Példák a második sorrendű differenciálegyenletek megoldására a Lagrange módszerrel. A második sorrend lineáris differenciálegyenlete. A megoldások informális rendszere megoldja a másodrendű egyenletek rendszerét
A lineáris egyenletek rendszerei elmélete és más ügyekben kényelmes a determináns vagy determináns fogalmának felhasználása.
Tekintsük a négyszögletes táblázat (mátrix) formájában rögzített négy számot két sorban és két oszlopban. A táblázat számát tartalmazó meghatározó vagy meghatározó anyagot a következőképpen jelölt számnak nevezik:
Az ilyen determinánsot a második sorrendű determinánsnak nevezik, mivel két sor és két oszlop táblázata összeállítja. A számok, amelyből a determináns összeállított nevezik annak elemeit, miközben azt mondta, hogy az elemek a fő diagonális a meghatározó, és az elemek oldalán átlós. Látható, hogy a meghatározó megegyezik a fő és oldali átlón lévő elemek műveivel.
1. példa A következő második megrendelés meghatározó tényezőinek kiszámítása:
Döntés, a) definíció szerint
A determinánsok segítségével az egyenlőség (66,6), (66,7), (66,7) és (66,8) átírható, megváltoztathatja részeit, így:
Ne feledje, hogy a determinánsokat nagyon egyszerűen összeállítja a rendszer együtthatók (66.2).
Valójában a determináns az e rendszerben ismeretlen koefficiensekből áll. A rendszer fő meghatározója (66.2). Az ismeretlen x és y determinánsokat hívjuk. Lehetőség van a következő szabályok megfogalmazására: az egyes ismeretlenek mindegyikének meghatározóját a fő meghatározóból nyerik, ha az ismeretlen együttható oszlopát a szabadtagok oszlopának helyettesíti (a rendszeregyenletek).
2. példa A rendszer (66.12) a determinánsok segítségével megoldható.
Döntés. Összefoglaljuk és kiszámítjuk a rendszer fő meghatározóját:
Most az X (első oszlop) oszlopa helyettesíti a szabadtagokkal. A determinánt x:
Hasonlóképpen, megtaláljuk
Innen a Formulas (66.11)
Eljöttünk a már ismert megoldásra (1, -1).
Most tanulmányozzuk a lineáris egyenletek rendszerét (66.2). Ehhez visszatérünk az egyenlőséghez (66,9) és (66,10), és két esetben különbséget teszünk:
Hagyja, hogy már megjegyezte, a formulák (66.11) adják a rendszer egyetlen megoldását (66.2). Tehát, ha a rendszer fő meghatározója nulla, akkor a rendszer egyetlen oldatával rendelkezik (66.11); Az ilyen rendszert bizonyosnak hívják.
2) Most legyen. Az értékektől függően két esetet megkülönböztetünk.
a) A meghatározó anyagok közül legalább az egyik eltér; Ezután a rendszer (66.2) nincs megoldása. Valóban, például,. Az egyenlőség (66,9) nem lehet teljesíteni bármilyen értékkel, mivel ez az egyenlőség a rendszer (66.2) következtében érhető el, a rendszernek nincs megoldása. Az ilyen rendszert hiányosnak nevezik.
b) Mindkét determináns nulla; Az egyenlőség (66,9) és (66,10) azonosítható, és a rendszert (66.2) vizsgáljuk.
Bizonyítsuk be, hogy ha a rendszerben ismeretlen rendszerben lévő együtthatók közül legalább az egyik a rendszerben (66.2) nulla eltérő, akkor a rendszer végtelen megoldásokat tartalmaz. Annak érdekében, hogy megbizonyosodjunk róla, mondjuk például, hogy. A kapcsolatokból
és a rendszer második egyenletének rögzítéséből (66.2), helyettesíti az együtthatók kifejezések kifejezését
Úgy találjuk, hogy az első egyenletből csak olyan szorzó, amely lényegében egybeesik vele (egyenértékű vele). A rendszer (66.2) az első egyenletre csökkent, és számtalan oldatot határoz meg (egy ilyen rendszert bizonytalannak nevezik). Elvileg lehetséges, hogy egy ilyen extrém esetben az ismeretlenségek összes együtthatók nullasének (a betűs együtthatókkal rendelkező rendszerek tanulmányozásában). Egy ilyen rendszer
minden meghatározó nulla: azonban hiányos, ha vagy.
