sistema pateiks teisingą rezultatą - 84.0889.

Dabar žinote, kaip apskaičiuoti bet kurio jus dominančio skaičiaus kvadratą, nesvarbu, ar tai būtų sveikasis skaičius, ar trupmena, didelis ar mažas!