Összefoglaljuk a lineáris egyenletek (66.2) rendszerének tanulmányozását. Háromféle ilyen rendszer létezik:
1) Ha a rendszer definiálása, egyetlen megoldás (66.11).
2) Ha, de akkor a rendszer érthetetlen, a megoldások nem rendelkeznek.
3) Ha az ismeretlen együtthatók közül legalább az egyik nulla) nulla, akkor a rendszer határozatlan, végtelen megoldásokkal rendelkezik (csökkenti az egyenletet).
Egyenlőség nulla meghatározó,
az elemek arányosságát a vonalakban (és hátul):
Emiatt, jelek, amelyek megkülönböztetik a lineáris rendszerek különböző típusú (meghatározott, határozatlan, inkomplett) kifejezni közötti arányok rendszer együtthatók (anélkül, hogy vonzza determinánsok).
Az állapotot úgy cseréljük, hogy az ismeretlenek arányos (aránytalanság) aránya (aránytalanság) követelménye:
Abban az esetben, ha nem csak az együtthatók arányosak az ismeretlen, hanem a szabad tagok is:
(Ezeket az arányokat például (67,6)) kapjuk meg. Ha például korábban, akkor (66,6) láttuk, hogy - a szabad tagok nem arányosak az ismeretlen együtthatókkal. Így:
1) Ha az együtthatók nem arányosak az ismeretlenekkel:
a rendszer meghatározása.
2) Ha az együtthatók arányosak az ismeretlenekkel, és a szabad tagok nem arányosak velük:
ez a rendszer hiányos.
3) Ha az együtthatók arányosak az ismeretlen és ingyenes tagokkal:
ezután a rendszer bizonytalan.
A két ismeretlen lineáris egyenletek rendszerének tanulmányozása egyszerű geometriai értelmezést tesz lehetővé. Az űrlap lineáris egyenlete (38,4) meghatározza a koordináta sík közvetlen vonalát. A rendszeregyenletek (66.2) tehát a síkon két közvetlen egyenletként értelmezhetők, és a rendszer megoldásának feladata a közvetlen metszéspontjának megtalálásának feladata.
Nyilvánvaló, hogy három eset lehetséges: 1) Az adatok két egyenes vonal metszés (61. ábra, A); Ez az eset megfelel egy adott rendszernek; 2) az adatok két egyenes párhuzamosak (61. ábra, b); Ez az eset megfelel a hiányos rendszernek;
3) a közvetlen adatok egybeesnek (61. ábra, C); Ez az eset megfelel egy bizonytalan rendszernek: minden pont "kétszer megadott" közvetlen megoldja a rendszert.
3. példa A lineáris rendszerek feltárása:
Döntés, a) pótolja és kiszámolja a rendszer fő meghatározóját.
Meghatározás. A második sorrend meghatározója
(*)
; 
; 
Elméletileg a következő három eset lehetséges.
1. Ha a rendszer (*) egyetlen megoldást tartalmaz, amely a képletek szerint megtalálható, amelyeket a bejárati képletek nevezik :.
2. Ha, és (akkor), a rendszer (*) nincs megoldása.
3. Ha és (akkor), a rendszer (*) végtelen megoldás (nevezetesen az egyik rendszeregyenlet minden egyes megoldása egy másik egyenletet).
Megjegyzés. A determinánt a rendszer fő meghatározójának nevezik (*). A rendszer csak a Krimera-képletek szerint oldható meg az állapot alatt. Ellenkező esetben más módszereket, például Gauss módszert kell használnia.
A harmadik sorrend meghatározója. A három lineáris egyenlet rendszere három változóval a Cramer-formulák szerint
Meghatározás. A harmadik sorrend meghatározó A számot hívják, és a következők szerint kerül kiszámításra:
Hagyja, hogy adjon meg egy típusú egyenleteket 
(*)
Bemutatjuk a következő meghatározó anyagokat:
- a rendszer fő meghatározója (*);
; 
; 
.
A rendszer megoldásakor a következő esetek lehetségesek.
1. Ha a rendszer (*) egyetlen olyan megoldással rendelkezik, amely a képletekkel megtalálható, amelyeket gátló képleteknek neveznek: 
.
2. Ha lehetetlen megoldani a rendszert (1) a Cramer módszerrel.
1. megjegyzés. A rendszer esetében előfordulhat, hogy nincs megoldás, vagy végtelen beállítási megoldásokat tartalmaz. A részletesebb tanulmányozás és az általános megoldási rendszer megtalálásához például a Gauss módszert használhatja.
A három lineáris egyenlet rendszere három változóval
Gauss által
A Gauss módszer lényege egy konkrét példát fogja vizsgálni.
Példa. Az egyenletek rendszerének megoldása: 
(*)
Közvetlen lépés. Ez a rendszer az algebrai adagolás módszere szerinti háromszög alakú fajokra mutat.
Az első szakaszban kizárjuk a rendszer második és harmadik egyenletét, amely változót tartalmaz. Jobb, ha mindkét esetben ugyanazt az egyenletet használjuk (mi lesz az első).
Kapunk:
 |  |
A rendszer első egyenlete változatlanul átíródik, és a második és a harmadik egyenlet helyébe a kapott egyenletek lépnek.
A rendszer az űrlapot veszi: 
A második szakaszban a változót tartalmazó kifejezés megszünteti a harmadik egyenletből. Ezt a második egyenletet használjuk.
A rendszer első két egyenletét változatlanok fogják képviselni, és a harmadik egyenlet helyébe a kapott egyenlet lép.
Háromszög alakú rendszert kapunk: 
Visszatérés. Folyamatosan megtaláljuk az ismeretleneket, a harmadik egyenletből.
A rendszer harmadik egyenletéből megtaláljuk a változó értékét: .
Az érték a rendszer második egyenletében, ahol megtaláljuk a változó értékét: 
.
A talált értékek helyettesítése és a rendszer első egyenletében, ahol megtaláljuk a változó értékét: 
.
Válasz: .
22. A lineáris egyenlőtlenség megoldása
| Példák | |
| 1. Ha akkor. | |
| 2. Ha akkor. | |
| 3. Ha akkor. | |
| 4. Ha az egyenlőtlenségnek nincs megoldásai. | Egyenlőtlenségek és nincs megoldás. |
23. Lineáris egyenlőtlenség
| Az egyenlőtlenség megoldása során a következő esetek lehetségesek: | Példák |
| 1. Ha akkor. | |
| 2. Ha akkor. | |
| 3. Ha az egyenlőtlenségnek nincs megoldásai. | Az egyenlőtlenség nem megoldások. |
| 4. Ha akkor. |
24. A lineáris egyenlőtlenségek megoldása egy változóval
Az egyenlőtlenségek rendszere - Ezek két vagy több egyenlőtlenség, amelyekre általános megoldásokat keresnek.
Az egyenlőtlenségi rendszer megoldásával Ezt a rendszer összes egyenlőtlenségének általános megoldását nevezik.
Elméletileg lehetséges esetek Még két egyenlőtlenség rendszere is nagyon, ezért fontolja meg a legfontosabb eseteket a rendszer két egyszerű egyenlőtlenség.
1. példa.. Az egyenlőtlenségek rendszerének megoldása:
Válasz: .
2. példa.. Az egyenlőtlenségek rendszerének megoldása:
Ábrázolom az egyenlőtlenségek megoldásait grafikusan.
Válasz: .
3. példa..
Az egyenlőtlenségek rendszerének megoldása:
Ábrázolom az egyenlőtlenségek megoldásait grafikusan.
Válasz: .
4. példa.Az egyenlőtlenségek rendszerének megoldása:
Ábrázolom az egyenlőtlenségek megoldásait grafikusan.
Válasz: A rendszernek nincs megoldása.
25. A hiányos négyzetes egyenletek döntése,
Négyzetes egyenlet A nézetegyenletnek hívják 
.
Négyzetes egyenletet hívnak befejezetlenHa legalább az egyik koefficiens vagy nulla.
A hiányos egyenletek mindegyike megoldható a általános képlet. De kényelmesebb a privát módszerek használatához.
1. eset.
A bal részét lebomlik a tényezőkre :. Ismeretes, hogy a munka nulla, ha és csak akkor, ha a multiplikátorok legalább egyike nulla. Kapunk: vagy ahol az a feltétel miatt következik.
Kimenet:az egyenletnek mindig két érvényes gyökere van ,.
1. példa. Az egyenlet megoldása.
Döntés: Vagy ,.
2. eset. Ha az egyenlet kilátást nyújt.
Azután. Azóta.
Ha ez az egyenletnek nincs érvényes gyökere (mint).
Ha az egyenletnek két érvényes gyökere van.
2. példa. Az egyenlet megoldása.
Döntés:. Mivel ez az egyenletnek nincs érvényes gyökeresége.
3. példa. Az egyenlet megoldása.
Döntés: .
3. eset. Ha az egyenlet az űrlapot veszi fel.
Mivel, akkor, vagy így az egyenletnek van két egyenlő gyökér.
4. példa. Az egyenlet megoldása.
Döntés: .
26. A csökkentett négyzetes egyenlet megoldása 
A megadott négyzetes egyenlet négyzetes egyenletnek nevezik 
, amelynek vezető tényezője.
A gyökereinek megtalálásához jelölje ki a teljes négyzetet változóval x.. Kapunk:
.
A számot az adott négyzetes egyenlet megkülönböztetője hívják. Az egyenlet érvényes gyökereinek száma a diszkrimináns jeltől függ.
Ha az egyenlet nem rendelkezik érvényes gyökerekkel, mivel.
Ha akkor 
, 
,
vagyis az egyenletnek két érvényes gyökere van. 
és 
.
Megjegyzés. Képlet 
Különösen kényelmes használni, ha a P koefficiens egyenletes szám.
Példa. Az egyenlet megoldása 
.
Döntés.Mivel ezután 
.
Azután 
, 
.
Válasz: , .
27. Vieta formulák az adott négyzetes egyenlethez
két érvényes gyökeret és .
Azután ,
Így a tétel bizonyított, amit a vieta tételnek neveznek.
Tétel. Ha az adott négyzetes egyenlet gyökerei , akkor az egyenlőség csak.
Ezeket az egyenlőségeket Vieta-képletnek nevezik.
Megjegyzés. A vieta képletek érvényesek, és ha az egyenlet Integrált konjugált gyökerei vannak.
Példa. Az előző bekezdésben azt mutatta, hogy az egyenlet Gyökerekkel rendelkezik. Azután.
Azóta , .
28. A négyzetes egyenlet megoldása 
Mivel a négyzetes egyenlet meghatározásával az egyenlet hatására osztható. Kapunk egy adott négyzetes egyenletet 
, amiben , . Akkor a gyökerei megtalálhatók a képlet .
Kapunk:
A számot négyzetes egyenletnek nevezik (és a négyzetes három dekar megkülönböztetője). A diszkriminancia azt mutatja, hogy hány érvényes gyökérnek van ez az egyenlet.
Ha, akkor az egyenlet Van két egyenlőtlen érvényes gyökér 
és 
().
Ha, akkor az egyenlet Van két egyenlő érvényes gyökér.
Ha, akkor az egyenlet nincs neki érvényes gyökerek.
Megjegyzés. Ebben az esetben az egyenletnek két komplex konjugált gyökere van.
és 
.
1. példa. Az egyenlet megoldása 
.
Döntés. Mivel, (akkor), akkor
Azóta 
.
Azután 
, 
.
Válasz :,.
2. példa. Az egyenlet megoldása 
.
Döntés. Azóta.
Mivel ez az egyenletnek nincs érvényes gyökere.
29. A négyzetes egyenlőtlenségek megoldása
, 
, 
, 
pozitív diszkriminőséggel
két lineáris egyenlőtlenség rendszerének létrehozása
A négyzetes három dekar diszkriminanciája szám.
A négyzetes három rendelet gyökerei az egyenlet gyökereinek nevezik .
és Sőt, ez azt jelenti).
Ezután lebomlik a lineáris szorzókra :.
Mivel a vizsgált egyenlőtlenségek mindkét részét megoszthatjuk (ha az egyenlőtlenség jele (azaz a jel\u003e vagy a jele)<) сохранится, если , то знак неравенства поменяется на противоположный). В результате получится неравенство одного из видов: 
, 
, 
, 
. Fontolja meg az egyenlőtlenségek megoldását.
1) A két tényező munkája pozitív, ha mindkét szorzó pozitív vagy mindkét negatív szorzó, így 
Ha vagy.
Mindkét rendszer megoldásai a négyzet egyenlőtlenségének döntései.
Mint , így aztán ).
Mivel, akkor (akkor).
Válasz: egyenlőtlenség
Számos megoldás van, amelyek formájában vagy formában írhatók.
3) A két tényező terméke negatív, ha az egyik szorzót pozitív, és a másik negatív. ebből kifolyólag Ha vagy.
Azóta.
Ez az egyenlőtlenségi rendszernek nincs megoldása, mivel az X szám nem lehet egyidejűleg kevesebb, mint két szám, és több mint több.
Válasz: egyenlőtlenség
2) Hasonlóképpen, megkapjuk az egyenlőtlenséget Számos megoldás van, amelyek formájában vagy formában írhatók.
Példa. Az egyenlőtlenség megoldása 
.
Döntés. Keresse meg a négyzetgyökök gyökereit, azaz az egyenlet gyökerei 
: ,
, 
.
Az egyenlőtlenség bal oldalának a képlet által az egyenlőtlenséget kapjuk 
.
Mivel az utolsó egyenlőtlenség mindkét részének 3-as osztásával egyenértékű egyenlőtlenséget kapunk 
.
A két tényező munkája negatív, ha az egyik szorzót pozitív, és a másik negatív. Ezért az utolsó egyenlőtlenség megoldásai az egyes egyenlőtlenségi rendszerek megoldásai, ha vagy. Akkor vagy
A rendszerek grafikus megoldása az ábrákban (az első rendszer rajzolására, a második jobbra). Látható, hogy a második megoldási rendszernek nincs ilyen megoldásai az első rendszer megoldásai erre az egyenlőtlenségre.
Válasz:
30. A négyzetes egyenlőtlenségek megoldása
, , ,
a kvadratikus funkció diagramja
Megjegyzés.Feltételezhetjük, hogy mindezen egyenlőtlenségekben. Egyébként megszorozzuk mindkét részét egyenlőtlenség és a változó jele egyenlőtlenség az ellenkező, megkapjuk a egyenlőtlenség egyik meghatározott négy faj, ami ezt.
Ezután a funkció grafikonja 
Lesz egy parabola, akinek ága van. Ennek a parabolának az abszcissza tengelyéhez viszonyított helye a diszkrimináns négyzet három csökkenésétől függ. 3 eset lehetséges.
Ábra. 1 ábra. 2 ábra. 3.
1. eset. Ha a négyzet három csökkenése két érvényes gyökeret tartalmaz és és .
Ezután a Parabola az abszcissza tengelyét átlépi az abszkisszióval és. Szigorú egyenlőtlenségek esetén 
és 
számokat és nemkívánatos körökben ábrázolják (az 1. ábrán látható). A nem szigorú egyenlőtlenségekért 
és számokat, és festett körökkel ábrázolják. Ebben az esetben: és nincs érvényes gyökere. Ezután a parabola nem gyakori az abszcissza tengelyével (lásd a 3. ábrát). Ebben az esetben: X megszakítja az abszcissza tengelyét 3 időközönként (lásd az 1. ábrát). és
Lineáris másodrendű differenciálegyenletek
A második megrendelés differenciálegyenletet néznek meg.
Meghatározás. A második megrendelési egyenlet általános megoldása olyan funkció, amely minden értékre és az egyenlet megoldása.
Meghatározás. A második sorrend lineáris homogén egyenletét az egyenletnek nevezik. Ha az együtthatók és az állandó, azaz azaz Nem függ attól, hogy ezt az egyenletet állandó együtthatókkal rendelkező egyenletnek nevezik, és így írják:.
Az egyenlet lineáris inhomogén egyenletnek nevezik.
Meghatározás.A lineáris homogén egyenletből származó egyenlet, a funkció helyettesítésével és a megfelelő fokozatokkal, a jellemző egyenletnek nevezik.
Ismeretes, hogy a négyzetes egyenletnek van megoldása a diszkriminóról függően: vagyis Ha, akkor gyökerei és - különböző számok. Ha akkor. Ha, azaz Ez lesz egy képzeletbeli szám, és gyökerek és - komplex számok. Ebben az esetben egyetértünk abban, hogy jelezzük.
4. példa.Az egyenlet megoldása.
Döntés. Ezért a négyzet egyenlet diszkriminációja.
Megmutatjuk, mint a jellemző egyenlet gyökereinek megjelenését, hogy megtalálják a második sorrend homogén lineáris egyenletének általános megoldását.
Ha - a jellemző egyenlet érvényes gyökerei, akkor.
Ha a jellegzetes egyenlet gyökerei azonosak, vagyis , a differenciálegyenlet általános oldatát a képlet vagy.
Ha a jellegzetes egyenlet integrált gyökerei vannak, akkor.
5. példa. Keresse meg az egyenlet általános megoldását.
Döntés.A differenciálegyenlet jellemző egyenletét tartalmazzuk :. Gyökereei érvényesek és különbözőek. Ezért egy általános megoldás.
Lineáris homogén differenciálegyenletes megoldások alapvető rendszere. A lineáris homogén differenciálegyenlet oldatának általános oldatának szerkezetének tétele. Ebben a részben azt fogjuk bizonyítani, hogy a homogén egyenlet magántermékeinek lineáris térének alapja lehet bármely n.
Lineáris független megoldásai.
Ord. 14.5.5.1. Alapvető rendszer megoldások. Alapvető rendszer megoldások Lineáris homogén differenciálegyenlet n.
-o sorrendben lineárisan független rendszer y.
1 (x.
), y.
2 (x.
), …, y N.
(x.
) övé n.
Privát megoldások.
A lineáris homogén differenciálegyenlet általános oldatának felépítéséről 14.5.5.1.1. Közös döntés y.
(x.
) A lineáris homogén differenciálegyenlet egy lineáris kombináció az equence megoldási rendszerének alapvető rendszeréről:
y.
(x.
) = C.
1 y.
1 (x.
) + C.
2 y.
2 (x.
) + …+ C n y n
(x.
).
Dokk. Legyen y.
1 (x.
), y.
2 (x.
), …, y N.
(x.
) - A lineáris homogén differenciálegyenletes egyenletes megoldások alapvető rendszere. Meg kell bizonyítania, hogy bármilyen különleges döntés y.
Cho ( x.
) Ez az egyenlet a képlet tartalmazza y.
(x.
) = C.
1 y.
1 (x.
) + C.
2 y.
2 (x.
) + …+ C n y n
(x.
) néhány állandó készlet C.
1 , C.
2 , …, C N.
. Vegyünk semmilyen pontot, számítsa ki a számot ezen a ponton, és találjon állandó C.
1 , C.
2 , …, C N.
Az algebrai egyenletek lineáris inhomogén rendszerének megoldása
Egy ilyen megoldás létezik és az egyetlen, mivel a rendszer meghatározója egyenlő. Fontolja meg a lineáris kombinációt y.
(x.
) = C.
1 y.
1 (x.
) + C.
2 y.
2 (x.
) + …+ C n y n
(x.
) Az alapvető megoldási rendszer ezen értékeivel C.
1 , C.
2 , …, C N.
és hasonlítsa össze a funkcióval y.
Cho ( x.
). Funkciók y.
(x.
) I. y.
Cho ( x.
) kielégít egy egyenletet és ugyanazokat a kezdeti feltételeket a ponton x.
0 Ezért a Cauchy probléma megoldásának egyediségével egybeesik: y.
Cho ( x.
) = C.
1 y.
1 (x.
) + C.
2 y.
2 (x.
) + … + C n y n
(x.
). A tétel bizonyítható.
Ebből a tételből következik, hogy a folyamatos koefficiensekkel rendelkező homogén egyenlet privát megoldásainak lineáris térének dimenziója nem haladja meg n.
. Továbbra is bizonyítani tudja, hogy ez a dimenzió nem kevesebb n.
.
Tétel 14.5.5.1.2 A lineáris homogén differenciálegyenletes egyenletes megoldások alapvető rendszerének létezéséről. Bármilyen lineáris homogén differenciálegyenlet n.
- A folyamatos koefficiensekkel rendelkező megrendelés alapvető megoldásrendszerrel rendelkezik, azaz a rendszer n.
Lanely független megoldások.
Dokk. Vegyünk semmilyen numerikus meghatározó anyagot n.
-o megrendelés nem egyenlő nulla
Hagyja, hogy egy négyzet alakú, négy szám egy 1, A 2, B 1, B 2:
Az A1 B 2 - A 2 B1 számot a második sorrendmérőnek nevezzük, amely megfelel az (1) táblázatnak. Ezt a határozatot a szimbólum jelzi, hogy:
Az A1, A 2, B 1, B 2 számokat a determináns elemei nevezik. Azt mondják, hogy az 1, B 2 elemek a determináns fő átlóján fekszenek, és 2, B 1 - oldalán. Így a második sorrend meghatározó tényező megegyezik a fő és oldali átlósan fekvő elemek műveivel. Például,
Tekintsük a két egyenlet rendszerét
két ismeretlen x, y. (Az 1, B 1, A 2, B 2 és a HXI H2 szabad tagjai feltételezik az adatokat.) Bemutatjuk a jelölést
A determináns δ, az ismeretlen rendszer (3) együtthatókból készült, a rendszer meghatározó tényezője. A determináns Δ X-t úgy állítjuk elő, hogy a determináns Δ első oszlopának elemeit a rendszer szabad elemei (3) helyettesítjük; A meghatározó Δ Y nyert determinánst Δ helyett az elemek a második oszlop ingyenes tagok a rendszer (3).
Ha δ ≠ 0, akkor a rendszer (3) egyetlen megoldással rendelkezik; Ezt a képletek határozzák meg
x \u003d δ x / δ, y \u003d δ y / δ (5)
Ha Δ \u003d 0 és egyidejűleg, akkor legalább az egyik meghatározó δ x, δ y eltér a nullától, majd a rendszer (3) egyáltalán nincs megoldása (ahogy azt mondják, a rendszer egyenletei nem kompatibilisek ).
Ha Δ \u003d 0, hanem Δ x \u003d δ y \u003d 0, akkor a rendszer (3) végtelen sok megoldás (ebben az esetben, az egyik egyenletek a rendszer egy következménye egy másik).
Hagyja a rendszer egyenleteit (3) h 1 \u003d h 2 \u003d 0; Ezután a rendszer (3) megnézi:
a 1 x + b 1 y \u003d 0, a 2 x + b 2 y \u003d 0. (6)
A formanyomtatvány (6) egyenleteinek rendszerét homogénnek hívják; Mindig van nulla megoldás: x \u003d 0, y \u003d 0, ha Δ ≠ O, akkor ez a megoldás az egyetlen, ha Δ \u003d 0, akkor a rendszer (6) nulla mellett végtelenül sok más megoldást tartalmaz.
1204. Számítsa ki a determinánsokat:
1205. Az egyenletek megoldása:
1206. Az egyenlőtlenségek megoldása:
1207. Keresse meg az egyes egyenletek mindegyikének összes megoldását:
1208. Az SK - AU \u003d 1, 6x + 4U \u003d B 1) értékek A és B-értékének meghatározása egyetlen megoldással; 2) nincs megoldása; 3) végtelenül sok megoldást kínál.
1209. Határozza meg, hogy milyen értékű a homogén egyenletek rendszere 13x + 2ow \u003d 0, 5x + au \u003d 0 nonzero megoldással rendelkezik.
Itt alkalmazzuk az állandó lagrang változatosságának módját a lineáris inhomogén másodrendű differenciálegyenletek megoldására. Az eljárás részletes leírása a véletlenszerű megrendelési egyenletek megoldására az oldalon található.
A lineáris inhomogén differenciális egyenletek megoldása a lagrange módszer magasabb rendeléseinek \u003e\u003e\u003e.
1. példa.
Oldja meg a másodrendű differenciálegyenletet állandó együtthatókkal az állandó Lagrange variációjával:
(1)
Döntés
Kezdetben homogén differenciálegyenletet oldunk meg:
(2)
Ez a második megrendelési egyenlet.
Megoldjuk a négyzetes egyenletet:
.
Gyökerek többszöröse :. A (2) egyenletes megoldások alapvető rendszere van:
(3)
.
Innen kapunk általános megoldást egy homogén egyenlet (2):
(4)
.
Különböző állandó C. 1
és C. 2
. Vagyis a (4) állandó és funkciók:
.
Keresünk a kezdeti egyenlet (1) megoldását az űrlapon:
(5)
.
Keressen egy származékot:
.
Csatlakoztatjuk a funkciókat és az egyenletet:
(6)
.
Azután
.
Megtaláljuk a második származékot:
.
A kezdeti egyenletben (1) helyettesítjük:
(1)
;
.
Mivel és eleget homogén egyenlet (2), az összege tagok minden egyes oszlopban az utolsó három sor ad nulla, és az előző egyenlőséget megszerzi formájában:
(7)
.
Itt .
A (6) egyenlethez együtt kapunk egy egyenletrendszert a funkciók meghatározásához, és:
(6)
:
(7)
.
Az egyenletek rendszerének megoldása
Megoldjuk az egyenletek rendszerét (6-7). Kifejezést írunk a funkciókért és:
.
Találunk származékaikat:
;
.
Megoldjuk az egyenletek rendszerét (6-7) a Cramer módszerrel. Számítsa ki a rendszer mátrixát meghatározó:
.
A bejáró képletek szerint:
;
.
Tehát találtunk származtatott funkciókat:
;
.
Integráljuk (lásd: Gyökérintegrációs módszerek). Helyettesítési
;
;
;
.
.
.
;
.
Válasz
2. példa.
Oldja meg a differenciálegyenletet az állandó lagrang változásával:
(8)
Döntés
1. lépés: homogén egyenlet megoldása
Megoldunk egy homogén differenciálegyenletet:
(9)
Határozatot keresünk az űrlapon. Jellemző egyenletet fordítunk:
Ez az egyenlet integrált gyökerei vannak:
.
Az e gyökereknek megfelelő megoldások alapvető rendszere van:
(10)
.
Homogén egyenlet általános megoldása (9):
(11)
.
2. lépés: Állandó funkciók cseréje
Most változnak állandó c 1
és C. 2
. Vagyis cserélje ki a (11) állandó funkciókat:
.
A kezdeti egyenlet (8) megoldását keresjük:
(12)
.
Továbbá a megoldás döntése megegyezik az 1. példában leírtakkal. A funkciók meghatározásához a következő egyenletrendszerre érkezünk, és:
(13)
:
(14)
.
Itt .
Az egyenletek rendszerének megoldása
Ezt a rendszert megoldjuk. A funkciók kifejezését és:
.
A derivatívák táblázatából találjuk:
;
.
Megoldjuk az egyenletek rendszerét (13-14) a Cramer módszerrel. Rendszermátrix meghatározó:
.
A bejáró képletek szerint:
;
.
.
Mivel a logaritmus jel alatt lévő moduljel elengedhetetlen. Szorozzuk meg a számát és a nevezőt:
.
Azután
.
Az eredeti egyenlet általános megoldása:
.
